Teorema Di Lagrange Con Derive

Premessa teorica Il teorema di Lagrange rappresenta uno dei più importanti teoremi del calcolo differenziale. Il suo enunciato è il seguente: Se 𝒇 𝒙 è una funzione reale di variabile reale continua nell’intervallo chiuso e limitato 𝒂, 𝒃 e derivabile in ciascun punto interno di tale intervallo, esiste almeno un punto 𝒙𝟎 , interno all’intervallo 𝒂, 𝒃 , tale che: 𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂 𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝒃−𝒂

SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL TEOREMA L’espressione 𝑓′ 𝑥0 = ′

𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝑏−𝑎

ha un importante significato geometrico. Infatti

𝑓 𝑥0 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto 𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂 𝑃 𝑥0 ; 𝑓 𝑥0 . Invece 𝒃−𝒂 è il coefficiente angolare della retta passante per i punti

𝐴 𝑎; 𝑓 𝑎 e 𝐵 𝑏; 𝑓 𝑏 e quindi il teorema esprime il parallelismo tra la retta AB e la tangente nel punto 𝑥0 .

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Osservazione: Il teorema di Lagrange assicura quindi l’esistenza di almeno un punto 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 tale che la tangente al grafico della funzione nel punto 𝑃 𝑥0 ; 𝑓 𝑥0 è parallela alla congiungente AB i punti 𝐴 𝑎; 𝑓 𝑎 e 𝐵 𝑏; 𝑓 𝑏 .

Esercizio Utilizzando il software Derive, determinare gli eventuali punti della funzione 𝒇 𝒙 =

𝟐𝒙𝟐 +𝟏 𝒙

, interni all’intervallo 𝑰 = −𝟐; −𝟏 , che soddisfano il

teorema di Lagrange. Nel caso in cui essi esistano, determinare inoltre l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tali punti. Analisi del problema e procedimento operativo Come primo passo è necessario definire in Derive la funzione 𝑓 𝑥 e successivamente la seguente una procedura che permetta di risolvere l’equazione: 𝑓′ 𝑥0 =

𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝑏−𝑎

Tale procedura dovrà tener conto della risoluzione numerica della suddetta equazione all’interno dell’intervallo di riferimento 𝑎, 𝑏 e quindi sarà necessario sfruttare la funzione NSOLVE di Derive e la funzione DIF, che serve a calcolare la derivata di una funzione. La procedura che permette la risoluzione del problema è quindi la seguente: 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑎, 𝑏 ≔ 𝑁𝑆𝑂𝐿𝑉𝐸 𝐷𝐼𝐹(𝑓 𝑥 , 𝑥) =

𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 , 𝑥, 𝑎, 𝑏 𝑏−𝑎

In essa vengono presi in ingresso la funzione 𝑓 𝑥 e gli estremi a e b dell’intervallo di riferimento. I comandi NSOLVE e DIF richiedono rispettivamente: 

l’equazione da risolvere, la variabile e l’intervallo di risoluzione;



la funzione e la variabile di derivazione.

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Per determinare l’equazione della retta tangente è possibile utilizzare il comando TANGENT di Derive. La sintassi di tale comando è la seguente: 𝑇𝐴𝑁𝐺𝐸𝑁𝑇 𝑓 𝑥 , 𝑥, 𝑥0 ovvero sono richieste la funzione, la variabile e il punto in cui calcolare la tangente. Nel nostro caso tale punto è proprio quello determinato mediante la procedura 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒.

Per rappresentare la funzione, inseriamo: 

il punto 𝐶 𝑥0 , 𝑓 𝑥0 ;



il segmento di estremi 𝐴 𝑎, 𝑓 𝑎

e 𝐵 𝑏, 𝑓 𝑏 .

Dopo aver selezionato sulla finestra Algebra la funzione, l’equazione della tangente, il punto C e il vettore che rappresenta gli estremi del segmento AB, basta selezionare nella finestra grafica il comando Traccia il grafico, per ottenere il seguente: Erasmo www.matematica.blogscuola.it

Esercizi proposti Verificare se le seguenti funzioni soddisfano nell’intervallo a fianco indicato le ipotesi del teorema di Lagrange; in caso affermativo trovare i punti dell’intervallo che verificano il teorema. a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 1 b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 2 + 9

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𝐼 = 0; 1 𝐼 = 0; 4