Teorema Del Cateto.docx

Teorema de Tales de Mileto: Primero, Segundo y Ejemplos El primer y el segundo teorema de Tales de Mileto se basan en determinar triángulos a partir de otros semejantes (primer teorema) o de circunferencias (segundo teorema). Han sido de mucha utilidad en diversos ámbitos. Por ejemplo, el primer teorema resultó muy útil para medir grandes estructuras cuando no había sofisticados instrumentos de medición.

Tales de Mileto fue un matemático griego que proporcionó grandes aportes a la geometría, de los cuales resaltan estos dos teoremas (en algunos textos lo escriben también como Thales) y sus útiles aplicaciones. Estos resultados han sido utilizados a lo largo de la historia y han permitido resolver una amplia variedad de problemas geométricos.

Tales de Mileto

PRIMER TEOREMA DE TALES El primer teorema de Tales constituye una herramienta muy útil que, entre otras cosas, permite construir un triángulo semejante a otro, previamente conocido. De aquí se derivan diversas versiones del teorema que pueden ser aplicadas en múltiples contextos.

Antes de dar su enunciado, recordemos algunas nociones de semejanza de triángulos. Esencialmente,

dos

triángulos

son

semejantes

si

sus

ángulos

son

congruentes (tienen la misma medida). Esto da lugar al hecho de que, si dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.

El primer teorema de Tales enuncia que si en un triángulo dado se traza una recta paralela a cualquiera de sus lados, el nuevo triángulo que se obtiene será semejante al triángulo inicial.

En la figura anterior, los triángulos ABC y DEC son semejantes. La proporcionalidad que se obtiene debido a esta semejanza también da lugar a una relación de proporcionalidad entre dos lados de un mismo triángulo y los dos lados correspondientes del otro. Por ejemplo, tomando en cuenta la figura anterior también se tendría que:

Otra manera en la que se puede ver el primer teorema de Tales, y que también es de gran utilidad, es la siguiente: si dos rectas L1 y L2 (cualesquiera) se cortan por rectas paralelas (cualquier cantidad de estas), entonces los segmentos formados en L1 son proporcionales a los correspondientes formados en L2.

También se obtiene una relación entre los ángulos que se forman, como se observa en la siguiente figura.

Aplicación Entre sus múltiples aplicaciones resalta una de particular interés y tiene que ver con una de las maneras en que se hacían mediciones de grandes estructuras en la Antigüedad, tiempo en el que vivió Tales y en el que no se contaba con los modernos aparatos de medición que existen ahora.

Se dice que fue así como Tales logró medir la más alta pirámide de Egipto, Keops. Para ello, Tales supuso que los reflejos de los rayos solares tocaban el suelo formando líneas paralelas. Bajo esta suposición, clavó en el suelo una vara o bastón de forma vertical.

Luego usó la semejanza de los dos triángulos resultantes, uno formado por la longitud de la sombra de la pirámide (que se puede calcular con facilidad) y la altura de la pirámide (la desconocida), y el otro formado por las longitudes de la sombra y la altura de la vara (que también se pueden calcular fácilmente).

Usando la proporcionalidad entre estas longitudes, se puede despejar y conocer la altura de la pirámide.

Aunque este método de medición puede arrojar un error de aproximación significativo con respecto a la exactitud de la altura y depende del paralelismo de los rayos solares (lo cual depende a su vez de un tiempo preciso), hay que reconocer que es una idea muy ingeniosa y que proporcionó una buena alternativa de medición para la época.

Ejemplos

Halle el valor de x en cada caso: Primer caso

Solución Aquí tenemos dos rectas cortadas por dos rectas paralelas. Por el primer teorema de Tales se tiene que sus respectivos lados son proporcionales. En particular:

Segundo caso

Solución Aquí tenemos dos triángulos, uno de estos formado por un segmento paralelo a uno de los lados del otro (precisamente el lado de longitud x). Por el primer teorema de Tales se tiene que:

SEGUNDO TEOREMA DE TALES El segundo teorema de Tales determina un triángulo rectángulo inscrito a una circunferencia en cada punto de la misma.

Un triángulo inscrito a una circunferencia es un triángulo cuyos vértices están sobre la circunferencia, quedando así contenido en esta.

Específicamente, el segundo teorema de Tales establece lo siguiente: dada una circunferencia de centro O y diámetro AC, cada punto B de la circunferencia (distinto de A y C) determina un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto
A modo de justificación, observemos que tanto OA como OB y OC corresponden al radio de la circunferencia; por lo tanto, sus medidas son iguales. De allí se obtiene que los triángulos OAB y OCB son isósceles, donde
Se sabe que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º. Usando esto con el triángulo ABC se tiene que:

2b + 2a = 180º.

De manera equivalente, se tiene que b + a = 90º y b + a =
Observemos que el triángulo rectángulo que proporciona el segundo teorema de Tales es precisamente aquel cuya hipotenusa es igual al diámetro de la circunferencia. Por lo tanto, queda completamente determinado por la semicircunferencia que contenga a los puntos del triángulo; en este caso, la semicircunferencia superior.

Observemos también que en el triángulo rectángulo obtenido por medio del segundo teorema de Tales, la hipotenusa queda divida en dos partes iguales por OA y OC (el radio). A su vez, esta medida es igual al segmento OB (también el radio), el cual corresponde a la mediana del triángulo ABC por B.

En

otras

palabras,

la

longitud

de

la

mediana

del

triángulo

rectángulo

ABC

correspondiente al vértice B queda completamente determinada por la mitad de la hipotenusa. Recordemos que la mediana de un triángulo es el segmento desde uno de los vértices hasta el punto medio del lado opuesto; en este caso, el segmento BO.

Circunferencia circunscrita Otra manera de ver el segundo teorema de Tales es a través de una circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo.

En general, una circunferencia circunscrita a un polígono consiste en la circunferencia que pasa por cada uno de sus vértices, siempre que sea posible trazarla.

Usando el segundo teorema de Tales, dado un triángulo rectángulo, siempre podemos construir una circunferencia circunscrita a este, de radio igual a la mitad de la hipotenusa y circuncentro (el centro de la circunferencia) igual al punto medio de la hipotenusa.

Aplicación Una aplicación muy importante del segundo teorema de Tales, y quizás la más utilizada, consiste en hallar las rectas tangentes a una circunferencia dada, por un punto P externo a esta (conocido).

Observemos que dada una circunferencia (dibujada en azul en la figura de abajo) y un punto exterior P, existen dos rectas tangentes a la circunferencia que pasan por P. Sean T y T’ los puntos de tangencia, r el radio de la circunferencia y O el centro.

Es conocido que el segmento que va desde el centro de una circunferencia a un punto de tangencia de la misma, es perpendicular a esta recta tangente. Luego, el ángulo OTP es recto.

Por lo que vimos anteriormente en el primer teorema de Tales y sus diferentes versiones, vemos que es posible inscribir el triángulo OTP en otra circunferencia (en color rojo).

Análogamente se obtiene que el triángulo OT’P se puede inscribir dentro de la misma circunferencia anterior.

Por el segundo teorema de Tales obtenemos además que el diámetro de esta nueva circunferencia es precisamente la hipotenusa del triángulo OTP (que es igual a la hipotenusa del triángulo OT’P), y el centro es el punto medio de esta hipotenusa.

Para calcular el centro de la nueva circunferencia basta entonces calcular el punto medio entre el centro —digamos M— de la circunferencia inicial (que ya conocemos) y el punto P (que también conocemos). Luego, el radio será la distancia entre este punto M y P.

Con el radio y el centro de la circunferencia roja podemos hallar su ecuación cartesiana, la cual recordemos que viene dada por (x-h)2 + (y-k)2 = c2, donde c es el radio y el punto (h,k) es el centro de la circunferencia.

Conociendo ahora las ecuaciones de ambas circunferencias, podemos intersectarlas resolviendo el sistema de ecuaciones formado por estas, y obteniendo así los puntos de tangencia T y T’. Finalmente, para conocer las rectas tangentes deseadas, basta hallar la ecuación de las rectas que pasan por T y P, y por T’ y P.

Ejemplo Considere una circunferencia de diámetro AC, centro O y radio 1 cm. Sea B un punto sobre la circunferencia tal que AB = AC. ¿Cuánto mide AB?

Solución Por el segundo teorema de Tales tenemos que el triángulo ABC es rectángulo y la hipotenusa corresponde con el diámetro, que en este caso mide 2 cm (el radio es 1 cm). Luego, por el teorema de Pitágoras tenemos que:

TEOREMA DEL CATETO

El Teorema del cateto relaciona los segmentos los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

proyectados

por

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).

Se divide el triángulo rectángulo (ABC) por su altura (h) en dos triángulos rectángulosmás pequeños, (CAD y CDB). La principal aplicación del teorema del cateto es calcular los catetos (a y b) del triángulo rectángulo a partir de los segmentos de las proyecciones en la hipotenusa (n y m) y ésta (c). Sabiendo los catetos y la hipotenusa se puede calcular el perímetro de un triángulo rectángulo.

Ejercicio

Sea un triángulo rectángulo del que se conocen los segmentos en los que divide la altura (h) la hipotenusa (c). Estos segmentos son n=2 cm y m=8 cm. A partir de los segmentos, gracias al teorema del cateto se pueden calcular los catetos. La hipotenusa (c) es la suma de los dos segmentos, es decir: c=n+m=2+8=10 cm.

Conociendo los catetos y la hipotenusa es posible calcular el perímetro de un triángulo rectángulo.

Relación entre catetos e hipotenusa Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que: Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Teorema de la altura El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente: En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).