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Unidad 7. Integrales definidas. Áreas

Tema 7. INTEGRALES DEFINIDAS. ÁREAS. 1. Aproximación de áreas bajo una curva. Limite de la definición, integral definida. 2. Área comprendida por una función y el eje OX. 3. Área comprendida entre varias funciones

Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón ([email protected])

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Unidad 7. Integrales definidas. Áreas

1. Aproximación de áreas bajo una curva. Límite de la definición, integral definida. Hay infinidad de funciones extraídas del mundo real (científico, económico, física…) para las cuales tiene especial relevancia calcular el área bajo su gráfica. Vamos a ocuparnos del cálculo de estas áreas. Veamos un ejemplo práctico, imaginemos que la función v(t) representa la velocidad de un cuerpo en el tiempo, con la siguiente gráfica:

v

a

b

t

Queremos calcular el espacio recorrido entre t=a y t=b, por dicho cuerpo. El espacio será igual al área comprendida entre la gráfica y el eje de coordenadas en el intervalo [a,b]. Una idea, utilizada desde la antigüedad para medir áreas, consiste en dividir el (b − a ) intervalo [a,b] en n pequeños tramos amplitud ε = . Estos tramos tienen por n extremos los siguientes puntos: a=x0<x1<…<xn=b, donde x1=a+ ε , x2=a+2 ε …

Podemos aproximar el área como la suma de los rectángulos con base ε y de altura: a) el menor valor de la función en el intervalo [xi,xi+1], que denotaremos mi. el mayor valor de la función en el intervalo [xi,xi+1], que denotaremos Mi

a)

El área calculada de esta forma es menor que el área verdadera

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b)

El área calculada de esta forma es mayor que el área verdadera Llamaremos al área calculadas en a) como suma de Rieman, inferior s(f(x)), siendo la calculada en b) suma de Rieman superior S(f(x)). Se cumple: S(f(x))≥area≥s(f(x)) Los valores de las sumas de Rieman son: S(f(x))=M1(x1-x0)+M2(x2-x1)+…+Mn(xn-xn-1) s(f(x))= m1(x1-x0)+m2(x2-x1)+…+mn(xn-xn-1) Es fácil darse cuenta que cuanto más número n de intervalos, es decir cuanto menor sea ε , más se aproximarán al área exacta S(f(x)) y s(f(x). Así si nÆ∞, s(f(x))=area=S(f(x)). b

Se cumple así que lim s ( f ( x)) = lim S ( f ( x)) = ∫ f ( x)dx , que es la integral definida n→∞

n →∞

a

de f(x) con extremos a y b. Si F(x) es una primitiva de f(x) el valor de la integral definida de f(x) es: b

Área= ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a ) a

Ejemplo, supongamos un movimiento con aceleración constante a, v = v 0 + at . Supongamos que v0=40m/s y a=g=-10m/s2 Æ f(x)=40-10x. Queremos calcular el espacio recorrido desde t=0 hasta que el cuerpo se pare t=x=4s: v 40

S 4 4

[

4

]

(

t

) (

)

10   S = ∫ (40 − 10t )dt = 40t − t 2  = v0 t + 12 at 2 = s f − s0 = 40·4 − 5·42 − 40·0 − 5·02 = 80 − 0 = 80 0 2 0  0 4

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2. Área comprendida por una función y el eje OX En el apartado anterior la función f(x) siempre estaba sobre el eje OX (f(x)>0). En el caso de que la función por debajo del eje OX (f(x)<0) el área que obtendremos por el método de la integral definida será la misma pero negativa. De esta forma para calcular el área comprendida entre la función f(x) y el eje OX tendremos primero que ver los intervalos donde la función es positiva, y cuando es negativa. Supongamos que queremos calcular el área de la siguiente curva y el eje OX:

A1 c

c

d

b

a

c

d

A2

d

A3

Area=A1+A2+A3= ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx Conclusión, pasos para calcular el área entre una curva y el eje OX:

1) 2) 3) 4)

Calcular los puntos de corte de la función con el eje OX Estudiar el signo de la función entre los puntos de corte Calcular una primitiva de f(x), F(x). Calcular el área en cada intervalo y las sumamos.

Ejemplos:

Septiembre del 2005. Prueba A. PR-2.b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f (x) y las rectas x = −1 , x = 1 , ln(1 + x 2 ), x > 0 y = 0 . Siendo f ( x) =  2 x , x ≤ 0

f(x)=0 Æ ln(1+x2)=0 Æ 1+x2=e0=1 Æ x=0; x2=0 Æ x=0 Signo f(x)

(-1,0) + A1

(0,1) + A2

0

 x3   1 1 A1= ∫ x dx =   = 0 −  −  = u2=0.333·u2 −1  3 3  3  −1 0

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A2= ∫ ln(1 + x 2 )dx =F (1) − F (0) = (ln(2) − 2 + 2arctg(1)) − (0·ln(1) − 2·0 + 2arctg(0)) = 1

0

ln(2)-2+2·π/4-(2·0)=ln(2)+π/2-2≈0,26·u2 F= ∫ ln(1 + x 2 )dx =xln(1+x2)- ∫

u=ln(1+x2)

du =

dv=dx

v=x

2x 2 dx = xln(1+x2)-2x+2arctg(x) 2 1+ x

2x dx 1+ x2

2x 2 2 ∫ 1 + x 2 dx = ∫ 2dx − ∫ 1 + x 2 = 2 x − 2arctg ( x) | x2 +1

2x 2 − 2x 2 − 2

2

− 2 {

A=A1+A2=1/3+ln(2)+π/2-2= ln(2)+π/2-5/3≈0,6·u2 Junio del 2006. Prueba B PR-2. b) Calcúlese el área de la región limitada por f ( x) = x = 0, x = 20, y = 0 .

x −1 y las rectas x +1

f(x)=0 Æ x=1

A1 A2

A=A1+A2 1 x −1 1 A1= − ∫ dx = −[x − 2 ln( x + 1)]0 = −[(1 − 2 ln(2) ) − (0 − 2 ln(1) )] = −(1 − 2 ln(2) ) ≈0,37·u2 0 x +1 20 x −1 20 A2= ∫ dx = [x − 2ln(x +1)]1 = (20 − 2ln(21)) − (1 − 2ln(2)) = 19 − 2 ln(21) + 2 ln(2) ·u2≈14,3u2 1 x +1 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón ([email protected])

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x −1 dx dx = ∫ 1dx − 2∫ = x − 2 ln( x + 1) x +1 x +1 A=18-2ln(21)+4ln(2) ≈14,67·u2

∫

Ejercicio: Calcular el área entre el eje OX, x=-1 e x=7 y la función f(x)=

2x x +1 2

f(x)=0 Æ x=0 Signo f(x)

(-1,0) A1

(1,∞) + A2

A2

A1

[

]

0 2x dx = − ln( x 2 + 1) −1 = −[(ln(1) ) − (ln(2) )] = ln(2) ≈0,7·u2 −1 x + 1 7 2x 7 dx = ln( x 2 + 1) 0 = [(ln(50) ) − (ln(1) )] = ln(50) ≈3,9·u2 A2 = ∫ 2 0 x +1 A=ln(2)+ln(50) ≈4,6·u2

A1 = − ∫

0

2

[

]

3. Área comprendida entre varias funciones Cuando queremos calcular el área comprendida entre dos funciones, f(x) y g(x) tendremos que restar el área de la función que está por encima menos la función que está por debajo. Pasos · Puntos de corte de las funciones para esto igualamos las dos funciones f(x)=g(x), · En los intervalos definidos por los puntos de corte vemos si f(x) está por encima de g(x) Æ f(x)>g(x) o por debajo Æ f(x)g(x) ó (g(x)-f(x)) si f(x)
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Ejemplo gráfico:

A1 A3 A2

a

b

(a,b) g(x) f(x)

(b,c) f(x) g(x)

A1= ∫ g ( x) − f ( x)

A2= ∫ f ( x) − g ( x)

Encima debajo b

a

d

c

c

b

(c,d) g(x) f(x) A3=

∫

d

c

g ( x) − f ( x)

Ejercicios: Septiembre 2006. Prueba A C-4. Estudiar el área del recinto limitado por la curva y=x3-3x2+2x y su recta tangente en x=0. a) recta tangente, m=f’(0)=2 Æ (0,f(0))=(0,0) Æ y=2x Puntos de corte f(x)= x3-3x2+2x y g(x)=2x x3-3x2+2x=2x Æx3-3x2=0 x=0, x=3

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Cuando no nos dan los intervalos de integración en x, entonces se supone que el área pedida es el área entre sus dos puntos de corte. (0,3) 2x 3 x -3x2+2x

Encima Debajo 3

A1= ∫ 2 x − ( x 3 − 3 x 2 + 2 x) 0

3

  81  x4 108 − 81 27 2  A = ∫ 2x − x − 3x + 2x dx = − + x 3  =  − + 27 − (0) = = ·u ≈6,75·u2 0 4 4  0  4  4 3

(

3

2

)

Junio 2006. Prueba A C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y = − x 2 y la recta y = 2 x − 3 . Puntos de corte f(x) y g(x) − x 2 = 2 x − 3 Æ x 2 + 2 x − 3 = 0 Æ x=1, x=-3 (-3,1) Encima -x2 Debajo 2x-3

A= ∫ (− x 2 − (2 x − 3))dx 0

−3

∫ (− x

= (−

1 32 2 − 1 + 3 ) − (9 − 9 − 9 ) = ·u ≈ 10 , 7 ·u 2 3 3

1

−3

2

)

− (2 x − 3 ) dx =

∫ (− x 1

−3

2

1

  x3 − 2 x + 3 dx =  − − x 2 + 3x = 3  −3 

A=

)

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Junio 2005, Prueba B C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones x2 y = x2 , y = , y = 2x . 2

Puntos de corte gráficas Æ x2=x2/2 Æ x=0 Æ x2=2x Æ x=0, x=2 Æ x2/2=2x Æ x=0, x=4 x2

(0,2) x2 x2/2

Encima debajo

A1= ∫ (x 2 − x 2

0

 x2 A1= ∫ (x − 2 )dx = ∫  0 0  2 2

2

x2

2

2

2

)dx

2x

x2/2

(2,4) 2x x2/2

A2= ∫ (2 x − x 4

2

2

2

)dx

2

  x3  4 8 dx =   =   − (0 ) = u2≈1,3·u2 3   6 0  6  4

 64   8 56 8 2 x3   A2= ∫ (2 x − 2 )dx =  x 2 −  = 16 −  −  4 −  = 12 − = ·u ≈2,7·u2 2 6 6 6 6 3     2  4

x2

A=A1+A2=4·u2

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Septiembre de 2004, Prueba A C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas y = 6x − x 2 e y = x 2 − 2x . Veamos los puntos de corte: 6x-x2=x2-2x Æ2x2+4x=0 Æ x=0, x=2

encima debajo

(0,2) 6x-x2 x2-2x

A= ∫ (6 x − x 2 − ( x 2 − 2 x) )dx 2

0

A= ∫ (6 x − x − x + 2x))dx =∫ 2

2

2

0

2

0

2

 2x 3   16  32 2 8x − 2 x dx =4 x 2 −  = 16 −  − (0) = ·u ≈10,3 3 0  3 3 

(

2

)

Septiembre de 2004, Prueba B C-3.- Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=3x-x2, y=2x-2

Veamos los puntos de corte: 3x-x2=2x-2 Æ x2-x-2=0 Æ x=2, x=-1 encima debajo

(-1,2) 3x-x2 2x-2

A= ∫ (3 x − x 2 − (2 x − 2) )dx 2

−1

2

(

)

A = ∫ 3x − x − 2 x + 2) dx = ∫ −1

=4,5·u2

2

2

−1

2

 x 2 x3  8   1 1  9 + 2 x =  2 − + 4  −  + − 2  = x − x + 2) dx =  − 3 3  2 3  2 2  −1 

(

2

)

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Septiembre de 2007, Prueba B C-4. Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=x2-4, y=3x-6

Dibujemos la parábola y la recta:

Puntos de Corte: x2-4=3x-6 Æ x2-3x+2=0 Æ x=2, x=1. encima debajo

(1,2) 3x-6 x2-4

A= ∫ (3 x − 6 − ( x 2 − 4) )dx 2

1

A=

∫ (3x − 6 − ( x 2

1

2

)

− 4) dx = ∫

2

1

2

 x 3 3x 2  8 1 3 (− x + 3 x − 2)dx = − + − 2 x  = (− + 6 − 4) − (− + − 2) = 2 3 3 2  3 1 2

≈0,17·u2

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