Teoria Algebra Lineal.docx

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA NUCLEO ANZOATEGUI - EXTENSIÓN PUERTO PIRITU

TEORIA ALGEBRA LINEAL Código : MAT-21113

PROF: Ing. Jesús Alberto Solórzano Parra

PIRITU, MARZO 2011

UNIDAD 1. ALGEBRA VECTORIAL. 1.1 Espacios Vectoriales Euclidianos. Definición: Por un cuerpo K (o campo) entenderemos un conjunto no vacio de elementos con dos leyes de combinación, que llamaremos adición y multiplicación, las cuales van a satisfacer las siguientes condiciones: i.- Para toda pareja de elementos α, β Є K, existe asociado un elemento único, llamado su suma, que se denota por α + β. ii.- La adición es asociativa: (α + β) + ɣ = α + (β + ɣ) iii.- Existe un elemento, que denotamos por 0, tal que α + 0 = α, para todo

α Є K. iv.- Para cada α Є K existe un elemento, que denotamos por - α tal que α

+ ( - α ) = 0. Siguiendo la práctica usual escribimos β + (-α) = β - α v.- La adición es conmutativa : (α + β) = (β + α) vi.- Para toda pareja de elementos α, β Є K, existe asociado un elemento único, llamado su producto, que denotamos por α . β. vii.- La multiplicación es asociativa: (α . β) . ɣ = α . (β . ɣ). viii.- Existe un elemento diferente de 0,que denotamos por 1,tal que α.1= α para todo α Є K. ix.- Para cada α Є K, α ҂ 0, existe un elemento, que denotamos por α-1, tal que α . α-1 = 1. x.- La multiplicación es conmutativa: (α . β) = (β . α). xi.-La Multiplicación es distributiva con respecto a la adición: (α . β) . ɣ = α . (β . ɣ). NOTA: Los elementos de K se llaman escalares. Definición: Un espacio vectorial V sobre K es un conjunto no vacio de elementos, llamados vectores, con dos leyes de combinación, llamadas adición vectorial y multiplicación escalar, las cuales van a satisfacer las siguientes condiciones: i.- Para toda pareja de elementos A,B Є V existe asociado un elemento único en V llamado la suma de A y B el cual se denota A+B. ii.- La adición es asociativa (A+B) + C= A + (B+C).

iii.- Existe un vector, que se denota por 0, tal que A+0=A para todo A Є V. iv.- Para cada A Є V, existe un elemento, que se denota por –A, tal que A + ( -A ) = 0. v.- La adición es conmutativa: A+B = B+A. vi.- Para todo escalar α Є K y todo vector A Є V existe asociado un vector único, llamado producto de α y A y el cual se denota por α.A. vii.- La multiplicación escalar es asociativa: α (β A) = (α β) A. viii.-La multiplicación escalar es distributiva con respecto a la adición vectorial: α(A+B) = αA + αB. ix.-La multiplicación escalar es distributiva con respecto a la adición escalar (α +β)A) = αA + βA. x.- Existe un elemento diferente de 0,que denotamos por 1,tal que A.1= A para todo 1 Є K. NOTA: Un conjunto de elementos que satisface los cuatro (4) primeros axiomas recibe el nombre de grupo. Si el conjunto de elementos también satisface el axioma 5 se llama grupo conmutativo o grupo abeliano. Ejemplo: Sea K un cuerpo arbitrario y X un conjunto no vacio. Vamos a considerar el conjunto V de todas las funciones de X en K. La suma de dos funciones f y g Є V es la función f + g Є V definida por: (f +g)(x) = f(x) + g(x). Y el producto de un escalar α Є K y una función f Є V es la función αf Є

V definida por (αf )(x) = αf(x). Por lo tanto V con las operaciones anteriores es un espacio vectorial sobre K. El vector cero en K es la función cero que aplica cada x Є X en 0 Є K (0)(x)= 0 para todo x Є X. Además para cualquier función f Є V, -f es la función en V tal que (-f)(x) = -f(x) para toda x Є X

Sub-Espacio Vectorial: Definición: Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en si un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas sobre V, se dice entonces que H es un subespacio de V. Teorema: Un sub-conjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se satisfacen las siguientes condiciones: i.- Si A Є H y B Є H entonces A + B Є H ii.- Si A Є H y α Є K entonces αA Є H para todo escalar α. 1.1.1. Vectores en Rn. En ciencia e ingeniería, se distinguen dos clases importantes de cantidades: escalares y vectoriales. Una cantidad escalar es aquella que se puede representar mediante un solo número real, en este caso se dice que solo tiene magnitud, por ejemplo la distancia entre dos ciudades o la temperatura de un cuerpo. Una cantidad vectorial por otra parte, es aquella en la que además de su magnitud se requiere de dirección y sentido, como por ejemplo la fuerza que actúa sobre un objeto y la velocidad de un cuerpo en movimiento. Con el uso de coordenadas es posible hacer una representación geométrica de las cantidades vectoriales, describiéndolas como flechas o segmentos de rectas dirigidos, donde la longitud, la dirección y el sentido del segmento indican la magnitud, la dirección y el sentido de la cantidad, respectivamente. Estos segmentos de rectas dirigidos se llaman vectores. Si un vector va de un punto A (llamado punto inicial) a un punto B (llamado punto final), se suele poner una a punta de flecha en B y se usa el símbolo AB para denotar el segmento de recta dirigido. Teorema: Si AB es un vector, entonces la longitud del segmento de recta dirigido se llama la magnitud o norma del vector y se denota por AB. Si A = (x1,y1) y B = (x2,y2) dos puntos cualquieras en R2 entonces: dAB = √ (x2 - x1) 2 + (y2 - y1)2 en R2. ( Idem. R3 ). Teorema: Se dice que dos vectores AB y CD son iguales (o equivalentes), se escribe AB = CD si ambos tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

A los vectores se les denomina también vectores libres, ya que se pueden desplazar manteniendo su longitud, dirección y sentido. Definición: Se denomina vector de posición o radio vector a todo vector que tiene como punto inicial el origen y sus componentes coinciden con las coordenadas del punto final. 1.1.1.2 Operación con Vectores. a) Suma de vectores. Dado dos vectores A = (a1,a2,a3,...an) y B = (b1,b2,b3,…bn) llamaremos suma A+B = ( a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3,...an + bn). b) Multiplicación por un escalar. Dado un vector A = (a1,a2,a3,...an) y un α Є K llamaremos multiplicación por un escalar αA = (αa1, αa2, αa3,... αan) 1.1.2 Algebra Vectorial. Vectores Paralelos: Dos vectores son paralelos si uno de ellos es igual al producto del otro por un número real. A = αB Condición del Paralelismo: Dos vectores son paralelos si A es igual α B (A = αB) si α existe. α ҂ 0. Producto interno o producto escalar: Dado dos vectores A = (a1,a2,a3,...an) y B = (b1,b2,b3,…bn) llamaremos producto interno o producto escalar A.B = a1.b1+ a2.b2+ a3. b3+...an.bn. Propiedades i) A.B = B.A ii) ( αA ).B = α(A.B ). iii) (A+B).C = A.C + B.C. iv) A.A ≥ 0

Ángulos entre dos vectores: Dado dos vectores A = (a1,a2,a3,...an) y B = (b1,b2,b3,…bn) llamaremos Coseno θ= A.B / |A| |B|. Vector unitario: Es aquel cuya norma es igual a 1. ( |A| = 1 ) y lo podemos expresar como µA = A / |A| Nota: La dirección de un vector la define el vector unitario. Condición de perpendicularidad entre 2 vectores: Dos vectores A y B son perpendiculares si A.B = 0 Producto Vectorial: Dado los vectores A = (a1,a2,a3) y B = (b1,b2,b3) llamaremos producto vectorial AxB a la determinante : i j k AxB = a1 a2 a3 b1 b2 b 3 El producto vectorial solo ocurre en R3 . Propiedades i) AxB = - BxA ii) ( αA )xB = α(AxB ). iii) (AxB).C = A.(BxC). Triple producto escalar. iv) (AxB)xC = A.(B.C). Triple producto vectorial. v) |AxB| = |A| |B| Senθ. 1.1.3 Combinación lineal. Sea A, B, C,... pertenecientes a un espacio vectorial real V y α, β, ɣ,… números reales. Una expresión de la forma αA + βB + ɣC + ... recibe el nombre de combinación lineal de los vectores A, B, C,... Dándole valores a los α, β, ɣ,… se obtienen vectores que constituyen el conjunto Generado por los vectores A, B, C,...

1.1.4 Vectores linealmente independientes. Dados los vectores A, B, C,... U,V…W son linealmente independientes (L.I) si la ecuación αA + βB + ɣC + ... = 0, ello implica que α = β =

ɣ,…= 0. En ese caso ninguno de los vectores podrá escribirse como una combinación lineal de los restantes. En caso contrario se dice que los vectores son linealmente dependientes (L.D). 1.1.5 Base de un espacio vectorial. Si A, B, C… es un conjunto de vectores linealmente independientes del espacio vectorial V y si todo vector A, B, C… en V se puede expresar (en forma única) como combinación lineal de A, B, C… se dice que estos vectores constituyen una Base de V. 1.1.6 Dimensión de un espacio vectorial. La dimensión de un espacio vectorial es el número máximo de vectores linealmente independientes que este contiene. Teorema: En un espacio vectorial de dimensión n todo conjunto de n vectores linealmente independientes constituye una base del espacio vectorial.

UNIDAD 2. MATRICES 2.1.- Espacio Vectorial de Matrices nxm Llamamos matriz nxm con elementos en k a toda función

f : In x Im → K. La imagen del elemento (i,j) perteneciente al dominio se denota por aij La matriz f queda caracterizada por el conjunto de las imágenes: a11 a12 a13 …….a1m a21 a22 a23 …….a2m a31 a32 a33 …….a3m . . . ……… . . . ……… an1 an2 an3 …….anm Y suele escribirse como un cuadro de nxm elementos de k dispuestos en n filas y m columnas. Llamaremos la Matriz A a un cuadro de elementos cuyo elemento genérico es aij, y se escribirá: a11 a12 a13 …….a1m a21 a22 a23 …….a2m a31 a32 a33 …….a3m . . . ……… . . . ……… an1 an2 an3 …….anm Tanto las filas como las columnas de A se llaman líneas de la matriz. Abreviando, puede escribirse A = (aij) donde i = 1,2,3,…n y j = 1,2,3,…m El conjunto de todas las matrices nxm con elementos en k es k InxIm y se denota mediante Knxm. La cuaterna ( Knxm , + , K, . ) denota el espacio vectorial de las matrices nxm con elementos en K. En este espacio los vectores son matrices. En particular ( Knxn , + , K, . ) es el espacio vectorial de las matrices cuadradas, es decir de n filas y n columnas. El vector nulo del espacio K se llama matriz nula; la denotaremos mediante N, y esta definida por Nij = 0. La matriz inversa aditiva u opuesta de A=aij es B, cuyo elemento genérico satisface la relación bij = -aij se denota B = -A Por definición de funciones iguales resulta A=B si y solo si aij=bij. La matriz identidad I es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son igual a 1 y el resto son 0.

2.2 Operación con Matrices. 2.2.1 Suma de Matrices. Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de mxn. La suma de A y B de mxn dada por A + B es: a11+b11 a12+b12 a13+b13 …….a1m+b1m a21+b21 a22+b22 a23+b23 …….a2m+b2m A + B = (aij + bij) = a31+b31 a32+b32 a33+b33 ……a3m+b3m . . . …… . . . . …… . an1+bn1 an2+bn2 an3+bn3 ……anm+bnm 2.2.2 Multiplicación escalar. La multiplicación de un escalar por una matriz se efectúa operando el numero por cada elemento de la matriz. Sea A = aij Є Rnxm y α Є K entonces: αa11 αa12 αa13 ……. αa1m αa21 αa22 αa23 ……. αa2m αA = αa31 αa32 αa33 ……. αa3m . . . …… . . . . …… . αan1 αan2 αan3 ……. αanm 2.3 Matriz Transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A de orden nxm es la matriz A T de orden mxn que se obtiene de A cambiando las filas por las columnas. Si A = (aij) entonces AT = (aji) Propiedades. La operación transpuesta de matrices tiene las siguientes propiedades. i) (A + B)T = AT + BT ii) (AT)T = A iii) (αA)T = αAT iv) (A.B)T = AT.BT 2.4 Matriz Inversa. Sean A y B dos matrices cuadradas de forma que AB=BA y que estas sean igual a la matriz identidad I (AB = BA = I) en estas condiciones la matriz B se llama inversa de A y se escribe B = A-1 (B es la inversa de A).

2.5 Producto de Matrices Sea A matriz de orden nxk y B una matriz de orden kxm, entonces la matriz producto C, que indicamos A.B, en la cual el elemento genérico cij es la suma de los productos formados multiplicando los elementos de la iesima fila de A(ai1, ai2,…aik) por los elementos correspondientes de la Jesima columna de B(b1j,b2j…bkj) es decir: Cij = ai1b1j+ai2b2j+… aikbkj Características. i.- El número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. ii.- La Matriz del producto tiene el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B. Propiedades. i.- El producto de matrices no es conmutativo. Si A.B existe no necesariamente B.A existe. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden existe A.B y B.A, pero A.B ҂ B.A ii.- El producto de dos matrices puede ser la matriz cero sin que ninguno de los factores sea la matriz cero. iii.- El producto de matrices no cumple con la ley cancelativa (anulación de terminos) por la izquierda ni por la derecha. A.C = B.C pero A ҂ B C.A = C.B pero A ҂ B iv.- El producto de matrices es asociativo A.B.C= A(B.C)=(A.B)xC v.- Se cumple A.I = I.A = A. vi.-La multiplicación de matrices distribuye por la izquierda y por la derecha a la adicion de matrices. Por la izquierda A(B+C)=AB+AC Por la derecha (B+C)A=BA+CA 2.6 Matriz Triangular Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son todos iguales a cero. Ejemplo: a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 0 0 a33 a34 0 0 0 a44

Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos por encima de la diagonal principal son 0 Ejemplo: a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44 2.7 Transformaciones elementales de una Matriz. En una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones elementales de filas o columnas: a.- Multiplicar a cada elemento de una fila o columna por un escalar K ҂ 0. b.- Intercambiar dos filas o dos columnas. c.- Sumar un múltiplo de una fila a otra fila o de una columna por otra columna. 2.8 Matriz Escalonada Una matriz A=(aij) es una matriz escalonada, o se dice que está en la forma escalonada, si el numero de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de una fila crece fila por fila hasta llegar a filas en las que todas sus componentes sean iguales a cero, es decir, si existen componentes distintas de cero. Llamaremos elementos distinguidos de la matriz escalonada A, a los elementos que son precedidos por cero en la misma fila. Ejemplo. a11 a12 a13 a14 0 0 a23 a24 0 0 0 a24 0 0 0 0