Tema3
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Tema3 as PDF for free.
More details
- Words: 328
- Pages: 1
3
Temˇ a
P. 3.1. Fie a, b ∈ Z douˇ a numere ˆıntregi nenule. a) Arˇ atat¸i cˇ a dacˇ a q, r ∈ Z sunt numere ˆıntregi cu proprietatea cˇa a = b · q + r, atunci (a, b) = (b, r). b) Dacˇ a ¸sirurile (qk )k≥1 ¸si (rk )k≥−1 de numere ˆıntregi sunt definite prin r−1 = a , r0 = b , 0 ≤ rk+1 < |rk | : rk−1 = rk · qk+1 + rk+1 , (∀)k ≥ 0 : rk 6= 0 , arˇ atat¸i cˇ a existˇ a un numˇ ar natural n astfel ˆıncˆat rn > 0 = rn+1 . Arˇatat¸i cˇa (a, b) = rn . P. 3.2. Fie n = ak ak−1 . . . a2 a1 a0 , cu ai ∈ {0, 1, . . . , 9}, scrierea ˆın baza 10 a ˆıntregului pozitiv n. Demonstrat¸i urmˇ atoarele criterii de divizibilitate: a) 2|n ⇐⇒ 2|a0 (¸si asemˇ anˇ ator pentru 5 sau 10 ˆın loc de 2). b) 3|n ⇐⇒ 3|a0 + a1 + a2 + . . . + ak−1 + ak (¸si analog pentru 9 ˆın loc de 3). c) 4|n ⇐⇒ 4|a1 a0 (similar pentru 25 ¸si 100). d) 4|n ⇐⇒ 4|a0 + 2a1 . e) 8|n ⇐⇒ 8|a0 + 2a1 + 4a2 . f) 7|n ⇐⇒ 7|ak ak−1 . . . a2 a1 + 5a0 (similar pentru 49). g) 11|n ⇐⇒ 11|ak ak−1 . . . a2 a1 − a0 . h) 13|n ⇐⇒ 13|ak ak−1 . . . a2 a1 + 4a0 . i) 17|n ⇐⇒ 17|ak ak−1 . . . a2 a1 − 5a0 . j) 19|n ⇐⇒ 19|ak ak−1 . . . a2 a1 + 2a0 . k) 23|n ⇐⇒ 23|ak ak−1 . . . a2 a1 + 7a0 . l) 29|n ⇐⇒ 29|ak ak−1 . . . a2 a1 + 3a0 . m) 31|n ⇐⇒ 31|ak ak−1 . . . a2 a1 − 3a0 .
1
Temˇ a
P. 3.1. Fie a, b ∈ Z douˇ a numere ˆıntregi nenule. a) Arˇ atat¸i cˇ a dacˇ a q, r ∈ Z sunt numere ˆıntregi cu proprietatea cˇa a = b · q + r, atunci (a, b) = (b, r). b) Dacˇ a ¸sirurile (qk )k≥1 ¸si (rk )k≥−1 de numere ˆıntregi sunt definite prin r−1 = a , r0 = b , 0 ≤ rk+1 < |rk | : rk−1 = rk · qk+1 + rk+1 , (∀)k ≥ 0 : rk 6= 0 , arˇ atat¸i cˇ a existˇ a un numˇ ar natural n astfel ˆıncˆat rn > 0 = rn+1 . Arˇatat¸i cˇa (a, b) = rn . P. 3.2. Fie n = ak ak−1 . . . a2 a1 a0 , cu ai ∈ {0, 1, . . . , 9}, scrierea ˆın baza 10 a ˆıntregului pozitiv n. Demonstrat¸i urmˇ atoarele criterii de divizibilitate: a) 2|n ⇐⇒ 2|a0 (¸si asemˇ anˇ ator pentru 5 sau 10 ˆın loc de 2). b) 3|n ⇐⇒ 3|a0 + a1 + a2 + . . . + ak−1 + ak (¸si analog pentru 9 ˆın loc de 3). c) 4|n ⇐⇒ 4|a1 a0 (similar pentru 25 ¸si 100). d) 4|n ⇐⇒ 4|a0 + 2a1 . e) 8|n ⇐⇒ 8|a0 + 2a1 + 4a2 . f) 7|n ⇐⇒ 7|ak ak−1 . . . a2 a1 + 5a0 (similar pentru 49). g) 11|n ⇐⇒ 11|ak ak−1 . . . a2 a1 − a0 . h) 13|n ⇐⇒ 13|ak ak−1 . . . a2 a1 + 4a0 . i) 17|n ⇐⇒ 17|ak ak−1 . . . a2 a1 − 5a0 . j) 19|n ⇐⇒ 19|ak ak−1 . . . a2 a1 + 2a0 . k) 23|n ⇐⇒ 23|ak ak−1 . . . a2 a1 + 7a0 . l) 29|n ⇐⇒ 29|ak ak−1 . . . a2 a1 + 3a0 . m) 31|n ⇐⇒ 31|ak ak−1 . . . a2 a1 − 3a0 .
1
