Teoria De Des

Probabilidad es un concepto que la gente usa casual y formalmente a diario. La predicción del tiempo esta asociada a la probabilidad. La gente usa la probabilidad en sus conversaciones casuales para la muestra de su percepción de la concurrencia o no concurrencia de eventos particulares. Las diferencias se dan para los resultados de eventos deportivos y usados en los juegos de azar. El uso formal de los conceptos de la probabilidad están muy extendidos en la ciencia, por ejemplo, astronomía, biología, e ingeniería. Para entender los métodos estadísticos en fiabilidad, es esencial un entendimiento de probabilidad y estadística. Un entendimiento de los términos probabilidad, variable aleriatoria, distribución, intervalo de confidencia, testeo de hipótesis, etc... Es necesario para apreciar completamente los conceptos y métodos de fiabilidad. A continuación presentamos una vista rápida de esos fundamentales de probabilidad y estadística antes de definir bien que significa y para que sirve el estudio de la fiabilidad. 1.1 Definición de Probabilidad Para definir probabilidad, es necesario antes definir algunos términos. Un experimento es un procedimiento claramente definido que resulta de la observación. Una sola actuación del experimento se llama prueba. Cada prueba o ensayo del experimento resulta en una observación. El tipo de experimentos tratados aquí se llama experimentos aleatorios en esa observación en que cualquiera de los ensayos del experimento no pueden ser predecidos con certeza. Todas las posibles observaciones del experimento, sea del modo que sea, serán conocidas. El conjunto del todas las posibles observaciones de un experimento aleatorio se llama espacio de muestra y se denota con la letra S. Ejemplos de experimentos y espacios de muestra: Experimento 1: Lanzar un dado y observar el numero que muestra: S1: {1,2,3,4,5,6} Experimento 2: Lanzar dos monedas al aire y contar el numero de caras en ambas: S2: {cara cara,cara cruz,cruz cara,cruz cruz} Experimento 3: Lanzar dos monedas al aire y contar el número de caras: {0,1,2} Experimento 4: Tomar una muestra de piezas de una linea de producción y observar el número de defectos: {0,1,2,. . .,10} Cada elemento de una espacio de muestra se llama punto de muestreo. Cada evento es un subconjunto del espacio de muestra tal que todos los elementos en si satisfacen una regla común. Un evento puede ser especificado por la regla que satisface al elemento o por enumeración de todos los elementos en él.

Ejemplos de Eventos Experimento

Lanzar un dado y observar el número

S

Ejemplo de Eventos

{1,2,3,4,5,6 }

A:{No.menos que 4} A:{1,2,3}

Lanzar dos monedas y observar las {cara cara,cara cruz,cruz caras cara,cruz cruz} Lanzar dos monedas y contar el número de caras Coger una muestra de 10 elementos y contar el numero de defectos

B:{Al menos una cara} B:{cara cara,cara cruz,cruz,cara}

{0,1,2}

C:{Sin cara} C:{0}

{0,1,2,. . .,10}

E:{"Acepta" mucho} ={D<3} E:{0,1,2}

1.2 Probabilidad Definida Probabilidad de un evento es un numero entre 0 y 1, que indica posibilidad de concurrencia del evento cuando se hace el experimento asociado. La probabilidad de un evento que no puede ocurrir es igual a cero. La probabilidad de que un evento va a ocurrir o que la certeza de que va a ocurrir es máxima, es igual a uno. Usaremos la notacion P(A) para denotar la probabilidad de un evento A. Entonces la definición de probabilidad en términos de notación es: 0<= P(A) <= 1 P(¢)=0 cuando es el evento nulo, el evento no puede ocurrir. P(S)=1 1.3 Computacion de Probabilidad de Eventos Basicamente hay dos métodos de computación de la probabilidad de un evento.

1. Método de análisis de experimento. 2. Método de frecuencia relativa. Existe un tercer método que envuelve subjetivamente asignando valores de probabilidad a eventos basados en la experiencia personal con cada uno de los eventos. Tales probabilidades se usan es una rama de estadísticas conocidas como Métodos Bayesianos. No entraremos en el estudio de estos métodos Bayerísticos. Método de Análisis

Paso 1: Formular S para el experimento. Paso 2: Asignar pesos a cada uno de los elementos en S tal que el peso refleje el número de concurrencia de los elementos cuando el experimento se performa, los pesos no son negativos, y los pesos añaden hasta 1.

Tal asignamiento de pesos a los puntos de muestreo en S requieren un buen entendimiento del experimento. En algunos de los espacios de muestreo los puntos de muestra tendrán el mismo peso, en cuyo caso podremos llamarlos elementos equitativos. In otros espacios de muestreo los puntos no serán iguales. Paso 3: Calcular P(A) com suma de los pesos de los puntos de muestreo en A. Ejemplo: Una carta se lanza desde un escritorio. ¿Cual es la probabilidad de que la carta no sea una figura? Solución Paso 1: formular S.

S= {H2,. . . ,H9,H10,HJ,HQ,HK,HA,C2,. . .,C9,C10,CJ,CQ,CK,CA; D2,. . .,D9,D10,DJ,DQ,DK,DA; S2,. . .,S9,S10,SJ,SQ,SK,SA}

Paso 2: Asignar pesos a los elementos. Cada uno de los puntos de muestreo son iguales cuando la carta se lanza y, desde que hay 52 puntos de muestreo en el espacio de muestra, cada uno tiene un peso de 1/52. Paso 3: Calcular P(A). El evento A: {la carta no es una figura sio un número} tiene 36 puntos de muestreo, por lo que P(A)=36/52.

El Caso Especial Si el espacio de muestreo del experimento consistente en elementos que son iguales, entonces: P(A)=Número de elementos en A/Número de elementos en S=Na/Ns

Para cualquier experimento, el espacio de muestreo puede ser escrito de maneras diferentes. Cuando sea posible, es fácilmente escribir el espacio de muestreo consistente en observaciones iguales ya que la probabilidad de los eventos puede ser computada usando esta simple fórmula. Método de Frecuencia Relativa Este método es útil cuando el experimentador no puede asignar pesos a los diferentes observaciones en S desde el preconocimiento del experimento. Luego la probabilidad es determinada a través del experimento.

Paso 1: Performar el experimento de un cierto numero de veces, según N, y encontrar el numero de veces que el evento A ocurre, según N. Paso 2: Calcular la frecuencia relativa del evento A: Fa=n/N P(A) es dado por Fa provisto N que es suficientemente largo; =>P(A)=Limite de fatal que N tiende a infinito.

Ejemplo #0 1.4 Teoremas de la Probabilidad

Teorema 1 Si A y B son dos eventos cualesquiera en un espacio de muestra, entonces: P(A or B)=P(A)+P(B)-P(A and B) Si A y B son mutuamente exclusivos, por ejemplo P(A and B)=0: P(A or B)=P(A)+P(B) Si A1, A2,. . ., Ak son todos mutuamente eventos exclusivos, entonces: P(A1 or A2 or . . . or Ak)=P(A1)+P(A2)+ . . . +P(Ak) Cuando A1,A2, . . . , Ak no son mutuamente exclusivos, el resultado es mas complejo y no se da aqui.

Ejemplo #1

Teorema 2 Si A y son eventos complementarios, por ejemplo, A y el espacio de muestreo. P( )=1-P(A)

son mutuamente exclusivos y juntos construyen

Ejemplo#2 1.5 Eventos Independientes Dos eventos en el mismo espacio de muestreo serán independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al cambio de ocurrencia del otro. Si la independencia de los eventos es obvia, el siguiente teorema puede ser usado para encontrar la probabilidad de unión u ocurrencia simultanea de los eventos.

Teorema 3 Si A y B son independientes P(A and B)=P(A) × P(B). Este teorema también puede ser usado para determinar si dos eventos son independientes cuando su independencia no es obvia. Los dos siguientes ejemplos ilustran el uso de esta relación.

Ejemplo #3 Ejemplo #4 1.6 Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional de un evento A dado que otro evento B(en el mismo espacio de muestreo) ha ocurrido, se escribe como P(A/B). Se obtiene como el radio de los puntos de muestreo en ambos A y B, a esos en B. También esto se puede observar la proporción de los puntos de muestreo en B que están también en A. En términos de notación: P(A/B)=P(A * B)/P(B)

Ejemplo #5 1.7 Probabilidad de Unión de Eventos no Independientes

Teorema 4 Si dos eventos A y B no son conocidos para ser independientes, P(A * B)=P(A | B) P(B)

Ejemplo #6 1.8 Teorema de la Probabilidad Total Sea B1, B2,. . . . .Bk las particiones de un espacio de muestreo S tal que B1∪ B2∪ . . . . ∪ Bk =S y (Bi * Bj)=¢ (conjunto vacío), para cualquier par 'i' y 'j'. Si A es un evento de interes, entonces: P(A)=P(A | B1) P(B1) + P(A | B2) P(B2) + . . . . + P(A | Bk) P(Bk)

Es fácil ver ahora como los términos del producto individual por una parte la ecuación dada nos muestra las probabilidades de unión de A con cada una de las particiones y cuando están sumados juntos dan el total de la probabilidad incondicional de A.

Ejemplo #7 1.9 Puntos de Muestreo Contínuos en un Espacio de Muestras Hay momentos en que la búsqueda de números de espacio de muestreo en S presenta un problema.

La Regla de la Multiplicación Si una operación puede ser ejecutada de n1 formas y análogamente otra operación de formas, entonces las dos operaciones pueden ser ejecutadas en n1 x n2 formas diferentes. Hablando de una forma más general, si la operación 1 se puede ejecutar de n1 formas, la operación 2 de n2 formas, . . . , la operación k de nk formas, entonces las k operaciones pueden ser ejecutadas simultáneamente en n1 x n2 x . . . x nk número de formas.

Ejemplos #8 y #9 Permutaciones Una permutación es una colocación de todo o parte del conjunto de objetos dado. Por ejemplo, los tres objetos a, b, y c pueden ser permutados de seis maneras: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Similarmente, hay seis permutaciones de los tres objetos tomados de dos en dos: ab, ba, ac, ca, bc. Teorema El número de permutaciones de n objetos tomados r al mismo tiempo.

cuando r = n , nPn = n!

Ejemplo #10 y #11 Combinaciones Una combinación es un grupo de cierto número de objetos tomados de un conjunto dado de objetos. Aquí no se pone atención a la localización relativa de los objetos en el grupo. For ejemplo, abc y acb son diferentes permutaciones, pero son la misma combinación. Teorema El número de combinaciones de n distintos objetos tomados r al mismo tiempo es:

para r≤n

Ejemplos #12, #13 y #14

http://ingenet.ulpgc.es/~ablesa/matematicas/probabilidad/probabilidad.htm