Teori Peluang Dan Latihan - Mat#3 S. Ganjil (07 - 08)

Banyaknya munculnya kejdian acak gambar = 50 – 26 = 24. Sedangkan banyaknya kejadian suatu percobaan ada 50, maka

PELUANG / PROBABILITAS A.

PERCOBAAN ERCOBAAN, RUANG CONTOH, dan KEJADIAN

Percobaan adalah suatu kegiatan yang memberikan suatu hasil yang dapat diamati. Hasil yang diamati dalam percobaan disebut hasil percobaan. Contoh : percobaan melempar sebuah dadu, hasil yang terjadi berupa munculnya mada dadu 1, mata dadu 2, 3, 4, 5, 6. Ruang Contoh atau Ruang Sampel adalah himpunan dari hasil yang mungkin dari sebuah percobaan. Titik Sampel adalah anggota – anggota dari Ruang Sampel. Contoh : Dari pelemparan sebuah dadu di atas, Ruang Sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedangkan Titik Sampelnya berupa 1, 2, 3, 4, 5, 6.. Menentukan ruang sample suatu percobaan, dapat dilakukan dengan diagram pohon atau tabel. tabel Contoh : 1. Pelemparan Dua Mata uang

Uang pertam a

Uang kedua A G

A

G

(A,A)

(A,G)

(GA)

A

(A, A)

G

(A, G)

A

(G, A)

G

(G, G)

f(gambar) = persen).

G

S = {(A,A), (A, G), (G, A), (G, G)}. Ada 2 x 2 = 4 titik sampel. samp l. Dapatkah kamu buat tabel dan diagram pohon untuk pelemparan tiga mata uang ? Kesimpulan apa yang peroleh ?

1.

Pada pelemparan sebuah dadu bermata enam sebanyak 1 kali, kejadian acak dadu bermata genap ada .....

2.

Pelemparan 2 buah uang logam dengan sisi gambar (G) dan sisi angka (A) berupa ........

3.

Sebuah kotak berisi 5 bola warna biru. Sebuah bola diambil acak. Berapakah banyaknya kejadian acak yang terambil bola biru..

4.

Berapa banyaknya kejadian acak yang terjadi pada pengetosan satu dadu dan sekeping mata uang logam ?

5.

Sebauh dadu bermatra enam dan uang logam dilempar bersama – sama. Jika uang dianggap benda pertama dan dadu bermata enam sebagai benda kedua, tentukanlah : a. Ruang sampel dengan cara tabel b. Ruang sampel dengan cara diagram pohon.

6.

Tiga dadu bermata enam dengan dadu pertama adalah A, B, C, D, E, dan F. Mata dadu kedua adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Mata dadu ketiga adalah K, L, M, N, O, dan P. a. Carilah Ruang sampel dengan diagram pohon b. Carilah Ruang sampel dengan tabe el.

7.

Dua buah dadu bermata enam dengan perincian mata dadu pertama adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Mata dadu kedua dengan perincian A, B, C, D, E, F, dengan uang logam bermata A, dan G, dilempar bersamaan. a. Tentukan ruang sampel dengan diagram pohon b. Tentukan ruang sampel dengan tabel.

8.

Mia mempunyai 5 pakaian sekolah, 4 tas dan 2 pasang sepatu. a. Ada berapa cara Mia dapat memadukan pakaian, tas, dan sepatu ? Gunakan rumus langsung ! b. Tulis semua cara tersebut dengan diagram pohon.

2. Pelemparan dua dadu.

Dadu Pertama

Dadu Kedua 1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Ada 6 x 6 = 36 titik sampel. Dapatkah kamu gunakan metoda diagram pohon ? Samakah hasilnya ?

/50 atau 48% (terkadang dinyatakan dalam

LATIHAN 1

A

(G,G)

24

LATIHAN 2 1.

Sebuah kotak berisi 25 bola putih, 15 bola merah, 20 bola hitam dan 30 bola kuning. Sebuah bola diambil acak dari kotak tersebut, tentukan peluang bola yang terambil berwarna kuning,, hitam, merah, bukan kuning !

2.

Tiga uang logam dilempar bersamaan, Tentukan peluang munculnya dua gambar !

Notasi frekuensi kejadian acak A = f(A).. Dapat dinyatakan dalam persen, sehingga f(A) = P(A) x 100%

3.

Tiga uang logam dilempar bersamaan. Tentukan frekuensi relatif f ketiganya angka !

Contoh :

4.

Sebuah dadu dilempar 50 kali. Tabel berikut menunjukkan hasil – hasil pelemparan.

B.

PELUANG SUATU KEJADIAN

Peluang munculnya kejadian =

banyaknya kejadian(HASIL) yang dimaksud banyaknya kejadian yang MUNGKIN terjadi

Notasi Peluang suatu kejadian A adalah P(A).. frekuensir relatif =

1.

Banyaknya kejadian acak A banyaknya kejadian acak suatu percobaan

Pelemparan sebuah dadu bermata 6. Peluang munculnya mata 3

2.

Angka 1 2 3 4 5 6 Frekuensi 7 9 8 7 9 10 Tentukan frekuensi relatif f munculnya mata dadu 4, bilangan prima, dan bilangan genap !

1

dadu genap = P(genap) = = 6 2 Banyaknya kejadian munculnya mata dadu genap ada 3 (yaitu 2, 4, 6), sedangkan kejadian yang mungkin ada 6 (mungkin keluar mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6) Sebuah kotak terdapat 4 kelereng merah, 5 kelereng hijau, dan 6 kelereng kuning. Jika diambil sebuah kelereng secara acak, tentukan peluang terambil kelereng merah ! Karena banyaknya kelereng merah ada 4, maka banyaknya hasil = 4. Banyaknya kejadian yang mungkin terambil ada 15.

5.

Pada pelemparan sebuah dadu bermata enam sebanyak 1 kali, berapakah peluang munculnya mata dadu berupa bilangan prima genap, prima ganjil, lebih besar dari 6 ?

6.

Di kelas 3 terdapat 36 siswa, 15 diantaranya gemar Matematika, 19 siswa gemar Fisika, sisanya tidak gemar kedua – duanya. Apabila seorang siswa dipilih sebagai KM, berapa kemungkinan ia gemar : a. Matematika ? b. Fisika ? c. tidak gemar kedua – duany ya ?

7.

Satu huruf dipilih secara acak dari huruf – huruf pembentuk PROBABILITAS. Tentukan peluang bahwa huruf itu adalah : a. A b. B c. buka A dan B d. huruf vocal e. huruf mati.

4

P(Merah) = 4/15. 3.

Dari 50 kali pelemparan uang logam didapatkan 26 kali munculnya angka. Tentukan frekuensi relative munculnya gambar !

8.

Sebuah bilangan diambil secara acak dari bilangan – bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Berapa peluang munculnya bilangan : a. prima ? b. komposit ? c. lebih besar dari 7 ? genap ? e. ganjil ? f. prima ganjil ? g. prima genap ? komposit ganjil ? i. komposit genap ? j. tidak genap dan tidak ganjil ?

9.

Satu kartu diambil; dari satu set kartu bridge . Berapa peluang terambilnya kartu : a. warna hitam ? b. kartu warna merah ? c. kartu King ? d. kartu As ? e. kartu bernomor 10 ? f. kartu As skop ?

10. Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng putih, 10 kelereng merah, dan 6 kelereng kuning. Dari kantong itu diambil 2 buah kelereng, berapa peluang yang terambil : a. kadua – duanya kelereng putih ? b. keduanya kelereng merah ? c. keduanya kelereng kuning ? d. satu putih dan satu merah ?e. satu putih dan satu kuning ? f. satu merah dan satu kuning ? C.

BATAS – BATAS PELUANG

KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN

Peluang suatu kejdian A = P(A), P(A) sedangkan Komplemen suatu kejdian A = P(A’) Hubungan keduanya dinyatakan dalam : P (A) + P(A’) = 1 Contoh : •

Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilempar bersama – sama. Tentukan peluang : munculnya mata 2. b. munculnya mata dadu bukan 2 !

Dadu merah dan dadu putih dilempar bersama – sama. Berapa peluang muncul mata 3 untuk dadu merah dan mata 5 untuk dadu putih ? Jawab : 6 P (3 merah) = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}. P(I) = /36 6

P(Putih, 5) = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}. P(II) = /36 P(I dan II) = dipilih anggota persekutuannya yaitu (3,5), dengan 1 1 besar peluang = /36. Ternyata sama saja dengan P(I) x P(II) = /6 x /6 = /36.. Jadi kedua kejaian tersebut merupakan Kejadian 1

Saling Bebas.

Contoh : Dadu merah atau dadu putih dilempar bersama. Berapa peluang mata 3 dadu merah atau berjumlah 8 dadu putih ? Jawab : Kita mencari nilai P(3 merah atau berjumlah 8), rumus peluang Kejadian Saling Lepas tidak dapat kita pakai, karena A ∩ B ≠ ∅, yaitu A ∩ B = {(3,5)}. A ∪ B = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (2,6), (6,2), (4,4), 10 (5,3)}, berarti n(A ∪ B) = 10, maka P (A ∪ B) = /36 1

1

LATIHAN 1

1

F.

1.

Kejadian saling lepas terjadi jika antar kejdian itu tidak

mungkin saling mempengaruhi. ( A ∩ B = ∅ ) Berlaku P(A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh : Pelemparan 2 dadu bersama – sama, diperoleh hasil pelemparan dadu I tidak terpengaruh oleh hasil pelemparan dadu II. Berapa peluang munculnya dadu berjumlah 5 ? berjumlah 7 ? Berjumlah 5 atau 7 ? Jawab :

2.

Sebuah tas sekolah berisi sebungkus permen karet, 6 bungkus coklat, dan 7 bungkus permen jahe. Apabila satu bungkus diambil secara acak dari kotak, tentukan kemungkinan terambilnya bukan sebungkus permen jahe.

3.

Peluang seorang siswi terpilih menjadi bendahara kelas adalah 0,95 dan menjadi ketua kelas adalah 0,5. Berapa persenkah peluang siswi tersebut tidak menjadi bendahara kelas dan berapa persen peluangnya tidak terpilih menjadi ketua kelas ?

4.

Data hasil penelitian lapangan menyatakan peluang bayi yang lahir kemudian meinggal adalah 0,005. Berpa persen peluang bagi yang lahir dan bertahan hidup ?

5.

Sebuah uang logam dilempar 500 kali. Berpa frekuensi harapan munculnya sisi Gambar ?

6.

Nilai kemungkinan gagal mengikuti tes mask pegawai negri adalah 0,28 dan frekuensi harapan yang diterima sebagai pegawai negri sebanyak 1.440 orang. A. Berapa orangkah yang mengikuti tes tersebut ? b. Berapa orangkah yang gagal menjadi pegawai negri ?

7.

Sebuah perusahaan pemintalan mempunyai mesin pintal 2200 unit. Peluang sebuah mesin rusak adalah 2,5 %. a. Berapakah banyaknya mesin pintal yang munghkin rusak tiap tahun ? b. Biaya perbaikan sebuah mesin setiap kali mengalkami kerusakan adalah Rp 67.500,00. Berapakh biaya perbaikan seluruh mesin selama 1 tahun ?

8.

Peluang sebutir telur dierami menetas 85%. Bila ada 40 butir yang dierami, berapa butir telur yang kita harapkan menetas ? dan berapa butir telur yang gagal menetas ?

4

ruang sampel = {(2,3), (3,2), (4,1), (1,4)}. P(jumlah 5) = /36 = 1

/9 Ruang sampel = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}. 6 1 P(jumlah 7) = /36 = /6 P (jumlah 5) ∪ P(jumlah 7) = {(2,3), (3,2), (4,1), (1,4), (1,6), 1

1

5

(6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} = 1/9 + /6 = 5/18

9

Dua mata dadu bermata 6 berwarna merah dan biru dilemparkan bersamaan. Hitung peluang miunculnya : a. mata dadu berjumlah 5 b. mata dadu berjumlah lebih dr 3 c. mata dadu merah ganjil d. mata dadu kedua – duanya genap.

KEJADIAN SALING LEPAS DAN SALING BEBAS

Jika pada suatu saat terjadi 2 kejadian atau lebih bersama – sama, maka dapat terjadi kemungkinan seperti berikut :

1

1.

Kemungkinan seorang siswa tidak naik kelas dalam satu tahun adalah 0,12> Dari 300 siswa sekolah SMP BAKAT, berpa orangkah diperkirakan mengalami tidak naik kelas di akhir tahun ajaran ? Jawab : Yang tidak naik sebanyak = P(tidak naik) x banyak siswa. Banyaknya = 0,12 x 300 = 36 siswa.

1

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = /6 + /9 – /36 = /36

FREKUENSI HARAPAN

Contoh :

c.

1

Peluang seorang anak diterima di sekolah swasta adalah 0,8. Berapa peluang ia tidak diterima ? Jawab : P(tidak diterima) = 1 – P(diterima) = 1 – 0,8 = 0,2.

5

Frekuensi harapan kejadian A = P(A) x banyak percobaan

b.

Jika pada kemungkinan Kejadian bebas P(A ∩ B) ≠ P(A) x P(B) disebut Kejadian Saling Bergantung Berlaku : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Jadi P(A) = /6, P(B) = /9, P (A ∩ B) = /36, maka

E.

a.

1

Jawab : P(3) = /6, sedangkan P(bukan 3) = /6.

1

•

Kejadian Saling Bebas terjadi jika kejadian I tidak terpengaruh oleh terjadi atau tidak terjadinya kejadian II. Jadi I ∩ II ≠ ∅ Berlaku : P (A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh :

3.

Peluang suatu kejadian dapat bernilai 1 (Pasti), 0 (Mustahil), atau antara keduanya. Kisaran peluang suatu kejadian A dinyatakan dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1 D.

2.

9.

Dua buah dadu bermata 6 digulingkan 180 kali. Berapakah peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 8 ? Berapa frekuensi harapan munculnya kedua mata dadu berjumlah 8 ?

5.

Lima belas kartu diberi nomor 1 s.d 15. Kartu dikocok kemudian diambil satu kartu secara acak. Berapa peluang bahwa kartu yang terambil adalah: a. kartu bukan kelipatan 3 b. kartu bukan prima c. kartu bukan genap dan kelipatan 3

6.

Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar undi satu kali. Tentukan peluang memperoleh: a. mata dadu ganjil dan sisi gambar pada uang logam b. mata dadu prima ganjil dan sisi angka pada uang logam c. mata dadu 2 dan sisi angka pada uang logam

7.

Jika A dan B dua kejadian yang terpisah dengan P(A) = 0,6 dan P(B) = 0,5 hitunglah : a. P(A∪ ∪B) b. P(A ∩ B) c. P( A’ ) d. P( A’ ∩ B) e.P(A’ ∩ B’ )

8.

Dua puluh kartu diberi angka 1 sampai dengan 20. Kartu ini dikocok kemudian diambil satu kartu secara acak. Pengambilan kartu dilakukan 100 kali (setiap pengambilan kartu dikembalikan). Berapa frekuensi harapan muncul kartu berangka: a. prima c.. habis dibagi 2 dan 3 b.. ganjil habis dibagi 3 d. kurang dari atau sama dengan 7

9.

Dari setumpukan satu set kartu bridge diambil satu kartu secara acak. Pengambilan dilakukan 13 kali (setiap pengambilan kartu dikembalikan). Tentukan frekuensi harapan yang terambil adalah: a. kartu sekop b. kartu As

LATIHAN 2 1.

2.

3.

4.

Sebuah dadu bermata enam dilempar. Apabila A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap dan B adalah kejadian muncul mata dadu bil prima, maka tentukan apakah A dan B saling lepas ? Sebuah kantong berisi 10 buah bola berwarna merah dan 4 buah bola berwarna kuning. Sebuah bola diambil secara acak dari kantong tersebut. Tentukan probabilitas bahwa bola itu berwarna kuning atau merah ! Pada pelemparan dua buah uang logam seribuan. A adalah kejadian muncul Gambar pada uang logam pertama dan B adalah kejdian muncul Gambar pada uang logam kedua. Apakah A dan B saling bebas ? Sebuah dadu bermata enam dilempar dua kali. A adalah kejadian muncul mata dadu 4 atau 5 pada lemparan I dan B adalah kejadian muncul mata dadu 1 atau 4 pada pelemparan kedua. Tentukan : a. P(A) b. P(B) c. Apakah A dan B saling bebas ? 1

5.

A dan B saling lepas dengan P(A) = ¼ dan P(A ∪ B) = /3. Hitunglah P(B). !

6.

Probabilitas seoran laki – laki akan hidup 10 tahun lagi adalah

¼ dan proibabilitas istrinya akan hidup 10 tahun lagi adalah 1

/3. Tentukan probabilitas bahwa keduanya akan tetap hidup dalam 10 tahun lagi. 7.

1

A dan B saling bebas dengan P(A) = /6, P (A ∪ B) = 1/3, dan P(B) = ½. Hitunglah : a. P(A ∩ B) b. P(A’ ∩ B’) c. P(A’ ∪ B’)

8.

A dan B adalah kejdian saling bebas dengan P(A) = 0,8, P(B) = 0,4, dan P(A ∩ B) = 0,32. Tentukanlah : a. P(A ∪ B) dan b. P(A’ ∩ B’)

9.

A dan B adalah kejadian saling bebas dengan P(A) = 0,4, P(A atau B) = 75%, serta P(A dan B) = 0,15. Tentukanlah P(B) dalam persen !

10. Kotak I berisi 8 buah lampu dengan 3 diantaranya rusak, kotak II berisi 5 buah lampu dengan 2 diantaranya rusak. aSebuah lampu diambil secara acak dari masing – masing kotak. Tentukan probabilitas bahwa kedua lampu yang diambil tidak rusak.

LATIHAN COMPREHENSIF ESSAY 1. Hitunglah peluang dari : a. munculnya angka ganjil dari pelemparan sebuah dadu bermata enam b. terambilnya kartu As, King, Queen, Jack dari seperangkat kartu remi. c. munculnya dua angka dan satu gambar dari tiga koin yang dilempar bersamaan. d. munculnya jumlah mata dadu bilangan prima dari dua dadu bermata 6 yang dilempar bersamaan satu kali. 2.

Sebuah dadu dilempar 2 kali. Tentukan peluang munculnya : a. Mata dadu genap pada lemparan pertama dan mata dadu ganjil pada lemparan kedua. b. Mata dadu genap pada lemparan pertama dan kedua.

3.

Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu remi. Tentukan peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As!

4.

Sebuah kantong berisi 9 manik biru, 6 manik kuning dan 4 manik merah. Sebuah manik diambil secara acak. Tentukanlah peluang terambil manik biru atau kuning !

10. Dari setumpukan sampel acak sebanyak 90 komponen dikenakan pemeriksaan yang ketat dan 5 diantaranya ditemukan cacat. Tentukan frekuensi harapan cacat jika diperiksa setumpukan sampel acak sebanyak : a. 72 komponen b. 468 komponen PGB 11. Dua dadu dilempar bersamaan, peluang keluar mata dadu berjumlah 5 adalah .... a. 1/9 b. 1/ 6 c. 1/3 d. ½ 12. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar bersamasama. Peluang muncul gambar dan angka ganjil adalah ..... a. 1/12 b. 1/9 c. 1/ 6 d. ¼ 13. Dalam sebuah kantong terdapat 9 kelereng hijau, 6 kelereng kuning, dan 5 kelereng biru. Jika diambil 1 kelereng, peluang terambil kelereng hijau atau kuning adalah .... .a. 11/20 b. ¾ c. 4/5 d. 1 14. Dalam sebuah kantong terdapat 9 kelereng hijau, 6 kelereng kuning, dan 5 kelereng biru. Jika diambil 1 kelereng, peluang terambil kelereng kuning dan biru adalah .... .a. 3/40 b. 7/38 c. 11/20 d. 4/5 15. Jika 2 keping uang logam dilempar bersama-sama sebanyak 100 kali, maka frekuensi harapan kedua keping menunjukkan gambar adalah ........ a. 100 b. 50 c. 40 d. 25 16. Sebuah kantong berisi 2 kelereng merah, 8 kelereng biru, dan 10 kelereng kuning. Sebuah kelereng diambil secara acak dari dalam kantong. Peluang terambilnya kelereng kuning atau merah adalah ..... a. 13/20 b. 3/5 c. ½ d. 3/20 e. 1/20 17. Dua dadu berisi enam sisi dilempar bersamaan. Peluang munculnya mata dadu jumlahnya kurang dari lima atau lebih dari delapan adalah ...... a. 1/9 b. 1/6 c. 5/18 d. 5/12 e. 4/9 18. Dari setiap 100 bh lampu terdapat 5 lampu yang rusak. Bila seseorang membeli 40 bh lampu tersebut, maka diperkirakan banyak lampu yang dapat dipakai ....buah. a. 35 b. 36 c. 37 d. 38 19. Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilempar undi sebanyak 60 kali. Frekuensi harapan munculnya angka dan mata dadu genap adalah .....kali. a. 30 b. 20 c. 15 d. 10 20. Diketahui P(A) = 0,50 , P(B) = 0,40 , dan P(A ∩ B)’ = 0,20. P(A ∪ B)’ = ....... a. 0,30 b. 0,40 c. 0,60 d. 0,70 e. 0,90