Teoria 1 Algebra U1 2 3.pdf

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA

LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL Cátedra: ALGEBRA

Guía de Teoría

Teoría Prof. ESTELA B.ROBLES. Trabajos Prácticos: Prof. Dure, Diana

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

MATRICES INTRODUCCIÓN.

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1.850 introducidas por el inglés James Joseph Silverton. El desarrollo de la teoría se debe al matemático y astrónomo irlandés Hamilton en 1.853 y al inglés Cayley. Este último introdujo la notación matricial para un sistema lineal de ecuaciones. Además de su utilidad para estudiar sistemas aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, etc. La utilización de las matrices constituye una parte esencial en los lenguajes de programación ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores en tablas organizadas en filas y columnas. La utilización de bases de datos implica el empleo de operaciones con matrices que estudiaremos en este tema.

Matriz: elementos, orden y representación Una matriz es una ordenación rectangular de elementos, generalmente dentro de un paréntesis. Las líneas horizontales se llaman filas y las verticales, columnas. Una matriz con m filas y n columnas se dice que es de orden m x n. Una matriz se representa con una letra mayúscula y sus elementos, con la misma letra en minúscula seguida de dos subíndices que indican la posición en la tabla. Ejemplo La matriz A es de orden 2 x 3 y tiene 2x 3 = 6 elementos

Observaciones: El elemento que se ubica en la 1º fila y 3º columna se denota por a y se lee a uno tres.

Sus 6 elementos son: a11  1, a12  2, a13  3, a 21  4, a 22  7 y a23  5 Se llama matriz a un conjunto ordenado de elementos (números reales) dispuestos en m filas y n columnas. Representación genérica de una matriz. Una matriz de m filas y n columnas se representa en forma genérica como o en forma abreviada como

A  aij mxn donde i  1,2,...., m y j  1,2,.....n; A  R mxn

Existen matrices que reciben nombres especiales por tener algunas características particulares. Algunas de ellas son:

2

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

Tipos de matrices

Ejemplo

2 0 1 A  2 1 1 2 x 3

Matriz rectangulares:

Am xn ( se lee matriz A su clase m por n)

Si m≠n entonces

Matriz cuadrada: es la que tiene el número de filas igual al de columnas.

Amxn  Anxn

Si m=n entonces

ASIGNATURA : ALGEBRA

1 4 0  A  2 3 1  1 3 2 3 x 3 1  A  2

Matriz columna: es la que tiene una sola columna. Si m>1 y n=1 Matriz fila: es la que tiene una sola fila. Si m=1 y n>1

0 0 0  C  0 0 0 

Matriz nula: es la que tiene todos sus elementos iguales a cero. C es nula  aij

 0 i, j

Matriz opuesta: Dos matrices son opuestas (-A) es aquella matriz del mismo orden cuyos elementos son iguales a los de A pero cambiado de signos.

  a  A   a  Dada

A  aij

mxn

ij mxn

se llama opuesta de A;

i, j T

Matriz transpuesta: La matriz transpuesta de A, simbolizada por A , es la matriz que se obtiene al cambiar filas por columnas. Por tanto, si la matriz A es de orden m x n, la matriz

Dada

 

A  aij

mxn

se llama

AT

es de orden n x m.

 

AT  a ji

Matrices Iguales: Dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden y si los elementos que ocupan la misma posición tienen el mismo valor.

 

mxn

 

y B  bij

mxn

 3 2  3  1 2 T A  A   1 0   2 0 3  2 3 Orden A= 2x3

Orden

=3x2

nxm

Matriz identidad: es una matriz cuadrada simbolizada por 1 donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y los demás elementos son iguales a cero.

A  aij

 1 4   1  4 A  A       3 2  3  2

, A  B  aij  bij ij

1 0 0  I  0 1 0 0 0 1 0  1  A  y  2 1 / 2 0  1  B  AB  2 1 / 2

Matriz transpuesta

3

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por A´, cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. Por tanto, si Dada:

Amn

 

A  aij

a11     am1

mxn

 

se llama AT  a ji

nxm

a1n    a i j mn a mn  

Entonces la transpuesta de A es



AT nm

 a11  a1n   a11  a1n  T            ai j nm  ai j  mn am1  amn  am1  amn 

Ejemplos

  1 0 2  1   T A   2 1 5  A   0  3 0 4  2 1 1 1 1 1 1  T  B   B  1 3 5 2 7    1

2  3 1 0  5 4  3 5 2  7

Matrices cuadradas especiales

Matriz identidad o unidad: es una matriz cuadrada simbolizada por 1 donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y los demás elementos son iguales a cero.

1 0 0  I  0 1 0 0 0 1

aij  0 i  j A es identidad   aij  1 i  j Matriz diagonal: La línea formada por los elementos

aij tal que i =j se

llama diagonal principal de la matriz cuadrada. Lo forman los elementos

aij  0 i  j

a11, a22 , a33 . A es diagonal  

aij  0 i  j

4

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

aij  0 i  j A es escalar   aij  K i  j

Matriz escalar:

Matrices triangulares: Son aquellas matrices en que todos los elementos que están debajo o arriba de la diagonal de la matriz cuadrada valen cero. Superior: A es m triangular sup  aij Inferior :A es inferior  aij

 0i  j

 0i  j

ASIGNATURA : ALGEBRA

6 0 0  I  0 6 0 0 0 6

1 0 0  A  2 5 0  4 2  1 matriz triangula r inferior

OPERACIONES ENTRE MATRICES DE IGUAL ORDEN 1. Adición de matrices Dada:

 

A  aij

mxn

 

y B  bij

mxn

donde A y B  R mxn

Se llama A  B  S

 

Si S  sij

mxn

 

, con sij  aij  bij ij

La suma de dos matrices A y B es otra matriz cuyos elementos se calculan sumando los elementos de A y de B ubicados en la misma posición. Es decir, si A y B son matrices de orden 2 x 3, se hace:

Solo se puede efectuar la adición de dos o más matrices del mismo orden y la matriz suma conserva el mismo orden. 2. Sustracción de matrices Dada:

 

A  aij

mxn

 

y B  bij

mxn

donde A y B  R mxn

Se llama A  B  A  ( B)  C Si C  R mxn Para restar la matriz B de la matriz A, a cada elemento de A se resta el elemento de 3 que está ubicado en la

5

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

misma posición. Así, por ejemplo, si A y B son dos matrices de orden 2 x 2 se tiene:

Al igual que en la adición de matrices, solo se puede efectuar la sustracción de matrices del mismo orden. ¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas. !! 3. La multiplicación (o producto) de una matriz por un número real La multiplicación de una matriz por un número real cualquiera se llama producto de una matriz por un escalar.

K  R y A  R mxn; Se llama producto por un escalar



K . A  L / L  lij

m xn

lij  Kaij i;j Para calcular cA donde c   se multiplica cada elemento de la matriz A por c. Es decir, si A es una matriz de orden 3 x 3, para calcular cA se hace:

Si c=-1, se tiene (-1). A = -A que se llama matriz opuesta de A.

Propiedades: Propiedades de la suma Ley de composición interna

A y B  R mxn, A  B  R mxn Asociatividad

A ,B y C  R mxn,  A  B   C  A  ( B  C ) Existencia de neutro

 0  R mxn / A  0  0  A  A, A  R mxn Existencia de opuesto

A  R mxn, ( A)  R mxn / A  ( A)  ( A)  A  0 Conmutatividad

6

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

A y B  R mxn, A  B  B  A Propiedades del producto de una matriz por un escalar Ley de composición externa

k  R, A  R mxn; k. A  R mxn Asociatividad en el producto de escalares

k1 y k2  R; A  R mxn; (k1.k2 ). A  k1.(k2 . A) Distributividad con respecto a la suma de escalares

k1 y k2  R; A  R mxn; (k1  k2 ). A  k1. A  k2 . A Distributividad con respecto a la suma de matrices

k  R y A, B  R mxn; k.( A  B)  kA  kB Neutro de los reales es neutro en la operación.

 1 R y A  R mxn;1 . A  A .1  A 4. Multiplicación de matrices Definición Dado

A  R mxp y B  R pxq

  Si B  b  A  aij

m xp

 

 P  pij

ij pxq

se llama AxB (en ese orden) a otra

P  R m xq .

i  1...m pij   aik .bkj  k 1  j  1...q p

m xq

donde

Para poder hallar el producto A x B de las matrices A y B, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Así, si la matriz A es de orden 2 x 3 y la matriz B es de orden 3 x 2, el producto A x B es otra matriz de orden 2x 2, porque se consideran los números extremos de este esquema.

 

En la multiplicación no se cumple la propiedad conmutativa, es decir, en general: A B  B  A Si A es una matriz cuadrada, entonces, A  I  I  A  A (elemento identidad de la multiplicación).

Ejemplo

7

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Si

Para calcular el elemento c11 , se considera la 1º fila de A y la 1º columna de B. O bien: esquema ilustrado de la operación AxB

Propiedades Ley de composición externa

A  R mxp y B  R pxq; A . B  R mxq Asociatividad en el producto de matrices

A  R mxn;B  R nxp;C  R pxq;(A . B) . C  A. (B .C) Existencia del elemento Neutro La matriz identidad es la matriz neutra en el producto de matrices.

I.A  A , A  R m xn o A.I  A A  R m xn Existencia del inverso. Solo existe inversa en las matrices regulares Conformidad para el producto. Dos matrices son conformes para el producto cuando son cuadradas del mismo orden o cuando el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda.

A.B  B. A

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo. 5. División de matrices

8

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1: Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar. Ejemplo

6.

Potencia de matrices Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define la potencia n-ésima de A como el resultado de multiplicar A por sí misma n veces:

An  A. A...n veces..A

A n  ( A1 ) n

n  N

A0  I

Es fácil ver que:

En caso de potencia de exponente par o impar

Más de matrices cuadradas especiales. Matrices simétricas: Son aquellas matrices para las que se cumple que sus transpuestas son iguales .o sea A  A

T

9

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

 2 3   A T A   3 4  

ASIGNATURA : ALGEBRA

1 2 3  B  2 5 4  B T 3 4 6

Matrices anti simétricas: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta.

0 9 6 B   9 0  4   B T  6 4 0 

A  A T

Matriz idempotente: es una matriz cuadrada que cumple A2 = AA = A. Matriz ortogonal: es una matriz cuadrada que cumple AAT

= Im

PARTICIÓN DE MATRICES Con frecuencia es conveniente subdividir (o particionar) una matriz descomponiéndola en sub-matrices. Éstas se pueden considerar como escalares al efectuar operaciones sobre la matriz original. La partición o subdivisión de una matriz se indica mediante líneas punteadas horizontales o verticales trazadas entre filas o columnas. Por ejemplo, la matriz A de orden m  n se puede subdividir como sigue:

A  A1 en donde A1 es de orden 

A2 

m  n1, A2 es de orden m  n2 , y n1  n2  n . La transpuesta de una matriz

subdividida se puede escribir en términos de las transpuestas de sus submatrices. Así pues

A 1  A     A 2 









Si



10

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Matrices particionadas según sus filas (queda una matriz columna).

Matriz particionada según sus columnas (nos da una matriz fila)

Ejemplos

11

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Ecuaciones matriciales Los sistemas de ecuaciones lineales pueden representarse por medio de la multiplicación de matrices. Por ejemplo, considere la ecuación matricial

El producto del lado izquierdo tiene orden 2x1, así que es una matriz columna. Por tanto,

Por la igualdad de matrices, las entradas correspondientes deben ser iguales, de modo que obtenemos el sistema

De aquí que este sistema de ecuaciones lineales puede definirse por la ecuación matricial (1). En general, describimos la ecuación (1) diciendo que tiene la forma AX=B donde A es la matriz obtenida de los coeficientes de las variables, X es una matriz columna constituida por las variables, y B es una matriz columna obtenida de las constantes (o términos independientes). La matriz A es llamada matriz de coeficientes del sistema. Ejemplo forma matricial de un sistema utilizando la multiplicación de matrices Escribir el sistema

en forma matricial utilizando la multiplicación de matrices. Solución: si

entonces el sistema dado es equivalente a la ecuación matricial. o bien

AX=B

12

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

COMBINACIÓN LINEAL – CLDependencia e independencia lineal. Sea



A  A1

A2 ... Aj

... An

 particionada según sus columnas, decimos que A es combinación j

lineal CL de las restantes si se la obtuvo:

Aj  k1 A1  k2 A2  ...  kn An con k1 , k2 ...kn  0 n

Sea

A j   k j A con j 1

Dadas



A  A1

Aj  R m x1 y k j  R

A2 ... Aj

... An

 con

Aj  R mx1 y k j  R

Decimos que A es linealmente independiente si y solo si

k1 A1  k2 A2  ...  kn An  0

 k j  0 , k1 , k2 ...kn  0

Decimos que A es linealmente dependiente si y solo si

k1 A1  k 2 A2  ...  k n An  0

 kj  0

n

A es Ld   k j A j  0,  k j  0 j 1

2 5 1 f1 A  3 7 1 f 2 1 3 1 f 3

 f 2  2 f1  f 3   2 f1  f 3  f 2  0  A es ld 

OPERACIONES ELEMENTALES Son las que se realizan entre las filas o columnas de una matriz obteniéndose otra matriz equivalente. 1. Permutación de filas o columnas :

Ai  Ai 1

2. Suma de dos filas (o columnas) paralelas

Ai  Ai  Ai´

3. Producto de una fila por un escalar no nulo:

Ai  kAi , k  0

Ejemplos:

13

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Al efectuar operaciones elementales se obtienen matrices equivalentes. Rango de una matriz Es el número de líneas, linealmente independientes que tiene la matriz. Del ejemplo anterior vemos:

14

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

DETERMINANTES y MATRIZ INVERSA Toda matriz cuadrada A tiene asociada un número real, denominado determinante. Toda función que asigna a cada matriz cuadrada un escalar llamado determinante de la matriz.

D : R nxn  k con k  R R nxn

R

A  R mxn ; se simboliza D( A)  A  det( A)

Si

Definición: Sea



A  A1

A2 ... Aj

... An

 una matriz cuadrada mxn, se llama determinante de A D(A) de

orden n a la función que verifica los siguientes axiomas: Ax1:



D A1

A2 ... A j  Aj





... An  D A1

A2 ... A j

 

... An  D A1

A2 ... A j 1 ... An



3 5 A    21  5  16 1 7  3 4  1 3 4 3 1 1 2  5  1 2  1 5  (6  4)  (15  1)  2  14  16  

Ax2:



D A1

A2 ... kA j





... An  k .D A1

A2 ... Aj

... An



 10 1  B    20  5  15   5  2 1 1  5 .2 2 5.(1)  2  5 1  2  5(4  1)  5.(3)  15    



Ax3: D A1 3 A  1 5 A  7

A2

... A j A´j





... An   D A1

A2 ... A´j Aj

... An



 5  21  5  16  7   son opuestos 3  5  21  16   1 

Ax4: D( I )  1

15

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Propiedades: 1. Si dos columnas del determinante son iguales, el determinante es nulo.



D A1



... An  0  A j  A´j

A2 ... A j A´j

Demostración por el Ax3



D A1





... An   D A1

... A j A´j

A2

A2

... A´j A j

... An



D( A)   D( A) D( A)  D( A)  0

1.D( A)  1.D( A)  0 (1  1).D( A)  0 2. Si en un determinante una columna es nula el determinante es nula.



D A1 Por Ax2 3.



A2 ... 0 ... An  0



D A1

A2



... An  0.D A  0

... 0 A j

El valor de un determinante no varía si a una columna se le suma una CL de las restantes n-1 columnas.

(n  1)



D A1

A2



... An  D A

... A j n

d  ( A1   k j AJ J 2

A2

... A j

... An )  D( A)

 2 3 A   7  1 2  2  (6) 3  8 3  1  (4) 2   3 2  16  9  7     4. Si en un determinante las columnas son Ld es el determinante es nulo.



Si

D A1

A2

A

15 5

A

3 .5 5

21 7 7. 3 7

... A j



... An  son Ld  D  A  0

 105  105  0 3

5 5 7 7

 3 .0  0

D( A)  D( AT ) 6. D( A.B)  D( A).D( B) 5.

Valor de un determinante. Sea la matriz cuadrada de dimensión n =2 o 2x2 dada por

16

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

n2

A

a11

ASIGNATURA : ALGEBRA

a12

a21 a22

det A  A  a11.a22  (a21.a12 )

a11 n 3

a11

a12

a13

A  a21 a22

a23

a31

a33

a12

A  a21 a22 a31 a 32

a32

a13 a23  a11a22a33  a21a32a13  a31a12a23  (a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 ) a33

Podemos observar que en cada producto hay un factor por cada fila y columna; además la mitad de los productos tienen signo más y la otra mitad signo menos. Para recordar estos productos que nos dan el valor del determinante de orden 3, se utiliza la siguiente regla:

Esta regla se conoce con el nombre de Regla de SARRUS. Otra forma de recordar los productos del desarrollo de un determinante de orden tres seria la siguiente:

(Ver guía de TP) Ejemplo

17

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Menor complementario de un elemento. Sea

 

A  aij

elemento de

mxn

una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario M (aij ) de un

A, aij , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la

que se encuentra dicho elemento

aij . Se representa por M (aij )

También se llama menor complementario del elemento

, y lo representamos

M (aij )

al determinante de la

matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j. Dada la matriz cuadrada de orden 5:

M (a23 )

El menor complementario del elemento

, será

El menor complementario del elemento

, será: M ( a 22 )

Ejemplo: Queremos calcular el menor complementario

a23

. Para ello debemos eliminar la fila 2 y la columna

3, y calcular el determinante de la submatriz resultante.

18

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL



ASIGNATURA : ALGEBRA

Adjunto de un elemento ( suele denominarse cofactor)

Se llama adjunto del elemento al atribuir el signo:

y se representa

al determinante del menor complementario que resulta

Cuando ( i+j) es par el signo es (+) Cuando ( i+j) es impar el signo es (-)

Dada la matriz cuadrada de orden 5:

El adjunto del elemento

y el adjunto del elemento

, será

, será

:

:

Ejemplo: Calculamos el adjunto del elemento

a12

en la matriz A

19

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

Primero calculamos el menor complementario

a12  a12 

3 5 6 8

ASIGNATURA : ALGEBRA

 6

Finalmente comprobamos si hay que cambiar el signo. Como la suma de subíndices (1+2) es impar, cambiamos el signo



A12  (6)  6

Matrices regulares y singulares

Decimos que A es regular  su Decimos que A es singular  su



adjunto de un elemento:

A 0 A 0

Aij  (1)i  j M (aij )

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea Consideremos el desarrollo del determinante de orden 3:

a11

a12

A  a21 a22 a31 a 32

a13 a23  a11a22a33  a21a32a13  a31a12a23  (a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 ) a33

Si sacamos factor común los elementos de una fila o columna (p.e. los elementos de la primera fila) nos queda:

A  a11a22a33  a21a32a13  a31a12a23  a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 )   a11 (a22a33  a23a32 )  a12 (a31a23  a21a33 )  a13 (a21a32  a22a31 ) El contenido de cada uno de los paréntesis del desarrollo anterior coincide con el desarrollo de un determinante de orden 2 y podríamos expresarlo de la forma:

20

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Este resultado podemos generalizarlo para el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden de la siguiente forma: El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos correspondientes.

Con esta regla se rebaja el orden del determinante que se quiere calcular a una unidad menos. Para evitar muchos cálculos conviene que la fila o la columna por la que desarrollemos tengan el mayor número de ceros posibles y, si no es así, se pueden hacer por el método de reducción aplicando las propiedades de los determinantes. Ejemplo: Calcular el siguiente determinante desarrollando por los elementos de la primera fila:

Propiedades de los determinantes

1

1. El determinante de una matriz cuadrada A es igual que el determinante de su traspuesta.

D( A)  D( AT ) .Esta propiedad nos indica que todo lo que pudiéramos decir para filas, también sería válido para las columnas. 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo, sin variar su valor absoluto. 3. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada son ceros, el determinante de dicha matriz es cero. 4. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces su determinante vale cero. 5. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante vale cero. 6. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 7. Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más filas (o columnas), entonces el determinante de la matriz vale cero. 8. El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se sustituye una fila (o columna) por una combinación lineal de ella con las restantes filas (o columnas). Aplicando esta propiedad de forma reiterada, el determinante de una matriz cuadrada se puede convertir en otro del mismo valor que el dado, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) elegida, sean cero, excepto uno de ellos. 9. El determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 1

Muchas de estas propiedades ya fueron o van a ser demostradas.

21

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

10. Si cada elemento de una fila (o columna) de una matriz cuadrada se escribe como suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (o columnas), salvo la que se haya descompuesto, en la que el primer determinante tiene los primeros sumandos y el segundo determinante los segundos sumandos. A continuación veremos algunas propiedades de los determinantes que sirven para calcular más fácilmente el determinante de ciertas matrices cuadradas: Propiedades

El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su transpuesta.

Si una matriz cuadrada tiene todos sus elementos de una fila o una columna iguales a cero, entonces el determinante de dicha matriz vale cero. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, entonces el determinante de dicha matriz es = 0

Ejemplos

3 2   3 1 A  ,  AT   y det (A)  det (AT )    1 5 2 5 15  2  13 0 0 0  B  4  1 2  det(B)  0 3 5 1

1 2 1  2 C     det( C )  2.3  1.6  0 6 3 2.3 1.3

Si se multiplican todos los elementos de una fila (o una columna) de una matriz por un número, el determinante de la nueva matriz es igual al producto de ese número por el determinante de la matriz original.

5 3 5 3 M   det (M)      20  6  14  2 4  2 4 3.5 3.3 15 9  y det (M´)     42  3.14 4   2 4 2  det (M´)  3. det (M)

Si se cambia el orden de dos filas o dos columnas de una matriz, el determinante cambia de signo con respecto al determinante de la matriz original.

6 1 6 1 N   det (N)      18  3  15 3 3 3 3 1 6 1 6 y N´    det( N ´)      3  18  15 3 3 3 3

Determinaste de una matriz triangular:

det A  A  a11.a22.a33....ann

Si A es una matriz triangular de orden n ,entonces su determinantes es el producto de los elementos de la diagonal principal, esto es: det A Resumiendo: Sean A y B dos matrices cuadradas:

1.- Si B fue obtenida a partir de A al intercambiar dos filas o columnas : det(B)=-det(A) 2.- Si B fue obtenida a partir de A al sumar o multiplicar dos filas o columnas de A en otro de A : det(B)= det(A) 3.- Si B fue obtenida a partir de A al multiplicar dos filas o columnas de A por una constante distinta de cero : det(B)= c. det(A)

22

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

MATRIZ ADJUNTA Consideremos una matriz n-cuadrada

ASIGNATURA : ALGEBRA

 regular. El adjunto de A, denotado por Adj A, es la traspuesta

A  aij

de la matriz de cofactores de A:

a12

a13

a11

a21

a31

A11

A21

A31

A  a21 a22

a23

AT  a12

a22

a32

Adj(A)  A12

A22

A32

a31

a33

a13

a23

a33

A13

A23

A33

a11

a32

Como ya hemos visto, se verifica que la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus adjuntos es igual al determinante de la matriz. Sin embargo, la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de una fila (o columna) paralela a ella es igual a cero, ya que sería igual al desarrollo de un determinante que tendría dos filas (o columnas iguales). Aplicando estas dos afirmaciones podríamos demostrar que el producto de una matriz cuadrada por la traspuesta de su adjunta es una matriz escalar con valor constante igual al determinante de la matriz. Ejemplo

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Propiedades de los adjuntos

A

0

0

1 0 0

A. AdjA  0

A

0  A0 1 0

0

0

A

0 0 1

A. AdjA  A .I 23

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Matriz inversa Dada A una matriz cuadrada regular admite inversa A

1



A. A1  A1. A  I

Entonces la matriz A se llama matriz inversa de A y se simboliza por A exponente.

1

.El -1 no se debe entender como

Solo admiten inversas o son inversibles 

A 0

No todas las matrices tienen inversa. Para que una matriz A admita inversa tiene que ser regular. Propiedades 1. Unicidad:

A regular  una unica A-1

Demostración: Sea A regular

 A-1 y C que verifican A. A1  A1. A  I y A.C  C. A  I

Suponemos que

Tomo

A1. A  I

y multiplico por C

A1.( A.C )  ( I .C )

2.

asocio

A1.I  I .C

por ser I neutra

A1  C

A1 es única

Sean A y B regulares

( A.B) 1  B 1. A1 3. A es regular :

( A1 ) 1  A 1

Obtención de A Por determinantes: Según hemos visto, el producto de una matriz cuadrada por la traspuesta de su adjunta es una matriz escalar con elemento constante igual a

A . Podríamos escribir:

Por definición de inversa  A. A1  A1. A  1

(1)

Por propiedaddes de los adjuntos  A. AdjA  A .I (2) Por 1 y 2 ;

A. A1  I A. AdjA  A .I A. AdjA A .I A. AdjA   I A A A

(3)

24

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

Por 1 y 3 A. A1 

ASIGNATURA : ALGEBRA

A. AdjA A

 AdjA

A1 

A

La matriz de A es la misma, el producto de matrices es único y la inversa se una matriz es única. Resumiendo: La adjunta de una matriz cuadrada A, denotada por adj A, es la transpuesta de la matriz que se obtiene reemplazando cada elemento cofactores [ cij ] . La adjunta es :

aij de A, por su cofactor cij . Es decir, es la transpuesta de la matriz de

adjA  Cij 

T

A  0  A1 y Se puede demostrar que si :

A1 

adjA A

Para calcular la matriz inversa por este método daremos los siguientes pasos: 1. Calculamos el determinante de la matriz A. Si éste es igual a cero no existirá matriz inversa. 2. Calculamos la matriz adjunta de A 3. Trasponemos la matriz anterior: (Adj A)T 4. Dividimos por | A | (dividimos cada uno de los elementos de la matriz). Ejemplo de una matriz A de orden 2

a b  1  d  b  y a.d  cb  0, Entonces la matriz inversa de A es A 1    A   ad  cd   c a  c d  En el caso en que ad -cb = 0, la matriz A no tiene inversa.

1 3   , para obtener A1 se aplica la formula: 1 5 

Si A  

A 1 

 5  3  1  5  3   2,5  1,5  1      1.5  1.3   1 1  2   1 1    0,5 0,5 

Prueba:

1 3   2,5  1,5   1.2,5  3(0,5) 1.(1,5)  3.0,5   1 0             I A  A 1   1 5    0,5 0,5  1.2,5  5.(0.5) 1.(1,5)  5.0,5   0 1  25

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

O bien se puede hacer:

2a  3c  1   2 3  a b  1 0 2b  3d  0 1 2        c   d   Prueba:   3 3  1 0   c d  0 1 1.a  0.c  0  a  0  1.b  0d  1  b  1

 0 1   2 3  1 0  2 3   0 1  1 0 2   2     1   1    0 1    1 0  0 1  1 0     3    3 3 3        A

I

A1

A1

A

I

Otra forma de calcular la matriz inversa: DEFINICIÓN La adjunta de una matriz cuadrada A, denotada por adj A, es la transpuesta de la matriz que se obtiene reemplazando cada elemento

aij de A, por su cofactor cij . Es decir, es la transpuesta de la matriz de

cofactores [ cij ]. La adjunta es:

adjA  Cij 

T

A  0  A1 y Se puede demostrar que si:

A1 

adjA A

Ejemplo

2  1 3  A  3 0  5 2 1 3 

6 5  5  A 0 19  Por ello A1 siendo: adjA    19  A  38  0  4 3   3 1

Determinar

4 5  5  5   19 0 19   38     19  4 3  adjA  3 A1    A 38  38  3  38

4 38 0 38 4 38

5  5 38   38 19   1    38   2 3  3 38   38

3 19 0 

2 19

5 38  1  2 3 38 

26

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES-SELEn general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

a11 x1  a12 x 2  .....  a1n x n  b1 a x  a x  .....  a x  b 22 2 2n n 2  21 1 ...... S : a i1 x1  a i 2 x 2  .....  aij x j  bi .......  a m1 x1  a m 2 x 2  .....  a m n x n  bm m

Generalizando:

S   aij  bij

con j  1....n

i 1

 Aij : Coeficient es  En cada ecuación Aij x j  bij   x j : incógnitas  indertermi nada  variables  bij : término independie nte si m  n el sistema es rectangula r  Clasificación: S : si m  n el sistema es cuadrado si b  0 el sistema es homogéneo i  Notación o expresión matricial: Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación o expresión matricial A.X=B

Matriz ampliada La matriz ampliada A/B de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:

A/ B 

a11

a12

... a1n

b1

a21

a22

... a2 n

b2

...

...

...

...

am1

...

a m 2 ... am n bm m.( n 1)

27

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Cada fila de A corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

Teorema de Rouché-Frobenius Este teorema nos permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema. Decimos que un sistema de ecuaciones A.x=B es compatible (tiene solución) si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, y si el rango es igual al número de incógnitas el sistema tiene solución única. Definición: Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema incompatible si no tiene solución. Por el contrario se dice que es un sistema compatible si tiene alguna solución En este último caso solo caben dos posibilidades: o bien el sistema tiene una única solución, y en este caso se dice que es un sistema compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones, llamándose un sistema compatible indeterminado

28

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

A.x  B  (Rango)  

 ( A)   ( A / B) 

 ( A)   ( A / B) 

Sis. Incompatible  Sin solución

Sis.Compatible

 Com. determinad a  ( A)   ( A / B)  n  Solución

  ( A)   ( A / B)  n

Única

 Compatible Indetermin ada ( soluciones) Si el sistema es : Ax  0  Sistema Homogéneo (SH)

 (A)   (A/0)  SH Siempre tiene solución. Si : a) ρ) b) ρ)

 ρ(A/ 0 )  n  SH Compatible determinad o (solución unica o trivial)  ρ(A/ 0 )  n  SH Compatible Indetermin ado ( soluciónes )

Sistemas equivalentes: dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución. Teorema fundamental de equivalencia En un sistema de ecuaciones se puede sustituir una ecuación por una combinación lineal de las restantes, obteniendo un sistema equivalente al dado.

Sea:

 A1  B1 A  B  2 2 S ....  An  Bn 

S´: k1 A1  k 2 A2  ...  k m Am  k1 B1  k 2 B2  ...  k m Bm   A2  B2  S´ S ..........   Am  Bm

Operaciones entre ecuaciones 1. Permutación de ecuaciones. 2. Multiplicación de una ecuación por un escalar no nulo. 3. Suma de dos ecuaciones. 4. Eliminar las ecuaciones triviales del tipo 0 = 0, las ecuaciones repetidas o las proporcionales.

29

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

El método de Gauss para la resolución de un sistema de ecuaciones se basa en construir un sistema equivalente más sencillo que el inicial mediante el uso de operaciones elementales. En concreto el objetivo es transformar, por equivalencia por filas, la matriz asociada al sistema en una escalonada

MÉTODO DE GAUSS El método de Gauss se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones Lineales. A partir de La matriz ampliada del sistema, se realiza una serie de operaciones con sus filas hasta transformar La matriz no ampliada en otra triangular superior, que está asociada a un sistema equivalente al original. Las operaciones que se pueden realizar son multiplicar una fila por un número y sumar filas. Ejemplo

Para resolver el sistema Utilizamos el método de Gauss de La siguiente manera:

30

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Recordar:

31

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Teorema y regla de Cramer.2 Sea un sistema cuadrado de ecuaciones lo llamamos Crameriano si y solo si la matriz de los coeficientes tiene su determinante distinto de cero. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema de Cramer si es un sistema compatible determinado de n ecuaciones con n incógnitas. O equivalentemente, si la matriz del sistema A es una matriz cuadrada regular. Es posible dar la solución de un sistema de Cramer mediante determinantes. De hecho, un sistema de Cramer genérico viene dado por:

a11 x1  a12 x 2  .....  a1n x n  b1 a x  a x  .....  a x  b 22 2 2n n 2  21 1 ...... S : a i1 x1  a i 2 x 2  .....  aij x j  bi .......  a m1 x1  a m 2 x 2  .....  a m n x n  bm Expresado matricialmente

A.x  B

Si

A 0

decimos que admite solución UNICA.

I .x  A1.B

A.x  B; A  0  A1 Si el sistema

A1. A.x  B. A1

por definición de inversa:

Por I nuetro : x  A1.B

Regla de Cramer. En el caso de sistemas que cumplan las mismas condiciones que los del anterior apartado, es decir, que sean cuadrados y tales que su matriz de coeficientes tenga inversa (los sistemas que cumplen estas dos condiciones se llaman sistemas de Cramer), se puede aplicar una regla muy sencilla para calcular la solución y que se basa en los determinantes, conocida como regla de Cramer. Si det(A) es cero, evidentemente la regla no se puede aplicar. La regla de Cramer: Para un sistema de Cramer (cuadrado y con matriz regular) se verifica que la incógnita número k se calcula dividiendo entre el determinante de A el determinante que resulta de sustituir la columna k (correspondiente al lugar que ocupe la incógnita que se está calculando) por la columna de términos independientes.

2

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). 1

32

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

A.x  b es un sistema de ecuaciones, A es la matriz de coeficientes x  ( x1....., xn ) es el vector columna de las incógnitas y b es el vector columna de

Es decir si

del sistema, los términos

independientes. Entonces la solución del sistema presenta así:

xj 

det( A j ) det( A)

. Donde

Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-esima columna de A por el vector

columna b.

Ejemplo Resolver el sistema

Como el sistema es de Cramer puesto que det(A) = −49, aplicamos la regla de Cramer: Para x sustituimos la primera columna por la de términos independientes pues x es la primera incógnita:

S= (1,7,-2)

Sistemas Homogéneos (SELH). Un sistema homogéneo es aquel que tiene todos los términos independientes nulos.

A.x  0

Cualquier sistema homogéneo es evidente que es compatible, pues dando a cada incógnita el valor 0, se cumplen las ecuaciones. Esta solución (que todas las incógnitas sean nulas) se llama solución trivial. El problema entonces esta en determinar si dichos sistemas son compatibles determinados o indeterminados. Aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius solo podemos tener dos casos: Decimos que siempre el sistema homogéneo tiene solución, porque siempre el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, si a su vez el rango es igual al número de

33

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

incógnitas decimos que el sistema homogéneo es compatible y determinado de solución única que es la trivial (todas las incógnitas valen cero). Rg (A) = n . Si por el contrario el rango es distinto al número de incógnitas tiene infinitas soluciones. Rg(A) < nº Sistemas homogéneos cuadrados: 1) Si

A  0 , el sistema homogéneo es Compatible determinado con solución única: S= (0, 0,0).

2) Si

A  0 , el sistema homogéneo es compatible indeterminado.

3 x  2 y  z  0  x  y  3z  0  Ejemplo:  2 x  y  6 z  0   y  2 z  0 3 2 1

A

1

1  3

2

1

6

0

1

2

3 2 A/ B 

1

0

1

1  3 0

2

1

6

0

0

1

2

0

Resolviendo por cualquier método queda:

 ( A)  3  S .Compatible  ( A / B)  3

     ( A)  3  S .C.Solucion única  n3   3 x  2 y  2  0   S  (0,0,0)  y  10 z  0 54 z  0 

Interpretación geométrica de los Sistema de ecuaciones lineales. Como cada ecuación lineal con 3 incógnitas corresponde a un plano en el espacio, la solución del sistema corresponderá a la posición en que dichos planos este en el espacio. Lo más sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos solo pueden estar en 3 posiciones: Son coincidentes: Lo cual es fácil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coeficientes de las incógnitas y los términos independientes proporcionales, es decir, si los planos son: Son paralelos: También es sencillo de saber porque los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero los términos independientes NO. Es decir, en este caso: Son secantes: Simplemente los coeficientes no son proporcionales, es decir: Puesto que podemos determinar la posición de los planos 2 a 2, podemos determinar en qué posición se encuentran los 3 a la vez, fijándonos en los casos:

34

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

1) Si el sistema es S.C.D. (Solución única), es que los tres planos se cortan en un punto, que es la solución del sistema.

2) Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que: a) Los tres planos se corten en una recta. b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta. c) Los tres planos son coincidentes.

3) Si el sistema es S.I. (Sin solución), puede ocurrir que: a) Los planos se cortan dos a dos. b) Dos planos son paralelos y el otro los corta. c) Los tres planos son paralelos. d) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.

Estudiar el sistema e interpretarlo geométricamente

2 x  y  z  6  3x  y  z  5 4 x  2 y  2 z  1 

35

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

2 x  y  z  6  A / B  3  1 1  5  Sist.equivalente 5 y  5 z  8 0  11 4 2  2 1  2

1

1  6

Lo que indica que el sistema es incompatible y por tanto no tiene solución, los planos no tienen puntos comunes. Si estudiamos la posicón de los planos 2 a 2, se obtiene que el primero y el segundo tienen coeficientes que no son proporcionales, luego se cortan. El primero y el tercero tienen coeficientes proporcionales pero no los términos independientes, luego son paralelos. Y el segundo y el tercero no tienen coeficientes proporcionales, por lo que se cortan. Concluimos por tanto que los planos primero y tercero son paralelos y son cortados por el segundo plano, esta es la interpretacion geométrica:

Programa: http://www.microsoft.com/es-ar/download/details.aspx?id=15702

36

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Ejemplo problemas de aplicación:

37

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

PROCEDIMIENTO GAUSSIANO

Por varios temas : resolución de un determinante de orden n, rango de una matriz ,resolución de sistemas de ecuaciones , es importante dominar un procedimiento llamado gaussiano, por ahora lo vemos como procedimiento luego lo justificaremos. El procedimiento gaussiano se basa en transformaciones elementales, es por eso que indistintamente diremos: aplicando Gauss o transformaciones elementales. Una matriz cuadrada de orden tres , es un cuadrado de números dispuestos en tres filas y columnas.

a b d e  g h

c f  el procedimiento gaussiano transforma cualquier matriz en otra matriz del tipo<.  i 

a b 0 e  0 0

c f  llamada triangular( debajo de la diagonal principal ceros).  i 

a b 0 e  0 0

c f  i 

38

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Al serolver dichos determinantes obtenemos:

Veamos un ejemplo Dada la matriz

2 2 1  3 1 3   Aplicamos el procedimiento gaussiano, elegimos como pivote el elemento de la 1ra.fila y 4 2 1 primera columna.

39

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

No es necesario escribir los determinantes, una vez que se tiene practica el procedimiento se reduce a:

Denominamos tabla de Gauss.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES –SELAhora trabajaremos con SEL (complementar con el marco teórico)

Para sistemas Crameriano

40

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Si A es cuadrada y A    0  A es regular Aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema:

2x  y - 3z  0  a ) 4x  5y  z  8 - 2x - y  4z  2 

 2 1  3  x  0 Matricial :  4 5 1 . y   8      - 2  1 4   z  2

Procedimiento Gaussiano La columna Σ (control) sirve para verificar si las transformaciones elementales que hemos hecho a las ecuaciones filas del sistema sean las correctas. Se procede: a) En el sistema dado se suman algebraicamente los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación fila. b) Después de realizadas las operaciones elementos, la suma algebraicamente los coeficientes de cada una ecuación fila debe sr igual al correspondiente transformado de la columna Σ ,esto indica que le procedimiento fue correcto. Retomamos el ejemplo anterior donde iniciamos la explicacion del procedimiento, lo convertiremos en un SEL a)

41

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

2x  2y  z  1  3x  y  3z  -1 4x  2 y  1z  1  1)Matricia l A.X  B :

2 2 1  x   1   3 1 3 . y     1      4 2 1  z   1 

2 x  2 y  z  1  Sistema equivalent e :  -4 y  3z  -5  20 z  12 

(1) (2) (3)

b) Análisis de rango:  A   A/B  n  3 Sistema compatible determinado( n:números de incógnitas) c) Resolución del sistema equivalente:

2 x  2 y  z  1  -4 y  3z  -5   20 z  12  de(3)

z

(1) (2) (3)

- 12 3 3  z 20 5 5

9  3 de( 2)  4 y  3z  5  4 y  3    5  4 y    5 5  5 16 16 4  4y    y   5 20 5  4   3 de(1)  2 x  2 y  z  1  2 x  -2 y-z  1  2 x  -2       1  5  5 2x  0  x  0  4 3   S   0; ;    5 5  

42

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Pagina interesante para verificar resultados. http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/combined_equations/ Ejercicios resueltos . Dado los siguientes sistemas de ecuaciones 1) Expresarlo en forma matricial 2) Resolverlo 3) Clasificarlo mediante el teorema de Rouche Frobenuis.

I)

3x  y  z  -1  9x  2y  z  -9 3x  y - 2z  -9 

 3  1 1   x    1 1)Matricia l A.X  B : 9  2 1 . y     9       3 1  2  z    9

Sistema equivalente

43

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

1) 3x  y  z  -1 36  3y  6z  -18 2)  3) 9z  36  z  4  9  9z  36 3)  se reemplaza z  4 en 2) 3 y-6 z  -18  3 y-6.4  -18 3y - 24  -18  3y  -18  24  6 6 2 y 2 3 3x-y  z  -1  3x  2  4  1  3x  2  1 y

reemplazo en 1) 3x  3  x  1 S  ( 1,2,4)

3)RgA=3 y RgA/B=3 rango es igual a 3 ( se usa Rg; r o ρ todo simboliza al rango) El número de incógnita n=3 n=r=3

x  0 y  z  4  II ) 2x  y  0z  3 3x  y  z  7 

SCD

1 0 1  x   4 1)Matricia l A.X  B : 2 1 0. y    3       3 1 1  z  7

x  z  4 Sistema equivalent e :    A   A / B  2  n  3  SCI  y-2 z  -5

Sistema compatible indeterminado.

44

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

(1) x  z  4    ( 2)  y-2 z  -5 S  se verifica z  R  0z  0 (3)  Sistema compatible indetermin ado    de(1)  x  4  z de( 2)  y  5  2 z

S  4  z,  5  z , z / z  R 

Si le damos valores

z  R donde   1 la solución es : S  4   ,  5  2 , 

x  z  2  III ) 2 x  y  0   y  2z  2

/   R 

x  0 y  z  2   completamo s : 2 x  y  0 z  0  0 x  y  2 z  2

2 x  z  2  Sistema equivalent e : -y  2 z  -4 0 z  2  Sistema incompatib le (SI)  S  S 

SISTEMA INCOMPATIBLE

SEL HOMOGENEAS –SELHVamos a trabajar con las mismas ecuaciones pero con sistemas homogéneos asociados. Para un sistema homogéneo la expresión matricial es :

2 2 1  x  0 A.X  0 : ejemplo :  3 1 3 . y   0      4 2 1  z  0

45

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Donde el conjunto solución es: S H  X / A.X  0 el sistema compatible determinado solo admite solución trivial , es decir x = y = z = 0

3x  y  z  0  I ) 9x  2y  z  0 3x  y - 2z  0 

 3  1 1   x   0 1)Matricia l A.X  0 : 9  2 1 . y   0      3 1  2  z  0

La resolución es la misma que el ejercicio anterior no cambia el sistema equivalente. Se puede trabajar directamente con el sistema equivalente donde bi =0

1) 3x  y  z  0  3y  6z  0 2)  SH  siempre es compatible   9z  0 3)   A   A /B  3  es Determin ado  la solucion es la trivial S H  (0,0,0)

x  0 y  z  0  II ) 2x  y  0z  0 3x  y  z  0 

 1 0 1   x   0 1)Matricia l A.X  0 : 2 1 0. y   0       3 1 1  z  0

(1) x  z  0  (2)  SH : Sistema siempre compatible  y-2 z  0 ρ A  ρ A/B  2  n  2 de(1)  x   z de(2)  y  2 z S

- , 2 ,  

con z  λ  R

S

-z , 2 z , z 

46

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

x  z  0  III ) 2 x  y  0   y  2z  0

ASIGNATURA : ALGEBRA

x  0 y  z  0   completamo s : 2 x  y  0 z  0  0 x  y  2 z  0

(1) 2 x  z  0  Sistema equivalent e : -y  2 z  0 ( 2)  Homogéneo : siempre compatible 0 z  0   A   A / B  2 y n  3    n  Indetermin ado S   de(1) z  2 x  x 

z 2

de(2) 2 z  y  z  S   , 2 z , z     2

SCI

Cuando se pidan los ejercicios seria: a)

Escribirlo en forma matricial

b)

Obtener el sistema equivalente

c)

Hallar el conjunto solución

d)

Clasificarlo

e)

Resuelve el sistema homogéneo asociado.

47

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

INECUACIONES En la vida cotidiana utilizamos desigualdades. Al planear una compra, ya sea de una prenda de vestir, un regalo o un automóvil, no determinamos previamente cuánto vamos a gastar con exactitud, establecemos límites para ese gasto. Por ejemplo, la expresión “voy a comprar una remera, pero sólo tengo $30”, si llamamos x al precio, equivale a la desigualdad: x < 30. O bien, “compraremos un regalo, podemos gastar entre $30 y $50’ llamando x al precio, equivale a la desigualdad: 30 < x < 50. Las inecuaciones son desigualdades que contienen incógnitas Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones. Las expresiones algebraicas que están formadas por desigualdades, reciben el nombre de inecuaciones. En ellas también puede haber una o más variables. A diferencia de las ecuaciones que se traducen mediante igualdades, las inecuaciones se traducen mediante desigualdades, es decir que ambos miembros estarán relacionados por medio de los signos mayor (>) , mayor o igual

  , menor (<) o menor o igual   .

DESIGUALDADES LINEALES Objetivos: Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la notación de intervalos.

Ejemplo

De los números reales: “El triple de un número real disminuido en cuatro unidades es menor que diecisiete. ¿Qué números verifican este enunciado?

3x - 4  17 3x  17  4  x 

21 x7 3

Como estamos trabajando en los 3 números reales, el conjunto solución es un intervalo S

 (;7)

¿Qué significa resolver una inecuación? Encontrar el conjunto de todos los valores que la satisfacen. Por lo que hemos visto hasta ahora, parecería que se resuelven como las ecuaciones. Sin embargo, no es así; el procedimiento es parecido pero no exactamente igual. Es cierto que si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta lo mismo, se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la dada. Esto también ocurre si se multiplican o dividen ambos miembros por un número positivo. En cambio, si se los multiplica o divide por un número negativo, la desigualdad se invierte, porque se está cambiando el signo de los dos miembros.

Propiedad de monotonía: si se suman miembro a miembro una desigualdad y una igualdad, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la dada. En símbolos:

a b y c  d  ac bd Análogamente, si se restan miembro a miembro una desigualdad y una igualdad, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la dada. Es decir

a  b y c  d  ac  bd

48

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Suponga que a y b son dos puntos sobre la recta de los números reales. Entonces, a y b coinciden, a se encuentra a la izquierda de b, o a se encuentra a la derecha de b (véase la fig. ).

Posiciones relativas de dos puntos. Si a y b coinciden entonces a  b . Si a se encuentra a la izquierda de b, decimos que a es menor que b y escribimos a  b , en donde el símbolo de desigualdad se lee “es menor que”. Por otra parte, si a se encuentra a la derecha de b, decimos que a es mayor que b y escribimos a  b . Los enunciados a  b y b  a son equivalentes. Otro símbolo de desigualdad,  , se lee “es menor o igual a” y se define como: a  b si y sólo si a  b o . a b. De manera semejante, el símbolo  está definido como: a  b si y sólo si a  b o . a  b .En este caso decimos que a es mayor o igual a b. Usaremos las palabras números reales y puntos de manera indistinta, ya que existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos que están sobre una recta. Así, podemos hablar de los puntos y 9, y escribir y (véase la fig. ). Claramente, si a 7 0, entonces a es positivo; si a 6 0, entonces a es negativo. Puntos en la recta numérica .(fig1)

Suponga que a  b , y x está entre a y b . Entonces no sólo a a  x , sino también x  b . Indicamos esto escribiendo a a  x  b que puede considerarse como una desigualdad doble.

Por ejemplo, 0  7  9 (como referencia regrese a la fig. 1). Acabamos de definir una desigualdad usando la relación menor que, pero las otras también podrían haber sido utilizadas. Definición: Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor que otro. Por supuesto, representamos las desigualdades por medio de símbolos de desigualdad. Si dos desigualdades tienen sus símbolos apuntando en la misma dirección, entonces decimos que tienen el mismo sentido. Si no, se dice que son de sentidos opuestos o que una tiene el sentido contrario de la otra. Por tanto, a  b y c  d tienen el mismo sentido, pero a  b tiene el sentido contrario de c  d . Resolver una desigualdad, como 2( x  3)  4 , significa encontrar todos los valores de la variable para los cuales dicha desigualdad es cierta. Esto implica la aplicación de ciertas reglas . Reglas para las desigualdades 1. Si un mismo número se suma o resta en ambos lados de una desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica,

a  b , entonces a  c  b  c y a  c  b  c Por ejemplo , 7  10 , de modo que 7  3  10  3

49

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera. 2. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica,

si a  b y c  0, entonces ac  bc y Por ejemplo, 3  7 y 2  0

a b  c c

y , de modo que 3( 2)  7 (2) y

3 7  . 2 2

3. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número negativo, entonces la desigualdad resultante tendrá el sentido contrario de la original. En forma simbólica,

si a  b y c  0, entonces a (  c )  b(  c ) y Por ejemplo 4  7 pero 4(- 2 )  7( 2)

y

a b  c c

4 7  2 2

4. Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse por una expresión equivalente a ella. En forma simbólica,

a  b y a  c , entonces c  b Por ejemplo, si x  2 y x  y  4, entonces y  4  2

5. Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíproco respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario a la desigualdad original. Por ejemplo, , 2  4 pero

1 1  2 4

6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevamos cada lado a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. Por tanto, si , entonces a  b en la última desigualdad.

0a b yn 0

n

n

Por ejemplo, 4  9 de modo que : 4  9 2

y 2

n

y

a  n b en donde suponemos que n es un entero positivo 4 9.

El resultado de aplicar las reglas 1 a 4 a una desigualdad se conoce como desigualdad equivalente. Ésta es una desigualdad cuya solución es exactamente la misma que la de la original. Aplicaremos estas reglas a una desigualdad lineal. Definición Una desigualdad lineal en la variable x es aquella que puede escribirse en la forma ax  b  0 donde a y b son constantes y a  0 . Resolución de una desigualdad lineal Ejemplo 1 :Resolver . 2( x  3)  4 Solución: Estrategia: reemplazaremos la desigualdad dada por desigualdades equivalentes hasta que la solución sea evidente.

50

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Todas las desigualdades son equivalentes. Por tanto, la desigualdad original es cierta para todos los números reales x tales que x  5 . Por ejemplo, la desigualdad es cierta para x  10 ;  0 ,1;0; 12 y 4,9 . Podemos escribir nuestra solución simplemente como y representarla de manera geométrica por medio de una semirrecta gruesa en la figura . El paréntesis indica que el 5 no está incluido en la solución.

En el ejemplo, la solución consistía en un conjunto de números, a saber, todos los menores que 5. En general, es común utilizar el término intervalo para referirse a tales conjuntos. En el caso del ejemplo , el conjunto de todas las x tales que x  5 puede denotarse por la notación de intervalo (,5) . El símbolo () no es un número, sino sólo una convención para indicar que el intervalo se extiende de manera indefinida hacia la izquierda. Existen otros tipos de intervalos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números x para los cuales a  x  b se conoce como un intervalo cerrado, que incluye a los números a y b, los cuales se llaman extremos del intervalo. Este intervalo se denota mediante [a, b] y se muestra en la figura 2(a). Los corchetes indican que a y b están incluidos en el intervalo. Por otra parte, el conjunto de todas las x para las que

Figura 2.Intervalos cerrados y abiertos.

a  x  b se llama intervalo abierto y se denota mediante (a, b). Los extremos no son parte de este conjunto [véase la fig. 2(b)]. Para ampliar estos conceptos, tenemos los intervalos mostrados en la figura 3.

Figura 3.Intervalos. Ejemplo 2 :Resolver . 3  2 x  6 Solución:

51

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

La solución es x  

ASIGNATURA : ALGEBRA

3  3  , o, en notación de intervalo,   ,   . Esto se representa geométricamente en la 2  2 

figura 4.

 3



Intervalo   ,    2  Ejemplo 3 a) Resolver . 2( x  4)  3  2 x  1 Solución:

Como nunca será verdadero que 11  1 , no existe solución y el conjunto solución es vacío  . b) Resolver 2( x  4)  3  2 x  1 Solución: procediendo como en la parte (a), obtenemos 11  1 . Esto es verdadero para todos los números reales x, de modo que la solución es ( , ) ; véase la figura

Trabajo práctico Desigualdades.

Ejemplo de aplicación de desigualdades Renta versus compra Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una máquina excavadora. Si fuese a rentar la máquina, el costo de la renta sería de $3000 mensuales (sobre la base de un año) y el costo diario (gas, aceite y operador) sería de $180 por cada día que la máquina se utilice. Si él fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serían de

52

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

$20,000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serían de $230 por cada día que la máquina se utilizara. ¿Cuántos días al año por lo menos, tendría que utilizar el constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra? Solución: Estrategia: vamos a determinar expresiones para el costo anual de la renta y el costo anual de la compra, así encontraremos cuándo el costo de la renta es menor que el de la compra. Sea d el número de días de cada año que la máquina será utilizada. Si la máquina se renta, el costo total anual consiste en los gastos de la renta, que son (12)(3000) y los costos diarios de 180d. Si la máquina se compra, el costo por año es 20000+230d. Queremos que

Por tanto, el constructor debe utilizar la máquina al menos 321 días para justificar rentarla. Problemas: 1) Utilidad: Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $70,000. Si el precio de venta de un calentador es $35, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades? 2) Razón de activo: La razón de activo de un negocio es el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercancías y cuentas por cobrar), a sus pasivos circulantes (préstamos a corto plazo e impuestos). Después de consultar con el contralor, el presidente de la Ace Sports Equipment Company decide pedir un préstamo a corto plazo para hacerse de inventario. La compañía tiene un activo de $350,000 y un pasivo de $80,000. ¿Cuánto pueden pedir prestado si quieren que su razón de activo no sea menor que 2.5? (Nota: los fondos que recibirán se consideran como activo y el préstamo como pasivo.) 3) Arrendamiento con opción a compra vs. compra Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de poseer un automóvil y el de arrendarlo con opción a compra. Ella puede arrendar un automóvil por $420 al mes (con una base anual). Bajo este plan, el costo por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si ella compra el automóvil, el gasto fijo anual sería de $4700, y otros costos ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuántas millas por lo menos tendría que conducir ella por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra?. 4) Publicidad: El costo unitario de publicación de una revista es de $0.65. Cada una se vende al distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es el 10% de la cantidad recibida por todas las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que pueden publicarse sin pérdida, esto es, que utilidad  0 . (Suponga que toda la emisión se venderá.).

DESIGUALDADES LINEALES DE DOS VARIABLES Objetivos: Representar en forma geométrica la solución de una desigualdad lineal con dos variables y ampliar esta representación a un sistema de desigualdades lineales. La desigualdad y  2 x  4 , que relaciona las variables x y y, es un ejemplo de lo que llamamos desigualdades lineales. Empecemos examinando este ejemplo particular en términos de una gráfica. La ecuación y  2 x  4 tiene como gráfica una línea recta cuya pendiente es 2 y ordenada al origen -4. Aparece como una línea a trazos en la figura 1. Como un ejemplo, cuando x = 4, y = 2(4) -4 = 4, de modo que el punto (4, 4) está sobre la línea, como se advierte en la figura 1.

53

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

Consideremos ahora la desigualdad y  2 x  4 Cuando x = 4, adopta la forma y > 2(4) - 4, o y > 4. Así, todos los puntos de la forma (4, y) en donde y > 4 satisfacen la desigualdad. En forma gráfica, esto significa que sobre la línea vertical x =4, la desigualdad todos los puntos situados arriba del punto (4, 4).

ASIGNATURA : ALGEBRA

y  2 x  4 se satisface para

De manera similar podemos considerar la línea vertical x = 1. Sobre esta línea, la desigualdad y  2 x  4 se reduce a y >-2. Que es satisfecha por los puntos (1, y) que están sobre esta línea vertical arriba del punto (1, 2). (Véase la figura 1). Puede advertirse en forma análoga que la desigualdad y  2 x  4 es satisfecha por todos los puntos (x, y) situados por arriba de la línea recta y = 2x - 4. Esta región del plano xy se dice que es la gráfica de la desigualdad dada. Una desigualdad lineal entre dos variables x y y es cualquier relación de la forma Ax +By +C =0 (o <0) o Ax + By + C ≥ 0 (o ≤0). La gráfica de una desigualdad lineal consta de todos aquellos puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad. Consiste de una región del plano xy, no sólo de una línea o curva. La gráfica de la desigualdad Ax+ By+ C > 0 es un semiplano acotado por la línea recta cuya ecuación es Ax + By + C= 0. La figura 2 ilustra algunas desigualdades lineales. En cada caso, el semiplano que satisface la desigualdad se encuentra sombreado.

54

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

La gráfica de y  mx  b es el semiplano por encima de la línea y  mx  b y la gráfica de y  mx  b es el semiplano debajo de la línea y  mx  b . Si la gráfica incluye a la línea, la indicamos con una línea continua; de otra forma usamos una línea a trazos. Este tipo de líneas siempre corresponde a una desigualdad estricta (> o <) y una línea continua está asociada a una desigualdad débil (≥ o ≤). Ejemplo 1 Bosqueje la gráfica de la desigualdad lineal 2 x  3 y  6 Solución En primer término resolvemos en la desigualdad dada para y en términos de x (esto es, la expresamos en una de las formas y  mx  b o y  mx  b ).

2x  3y  6  3y  6  2x Dividimos ahora ambos lados entre -3. Recuerde que cuando dividimos los términos de una desigualdad entre un número negativo, el signo de la desigualdad se cambia. (ver propiedades).

y

6  2x 2  y  x2 3 3

Enseguida graficamos la línea y 

2 3

x  2 . Para x =0, tenemos que y =-2. Así, (0, -2) es un punto sobre la

línea. De nuevo, cuando y =0, tenemos que

2 3

x20 o x 3

En consecuencia, (3, 0) es otro punto sobre la línea. Graficamos estos puntos y los unimos mediante una línea a trazos (porque tenemos una desigualdad estricta). Puesto que la desigualdad dada, cuando la resolvemos para y, contiene el signo mayor que, la gráfica es el semiplano situado por arriba de la línea a trazos (Figura 3).

Las desigualdades lineales aparecen en muchos problemas de interés práctico.

55

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Se aplica en matemáticas como programación lineal. Los ejemplos siguientes ilustrarán algunas situaciones comunes en que aparecen desigualdades lineales. Ejemplo 2 (Inversiones) Un accionista planea invertir $30,000 en dos inversiones A y B. La acción A está valuada actualmente en $165 y la acción B en $90 por acción. Si el accionista compra x acciones de A y y acciones de B, grafique la región del plano xy que corresponda a las posibles estrategias de inversión. Solución Las x acciones de la inversión A a $165 por acción tienen un costo de 165x dólares. De manera similar, y acciones de la inversión B a $90 tienen un costo de 90y dólares. La suma total invertida es, por tanto,

(165x  90 y )dolares

y ésta no puede exceder $30,000. En consecuencia,

165x  90 y  30.000

Resolvemos para y.

165x  90 y  30.000 90 y  30.000  165x 165 30.000 x 90 90 11 1000 y  x 6 3 y

La gráfica de esta desigualdad aparece en la figura 4. En este ejemplo, sólo tiene importancia la región para la cual x  0 y y  0 , de modo que la región sombreada tiene forma triangular en lugar de semiplano.

En muchas situaciones prácticas, surgen problemas que requieren más de una desigualdad lineal. Problemas: 1) (Inversiones) En el ejemplo anterior, la acción A actualmente paga un dividendo de $6 por acción y la inversión B paga $5 por acción. Si el accionista requiere que la inversión le pague más de $1400 en dividendos, bosqueje la gráfica de la región permitida. 2) (Distribución de agroquímicos) Una compañía de agroquímicos produce funguicidas 3 en dos fábricas, F1 y F2. La fábrica F1 puede producir 100 lts(en miles) a la semana y la fábrica F2, 200lts ( en miles). La compañía tiene tres centros de distribución, X, Y y Z. El centro X requiere 50 a la semana, Y demanda 75 y Z requiere de 125 por semana, con el propósito de satisfacer las demandas de sus áreas respectivas. Si la fábrica F1 suministra x lts de funguicidas a la semana a su centro de distribución X, y funguicidas a Y y z funguicidas a Z, escriba las desigualdades que deben satisfacer x, y y z.

3

Fungicidas: funcionan al igual que los herbicidas e insecticidas pero repelen todo tipo de hongos en plantas o cultivos

56

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

3) (Asignación y utilidades) En el ejercicio 24, suponga que la compañía obtiene utilidades de $20 por cada artículo A y $30 por cada artículo B. Si se requiere que la utilidad semanal sea al menos de $1100, represente los valores permitidos de x y y gráficamente.

SISTEMAS DE DESIGUALDADES La solución de un sistema de desigualdades consiste en todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen de manera simultánea todas las desigualdades dadas. En forma geométrica, es la región común para todas las regiones determinadas por las desigualdades dadas. Por ejemplo, resolvamos el sistema

2 x  y  3  x  y 2 y  1  0  Primero escribimos de nuevo cada desigualdad de modo que y esté aislada. Esto da el sistema equivalente

 y  2 x  3  y  x  y  1/ 2   y  2 x  3  Ahora hacemos el bosquejo de las rectas correspondientes  y  x .  y  1/ 2  Observamos que la primera y tercera desigualdades definen semiplanos abiertos, pero la segunda define un semiplano cerrado, entonces sombreamos la región que de manera simultánea está por encima de la primera recta, sobre y por debajo de la segunda recta y, al mismo tiempo, por encima de la tercera recta (véase la fig. 5). Cuando se está haciendo el bosquejo de las rectas, es mejor dibujar siempre rectas punteadas hasta que sea claro cuáles partes estarán incluidas en la solución.

Figura 5 Solucion de un sistema de desigualdades lineales.

Problemas. Resolver el sistema

57

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Aplicaciones de Desigualdades: Programacion lineal Algunas veces se desea maximizar o minimizar una función sujeta a algunas limitaciones (o restricciones). Por ejemplo, un fabricante puede querer maximizar una función de utilidad sujeta a las restricciones de producción, que imponen las limitaciones sobre el uso de la maquinaria y la mano de obra. Ahora consideraremos cómo resolver tales problemas cuando la función que será maximizada o minimizada es lineal. Una función lineal en x y y tiene la forma

Z  ax  by

donde a y b son constantes. También requeriremos que las correspondientes restricciones estén representadas por un sistema de desigualdades lineales (que incluyan “≤ “ o “ ≥” ) o ecuaciones lineales en x y y, además de que todas las variables sean no negativas. Un problema que involucra todas estas condiciones se llama problema de programación lineal4. En un problema de programación lineal, la función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular existe un número infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que sea una solución óptima (esto es, una que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo). Ahora daremos un enfoque geométrico de la programación lineal. El método simplex se presenta desde un enfoque matricial que nos permitirá trabajar con más de dos variables y, por tanto, con una mayor variedad de problemas. Ejemplo Problema: Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres máquinas agrícolas, A, B y C. La tabla 1 da la información relacionada con la fabricación de estos artículos. Cada artículo manual requiere del uso de la máquina A durante 2 horas, de la máquina B por 1 hora y de la máquina C otra hora. Un artículo eléctrico requiere 1 hora de la máquina A, 2 horas de la B y 1 hora de la C. Además, supongamos que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las máquinas A, B y C es de 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y por cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos que puede producir, ¿cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual? Para resolver el problema, establezcamos que x y y son el número de artículos manuales y eléctricos, respectivamente, fabricados en un mes. Ya que el número de artículos producidos no es negativo, x0 y y 0.

4

La programación lineal fue desarrollada por George B. Dantzig al final de la década de l940, y la Fuerza Aérea de Estados Unidos fue quien la utilizó primero, esto como una ayuda en la toma de decisiones. Actualmente tiene una amplia aplicación en los análisis industrial y económico.

58

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Para la máquina A, el tiempo necesario para trabajar sobre x artículos manuales es 2x horas y el tiempo para trabajar sobre y artículos eléctricos es 1y horas. La suma de estos tiempos no puede ser mayor que 180, de modo que

2 x  y  180

De manera semejante, las restricciones para las máquinas B y C dan

x  2 y  160 x  y  100

La utilidad P es una función de x y y, y está dada por la función de utilidad

P  4x  6 y

En resumen, queremos maximizar la función objetivo P  4x  6 y (1) sujeta a las condiciones de que x y y deben ser soluciones del sistema de restricciones:

x  0 y  0   2 x  y  180  x  2 y  160    x  y  100

(2) (3) (4) (5) (6)

Por tanto, tenemos un problema de programación lineal. Las restricciones (2) y (3) se llaman condiciones de no negatividad. La región que satisface de manera simultánea las restricciones de la (2) a la (6) está sombreada en la figura 2. Cada punto en esta región representa una solución factible, y dicha región se llama región factible. Aunque existe un número infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice la función de utilidad. Ya que la función objetivo P  4 x  6 y ,es equivalente a

y

2 P x 3 6

define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente de – 2/ 3 e intersección y (0,P/ 6). Por ejemplo, si P= 600, entonces obtenemos la recta

y

2 x  100 3

que se muestra en la figura 3. Esta recta, llamada de isoutilidad (isoganancia), da todas las combinaciones posibles de x y y con las que se obtiene la misma utilidad, $600. Observe que esta línea de isoutilidad no tiene puntos en común con la región factible, mientras que la línea de isoutilidad para P=300 tiene un número infinito de puntos en común con la región factible. Busquemos un miembro de la familia que tenga un punto factible y cuyo valor de P sea máximo.

59

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Éste será la recta cuya intersección y sea la más lejana del origen (esto da un valor máximo de P), y que al mismo tiempo tenga al menos un punto en común con la región factible. No es difícil observar que tal recta contendrá al vértice (punto extremo, esquina) A. Cualquier recta de isoutilidad con una utilidad mayor no contendrá puntos de la región factible. A partir de la figura 2 vemos que A pertenece a las rectas x  y  100 y x  2 y  160 . Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema

 x  y  100   x  2 y  160 Esto da x=40 y y=60. Sustituyendo estos valores en P  4 x  6 y , encontramos que la utilidad máxima sujeta a las restricciones es de $520, que se obtiene al producir 40 artículos manuales y 60 eléctricos cada mes. Si una región factible puede estar contenida dentro de un círculo, como la de la figura 3, se denomina entonces región factible acotada. De otra manera es no acotada. Cuando una región factible contiene al menos un punto, se dice que es no vacía; en caso contrario es vacía. Así, la región de la figura 3 es una región factible acotada no vacía.

Puede demostrarse que: Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía, tiene un valor máximo (mínimo) que puede hallarse en un vértice (punto extremo, esquina).

60

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

Este enunciado nos da una forma de encontrar una solución óptima sin dibujar las rectas de isoutilidad como lo hicimos antes. Basta con evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible, y después seleccionar un vértice en el que la función sea óptima. Por ejemplo, en la figura 3 los vértices son A, B, C, D y E. Encontramos como antes, que A es (40, 60). Para encontrar B, de la figura 2 advertimos que debemos resolver de manera simultánea 2 x  y  180 y x  y  100 . Esto da el punto B=(80, 20). De manera similar obtenemos todos los vértices:

A  ( 40,60),

B  (80,20), D  (0,0),

Ahora evaluamos la función objetivo

C  (90,0) E  (0,80)

P  4 x  6 y en cada uno de los puntos:

Así, P tiene un valor máximo de 520 en A, donde x=40 y y=60. La solución óptima para un problema de programación lineal está dado por el valor óptimo de la función objetivo y el punto donde ocurre dicho valor. Problemas 1) Maximizar la función objetivo Z=3x+y sujeta a las restricciones

2) Minimizar la función objetivo Z=8x-3y sujeta a las restricciones

Observaciones: Siempre que la región factible de un problema de programación lineal sea vacía, no existe solución óptima.

Ejercicios:

61

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LICENCIATURA EN ADMINISTRACION RURAL

ASIGNATURA : ALGEBRA

62