Teoria De Estudio-ecuacion Eikonal.pdf

Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla Facultad de Ciencias Fisico-Matem´aticas Estudio de la formaci´on de una lente t´ermica generada en un medio ´optico no lineal Tesis presentada al Colegio de F´ısica como requisito parcial para la obtenci´on del grado de Licenciado en F´ısica por Miriam Cuatecatl Tlapapatl asesorada por Dr. Maximino Luis Arroyo Carrasco Puebla Pue. Mayo 2015

Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla Facultad de Ciencias Fisico-Matem´aticas Estudio de la formaci´on de una lente t´ermica generada en un medio ´optico no lineal Tesis presentada al Colegio de F´ısica como requisito parcial para la obtenci´on del grado de Licenciado en F´ısica por Miriam Cuatecatl Tlapapatl asesorada por Dr. Maximino Luis Arroyo Carrasco Puebla Pue. Mayo 2015

i

T´ıtulo: Estudio de la formaci´on de una lente t´ermica generada en un medio ´optico no lineal Estudiante:Miriam Cuatecatl Tlapapatl

´ COMITE

Dra. Marcela Maribel M´endez Otero Presidente

Dr. Rub´en Ramos Garc´ıa Secretario

Dr. Juan Castillo Mixcoatl Vocal

Dr. Cruz Meneses Fabi´an Vocal

Dr. Maximino Luis Arroyo Carrasco Asesor

´Indice general Resumen

VII

1. Introducci´ on

1

2. Teor´ıa 2.1. Sistemas ´ opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Materiales l´ıquidos transparentes . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Absorci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaci´ on Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ecuaci´ on diferencial de los rayos de luz . . . . . . . . . . . . 2.5. Interacci´ on entre la radiaci´ on electromagn´etica y la materia 2.5.1. Haz Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Haz Gaussiano a trav´es de componentes ´opticos . . . 2.6. Difracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Regi´on de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Regi´on de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.7. Optica no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. ´Indice de refracci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

5 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 16 18

3. Modelo de lente t´ ermica 3.1. Modelo te´orico de lente t´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Perfil de cambio de fase de una lente t´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo num´erico de la lente t´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 24 25

4. Desarrollo experimental y discusi´ on de resultados 4.1. Caracter´ısticas de la muestra l´ıquida . . . . . . . . . . . 4.2. Medici´ on del coeficiente de absorci´ on . . . . . . . . . . . 4.3. Arreglo experimental para el an´alisis de la lente t´ermica 4.4. Resultados experimentales y num´ericos . . . . . . . . . . 4.4.1. Dependencia con la longitud de onda λ . . . . . 4.4.2. Dependencia con la posici´on de la celda z . . . . 4.4.3. Dependencia con la potencia ´optica P0 . . . . . .

27 27 28 28 29 29 31 32

5. Conclusiones

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

39

iii

´Indice de figuras 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

a) Lente convexa. b) Lente c´ oncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo del Oscilador arm´onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los rayos siguen una trayectorias normal a las superficies de fase constante S(~r). . Rayos en un medio con simetr´ıa esf´erica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvatura de un rayo en un material no homog´eneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia o rango de Rayleigh de un haz Gausiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . La intensidad del haz normalizada I/I0 como una funci´ on de la distancia radial r en diferentes distancias axiales: a) z = 0; b) z = z0 ; c) z = 2z0 . . . . . . . . . . . . 2.8. Trasmisi´ on de un haz Gaussiano a trav´es una lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Relaci´on entre las coordenadas y las distancias entre un punto sobre el plano x1 y1 y un punto sobre el plano x2 y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Condici´ on de fase para un efecto auto inducido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Perfil gaussiano del cambio de fase no lineal debido a un cambio del ´ındice de refracci´ on por efectos ´ optico-t´ermicos cuando un haz gaussiano se propaga en un material no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Esquema del arreglo experimental de Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo te´orico de J. P. Gordon y colaboradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Distorci´ on del frente de onda de un haz gaussiano a la salida del medio ´optico lineal debido un cambio del ´ındice de refraccion por efectos ´optico-t´ermicos. . .

. . . . no . .

4.1. a) Aceite de Ricino con colorante Rojo de Metilo. b) Celda de vidrio con paredes paralelas de 5 mm de grosor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Arreglo experimental para medir el coeficiente de absorci´ on . . . . . . . . . . . . . 4.3. Arreglo experimental para obtener los patrones de difracci´ on de una lente t´ermica. 4.4. Patrones de difracci´on vs. longitud de onda λ. Resultados experimentales aplicando potencias ´ opticas similares y z = z0 . Para λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y para λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 488 nm, P0 = 19 mW y α = 1.283 cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 488 nm, P0 = 38 mW y α = 1.283 cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 514 nm, P0 = 30 mW y α = 0.563 cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 514 nm, P0 = 51 mW y α = 0.563 cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (azules) y num´ericos (blancos). z = z0 , λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y L = 5 mm. . . . . . . . . . . . . . 4.10. Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (azules) y num´ericos (blancos). z = 0, λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y L = 5 mm. . . . . . . . . . . . . .

v

5 7 9 10 11 12 13 14 15 18

20 21 22 25 27 28 29

30 31 31 32 32 33 33

vi

´INDICE DE FIGURAS 4.11. Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (azules) y num´ericos (blancos). z = −z0 , λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y L = 5 mm. . . . . . . . . . . . . 4.12. Dependencia de la amplitud de cambio de fase no lineal φ0 con la potencia ´optica P0 , usando una longitud de onda de 488 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (verdes) y num´ericos (blancos). z = z0 , λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 y L = 5 mm. . . . . . . . . . . . . . 4.14. Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (verdes) y num´ericos (blancos). z = 0, λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 y L = 5 mm. . . . . . . . . . . . . . 4.15. Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (verdes) y num´ericos (blancos). z = −z0 , λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 y L = 5 mm. . . . . . . . . . . . . 4.16. Dependencia de la amplitud de cambio de fase no lineal φ0 con la potencia ´optica P0 , usando una longitud de onda de 514 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 35 36 36 37

Resumen Cuando un haz l´aser de alta intensidad, con un perfil transversal de intensidad Gaussiano, se propaga en un medio ´ optico no lineal, la interacci´ on entre luz y materia produce una respuesta ´optica no lineal, esto da lugar a diversos e interesantes fen´omenos como el cambio de ´ındice de refracci´ on del material. Si se presenta un cambio de ´ındice de refracci´ on no lineal positivo o negativo, se producir´ a un autoenfocamiento o autodesenfocamiento del haz transmitido, respectivamente. La respuesta ´ optica no lineal genera el efecto de una lente positiva o negativa. Los materiales ´ opticos que presentan efectos t´ermicos no lineales son medios que absorben una porci´ on de la energ´ıa de la luz incidente, lo que genera un cambio en la densidad local del material a consecuencia del cambio local de la temperatura del medio, esto a su vez ocasiona un cambio negativo en el ´ındice de refracci´ on del material. El resultado de esta respuesta ´optica no lineal es lo que se conoce como efecto de lente t´ermica. En este trabajo de tesis se hace una revisi´on del modelo de lente t´ermica propuesto inicialmente por J.P. Gordon y colaboradores [1], y de las subsecuentes modificaciones hechas al mismo [2-5]. Esto permite entender el concepto de lente t´ermica y los fen´omenos ´opticos no lineales presentes cuando un haz Gaussino de alta intensidad se transmite a trav´es del material. Los resultados obtenidos se aplican al desarrollo de un programa en MatLab con el que se obtienen num´ericamente los patrones de difracci´ on formados por los efectos difractivos a campo lejano producidos en el haz Gaussiano al propagarse en espacio libre a campo lejano despu´es de atravesar el material no lineal, fen´omeno conocido como automodulaci´ on espacial de fase. Se obtienen experimentalmente los patrones de difracci´ on a campo lejano empleando como material no lineal una muestra de aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo, contenido en una celda de vidrio de 5 mm de espesor. La muestra se coloca en regiones cercanas a la cintura de un haz l´aser. Finalmente, se comparan los resultados experimentales y num´ericos, y se afina el programa hasta obtener una descripci´on adecuada de los efectos ´ opticos no lineales t´ermicos presentes en la interacci´ on luz-material para estimar la raz´ on del cambio de ´ındice de refracci´ on con la temperatura.

vii

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on Por curiosidad, el hombre siempre ha tenido la necesidad de explicar los fen´omenos f´ısicos que ocurren en la naturaleza. Debido a esto y al inter´es de entender lo que sucede, en la ciencia, ha habido grandes desarrollos tecnol´ ogicos que han contribuido a que el hombre tenga una mejor ca´ lidad de vida. Una rama de la f´ısica que se ha sumado a esta causa es la Optica que se encarga de estudiar la interacci´ on de la luz en un material o en un sistema ´optico. Cuando la luz se propaga en un material es posible observar fen´omenos interesantes de la luz como: reflexi´on, refracci´ on, interferencia y difracci´ on; estos fen´omenos son propiedades intr´ınsecas del luz debidas a la interacci´on con un medio ´ optico. Sin embargo, cuando se considera un haz de luz de alta intensidad, como la luz de un haz l´aser, estas propiedades pueden cambiar; por esta raz´ on, la ´optica no lineal estudia lo que sucede durante y despu´es de la interacci´ on. Esta rama de la ´optica nace a partir de la invenci´on de los primeros l´aseres, que es uno de los m´as grandes desarrollos tecnol´ ogicos en la historia de la ciencia. En un principio, para generar luz l´aser se colocaban dentro de la cavidad diferentes materiales como medio activo; m´as adelante se comenzaron a observar fen´omenos interesantes que se atribuyeron a la absorci´ on de la energ´ıa de la luz por el material. En el a˜ no de 1964, J. P. Gordon y colaboradores[1], publicaron la presencia de un autodesenfocamiento del haz dentro de la cavidad del l´aser, generando el efecto de una lente a la que dieron por nombre lente t´ermica. El efecto de lente t´ermica es un efecto ´optico no lineal que se manifiesta en un material cuando se absorbe parte de la energ´ıa de un haz de luz l´aser que tiene una distribuci´ on de intensidad gaussiana. Esto conducir´ a a que en la regi´ on de iluminaci´ on se incremente la temperatura del material que varia como una funci´ on gaussiana respecto de la direcci´ on del radio transversal al haz. Con el cambio de temperatura se produce un cambio en la densidad local del material, haci´endolo menos denso en el centro que hacia los bordes. Debido a esto, habr´ a un cambio del ´ındice de refracci´ on que depender´a de la distribuci´ on de temperatura; pudiendo observar un autodesenfocamiento del haz a la salida del medio ´ optico.[8] Se comenz´o a estudiar a la lente t´ermica en 1964, con el trabajo te´orico de J. P. Gordon y colaboradores [1]; observaron el aumento y decaimiento en la se˜ nal del l´aser en celdas que conten´ıan materiales l´ıquidos de componentes org´ anicos colocadas dentro del resonador de un l´aser de HeNe que operaba a 632 nm. Se dieron cuenta de la presencia de otros fen´omenos interesantes que se atribuyeron a efectos t´ermicos en el material como: el cambio en los modos y relajaci´ on de oscilaciones. Notaron que cuando la celda con el material se colocaba dentro de la cavidad del l´aser el tama˜ no de los spots del haz eran diferentes al proyectarse sobre los dos espejos; sin embargo, cuando la celda se remov´ıa los spots eran aproximadamente iguales. Adjudicaron los cambios en el tama˜ no de los spots del haz a la absorci´ on de luz por el material, produciendo un calentamiento local en la vecindad del haz. Esta observaci´ on sustento la hip´otesis de que el medio ´optico actuaba como una lente generada por efectos t´ermicos, ya que hacia autodesenfocar al haz; a este efecto lo llamaron lente t´ermica. Debido al gran inter´es para tratar de entender lo que suced´ıa, J.P. 1

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

Gordon y colaboradores, fueron los primeros en proponer un modelo matem´atico que explica como se comporta la luz dentro del material al cambiar localmente su temperatura por absorci´ on, lo que produce un cambio radial en el ´ındice de refracci´ on, al que en una primera aproximaci´on consideraron parab´olico. Una de las primeras aplicaciones de este fen´omeno fue la medici´on de coeficientes de absorci´ on del orden de 10−3 a 10−4 cm−1 . En el a˜ no de 1973, Chenming Hu y J. R. Whinnery [2], propusieron un m´etodo para medir los cambios en el ´ındice de refracci´ on inducidos por efectos t´ermicos, derivados de la absorci´ on de un haz l´aser que incide sobre un medio ´optico. Su m´etodo mide la expansi´ on del haz transmitido al dejarlo propagar a campo lejano. Modificaron el arreglo experimental de Gordon [1], colocando al material fuera de la cavidad del l´aser en regiones cercanas a donde se forma la cintura del haz; el arreglo mostr´o tener alta sensibilidad en la medici´on del coeficiente de absorci´ on. Una aplicaci´on inmediata de esta t´ecnica fue medir absorciones en l´ıquidos y s´olidos. Observaron que para altas intensidades del haz se presentaba el fen´omeno de aberraciones esf´ericas y para bajas intensidades las aberraciones eran despreciables. En 1982, S. J. Sheldon, L. V. Knight, y J. M. Thorne [3], propusieron un modelo te´orico para deducir el efecto de lente t´ermica inducida por un haz l´aser en materiales que absorben d´ebilmente. El modelo predice la variaci´on de la intensidad a campo lejano del haz en presencia de la lente t´ermica y toma en cuenta la naturaleza aberrante de est´ a. Sus resultados difieren significativamente de los que Hu y Whinnery [2] obtuvieron; sus c´ alculos se basaban en la teor´ıa de difracci´ on considerando la naturaleza aberrante de la lente t´ermica. Demostraron que esta t´ecnica de lente t´ermica es precisa y que es una forma sencilla de medir las propiedades termo-´ opticas en materiales con absorci´ on d´ebil. En 1984, Christine A. Carter y J. M. Harris [4], compararon el modelo te´orico para la lente t´ermica de Gordon con el modelo propuesto por Hu y Whinnery. Examinaron la relaci´on entre ambos modelos y sugirieron una manera simple de corregir los par´ ametros del modelo de Gordon por factores apropiados para que contemplara la naturaleza aberrante de la lente. En 1995, Frank J¨ urgensen y Wolffram Shr¨ oer [5], calcularon la distribuci´ on de intensidades despu´es de que la lente t´ermica se generaba mediante una aproximaci´on num´erica de la integral de difracci´ on de Fresnel y consideraron que la naturaleza aberrante de la lente t´ermica es importante, incluso si el efecto de lente es d´ebil. La lente t´ermica se ha usado para medir el coeficiente de absorci´ on de medios que absorben d´ebilmente y se ha aplicado en el estudio de las propiedades termo-´opticas de diversos materiales; es uno de los primeros modelos microsc´opicos de una respuesta ´optica no lineal y el fundamento te´orico para el desarrollo de la t´ecnica de Z-scan, que es un m´etodo experimental empleado para la caracterizaci´ on de las propiedades ´ opticas no lineales en los materiales. En este trabajo de tesis se har´ a una revisi´on del modelo de lente t´ermica, propuesto inicialmente por J.P. Gordon y colaboradores [1], y a las modificaciones hechas por varios autores que dieron origen a la t´ecnica de Z-scan [6]. El an´alisis del fen´omeno de autodesenfocamiento producido por la lente t´ermica permitir´ a comprender la formaci´ on de un patr´on de difracci´ on, constituido por un conjunto de anillos conc´entricos, originados cuando el haz de luz l´aser se deja propagar a campo lejano despu´es de atravesar al material; este fen´omeno es causado por un efecto que se conoce como automodulaci´ on espacial de fase. En base al modelo matem´atico de lente t´ermica se desarrolla un programa en MatLab que calcula el patr´on de difracci´ on a campo lejano producidos por un haz Gaussiano que se transmite en aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo. Experimentalmente, utilizando una muestra del medio o´ptico de 5 mm de espesor se obtienen im´ agenes de los patrones de difracci´ on para diferentes posiciones de la muestra alrededor de la cintura del haz. Finalmente, se comparan los resultados experimentales y num´ericos; retroalimentando la informaci´on requerida en el programa, se obtiene una descripci´on adecuada de los efectos ´opticos no lineales presentes en el medio y poder estimar el ´ındice de refracci´ on no lineal del material. El contenido de este trabajo de tesis se ha distribuido de la siguiente manera. En el cap´ıtulo 1 se presenta un acercamiento al tema de tesis. En el cap´ıtulo 2 se hace una revisi´on de los conceptos te´oricos necesarios para el desarrollo del trabajo: ´optica geom´etrica, ´optica ondulatoria, difracci´ on, haces Gaussianos y ´ optica no lineal; la revisi´on de estos temas es indispensable para el entendimiento de los fen´omenos ´ opticos no lineales que ocurren dentro del medio ´optico. En el 2

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

cap´ıtulo 3 se analiza y desarrolla el modelo te´orico propuesto por J. P. Gordon [1], y se presenta el programa que se desarroll´ o en MatLab para la generaci´ on num´erica de los patrones de difracci´ on. En el cap´ıtulo 4, se muestran y discuten los resultados num´ericos y experimentales que se obtuvieron al analizar una muestra de aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo. Finalmente, en el cap´ıtulo 5, se presentan las conclusiones obtenidas al estudiar el efecto de lente t´ermica y los fen´omenos ´ opticos no lineales presentes en el medio.

3

Cap´ıtulo 2

Teor´ıa 2.1.

Sistemas ´ opticos

Las superficies reflectoras y refractaras representan un sistema ´optico y el m´as usado es la lente. Las lentes se remontan a los vidrios quemadores de la antig¨ uedad que se utilizaban para encender el fuego mucho antes de la existencia de los f´osforos. [7, 12] Una lente es un dispositivo refractor que reconfigura la distribuci´ on de la energ´ıa emitida. En la mayor´ıa de los casos, una lente tiene una o dos interfaces refractoras de las cuales por lo menos una est´ a curvada. Una lente que esta formada por dos superficies refractoras es conocida como lente simple. La presencia de m´as de una lente se convierte en una lente compuesta. Las lentes m´as usadas tienen simetr´ıa esf´erica alrededor de un eje com´ un (con diferentes o iguales radios de curvatura). Las lentes se puede clasificar por su espesor como: delgada y gruesa. Las lentes que son m´as gruesas en el centro que en los extremos se dice que son convexas, convergentes o positivas. Este tipo de lente obliga a un haz de luz incidente a converger, es decir, a curvarse un poco m´as hacia el eje central. Por el contrario, una lente c´ oncava, divergente o negativa es m´as delgada en el centro que en sus extremos y hace que un haz luz incidente diverja, es decir, este dispositivo aleja los rayos exteriores del eje central y al hacerlo a˜ nade divergencia al haz (ver figura 2.1).

Punto focal

Punto focal

a)

b)

Figura 2.1: a) Lente convexa. b) Lente c´ oncava. El punto hacia el cual converge un haz paralelo de rayos atravesando una lente convergente (o cuando atraviesa una lente divergente, el punto del cual pareciera que divergen) es conocido como punto focal de la lente. La distancia entre el punto focal y el primer v´ertice sobre el eje central es conocida como longitud focal o distancia focal f . 5

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.2. MATERIALES LIQUIDOS TRANSPARENTES

2.2.

Materiales l´ıquidos transparentes

Consideremos un material en donde no hay cargas el´ectricas libres o corrientes, es decir, donde ~ = 0, la densidad de carga y de corriente son tambi´en son cero, ρ = 0 y la magnetizaci´ on es M J~ = 0, respectivamente. Se define una densidad de flujo el´ectrico o tambi´en llamado vector de ~ = D(~ ~ r , t) como: desplazamiento el´ectrico D ~ + P~ , ~ = ǫ0 E D

(2.1)

~ = B(~ ~ r , t) como: y una densidad de flujo magn´etico B ~ = µH, ~ B

(2.2)

~ = donde P~ = P~ (~r, t) es la polarizaci´ on que se genera por la presencia de un campo el´ectrico E ~ r , t) en el material; ǫ0 la permitividad el´ectrica y µ0 la permeabilidad magn´etica en el vac´ıo. E(~ Para un material diel´ectrico, la polarizaci´ on es la suma macrosc´opica de los momentos dipolares ~ y P~ son funciones de la posici´on el´ectricos que el campo el´ectrico induce. Hay que notar que E ~r = (x, y, z) y tiempo t. Es de nuestro inter´es, analizar a materiales diel´ectricos que son l´ıquidos y transparentes que tienen las siguientes propiedades: Es lineal si hay una relaci´ on lineal entre el vector de polarizaci´ on P~ y el vector de campo ~ el´ectrico E. ~ y la polarizaci´ Es homog´eneo si la relaci´ on entre el campo el´ectrico E on P~ es independiente de la posici´on ~r. ~ y P~ es independiente de la direcci´ Es isotr´opico si la relaci´ on entre E on de propagaci´on de ~ E, ambos campos deber´ıan ser entonces paralelos. ~ y la polarizaci´ Es espacialmente no dispersivo si la relaci´on entre el campo el´ectrico E on P~ ~ ~ es local, es decir, P en cada posici´on ~r es influenciado solo por E en una misma posici´on . ~ y la polarizaci´ Como el campo el´ectrico E on P~ son paralelos y proporcionales, se tiene que: ~ P~ = ǫ0 χE,

(2.3)

donde χ es una constante escalar llamada susceptibilidad el´ectrica. Sustituyendo (2.3) en (2.1), se obtiene que: ~ = ǫE, ~ D (2.4) donde se define la permitividad el´ectrica del material como: ǫ = ǫ0 (1 + χ).

(2.5)

Considerando las ecuaciones (2.4) y (2.2), para un material diel´ectrico las ecuaciones de Maxwell son: ~ =0 ∇·D (2.6a) ~ =0 ∇·B

(2.6b)

~ ~ = −µ ∂ H ∇×E ∂t

(2.6c)

~ ~ = ∂D ∇×H ∂t

(2.6d)

6

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.2. MATERIALES LIQUIDOS TRANSPARENTES ~ = Aplicando el rotacional de la expresi´on (2.6c) y usando la relaci´on vectorial: ∇ × ∇ × A 2~ ~ ∇(∇ · A) − ∇ A, se tiene: ~ ~ − ∇2 E ~ = −µ ∂ (∇ × H), (2.7) ∇(∇ · E) ∂t Sustituyendo la ecuaci´ on (2.6d) en (2.7) y considerando que de la expresi´on (2.6a) se obtiene que ~ ∇ · E = 0, entonces la ecuaci´ on (2.7) se rescribe como: ~− ∇2 E

~ 1 ∂ 2E = 0, c2 ∂t2

(2.8)

donde c es la velocidad de la onda electromagn´etica en el material, dada por: 1 c= √ . ǫµ

(2.9)

La ecuaci´ on (2.8) es conocida como la ecuaci´ on de onda para el campo el´ectrico. Recordemos que el ~ = E(~ ~ r , t). Una soluci´on a la ecuaci´ campo el´ectrico tiene una dependencia espacial y temporal: E on de onda es: ~ r , t) = U (~r) exp(−iωt). E(~ (2.10) El t´ermino que expresa la fase temporal de la onda representa a una onda arm´onica. Generalmente, una onda arm´onica puede ser una funci´ on de seno o coseno, as´ı que solo nos ocuparemos del t´ermino espacial. Resolviendo la ecuaci´ on de onda, se obtiene: ∇2 U (~r) + k 2 U (~r) = 0,

(2.11)

donde k es el n´ umero de onda. Esta expresi´on es conocida como ecuaci´ on de Helmholtz. [7, 10, 9] Las ondas de luz son ondas electromagn´eticas y se presentan en una amplia gama de longitudes de onda λ0 y frecuencia ν0 (lo que conocemos como espectro electromagn´etico). En el vac´ıo, estas 1/2 onda viajan a la velocidad de la luz c0 = 1/(ǫ0 µ0 ) , pero en un material, como los diel´ectricos, la 1/2 velocidad de propagaci´on de la onda es c = 1/(ǫµ) . Por otro lado, el ´ındice de refracci´ on lineal de un medio se define como el cociente de la velocidad de propagaci´on de una onda electromagn´etica en el vac´ıo c0 y la velocidad de propagaci´on en el medio c: n=

2.2.1.

c0 c

(2.12)

Absorci´ on

En un material isotr´opico, homog´eneo y no conductor, como los materiales l´ıquidos transparentes, los electrones permanecen atados a los ´atomos y no hay una direcci´ on preferente de vibraci´on.

Figura 2.2: Modelo del Oscilador arm´onico. Cuando se aplica un campo el´ectrico sobre el material diel´ectrico los electrones oscilan dentro de sus niveles de energ´ıa y cada electr´on, de carga −e, se desplaza un distancia ~x a partir de su posici´on de equilibrio. La respuesta macrosc´opica de esta interacci´ on en el material es una polarizaci´ on P~ , dada por: P~ = −N e~x, (2.13) 7

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.2. MATERIALES LIQUIDOS TRANSPARENTES donde N es el numero de electrones por unidad de volumen; el t´ermino e~x se conoce como dipolo el´ectrico. Si el electr´on esta el´ asticamente atado a su posici´on de equilibrio con una fuerza constante ~ y a la fuerza restitutiva K, entonces la ecuaci´ on de fuerzas debida al campo el´ectrico F~e = −eE ~ Fr = K~x es: ~ = K~x. −eE (2.14) Despejando de la ecuaci´ on (2.14) el desplazamiento ~x y sustituy´endolo en (2.13), se tiene que la ~ polarizaci´ on P est´ atica es: N e2 ~ E. (2.15) P~ = K ~ esto es, que el campo varia con Si se considera que se aplica un campo el´ectrico no est´ atico E, el tiempo, entonces la expresi´on para la polarizaci´ on del material es incorrecta. Para encontrar la polarizaci´ on, se debe tomar en cuenta el movimiento actual de los electrones, es decir, se considerar´ a a los electrones atados al ´ atomo como un oscilador arm´onico amortiguado. Entonces la ecuaci´ on diferencial de movimiento para este sistema es: m

d~x d2 ~x ~ + mγ + K~x = −eE, dt2 dt

(2.16)

donde m es la masa del electr´on y Fd = mγd~x/dt representa una fuerza de amortiguamiento que es proporcional a la velocidad del electr´on. Proponemos que el campo el´ectrico y el desplazamiento ~ =E ~ 0 exp (−iωt) y ~x = ~x0 exp (−iωt). Resolviendo var´ıan arm´onicamente con el tiempo, as´ı que: E la ecuaci´ on (2.16), se obtiene que: ~ (−mω 2 − imωγ + K)~x = −eE.

(2.17)

Despejando el desplazamiento: ~x =

ω02

~ −eE/m , − ω 2 − iγω

(2.18)

p donde el t´ermino ω0 = K/m es la frecuencia angular del material en el vac´ıo y ω es la frecuencia angular del material cuando esta sometido al campo. Entonces la expresi´on para la polarizaci´ on dada por (2.13) es: N e2 /m ~ P~ = 2 E, (2.19) ω0 − ω 2 − iγω Sustituyendo las expresiones (2.18) y (2.19) en la ecuaci´ on de onda (2.8), se obtiene: ~ = ∇2 E

1 c20



1+

 2 ~  N e2 ∂ E 1 . mǫ0 ω02 − ω 2 − iγω ∂t2

(2.20)

Una posible soluci´on a esta ecuaci´ on es: ~ =E ~ 0 exp (iKz z − ωt), E

(2.21)

esta expresi´on representa una onda plana propag´ andose en direcci´ on z y es una soluci´on de la ecuaci´ on (2.20) si se cumple que:    N e2 1 ω2 . (2.22) Kz = 2 1 + c0 mǫ0 ω02 − ω 2 − iγω La constante Kz es un numero complejo que se puede separar en una parte real y una imaginaria: Kz = kz + iαE . 8

(2.23)

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ EIKONAL 2.3. ECUACION Entonces el campo el´ectrico dado en la ecuaci´ on (2.21) puede rescribirse como: ~ =E ~ 0 exp (−αE z) exp (ikz z − ωt), E

(2.24)

donde αE es el ´ındice de extinci´ on, este factor representa un decaimiento exponencial del campo el´ectrico E cuando se esta propagado una distancia z dentro del medio. La absorci´ on de energ´ıa es proporcional a |E|2 , quien gu´ıa a un decaimiento exponencial de la energ´ıa, que es proporcional a exp (−2αE z). Entonces |E|2 ser´a: ~ 2 = |E~0 |2 exp (−2αE z). |E|

(2.25)

Definimos entonces al coeficiente de absorci´ on como: α = 2αE .

(2.26)

~ 2, Este t´ermino tiene unidades de inverso de longitud [m−1 ]. Si la intensidad se define como I = |E| entonces la expresi´on (2.25) queda como: I = I0 exp (−αz),

(2.27)

~ 0 |2 y la intensidad final o transmitida donde la intensidad inicial o incidente sobre el medio es I0 = |E 2 ~ es I = |E| .

2.3.

Ecuaci´ on Eikonal

La ecuaci´ on de onda conduce a una expresi´on que describe una trayectoria en la direcci´ on normal a una superficie de la onda con fase constante, es decir, a los frentes de onda. La trayectoria normal es conocida como rayo y la ecuaci´ on que describe su movimiento se llama ecuaci´ on Eikonal. Consideremos una onda de luz linealmente polarizada propag´ andose en la direcci´ on z, que tiene una amplitud compleja dada por: E(~r) = A exp (ik0 S(~r)),

(2.28)

donde S(~r) es una funci´ on que describe a los frentes de onda, A es la amplitud constante de la onda y k0 = 2π/λ0 es el n´ umero de onda en el vac´ıo. La expresi´on (2.28) es una soluci´on a la ecuaci´ on de Helmholtz: [∇2 + k 2 ]E(~r) = 0, (2.29) donde k = 2π/λ es el n´ umero de onda para una onda de luz propagandose en un medio ´optico.

Figura 2.3: Los rayos siguen una trayectorias normal a las superficies de fase constante S(~r). 9

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.4. ECUACION DIFERENCIAL DE LOS RAYOS DE LUZ Derivando dos veces a la ecuaci´ on (2.28) respecto de las componente x, y, z y sustituyendo en la ecuaci´ on (2.29) se obtiene: # "  2   2 !  i 1  2 ∇ S k 2 E(~r) = 0. + + ∇ ln A · ∇S + 2 ∇ ln A + (∇ ln A) ∇S · ∇S − k0 2k0 2 k0 (2.30) En ´optica geom´etrica, un rayo se define como el limite cuando la longitud de onda tiende a ser cero, λ0 → 0; esto implica que, k0 → ∞. As´ı que la ecuaci´ on (2.30) se reduce a:  2 k |∇S|2 − = 0, (2.31) k0 donde el cociente k/k0 es el ´ındice de refracci´ on n del material, as´ı que: 2

|∇S| = n2 .

(2.32)

Finalmente, se obtiene que la expresi´on que describe a las trayectorias normales a las superficies de fase constante es: ∇S = n~s (2.33) donde ~s es un vector normal los frentes de onda y tangente al rayo de luz (ver figura 2.3). De esta manera, la funci´ on S = S(~r) describe a los frente de onda de fase constante y es conocida como Eikonal. Tambi´en, se ha mostrado que las trayectorias normales a estas superficies son descritas por el gradiente de la funci´ on S(~r), ecuaci´ on 2.33, y representa a la ecuaci´ on de movimiento de los rayos ´ opticos que es conocida como la ecuaci´ on Eikonal. [12]

2.4.

Ecuaci´ on diferencial de los rayos de luz

Sea p~(s) el vector de posici´on a partir de un punto fijo 0 a un punto p que se encuentra sobre la trayectoria del rayo, s es la longitud de arco del rayo y d~ p/dl = ~s es el cambio de direcci´ on del vector de posici´on respecto de la trayectoria (o vector unitario tangente al rayo), ver figura 2.4. As´ı que la ecuaci´ on de movimiento de los rayos (2.33) puede rescribirse como: ∇S = n

d~ p . dl

(2.34)

Figura 2.4: Rayos en un medio con simetr´ıa esf´erica. Derivando a la ecuaci´ on (2.34) respecto de la longitud de arco del rayo s, se obtiene que:   d~ p d n = ∇n; (2.35) dl dl esta ultima expresi´on es la forma vectorial de la ecuaci´ on diferencial de los rayos de luz y predice que es posible hallar una expresi´on que defina a los frentes de onda si conocemos el ´ındice de 10

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ ´ ´ 2.5. INTERACCION ENTRE LA RADIACION ELECTROMAGNETICA Y LA MATERIA refracci´ on del material y viceversa. Si el material no es homog´eneo (n 6= constante) los rayos se doblaran hacia las zonas de m´aximo cambio de fase. Consideremos un rayo propag´ andose dentro de un medio que tiene simetr´ıa cil´ındrica, es decir, donde el ´ındice de refracci´ on solo depende de la distancia radial r a partir de un punto fijo 0 (ver fig. 2.4): n = n(r). (2.36) En el caso m´as general, consideremos el vector de curvatura de un rayo definido por: ~ = d~s = 1 ~a, K dl R

(2.37)

donde la magnitud 1/R es el reciproco del radio de curvatura y ~a es un vector que apunta hacia el centro de la curvatura del rayo siendo ortogonal al vector ~s. De la ecuaci´ on (2.35) se obtiene que: ∇n =

dn dˆ s sˆ + n . dl dl

(2.38)

Despejando d~s/dl y sustituyendo en (2.37), encontramos que: ~ = 1 ∇n − 1 dn sˆ. K n n dl

(2.39)

Como los vectores ~s y ~a son ortogonales, se obtiene que la curvatura que describe la trayectoria que seguir´a un rayo dentro de un medio con simetr´ıa cil´ındrica estar´ a dada por: 1 ~ = [∇ ln n] · ~a (2.40) K = R

El radio de curvatura R es una cantidad positiva; esto implica que a medida que avancemos a lo largo de la normal principal el ´ındice de refracci´ on aumentar´ a, es decir, el rayo se curva hacia la regi´on de mayor ´ındice de refracci´ on, ver figura 2.5.

Figura 2.5: Curvatura de un rayo en un material no homog´eneo.

2.5.

Interacci´ on entre la radiaci´ on electromagn´ etica y la materia

El l´ aser es un dispositivo que genera o amplifica radiaci´ on coherente a diferentes frecuencias del espectro electromagn´etico. Originalmente se hab´ıa inventado un dispositivo para la amplificaci´on de microondas por emisi´ on estimulada, llamado m´ aser. Cuando se extendi´o a frecuencias ´opticas esto naturalmente lleg´ o a ser luz amplificada por la emisi´on estimulada de radiaci´ on, lo que conocemos como l´ aser. El principio b´ asico del l´aser y el m´aser se ha usado en una enorme variedad de dispositivos. En particular, se emplean una extraordinaria variedad de materiales en los cuales se observan y se encuentran fen´omenos interesantes que tienen aplicaciones cient´ıficas y tecnol´ ogicas. 11

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ ´ ´ 2.5. INTERACCION ENTRE LA RADIACION ELECTROMAGNETICA Y LA MATERIA

2.5.1.

Haz Gaussiano

El haz Gaussiano es un caso muy interesante en el estudio de los l´aseres, puesto que aparece com´ unmente en sistemas ´ opticos. La propagaci´on de un haz Gaussiano a trav´es de un sistema ´optico es de gran importancia, tanto para el dise˜ no como para sus aplicaciones de fuentes de l´aser. El haz Gaussiano es una soluci´on de la ecuaci´ on de Helmholtz (2.11). Consideremos que la onda se propaga en la direcci´ on z positivo y se encuentra sobre un plano transversal a esta direcci´ on. Matem´ aticamente la expresi´on que define a la amplitud compleja de un haz Gaussiano es:     r2 r2 W0 exp −ikz − ik exp − 2 + iζ(z) , (2.41) E0 (r, z) = A0 W (z) W (z) 2R(z) donde A0 es una constante que se determina a partir de las condiciones de frontera y los par´ ametros que describen a un haz Gaussiano son el radio de la cintura W0 , el radio del haz W (z) en una posici´on z, el radio de curvatura R(z), la fase de Gouy relativa a una onda plana y la divergencia θ0 ; este ultimo describe la extensi´ on del haz a campo lejano. 1/2  λz0 (2.42a) W0 = π "  2 #1/2 z W (z) = W0 1 + (2.42b) z0   z 2  0 (2.42c) R(z) = z 1 + z z ζ(z) = tan−1 (2.42d) z0 λ θ0 = , (2.42e) πW0 donde z0 es un par´ ametro importante que caracteriza a un haz Gausiano conocido como la distancia o rango de Rayleigh (ver figura 2.6) y se define de la siguiente manera: z0 =

πW02 . λ

(2.43)

2 w0

w0 0

2z0 Figura 2.6: Distancia o rango de Rayleigh de un haz Gausiano. Intensidad La intensidad ´ optica I(r, z) = |E0 (r, z)|2 es una funci´ on que depende de la distancia axial z y radial transversal al eje de propagaci´on del haz: r = (x2 + y 2 )1/2 , 2  I0 W0 = , (2.44) I(0, z) = I0 W (z) 1 + (z/z0 )2 12

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ ´ ´ 2.5. INTERACCION ENTRE LA RADIACION ELECTROMAGNETICA Y LA MATERIA donde I0 = |A0 |2 . Para cualquier posici´on sobre el eje z positivo, la intensidad es una funci´ on Gaussiana respecto de la distancia radial r. La funci´ on Gaussiana tiene su cima en r = 0 (sobre el eje) y cae uniformemente conforme r incrementa (ver figura 2.7). [9] y

y

y

x I I

I I

0

1

I I

0

1

0

w

0

x

x

r

1

0

a)

0

w

0

r

b)

0

w

0

r

c)

Figura 2.7: La intensidad del haz normalizada I/I0 como una funci´ on de la distancia radial r en diferentes distancias axiales: a) z = 0; b) z = z0 ; c) z = 2z0 . La potencia total ´ optica que lleva el haz en una posici´on z es la integral de la intensidad ´optica sobre el plano transversal: Z ∞ P = I(r, z)2πrdr. (2.45) 0

Integrando, obtenemos que: P =

1 I0 (πW02 ). 2

(2.46)

Frecuentemente los detectores miden la potencia del haz. Ahora expresamos a I0 en t´erminos de P usando la ecuaci´ on (2.45), entonces la intensidad ´optica total del haz es: I(r, z) =

2.5.2.

  2P 2r2 . exp − πW 2 (z) W 2 (z)

(2.47)

Haz Gaussiano a trav´ es de componentes ´ opticos

Un haz Gaussiano, ecuaci´ on (2.41), con un radio en su cintura de W0 se transmite a trav´es de una lente delgada de longitud focal f que se coloca a una distancia z (ver figura 2.8). La fase de la onda Gaussiana incidente en el plano de la lente es: kz + kr2 /2R − ζ, donde W = W (z), R = R(z) y ζ = ζ(z) son dadas por las ecuaciones (2.42). Cuando el haz se transmite a trav´es de la lente, su amplitud compleja se multiplica por un factor de fase: exp (ikr2 /2f ); entonces la fase del haz Gaussiano transmitido es: kz + k

r2 r2 r2 −k − ζ = kz + k ′ − ζ, 2R 2f 2R

(2.48)

donde 1 1 1 = − . ′ R R f 13

(2.49)

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.6. DIFRACCION

Figura 2.8: Trasmisi´ on de un haz Gaussiano a trav´es una lente. La onda que se transmite es el mismo haz Gausiano (tienen la misma frecuencia) con ancho W ′ = W y radio de curvatura R′ . Los par´ ametros que describen a un haz Gaussiano que emerge despu´es de que se ha propagado por la lente delgada (ver figura 2.8) son: W0′ = M W0

(2.50a)

(z ′ − f ) = M 2 (z − f )

(2.50b)

2

2z0′

= M 2z0 2θ0 2θ0′ = M Mr , M= 2 )1/2 (1 + rm

donde

z0 , z−f f =| |. (z − f )

rm = M rm

(2.50c) (2.50d) (2.50e) (2.51a) (2.51b)

El factor de amplificaci´on M juega un papel importante. La cintura del haz W0′ es amplificada por M , la profundidad de foco 2z0′ y la localizaci´on de la cintura (z ′ − f ) del haz son amplificados por M 2 , y la divergencia angular 2θ0′ es amplificada por un factor 1/M .

2.6.

Difracci´ on

En 1678, Christian Huygens postul´ o que cada punto sobre un frente de onda de luz puede ser tratado como fuentes de ondas secundarias esf´ericas. La posici´on y forma de la onda en un tiempo despu´es describe la envolvente de las ondas secundarias. El concepto de Huygens se introdujo en forma matem´atica por Augustin Fresnel en 1818. Fresnel predijo la existencia de los patrones de difracci´ on, que despu´es se verificaron experimentalmente. Este trabajo permiti´ o la aceptaci´ on de la teor´ıa ondulatoria de la luz sobre la teor´ıa corpuscular. M´ as adelante, la descripci´on matem´atica fue perfeccionada por Kirchoff, Rayleigh and Sommerfield.[15] Usando el principio de Huygens, en un primer plano x1 y1 , las ondas esf´ericas secundarias son descritas por exp(ikr). En un segundo plano x2 y2 , el efecto total es la superposici´on de las ondas a partir de todos los puntos en el primer plano, siendo proporcional a: ZZ U1 (x1 , y1 ) exp(ikr)dx1 dy1 , (2.52) donde U1 (x1 , y1 ) denota la amplitud y fase de la onda radiada a partir del punto (x1 , y1 ), y la constante de proporcionalidad puede ser resuelta con: 1/iλz. As´ı que el campo total en el plano x2 y2 es: ZZ 1 U1 (x1 , y1 ) exp(ikr)dx1 dy1 . (2.53) U2 (x2 , y2 ) = iλz 14

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.6. DIFRACCION y1

y2 x1

x2

z

( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2

r

x12 + y12

x22 + y22

z

Figura 2.9: Relaci´on entre las coordenadas y las distancias entre un punto sobre el plano x1 y1 y un punto sobre el plano x2 y2 . De acuerdo a la figura 2.9, la magnitud de r es:  1/2 (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 r =z 1+ . z2

(2.54)

Aplicando la expansi´ on binomial, se obtiene que r ser´a:

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 , (2.55) r∼ =z+ 2z donde los t´erminos de m´as alto orden se pueden despreciar si la regi´on de inter´es se restringe a ser tal que: z ≫ |x1 − x2 |, z ≫ |y1 − y2 |. (2.56)

Sustituyendo la ecuaci´ on (2.55) en (2.53), se obtiene que la expresi´on de la onda en el plano x2 y2 despues de propagarse una distancia z esta dada por:    ZZ 1 (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 U2 (x2 , y2 ) = exp(ikz) U1 (x1 , y1 ) exp ik dx1 dy1 (2.57) iλz 2z

La ecuaci´ on (2.57) relaciona la onda en el plano x2 y2 con la onda en el plano x1 y1 . Es conocida como: formula de difracci´ on para ´ angulos peque˜ nos. Considerando que k = 2π/λ, est´ a ecuaci´ on se puede rescribirse como: U2 (x2 , y2 ) =

1 exp(ikz) exp iλz

ik

x22 + y22 2z

! ZZ

U1 (x1 , y1 ) exp

ik

x21 + y12 2z

!

exp

  x1 x2 + y1 y2 dx1 dy1 −i2π λz

(2.58)

El t´ermino exponencial que contiene a x2 y y2 est´ an fuera de la integral porque no dependen de las variables de integraci´ on. A continuaci´on, se analizar´an las diferentes regiones donde la la ecuaci´ on (2.58) tiene soluci´on.

2.6.1.

Regi´ on de Fresnel

De la ecuaci´ on (2.58), si el t´ermino U1 (x1 , y1 ) es diferente de cero sobre alguna peque˜ na regi´on, entonces x21 y y12 pueden ser peque˜ nos en comparaci´ on a λz, y el t´ermino:   x2 + y12 (2.59) exp iπ 1 λz

se puede despreciar. Si este no es el caso, podr´ıa ocurrir que: U1 tenga una extensi´ on larga o z tenga un valor peque˜ no, entonces el plano x2 y2 se considera como la regi´on de Fresnel de las distribuci´ on U1 . Entonces, la regi´ on de Fresnel esta definida donde z es suficientemente grande respecto a la extensi´ on de U1 y U2 , as´ı los t´erminos de alto orden de la expresi´on (2.55) se pueden despreciar; pero donde λz es suficientemente peque˜ no respecto de la extensi´ on de U1 , el t´ermino (2.59) ya no puede ser despreciado. 15

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.7. OPTICA NO LINEAL

2.6.2.

Regi´ on de Fraunhofer

Para despreciar al t´ermino (2.59), es m´as f´acil delimitar a U1 por una apertura. Los limites sobre el tama˜ no de la apertura dan una forma directa de comparar los valores m´aximos de x21 y x22 con λz. Aun as´ı, el t´ermino de la exponencial no es despreciable. En la integral (2.58) se muestra que el t´ermino (2.59) es despreciable si su cambio de fase es despreciable sobre un rango de valores diferentes de cero de U1 . Se asume que esto se cumplir´ a si el cambio de fase sobre el rango de integraci´ on es mucho menor a 1 radian. Si el valor m´aximo de x21 + y12 es (d/2)2 , donde d es la dimensi´ on lineal de la extensi´ on m´axima de U1 , la restricci´on de la fase gu´ıa a: πd2 k(d/2)2 = ≪1 2z 4λz

(2.60)

o expresado de otra forma:

d2 (2.61) λ donde la proporci´ on π/4 es tomada a ser 1. El criterio es que cambio de fase permitido es mucho menor que un medio de radian, esto nos lleva a: z≫

z≫

2d2 . λ

(2.62)

En cualquiera que sea el caso, la regi´ on en la cual el t´ermino (2.59) puede despreciarse se le llama: regi´ on de Fraunhofer o campo lejano. La distribuci´ on de Fraunhofer esta dada por: U2 (x2 , y2 ) =

  ZZ h  x 1 x2 + y22 y2 i 2 dx1 dy1 U1 (x1 , y1 ) exp −i2π x1 exp(ikz) exp ik 2 + y1 iλz 2z λz λz

o U2 (x2 , y2 ) =

   x2 y2  x2 + y22 1 F exp(ikz) exp ik 2 , iλz 2z λz λz

(2.63)

(2.64)

x y  2 2 donde F es la transformada de Fourier de U1 (x1 , y1 ). Esta expresi´on muestra que el , λz λz patr´on de difracci´ on en la regi´ on de Fraunhofer esta dado por la transformada de Fourier de la distribuci´ on U1 (x1 , y1 ) en el primer plano.

2.7.

´ Optica no lineal

En la ´optica, la respuesta de un material a la luz como la reflexi´on, la refracci´ on y la transmisi´on, son consideradas propiedades intr´ınsecas del material, las cuales no dependen de las caracter´ısticas de la luz. Despu´es de la invenci´on de los l´aseres, ha sido posible estudiar fen´omenos donde la interacci´ on entre la luz y la materia es muy fuerte; esto ocasiona que las propiedades del material se modifiquen y afecten la propagaci´on de la luz. Consecuentemente, a veces es posible visualizar nuevos fen´omenos ´ opticos que no pueden ser descritos con la ´optica tradicional sino m´as bien con una rama moderna de la ´ optica llamada ´ optica no lineal. En ´optica no lineal, la presencia de un campo ´optico modifica las propiedades del material que a su vez modifica el campo ´ optico, es decir, cuando luz coherente de alta intensidad se propaga en un medio ´optico se observa que: 1. El ´ındice de refracci´ on del medio ´ optico cambia con la intensidad de la luz. 2. El principio de superposici´on se viola. 3. La frecuencia de la luz al transmitirse en un medio ´optico cambia y podr´ıa observarse estos fen´omenos: generaci´ on de segundo o tercer arm´onico, suma o diferencia de frecuencias. 16

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.7. OPTICA NO LINEAL 4. La luz puede controlar luz, es decir, que los fotones interact´ uan con fotones a trav´es del material. Consideremos que el medio ´ optico no lineal se trata de un material homog´eneo, isotr´opico y no conductor, entonces las expresiones que describir´ an su comportamiento son las ecuaciones de Maxwell dadas por (2.6). La respuesta del material a un campo electromagn´etico se explica a partir ~ r , t), descrita de la relaci´ on entre el vector de polarizaci´ on P~ (~r, t) y el vector de campo el´ectrico E(~ por el vector de desplazamiento diel´ectrico: ~ + P~ , ~ = ǫ0 E D

(2.65)

La polarizaci´ on es proporcional al campo el´ectrico y es una fuente de radiaci´ on que nos da informaci´ on de como reacciona el material cuando se le aplica una energ´ıa. Para campos el´ectricos ~ y P~ es lineal. Si |E| ~ adquiere valores comparables al campo el´ectrico d´ebiles la relaci´ on entre E 5 8 interat´ omico ( 10 a 10 V/m), la relaci´on se hace no lineal. Al interactuar la luz con el material, los ´atomos entraran en resonancia; si la fuerza el´astica restitutiva es lineal, es posible representar a los ´atomos usando el modelo del oscilador arm´onico simple; sin embargo, si la fuerza restitutiva es una funci´ on no lineal del desplazamiento desde el punto de equilibrio, la polarizaci´ on ser´a una funci´ on no lineal del campo el´ectrico. Como la respuesta del material es no lineal, el sistema estar´ a descrito por el modelo del oscilador anharm´onico. Para ~ r , t) y P~ (~r, t) son paralelos respecto de la posici´on y del tiempo este tipo de material, los vectores E(~ (ver secci´ on 2.2); esto permite examinar al material en una sola direcci´ on, es decir, nos fijaremos ~ = E y |P~ | = P . en |E| Consideremos un material donde su polarizaci´ on P (t) depende fuertemente del campo el´ectrico aplicado E(t). En la ´ optica convencional, la polarizaci´ on inducida depende linealmente con el campo el´ectrico: P (t) = ǫ0 χ(1) E(t) (2.66) donde la constante de proporcionalidad χ(1) es conocida como la susceptibilidad y ǫ0 es la permitividad en el espacio libre. En la ´optica no lineal, la respuesta ´optica puede frecuentemente ser descrita generalizando la ecuaci´ on (2.66), esto es expresando a la polarizaci´ on P (t) como una serie de potencias del campo el´ectrico E(t) como: P (t) = ǫ0 χ(1) E(t) + ǫ0 χ(2) E 2 (t) + ǫ0 χ(3) E 3 (t) + . . .

(2.67)

donde las cantidades χ(2) y χ(3) son las susceptibilidades ´opticas no lineales a segundo y tercer orden, respectivamente. El primer t´ermino es la polarizaci´ on lineal PL y los t´erminos de orden mayor forman la polarizaci´ on no lineal PN L . De esta manera, la polarizaci´ on total se puede expresar como la suma de la polarizaci´ on lineal PL y la polarizaci´ on no lineal PN L del material: P = PL + PN L .

(2.68)

Dependiendo de las caracter´ısticas del material y la amplitud del campo ser´a el orden de la respuesta ´ optica no lineal. Por ejemplo, algunos materiales que son homog´eneos, anisotr´ opicos, no magn´eticos y no conductores, como los cristales, tienen una no linealidad de segundo orden; en este caso el efecto a tercer orden es d´ebil y se considera despreciable. Sin embargo, existen otros materiales donde la no linealidad a tercer orden predomina y a segundo orden se desprecia, tal es el caso de los materiales centrosim´etricos. Por lo regular, estos u ´ltimos son materiales l´ıquidos, como el aceite. [8, 11, 14] Los fen´omenos ´ opticos no lineales pueden ocurrir sin que se generen ondas con frecuencia diferente a la onda que incide en el material, pero el comportamiento no lineal se hace presente como un cambio autoinducido en las caracter´ısticas de propagaci´on de una onda viajando a trav´es del material. De acuerdo a la expresi´on (2.67), estos fen´omenos u ´nicamente pueden ser causados por una no linealidad a tercer orden (o t´erminos impares de alto orden), los cuales a trav´es del triple 17

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.7. OPTICA NO LINEAL producto del campo puede dar como resultado una polarizaci´ on no lineal en la misma frecuencia o vector de onda que el haz incidente en el material. Para que esto ocurra, se deben cumplir las condiciones de acoplamiento de fase espacial y temporal dadas por (ver figura 2.10): ω4 = ω1 + ω2 − ω3 = ω + ω − ω.

k

(2.69)

k

-k

k (nueva onda)

Figura 2.10: Condici´ on de fase para un efecto auto inducido.

2.7.1.

´Indice de refracci´ on

En un medi´ o´ optico no lineal, la propagaci´on de la luz depende de su ´ındice de refracci´ on y este puede representarse como: n = n0 + δn(I) (2.70) donde n0 es el ´ındice de refracci´ on lineal y δn(I) es el ´ındice de refracci´ on no lineal que depende de la intensidad de la luz y determina la respuesta no lineal del medio. Algunos de los procesos f´ısicos que producen un cambio no lineal en el ´ındice de refracci´ on est´ an enlistados en la tabla 2.1 y es de nuestro inter´es estudiar los efectos t´ermicos. [14] Respuesta ´ optica no lineal Polarizaci´ on electr´onica Orientaci´on molecular Electrostricci´on Absorci´ on de saturaci´on at´omica Efectos t´ermicos Efectos fotorrefractivos

n2 (cm2 /W ) 10−16 10−14 10−14 10−10 10−6 -

χ(3) (m2 /V 2 ) 10−22 10−20 10−20 10−16 10−12 -

Tiempo de Respuesta (seg) 10−15 10−12 10−9 10−8 10−3 (depende de la intensidad)

Tabla 2.1: Valores t´ıpicos del ´ındice de refracci´ on no lineal ´ Indice de refracci´ on t´ ermico Los procesos t´ermicos que surgen por la interacci´ on de luz y la materia pueden guiarnos a efectos ´opticos no lineales. El origen de los efectos ´opticos t´ermicos no lineales es debido a que una peque˜ na fracci´ on de la intensidad de un haz de luz se absorbe al pasar a trav´es del material. Consecuentemente, la temperatura incrementa en la porci´on iluminada, lo que implicar´ a un cambio en el ´ındice de refracci´ on del material.[14] El ´ındice de refracci´ on del material puede aumentar o disminuir con el cambio en la temperatura; esto depender´a de la estructura interna del material. Matem´ aticamente, los efectos ´opticos t´ermicos no lineales se describen asumiendo que el ´ındice de refracci´ on n, que depende de la posici´ on transversal r y del tiempo t, varia con la temperatura T ; as´ı que el ´ındice de refracci´ on no lineal esta dado por: dn δT (I), (2.71) δn(I) = dT donde dn/dT es una propiedad intr´ınseca del material y δT es la variaci´on de temperatura inducida. Es dif´ıcil encontrar una relaci´ on exacta entre la parte no lineal del ´ındice de refracci´ on debido a efectos t´ermicos y la intensidad de luz incidente. En realidad, los par´ ametros experimentales que 18

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.7. OPTICA NO LINEAL se relacionan a la geometr´ıa del sistema (ancho de la celda, tama˜ no del spot del haz, conductividad t´ermica del sustrato) determinan la din´amica del intercambio de calor entre el material y el haz de luz incidente. Para esto, bajo las condiciones de estado estable, es posible obtener una primera aproximaci´on de la expresi´on a partir de la ecuaci´ on de conductividad del calor, expresada de la siguiente manera: ∂T = −αI, (2.72) κ∇2 T − ρcv ∂t donde αI es el calor dado al material por unidad de tiempo y unidad de volumen, κ es la conductividad t´ermica, ρ es la densidad de masa, cv es el calor espec´ıfico a volumen constante y α es el coeficiente de absorci´ on lineal del material. La ecuaci´ on (2.72) puede rescribirse como: D∇2 T −

∂T α I, =− ∂t ρcv

(2.73)

donde D es el coeficiente de difusi´ on t´ermico definido por: D=

κ . ρcv

(2.74)

Note que los efectos ´ opticos no lineales con respuesta t´ermica son no locales, ya que, el cambio en el ´ındice de refracci´ on en alg´ un punto dado tambi´en depende de contribuci´on de la intensidad del haz de otros puntos cercanos a ´el. [8] Autoenfocamiento y Autodesenfocamiento Se pueden observar efectos ´ opticos no lineales generados cuando un haz de luz intenso modifica las propiedades de un material. La respuesta de la interacci´ on puede inducir un autoenfocamiento o autodesenfocamiento del haz a la salida del medio debido a un cambio en el ´ındice de refracci´ on no lineal, ya sea, positivo (δn > 0) o negativo (δn < 0), respectivamente. Estas no linealidades ocasionan que el medio ´ optico tenga un comportamiento similar a una lente, conocida como lente no lineal. Consideremos un haz de luz con un perfil de intensidad Gaussiano que se propaga dentro de un material, con un ´ındice de refracci´ on n expresado por la ecuaci´ on (2.70): n = n0 + δn(I).

(2.75)

Si δn es positivo, la parte central del haz tiene una alta intensidad que hacia los bordes del haz; por esta raz´ on, en el centro el ´ındice de refracci´ on es m´as grande (y la velocidad de la luz es menor) que hacia el exterior del haz, form´andose as´ı, el efecto de una lente positiva. Este autoenfocamiento de un haz es el resultado de que el frente de onda del haz se distorsiona cuando atraviesa un medio no lineal. Por otro lado, el autodesenfocamiento puede ocurrir si δn es negativo, ya que, la distorsi´on del frente de onda es ahora opuesto al caso de autoenfocamiento y se observa el efecto de una lente negativa. El autodesenfocamiento a partir de un efecto t´ermico inducido por un l´aser es tambi´en conocido como desenfocamiento t´ermico y es resultado de que en el material se forma el efecto de una lente conocida com´ unmente como lente t´ermica. Un medio ´optico no lineal actuar´ a como una lente divergente, delgada o gruesa, dependiendo si la absorci´ on del medio es d´ebil o fuerte. Este efecto puede ser detectado midiendo la variaci´on en el di´ametro del haz proyectado sobre una pantalla a campo lejano.[8, 14] Automodulaci´ on espacial de fase La automodulaci´ on de fase es otra consecuencia de que el ´ındice de refracci´ on varia con la intensidad incidente en el material. De hecho, la variaci´on del ´ındice de refracci´ on no solo produce 19

CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA ´ 2.7. OPTICA NO LINEAL un autoenfocamiento o autodesenfocamiento en el haz trasmitido, sino tambi´en induce cambios en el camino ´optico de la luz en cada punto sobre el haz. La automodulaci´ on de fase es la distorsi´on del frente de onda de un haz que entra a un medio ´optico no lineal. Puede describirse a este efecto como un fen´omeno de difracci´ on de la luz. Consideremos un haz l´aser Gaussiano viajando en la direcci´ on z, que tiene una intensidad en z = 0 dada por:   2r2 . (2.76) I(r) = I0 exp − 2 W (z) Esta distribuci´ on de intensidad da origen a una distribuci´ on transversal Gaussiana del ´ındice de refracci´ on no lineal del material de la forma:   2r2 δn(r, z) = δn(z) exp − 2 . (2.77) W (z) En consecuencia, la fase no lineal de la onda estar´ a dada por:   2r2 φN L (r) = φ0 exp − 2 W (z)

(2.78)

que significa que el frente de onda sufre un cambio de fase que depender´a de la coordenada transversal r. Antes de que un haz gaussiano entre a un medio ´optico no lineal, su frente de onda justo en su cintura corresponde a una onda plana y conforme se propaga su frente de onda se va curvando (ver secci´ on 2.5.1). A la salida de medio ´ optico, la fase del haz gaussino se modifica debido a un cambio en el ´ındice de refracci´ on del material por la interacci´ on con la luz. Como consecuencia, el perfil del frente de onda ser´a similar al perfil de intensidad de la luz incidente, es nuestro caso es un perfil Guassiano, ver figura 2.11.

Figura 2.11: Perfil gaussiano del cambio de fase no lineal debido a un cambio del ´ındice de refracci´ on por efectos ´optico-t´ermicos cuando un haz gaussiano se propaga en un material no lineal. Bajo estas restricciones, el efecto no lineal de automodulaci´ on de fase puede observarse como un conjunto de anillos conc´etricos. Esto es porque hay dos valores diferentes de r (r1 y r2 ) que corresponde a dos valores de φN L que tienen la misma pendiente y consecuentemente el mismo vector de propagaci´on ~k1 = ~k2 . Esto significa que estos dos puntos del frente de onda viajan en la misma direcci´ on y pueden interferir. 20

Cap´ıtulo 3

Modelo de lente t´ ermica 3.1.

Modelo te´ orico de lente t´ ermica

En 1965, Gordon y colaboradores [1], fueron los primeros en reportar la existencia del efecto de una lente en materiales l´ıquidos. Observaron otros fen´omenos interesantes en celdas que conten´ıan materiales l´ıquidos de componentes org´ anicos colocadas dentro de un resonador de un l´aser de HeNe con una longitud de onda de 632 nm, estos se atribuyeron a efectos t´ermicos; estos fen´omenos son: el aumento y decaimiento de los transientes, cambio de modos, oscilaci´on de relajaci´ on y cambios en el tama˜ no de los spots del haz en los espejos. En la figura 3.1, se esquematiza el arreglo experimental que usaron para detectar dichos fen´omenos. La celda (LC) que contiene al material l´ıquido, de 1 cm de espesor, es colocada entre el tubo que conten´ıa la mezcla de He-Ne (LD) y uno de los dos espejos del l´aser (M1) y ajustada al ´angulo de Brewster para maximizar la potencia del l´aser. PM1

M1 I1

A m

LC

S

LD

I2

M2

M0

OSC OSC PM2

Figura 3.1: Esquema del arreglo experimental de Gordon Se dieron cuenta que si la celda se remov´ıa del resonador, los spots del haz proyectados sobre los espejos (M1 y M2) ten´ıan el mismo tama˜ no; pero si la celda era colocada nuevamente el tama˜ no entre los spot era diferente. Esto sostuvo la idea que el fen´omeno que se observaba era el efecto de una lente. Pudo estimarse, a partir de longitudes de trayectoria y tama˜ nos de los spots, que la celda actuaba como una lente divergente con una distancia focal aproximadamente igual a la de los espejos, 1 m. Este fen´omeno se adjudic´o a la absorci´ on de la luz por el material y lo denominaron lente t´ermica. Gordon cre´ıa que el efecto de lente se produc´ıa por un cambio en la constante diel´ectrica. Tambi´en supon´ıa que se hab´ıa un calentamiento a partir de la absorci´ on de la luz roja en el material contenido en la celda. Matem´ aticamente para describir dicho efecto, Gordon y colaboradores propusieron un modelo para estudiar el fen´omeno de lente t´ermica donde la muestra es colocada en la cintura del haz l´aser que tiene una distribuci´ on de intensidad gaussiana, transversal al eje del haz. Ellos esperaban que el ´ındice de refracci´ on del material tuviera el mismo comportamiento gaussiano; sin embargo, en su modelo consideraron un perfil de cambio parab´olico del ´ındice de refracci´ on con el radio transversal 21

´ CAP´ ITULO 3. MODELO DE LENTE TERMICA ´ ´ 3.1. MODELO TEORICO DE LENTE TERMICA r, respecto del eje del haz. En una primera aproximaci´on, se tiene que el ´ındice de refracci´ on es: # " 2  r , (3.1) n = n0 1 + δ W0 donde n0 es el ´ındice de refracci´ on lineal, W0 es el radio de la cintura del haz y δ es el cambio fraccional del ´ındice de refracci´ on a partir del eje ´optico hacia los borde del haz.

Figura 3.2: Modelo te´orico de J. P. Gordon y colaboradores En la figura 3.2 se muestra el esquema del modelo de Gordon, en el cual se considera un s´olo rayo paralelo al eje del haz entrando al material de longitud L. Cuando el rayo se propaga en el material (ver secci´ on 2.4), seguir´a una trayectoria circular dada por:   1 dn 1 = −ˆ a · ∇ ln(n) = , (3.2) R n dr donde a ˆ es el vector unitario en direcci´ on radial. Derivando respecto de la componente radial r a la ecuaci´ on (3.1), se obtiene que la curvatura del haz ser´a: 2δr 1 = − 2. R W0

(3.3)

De acuerdo a la geometr´ıa del modelo (ver figura 3.2), se tiene que: sin θ = tan θ =

L , R

(3.4a)

r . −F

(3.4b)

En aproximaci´on paraxial, se obtiene que la longitud focal F de la lente t´ermica generada en el medio ´optico es:   2 rR 1 W0 r =− , (3.5) F ≃ ≃ θ L 2δ L 22

´ CAP´ ITULO 3. MODELO DE LENTE TERMICA ´ ´ 3.1. MODELO TEORICO DE LENTE TERMICA Debido a que el material absorbe parte de la energ´ıa de la luz incidente, en la regi´on iluminada se produce un calentamiento generando cambios en la temperatura del material. Ya que el perfil de intensidad del haz es gaussiano, la temperatura tendr´a el mismo perfil; en el material, esto ocasiona que la temperatura sobre el eje del haz sea mayor que en los bordes. Como resultado del cambio en la temperatura, δT (r, t), se induce un ´ındice de refracci´ on que depende de la posici´on radial r y del tiempo t, expresado por: dn δT (r, t), (3.6) n(r, t) = n0 + dT donde dn/dT es el cambio del ´ındice de refracci´ on con la temperatura y el producto (dn/dT )δT (r, t) es el ´ındice de refracci´ on no lineal del material debido a efectos t´ermicos (ver secci´ on 2.7.1). Resolviendo la ecuaci´ on de conductividad t´ermica (2.73) se obtiene que:    2    0.06αP 8Dt r 16Dt δT (r, t) = ln 1 + − , 2 2 πk W0 W0 + 8Dt W02

(3.7)

donde α es el coeficiente de absorci´ on, P es la potencia de la luz incidente al material y D es el coeficiente de difusi´ on t´ermico dado por: D=

k , ρcp

(3.8)

κ es la conductividad t´ermica, ρ es la densidad de masa y cp es el calor especifico del material. Sustituyendo la ecuaci´ on (3.7) en (3.6), se obtiene que el ´ındice de refracci´ on para fen´omenos ´opticos generados por efectos t´ermicos sobre el material es:    2    8Dt r 0.06αP 16Dt ln 1 + − n(r, t) = 2 2 πk W0 W0 + 8Dt W02

(3.9)

Como el cambio del ´ındice de refracci´ on con la temperatura dn/dT es aproximadamente del orden de 10−5 , el t´ermino con el logaritmo natural es despreciable [1-5]. Comparando las ecuaciones (3.1) y (3.9), se obtiene que:   8Dt 0.12αP dn . (3.10) δ=− πkn0 dT W02 + 8Dt Sustituyendo esta u ´ltima expresi´on en (3.5), se encuentra que la expresi´on para la ecuaci´ on de la lente t´ermica o tambi´en llamada longitud focal de la lente t´ermica es: πkn0 W02 F (t) = 0.24Pabs (dn/dT )

  tc 1+ , 2t

(3.11)

donde Pabs = αLP es la potencia absorbida por el material y tc = W02 /4D es el tiempo al cual se alcanza el equilibrio, es decir, es tiempo que tarda en formarse la lente. De esta manera, la longitud focal de la lente t´ermica en equilibrio ser´a: F∞ =

πkn0 W02 0.24Pabs (dn/dT )

(3.12)

El modelo te´orico de J. P. Gordon y colaboradores [1] hace un an´alisis de la trayectoria de los rayos en un material absorbente posicionado justo en la cintura del haz con radio W0 y con un ´ındice de refracci´ on que depende de la posici´on y del tiempo. Es necesario conocer el ´ındice de refracci´ on para obtener el cambio de fase no lineal de un haz Gausiano al propagarse en un material isotr´opico, homog´eneo y centrosim´etrico. 23

´ CAP´ ITULO 3. MODELO DE LENTE TERMICA ´ ´ 3.1. MODELO TEORICO DE LENTE TERMICA

3.1.1.

Perfil de cambio de fase de una lente t´ ermica

Consideremos un haz Gaussiano con una cintura W0 y longitud de onda λ, su distancia de Rayleigh es z0 = πW02 /λ. El haz se propaga en direcci´ on del eje ´optico (eje z positivo) con una amplitud de campo compleja dada por:     r2 r2 W0 exp −ikz − ik exp − + iζ(z) , (3.13) E0 (r, z) = A0 W (z) W (z)2 2R(z) donde A0 es una constante y k = 2π/λ es el n´ umero de onda; W (z), R(z) y ζ(z) son el ancho del haz, el radio de curvatura y la fase de Gouy relativa a una onda plana, respectivamente, dadas por las ecuaciones (2.42). En la secci´ on 2.7, se explica que los efectos ´opticos no lineales autoinducidos que se observan cuando un haz Gaussiano se propaga en un medio isotr´opico, homog´eneo y centrosim´etrico (como el aceite) se determinan a parir de una polarizaci´ on no lineal a tercer orden, ya que, por el triple producto del campo el´ectrico puede obtenerse a la salida del medio una onda a la misma frecuencia y vector de onda que la incidente. Por esta raz´ on, el campo el´ectrico de haz transmitido estar´ a dado de la siguiente manera: E(r, z) = E0 (r, z) exp(−iφN L (r)), (3.14) donde φN L (r) es el perfil de cambio de fase no lineal que depende del radio transversal del haz r, dado por: φN L (r) = φ0 exp (−kG(r)) ; (3.15) el t´ermino G(r) es la diferencia de camino ´ optico, para un material de espesor L a partir del centro r = 0 a r: Z r n(r, t)dr

G(r) = L

(3.16)

0

donde el ´ındice de refracci´ on n(r, t) para un medio ´optico no lineal es descrito por la ecuaci´ on (3.6). Si consideramos que el material puede ser colocado en cualquier posici´on cercana a la cintura del haz sobre el eje z donde el ancho del spot es W (z), el ´ındice de refracci´ on estar´ a expresado como:    2    0.06αP dn 8Dt r 16Dt n(r, t) = n0 + ln 1 + − ; (3.17) 2 2 πk dT W W + 8Dt W 2 Entonces la diferencia de camino ´ optico ser´a: Pabs G(r) = −0.06 πκ



dn dT



16D 

2

W + 8D t



r2 . W2

(3.18)

La lente t´ermica llega a un estado de equilibrio despu´es de que ha transcurrido un tiempo critico tc = w02 /4D; as´ı que para tiempos muy grandes, cuando t → ∞, la ecuaci´ on anterior queda como:   2 r Pabs dn G(r) = −0.12 . (3.19) πκ dT W 2 As´ı que la expresi´on para la fase autoinducida por efectos ´optico-t´ermicos no lineales es:   2 r Pabs dn kG(r) = −(0.12)k . πκ dT W 2

(3.20)

donde k = 2π/λ es el n´ umero de onda. Por lo tanto, el perfil de cambio de fase no lineal ser´a:   2   r Pabs dn . (3.21) φN L (r) = φ0 exp − 0.12 k πκ dT W 2 24

´ CAP´ ITULO 3. MODELO DE LENTE TERMICA ´ ´ 3.2. MODELO NUMERICO DE LA LENTE TERMICA Sustituyendo esta expresi´on en la ecuaci´ on (3.14), el campo el´ectrico a la salida de un medio ´optico no lineal estar´ a dado por:   2    r Pabs dn . (3.22) E(r, z) = E0 (r, z) exp −iφ0 exp − 0.12 k πκ dT W 2

Figura 3.3: Distorci´ on del frente de onda de un haz gaussiano a la salida del medio ´optico no lineal debido un cambio del ´ındice de refraccion por efectos ´optico-t´ermicos. De la expresi´on (3.21) se puede notar que el perfil cambio de fase no lineal inducida por efectos t´ermicos en el material es una funci´ on gaussiana respecto de la posici´on radial del haz r, ver figura 3.2. Sobre el eje ´ optico del haz (r = 0), se tiene un cambio de fase m´aximo de la onda [φ0 ]max . Si [φ0 ]max es mayor a 2π, entonces la distribuci´ on de intensidad del haz a la salida del medio deber´ıa mostrar cimas o valles resultado de la interferencia constructiva o destructiva de la luz por presencia del medio ´ optico no lineal. Este fen´omeno com´ unmente, aparece en forma de anillos, que se pueden observar al ser proyectados sobre una pantalla (ver secci´ on 2.7.1). [11, 8]

3.2.

Modelo num´ erico de la lente t´ ermica

El estudio del efecto de lente t´ermica en un medio ´optico no lineal se hace por la propagaci´on a campo lejano de un haz l´aser que pasa a trav´es de un material colocado en regiones cercanas a la cintura del haz, pudiendo observar un patr´on de difracci´ on. Para analizar num´ericamente el efecto de lente t´ermica, se ha hecho un programa en MatLab para simular dichos patrones. A continuaci´on, se describir´ an las consideraciones hechas en el programa. Parte 1: Se establecen el rango de valores de la variable independiente que se analizar´an y se hace un cambio de coordenadas cartesianas a polares. Parte 2: Se definen los par´ ametros del haz de luz Gaussiano que incide en el medio ´optico como: el radio de la cintura W0 , la distancia de Rayleigh z0 , el ancho W (z), el radio de curvatura R(z) y a potencia P . Parte 3: Es necesario definir algunas propiedades f´ısico-qu´ımicas del medio ´optico que se analiza, que en nuestro caso ser´a aceite de ricino. Este material tiene una conductividad t´ermica de κ = 1.8 mW/K cm [26, 27]. Se especifican par´ ametros como: la potencia ´optica incidente, grosor de la muestra y el coeficiente de absorci´ on del aceite de ricino para las longitudes de onda de 488 y 514 nm. Tambi´en se considera el cambio del ´ındice de refracci´ on con la temperatura dn/dT el cual cambia en base al an´alisis que se har´ a.

25

´ CAP´ ITULO 3. MODELO DE LENTE TERMICA ´ ´ 3.2. MODELO NUMERICO DE LA LENTE TERMICA Parte 4: Se describe la fase no lineal y la expresi´on para el campo el´ectrico del haz transmitido por el medio ´ optico, ecuaci´ on (3.22). Tambi´en se hace el calculo de la transformada de Fourier (ver secci´ on 2.6). Parte 5: Se calcula la intensidad del patr´on de difracci´ on elevando al cuadrado al campo el´ectrico transmitido y se grafican los resultados.

Simulaci´ on de los patrones de difracci´ on de una lente t´ ermica.

26

Cap´ıtulo 4

Desarrollo experimental y discusi´ on de resultados 4.1.

Caracter´ısticas de la muestra l´ıquida

El medio ´ optico no lineal que se va a estudiar es el aceite de ricino. Al aceite se le agrega un colorante para aumentar su absorci´ on de luz, se agita y por u ´ltimo se filtra para evitar que haya part´ıculas grandes del colorante en el aceite. El colorante es rojo de metilo; este no se disuelve en aceite sino que peque˜ nas part´ıculas del colorante se quedan suspendidas en el aceite de tal forma que a escala macrosc´opica la distribuci´ on es homog´enea, ver figura 4.1 (a).

a)

b)

Figura 4.1: a) Aceite de Ricino con colorante Rojo de Metilo. b) Celda de vidrio con paredes paralelas de 5 mm de grosor.

Finalmente, el aceite con el colorante se deposita en una celda de vidrio con paredes paralelas de 5 mm de espesor, ver figura 4.1 (b). 27

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ DEL COEFICIENTE DE ABSORCION ´ 4.2. MEDICION

4.2.

Medici´ on del coeficiente de absorci´ on

El efecto de lente t´ermica es atribuido a la absorci´ on de una porci´on de la energ´ıa de luz incidente en el material, lo que incrementa su temperatura local. El material ha analizar es aceite de ricino (o tambi´en conocido como aceite de castor), el cual es dopado con colorante rojo de metilo para aumentar su absorci´ on de luz en las longitudes de onda de 488 nm y 514 nm. Para medir el coeficiente de absorci´ on del aceite de ricino dopado con colorante de metilo, se usa el siguiente arreglo experimental (ver figura 4.2):

Figura 4.2: Arreglo experimental para medir el coeficiente de absorci´ on Se utiliza un l´aser de iones de Arg´ on de emisi´on continua (Modu-Laser, Stellar-Pro-Select), el cual ya ha sido caracterizado en el laboratorio de fot´onica de la FCFM, BUAP. Emite en una longitud de onda de 488 nm, con una potencia ´optica m´axima de 45 mW , tiene una cintura de W0 = 280 µm y su distancia de Rayleigh es de z0 = 50.5 cm. Tambi´en emite a una longitud de onda de 514 nm. La celda que contiene al material es de vidrio y de 5 mm de espesor; es colocada entre el l´aser y un medidor de potencia (S120B, Thorlabs), con un rango espectral de 400 a 1100 nm. Como sabemos la intensidad luminosa esta definida como: I = I0 exp(−αL),

(4.1)

donde I0 es la intensidad que incide en el material, I es la intensidad que se transmite, α es el coeficiente de absorci´ on y L es el espesor del material. Por otro lado, la intensidad luminosa y la potencia ´optica se relacionan de la siguiente manera: I = P/A donde A es el ´area. Para un material de 5 mm de espesor se obtuvieron los siguientes coeficientes de absorci´ on para las longitudes de onda de 488 nm y 514 nm, mostrados en la tabla 4.1. λ (nm) 488 514

P0 (mW ) 14.04 16.33

P (mW ) 7.38 12.32

L (cm) 0.5 0.5

α (cm−1 ) 1.283 0.563

Tabla 4.1: Coeficientes de absorci´on del aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo para las longitudes de onda de 488 nm y 514 nm.

4.3.

Arreglo experimental para el an´ alisis de la lente t´ ermica

Para analizar experimentalmente la formaci´ on de la lente t´ermica en una muestra de aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo se utiliza el siguiente arreglo experimental (ver figura 4.3): Una lente biconvexa, con una longitud focal de 5 cm, es colocada a una distancia de z = 22.cm del l´aser de iones de Arg´ on. La lente hace converger al haz l´aser a una distancia de z ′ = 5.2 cm, form´andose una nueva cintura W0′ = 25 µm y distancia de Rayleigh z0′ = 0.4 cm. El aceite de ricino 28

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS es contenido en una celda de vidrio de 5 mm de espesor y es colocada en diferentes posiciones (sobre el eje del haz) cercanas a la cintura del haz. Despu´es de que el haz de luz incide sobre el material, el haz de luz transmitido se propaga a campo lejano (aproximadamente una distancia de 150 cm a partir de la celda). El haz que se propaga es proyectado sobre una pantalla para observar el patr´on de difracci´ on que se genera. Las im´ agenes de los patrones de difracci´ on son obtenidas con una c´ amara digital (Sony) colocada a una distancia de 30 cm frente la pantalla sobre un costado del haz. Los resultados se obtuvieron variando la posici´on de la celda que contiene al material y variando la potencia ´ optica del l´aser. La potencia es medida con un detector colocado entre el l´aser y la lente biconvexa.

Pantalla Celda

Lente Láser

z w0

z’

z’0 w’0

Figura 4.3: Arreglo experimental para obtener los patrones de difracci´ on de una lente t´ermica.

4.4.

Resultados experimentales y num´ ericos

A continuaci´on se presentan los patrones de difracci´ on experimentales y num´ericos obtenidos por la presencia del efecto de lente t´ermica que se forman cuando un haz de luz de distribuci´ on de intensidad gaussiana incide en aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo contenido en una celda de 5 mm de espesor. Se analizan estos resultados en diferentes dependencias caracter´ısticas como: potencia ´ optica P0 , longitud de onda λ y posici´on del medio ´optico sobre el eje z. Los patrones de difracci´ on se obtuvieron para una longitud de onda del l´aser de 488 nm; a esta longitud corresponde un coeficiente de absorci´ on del material de 1.238 cm−1 (ver secci´ on 4.2).

4.4.1.

Dependencia con la longitud de onda λ

En la figura 4.4, se muestran los patrones de difracci´ on obtenidos para las longitudes de onda de 488 nm y 514 nm. Se comparan ambos resultados aplicando potencias ´opticas similares y la posici´on de la muestra de aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo es fija para estos resultados, z = 0. Se obtuvo que el coeficiente de absorci´ on aplicando una longitud de onda de 488 nm es igual a 1.283 cm−1 y al aplicar la longitud de onda de 514 nm es α = 0.563 cm−1 (ver secci´ on 4.2). Debido a que se midi´ o el coeficiente de absorci´ on, se deduce que a 488 nm el material absorbe mayor cantidad de energ´ıa de luz incidente que a 514 nm. Por otro lado, los resultados obtenidos experimentalmente del efecto no lineal de lente t´ermica confirman que ser´a mucho m´as intenso aplicando una longitud de onda de 488 nm. A una potencia ´optica de 25 mW , el numero de anillos es mayor para 488 nm. Todo esto es evidencia clara de que el proceso no lineal que ocurren en el material es t´ermico y que depende de la cantidad de luz que se absorbe. 29

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS 488 nm

514 nm

a) 25 mW

b) 25 mW

c) 38.6 mW

d) 40 mW

e) 44 mW

f) 45 mW

Figura 4.4: Patrones de difracci´on vs. longitud de onda λ. Resultados experimentales aplicando potencias opticas similares y z = z0 . Para λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y para λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 . ´

30

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS

4.4.2.

Dependencia con la posici´ on de la celda z

Ahora se presentan los patrones de difracci´ on experimentales obtenidos al variar la posici´on de la celda z; se varia hasta tres distancias de Rayleigh z0 antes y despu´es de la cintura del haz gaussiano. En los patrones mostrados en la figura 4.5 se aplica una potencia ´optica de 19 mW y los que se muestran en la figura 4.6, la potencia es de 38 mW . La longitud de onda que se usa es de 488 nm

Figura 4.5: Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 488 nm, P0 = 19 mW y α = 1.283 cm−1

Figura 4.6: Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 488 nm, P0 = 38 mW y α = 1.283 cm−1

En ambos resultados, se observa un crecimiento del patr´on de difracci´ on resultado de un autodesenfocamiento del haz l´aser conforme se mueve la celda hacia distancias de Rayleigh positivas. Por otro lado, se observa que si la potencia ´optica aumenta entonces el numero de anillos incrementa como consecuencia de que el efecto de lente t´ermica depende de la potencia absorbida por el material. Adem´as hay una transici´on de un centro brillante a un centro obscuro. En esta dependencia, tambi´en se presentan los resultados experimentales aplicando una longitud de onda de 514 nm. En los patrones de difracci´ on de la figura 4.7 el haz l´aser incidente tiene una potencia ´ optica de 30 mW y en los patrones de la figura 4.8 se tiene una potencia de 51mW . 31

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS

Figura 4.7: Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 514 nm, P0 = 30 mW y α = 0.563 cm−1

Figura 4.8: Patrones de difracci´on vs. posici´on de la muestra z0 . λ = 514 nm, P0 = 51 mW y α = 0.563 cm−1

Al igual que el caso anterior, se observa un crecimiento del patr´on a medida de que el material avanza a distancias de Rayleigh positivas y una transici´on de un centro brillante a un centro obscuro como resultado del efecto de automodulaci´ on de fase. En ambos casos, el crecimiento del patr´on con la posici´on de la muestra indica que en el haz ha ocurrido un autodesenfocamiento por lo cual la presencia del efecto de lente, negativa o divergente, es evidente.

4.4.3.

Dependencia con la potencia ´ optica P0

En las figuras 4.9, 4.10 y 4.11 se muestran los patrones para diferentes posiciones de la celda: z0 , 0 y −z0 , respectivamente. En cada resultado, la potencia ´optica varia en un rango de 12 mW a 44 mW . Las im´ agenes de los patrones de difracci´ on de color azul son los resultados experimentales; los patrones de color blanco son los resultados num´ericos. Se observa una gran similitud entre los patrones de difracci´ on experimentales y num´ericos los cuales fueron obtenidos ajustando algunos par´ ametros en el programa como: posici´on de la celda z, la raz´ on de cambio del ´ındice de refracci´ on con temperatura dn/dT y la amplitud del cambio de fase no lineal φ0 . En la tabla 4.2 se presentan los valores de estos par´ ametros en base al cambio de potencia ´optica. 32

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS

Figura 4.9: Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (azules) y num´ericos (blancos). z = z0 , λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y L = 5 mm.

Figura 4.10: Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (azules) y num´ericos (blancos). z = 0, λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y L = 5 mm.

33

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS Al fijar la potencia ´ optica y variar la posici´on de la celda, corresponder´a un cambio de ´ındice de refracci´ on con la temperatura fijo; esto se debe a que el efecto de lente t´ermica depende de la intensidad luminosa incidente, la cual permanece fija.

Figura 4.11: Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (azules) y num´ericos (blancos). z = −z0 , λ = 488 nm, α = 1.283 cm−1 y L = 5 mm.

Figura 4.12: Dependencia de la amplitud de cambio de fase no lineal φ0 con la potencia ´optica P0 , usando una longitud de onda de 488 nm 34

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS Se observa que si potencia ´ optica incrementa el cambio de ´ındice de refracci´ on con la temperatura dn/dT aumenta, debido a que el material absorbe mayor cantidad de energ´ıa luminosa. La amplitud de cambio de fase no lineal es mayor a 2π e incrementa con la potencia ´optica. En la gr´afica de la figura 4.12, claramente se observa una relaci´on lineal entre la potencia ´optica incidente P0 con la amplitud de cambio de fase no lineal φ0 . Tambi´en, se observa que el n´ umero de anillos incrementa al aumentar la potencia ´optica; siendo el ultimo anillo el m´as brillante. Debido a este incremento de potencia, el efecto no lineal de lente t´ermica ser´a m´as notorio.

Valores de dn/dT y φ0 para diferentes potencias ´ opticas P0 P0 (mW ) 12 19 25 32 38 44

dn/dT (K −1 ) −4.60 × 10−5 −2.70 × 10−5 −1.80 × 10−5 −1.60 × 10−5 −1.17 × 10−5 −0.75 × 10−5

φ0 (rad) 3π 5π 8π 10π 14π 16π

Tabla 4.2: Valores de num´ericos de dn/dT y φ0 para diferentes potencias ´opticas P0 incidentes en aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo. Datos obtenidos para λ = 488 nm, z = z0 , 0 , −z0 . Ahora se muestran los patrones de difracci´ on para una longitud de onda de l´aser igual a 514 nm. A esta longitud de onda, el material tiene un coeficiente de absorci´on de 0.563 cm−1 (ver secci´ on 4.2). El rango de potencias ´ opticas es de 25 mW a 51 mW . En las figuras 4.13, 4.14 y 4.15 se observan los resultados experimentales y num´ericos para tres posiciones de la muestra z0 , 0 y −z0 , respectivamente.

Figura 4.13: Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (verdes) y num´ericos (blancos). z = z0 , λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 y L = 5 mm.

35

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS

Figura 4.14: Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (verdes) y num´ericos (blancos). z = 0, λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 y L = 5 mm.

Figura 4.15: Patrones de difracci´on vs. potencia ´optica P0 . Resultados experimentales (verdes) y num´ericos (blancos). z = −z0 , λ = 514 nm, α = 0.563 cm−1 y L = 5 mm.

36

´ DE CAP´ ITULO 4. DESARROLLO EXPERIMENTAL Y DISCUSION RESULTADOS ´ 4.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Y NUMERICOS Al igual que para una longitud de onda 488 nm, a 514 nm se observa que el n´ umero de anillos incrementa si la potencia ´optica aumenta; esto significa que el efecto no lineal de lente t´ermica depende fuertemente de la intensidad luminosa incidente. En la gr´afica de la figura 4.16, claramente se observa una relaci´ on lineal entre la potencia ´optica incidente P0 con la amplitud de cambio de fase no lineal φ0 . En la tabla 4.3 se presentan los valores num´ericos del cambio del ´ındice de refracci´ on con la temperatura dn/dT y la amplitud del cambio de fase no lineal φ0 a esta longitud de onda.

Valores de dn/dT y φ0 para diferentes potencias ´ opticas P0 P0 (mW ) 25 30 35 40 45 51

dn/dT (K −1 ) −3.6 × 10−5 −2.96 × 10−5 −2.70 × 10−5 −2.61 × 10−5 −2.40 × 10−5 −2.20 × 10−5

φ0 (rad) 4π 5π 6π 7π 8π 10π

Tabla 4.3: Valores de num´ericos de dn/dT y φ0 para diferentes potencias ´opticas P0 incidentes en aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo. Datos obtenidos para λ = 514 nm, z = z0 , 0 , −z0 .

Figura 4.16: Dependencia de la amplitud de cambio de fase no lineal φ0 con la potencia ´optica P0 , usando una longitud de onda de 514 nm Como se puede notar, el an´alisis num´erico de los patrones de difracci´ on obtenidos experimentalmente para ambas longitudes de onda, 488 nm y 514 nm, arrojan que el efecto no lineal de lente t´ermica tiene un cambio de ´ındice de refracci´ on con la temperatura del orden de 10−5 . Se obtuvo que la amplitud del cambio de fase no lineal es mayor a 2π. Puede notarse tambi´en que en cada caso el ultimo anillo es el m´as brillante.

37

Cap´ıtulo 5

Conclusiones En base al modelo te´orico de lente t´ermica de J. P. Gordon y colaboradores [1] se encuentra del ´ındice de refracci´ on de un material con efectos ´optico-t´ermicos. Pudo probarse que el aceite de ricino es un medio no lineal en el cual ocurren procesos t´ermicos. Se midi´ o el coeficiente de absorci´ on del aceite de ricino dopado con colorante rojo de metilo y se encontr´ o que es mucho m´as absorbente a una longitud de onda de 488 nm que a 514 nm. Se demostr´ o que los efectos presentes en el aceite de ricino son generados por procesos t´ermicos en el material. La interacci´ on entre un haz de luz l´aser, que tiene una distribuci´ on de intensidad Gaussina, y un medio ´ optico no lineal da como resultado la formaci´ on de una lente debida a los procesos t´ermicos, ya que por la absorci´ on de la energ´ıa de la luz hay un cambio en la temperatura del material; esto ocasiona que ocurra un gradiente en la densidad local del material siendo el material menos denso en el centro (donde la luz viaja m´as r´apido) que hacia los bordes. Estos procesos dar´ an como resultado un cambio en el ´ındice de refracci´ on que depende de la temperatura. Para una adecuada descripci´ on del efecto de lente es necesario considerar tambi´en un cambio de fase. En el modelo num´erico se hace esta consideraci´on y es posible obtener la reproducci´on num´erica de los patrones de difracci´ on experimentales. El an´alisis num´erico de los patrones de difracci´ on para una lente t´ermica arroja que el cambio del ´ındice de refracci´ on con la temperatura es del orden de 10−5 K−1 y la amplitud de cambio de fase de no lineal es mayor a 2π. Fue posible observar un autodesenfocamiento del haz transmitido a campo lejano, lo que demuestra que la lente que se forma es divergente. La generaci´ on de los patrones de difracci´ on es consecuencia de un efecto de automodulaci´ on de fase presente en el medio ´ optico al interactuar con la luz.

39

Bibliograf´ıa [1] J. P. Gordon, R. C. C. Leite, R. S. Moore, S. P. S. Porto, and J. R. Whinnery; “Long transient effects in lasers with inserted liquid samples”; J. Appl. Phys. 36, 3-8 (1965). [2] C. Hu and J. R. Whinnery; “New Thermooptical Measurement Method and a Comparison with Other Methods”; Appl. Opt. 12, 72-79; 1973. [3] S. J. Sheldon, L. V. Knight, and J. M. Thorne; “Laser-induced thermal lens effect: a new theoretical model”; Appl. Opt. 21, 1663-1669; 1982. [4] Carter C. A. and Harris J. M. “Comparison of models describing the thermal lens effect”, Appl. Opt. 23, 476-81; 1984. [5] J¨ urgensen F. and Schr¨oer W.; “Studies on the diffraction image of a thermal lens”; Appl. Opt. 34, 41-50; 1995. [6] Sheik-Bahae M, Said A A, Wei T H, Hagan D J and Van Stryland; Sensitive measurement of optical nonlinearities using a single beam; IEEE J. Quantum Electron, 26 760?9; 1990. [7] E. Hecht; Optics, Addison Wesley; ed. 4th; 2002. [8] Francesco Simoni; Nonlinear optical properties of liquid crystals; World Scientific, Vol. 2; 1997. [9] Saleh,Teich; Fundamentals of Photonics; John Wiley and Sons, Inc, 1944. [10] M. Born and E. Wolf; Principles of Optics; Pergamon; New York; 1965. [11] Y. R. Shen; Principles Of Nonlinear Optics; John Wiley and Sons, Inc. Edition 2003. [12] R. Guenther; Modern Optics; John Wiley and Sons, Inc; 1990. [13] W. Silfvast; Laser fundamentals; Cambridge University Press; Second Edition, 1996. [14] Robert W. Boyd; Nonlinear Optics; The Institute of Optics University of Rochester, New York; Academic press, second edition; 2003. [15] W. Thomas Cathey; Optical Infotmation Processing and Holography; John Wiley and Sons; New York, 1974. [16] R. C. C. Leite, R. S. Moore, and J. R. Whinnery; “Low absorption measurement by mean of the thermal lens effect using a He-Ne laser”; Appl. Phys. Lett. 5, 141-143; 1964. [17] Garc´ıa Ram´ırez E. V., Arroyo Carrasco M. L., Mendez Otero M. M., Chavez Cerda S. and Iturbe Castillo M. D.; “Far field intensity distributions due to spatial self phase modulation of a Gaussian beam by a thin nonlocal nonlinear media”; Opt. Express 18, 22067-79; 2010. [18] Deng L., He K., Zhou T. and Li C.; “Formation and evolution of far-field diffraction patterns of divergent and convergent Gaussian beams passing through self-focusing and self-defocusing media”; J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 7, 409-15; 2005. 41

BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´IA [19] Garc´ıa Ram´ırez E. V., Arroyo Carrasco M. L., Mendez Otero M. M., Reynoso Lara E., Chavez Cerda S. and Iturbe Castillo M. D.; “Z-scan and spatial self-phase modulation of a Gaussian beam in a thin nonlocal nonlinear media”; J. Opt. 13, 085203, 2011. [20] W. R. Callen, B. G. Huth, and R. H. Pantell; “Optical patterns of thermally self-defocused light”; Appl. Phys. Lett. 11(3), 103-105; 1967. [21] F. W. Dabby, T. K. Gustafson, J. R. Whinnery, and Y. Kohanzadeh; “Thermally self-induced phase modulation of laser beam”; Appl. Phys. Lett. 16(9), 362-365; 1970. [22] L. Lucchetti, S. Suchand, and F. Simoni; “Fine structure in spatial self-phase modulation patterns: at a glance determination of the sign of optical nonlinearity in highly nonlinear films”; J. Opt. A, Pure Appl. Opt. 11(3), 034002; 2009. [23] R. C. C. Leite, S. P. S. Porto, and T. C. Damen; “The thermal lens effect as a power-limiting device”; Appl. Phys. Lett. 10(3), 100-101; 1967. [24] Skvortsov Leonid; “Light-Induced Absorption in Materials Studied by Photothermal Methods”; Recent Patents on Engineering 2009, 3, 129-145. [25] L. C. Malacarne, N. G. C. Astrath, A. N. Medina, L. S. Herculano, M. L. Baesso, P. R. B. Pedreira, J. Shen, Q. Wen, K. H. Michaelian, and C. Fairbridge; “Soret effect and photochemical reaction in liquids with laser-induced local heating”; Opt. Express 19(5) 4047, (2011) [26] Aceite de Ricino; Castor Oil No. 1; Gustav Heess; Oleochemische Erzengnisse I seit 1897. [27] IARC Monographs; Evaluation of the caicinogenic risk of chemicals to humans; International agency for research on cancer; volume 39.

42