Teoria De Erros - Ufmt Modificada

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE FÍSICA GRUPO DE ENSINO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I TEORIA DE ERROS E TEORIA DOS DESVIOS Apresentaremos neste capítulo alguns conceitos básicos sobre teoria de erros. Um dos objetivos é que após a leitura do texto o aluno tenha condições de apresentar uma medida, feita a partir de um instrumento de medição ou obtido através de um experimento onde se calcula o valor a ser medida, com a imprecisão derivada de erros de medidas ou da própria imprecisão do instrumento de medida. OS ERROS E/OU DESVIOS PODEM SER CLASSIFICADOS EM: •

ERROS GROSSEIROS: São erros típicos de quem não sabe medir; derivam da falta de prática e/ou cuidado. Exemplo: uso correto do instrumento (medir a distância entre dois pontos fazendo com que a extremidade da régua coincida com um dos pontos quando o zero da escala não coincida com a extremidade inicial da régua); erro de paralaxe (a leitura da posição do ponteiro em uma escala sem ter cuidado de fazer a visada perpendicularmente ao plano da escala). Podem ser eliminados pela prática ou treino.

•

ERROS SISTEMÁTICOS: Caracterizam-se por ocorrerem sempre num mesmo sentido e conservarem em medições sucessivas o mesmo valor. Estão relacionados a equipamentos incorretamente ajustados e/ou calibrados, ao uso de um procedimento incorreto pelo examinador ou uma falha conceitual. Está ligado ao conceito de exatidão. Ex.: atraso ou adiantamento ao acionar o cronômetro por deficiência de visão. Podem ser controlados e/ou corrigidos (escolher o método para compensar o erro sistemático instrumento, etc.)

•

ERROS ESTATÍSTICOS, ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS: São aqueles causados por variações incontroláveis e aleatórios dos instrumentos de media e/ou condições externas. “Decorrem de várias causas, conhecidas ou não, que se superpõem de maneira imprevisível e não guardam uma relação determinada com uma ou mais condições de observação, são devidos a causas temporárias, que variam ao longo de sucessivas observações e que fogem a uma análise devido a sua imprevisibilidade”. Exemplo: o zero da balança pode variar durante uma ou mais operações em virtude de uma incontrolável variação da temperatura no recinto; variações das condições ambientais (pressão, temperatura, etc...). Não podem ser controlados porque são imprevisíveis. A estes dados daremos um tratamento especial (estatístico) com a finalidade de minimizá-los: Teoria dos Erros.

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I. TEORIA DE ERROS PARA UMA ÚNICA MEDIDA Quando fizemos uma medida, qualquer que seja, como por exemplo medir o comprimento de um dado objeto, levamos em consideração todos os algarismos significativos que sejam possíveis obter através do nosso instrumento de medida. 1. ERRO ABSOLUTO (eabs): Se o fabricante fornecer uma medida do objeto o qual estamos medindo, o erro absoluto é a diferença entre o nosso valor medido e o valor fornecido pelo fabricante. EXEMPLO 1: Considerando que o objeto é fornecido com um diâmetro de φ = 34,45 mm e ao medirmos com um paquímetro obtemos φ = 34,48 mm. O erro absoluto neste caso é. eabs = 0,03 mm. Em muitos casos calcula-se o erro absoluto, quando através de um experimento procura-se determinar alguma constante de interesse, como por exemplo, o calor específico de sólidos, calor latente de uma substância, coeficiente de dilatação, constante de Boltzmann, etc. 2. ERRO RELATIVO E ERRO RELATIVO PERCENTUAL (er e er%). O erro relativo é quando se quer saber se o erro (absoluto) é grande e ou pequeno em relação a medida a qual fizemos. Como o nome já diz o erro é determinado em relação (relativo) a medida que fizemos. Se denominarmos de x a medida, a qual fizemos, xR a medida suposta real, ou exata (aquela fornecida pelo fabricante). Temos:

eabs = x − xr

(1)

Para o erro relativo:

er =

eabs xR

(2)

eabs 100 xR

(3)

E o erro relativo percentual:

er % =

Portanto com esta pequena abordagem sobre erro, já é possível exprimirmos as medidas feitas com o seu erro aproximado.

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EXEMPLO 2: Para exprimirmos a medida feita no exemplo 1, temos: x = 34,48 mm xR = 34,45 mm eabs. = 0,03 mm er = 0,00087 er% = 0,087% ou 0,09% E a medida com o erro, escreve-se: x = (34,48± 0,03)mm ou x = 34,48 mm ± 0,0009 ou x = 34,48 mm ± 0,09%. Podemos observar que há três maneiras diferentes de apresentar as medidas feitas. Salientamos que as três maneiras estão corretas, sendo que a mais usualmente apresentada é a última apresentada acima, ou seja, onde aparece o erro relativo percentual. II. TEORIA DE ERROS PARA UM CONJUNTO DE MEDIDAS Em geral, quando em um experimento resulta uma medida de alguma grandeza, o procedimento correto é repetir o experimento de modo a obter diversas vezes a mesma medida, não que a medida vá dar sempre o mesmo valor (este é um fato experimental notório). Portanto teremos no final um conjunto de medidas da mesma grandeza, que, quase sempre terão valores com pequenas diferenças. Este conjunto de medidas denominaremos por (x1, x2, x3, x4, ........, xn), neste conjunto foram feitas n medidas de uma grandeza. 1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Como o próprio título sugere, a pretensão aqui é a determinação e a cálculo de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar.

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()

1.1. VALOR MÉDIO DE UMA MEDIDA x

O melhor valor das medidas feitas será dado pelo valor médio desta medidas. O valor médio de uma medida é dado pela média aritmética dos valores medidos, ou seja:

x=

x1 + x 2 + x n + ......x n n

(4)

1 i =n ∑ xi n i =1

(5)

ou

x=

Portanto o valor mais exato das medidas feitas é dado pelo

x

que é calculado a partir

da equação (4). Quanto os valores de xi estão agrupados com suas respectivas freqüências absolutas Fi a média aritmética ou média amostral é expressa por:

1 i =n x = ∑ xi .Fi n i =1

(6)

1.2. MEDIANA Colocados em ordem crescente, mediana é o valor que divide a amostra, ou população, em duas partes iguais. 1.3. MODA Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor mais freqüente da distribuição. Para distribuições simples (sem agrupamentos em classes), a identificação da Moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior freqüência. 2. MEDIDAS DE DISPERSSÃO São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade da dispersão, dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. Sejam as séries: (a) 20, 20, 20

(b) 15, 10, 20, 25, 30

Tem-se: X a  20 e X b  20 Observe: apesar de as séries terem médias iguais, a série a não apresenta dispersão em torno da média: X a  20 , enquanto os valores da série b apresentam dispersão em torno da

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média: X b  20 . 2.1. DESVIO DE UMA MEDIDA (d): O desvio a partir do valor médio é o erro de cada medida feita em relação ao valor médio. Portanto para cada medida feita existe um desvio, ou seja, teremos um conjunto de desvios dado por: (d1, d2, d3, d4, ..........., dn). Ou seja: d1  x1  x d 2  x2  x d 3  x3  x d n  xn  x

(7)

2.2. VARIÂNCIA AMOSTRAL Como se deseja medir a dispersão dos dados em relação à média, é interessante analisar os desvios de cada valor (xi) em relação á média X , isto é: di   xi  X  . Se os di forem baixos, teremos pouca dispersão, ao contrário, se os desvios forem altos, teremos elevada dispersão. É fácil constatar que a soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é  di  0 . Para o cálculo da variância consideram-se os quadrados dos desvios: di 2 . A variância, S 2 , de uma amostra de n medidas é igual à soma dos quadrados dos 2 desvios:  di , dividida por (n - 1), assim: S

2

d 

2 i

n 1

ou S

2

 x  X   i

n 1

2

(8)

Para dados agrupados, tem-se: S

2

 x  X   i

n 1

2

.Fi

(9)

O cálculo da variância é obtido pela soma dos quadrados dos desvios em relação à média. Assim é que, se a variável sob análise for medida em metros, a variância deverá ser expressa em m2 (metros ao quadrado). Ou seja, a variância é expressa pelo quadrado da unidade de medida da variável que está sendo estudada. Para melhor interpretar a dispersão de uma variável, calcula-se a raiz quadrada da variância, obtendo-se o desvio padrão que será expresso na unidade de medida original.

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2.3. DESVIO PADRÃO PARA UM NÚMERO FINITO DE MEDIDAS ( σ m ) O desvio padrão, como será apresentado aqui, nos da o desvio médio quadrático dos valores medidos. Na verdade, o valor do desvio padrão é obtido a partir de uma curva de distribuição, no nosso caso a curva de distribuição é uma Gaussiana (denominada também de distribuição normal). Mas para cálculos, com um número pequeno de medidas, usaremos a seguinte expressão:

σm =

d12 + d 22 + d 32 + ........ + d n2 n −1

(7)

ou n

σm =

∑d n =1

2 i

(8)

n −1

O fato de no numerador aparecer o número de medidas menos um, e devido que ao fazermos a média quadrática, em geral perdesse um grau de liberdade, ou seja, um dos desvios da medida será igual a zero. Portanto para melhorar esta perda dividimos o valor médio quadrático pelo número de medidas menos uma. 2.4. INTERPRETAÇÃO DO DESVIO PADRÃO 2.43.1. REGRA EMPÍRICA:

• • •

Para qualquer distribuição amostral com média X e desvio padrão S , tem-se: O intervalo X  S contém 66% de todas as observações amostrais. O intervalo X  2 S contém aproximadamente 95% das observações amostrais para distribuições simétricas. O intervalo X  3S contém aproximadamente 100% das observações amostrais.

2.4.2. TEOREMA DE TCHEBYCHEFF

• •

Para qualquer distribuição amostral com média X e desvio padrão S , tem-se: O intervalo X  2 S contém, no mínimo, 75% das observações amostrais. O intervalo X  3S contém, no mínimo, 89% das observações amostrais.

3. ERRO ABSOLUTO (eabs ) O erro absoluto, como exposto anteriormente, nos dará a noção de quanto as nossas medidas variam em relação a um valor que iremos considerar como a melhor medida, que no caso é o valor médio.

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Como temos um conjunto de medidas, o erro absoluto será dado por um fator do desvio padrão, ou seja:

eabs = a.σ m

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onde a é uma constate, a qual será atribuída um valor que irá depender da porcentagem, de todas as medidas feitas, que deverão ter sentido, para alguma aplicação, ou que sejam consideradas relevantes. Portanto: a < 1 O valor do erro será menor que o desvio padrão. Se a = 1 O valor do erro será igual que o desvio padrão. a > 1 O valor do erro será maior que o desvio padrão. A questão da escolha do a que será usado para calcular o erro absoluto, depende da precisão desejada. Para entendermos está abordagem, é necessário ter conhecimento sobre Distribuição de medidas. III. DISTRIBUIÇÃO Um dos primeiros cientistas a estudar como a medida de uma mesma variável se comportava, foi o matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). A partir de um conjunto de medida ele construi um gráfico, denominado de histograma, onde aparecem na ordenada, o número de vezes que uma medida ocorre, isto em geral sempre acontece quando se tem um conjunto com um grande número de medidas, ou seja, muitas das medidas se repetem. Na abscissa são colocados os valores das medidas em ordem crescente, no exemplo 3 apresentamos um conjunto de medidas e na figura 1 mostramos este gráfico. Neste tópico mostraremos uma relação entre o erro e o desvio padrão. Esta apresentação será feito através de um exemplo, exemplo 3, onde fizemos uma breve e simples apresentação das definições de distribuição e função distribuição Gaussiana. EXEMPLO 3: Neste exemplo apresentamos um conjunto de medidas da resistência elétrica feitas em uma barra de grafite. Foram feitas trinta e oito (38) medidas, que posteriormente, ao analisarmos as medidas, contatou-se que várias delas repetiam-se diversas vezes. Na tabela 1, apresentamos estas medidas e o número de vezes que a medida repetiu. TABELA 1. Medida da resistência de uma barra de grafite. MEDIDA N0 DE VEZES QUE A RESISTÊNCIA MEDIDA OCORRE MΩ 1 1 2,34 2 2 2,37 3 3 2,35 4 4 2,45

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5 5 6 7 7 6 8 4 9 3 10 2 11 1 Total de medidas feitas: 38 medidas.

2,39 2,50 2,61 2,80 2,85 2,87 2,90

TABELA 2. Tabela onde aparecem os valores calculados dos desvios de cada medida feita, o desvio ao quadrado e os valores calculados da resistência média, da soma dos desvios ao quadrado, o desvio padrão e o erro relativo com toda a precisão da calculadora. MEDIDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

RESISTÊNCIA (MΩ) 2,34 2,37 2,35 2,45 2,39 2,50 2,61 2,80 2,85 2,87 2,90 R = 2,56394737

DESVIOS -0,22394737 -0,19394737 -0,21394737 -0,11394737 -0,17394737 -0,06394737 0,04605263 0,23605263 0,28605263 0,30605263 0,33605263

er = 0,13931586

Valor médio obtido: R = 2,56 MΩ Desvio Padrão: σ m = 0,36MΩ Variância: S 2  0, 6M  2 Erro absoluto, considerando a=1 na equação (8): eabs  0,36 M Erro relativo: er  0,1393 Erro relativo percentual: er %  13,93%

DESVIOS AO QUADRADO 0,05015242 0,03761558 0,04577348 0,01298400 0,03025769 0,00408927 0,00212084 0,05572084 0,08182611 0,09366821 0,11293137 ∑ d 2 = 1,27590789

σ m = 0,35719853