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INTEGRAL DEFINIDA Matemáticas II para la Empresa

Alfredo Rodríguez Sánchez Curso 2018/2019 UCLM

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA PARA EL TEMA 2 (INTEGRAL DEFINIDA)

Matemáticas para la Economía. Matemáticas Empresariales II Cálculo Integral. Metodología (Enfoque teórico-práctico). Susana Programación Matemática y y problemas. Fernando Sistemas Dinámicos. Isabel Blanco et al. Paraninfo Coquillat. Tébar Flores Pérez-Grasa et al. McGrawHill

Cálculo I. Teoría y problemas de análisis matemático en una variable. Alfonsa García et al. CLAG

Cálculo integral. Pilar Cembranos y José Mendoza. Anaya

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INTEGRAL DE RIEMANN ❑ Sea una 𝑓 𝑥 una función acotada y definida en el intervalo I = 𝑎, 𝑏 ❑ Definimos una partición de [𝑎, 𝑏] como un subconjunto finito 𝑃 = {𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏} (partimos el intervalo en trozos)

❑ Sea 𝑛 el número de segmentos en los que hemos dividido el intervalo ❑ Sean 𝑚𝑖 y 𝑀𝑖 el valor más pequeño y el más grande de la función en el segmento 𝑖

Bernhard Riemann

Breselenz (Reino de Hannover), 17 de septiembre de 1826 Selasca (Reino de Italia), 20 de julio de 1866

«Definió el concepto de Integral de Riemann y creó una nueva rama de las matemáticas; la teoría de funciones de una variable real»

❑ Se definen la suma inferior y superior de Riemann https://www.intmath.com/integration/riemann-sums.php

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SUMAS INFERIOR Y SUPERIOR Se llama suma inferior de Riemann de 𝑓 en 𝑃 a: 𝑛

𝑠 𝑓, 𝑃 = ෍ 𝑚𝑖 Δ𝑥𝑖 𝑖=1

Representa el área por defecto

Se llama suma superior de Riemann de 𝑓 en 𝑃 a: 𝑛

𝑆 𝑓, 𝑃 = ෍ 𝑀𝑖 Δ𝑥𝑖 𝑖=1

Representa el área por exceso

Ejemplos de aproximaciones por sumas superiores e inferiores con particiones del mismo tamaño con cinco segmentos PÁGINA

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INTEGRALES DE RIEMANN Se define la integral inferior de Riemann: 𝑏

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = sup(𝑠 𝑓, 𝑃 ) 𝑎

(el valor más grande posible de todas las sumas inferiores)

Se define la integral superior de Riemann: 𝑏

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑖𝑛𝑓(𝑆 𝑓, 𝑃 ) 𝑎

(el valor más pequeño posible de todas las sumas superiores) PÁGINA

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INTEGRALES DE RIEMANN Si se verifica

𝑏 que‫𝑓 𝑎׬‬

𝑥 𝑑𝑥 =

𝑏 ‫𝑓 𝑎׬‬

𝑥 𝑑𝑥 se dice que es integrable

en [𝑎, 𝑏], y su valor será el de cualquiera de las dos integrales (superior o inferior) antes referidas. A ese valor lo llamaremos integral definida de 𝒇 y lo representamos por

𝑏 ‫𝑓 𝑎׬‬

𝑥 𝑑𝑥

Las condiciones que aseguran que la integral definida exista se llaman condiciones de integrabilidad según Riemann y son poco exigentes. Las funciones acotadas continuas salvo en un número finito de puntos son integrables Riemann. PÁGINA

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INTEGRALES DE RIEMANN ❑ Cuando 𝑓(𝑥) ≥ 0 , la integral definida coincide con el valor del área encerrada por 𝑓(𝑥) , las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 y el eje 𝑂𝑋 Suma entre a y b

𝑏

“Área” del rectángulo

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

Base del rectángulo

“Altura” del rectángulo

https://www.geogebra.org/m/fTkpUM4E#ma terial/Vb38e3aZ PÁGINA

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INTEGRALES DE RIEMANN ❑ Pero debemos tener cuidado con las regiones donde 𝑓(𝑥) es negativa si utilizamos las integrales para calcular áreas ❑ En este caso la integral no corresponderá con el área sino con el área de las regiones positivas menos el área de las negativas PÁGINA

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PROPIEDADES (ALGUNAS)

Con 𝑓 y 𝑔 dos funciones integrables Rienmann en el intervalo [𝑎, 𝑏]

𝑏

𝑏

න 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

𝑏

න 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑐 ∈ ℝ 𝑎

𝑎

𝑎

Aditividad con respecto al intervalo. ∀𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] se cumple que: 𝑏

𝑐

𝑏

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑐 PÁGINA

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FUNCIÓN INTEGRAL ❑ Sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ → ℝ integrable en [𝑎, 𝑏]. Se define función integral de 𝑓 como: 𝐹: 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ → ℝ 𝑥

∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 → 𝐹 𝑥 = න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ∈ ℝ 𝑎

𝑥

𝐹 𝑥 = න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 PÁGINA

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FUNCIÓN INTEGRAL ❑ Sea 𝑓 integrable en 𝑎, 𝑏 y 𝐹 𝑥 =

𝑥 ‫𝑓 𝑎׬‬

𝑡 𝑑𝑡. Entonces:

❑ 𝐹 es continua en [𝑎, 𝑏] ❑ Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏] entonces 𝐹 es derivable en (𝑎, 𝑏)

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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Dada una función 𝑓: 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ → ℝ continua en 𝑎, 𝑏 , y siendo 𝐹(𝑥) su función integral, se verifica que: 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥). Es decir, 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥) 𝑥

𝐹 𝑥 = න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑎

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REGLA DE BARROW SEGUNDA PARTE DEL Tª FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 , y siendo 𝑃 una primitiva de 𝑓 en [𝑎, 𝑏], entonces: 𝑏

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑃 𝑏 − 𝑃(𝑎) 𝑎 Isaac Barrow

‫ 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 ׬‬designa una familia de funciones (infinitas primitivas) cuya derivada es 𝑓(𝑥), en

Londres, octubre de 1630 Londres, 4 de mayo de 1677

«Teólogo, profesor y matemático británico»

𝒃

cambio ‫ 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 𝒂׬‬es un número real. PÁGINA

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PROPIEDADES

Con 𝑓 y 𝑔 dos funciones integrables Rienmann en el intervalo [𝑎, 𝑏]

Funciones constantes

𝑏

න 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑎) 𝑎

Monotonía

𝑏

𝑏

𝑆𝑖 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

La función |𝑓| es integrable y además se verifica que: 𝑏

𝑏

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

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REGLA DE BARROW EJEMPLOS

𝐹 𝑥 =

2 (𝑥 − 2)3 3 𝑓 𝑥 =

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𝑥−2

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REGLA DE BARROW EJEMPLOS

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CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES DEFINIDAS

❑ Lo hacemos de la misma forma que en la integral indefinida, pero debemos recordar calcular los nuevos límites de integración de la nueva variable (normalmente la llamamos t) 𝑑 = 𝑔−1 (𝑏)

𝑏

𝑑

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑔 𝑡 𝑔′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑎

𝑐 𝑐 = 𝑔−1 𝑎 PÁGINA

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CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES DEFINIDAS

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CAMBIO DE VARIABLE EJEMPLO INTERPRETACIÓN

𝑡 = 𝑒𝑥

Mismo área

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TEOREMA DE LA MEDIA INTEGRAL ❑ Sea 𝑓 una función continua en [𝑎, 𝑏]. Existe un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑏 ‫𝑓 𝑎׬‬

𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎)

Si lo interpretamos con áreas y suponiendo f positiva en [a,b] podríamos decir que podemos obtener el área que encierra la función y el eje OX entre a y b mediante un rectángulo de base (b-a) y de altura f(c), siendo este un valor que toma la función entre a y b (y siempre existe este valor c) https://www.geogebra.org/m/fCnU7H34 PÁGINA

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CÁLCULO DE ÁREAS CON INTEGRALES DEFINIDAS

❑ Si queremos calcular áreas utilizando integrales definidas hemos considerar: - La integral definida nos da el área de las regiones “positivas” menos la de las “negativas” - Para calcular el área delimitada entre dos funciones restamos la integral definida de la más grande a la más pequeña - Siempre dibujaremos el problema para poder saber a qué nos enfrentamos y dividirlo si es necesario - El resultado en este caso si lo interpretamos como área (no siempre que hacemos una integral definida) y lo expresaremos en 𝑢𝑑 2 PÁGINA

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CÁLCULO DE ÁREAS CON INTEGRALES DEFINIDAS

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INTEGRALES IMPROPIAS ❑ Hasta ahora hemos considerado integrales sobre intervalos acotados de funciones acotadas. ❑ Dependiendo del caso tendremos 3 tipos de integrales impropias - De primera especie: Intervalo no acotado - De segunda especie: Función no acotada en intervalo acotado - De tercera especie (o mixtas): Función no acotada en intervalo no acotado PÁGINA

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO

❑ En las integrales impropias de primera especie tenemos al menos uno de los intervalos de integración no acotado. Por lo tanto las posibilidades son:

∞

න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑏

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞

∞

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO

❑ Sea 𝑓: 𝑎, +∞ → ℝ una función integrable en cualquier intervalo 𝑥 ∃ ‫𝑓 𝑎׬‬

[𝑎, 𝑥], 𝑥 ≥ 𝑎, es decir, 𝑡 𝑑𝑡 ❑ Se llama integral impropia de primera especie a la integral: ∞

න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎

❑ Cuando existe el límite (es un número real) se dice que la integral es convergente. En otro caso es divergente. En caso de existir el valor sería: 𝑥

lim න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥→∞ 𝑎

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INTEGRALES IMPROPIAS

https://www.geogebra.org/m/jrRKFE2k

DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO ❑ Si el área es finita cuando 𝑥 tiende a ∞, la integral será convergente y divergente en caso contrario.

∞

1 න 2 𝑑𝑥 2 𝑥

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO

❑ Sea 𝑓: (−∞, 𝑏] → ℝ una función integrable en cualquier intervalo 𝑏 [𝑥, 𝑏], 𝑥 ≤ 𝑏, es decir, ∃ ‫𝑡𝑑 𝑡 𝑓 𝑥׬‬ ❑ Se llama integral impropia de primera especie a la integral: 𝑏

න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 −∞

❑ Cuando existe el límite (es un número real) se dice que la integral es convergente. En otro caso es divergente. En caso de existir el valor sería: 𝑏

lim න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥→−∞ 𝑥

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO ❑ Si el área es finita cuando 𝑥 tiende a −∞, la integral será convergente y divergente en caso contrario.

−1

1 න − 𝑑𝑥 𝑥 −∞

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO 1 𝑓 𝑥 = (2 − 𝑥)2

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO

❑ La integral 𝑐 ‫׬‬−∞ 𝑓

𝑥 𝑑𝑥 y

∞ ‫׬‬−∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 es ∞ ‫ 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑐׬‬son

de primera especie si existe 𝑐 tal que de primera especie.

❑ La integral es convergente cuando lo son las dos integrales impropias, y su valor es igual a la suma de ambas integrales. En otro caso sería divergente. ∞

𝑐

∞

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞

−∞

𝑐 PÁGINA

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO ❑ Si el área hasta 𝑐 es finita cuando 𝑥 tiende a −∞, y el área desde 𝑐 es finita cuando 𝑥 tiende a ∞, la integral será convergente y divergente en caso contrario. −∞

න

2 −𝑥 𝑥2 𝑑𝑥

c seleccionado (c=1) (puede ser cualquiera)

−∞

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª ESPECIE: INTERVALO NO ACOTADO

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 2ª ESPECIE: FUNCIÓN NO ACOTADA EN INTERVALO ACOTADO

❑ En las integrales impropias de segunda especie tenemos una función no acotada en un intervalo acotado. Podemos tener estos casos: 𝑏

න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

𝑓(𝑥) tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 𝑎

𝑓(𝑥) tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 𝑏 PÁGINA

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 2ª ESPECIE: FUNCIÓN NO ACOTADA EN INTERVALO ACOTADO

❑ Sea 𝑓: (𝑎, 𝑏] → ℝ una función no acotada en (𝑎, 𝑏] e integrable en cualquier intervalo [𝑥, 𝑏], ∀𝑥 con 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 ❑ Se llama integral impropia de segunda especie a la integral: 𝑏

න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎

❑ Cuando existe el límite (es un número real) se dice que la integral es convergente. En otro caso es divergente. En caso de existir el valor sería: 𝑏

lim+ න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥→𝑎

𝑥

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 2ª ESPECIE: FUNCIÓN NO ACOTADA EN INTERVALO ACOTADO

❑ Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏) → ℝ una función no acotada en [𝑎, 𝑏) e integrable en cualquier intervalo [𝑎, 𝑥], ∀𝑥 con 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 ❑ Se llama integral impropia de segunda especie a la integral: 𝑏

න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎

❑ Cuando existe el límite (es un número real) se dice que la integral es convergente. En otro caso es divergente. En caso de existir el valor sería: 𝑥

lim− න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥→𝑏

𝑎

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 2ª ESPECIE: FUNCIÓN NO ACOTADA EN INTERVALO ACOTADO ❑ Aquí tenemos un ejemplo en el que el límite existe y la integral es convergente y se puede calcular 3

න 2

1 3

𝑥−2

𝑑𝑥

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 2ª ESPECIE: FUNCIÓN NO ACOTADA EN INTERVALO ACOTADO

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 2ª ESPECIE: FUNCIÓN NO ACOTADA EN INTERVALO ACOTADO

𝑓 𝑥 =

1 (4 − 𝑥)3

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 3ª ESPECIE O MIXTAS

❑ Se dice que una integral impropia es de tercera especie (o mixta) si es de primera y segunda especie a la vez. ❑ Se resuelven descomponiendo la integral por cada asíntota vertical que se encuentre en la función en el intervalo de integración ❑ Si todas las integrales en las que la hemos descompuesto son convergente, entonces la integral original también lo será, y será divergente en otro caso. PÁGINA

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INTEGRALES IMPROPIAS DE 3ª ESPECIE O MIXTAS ❑ Aquí tenemos un ejemplo de una integral impropia de tercera especie convergente (la resolución queda en manos del alumno)

∞

න −∞

𝑒−

|𝑥|

|𝑥|

𝑑𝑥 = 4

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FUNCIONES DE EULER FUNCIONES GAMMA Y BETA

❑ Existen dos tipos de integrales definidas que pueden ser resueltas utilizando las funciones Gamma y Beta de Euler

Leonhard Paul Euler

Basilea, Suiza, 14 de abril de 1707 San Petersburgo, 18 de septiembre de 1783

«Principal matemático del siglo XVIII»

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FUNCIÓN GAMMA DE EULER ❑ Se llama función Gamma de Euler, y la representamos con Γ , a la función Γ: ℝ+ → ℝ definida como: ∞

Γ 𝑝 = න 𝑥 𝑝−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, ∀𝑝 ∈ ℝ 0

❑ Converge ∀𝑝 > 0 (cuando a lo que está elevado x es mayor que -1)

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FUNCIÓN GAMMA PROPIEDADES

❑ Las propiedades más útiles para calcular integrales son:

1. Γ 𝑛 = 𝑛 − 1 !, ∀𝑛 ∈ ℕ 2. Γ 𝑝 = 𝑝 − 1 Γ 𝑝 − 1 , ∀𝑝 ∈ ℝ+ 3. Γ 1 = 1

4. Γ

1 2

= 𝜋

1 Curiosidad: ! 2

=

𝜋 2

http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/factor ial-de-0-5-raiz-cuadrada-de-pi.html

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FUNCIÓN GAMMA EJEMPLOS

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FUNCIÓN BETA DE EULER ❑ Se llama función Beta de Euler, y la representamos con 𝛽, a la función 𝛽: ℝ2 → ℝ definida como: 1

𝛽 𝑝, 𝑞 = න 𝑥 𝑝−1 (1 − 𝑥)𝑞−1 𝑑𝑥, ∀𝑝, 𝑞 ∈ ℝ 0

❑ Converge ∀𝑝 > 0, 𝑞 > 0 (cuando los exponentes son mayores que -1)

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FUNCIÓN BETA PROPIEDADES

❑ Las dos propiedades más útiles para calcular integrales son:

1. 𝛽 𝑝, 𝑞 = 𝛽 𝑞, 𝑝

2. 𝛽 𝑝, 𝑞 =

Γ(𝑝)Γ(𝑞) Γ(𝑝+𝑞)

(Existen otras propiedades pero estas nos permitirán calcular las integrales que trataremos)

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FUNCIÓN BETA EJEMPLO

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