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Parte I. Mecánica de fluidos: Tema I.01 CONCEPTOS FUNDAMENTALES-ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS Conceptos fundamentales: Definición y aplicaciones de la Mecánica de Fluidos. Fluido: Definiciones y propiedades. Viscosidad. Ley de Newton. Unidades. Influencia de la temperatura y la presión. Medida de la viscosidad. Fluido ideal y gas perfecto. Compresibilidad y elasticidad: módulo de elasticidad volumétrico. Relaciones entre la densidad, presión y temperatura: presión de vapor: relación con el fenómeno de cavitación.

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Contenido • Definición y aplicaciones de la Mecánica de Fluidos • Definición de fluido. • Fluido, magnitudes macroscópicas características: ™ ™ ™ ™

Viscosidad, Ley de Newton, influencia de T y p. Medida de la viscosidad. Fluido ideal y gas perfecto. Compresibilidad y elasticidad, módulo de elasticidad volumétrica.

• Relaciones entre la densidad, presión y temperatura ™

Presión de vapor: relación con el fenómeno de cavitación.

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Objetivos docentes Después de completar el Tema, el alumno deberá poder realizar las siguientes actividades: • Indicar que trata la mecánica de fluidos. • Definir un fluido. • Distinguir clases de fluidos. • Identificar propiedades del fluido. • Definir y medir la propiedad viscosidad. • Definir y comprender el significado del coeficiente de compresibilidad • Definir y comprender el significado del coeficiente de expansión volumétrica. • Definir y conocer las ecuaciones para estudiar un gas perfecto. • Resolver problemas relacionados con los contenidos del Tema. 12/03/2019 14:44

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Bibliografía recomendada Potter (3ra edic) cap. I, pp 3:29, Çengel Cimbala, (1ra edic.) cap. I, pp 1:9, cap. II, pp 35:56, Franzini (9na edic) cap. I, pp 1:4, cap. II, pp 9:25, White, (5ta edic.) cap. I, pp 1:2-6:21-28:33-47:49, Fox, (2da edic.) cap. I, pp 1:17, cap II pp 33:35, Crespo, (1ra edic.) cap. I, pp 1:4, cap. II, pp 7:16 cap. III, pp 19:27, cap. IV, pp 31:41, • Barrero, (1ra edic.) cap. I, pp 7:18, cap. II pp 23:35.

• • • • • •

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Resumen Propiedades físicas de los fluidos

Se dedica este capítulo por completo a la presentación de la asignatura, la definición el marco histórico y los alcances actuales de la Mecánica de Fluidos y sus aplicaciones. Se presentará el marco general de estudio de la asignatura, se definirá el concepto de fluidos y se discutirán las principales propiedades de los fluidos. Se relacionarán estas propiedades con temas visto en asignaturas anteriores (Termodinámica y Física) 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Definición de la Mecánica de Fluidos

Es la parte de la mecánica que se dedica al estudio de los fluidos en reposo y en movimiento y los efectos que estos estados ejercen sobre los contornos. Estos contornos pueden ser una superficie sólida o fluida.

?

Existe una teoría para estudiar el flujo de fluidos pero en casi todos los casos de aplicación industrial deben utilizarse datos o relaciones empíricas. En los últimos años el cálculo mediante computadora ha cobrado un gran protagonismo, (CFD: Computational Fluid Dynamics). 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Contribuciones a la definición de la Mecánica de Fluidos

Helmholtz, Hermann Hermanos Wright

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Contribuciones a la definición de la Mecánica de Fluidos ™

Siglo XX, tendencias en el ámbito de la ingeniería Siglo XIX formulación teórica sobre la fricción interna de fluidos en movimiento y se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes en la forma en que las conocemos hoy. Estas ecuaciones no se pueden resolver teóricamente en la gran mayoría de aplicaciones industriales. La aproximación de Capa Límite desarrollada por Prandtl a principios del siglo XX es una síntesis entre la hidráulica práctica y la hidrodinámica teórica y es una herramienta útil en la simplificación del análisis del flujo de fluidos viscosos.

La viscosidad: 9 Puede ser despreciada sólo en algunos casos de flujos ideales. 9 Aumenta la dificultad en la formulación/resolución de las ecuaciones generales para los fluidos. 9 Afecta la estabilidad de todos los flujos, lo que da lugar, salvo a velocidades muy pequeñas, a la aparición del fenómeno de la turbulencia. 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos ™

Contribuciones a la definición de la Mecánica de Fluidos Siglo XX → XXI... actualidad y tendencias en el ámbito de la ingeniería Dificultades: • La complejidad de la geometría en los dispositivos por donde el flujo está circulando. • La viscosidad del fluido que da origen a la turbulencia.

Al presente, existe una teoría para la turbulencia, pero aún no está completa, debiendo en todos los casos se requerirse un soporte experimental. Luego, en las aplicaciones de ingeniería se usan modelos semi-empíricos (AI, AD) o experimentación usando análisis dimensional y la teoría de modelos a escala. En los libros de texto se encuentran soluciones analíticas para el caso de geometrías sencillas (e.g.: placas planas, superficies cilíndricas de sección circular…), El advenimiento de potentes computadores permite agregar a los métodos numéricos (CFD) como un método complementario en la resolución de problemas de ingeniería. 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Aplicaciones de la Mecánica de Fluidos Tierra cubierta un 75% AGUA, 100% AIRE, la vida moderna implica tratar con una gran cantidad de fluidos, luego la Mecánica de Fluidos abarca casi toda la actividad humana. Ing. Civil

Sedimentos y arena, Puentes, canales y puertos.

Matemática

TermoFluidoDinámica Interacción de la

Astrofísica

Gases ionizados, viento solar, dinámica estelar, metales líquidos

Medicina

Flujo sanguíneo, sistema pulmonar 12/03/2019 14:44

Aero-Mecánica de Fluidos HidroElasticidad

(Teoría Estadística, Análisis Funcional, Teoría de perturbaciones) Turbulencia, Estabilidad, Modelos matemáticos (EDP)

AeroAcústica Geofísica Ionósfera, Meteorología, Oceanografía, Hidrología, Vulcanología Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez

Ing. Mecánica

Transferencia de masa, energía, momentum y especies... Aeronáutica, Aeroacústica, Flujos industriales, Turbomaquinaria, Medioambiente, 10

Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Aplicaciones de la Mecánica de Fluidos Alcance de Mecánica de Fluidos en Ingeniería Industrial

Mecánica de Fluidos

Dinámica de Fluidos

Estática de Fluidos • Flotación

• Aerodinámica • Hidráulica • Flujos industriales • Turbomaquinaria

• Fuerzas en cuerpos sumergidos • Movimiento de un fluido como sólido rígido.

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Aplicaciones de la Mecánica de Fluidos Alcance de Mecánica de Fluidos en Ingeniería Industrial

Mecánica de Fluidos

Características Físicas fluido/flujo Continuo-Teoría Cinética • Compresible – Incompresible • No viscoso (ideal) - Viscoso

Método de solución para el flujo • Analítico: AI (ei’s, vc) AD (EDP’s), • Experimental: Modelos físicos (Semejanza) • Computacional, modelado numérico (CFD)

• Teoría capa límite • Lubricación • Turbulencia 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Métodos de solución, técnicas básicas

Objetivos del análisis de flujos:

Desarrollo de metodologías básicas para describir flujos de fluidos y las leyes naturales que los gobiernan. Existen diferentes enfoques para formular modelos matemáticos del flujo de los fluidos (ámbito de las ciencias físicas, tanto teórica como aplicada, y de las matemáticas). Desarrollo de metodologías tecnológicas para resolver los distintos problemas que se presentan en la técnica asociados con el flujo de fluidos (ámbito de la ingeniería tanto I&D como tecnológica I&D+i). 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Métodos de solución, técnicas básicas

Se pueden clasificar en dos: teórica o analítico y experimental. Estudio analítico:

{

Partícula fluida:

Análisis diferencial

Volumen de control: Análisis integral Análisis dimensional

Estudio experimental: Medidas experimentales en modelos a escala o prototipos.

El flujo en estudio debe satisfacer las leyes de conservación de la mecánica en todos los casos. 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Métodos de solución, técnicas básicas

El análisis teórico de flujos requiere de una serie de herramientas que permitan el estudio de un estado arbitrario del movimiento del fluido definido por: • La geometría. • Las condiciones de contorno e iniciales. • Las leyes de la mecánica. 12/03/2019 14:44

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Definición y aplicaciones de la mecánica de fluidos Métodos de solución, técnicas básicas

Análisis experimental: cuantitativo y/o cualitativo. Análisis computacional (CFD)

LDV

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Definición de fluido Concepto de fluido Estados de la materia: Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos la materia suele presentarse en estado sólido y fluido. Distinción técnica entre fluido y sólido? Un sólido puede resistir un esfuerzo tangencial (cortante) con una deformación estática (elasto-plástica). Un fluido no resiste tal esfuerzo, se deforma continuamente mientras exista tal esfuerzo. Para que el fluido esté en reposo el esfuerzo cortante debe ser nulo. A veces la distinción entre sólido y fluido es difícil.

Sólido 12/03/2019 14:44

Líquido

Gas

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FLUIDOS 17

Definición de fluido Concepto de fluido Estados de la materia: Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos la materia suele presentarse en estado sólido y fluido. Definición de fluido? Fluido: Es toda sustancia capaz de deformarse cuando se le aplica un esfuerzo tangencial, por más pequeño que éste sea. Fluidos son los LÍQUIDOS, los GASES y el PLASMA. En general sólo soportan esfuerzos de compresión. Plasma (átomos neutrales + e- libres + iones), fluido “influenciable por campos electromagnéticos” (Magneto-Fluidodinámica, Boltzman equations).

Sólido 12/03/2019 14:44

Líquido

Gas

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Definición de fluido Concepto de fluido • Sólidos y fluidos se comportan distinto al someterlos a tensiones de corte, pero su comportamiento es más parecido cuando están bajo la acción de esfuerzos normales de compresión. • Un sólido puede soportar tanto tracción como compresión. Un fluido soporta sólo compresión (aunque algunos líquidos soportan tracción dependiendo de su cohesión molecular). • Un sólido elástico tiene una “memoria perfecta”, (siempre vuelve a su forma “preferida”). Un fluido viscoso no tiene memoria. Sustancias como la clara de huevo se llaman visco-elásticos porque tiene una memoria parcial. • Como puede verse, a veces la distinción entre sólido y fluido es difícil. 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Concepto de fluido Clasificación básica de tipos de fluidos:

{

Gases Líquidos

Distinción entre gases y líquidos...?

Líquidos: Conservan su volumen y presentan superficie libre. Actúan fuerzas moleculares y cohesivas, (intermoleculares). Gases: NO conservan su volumen y NO presentan superficie libre. Sólo actúan fuerzas moleculares. 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Concepto de fluido

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Definición de fluido Fluido

Las moléculas NO están fijas

Movimientos, Colisiones

Defino un Volumen de control, (vc, espacio de análisis)

Cantidad de moléculas en su interior: f(t)

Análisis riguroso

Considerar la acción de cada molécula.

Teoría Cinética de Gases, Mecánica Estadística 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Teoría Cinética de Gases, Mecánica Estadística: Parámetro relevante: Distancia media recorrida por las moléculas entre dos colisiones consecutivas entre ellas, (camino libre medio, λL). Implican modelos matemáticos complejos para representar el fenómeno físico en estudio. Ejemplo: Camino libre medio, λL, en aire:

λL = 5× 10-8 m λL = 1m hasta 1km

• Condiciones normales de p,T: • Alta atmósfera:

Para cálculos de ingeniería estas teorías son de difícil aplicación. Se hace necesario utilizar valores medios de las propiedades físicas del fluido. 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Estructura molecular de la materia Las propiedades de los sólidos, líquidos y gases están directamente relacionadas con su estructura molecular.

• Materia ≡ moléculas en constante movimiento: ™

Agitación ⇒ velocidad instantánea de agitación molecular, ci:

ci = ci' + c ⇒ ci' = ci − c ; tc' << tc

c=

∑m c i =1 N

c

i i

∑m

i

i =1

™

c’i

ci

N

t

Interacción mutua ⇒ fuerza de interacción entre 2 moléculas Fij

(

F ji = f ji ri − rj 12/03/2019 14:44

) rr −−rr j

i

i

j

= − Fij

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Definición de fluido Estructura molecular de la materia Fuerzas de interacciones: Definidas a partir de la energía potencial de interacción entre 2 moléculas neutras, no polares y que no reaccionan químicamente y se representa a través de: * Potencial de Lennard-Jones φij(d), d=|ri-rj| Fij

⎡⎛ d o ⎞12 ⎛ d o ⎞6 ⎤ φ ji = φo ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ = φij ⎣⎝ d ⎠ ⎝ d ⎠ ⎦

Siendo φ0 y d0 constantes que dependen del tipo de moléculas consideradas; d0 distancia separación típica entre moléculas.

Fji = − do ~ 3×10-10m

13 7 ∂φij φ ⎡ ⎛d ⎞ ⎛d ⎞ ⎤ r −r = 6 o ⎢2⎜ o ⎟ − ⎜ o ⎟ ⎥ j i = − Fij ∂rj d o ⎣ ⎝ d ⎠ ⎝ d ⎠ ⎦ rj − ri

d<do → Fij>0, repulsión (electrostática) Fij<0, atracción (enlace químico) d>do → Fij<0, atracción (dipolos moleculares)

Distancias medias entre moléculas, d ™ f (materia) Condiciones estándar ™ ™

do 12/03/2019 14:44

d

H2O ~ 3×10-10m ≈ do O2 ~ 4,1×10-9m ≈ 10do ¾ Fij ~ despreciables (1ra aprox.)

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Definición de fluido Estructura molecular de la materia

Energía interna Depende de: • Velocidad de agitación molecular (energía cinética, eC) • Fuerzas intermoleculares (energía potencial, eP) Potencial de Lennard-Jones

φij(d),

N ( ΔV )

e( x , t ) = eC ( x , t ) + eP ( x , t ) = lím

ΔV →δV

∑ i =1

1 mi ci 2

2

N ( ΔV )

∑m i =1

+ lím

i

ΔV →δV

1 N ( ΔV ) ∑ 2 i =1

N ( ΔV )

∑φ

ij j =1( j ≠ i ) N ( ΔV )

∑m i =1

i

Partícula fluida 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Estructura molecular de la materia

Características de fluidos comunes: • LÍQUIDOS ™ Agrupaciones de moléculas muy cercanas ~ do ™ Fuerzas cohesivas grandes: Epot ~ Ecin ™ Tienden a conservar su volumen ™ Forman superficie libre bajo el campo gravitatorio ™ Poca compresibilidad (d ≈ do) ™ Densidad fase líquida ≈ 1.000 veces densidad fase gaseosa • GASES ™ Moléculas muy separadas entre sí ~ 10do ™ Fuerzas cohesivas despreciables: Epot << Ecin (GAS IDEAL) ™ Se expansionan hasta llenar completamente el recipiente ™ No forman superficie libre ™ Alta compresibilidad (d >> do)

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Definición de fluido El estudio del fluido como medio continuo • Punto vista molecular ⇒ estudio muy complejo ™ 1 mm3 ≡ 1016 moléculas gas, o bien, 1.000 ×1016 moléculas líquido

Magnitud física (x)

• Resultados experimentales macroscópicos: ™ L : dimensión (macro) característica de la región ocupada por el fluido ™ d : distancia típica entre moléculas ™ δV : volumen sobre el cual se realiza la medida Variación asociada a las fluctuaciones moleculares de la magnitud

Variación asociada a la distribución espacial de la magnitud (variación entre puntos del continuo)

definición de MEDIO CONTINUO (δV)1/3~d

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valor local de la magnitud

d<<(δV)1/3<
(δV)1/3~L Log L (distancia)

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Definición de fluido El estudio del fluido como medio continuo Distribución “continua” de Se asumen: valores medios de las propiedades la materia • El “medio continuo” reemplaza al conjunto discreto de moléculas. • Aplicaciones previas de este concepto: Casos ya estudiados en mecánica del sólido rígido y en elasticidad.

Mecánica de los Medios Continuos 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido El estudio del fluido como medio continuo Mecánica de los Medios Continuos

Aplicable cuando...

• El recorrido medio libre de las moléculas es de un orden de magnitud muy inferior respecto de las longitudes significativas más pequeñas que intervienen en el problema, esto es, las dimensiones del volumen de control, (i.e., δV ≡ vc). Esto significa que las variaciones moleculares no son importantes). • En la unidad de volumen escogida, (i.e., δV ≡ vc), no hayan variaciones bruscas de la distribución global de partículas, (variaciones macroscópicas importantes o discontinuidades). 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido El estudio del fluido como medio continuo Si se considera el fluido macroscópicamente como un medio continuo, puede definirse una “partícula fluida”, con ciertas propiedades que la caracterizan. La partícula fluida está formada por un conjunto continuo de puntos materiales. Cuando la extensión espacial de la partícula no es relevante y por tanto no se consideran sus deformaciones ni las fuerzas que actúan en cada punto, la noción de partícula fluida y punto material coinciden. Partícula Fluida (definición): ™

Masa elemental de fluido en un punto x e instante t : dm =ρ(x,t)dV

™

Centrada con su centro de gravedad en x

™

Con ciertas propiedades, e.g.: 9 Que se mueve a velocidad c(x,t).

Deformable. Con energía ρ(x,t)e(x,t)dV. 12/03/2019 14:44 Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez 9 Etc... 9 9

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Definición de fluido El estudio del fluido como medio continuo

Ejemplo: Volumen límite para gases y líquidos en condiciones de presión y temperatura atmosféricas (condiciones “normales”): aprox. 10-9 mm3 = 10-18 m3. Aire en condiciones normales: δV= 10-9 mm3 contiene 107 moléculas. Para este límite el fluido puede ser considerado como un MEDIO CONTINUO 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido El estudio del fluido como medio continuo

Mecánica de los Medios Continuos • Las propiedades del fluido pueden considerarse “continuas”, esto es, su variación en el espacio y el tiempo es “suave”. • Desde el punto de vista matemático, las funciones que representan estas propiedades del fluido son derivables.

Propiedades Macroscópicas Herramientas de Análisis: Cálculo diferencial e integral. Planteamiento de Ecuaciones en Derivadas Parciales, EDPs→AD. Integración de las EDPs→AI. 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Propiedades y sus variaciones: Generalmente interesa determinar la variación de una propiedad La determinación experimental o teórica de la variación de una propiedad genérica, B, del fluido como función de la posición o del tiempo se considerará como solución del problema. En casi todos los casos en mecánica de fluidos se pone énfasis en la distribución espacio-temporal (Euler) de la propiedad del fluido B. Es menos común que se siguen partículas concretas (Lagrange). La determinación del valor de una propiedad B para un instante dado sirve a veces como un parámetro. 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido El problema es entonces, como relacionar las leyes de la mecánica (para partículas) con una descripción que sea útil para los medios fluidos (partículas fluidas). Hay dos maneras de describir el movimiento de un fluido, la descripción Lagrangiana y la Euleriana. Ejemplo 1: En un cálculo típico para flujos de fluido, se calculan los cambios de presión que experimenta el flujo, ( p=p(x,y,z,t) ), y no los cambios de presión que experimenta una partícula al moverse ( p=p(t) ).

Deben ver la TV!!!

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Relacionemos el ejemplo anterior con el siguiente: Ejemplo 2: Tránsito en autopista: Selecciono un tramo en donde están entrando y saliendo coches continuamente. El ingeniero de tráfico o un sociólogo (Eulerianos), podrían concentrarse en la medida de la velocidad de los coches, medida como función de la posición dentro del tramo y del tiempo. Se estudia el flujo de coches que en un cierto intervalo de tiempo atraviesan ese tramo. Se está interesado en el comportamiento del tramo de cara a una predicción del estado del tránsito. La policía o un sociólogo (Lagrangianos), pueden estar interesados en la velocidad o trayectoria de determinados coches. Se estudia el comportamiento individual de cada conductor. Puede verse que la información “está allí ”... y vista desde los dos aspectos es equivalente y puede ser útil para una misma persona (el sociólogo)… 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Magnitudes extensivas e intensivas Se ha definido las propiedades asociadas a la partícula fluida como: Mecánica de los Medios Continuos → B =f(x,y,z,t) Las magnitudes asociada a las propiedades pueden ser: • Magnitudes extensivas (notación: B → Bsist=Σibi) Son proporcionales a la masa total del fluido ™ Ej.: masa, volumen, energía interna... ™ Si se definen por unidad de masa pasan a ser intensivas • Magnitudes intensivas (notación: b → bsist ≠ Σibi) ™ No dependen de la masa total de fluido ™ Ej.: densidad, temperatura, viscosidad, presión, color… ™

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido

Magnitudes extensivas e intensivas • Magnitudes extensivas (B) ™ ™

™

Son proporcionales a la masa total (tamaño) del fluido Ej. energía interna, volumen, cantidad de movimiento, entalpía, entropía, exergía, capacidad calorífica... Si se definen por unidad de masa pasan a ser intensivas

• Magnitudes intensivas (b) ™ ™

Dividamos el vc en 2 mitades

0,5 m m 0,5m 0,5V V0,5V T TT p Pp

ρ ρρ No dependen de la masa total (tamaño) de fluido Ej. Temperatura, densidad, presión, viscosidad, velocidad (c, cw_nc, cwc), aceleración...

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Magnitudes a estudiar (B, b):

x

del dominio en el instante t.

™

Están definidas en un punto

™

Son cantidades físicas promediadas sobre un elemento de volumen

δV → dV centrado en x. Desde el punto de vista del continuo, las magnitudes fluidas macroscópicas (extensivas o intensivas) caracterizan el estado o condición de una partícula fluida y representan las propiedades de la estructura microscópica (molecular) de la materia. Ejemplos de magnitudes: densidad, velocidad, energía, presión. 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Descripción comportamiento macroscópico de un fluido: mediante un modelo matemático continuo. Para cierto tiempo t, el fluido ocupa de forma continua una región del espacio (dominio fluido) donde están definidos los campos y variables fluidas como funciones continuas y derivables de la posición y del tiempo.

Desde el punto de vista del continuo, la resolución de un problema fluidomecánico implica el cálculo de distintas propiedades (B o b) a saber: •

Las 3 componentes de la velocidad local del fluido.

• •

La densidad del fluido, (...presión). La energía interna (..temperatura). Todas ellas se calculan como funciones de la posición y del tiempo, y a partir de las leyes de conservación . 12/03/2019 14:44

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Superficies P,v,T Sustancia que se expande al solidificar

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Sustancia que se contrae al solidificar

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Tablas de propiedades (ls, vs): Las relaciones entre propiedades termodinámicas son complejas, por lo tanto no hay ecuaciones simples y las propiedades se presentan en forma de tablas. Existen tablas de propiedades para las distintas regiones de interés. Estado de líquido saturado y vapor saturado

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Definición de fluido Magnitudes macroscópicas características para un fluido Tablas de propiedades (lc, vs): Las relaciones entre propiedades termodinámicas son complejas, por lo tanto no hay ecuaciones simples y las propiedades se presentan en forma de tablas. Existen tablas de propiedades para las distintas regiones de interés. Estado de líquido comprimido y vapor sobrecalentado

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Temperatura

T=T(x,y,z,t) [K] (magnitud escalarl)

Se origina en la percepción de nuestros sentidos (calientefrío), pero su definición no es sencilla y sólo pueden realizarse comparaciones cualitativas. Para realizar comparaciones cuantitativas es necesario definir una escala y un sistema para medir utilizando la escala definida, lo que da lugar a lo que se denomina por termometría.

{

Kelvin (SI) [K]

Temperatura (T)

Unidades

Celsius [C] Fahrenheit [F] Rankine [R]

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Factores de conversión

TK = (TC + 273,15 )

TR = TF + 459,67

TR = 1,80TK 9 TF = TC + 32 = 1,8TC + 32 5 5 TC = (TF − 32 ) 44 9

Fluido, magnitudes macroscópicas características Densidad

ρ =(magnitud ρ ( x,escalar) y, z, t ) N (ΔV )

Densidad local ρ(x,t)

r

ρ ( x,t) =

lím

∑

i =1

Δ V → δV

mi

ΔV

Definición: Masa por unidad de volumen. Tiene un valor en cada “punto del continuo” (δV) y puede variar de un “punto” a otro.

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Densidad media ( ρ )

ρ=

Para un volumen diferencial

ρ=

Δm ΔV

lím

ΔV →δV

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⎡ kg ⎤ ⎢⎣ m3 ⎥⎦ Δm dm = ΔV dV 45

Fluido, magnitudes macroscópicas características Densidad (agua)

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Densidad Otras propiedades relacionadas con la densidad: Volumen específico (v )

V 1 v= = m ρ

Peso específico (γ )

γ = ρ g

Densidad relativa ( ρ r )

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ρr =

⎡ m3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ ⎡ kg m ⎤ ⎡ N ⎤ ⎢m3 s2 ⎥ = ⎢m3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ρ ρ ref

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Velocidad

r r c = c ( x, y, z, t ) [m/s] (magnitud vectorial)

Esta es una función vectorial que para un flujo tridimensional posee tres componentes. Cada componente es función tanto del vector posición x (i.e., coordenadas espaciales, x,y,z), como del tiempo. N (ΔV )

Velocidad local c(x,t) (propiedad vectorial)

c ( x ,t) =

lím

ΔV → δ V

∑

m i ci

i =1 N (ΔV )

∑

i =1

12/03/2019 14:44

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mi 48

Fluido, magnitudes macroscópicas características Aceleración Segunda ley de Newton para “partícula fluida”

Variación de en el tiempo

r dr a = c(x, y, z,t) dt

r r r r r ∂ c dt ∂ c dx ∂ c dy ∂ c dz + + a= + ∂ t dt ∂ x dt ∂ z dt ∂ y dt

Aplicando las reglas de la derivación de las funciones compuestas…

r ∂c ; i =x, y, z coord. cartes. ∂i 447444 64 8 ci

Pero si x,y,z=f(t):

r r r r r ∂c ∂c ∂c ∂c a = + cx + cy + cz ∂t ∂x ∂y ∂z r ∂c r r r = + (c ⋅∇)c Término no lineal!! ∂t

dz dy dx =cx, =cy, =cz dt dt dt

Recordar!! 12/03/2019 14:44

r c

r r c y a son cantidades vectoriales

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Energía E=E(x,y,z,t) [J] (magnitud escalar)

En termodinámica es conveniente considerar la energía cinética y la potencial separadamente y luego, considerar todas las otras clases de energía del sistema representadas en una propiedad simple del sistema llamada energía interna , Û (por unidad de masa, û o por mol, ū )

E = Ek + E p + Uˆ La razón de esta consideración*Wylen&Sonntag, ‘Thermodynamics’ es que Ek y Ep pueden asociarse con el sistema de coordenadas elegido y pueden ser especificadas por los parámetros macroscópicos de masa, velocidad y elevación respecto de un nivel de referencia (efectos magnéticos y eléctricos son casos especiales y por ahora no se consideran). 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Energía

E=E(x,y,z,t) [J] (magnitud escalar)

E(x,t) ≡ Energía traslación partícula fluida (Ek) + energía potencial de la partícula fluida (Ep) + energía interna partícula fluida (Û) •

Energía traslación partícula fluida: debida a la velocidad de traslación de la partícula fluida centrada en el punto x.

•

Energía potencial de la partícula fluida: debida a la energía potencial gravitatoria que posee la partícula respecto de un nivel de referencia. Energía interna: Û(x,t)

•

Energía total por unidad de masa (intensiva): e(x,t) 1 2 e( x, t ) = c + gΔz + uˆ ( x, t ) Unidades: [J/kg] o bien [m2/s2] 2 La energía total de un flujo fluyente está compuesta por energía cinética, potencial, interna y del flujo, siendo las dos últimas agrupadas en la cantidad entalpía. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Energía interna

Û=Û(x,y,z,t) [J] (magnitud escalar)

La energía interna Û incluye todos los otros tipos de energía microscópicas y está asociada con el estado termodinámico del sistema. Las energías microscópicas se relacionan con la estructura molecular del sistema y su grado de actividad molecular. Estas son independientes de los marcos de referencia externos. La Û es una propiedad extensiva y sus unidades serán las de energía [J] (o bien intensiva û con unidades [J/kg] ). Energía interna sensible y latente = Energía térmica de un cuerpo Energía térmica de un cuerpo ≠ Calor de un cuerpo = transferencia de calor 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Energía interna Aspectos físicos relacionados con la energía interna La energía interna U se puede considerar como la suma de las energías cinética y potencial de las moléculas, (vibración, movimiento de traslación y rotación). La porción de U relacionada con la energía cinética de las moléculas se llama energía sensible. La porción de U relacionada con las fuerzas de enlace intermoleculares, es decir, entre sus átomos, partículas de los átomos y su núcleo, de diferente intensidad según las fases de una sustancia, recibe el nombre de energía latente. Si el proceso de cambio de fase no implica cambios en la composición química, sólo hay cambios en las fuerzas intermoleculares. La porción de U relacionada a los enlaces entre los átomos de una molécula se llama energía química o de enlace, mientras que la asociada con sus enlaces intra-átomos es energía nuclear. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Energía interna

Û=Û(x,y,z,t) [J] (magnitud escalar)

La energía cinética macroscópica de las partículas es una forma organizada de energía, a diferencia de las energías microscópicas que son desorganizadas. La primera es mucho más útil que las segundas.

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Energía interna

Û=Û(x,y,z,t) [J] (magnitud escalar)

Û(x,t) ≡ energía cinética moléculas + energía potencial molecular • Energía cinética moléculas: debido a las agitaciones moleculares. • Energía potencial molecular: debida a fuerzas de interacción intermolecular. Energía interna total por unidad de masa (intensiva): e(x,t) Unidades: [J/kg] o bien [m2/s2]

N ( ΔV )

uˆ ( x , t ) = lím

∑ i =1

2 1 1 N ( ΔV ) N ( ΔV ) mi ci' + ∑ ∑ φij 2 2 i =1 j =1( j ≠i )

ΔV →δV

N ( ΔV )

∑m i =1

12/03/2019 14:44

i

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Entalpía

H=H(x,y,z,t)=Uˆ + p V (magnitud escalar)

[J]

En el estudio de procesos asociados a la generación de potencia, y climatización aparece a menudo la combinación de propiedades: Û + pV. Luego, por conveniencia y simplicidad, a la combinación de propiedades energía interna + el producto pV (energía/trabajo del flujo) se le designa como una nueva propiedad llamada ENTALPIA (enthalpien = calentar), que se representa con el símbolo H. La energía interna representa la energía microscópica contenida en fluidos que no fluyen, en tanto que la entalpía representa la energía microscópica contenida en fluidos que fluyen. Por unidad de masa:

h = uˆ + p v

[J/kg]

Por mol:

h = u + pv

[J/mol]

Nota: En algunas tablas la energía interna no se indica, pero puede obtenerse a partir de la entalpía. Recordar también que para vapor húmedo: h = hf + x hfg = hf + x (hf –hg) = (1− x) hf + x hg 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Entropía

S(x,y,z,t) [J/K] (magnitud escalar)

La definición de un restado de la materia a partir de variables macroscópicas (p, T, c , etc.), implica la pérdida de información de su estado microscópico que está en cambio permanente debido a las interacciones moleculares que poseen tiempos característicos mucho más pequeños que los tiempos de variación de las variables macroscópicas. Esto implica que sistemas con un número muy grande de grados de libertad, esto es, muchas “partículas fluidas”, poseen un gran número de estados microscópicos que pueden dar lugar a un mismo estado macroscópico (macroestado). 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Entropía

S(x,y,z,t) [J/K] (magnitud escalar)

La entropía es una propiedad que desde el punto de vista molecular se define como:

⎧ k : cte. Boltzmann S = k ln Pest ⎨ ⎩ Pest : peso estadístico

Número de microestados

Y puede considerarse como una medida del grado de información detallada (microscópica) que se posee sobre el sistema, siendo mayor el grado de información disponible cuando menor es la entropía. Se cuantifica así el desorden molecular de un sistema aislado. Estado de equilibrio termodinámico: Los sistemas tienden a permanecer en él. Estado de desequilibrio termodinámico: Las interacciones moleculares conducirán, de acuerdo con las leyes de la probabilidad a micro-estados pertenecientes a macro-estados de mayor entropía, es decir mayor Pest, hasta alcanzar el equilibrio. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Entropía RESUMEN: De acuerdo con su definición, la entropía puede considerarse como una medida del grado de información detallada (microscópica) que se posee sobre el sistema, siendo mayor el grado de información cuando menor es la entropía. También la entropía da idea de orden, si se conviene que un sistema más ordenado se corresponde con aquel que pueden identificarse sus partes, pues su diferencia es mayor. Esto implica la variación espacial más acentuada de la variables macroscópicas. Entropía por unidad de masa s(x,t), unidades: [J/(kg K)] 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Entropía Desde el punto de vista macroscópico, la entropía puede relacionarse con el calor suministrado a un sistema, siendo así proporcional a su temperatura. Esta magnitud se define para procesos reversibles. Para ciclo reversible: S =

p

2

A B C 1

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v

∫

δQ T

=0

Se demuestra que es una diferencial exacta y ∴ S es una propiedad de estado.

⎛δ Q ⎞ ⎛δ Q ⎞ = ∫ dS ∴ ⎜ = dS ⎟ ⎟ T ⎠ int, rev ⎝ T ⎠ int, rev

∫ ⎜⎝

⎛δ Q ⎞ ⇒ dS = ⎜ ⎟ ⎝ T ⎠ int, rev

∫ dS = S

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2

⎛2δ Q − S1 = ⎜ ∫ ⎜ T ⎝1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ int, rev 60

Fluido, magnitudes macroscópicas características Entropía

Relaciones Termodinámicas, gas ideal

Para ciclo irreversible (sistema cerrado):

∫

δQ T

≤ 0 , Proc. irrev. → ∫

δQ

2

T

1

1⎛ δ Q ⎞ < 0 +∫ ⎜ ⎟ 2 ⎝ T ⎠ int,rev 142 4 43 4 S1 − S 2

∴∫

2

1

δQ T

+ S1 − S 2 < 0 ⇒

1

δQ

2

T

∫

< S 2 − S1 = ΔS

2⎛δ Q ⎞ S 2 − S1 = ∫ ⎜ ⎟ + S gen, sist 123 1 123 ⎝ T ⎠ Cambio Entropía 14243f Generación Transferencia Entropía por calor

dentro sistema

Si Q=0 ∴ ΔS aislado ≥ 0, Se genera o crea entropía en procesos irreversibles Balance de entropía (para vc):

dS vc dt {

Tasa de Cambio Entropía

12/03/2019 14:44

=

Q& i S& gen ,vc + ∑ m& e se − ∑ m& s s s ∑i T + 1 23 i i i 1 4424 43 123 Tasa Generación

Tasa Transf. Entropía por calor

dentro sistema

Tasa transporte por la masa

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico) Fase (sólida, líquida o gas) homogénea de una sustancia de composición constante. No hay cambio de fase. Es útil conocer la cantidad de energía térmica necesaria, por unidad de masa para causar un cambio de una unidad en la temperatura de la sustancia. Dependiendo de la sustancia harán falta distintas cantidades de energía térmica para obtener un ΔT unitario. Es deseable una propiedad que cuantifique las distintas capacidades de almacenamiento de energía térmica de diferentes sustancias. Esta propiedad es la CAPACIDAD CALORÍFICA ESPECÍFICA ( el ex CALOR ESPECIFICO) ΔE = ce m ΔT →[J]= { [J] / ([kg][T] ) } [kg] [T]=[J] “Energía requerida para elevar la temperatura de una masa unitaria en 1 unidad de temperatura”, [T] pueden ser [K] o [oC]. Dependiendo de como se ejecute el proceso se definirá el calor específico. Aquí interesan dos tipos de capacidad calorífica específica: a volumen constante, cv y a presión constante, cp. Notas:

cp > cv , debido a que a p=cte el sistema se expande y la energía para este trabajo de expansión debe suministrarse al sistema. a unadebase Tanto cp como 12/03/2019 14:44 cv pueden referirse Mecánica Fluidosmolar – Miguel (G.cCoussirat p , c v) Núñez

62

Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico)

∴ ce =

1 dET 1 δ Q = y si Uˆ = f (v, T ) ; dW = PdV m dT m δ T

Expresado en función de otras propiedades termodinámicas, para sustancia simple y compresible (gas real) y proceso cuasi-estático (no considero energía cinética ni potencial):

dE = dUˆ + dEk + dEp = δ Q −δ W = δ Q − PdV ⇒ dUˆ + PdV = δ Q

A volumen constante:

dE = dUˆ = δ Q ⇒ cv = A presión constante:

dH = δ Q + VdP dH = dQ = dUˆ + PdV ⇒ c p = 12/03/2019 14:44

1 δQ 1 ∂ Uˆ = m δ T v=cte m ∂T

1 δQ 1 ∂H = m δ T p=cte m ∂T

= v =cte

= p =cte

∂ uˆ ∂T v=cte

∂h ∂T p=cte

k =γ =

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cp cv 63

Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico) Expresado en función de otras propiedades termodinámicas, para sustancia simple y en estado sólido o líquido (incompresible) y proceso cuasi-estático (no considero energía cinética ni potencial):

dh = duˆ + d (Pv) ≅ duˆ = c dT Donde c es o bien el calor a volumen constante o a presión constante, ya que los dos son muy similares. En la mayoría de los casos se asume que este valor de c es constante (a menos que el proceso sea a baja temperatura o sobre un rango amplio de temperaturas), por lo que si se integra la expresión anterior queda:

h2 − h1 ≅ uˆ2 − uˆ1 ≅ c (T2 −T1) Hay tablas en donde c está presente para distintas sustancias (se indica cp). Nota: NO confundir la c de calor a volumen o presión cte., con la velocidad c!. En este curso la letra c normalmente es usada para definir el vector velocidad. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico) Expresado en función de otras propiedades termodinámicas, para sustancia simple y compresible (gas ideal, presión reducida = pR = (p/pcr )→ 0) y proceso cuasi-estático (no considero energía cinética ni potencial):

p v = RT ∴cv =

∂uˆ ∂T

Puede demostrarse que:

Significando que para una T dada el gas tiene una cierta u definida independiente de la presión. Experimento de Joule, 1843.

⇒ gas ideal, cv 0 = v =cte

uˆ = f ( T )

duˆ ⇒ duˆ = cv0dT ⇒ dUˆ = m cv0 dT dT

dh ∂h ; h = uˆ + pv = uˆ + RT ; ( R = cte, uˆ = f (T ) ) ∴ h = g (T ) → c p0 = ; cp = dT ∂T p=cte dH = m c dT se deduce finalmente que : c = f (T ); c = g (T ) p0 p0 v0 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico) c p0 = f (T ); cv0 = f (T ) En el año 1844, Joule efectuó experiencias con los gases dejándolos expandir en el vacío. El experimento consistió en colocar dos recipientes A y B, que pueden comunicarse entre sí operando el robinete R, sumergidos en un calorímetro de agua, cuya temperatura puede medirse con el termómetro. Después de la expansión, se observó que no había cambios en T

p T+dT, u+du, h+dh=cte

Desde que u=f(T) y h=f(T) , las líneas de T=cte, lo son para u y h también. Desde 1 se puede alcanzar la temperatura más alta por varios caminos y en cada uno de ellos el estado final es diferente (2a, 2b, 2c). Sin embargo independientemente del camino, los cambios en T, u y h son los mismos. 12/03/2019 14:44

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2a 2b 1

2c T,u,h=cte

v 66

Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico) Otras relaciones para gases ideales h = uˆ + pv = uˆ + R ' T → Diferencia ndo : dh = d uˆ + R dT Luego : c p 0 dT = cv 0 dT + R dT ∴ c p 0 − cv 0 = R ; k = en base molar : c p 0 − cv 0 = R ;

T2

hT = ∫

T1

c p0 cv 0 c p0 dT

Si suponemos cp0=cte

dh = c p0 dT → h2 − h1 = c p0 (T2 − T1 ) Viendo la figura: ¿Cuándo es correcta esta suposición? Si ahora cp0 =f(T), existen tablas que indican algunas posibles funciones. 12/03/2019 14:44

cp0 = f (T ) , gases ideales

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67

Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico)

Factores de conversión

k =γ =

TK = (TC + 273,15 )

cp

TR = TF + 459,67

cv

TR = 1,80TK 9 TF = TC + 32 = 1,8TC + 32 5 5 TC = (TF − 32 ) 9

TR = 1,80TK 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico) • Las expresiones para cv y cp sólo contienen expresiones termodinámicas (variables de estado), por lo tanto éstas también lo son. Al ser relaciones entre propiedades (variables de estado), son independientes del camino seguido por el proceso. • Puede decirse que cv y cp son respectivamente una medida de la variación de la energía interna de una sustancia y una medida de la variación de la entalpía de una sustancia respecto de variaciones de la temperatura. • Como cv es función de la U, es independiente del proceso. Por ejemplo una misma ΔU se obtiene entregando un trabajo de 100J (W<0) al sistema que haciendo una transferencia de calor al sistema de 100J (Q>0). El cv será el mismo, independientemente de la forma en como se haya logrado tal ΔU . 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Capacidad calorífica específica (ex calor específico) Ejemplo: Determinar cp de vapor a 0,5 MPa y 375C. Usando cp= (∂h/∂T)p=cte≈ (Δh/ΔT)p=cte De tablas de vapor:

p1 =0,5 MPa, T1 = 350C, h = 3.167,7 kJ/kg p2 = 0,5 MPa, T2 = 400C, h = 3.271,9 kJ/kg → cp≈(Δh/ΔT)p=cte cp = 104,2/50 = 2,084 KJ/(kg K)

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas

F=F(x,y,z,t) [N] (magnitud vectorial)

Se pueden distinguir dos clases de fuerzas: • Fuerzas de volumen (largo alcance), dFB • Fuerzas superficiales (corto alcance, moleculares), dFS

r n

r dFS

dA dV r dFV

Ambos tipos de fuerzas dependen de las propiedades locales del fluido. En el caso de las fuerzas superficiales esta dependencia requiere un estudio más detallado y esto da origen al concepto de tensor de esfuerzos. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas de volumen: • Fuerza debido a la gravedad (pueden definirse a través de un potencial r r gravitatorio).

dFg = − ρgdV

• Fuerzas debidas a movimiento no uniforme del sistema de referencia, fuerzas de inercia. ( ( r ( ( r dΩ r ⎞ ⎛r v Derivación × r ⎟⎟dV dFI = ρ ⎜⎜ ar − a0 − 2Ω × cr − Ω × Ω × r − ecuaciones dt ⎝ ⎠ • Fuerzas electromagnéticas (Magneto- Fluidodinamica, Teoría del Plasma)

(

(

)

r r r r dFem = ρ e E + J × B dV 12/03/2019 14:44

)

ρe : carga eléctrica por unidad de volumen, E: vector campo eléctrico, J: vector densidad de corriente, B: vector campo magnético

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales: Esfuerzos sobre una partícula

FS = f(A) Clasificación de Esfuerzos: (Tensor de tensiones:

Fn

F

σij

Fn

⎢⎣ m 2 ⎥⎦

Superficie

F

Se definen F t como de? Tracción (σn)

Fuerzaque? ⎡ N ⎤ A través de definir Esfuerzo=

)

{

F

Tipos de Esfuerzo

t

Compresión (σn)

Normales

( i = j)

{

σii > 0

Tracción

σii < 0

Compresión (presión)

Tangenciales (i ≠ j ) σij = 0, σij ≠ 0 (σij = τ )

Tangenciales (corte σt) 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales: (Principio de Cauchy)

dM

ΔF

dF

dF

límδ ΔA = dA = σ

dA

límδ

Punto P

ΔA→ A

ΔA→ A

ΔM dM = =0 ΔA dA σ =dF/dA σt

σ dA

12/03/2019 14:44

... asumiendo que el valor de la variación del momento es nula y no hay ningún momento o torque concentrado remanente...

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σn dA

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas producto contraído o producto interior

Fuerzas superficiales:

r r dFs = σ ij • n dA

No son tan fáciles de analizar ya que constan de componentes normales como tangenciales. Pese a que la fuerza física es independiente de la orientación de los ejes de coordenadas, su descripción en términos de componentes respecto de ejes coordenados cambia con la orientación de éstos. Por otra parte, rara vez se tiene las superficies de control alineadas con cada uno de los ejes coordenados, luego es forzoso definir un tensor de segundo orden, para describir de manera adecuada los esfuerzos superficiales en un punto. 12/03/2019 14:44

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Scalar product: r r A ⋅ X = Y → yi = aik xk r f s ,n

r n

r f s ,t

r fs

r f s,z

r f s, x

dA

r f s, y

z x

y r f s ,n

r n

dA

r f s ,t

r fs

r f s, x

r f s,z r f s, y

z y

x

75

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales:

r e3 σ 31

σ 22

σ 21

σ 23

σ 32

σ 13

σ 21

σ 11 σ 12

σ 23

σ 22

r e2

σ 12

r e1

σ 21 12/03/2019 14:44

σ 33

σ 21 σ 12

Convención de signos

Para los esfuerzos se considera que una componente es positiva cuando la dirección del esfuerzo mismo y la dirección del plano donde actúa (normal exterior a la superficie del vc) son ambas positivas o ambas negativas. Sobre el cubo elemental (vc) se han indicado los esfuerzos positivos.

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales:

Equilibrio sobre partícula fluida:

• Fuerza sobre las superficies:

r e3

• Equilibrio sobre cada superficie:

ΔA ΔA1

ΔA2

r e1

r r r r r r r r r r dFA = σ AdA; σ j = f (xO , t, n) → dFAj = σ j dAj ; σ j = f (xO , t, e j ); j = 1, 2, 3

O

r e2

ΔA3

r r r r v f ( xO , t ,−e j ) = − f S ( xO , t , e j ) = − σ j ; j = 1, 2, 3 1S 42 4r 43 4 fs j

• Para todo el tetraedro:

Fuerzas

volumétricas 678 3 r r r r r r f S ΔA −σ1ΔA1 − σ 2ΔA2 − σ 3ΔA3 = f S ΔA − ∑ σ j ΔAj = O(ΔV ) j =1

• Pasando al límite luego de dividir por ΔA: →0

ΔA j dA j r r ⎡ r ΔA 3 r ΔA j ⎤ O(ΔV ) lím ⎢ f S −∑ σ j ; Si lím = = e j.n = n j ; e j = 1 ⎥= ΔA j =1 ΔA ⎦ ΔA dA ΔA→δA ⎣ ΔA→δA ΔA

12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales: r e3

ΔA2

ΔA

ΔA1

(

)

j =1

Lo que luego puede escribirse por componentes como : σ n

O

r e1

Equilibrio sobre partícula fluida:

3 r r r f S − ∑ σ j n j = 0 ∴ f S = f s1 , f s2 , f s3

r e2

ΔA3

ij j 6 47 4 8 3 = r r f Si − ∑ σ j n j = 0 → f Si = σ ij n j = σ . n = 0

j =1

⎧ f ⎫ ⎧σ n + σ 12 n2 + σ 13 n3 ⎫ σ 12 σ 13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎡σ r ⎪ S1 ⎪ ⎪ 11 1 r = r ⎢ 11 ⎪ ⎪ ⎪ ∴ f S = ⎨ f S 2 ⎬ = ⎨σ 21n1 + σ 22 n2 + σ 23 n3 ⎬ ⇒ f s = σ . n = ⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥⎥.⎨n 2 ⎬ ⎪ f ⎪ ⎪σ n + σ n + σ n ⎪ ⎢⎣σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦ ⎪⎩ n3 ⎪⎭ 32 2 33 3 ⎭ ⎩ S3 ⎭ ⎩ 31 1

Se demuestra que la fuerza superficial total es la suma de todas las tensiones en el tetraedro, pudiendo expresar esa fuerza superficial en términos de componentes que es lo buscado 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales:

r

r r Si n = e1 , (n2 = n3 = 0, n1 = 1)

r e2 , σ 22

σ 11 σ 12

r e1

r

Si se cambia n por − n , f S cambia de signo

r e3 , σ 33

σ 13

Equilibrio sobre partícula fluida:

σ 12 σ 13 ⎤ ⎧n1 ⎫ ⎡σ r = r ⎢ 11 ⎪ ⎪ f s = σ . n = ⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥⎥.⎨ 0 ⎬ ⎢⎣σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎧ f ⎫ ⎧σ n + σ 12 0 + σ 13 0 ⎫ ⎧σ 11n1 ⎫ r ⎪ S1 ⎪ ⎪ 11 1 ⎪ ⎪ ⎪ ∴ f S = ⎨ f S 2 ⎬ = ⎨σ 21n1 + σ 22 0 + σ 23 0⎬ = ⎨σ 21n1 ⎬ ⎪ f ⎪ ⎪σ n + σ 0 + σ 0 ⎪ ⎪σ n ⎪ 32 33 ⎭ ⎩ 31 1 ⎭ ⎩ S3 ⎭ ⎩ 31 1

Convención de representación de σ : σij en donde i es la componente del tensor paralelo al versor i y por tanto está en el plano perpendicular a esta dirección, y en donde j indica la dirección a la que es paralela la componente dentro del plano que es 12/03/2019 14:44 Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez 79 perpendicular a i.

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales: r e3 , σ 33 +

E

F

A

Fuerza total cara ABCD:

B σ 13

G

σ 12

σ 11

C

D

r e1 , σ 11

rH e2 , σ 22

12/03/2019 14:44

Momento fuerzas según x3:

(σ 12 dx2 dx3 ) dx1 + (σ 12 dx2 dx3 ) dx1 = 2

2

Fuerzas y Momento de fuerzas caras AEGC y BFDE según x3:

σ 21 σ 12

Fuerza total cara EFGH:

(σ 11er1 + σ 12 er2 + σ 13 er3 )dx 2 dx 3 r r r − (σ 11e1 + σ 12 e2 + σ 13 e3 )dx 2 dx 3 σ 12 dx2 dx3 dx1 = σ 12 dV

σ 12

σ 21

Momentos de fuerzas en todas las caras respecto de eje paralelo a e3

dx2 dx − (σ 21dx1dx3 ) 2 = 2 2 − σ 21dx2 dx3dx1 = σ 21dV

− (σ 21dx1dx3 )

Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez

80

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas Momentos de todas las caras respecto de eje paralelo a e3 Caras AEFB y CGHD dan resultante que corta al eje x3 ∴ no dan momentos.

Fuerzas superficiales: r e3 , σ 33 +

E

F

A

B G

C

D

rH e2 , σ 22

σ 12

r e1 , σ 11

σ 21

σ 21 σ 12

El momento cinético del fluido incluido en el volumen, así como momentos de fuerzas másicas y errores de considerar en caras opuestas iguales valores de σ son todas contribuciones de magnitud dVdl donde dl es una distancia típica de orden dV1/3. Luego el momento de fuerzas másicas es de orden O(dVdl). El equilibrio de momentos da: σ 12 dV − σ 21dV + O(dVdl ) = 0 Si divido por dV y haciendo paso al límite para dl → δl ∴σ 21 = σ 12

Similar análisis es válido para las otras caras. Se tiene σ13=σ31 y σ23 =σ32 12/03/2019 14:44

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81

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales: r e3 , σ 33

E

+

∴se demuestra así la simetría de las componentes tangenciales del tensor de tensiones.

F

A

B

Para la determinación de la fuerza sobre un elemento de

r

G C

D

r e1 , σ 11

rH e2 , σ 22 superficie dA de normal n en un punto del espacio para

un instante dado sólo se requiere el conocimiento de sólo 6 componentes del tensor de tensiones simétrico de esfuerzos, σ en ese instante y en ese punto:

σ 12

σ 21

σ 21 σ 12

12/03/2019 14:44

r r r r r f S ( x , t , n ) = σ ( x , t ). n = σ ( x , t ). n Notación Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez

82

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Cuádrica del tensor de esfuerzos: Todo tensor simétrico se puede asociar a una cuádrica: 2 F = σ ij xi x j = σ 11 x12 + σ 22 x22 + σ 33 x32 + 2(σ 12 x1 x2 + σ 13 x1 x3 + σ 23 x2 x3 ) = ±1

∂F = F ,i ∂xi Gradiente de F, normal a la superficie

El signo del segundo miembro se escoge para que la cuádrica sea siempre real. Dadas las componentes del tensor y un valor de F, la superficie es única Tensor simétrico: posee una serie de características particulares como la de que: al hacer una transformación de coordenadas la simetría se conserva.

Un tensor σij es antisimétrico si σij = - σji . Este tipo de tensores tiene sólo 3 componentes diferentes, ya que los términos de la diagonal principal deben ser nulos para que se 12/03/2019 la 14:44 Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez 83 cumpla condición de antisimetría.

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Cuádrica del tensor de esfuerzos: Si se hace un cambio de ejes, la cuádrica cambia y sus componentes son las del tensor en los nuevos ejes. Los ejes principales son aquellos en que la cuádrica se transforma en:

σ 11 x12 + σ 22 x22 + σ 33 x32 = ±1

Al ser los términos dominantes de la diagonal principal los correspondientes a la presión que es negativa (compresión), el signo del 2do miembro va a ser casi siempre negativo. 12/03/2019 14:44

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84

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Cuádrica del tensor de esfuerzos: Una interpretación de interés, es que trazando desde el origen una recta paralela a la r normal a la superficie n , su intersección con la cuádrica corresponde a un punto Q cuyo r plano tangente a la cuádrica es normal al vector f.S

r

r

En el caso r deruna dirección principal n y f S son paralelos. Si la cuádrica es una esfera, luego n y f S son siempre paralelos.

r fS

r n

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, presión fluidoestática: • Según la experiencia, para fluido en reposo, en un elemento de superficie de área dA y orientación n de su interior, aparece una fuerza macroscópica dF ™

™ ™

™

Ejercida por el fluido del lado de n sobre el fluido del otro lado de dA. De magnitud proporcional a dA. Para movimiento como sólido rígido o en dA reposo, su magnitud no depende de la orientación de dA. x Dirección normal a dA y su sentido es dirigido hacia dA. r ⎧ 0, i ≠ j r ; luego : f S = − p n σ ij = − p δ ij , donde δ ij = ⎨ ⎩ 1, i = j

12/03/2019 14:44

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dF ∝ -ndA n

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, presión fluidoestática: 0 ⎤ 0 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎡σ 11 0 ⎡σ 11 0 = r r r ⎪ ⎪ ⎢ ⎢ ⎥ σ = ⎢ 0 σ 22 0 ⎥ ∴ f S = f p = σ . n = ⎢ 0 σ 22 0 ⎥⎥.⎨n2 ⎬ ⎢⎣ 0 ⎢⎣ 0 0 σ 33 ⎥⎦ 0 σ 33 ⎥⎦ ⎪⎩n3 ⎪⎭ =

Si σ 11 ≠ σ 22 ≠ σ 33 : Se podría hacer un cambio de ejes que permite la aparición de términos distintos de cero fuera de la diagonal lo que es incompatible con la hipótesis de sólido rígido o fluido en reposo.

∴ σ 11 = σ 22 = σ 33 = − p el signo negativo es porque el estado es de compresión 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, presión fluidoestática: dFp ∝ -ndA ⇒ dFp = -p(x,t) n dA= -pδij dA Se ha definido así la variable termodinámica presión p

p = p( x, y, z, t ) [Pa] o bien [N/m2 ] ™

™

Origen microscópico de esta fuerza: cantidad de movimiento neta, por unidad de t, transportada por las moléculas que atraviesan dA por agitación molecular. Origen de la transferencia: ¾ ¾

Colisiones (gases y líquidos) Fuerzas intermoleculares (líquidos)

12/03/2019 14:44

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p( x, t ) =

dF dA 88

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, presión fluidoestática: Presión: Líquidos y gases (Fluidos en reposo). Tensiones: Sólidos (en reposo) y fluidos (en movimiento). Presión

P =

Δ Fn ΔA

⎡ N ⎤ ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ = [Pa

],

P =

lím

ΔA → δA

Fluido en equilibrio:

Δ Fn ΔA Pabs> Patm

Presión: Es la misma en todas direcciones Fluido viscoso en movimiento:

Variación del estado de tensiones según la dirección se vuelve importante. Presión idem a equilibrio 12/03/2019 14:44

Presiones relativas

Presión manométrica Pman=Pabs-Patm

P=Patm=P0

Presión absoluta

Presión Vacío Presión barométrica

Todas absolutas!

Pv=Patm-Pabs

Pabs< Patm Presión absoluta Pabs=0

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Presión fluidostática: Unidades 1 pa = 1N/m2 = 1kg/(m s2), 1Hp= 102 pa, 1 Kpa =103 pa, 1 Mpa = 103 kPa, 1Mpa = 106 pa 1 bar = 105 pa = 0,1 Mpa = 100 Kpa; 1mbar=10-3 bar=100pa 1 mm c.a.= 1kgf/m2 = 9,81 pa 1 lbf/pulg2 =1 psi = 6.895 pa 1 atm (atmósfera física):

MPaG→ MPaG to PSIG MPa stands for Megapascal. The G stands for gauge. PSI stands for pounds/square inch. The G stands for the same as above. When pressure is read from a gauge, its actually measuring the difference of the pressure in the pipe and the pressure of the atmosphere. If you need Absolute pressure, you need to add 1 atmosphere to the reading of the gauge.

1atm =101.325 pa =1,01325 bar = 101,325 kpa = 760mmHg (a 20C) = 14,696 lbf/pulg2 = 10,13mc.a. (a 20C) 1at (atmósfera técnica): r

1at =1 kgf/cm2 = 1 kg/cm2 = 0,981 bar = 98.100 Pa=10 mc.a. (a 20C) NOTA: Más detalles de la variable presión se dan en el Tema I.2 (i.e., Fluidostática I) de la Unidad I 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura ρ = ρ ( p, T ) Un fluido se contrae cuando se le aplica una presión y se expande cuando deja de aplicársele, es decir un fluido actúa como un sólido elástico respecto de la presión. Se necesita definir las propiedades que relacionan cambios de volúmenes con cambios de p y T. Para cuantificar estos efectos SE DEFINE para fluidos y de manera análoga al Módulo de Young de los sólidos, un coeficiente de compresibilidad, o módulo de compresibilidad de volumen, o módulo de elasticidad de volumen. 1 dv ∂p ⎞ 2 ⎟ → ρ = = f ( p,T ) ⇒ dρ T =cte = − 2 → dv = −v dρ v v ⎝ ∂v ⎠T =cte

κ = −v⎛⎜

1 ⎛ dp ⎞ Δp ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ∴ κ = −v⎜ ⎟ = − ⎜ 2 ⎟ → κ = ρ ⎜ ⎟ ≅ ρ ⎝ − v dρ ⎠T =cte ∂ ρ Δ ρ / ρ T =cte ⎝ ∂v ⎠T =cte ⎝ ⎠T =cte ∴κ = − 12/03/2019 14:44

Δp Δp = , [κ ] =[Pa] Δv / v T =cte Δρ / ρ T =cte

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura

⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ = ρ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ∂v ⎠T =cte ⎝ ∂ρ ⎠T =cte

κ = − v⎜

≅

Δp Δp =− , [κ ] = [Pa] Δρ / ρ T =cte Δv / v T =cte

Se ha definido un coeficiente de compresibilidad para fluidos en función del volumen específico v. κ representa el cambio de la presión correspondiente a un cambio relativo en la densidad, un κ =∞ representa un fluido incompresible. Cambios pequeños en la densidad en el caso de líquidos provocan el fenómeno conocido como golpe de ariete, produciéndose ondas acústicas que chocan contra las paredes del tubo. Para gas ideal κ =p (absoluta), ya que κ =Δp/(Δρ /ρ) y si p=ρRT, ∂p/∂ρ|T=cte=RT, ∴Δp/Δρ|T=cte~RT ⇒ κ ≅ Δp/(Δρ/ρ) = ρ Δp /Δρ = ρRT = p, con p presión absoluta. Como el volumen y la presión crecen en forma inversa, el signo menos sirve para que κ > 0 14:44 sea12/03/2019 Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez 92

Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura ρ = ρ ( p, T ) La densidad de un fluido es más dependiente de la temperatura que la presión. Muchos fenómenos naturales se deben a esta fuerte dependencia tales como vientos, corrientes oceánicas y flujos de convección natural. Para cuantificar estos efectos, SE DEFINE para fluidos una propiedad que tenga en cuenta este aspecto y se llama coeficiente de expansión volumétrica, o expansividad volumétrica: dρ dν dρ dν 1 ⎛ ∂v ⎞ 1 1 =− 2ν → =− ⎟ ; ρ = → dρ ⇒ − 2 dv ⇒ v ⎝ ∂T ⎠ p =cte v v ρ ν ρ ν

β =− ⎜

Demostrar!

1 ⎛ ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂ρ ⎞ Δv / v Δρ / ρ ∴β = − ⎜ = ⎜ ⇒β ≅− = ⎟ ⎟ v ⎝ ∂T ⎠ p =cte ρ ⎝ ∂T ⎠ p =cte ΔT ΔT

⎡1⎤ ; [β ] = ⎢ ⎥ ⎣K ⎦

El coeficiente de expansión volumétrica es una medida del cambio en el volumen de una sustancia con la temperatura, T, para una presión p=cte. Para gas ideal: β = 1 /T, siendo T = Tabs [K] En casos de convección natural de fluidos se define de forma aproximada: 12/03/2019 14:44

β ≅−

(ρ∞ − ρ) / ρ∞ , ρ∞ − ρ = ρ∞β (T∞ −T ) T∞ −T

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura ρ = ρ ( p, T ) ; v = v ( p, T )

Efectos combinados de cambios de presión y temperatura sobre la densidad: ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎞ dv = ⎜ dT + ⎜⎜ ⎟⎟ dp ⎟ ⎝ ∂T ⎠ p =cte ⎝ ∂p ⎠T =cte

Ver slide anterior

1 ⎞ ⎛ dv = ⎜ βdT − dp ⎟v κ ⎠ ⎝ 1 Δv Δρ ∴ =− ≅ β dT − dp v ρ κ

Nota: A partir de la definición del módulo de compresibilidad puede expresarse la velocidad de sonido como:

a2 =cw,nc=∂p/∂ρ , κ = -ρ ∂p/∂ρ |s ∴a = (κ /ρ)0.5 12/03/2019 14:44

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NOTA: Definición útil que se utilizará en la Unidad IV, y en el Tema VI.1 y VI.2 de la Unidad VI

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura RESUMEN: Hay una dependencia de la densidad respecto de variables fundamentales (relacionadas al concepto de compresibilidad del fluido):

ρ = ρ ( p, T ) Se han logrado definir propiedades que relacionen los cambios de densidad con la presión y la temperatura: Coeficiente de compresibilidad (κ ) ⎛ Δp ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂p ⎞ ⎛ Δp ⎞ ⎟⎟ [Pa] = ρ⎜ ⎟ ≅ −⎜ = ⎜⎜ ⎟ ⎟ ∂ ∂ Δ / v v v v ⎝ ⎠T =cte ⎝ ⎠T =cte ⎝ ⎠T =cte ⎝ Δρ / ρ ⎠T =cte

κ = −v⎜

Coeficiente de expansión volumétrica (β )

1 ⎛ ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂ρ ⎞ ⎛ Δρ / ρ ⎞ ⎡1⎤ ⎛ Δv / v ⎞ = −⎜ ≅⎜ =− ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ρ ⎝ ∂T ⎠ p=cte ⎝ ΔT ⎠ p=cte ⎝ ΔT ⎠ p=cte ⎢⎣ K ⎥⎦ v ⎝ ∂T ⎠ p=cte

β= ⎜ 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Ecuación de estado para gases Las propiedades termodinámicas pueden relacionarse entre sí tanto teórica como experimentalmente, por medio de relaciones o ecuaciones de estado que varían de una sustancia a otra. Gases a altas temperaturas y bajas presiones (relativas a su punto crítico) siguen bien la ley de los gases perfectos. Mol: Cantidad de materia que contiene el número de Avogadro de partículas (Na), Na= 6,023 ×1023 partículas=6,023 ×1023 mol-1=partículas=6,023 ×1026 kmol-1 Para n moles de gas pV = c1 ,

Boyle - Mariotte

p = c2 , Gay- Lussac T 12/03/2019 14:44

} R=

pv = R; Ecuación general estado gaseoso T

R ⎡ kJ ⎤ (otras notaciones para R : R, Ru y para R : R ' ), [R ] = ⎢ ⎥; M ⎣ kmolK ⎦

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n=

m ⎡ kg ⎤ ;M =⎢ M ⎣ kmol ⎥⎦ 96

Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Ecuación de estado para gases Hay distintas maneras de expresar la ecuación de estado para gases:

Gas ideal: Sustancia que se expande al solidificar

12/03/2019 14:44

⎛1⎞ V p v = RT = p⎜⎜ ⎟⎟ = RT ; v = m ⎝ρ⎠ V R R ∴ p = RT ⇒ pV = mRT ; R = u = m M M R m ∴ pV = m u T ; n = → p V = nRuT M M Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Ecuación de estado para gases Para un mol (n=1) de gas ideal y en condiciones de presión y temperatura normales (PTN). PTN: (1 atm, 0oC) n = 1 mol

ocupa

[

V 0 = 22,4 dm 3

]

∴ 1 kmol

ocupa

[ ]

V 0 = 22,4 m 3

p 0 V0 101.325 Pa 22,4m 3 J KJ = Ru = = 8.314 = 8,314 nT 0 1Kmol 273K Kmol K Kmol K ⎡ Joule ⎤ ⎡ Joule ⎤ Kg ⎤ R 1 ⎡Kmol⎤ ; Raire = u = ⎢ Kg ⎥ 8.310⎢kmol K ⎥ = 287 ⎢kg K ⎥ ⎥ Kmol M 28,96 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[M ] = ⎡⎢

p = ρ RT,

R = c p − cv = constante específica del gas

R R = u , M gas : Masa molecular gas; M gas

Aproximaciones para gases reales

⎡ kg ⎤ kg ⎤ m [M ] = ⎡⎢Kmol ⎥ → n = M → [n] = ⎢ kg/Kmol ⎥ = [Kmol] gas

⎣

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⎦

⎣

⎦

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Ecuación de estado para líquidos Las relaciones entre variables de estados para líquidos son complejas. No existen relaciones simples comparables a la de los gases. Se utilizan generalmente tablas y gráficas de las propiedades de los líquidos en lugar de ecuaciones de estado.

Sustancia que se expande al solidificar

En general, la densidad de un líquido decrece ligeramente con la temperatura y aumenta moderadamente con la presión. Despreciando el efecto de la temperatura, una relación presión-densidad utilizada es: n

⎛ ρ ⎞ p = (B + 1)⎜⎜ ⎟⎟ − B; para agua : pa = patm, 20C , ρ a = ρ 20C , B = 3.000, n = 7 pa ⎝ ρa ⎠ 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Ecuación de estado para líquidos Puede considerarse que los fluidos líquidos son casi incompresibles y tiene un único calor específico prácticamente constante. Sus estados pueden definirse con bastante exactitud sólo en función de la temperatura, para presiones y temperaturas “normales”. En general, se utilizan las siguientes relaciones:

ρ ≈ constante, 12/03/2019 14:44

cv ≈ c p ≈ constante, dh = c p dT

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100

Fluido, magnitudes macroscópicas características Tensión superficial

Evidencias de la tensión superficial

Fuerza que aparece entre dos fluidos inmiscibles ™ ™ ™

A través de la superficie de la entrefase de separación. Tracción ⊥ a la frontera y tangente a la superficie. Efecto macroscópico de las fuerzas intermoleculares en desequilibrio.

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Tensión superficial Tensión superficial σs [N/m] ™ Fuerza por unidad de longitud de la línea sobre la que actúa. Representa el trabajo de estiramiento que se necesita hacer para que aumente la superficie del líquido en una cantidad unitaria. ™ Se habla de tensión superficial para las interfases líquido-líquido o líquido-gas, por tanto al indicar un valor para la tensión superficial debe indicarse el líquido o gas en la interfase adyacente. ™ σs (aire-agua 20º) = 0.073N/m en superficie limpia.

σs

•

12/03/2019 14:44

Nota: En general, σs disminuye con T y se anula para el punto crítico de un líquido, (no hay una interfase clara entre líquido y gas). El efecto de p sobre σs suele se despreciable. Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez

102

Fluido, magnitudes macroscópicas características Tensión superficial Fuerza por unidad de longitud de la línea sobre la que actúa. Representa el trabajo de estiramiento W, que se necesita hacer para que aumente la superficie del líquido en una cantidad unitaria.

F → F = 2b σ s 2b W = F Δ x = 2b σ s Δ x = σ s Δ A

σs =

Una interfaz curva indica una diferencia de presión entre los lados de ella, siendo la parte cóncava la que está sometida a mayores presiones. Si en vez de la gota se analiza una pompa de jabón hay dos superficies (interna y externa de casi el mismo radio), por tanto el Δp se duplica.

12/03/2019 14:44

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103

Fluido, magnitudes macroscópicas características Tensión superficial

Gota de líquido Fluido en reposo : τ ij = τ ii = p

∑F

normal sup

= 0 → equilibrio

dθ1 dθ2 dP, R1 , R2

Fluido A, pA

σs σs dL2 dθ1 /2

σs dL1

dL2 dθ2 /2

dL1

Fluido B, pB

Δp ; p > p 6 4 74 8 dθ dθ − PA )dA + 2σ s dL1sen 2 + 2σ s dL2 sen 1 = 0; B 2 2 d θ 1, 2 d θ1 , 2 d θ1 , 2 dL ; dL1, 2 = R1, 2 dθ1, 2 → dθ1, 2 = 1, 2 sen ≈ tg ≈ 2 2 2 R1, 2 A

B

(p

dθ 2 dθ + 2σ s dL2 1 ; 2 2 ⎛ dL2 dL1 ⎞ ⎟ − ΔpdA = σ s ⎜⎜ dL1 + dL2 R2 R1 ⎟⎠ ⎝

− ΔpdA = +2σ s dL1

⎛1 1⎞ ∴ − Δp (dL1dL2 ) = σ s (dL1dL2 )⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ R1 R2 ⎠ ⎛1 1⎞ − Δp = −( pB − p A ) = ( p A − pB ) = σ s ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ R1 R2 ⎠

Para la figura, el equilibrio mecánico indica que debe haber una diferencia de presiones entre ambos lados si la superficie es curva, estando la presión más alta en la parte cóncava . 12/03/2019 14:44

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104

Fluido, magnitudes macroscópicas características Tensión superficial

Capilaridad

• Ángulo de contacto θ ™ Entrefase en contacto con un contorno sólido ™ θ < 90º el líquido “moja” al sólido ™ θ > 90º el líquido “NO moja” al sólido • Ascenso/descenso de un fluido en un tubo capilar (agua/mercurio) ™ ™

Depende de σs y θ

(θ <90º → h >0,) (θ >90º→ h <0, )

Equilibrio: Fs cosθ =W →

∴ 2πRσs cosθ = ρgπR2 h → obtengo h 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Hasta el momento no se ha definido explícitamente si el fluido se mueve o no, las propiedades definidas hasta ahora no informan claramente si el fluido está en reposo o no. Las propiedades termodinámicas describen el estado del sistema, esto es, una porción de materia de identidad conocida, i.e., una partícula fluida que interactúa con su entorno. Ya se ha indicado que sus propiedades serán funciones continuas del espacio-tiempo. La termodinámica estudia normalmente sistemas estáticos, esto es, en equilibrio, pero los fluidos se encuentran normalmente en movimiento cambiando algunas o todas sus propiedades al moverse. Las propiedades termodinámicas estáticas conservan su significado en un flujo en movimiento? .... SI !!!, 12/03/2019 14:44

desde punto– Miguel de vista estadístico! Mecánicaun de Fluidos G. Coussirat Núñez

106

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fluido ideal:

Se define como uno en que no existe fricción, por tanto es no viscoso. Las fuerzas internas son por tanto normales a la superficie de la partícula fluida, incluso si hay movimiento. Estas fuerzas son sólo de presión. Los fluidos ideales no existen pero los fluidos reales se asemejan a aquellos lejos de contornos sólidos. Fluido real:

Siempre que haya un movimiento relativo a un cuerpo sólido se generan fuerzas tangenciales o cortantes dando lugar a la fricción dentro del fluido. Estos esfuerzos están relacionados con la propiedad viscosidad.

12/03/2019 14:44

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107

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas Fuerzas superficiales, efectos viscosos:

dFv = f ( x, y, z, t )dA

Supuestos para su definición:

σ ij ∝

Δθ ;i ≠ j Δt

Δθ

Δcy Δt Δθ

cz + dcz

Δz

cz

σ ij = σ 12 : esfuerzo aplicado Δθ : velocidad de deformación Δt

Δy 1, x

interacciones moleculares 12/03/2019 14:44

σ12

3, z

• Partícula de fluido sometida a un esfuerzo cortante (traslación) • Caso 2D

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2, y

σ12 108

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas Fuerzas superficiales, efectos viscosos: r v r c = f ( x, y, z, t ); c = (cx , c y , cz ) = (ci ); ci = f ( x, y, z, t )

Δc Δt tg Δθ = y Δz Cuando

σ 12

3, z Δc Δt y

Δθ → 0

Δθ

(La variación pasa a ser infinitesimal)

Δθ

Δz

∴ Δθ → dθ

f (z) } dc dt tg dθ ≅ dθ = y dz dθ dcy ∴ = dt dz

12/03/2019 14:44

Δc y Δt

Δy

1, x

σ ji ∝

dci ds j

2, y

σ 12

Esfuerzo proporcional al gradiente de velocidades

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109

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas Fuerzas superficiales, efectos viscosos: • • •

Se aplican: modelo medio continuo y conceptos de transporte difusivo, Medida cuantitativa de la resistencia de un fluido a fluir, Determina la velocidad de deformación del fluido cuando se le aplica un esfuerzo cortante σ dado. z Relación lineal para fluidos comunes como agua, aceite y aire cy(z)=v(z)

Componente y de la dθ celeridad (velocidad c) dt dc dt dθ dc y dc y = = tgdθ = y ; dz dt dz dz dθ dc y ∝ σ∝ dt dz

σ∝

σ

cy·dt

dz

dθ

cz

dy

12/03/2019 14:44

cy= dcy

cz + dcz

cy =0

interacciones moleculares

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110

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fenómenos de transporte: Transporte difusivo, modelo medio continuo, transporte de cantidad de movimiento

• Hipótesis de relación lineal entre: el gradiente local de velocidades y el flujo por unidad de superficie de la componente en y de la cantidad de movimiento transportada en dirección z z

σ yz = μ

σyz cy=v(z)

y

∂c y ( z ) ∂z

LEY DE NEWTON

μ=μ(p,T) Coeficiente de

Mas información fenómenos transporte 12/03/2019 14:44

viscosidad dinámica

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111

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, efectos viscosos: Si en vez de traslación se considera ahora una rotación del cilindro interior cuya altura es L.

τ

R2 R1 M

cθ es solución de N-S (Tema III_02 ejemplos) cθ

r

Ω1

h

pero si Ω1 → 0

h

c

Ω2

τ1 =

h

r2 ≈ r1∴2 r2

12/03/2019 14:44

= μ (Ω1 R1 / h ) 2πR1 L (R1 ) 3

2 1

2 μ r22ω1 μr ω = 2 1 (1 r2 − r1 )(r2 + r1 ) h 23 123

M = F .R1 = τAR1

∴ M = 2 μπR1 Ω1 L / h

Si : r − r = (r2 − r1 )(r2 + r1 ) 2 2

dcθ d ΩR1 , = μ (ΩR1 ) ≈ μ dr dr h cuando h <<< R1 ... o bien, en casos donde R1 ≈ O(h),

σ ij i ≠ j = τ = μ

r

Resultado simplificado: Caso general, ecuaciones N-S Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez

112

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, efectos viscosos: La viscosidad de un fluido, independientemente de su magnitud, fuerza la condición de no deslizamiento, esto es, la velocidad del fluido en la superficie debe ser igual a la de la r v r superficie c = f ( x, y, z , t ); c = (cx , c y , cz ) = (ci ); ci = f ( x, y, z , t ) z

τ = lím

ΔA→δA

dc FT =μ y A dz

Capa límite

{

Si conozco la relación entre c y z puedo derivar y conocer τ.

Δcy (z)

Δz

Perfiles de velocidad c=cy(z): y

Condición de no deslizamiento en la pared, (c=0), es una característica de los fluidos viscosos. 12/03/2019 14:44

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113

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, efectos viscosos: Generalizando a un caso 2D

dθ = dθ1 + dθ2 =

⎛ ⎞ ∂c ⎜⎜ cx + x dy ⎟⎟dt y ∂ ⎝ ⎠

y

⎛ ∂c ∂c ⎞ = ⎜⎜ x + y ⎟⎟dt ⎝ ∂y ∂x ⎠

d θ1

dy

dθ 2

cx dt

dx

∂cy ∂cx dt dt + ∂x ∂y

cy dt

∂c ⎛ ⎞ ⎜⎜ cy + y dx⎟⎟dt ∂x ⎠ ⎝

x

⎛ ∂c ∂c y ⎞ ⎟⎟ ∴σ xy = σ yx = μ ⎜⎜ x + ⎝ ∂y ∂x ⎠ 1 ⎛ ∂c ∂c ⎞ Sij = ⎜⎜ i + j ⎟⎟; 2 ⎝ ∂j ∂i ⎠ i, j = x, y → σ yx = 2μSij

El factor de proporcionalidad entre tensión y tasa de deformación (Sij) es nuevamente la viscosidad, generalizando el caso 1D a 2D. La posterior generalización a 3D es inmediata (i,j =x,y z) 12/03/2019 14:44 Mecánica de Fluidos – Miguel G. Coussirat Núñez 114

Fluido, magnitudes macroscópicas características Fuerzas sobre partículas fluidas

Fuerzas superficiales, efectos viscosos: Generalizando a un caso 3D

∂c ∂c σ ij ∝ i + j ∂s j ∂si

No confundir el vector deformación Sij con si, sj, notación para coordenadas generalizadas (o con entropía!!!).

σ 12 σ 13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎡σ ⎡σ 11 σ 12 σ 13 ⎤ r r = r ⎢ 11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ σ = ⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥ ∴ f S = f v = σ . n = ⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥⎥.⎨n2 ⎬ ⎪ ⎪ ⎣⎢σ 31 σ 32 σ 33 ⎦⎥ ⎩n3 ⎭ ⎣⎢σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦ =

Se ve que el factor de proporcionalidad que da cuenta de los efectos moleculares es la viscosidad r ⎡ ∂c j ⎛ ∂c ∂c ⎞⎤ r δ ij + μ ⎜⎜ i + j ⎟⎟⎥ dA, dFv = ⎢2μ ⎝ ∂s j ∂si ⎠⎥⎦ ⎣⎢ ∂s j 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Efectos viscosos, viscosidad molecular p, T y ρ variables termodinámicas primarias, características de cada sistema. Existen otras magnitudes secundarias que caracterizan el comportamiento específico de cada fluido, una de ellas es la viscosidad dinámica, μ.

μ = μ(x,y,z) [kg/(m s)] (magnitud escalar)

Relaciona el esfuerzo o tensión local de un fluido en movimiento con la velocidad de deformación de partículas fluidas. Esto es, cuando un fluido es sometido a un esfuerzo cortante comienza a moverse con una velocidad inversamente proporcional a una propiedad denominada coeficiente de viscosidad. Por tanto la viscosidad da una idea de la habilidad de un fluido para soportar esfuerzos cortantes, propiedad que influye en la potencia necesaria para mover un sólido en un medio fluidodinámico. Desempeña un papel fundamental en el desarrollo de la turbulencia. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Efectos viscosos, viscosidad molecular Fluidos compresibles: A semejanza de la viscosidad dinámica (μ, coeficiente de primera viscosidad). El coeficiente de segunda viscosidad λ es una cantidad positiva y depende de la naturaleza química del fluido compresible, de la presión y de la temperatura.

λ= λ(x,y,z) [kg/(m s)] (magnitud escalar)

Si μ se manifiesta en las deformaciones por corte puro, λ lo hace por deformaciones por compresión en todos los sentidos acompañada de una variación de la densidad del fluido. Si un fluido se lo somete a compresión o expansión, su equilibrio termodinámico se altera y en su seno se producen procesos que tienden a restablecer ese equilibrio. Los procesos para reestablecer ese equilibrio son irreversibles. Se produce un aumento de la entropía que atestigua esa disipación de energía. Esa disipación de energía y la λ que la determina serán tanto mayores cuanto más lentos sean los procesos de restablecimiento del equilibrio en comparación con los procesos de compresión o expansión. Para compresiones/enrarecimientos debidos a ondas sonoras λ depende de la frecuencia (dispersión de la segunda viscosidad). 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Efectos viscosos, viscosidad molecular τ = lím

ΔA→δA

1 FT dc = μ z → μ =τ dc z A dz dz

μ : Viscosidad dinámica ν =μ /ρ : Viscosidad cinemática

Análisis dimensional:

[F ]

[L ] 2

= μ

[μ ] =

[L ] 1 [t ] [L ]

[F ][t ]

[L ] 2

[F ]

[L ] 2

=

[M ][L ]

[t ] 2

⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩

[F ] [t ]⎫⎪ [L ] 1 [L 2 ] ⎬⎪⎭ [t ] [L ]

[t ]

[L ] 2

=

[M ] [L ][t ]

Unidades: Sist. cgs

Sist. MKS

[μ ] = [kg ] ; [ν ] = [m ] [m ][s ] [s ] 2

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] [μ ] = [Poisse] = [g] ; [ν ] = [Stoke ] = [cm [s ] [cm][s]

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2

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular

μ : Viscosidad dinámica

Unidades frecuentes:

1,0 lbf s/ft2=47,88 N s/m2 =Pa s = (kg m/s2) s/m2 = kg/(m s) [g] ; [ μ ] = [Poisse] = [cm][s]

[ μ ] = [cp] = [centipoisse] = 0,1[Poisse] [ μ ] = [dp] = [decapoisse] = [DPoisse] = 10[Poisse] = 10

[g] × 1 [kg] × 100[cm] = 1 [kg] [cm][s] 1.000[g] 1 [m] [m s]

⎡ kg m ⎤ [s] [N][s] ⎢ s2 ⎥ ⎡ kg ⎤ [ μ ] = [Pa . s] = 2 = ⎣ 2⎦ = ⎢ ⎥ = 1[DPoisse] ∴ 1[Pa.s] = 1[DPoisse] m m ⎣m s ⎦

[ ]

[ ]

La viscosidad del agua a 20C es de 1 cPoisse (centipoisse), de donde: 1cPoisse=0,1Poisse=0,001DPoisse=0,001 kg/(m s)=0,001 Pa.s 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Unidades frecuentes (sistema técnico): ⎡ kg ⎤ ⎥ ⎢ [τ ] = ⎣⎢ m 2 ⎦⎥ = ⎡ kg s ⎤ ; [μ ] = ⎢ ⎥ ⎡ dc ⎤ ⎡ m / s ⎤ ⎣⎢ m 2 ⎥⎦ ⎢ dy ⎥ ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎡ kg ⎤ ⎢ 3⎥ ⎡ γ ⎤ ⎢ m ⎥ ⎡ kg s 2 ⎤ ρ g = γ → [ρ ] = ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ = ⎢ 4 ⎥ = [UTM ⎣ g ⎦ ⎡ m ⎤ ⎣⎢ m ⎦⎥ ⎢⎣ s 2 ⎥⎦ ⎡ kg s ⎤ ⎢ 2 ⎥ m ⎡ 2⎤ ⎡μ ⎤ [ν ] = ⎢ ⎥ = ⎢⎣ 2⎥⎦ = ⎢ m ⎥ ⎣ ρ ⎦ ⎡ kg s ⎤ ⎣ s ⎦ ⎢ 4 ⎥ ⎣⎢ m ⎦⎥ 12/03/2019 14:44

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]

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular ⎡μ ⎤ Unidades frecuentes: [ν ] = ⎢ ⎥ ⎣ρ ⎦

Viscosidad (cinemática) Saybolt, (SSU) y Furol (SSF): Tiempo en segundos que tardarán en escurrir 60cm3 de un aceite sometido a ensayo, a una temperatura determinada y por un orificio de dimensiones prefijadas de 1/16" = 0,1765 ± 0,015cm (Viscosímetro Saybolt: Se verán detalles en la práctica de laboratorio). Para los fluidos más viscosos se utiliza el orificio de diámetro 1/8”= 0,315 ± 0,002cm y el tiempo cuantificado es llamado Segundos Saybolt Furol (SSF). Para transformar estos SSU o SSF a las unidades convencionales de viscosidad cinemática, se pueden usar las siguientes ecuaciones: 1) 1 cSt = 0,2130 t en SSU a 100oF (37,8oC) 2) 1 cSt = 0,2149 t en SSU a 210oF (98,9oC) 3) 1 St = 0,00226 t +1,95/t, para t ≤ 100 SSU 4) 1 St = 0,0022 t +1,85/t, para t > 100 SSU Pudiendo luego pasar del sistema cgs (St= cm2/s) al sistema internacional (m2/s) 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Unidades frecuentes:

[ν ] = ⎡⎢ μ ⎤⎥ ⎣ρ ⎦

El Índice de Viscosidad (IV): En una gran variedad de aplicaciones, pudiendo mencionarse aquéllas que usan aceite para fines de lubricación, es necesario garantizar que la sustancia reduzca su viscosidad lo menos posible al aumentar la temperatura. La propiedad que indica el comportamiento de la viscosidad de un fluido con la temperatura es conocida como IV. Un alto IV indica que el fluido es estable con los cambios de temperatura, es decir, que su viscosidad se reduce moderadamente al aumentar la temperatura. Esta propiedad puede hallarse a través de la ecuación de Deanny-Davis:

⎛ L −U ⎞ IV = 100⎜ ⎟ ⎝ L−H ⎠ En donde U son los SSU del fluido a 100°F y los valores de L y H se obtienen de tablas que se verán en la práctica de viscosidad, ingresando con los SSU a 210°F. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Unidades frecuentes:

[ν ] = ⎡⎢ μ ⎤⎥ ⎣ρ ⎦

La viscosidad del aceite del motor es medida y estandarizada en una norma gestionada por la Sociedad de Ingenieros Automotrices (SAE) llamada SAE J300, y allí se definen los requisitos de cada grado de viscosidad SAE. Los aceites de simple grado son los que cumplen con los requisitos solamente para un grado definido por la SAE J300. Aceites multigrado cumplen los requisitos de dos grados según la definición de SAE J300.

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular

μ : Viscosidad dinámica ν =μ /ρ : Viscosidad cinemática La viscosidad molecular es una variable macroscópica que tiene en cuenta interacciones entre las moléculas del fluido, de allí el nombre de viscosidad molecular. No confundir con las transferencias de momentum transversales al flujo debido a inestabilidades “macroscópicas” (que generan vórtices) y son las responsables del nivel de turbulencia en el seno del fluido... y que darán lugar a la llamada viscosidad turbulenta o viscosidad de remolino (eddy viscosity) 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular μ

Cálculo de la de la viscosidad Líquidos: ⎛ b ⎞ ⎜ ⎟

μ = a ×10⎝ T −c ⎠

Gases:

a, b y c: Parámetros empíricos

aT 0,5 1 + (b / T )

T : Temperatura absoluta [k]

μ=

T

Líquidos: Al aumentar la temperatura, se rompen los enlaces moleculares, luego la viscosidad baja si T aumenta.. Para el agua a=2,414 × 10-5 N s/m2 , b=247K, c= 140K, con un error de alrededor 2,5% para 0
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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Cálculo de la de la viscosidad (Spiter, 1991) Líquidos:

μ=

(

μ

Gases:

K

)

2 c

10−3 T / 10

−3 [Pa .s] μ = 10 K c [Pa .s] T / 104

(

)

T Mixtures viscosity Goncalvez and Decaix, “Wall Model Mesh Influence Study Partial Cavities,”, Europ. Journ.Mech. Fluids B, 2012

K, c: Parámetros empíricos T : Temperatura [k] K

c

H2O, líquida

538

5,780

H2O, vapor

0,422

1,067

Aire

0,194

0,674

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Comportamiento de la viscosidad, μ ,ν = f(p,T) Líquidos Con T: Hay un efecto considerable sobre la viscosidad Con p: No hay un efecto considerable sobre la viscosidad, el efecto es apreciable a más de 1.000 atm de presión. Tendencias para distintos tipos de fluidos Mayoría de líquidos: μ baja con el aumento de la temperatura Gases y algunos líquidos: μ aumenta con el aumento de la temperatura Líquidos: μ = A e− BT

ln

μ

Gases: A, B: Parámetros empíricos

μ0(T =273,15K ) 0

T ⎛T ⎞ = a + b 0 + c⎜ 0 ⎟ T ⎝T ⎠

Para agua ( a =-1,94 ; b =-4,80 y c =6,74) 12/03/2019 14:44

2

μ ≅ μ0

{

(T T ) ⎡⎢TT ++ SS ⎤⎥ ⎣ ⎦ (T T ) 3

0

n

0

2

0

Sutherland Potencial

n, S: Parámetros empíricos (=0,7 y 110K para aire respectivamente)

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Comportamiento de la viscosidad, μ ,ν = f(p,T)

Gases:

( )

μ T = T0 μ0 Potencial

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n

( )

μ T = T0 μ0

3

2

⎡T0 + S ⎤ ⎢T + S ⎥ ⎣ ⎦

Sutherland

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Comportamiento de la viscosidad y la densidad (agua)

12/03/2019 14:44

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130

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Comportamiento de la viscosidad y la densidad (aire)

12/03/2019 14:44

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131

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Comportamiento de la viscosidad y la densidad (líquidos)

12/03/2019 14:44

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132

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Comportamiento de la viscosidad y la densidad (gases)

12/03/2019 14:44

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133

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular

Comportamiento de la viscosidad (agua líquida y vapor): μ ,ν = f(p,T) Vapor H2O

12/03/2019 14:44

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134

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular, (absoluta, μ)

12/03/2019 14:44

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135

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular, (absoluta, μ)

12/03/2019 14:44

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136

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular, (cinemática, ν)

ν=μ /ρ [m2/s] Flujos sometidos a acción de la gravedad: Un fluido que tiene menor viscosidad cinemática, ν fluye más rápidamente al estar sometido a fuerzas gravitatorias. Ej: el mercurio fluye más rápido que el agua en un vaso comunicante en el que se dejan las dos ramas a igual presión, pese que la μ es mayor que la del agua. Esto se debe a que su ρ es más alta, siendo ∴ su ν más baja

Más detalles viscosidad: 12/03/2019 14:44

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137

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular, (cinemática, ν)

ν=μ /ρ [m2/s] Un fluido que tiene mayor viscosidad cinemática, ν es menos susceptible a que se generen inestabilidades cuando éste está fluyendo. vaire vagua

m2 s = 1,79 × 10 ≅ 18 = 2 −6 m 1,00 × 10 s 1,79 × 10 −5

T = 20 C

El aire es más viscoso que el agua. Por tanto, las inestabilidades que se pueden producir en el flujo de aire tardan más en aparecer que en el agua (turbulencia). 12/03/2019 14:44

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138

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular

Viscosidad, comportamiento reológico de fluidos σ ij ∝

Δθ Δt

σij

Relación lineal entre σij y (θ,t)

Fluido Newtoneano (Newton, 1687) Plástico Plástico ideal de Bingham Dilatante

Δθ = cte Δt

σij Reopéctico

Límite fluencia

Newtoneano (agua, aceite)

Comunes (velocidad de deformación cte.)

Pseudoplástico

Relación tensión-deformación 12/03/2019 14:44

Δθ dc ≅ Δt dz

Tixotrópico

t Efectos transitorios

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139

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular

Viscosidad, comportamiento reológico de fluidos Fluido newtoneano: En el fluido Newtoneano solamente ocurren efectos de atracción mecánica y el nivel energético de esas interacciones se aproximan al nivel energético para ruptura y formación de puentes de hidrógeno en un líquido. En estos fluidos el gradiente de deformación es directamente proporcional a la fuerza aplicada, siendo la proporcionalidad dada intrínsecamente dependiente de la naturaleza del fluido. Fluido dilatante (espesantes al corte): aquel en que la resistencia a la deformación aumenta con el esfuerzo cortante, (ej: soluciones de almidón o arena suspendidos). Fluido pseudo-plástico (adelgazantes al corte): es el que disminuye su resistencia al aumentar el esfuerzo, si este efecto es muy importante, el fluido se denomina plástico. El caso límite de sustancia plástica es aquel donde se requiere un esfuerzo finito (límite de fluencia) antes de que fluya (ej.: pinturas, soluciones de polímeros y fluidos con partículas suspendidas) . La idealización de este tipo de fluido es el fluido plástico ideal de Bingham. El comportamiento en la fluencia puede ser también no lineal. Ejemplo de fluido plástico: pasta de dientes. Hace falta un cierto esfuerzo para que la pasta fluya fuera del tubo. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular

Viscosidad, comportamiento reológico de fluidos Efectos transitorios: En casos en que los efectos producidos por la aplicación de fuerza externa de deformación perduran parcialmente luego de que cesa la fuerza aplicada. Esto es, el fluido demora un tiempo mayor del tiempo que fue aplicada la fuerza para volver al estado inicial de viscosidad, tales fluidos son denominados Tixotrópicos y Reopécticos. Algunos fluidos precisan un aumento gradual en el esfuerzo cortante para mantener constante la velocidad de deformación, a éstos se les denomina reopécticos (algunos tipos de fluidos existentes en la industria alimentaria). El caso opuesto es un fluido que requiere esfuerzos decrecientes, es el denominado tixotrópico (ej. Algunos morteros, resinas poliester, pinturas, coladas de lava o estratos de arcilla... entre los alimentos pueden citarse geles de pectina con bajo tenor de grupos MeO, geles de alginatos y ciertos tipos de miel). El tixotropismo puede ser atribuido a ligaciones de hidrógenos entre las micelas coloidales rotas por la agitación y que vuelven a formarse en el sistema en reposo. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular Ejemplo: Aceite de viscosidad μ=0,26kg/(ms) es sometido continuamente a un esfuerzo cortante constante entre dos placas separadas una distancia h, la inferior está fija y la superior se mueve con velocidad c. a) Si no hay deslizamiento entre fluido y placa (condición de no deslizamiento), ¿qué condición debe cumplir μ para que el perfil de c=f(z) sea lineal? y b) calcular el esfuerzo en Pa si c =3 m/s y h=2 cm.

τ =μ

dcy ( z) dz

τ dc y ( z ) τ = , Si = cte ∴ c y ( z ) = a + bz μ μ dz

τ

z Δθ

Δθ

Δz Δy

a y b se calculan por condiciones en los bordes: ⎧ 0 = a + b(0) para z = 0 c ∴a = 0 y b = cy ( z) = ⎨ c a b h z h = + ( ) para = h y ⎩ 12/03/2019 14:44

Δcy Δt

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y

τ

142

Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad molecular a ) Entonces : c y ( z ) =

dc c c z→ y = y h dz h

Haga un esquema/croquis!!

Lineal

b)

τ =μ

dc y ( z ) 3m/s = 0,26kg/(ms2 ) = 39N/m2 = 39Pa 0,02m dz

Conclusiones: • Pese a que el aceite es muy viscoso, el esfuerzo es pequeño, alrededor de 2.500 veces menor que la presión atmosférica. Los esfuerzos viscosos en gases y otros líquidos pueden incluso ser menores. • Si τ =cte, c es lineal! 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad y densidad La viscosidad y la densidad son propiedades que NO están relacionadas entre si: Ejemplos: 1. Los aceites son menos densos que el agua y su viscosidad es mayor que la del agua y además tiene un amplio margen de variaciones. 2. El mercurio es mucho más denso que el agua pero su viscosidad es similar.

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Viscosidad y densidad Notas acerca de la propiedad densidad: Ya se indicó que cuando se estudie fluido en movimiento, esto es flujo de fluidos, se estudiarán propiedades fuera de la condición de equilibrio termodinámico. En el caso de la densidad esto da lugar a la clasificación de FLUJO COMPRESIBLE/INCOMPRESIBLE. Esto implicará el estudio de las variaciones de la propiedad densidad relacionadas con las variaciones de velocidad cuando se defina la ecuación de continuidad, dando lugar a la definición del número de Mach para poder clasificar si el FLUJO es o no compresible.

12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Resumen: Propiedades del fluido: Se determinan por la condición termodinámica o estado del fluido. Dimensiones fundamentales: M, masa; L, longitud; t, tiempo; T, temperatura; F, fuerza.

Dimensión Ejemplos Propiedad Calores específicos Conductividad térmica

(cv , cp); (Cv , Cp) (K)

Coef. de viscosidad dinámica (μ)

Sistema M L t T Sistema F L t T [L2][t-2] [T-1]

[L2][t-2] [T-1]

[M][L][t-3][T-1]

[F][t-1][T-1]

[M][L-1][t-1] )

[F] [L-2][t] )

En general, conociendo dos variables independientes (p.e. presión y temperatura), pueden determinarse las demás, para sistemas termodinámicos simples. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Notas sobre la presión de vapor y cavitación T y p son propiedades dependientes para las sustancias puras durante los procesos de cambio de fase y existe una correspondencia bi-univoca entre ambas. • Para p determinada, la temperatura a la que se produce un cambio de fase es Tsat • Para T determinada, la presión a la que se produce un cambio de fase es psat

La presión de vapor, pv , de una sustancia pura es la presión ejercida por su vapor en equilibrio de fases con su líquido para cierta T. Para sustancias puras pv= psat , siendo psat la presión de saturación del líquido. La presión parcial, pparcial , se define como la presión de un gas o vapor en una mezcla con otros gases. No confundir la pv con la presión parcial de una sustancia. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Notas sobre la presión de vapor y cavitación p parcial,vapor ≤ pvapor

cuando no hay líquido presente

p parcial ,vapor = pvapor

cuando hay líquido presente y sistema en equilibrio ∴ sistema saturado

Para proceso de cambios de fase en sustancias puras, la presión de vapor, pv y la de saturación, psat son equivalentes, ya que el vapor es puro. Para líquidos, si la presión absoluta del sistema es menor que la de vapor, pv puede dar origen al fenómeno de cavitación. 12/03/2019 14:44

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Notas sobre la presión de vapor y cavitación

• pv de una sustancia pura ™

™ ™

•

Presión ejercida por su vapor en equilibrio de fases con su líquido a una temperatura dada.

pv = p saturación del líquido (a la que cambia de fase). pv (H2O a 20C) = 2.337 Pa

Cavitación ™

Pabs,líquido = pv a T cte

™

Burbujas de vapor.

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AGUA

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Notas sobre la presión de vapor y cavitación

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Fluido, magnitudes macroscópicas características Relaciones entre la densidad, presión y temperatura Presión de vapor y tensión superficial

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