Teorema De Cauchy.docx

TEOREMA DE CAUCH Y Si f y g s on f u n ci o n e s c on ti n u a s en [ a, b] y d eri v abl e s en ( a, b) , en t on c e s e xi st e u n pu n to c (a, b) tal q u e:

El val o r d el p ri me r mi emb r o es c on stan te:

La i n te rp r et a ci ón g e om ét ri c a d el t eo r e m a d e C au ch y n o s di c e qu e e xi st en d os pu n t os ( c, f( c)) y ( c, g (c) ) d e l as cu r va s f (x) y g (x) , tal es qu e l a p en di en te d e l a ta n g en t e a l a cu r va f( x) en el p ri me r pu n to e s k v e c es l a pen di en t e d e l a tan gen t e a l a cu r va g ( x ) en el s egu n d o pu n to . Al te o re m a d e C a u ch y t ambi én s e l e s u el e d en omi n a r t eo re m a de l v a l o r m ed i o g e ne r a l iz ad o .

Ejemplos 1 an al i z ar si el t e o r em a d e Cau ch y e s apl i cabl e en el i n te r val o [1 , 4] a l as fu n ci on e s: f(x ) = x ² − 2x + 3 y g(x ) = x ³ − 7x ² + 20 x − 5 . En c a s o afi r mati v o , apl i carl o . La s fu n ci on e s f( x) y g( x) s on c on ti n u as y d eri v abl e s e n

ℛ

por ser

pol i n ómi n ca s , l u eg o , en p a rti cu l ar , s on c on ti n u as en [1 , 4] y de ri va bl e s en (1 , 4) . Ad emá s s e cu m pl e q u e g(1 ) ≠ g(4) . P or l o tan t o s e v e ri f i ca el t e o r em a d e C au ch y:

2 An al i z ar si el el te o r em a d e Cau ch y e s apl i cabl e a l as fu n ci on e s f(x ) = s en x y g( x) = c o s x e n el i n te r v al o [ 0, π /2] . La s fu n ci on e s f( x) = s en x y g( x) = c o s x s on c on ti n u as y de ri va bl e s en t od a l a r e cta r eal . Y en p ar ti cu l ar so n c on ti n u as en el i n te r val o [0 , π/2 ] y d e ri vabl e s en (0 , π/2 ). g(π/2 ) ≠ g(0) P or l o tan t o, p od e m o s apl i car el t e o r em a d e C au ch y :

g' ( c) ≠ 0 − s en (π /4 ) ≠ 0 .