Teorema De Pitagoras Apa (1).docx

FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Título: Autor: Fecha:

TEOREMA DE PITAGORAS Y DE THALES Nancy Bravo Rivero 27/Mayo/2016

Código de estudiante: Carrera: Arquitectura Asignatura: Matemáticas II Grupo: Docente: Periodo Académico: Semestre 01/2016 Subsede: La Paz

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Título: TEOREMA DE PITAGORAS Y DE THALES Autor: Nancy Bravo Rivero __________________________________________________________________________________________________________

RESUMEN: Entre las muchas fórmulas matemáticas que al ser descubiertas cambiaron drásticamente la historia es quizá el teorema de Pitágoras el que más importancia tiene. Y es que existen registros de la historia que indican de incluso antes de la era cristiana ya se tenían conocimientos sobre el teorema de Pitágoras. Para entender el teorema de Pitágoras no necesitamos niveles altos de capacidad matemática ya que es uno de los teoremas que forman el pilar básico sobre el cual se construye la matemática. Y es que la sencillez de este teorema hace que cualquier persona con conocimientos básicos de la matemática pueda interpretarlo y hacer uso del mismo para el desarrollo de problemas mucho más complejos. Aunque no nos demos cuenta y muchas veces no le demos la importancia necesaria, lo cierto es que encontramos una gran cantidad de aplicaciones del teorema de Pitágoras en nuestro diario vivir, algunos ejemplos de esto pueden ser el cálculo de la longitud de una rampa de acceso para discapacitados cuando se sabe la altura y la longitud desde el punto de origen (en dónde se encuentra el ángulo recto) hasta donde se intersectará la hipotenusa o en cualquier situación en la que necesitemos conocer la longitud de los lados de un triángulo rectángulo sin importar el tamaño de éste.

Palabras clave: Teorema, matemática, longitud, angulo, hipotenusa, triangulo ABSTRACT: Among the many mathematical formulas that changed drastically when discovered history is perhaps the Pythagorean theorem is the most important. And there are history records that indicate even before the Christian era and knowledge of the Pythagorean theorem had. To understand the Pythagorean theorem we do not need high levels of mathematical ability as it is one of the theorems that form the basic pillar on which mathematics is built. And the simplicity of this theorem makes anyone with basic knowledge of mathematics can interpret and make use of it for the development of more complex problems. Although we do not realize and often does not give the necessary importance, the truth is that we found a lot of applications of the Pythagorean theorem in our daily lives, examples of this can be calculating the length of a ramp disabled when the height and length are known from the point of origin (where is the right angle) to where the hypotenuse intersect or any situation where you need to know the length of the sides of a right triangle regardless this size.

Key words: Theorem, math, length, angle, hypotenuse, triangle

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TABLA DE CONTENIDOS

Capítulo 1 Introduccion al Teorema de Pitagoras ....................................................... 4 Título 1 Objetivos Generales y Especificos ........................................................... 4 Título 2 ¿Que dice el teorema de Pitágoras? .......................................................... 5 Título 3 Metodologia del teorema de Pitagoras....................................................... 6 Título 4 Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras ............................................ 9 Título 5 Problemas resueltos aplicando Teorema de Pitágoras ............................. 15 Capítulo 2 Teorema de Thales ................................................................................... 20 Título 1 Aplicaciones del teorema de Thales ........................................................ 24 Bibliografía y Referencias ................................................................................................. 27

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Capítulo 1

Teorema de Pitágoras

Introducción e información general Uno de los instrumentos más simples y probablemente más utilizados en geometría: el teorema de Pitágoras. Desde escolares hasta arquitectos, pasando por jardineros, modistos e incluso astrónomos se valen de esta fórmula para realizar todo tipo de cálculos en los que intervienen (o pueden definirse) algunos triángulos rectángulos. ¿Qué es un teorema? Se llama teorema a una proposición que puede demostrarse de forma lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anterioridad. Este proceso de demostración se realiza mediante ciertas reglas de inferencia. En líneas generales, decimos que el Teorema de Pitágoras puede ser utilizado con éxito en caso de ser necesario hallar longitudes vinculadas de algún modo a triángulos rectángulos. En particular, decimos que es especialmente valioso en el contexto de la Trigonometría, porque gracias a él se pueden determinar los valores de las funciones o razones trigonométricas: el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo perteneciente a un triángulo rectángulo. Se llama catetos (y se simbolizan cono “b” y “c” minúsculas) a los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo y se llama hipotenusa (y se simboliza con una “a” minúscula”) al lado opuesto al ángulo recto.

Objetivos Generales y Específicos El objetivo general del Teorema de Pitágoras es demostrar que en un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los otros dos lados. Reconocer que el Teorema de Pitágoras surge entre las matemáticas del mundo moderno y no podríamos vivir sin él Conocer el Teorema de Pitágoras, tanto el enunciado como alguna demostración. Hacer que seamos capaces de reconocer aquellas aplicaciones que tiene el teorema de Pitágoras.

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Fomentar un interés claro hacia la geometría y más concretamente hacia el teorema de Pitágoras con sus posibles aplicaciones. Que se aplique el teorema de Thales en el cálculo de longitudes de segmentos. Realizar ejercicios del Teoremas de Thales. Identificar las partes del Teorema de Thales.

¿Qué dice el teorema de Pitágoras? “En todo triángulo rectángulo, el valor del cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los valores de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el ángulo recto).” Parece un poco largo al enunciarlo así, pero si le quitamos un poco las explicaciones, la mayoría de nosotros memoriza (y para siempre) lo que podríamos llamar la versión breve del enunciado de este teorema, que es la siguiente:

“En todo triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa“. Este simple enunciado, se suele escribir con la fórmula y expresión que constan en la imagen adjunta.

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Metodología del teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto).

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro...? Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3, 4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

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Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52

Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25

¡sí, funciona!

De acuerdo con esto podemos afirmar que: En un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos

¿Por qué es útil esto? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!) Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

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a2 + b2 = c2

a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2

92 + b2 = 152

25 + 144 = 169

81 + b2 = 225

c2 = 169

Resta 81 a ambos lados

c = √169

b2 = 144

c = 13

b = √144 b = 12

Y podemos demostrarlo a través de papel y tijeras: 

Se dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor.



Se dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo)



Se dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa



Se dibuja líneas como la que se muestra, así:

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

Se Recorta los trozos



Se lo coloca de manera que se pueda demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos.

El tema es apasionante, porque muchos cálculos de la vida cotidiana pueden plantearse como problemas resueltos aplicando Teorema de Pitágoras. El reto es interpretar la letra del enunciado, en lo posible hacer un dibujo o croquis sencillo de la misma y buscar la forma de definir algún triángulo rectángulo, del que se conozcan dos lados y se quiera calcular el otro. Este tipo de situaciones es diferente a las que hemos visto antes, donde en un principio sólo se trató de Resolución de triángulos con Teorema de Pitágoras y como paso siguiente algo más complejo como los Ejercicios resueltos Teorema de Pitágoras.

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Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

calcular la hipotenusa de los siguientes triángulos 1.

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2.

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3.

4.

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5.

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Calcular el cateto incógnita 6.

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7.

1. Dada la figura calcular la mediada incógnita

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Problemas resueltos aplicando Teorema de Pitágoras 1. Una ciudad se encuentra 17 km al oeste y 8 km al norte de otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades?

2. Una escalera cuya longitud es de 3 metros se encuentra apoyada contra una pared en el suelo horizontal y alcanza 2,8 m sobre esa pared vertical. La pregunta es: ¿a qué distancia está al pie de la escalera de la base de la pared? 3. Una cancha de fútbol (rectangular como sabemos) mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus diagonales es de 150 metros. ¿cuál es el ancho del campo de juego? Soluciones 1) Lo primero es realizar un pequeño dibujo que nos permita identificar la situación y ver cómo definimos un triángulo rectángulo en la misma.

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Este podría ser un buen dibujo, donde observamos que se cumplen los datos que nos da el problema y que además la distancia real entre las ciudades, vendría a ser la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo.

El triángulo entonces queda claramente definido y sabemos que tenemos un cateto que mide 17 km, otro que mide 8 km y que la distancia real que se nos está pidiendo es la hipotenusa del tal triángulo. Aplicamos Teorema de Pitágoras y el planteo sería así:

a2 = b2 + c2 a2 = 82 + 172 = 64 + 289 = 353 a = √353 = 18.8 Respuesta final: la distancia real entre las dos ciudades es de 18,8 km

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2)

En este caso, el dibujo que podemos hacer para interpretar la letra del problema sería algo como esto, donde nuevamente se identifica sin problemas el triángulo rectángulo.

Queda claro que la escalera cumple el rol de la hipotenusa, la altura de la pared (dato conocido) es uno de los catetos y la distancia del pie de la escalera hasta la base de la pared, es el otro cateto, precisamente la medida que se nos pide calcular y que como es una incógnita para nosotros hemos llamado “x”. El planteo de resolución en este caso podría ser el siguiente: a2 = b2 + c2 32 = b2 + 2.82 9 = b2 + 7.84 b2 = 9 – 7.84 = 1.16

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b = √1.16 = 1.08 Respuesta final: el pie de la escalera está a 1,08 mt de la pared.

3) Primer paso: la figura que ayuda a comprender

Analizando la figura, vemos que el triángulo queda comprendido por esa diagonal del campo de juego (la hipotenusa), el largo del campo (uno de los catetos) y el ancho (el otro cateto cuya longitud es lo que se nos pide hallar).

El planteo de resolución sería el siguiente: a2 = b2 + c2 1502 = 1252 + c2 22,500 = 15,625 + c2 Asignatura: Matemáticas II Carrera: Arquitectura

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c2 = 22,500 – 15,625 = 6,875 c = √6,875 c = 82.9

Respuesta final: el ancho del campo de fútbol es de 82,9 metros

Capítulo 2 Teorema de Thales Figuras y tablas El filósofo y matemático griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad. El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí; para ello se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logró realizar una brillante triangulación.

El teorema de Tales afirma:

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Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales.

Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.

En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes:

OP=2cm; PQ=2.5cm; QR=3cm OU=3cm; UV=3.75cm; V W=4.5cm

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Al establecer proporciones con las medidas, se observa que:

es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.

En esta otra figura, al medir los segmentos MN, MN' NP y NP', se puede observar que las medidas son proporcionales:

al comprobar que los segmentos son proporcionales, se puede afirmar que las rectas NN' y PP' son paralelas. Así que:

Si una recta intriseca a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

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Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos.

Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.

Obsérvese el triángulo PQR, al trazar la recta TS paralela al lado RP se puede demostrar que:

Por tener los lados proporcionales y los {ángulos homólogos congruentes. RP II TS El ángulo Q es común a los dos triángulos

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Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes. Además:

por el teorema de Tales

Para obtener la proporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela a RQ.

Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir:

así que los lados de los triángulos PQR y SQT son proporcionales

Por lo tanto

porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus

lados homólogos proporcionales.

Aplicaciones del teorema de Thales EJEMPLO 1 Sirve para calcular alturas de edificios teniendo referencias de otros elementos que si que nos es fácil medir, como por ejemplo un árbol y ayudándonos en los rayos del sol, las proyecciones de sobra. Asignatura: Matemáticas II Carrera: Arquitectura

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Escribimos la proporción: 6 = 270 5 h

(Siendo h la altura del edificio) Y resolvemos la proporción: 6x = 270 * 5 x = 1350 6 x = 225 EJEMPLO 2 Aplicando el teorema de Tahles determine el valor de lso segmentos AB y BC de la figura

AB = 2x – 3 BC = x + 2 A’B’ = 5 B’C’ = 6 Determinando o valor de x:

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AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5 BC = x + 2 → 4 + 2 = 6

EJEMPLO 3 Determine el valor de x

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Bibliografía y referencias (EJEMPLOS) Resolución de triángulos con Teorema de Pitágoras | Matemáticas modernas 16/01/2014 Obtenido de : http://matematicasmodernas.com/teorema-de-pitagoras/ Pitágoras y su teorema. Paul Strathern Webgrafia: http://teoremadepitagoras.info/cual-es-el-teorema-de-pitagoras/ http://leonarioss.blogspot.com/2014/08/teorema-de-pitagoras.pdf math.kendallhunt.com/documents/dg3/condensedlessonplansspanish/dg_clps_09.pd f

EVALUACIÓN DEL DOCENTE

CRITERIO DE EVALUACIÓN 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Entrega adecuada en plazo y medio. Cumplimiento de la estructura del trabajo. Uso de bibliografía adecuada. Coherencia del documento. Profundidad del análisis. Redacción y ortografía adecuados. Uso de gráficos e ilustraciones. Creatividad y originalidad del trabajo. Aporte humano, social y comunitario. Calificación Final:

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PUNTAJE CALIFICACIÓN 10 10 10 10 15 10 10 15 10 /100

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