Teoria De Errores E Instrumentos De Precision De Longitudes.docx

TEORÍA DE ERRORES E INSTRUMENTOS DE PRECISIÓN EN LA MEDICIÓN DE LONGITUDES Oriana Sophia Cespedes Balaguer Universidad Militar Nueva Granada [email protected] RESUMEN: En esta práctica de laboratorio se aplicaron los métodos de tratamiento de errores como parte fundamental del análisis de datos experimentales. En este caso a los datos de la medición de longitudes calculadas con los instrumentos, tales como el tornillo micrométrico, el calibrador y la regla. I.

INTRODUCCIÓN

El tema central del presente informe de laboratorio es reconocer y realizar el respectivo tratamiento de datos experimentales, tomados mediante los instrumentos indicados para calcular longitudes (medidas directas) de diferentes elementos. A partir de esto, identificar la incertidumbre de cada instrumento de medición, para así calcular la propagación de errores y demás tratamientos a las medidas indirectas (volúmenes) de los elementos para finalmente, poder presentar de forma correcta la magnitud de las mismas. II.

MARCO TEORICO

-

-

Fundamentos de estadística -

Conceptos para el desarrollo de la práctica -

-

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Error sistemático: Aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medida, por lo tanto, afecta a todas las medidas de un modo definido, siendo el mismo para todas ellas, este error tiene siempre un signo determinado y las causas probables pueden ser: errores instruméntales, error personal (limitaciones de carácter personal) y errores de método de medida (método o proceso no adecuado). Error aleatorio: Son aquellos que se deben a las pequeñas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por el mismo observador, suponiéndose que sus valores están sometidos tan solo a las leyes del azar y que sus causas son completamente incontrolables para el observador. Histograma: Es una de las maneras más comunes de representar una distribución de

frecuencia. Su grafica consiste en un conjunto de barras, en la que la base de cada barra representa una clase o intervalo, indicada en el eje horizontal y la altura por su frecuencia, indicada en el eje vertical. Propagación de errores: Se utiliza para calcular, mediante una función matemática la incertidumbre de una medida indirecta. Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo. Incertidumbre del calibrador: ± 0.05mm. Incertidumbre del tornillo micrométrico: ± 0.01mm. Incertidumbre de la regla: ± 0.5mm.

-

Media aritmética ( ´x ): Valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Desviación estándar (σ): Mide cuanto se separan los datos.

√

∑ ( x− ´x ) σ= n−1 -

2

Error estándar: Permite cuantificar el error de estimación, indica la confiabilidad de la medida obtenida de una muestra de tamaño n.

EE=

√

σ2 n

=

σ n

Ecuaciones del fenómeno físico a analizar -

Volumen del cilindro 2

V =π

d ⋅h 2

()

-

ΔV =

ΔV =

Volumen del cubo

4) V

V =l 1 ⋅l 2 ⋅l 3

III.

2 πdh π d2 Δd + Δh 2 4

)(

)

5) V =

dV 2 2 dV 2 2 dV 2 2 Δl 1 + Δ l 2+ Δ l3 d l1 d l2 d l3

) ( ) ( )

-

1)

√(

2 3.14 ×12.7 × 30 3.14 × 12.72 ΔV = Δ 0.05 + Δ 0.5 2 4 ¿ 70.016 mm3

MONTAJE EXPERIMENTAL

---------H D

√(

)(

2

)

3)

√(

2 3.14 ×13.63 ×30 3.14 ×13.63 2 ΔV = Δ 0.01 + Δ0.5 2 4 ¿ 73.199 mm3

Tornillo 13.63 mm

Volumen Cilindro

)(

4)

√(

)(

√(

) (

2 3.14 ×13.63 ×30.5 3.14 ×13.63 2 Δ0.01 + Δ0 2 4 3 ¿ 9.786 mm

ΔV = 5)

2 3.14 ×12.7 × 30.5 3.14 × 12.72 ΔV = Δ 0.05 + Δ 0.05 2 4 3 ¿ 31.059 mm

RESULTADOS

Volúmenes Cilindro Propagación Error

Volumen calculado 3798 3447.7

3

70

mm

mm

3

3

4375

mm

4447

mm

3

mm

Forma correcta medida (3798 ± 70)

mm

283

mm

73

mm

9.8

mm

3

3

12.7 3 ×30=3798.379 mm 1) V = 3.14 2 2 12 ×30.5=3447.72mm 3 2) V = 3.14 2 2 13.63 3 ×30=4375.045 mm 3) V = 3.14 2

3861.7

3

mm

3

31

3

(3447.7 ± 283)

mm3 (4375 ± 73)

mm3

2

( ) ( ) ( )

)

2 3.14 ×12 ×30.5 3.14 ×122 Δ0.5 + Δ 0.05 2 4 ¿ 287.366 mm3

ΔV =

Después de conocer el funcionamiento de los materiales de medición, se procedió a medir con cada uno de ellos (calibrador, tornillo y regla) la altura y el diámetro del cilindro y la longitud de los lados del cubo, cabe mencionar que no fue posible medir la altura del cilindro con el tornillo, debido a la capacidad de su máxima medida. Posteriormente se midió la longitud de la muestra de puntillas con la regla.

Medidas Cilindro Calibrado Regla r 30,5 mm 30 mm 12.7 mm 12 mm Tabla 1: Medidas Cilindro

) (

2

2)

Calibrador. Tornillo micrométrico. Regla. Cilindro. Puntillas. Dado.

IV.

3

Propagación de errores

Descripción de la práctica -

3

2

2

Elementos que se usaron -

×30.5=4447.963 mm ( 13.63 2 ) 12.7 3.14 ( ×30.5=3861.686 mm 2 )

3.14

Incertidumbre de los volúmenes

√( √(

= 2

3

3

mm

(4447 ± 9.8)

mm

(3861.7 ± 31)

Tabla 2: Volúmenes Cilindro Medidas Cubo

3

mm

3

----------

Calibrado Regla r 15.35 mm 15.5 mm Tabla 3: Medidas Cubo

l

Tornillo

Volumen Cubo

15.54 mm

1) V = 2) V = 3) V =

Propagacion de errores 1)

(

)

√ 138.8× 3 2

2)

3

= 20.41

mm

18 mm

20 mm

(

= 208.06

√ 5.832×3

Figura 1: Histograma de las longitudes de las puntillas

3723.9

mm

3

3752.8

mm

3

208 4

3

mm

mm mm

Promedio

= 4.183

Volúmenes Cubo Propagación Error 20

30 mm

3

)

3

29 mm

mm

2

mm

26 mm

Frecuencia de l ongi tud Col umna1

3752.78 2 ⋅ 0.01 =5.832 15.54

Volumen Calculado

24 mm

2

√ 14430× 3

∆V =

3616.8

10 8 6 4 2 0

⋅ 0.5 =14430 ( 3723.88 15.5 ) ∆V =

3)

Frecuencia de cada medida de longitud

2

3616.81 ⋅ 0.052 =138.8 15.35

∆V =

(15.35)3=3616.81 mm3 ( 15,6 )3=3723.88 mm3 3 3 (15.54) =3752.78 mm

mm

3

´x = Forma correcta medida (3616.8 ± 20)

( 18× 6 ) + ( 20 ×7 )+ ( 24 ×3 )+ (26 × 9 ) + ( 29 ×3 )+(30 ×2) 30

´x = 23.4 Desviación Estandar

3

mm 3

√

∑ ( x− ´x ) σ= n−1

(3723.9 ± 208)

3

mm3 (3752.8 ± 4)

mm3

σ = 50

Error Cuadrático Medio

Tabla 4: Volúmenes Cubo Longitud de las Puntillas Cantidad Medida 6 18 mm 7 20 mm 3 24 mm 9 26 mm 3 29 mm 2 30 mm Tabla 5: Longitud Puntillas

2

RMSE =

√

n

∑ ( P i i) 2 −0

i=1

n

RMSE = 48 Error Estandar EE = V.

50 30

= 1.6

ANALISIS DE RESULTADOS

De acuerdo a lo planteado en los resultados, se analiza a partir de la tabla 2 (Volúmenes Cilindro), que la propagación del error aumenta o disminuye dependiendo de la pareja de instrumentos con los que se halla medido la altura y el diámetro del cilindro;

observándose de igual modo, que el volumen (medida indirecta) que corresponde más al espacio ocupado por el cilindro, es el calculado a partir de las medidas realizadas con la pareja compuesta por el tornillo y el calibrador, pues la incertidumbre de esta medida es menor en comparación a las demás. De manera similar se puede analizar los datos de la tabla 4 (Volúmenes cubo), donde se determina que las medidas correctas o exactas de la longitud de los lados del cubo, son aquellas calculadas con el tornillo micrométrico, pues el volumen calculado a partir de ellas, posee menor propagación del error y por lo tanto menor incertidumbre de la medida indirecta. Por otra parte, se comprende desde la tabla 5 y la figura 1, la frecuencia con la cual se repite una misma medida de longitud en la muestra de datos, siendo la medida de moda 26 mm. Partiendo de la tabla 5 se presenta el promedio, la desviacion estandar, el error cuadrático medio y el error estandar, donde se puede observar que entre cada dato de medidad tomado hay una gran desviación, debido a que las medidas no son iguales, también se observa que la cantidad de error del conjunto de datos es grande y que la confiabilidad de la medida obtenida es menor, esto posiblemente asociado a un error sistematico. VI.

CONCLUSIONES:

Según los resultados del tratamiento de datos experimentales y el análisis de estos, se deduce que las medidas más precisas son las calculadas con el calibrador y el tornillo micrométrico y de acuerdo a la propagación de errores se puede determinar la incertidumbre de los volúmenes calculados con cada pareja de instrumentos, permitiendo concluir que el

volumen más preciso es aquel calculado a partir de las medidas realizadas con el calibrador y el tornillo.

REFERENCIAS [1] Calcular la media aritmética. maths. Recuperado de https://es.plusmaths.com/calcular-la-mediaaritmetica.html (18-02-2019) [2] Desviación estándar de una muestra (2014). Math2me. Recuperado de https://www.youtube.com/wath?v=YC91586wkpy (18-02-2019) [3] ¿Qué es el error cuadrático medio RMSE? (2018). Recuperado de https://acolita.com/que-es-el-errorcuadratico-medio-RMSE/ (18-02-2019) [4] TECNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO. Recuperado de https://www.ugr.es/andyk/Docencia/TEB/Errores.pdf (18-02-2019) [5] ¿Qué es y cómo se construye un histograma? (2017). Recuperado de https://marcelomendizabal.wordpress.com/2017/02/09 /que-es-y-como-se-construye-un-histograma/ (18-02-2019)