Teorema Lui Pitagora

TEOREMA LUI P I T A G O R A • Cine a fost PITAGORA ? Pitagora (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a fost un filozof şi matematician grec, originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei. Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiţia îi atribuie descoperirea teoremei geometrice şi a tablei de înmulţire, care îi poartă numele. Ideile şi descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiaţi. Pitagora a fost şi un mare educator şi învăţător în spiritual grecesc şi se spune că a fost şi un atlet puternic, aşa cum stătea bine atunci poeţilor, filozofilor.

Teorema lui PITAGORA În orice triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egală cu suma pătratelor lungimilor catetelor. BC 2 =AB 2 +AC 2 B

D

A

C

Demonstraţie: În Δ ABC aplicăm de două ori teorema catetei: AC 2 =DC∙BC AB 2 =BD∙BC Adunăm relaţiile: AC2+AB2 =DC∙BC+BD∙BC=BC(DC+BD)=BC∙BC ⇒ AC 2 +AB 2 =BC 2 .

Observaţii: Toate tripletele de numere naturale care satisfac teorema lui Pitagora se numesc numere pitagorice. De exemplu: (3,4,5) , (6,8,10) , (15,20,25).

Aplicaţii ale teoremei lui Pitagora: 1. Să se calculeze înalţimile unui triunghi isoscel ABC în care AB=AC=10 şi BC=12. A

În Δ ABC ducem AD ⊥ BC şi BE ⊥ AC. În Δ ACD aplicăm Teorema lui Pitagora: AD 2 =AC 2 -DC 2 =100-36=64 AD=8.

E

Dar AD∙BC=BE∙AC ⇒ BE= B

BE= 9,6.

C

D

AD ⋅ BC 8 ⋅ 1 2 = = 9,6 AC 1 0

2. Să se calculeze înalţimea într-un triunghi oarecare ABC cu laturile AB=5, AC=6 şi BC=7. Calculăm înălţimea din A.( celelalte înălţimi se calculează în mod asemănator exerciţiului precedent) Notăm BD = x, atunci DC =7-x. Aplicăm teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri dreptunghice formate:

A

x B

7-x D

AD2 = AB2 – BD2 = 25 – x2

C

AC2 = AC2 – DC2 = 36 – (7 – x2) = -13 + 14x –x2 Egalăm cele două relaţii şi obţinem: 25 – x = 36 – (7 – x ) = -13 + 14x –x ⇒ x= 2

2

2

2 1 9 1 9 ⇒ BD= ⇒ AD= 2 − 5 1  9= 1 62 7 7 7 7