Tema_1.16-ondas_sonoras.pdf
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- Pages: 19
TEMA I.16 Ondas Sonoras Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronom´ıa Universidad de Guanajuato DA-UG (M´ exico) [email protected]
Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
1 / 19
Ondas Sonoras
El sonido es una onda longitudinal en un medio (gas). Las ondas sonoras m´as sencillas son senosoidales con f , A, y λ definidos. Intervalo audible: El o´ıdo humano es sensible a frecuencia de 20 a 20000 Hz. Mayores frecuencias: ultras´ onicos Menores frecuencias: infras´ onicos Las ondas sonoras suelen dispersarse en todas la direcci´on.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
2 / 19
Ondas Sonoras
Un caso ideal: onda sonora en direcci´ on x: y (x, t) = A sen(ωt − κx)
(I.16.1)
El desplazamiento es paralelo a la direcci´ on de la onda. Las ondas sonoras pueden describirse en t´erminos de variaci´on de presi´on. De hecho, el o´ıdo detecta una variaci´ on de presi´ on. Para una onda senosoidal la presi´ on fluct´ ua alrededor de la presi´on atmosf´erica (pa ) en forma senosoidal con la misma frecuencia que los movimiento de las part´ıculas en el aire.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Sea p(x, t), la fluctuaci´on de la presi´ on instant´anea en una onda sonora en el punto x en el instante t. La cantidad p(x, t) es la cantidad que la presi´ on difiere de pa . Esto es la presi´ on manom´etrica. La presi´ on absoluta es pa - p(x, t). Consideramos un cilindro imaginario de aire con ´area transversal S y eje a lo largo de la direcci´on de propagaci´ on de la onda (ver Figura I.16.1).
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Figura I.16.1: Volumen cil´ındrico de gas con ´area transversal S. TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Cuando no hay una onda longitudinal la longitud del cilindro es ∆x y su volumen es V = S ∆x. Cuando una onda esta presente, el desplazamiento del cilindro es: y1 = y (x, t)
y
y2 = y (x + ∆x, t)
Si y2 > y1 , tenemos una disminuci´ on de presi´ on. Si y2 < y1 , tenemos una aumentaci´ on de presi´ on. Para y2 = y1 , tenemos un desplazamiento del cilindro hacia la derecha.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
6 / 19
Ondas Sonoras El cambio de volumen: ∆V = S(y2 − y1 ) = S[y (x + ∆x, t) − y (x, t)] En el l´ımite ∆x → 0, el cambio fraccionario ∆V /V : y (x + ∆x, t) − y (x, t) ∂y (x, t) dV = l´ım = ∆x→0 V ∆x ∂x
(I.16.2)
El cambio esta relacionado con la fluctuaci´ on de presi´ on por el modulo de volumen: B = −p(x,t) dV /V p(x, t) = −B
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
dV ∂y (x, t) = −B V ∂x
J.P. Torres-Papaqui
(I.16.3)
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Cuando
∂y (x,t) ∂x
> 0 el volumen aumenta y la presi´ on disminuye.
En t´erminos de onda de densidad la ecuaci´ on I.16.1 se escribe: p(x, t) = B κ A cos(ωt − κx)
(I.16.4)
La amplitud de presi´on es la m´axima de fluctuaci´ on: pmax = B κ A
(I.16.5)
y (x, t) (I.16.1) y p(x, t) (I.16.4) describen la misma onda pero con frecuencias desfasadas de 1/4 de ciclo.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
El desplazamiento es m´aximo cuando la fluctuaci´ on de presi´on es cero, y viceversa. La amplitud de presi´on es proporcional al desplazamiento. La fluctuaci´on de presi´on tambi´en depende de λ. M´as corta λ, m´as grande κ y mayores las variaciones (ver Figura I.16.2). De otra manera, un volumen con B grande requiere una mayor amplitud, porque significa menos compresibilidad y por tanto un mayor cambio de presi´ on.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Figura I.16.2: Fluctuaci´ on de presi´ on p(x, t) y desplazamiento p(x, t) en una onda sonora viajera senosoidal, representados como funciones de x en un instante dato t. TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras Ejemplo: Onda sonora en el aire Onda sonora de moderada intensidad tiene una amplitud de presi´on pmax = 3.0 × 10−2 Pa alrededor de la presi´ on atmosf´erica: pa = 1.013 × 105 Pa. Si f = 1000 Hz, y νaire = 344 m/s ¿Cu´al es la amplitud de la onda? Por definici´on: A =
pmax Bκ
Donde κ = ω/ν y ω = 2π f = 2π rad · 1000 Hz = 6283 rad/s ⇒κ=
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
ω 6283 rad/s rad = = 18.3 ν 344 m/s m
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Usando el m´odulo de volumen adiab´atico: B = γpa = 1.4 · 1.013 × 105 Pa = 1.42 × 105 Pa ⇒A=
pmax 3.0 × 10−2 Pa = = 1.2 × 10−8 m Bκ (1.42 × 105 Pa)(18.3 rad/m)
Esto es 1/100 el tama˜ no de una c´elula humana.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras Ejemplo: Onda en el o´ıdo interno Cuando una onda entra en el o´ıdo se pone al oscilar el t´ımpano (ver Figura I.16.3). Este hace oscilar los os´ıculos que transmiten la onda al o´ıdo interno lleno de un fluido. El movimiento del fluido perturba las c´elulas pilosas que transmiten impulsos nerviosos al cerebro. La parte m´ovil del t´ımpano tiene un ´area de 43 mm2 . El estribo tiene un ´area de apenas 32 mm2 .
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Figura I.16.3: Anatom´ıa del o´ıdo humano. TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Si ignoramos la masa de los os´ıculos (58 mgrs) la fuerza sobre el fluido ejercida por los os´ıculos es igual al la fuerza ejercida sobre el t´ımpano por la onda sonora. La amplitud de presi´on en el o´ıdo interno es mayor porque si la fuerza es la misma, el ´area donde se aplica la fuerza es menor.
pmax,int =
pmax,aire Stim F (3.0 × 10−2 Pa)(43 mm2 ) = = = 0.40 Pa Sint Sint 3.2 mm2
Los os´ıculos aumentan la presi´ on en el o´ıdo interno por un factor de Stim /Sint = 13.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
La amplitud del desplazamiento en el o´ıdo interno (fluido = agua pura): 1 1 11 Pa y κ = ωaire . A = pBmax κ , donde B = compresibilidad del agua = 45.8 × 10 νagua Para una temperatura de 37 o C , νagua = 1500 m/s, κ = (6283 rad/s)/(1500 m/s) = 4.2 rad/m. Aint =
0.40 Pa = 4.4 × 10−11 m (2.18 × 109 Pa)(4.2 rad/m)
Pero que cuenta realmente es la amplitud de presi´ on porque es la variaci´on de presi´on que mueve las c´elulas pilosas.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Percepci´on de Ondas Sonoras Las caracter´ısticas de la onda sonora tienen una relaci´on directa con la percepci´on. Para una frecuencia dada, mayor la amplitud de presi´ on y mayor el volumen aparente. El o´ıdo no es sensible a todas las frecuencias de la misma manera. Para 1000 Hz, pmax = 3 × 10−5 Pa, pero para producir el mismo volumen a 200 Hz o 1500 Hz, pmax = 3 × 10−4 Pa. Con la edad se pierda la sensibilidad a las altas frecuencias. La frecuencia determine el tono (calidad de agudo o grave).
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Percepci´on de Ondas Sonoras La amplitud de presi´on tambi´en determina la percepci´on del tono. Mayor presi´ on, m´as volumen y m´as grave la impresi´ on. El sonido musical es una combinaci´ on de ondas complejas formadas de fundamentales y arm´onicas. La calidad del tono tambi´en es determinada por el ataque y decremento de la onda. En la Figura I.16.4 vemos las curvas de fluctuaci´ on de presi´on de un clarinete (a) y de una flauta (c). Las curvas de abajo muestran el contenido arm´onico. El ruido es una combinaci´ on de todas las frecuencias. El ruido blanco es una combinaci´on en cantidad igual de todas las frecuencias.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Percepci´on de Ondas Sonoras
Figura I.16.4: (a) Curva de fluctuaci´ on de presi´ on versus tiempo de un clarinete. (b) Contenido arm´ onico del sonido del clarinete. (c) Curva de fluctuaci´on de presi´on versus tiempo de una flauta dulce alto. (d) Contenido arm´onico del sonido de una flauta dulce alto.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
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Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
El sonido es una onda longitudinal en un medio (gas). Las ondas sonoras m´as sencillas son senosoidales con f , A, y λ definidos. Intervalo audible: El o´ıdo humano es sensible a frecuencia de 20 a 20000 Hz. Mayores frecuencias: ultras´ onicos Menores frecuencias: infras´ onicos Las ondas sonoras suelen dispersarse en todas la direcci´on.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
2 / 19
Ondas Sonoras
Un caso ideal: onda sonora en direcci´ on x: y (x, t) = A sen(ωt − κx)
(I.16.1)
El desplazamiento es paralelo a la direcci´ on de la onda. Las ondas sonoras pueden describirse en t´erminos de variaci´on de presi´on. De hecho, el o´ıdo detecta una variaci´ on de presi´ on. Para una onda senosoidal la presi´ on fluct´ ua alrededor de la presi´on atmosf´erica (pa ) en forma senosoidal con la misma frecuencia que los movimiento de las part´ıculas en el aire.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
3 / 19
Ondas Sonoras
Sea p(x, t), la fluctuaci´on de la presi´ on instant´anea en una onda sonora en el punto x en el instante t. La cantidad p(x, t) es la cantidad que la presi´ on difiere de pa . Esto es la presi´ on manom´etrica. La presi´ on absoluta es pa - p(x, t). Consideramos un cilindro imaginario de aire con ´area transversal S y eje a lo largo de la direcci´on de propagaci´ on de la onda (ver Figura I.16.1).
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Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Figura I.16.1: Volumen cil´ındrico de gas con ´area transversal S. TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
5 / 19
Ondas Sonoras
Cuando no hay una onda longitudinal la longitud del cilindro es ∆x y su volumen es V = S ∆x. Cuando una onda esta presente, el desplazamiento del cilindro es: y1 = y (x, t)
y
y2 = y (x + ∆x, t)
Si y2 > y1 , tenemos una disminuci´ on de presi´ on. Si y2 < y1 , tenemos una aumentaci´ on de presi´ on. Para y2 = y1 , tenemos un desplazamiento del cilindro hacia la derecha.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
6 / 19
Ondas Sonoras El cambio de volumen: ∆V = S(y2 − y1 ) = S[y (x + ∆x, t) − y (x, t)] En el l´ımite ∆x → 0, el cambio fraccionario ∆V /V : y (x + ∆x, t) − y (x, t) ∂y (x, t) dV = l´ım = ∆x→0 V ∆x ∂x
(I.16.2)
El cambio esta relacionado con la fluctuaci´ on de presi´ on por el modulo de volumen: B = −p(x,t) dV /V p(x, t) = −B
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
dV ∂y (x, t) = −B V ∂x
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(I.16.3)
Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras
Cuando
∂y (x,t) ∂x
> 0 el volumen aumenta y la presi´ on disminuye.
En t´erminos de onda de densidad la ecuaci´ on I.16.1 se escribe: p(x, t) = B κ A cos(ωt − κx)
(I.16.4)
La amplitud de presi´on es la m´axima de fluctuaci´ on: pmax = B κ A
(I.16.5)
y (x, t) (I.16.1) y p(x, t) (I.16.4) describen la misma onda pero con frecuencias desfasadas de 1/4 de ciclo.
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8 / 19
Ondas Sonoras
El desplazamiento es m´aximo cuando la fluctuaci´ on de presi´on es cero, y viceversa. La amplitud de presi´on es proporcional al desplazamiento. La fluctuaci´on de presi´on tambi´en depende de λ. M´as corta λ, m´as grande κ y mayores las variaciones (ver Figura I.16.2). De otra manera, un volumen con B grande requiere una mayor amplitud, porque significa menos compresibilidad y por tanto un mayor cambio de presi´ on.
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Figura I.16.2: Fluctuaci´ on de presi´ on p(x, t) y desplazamiento p(x, t) en una onda sonora viajera senosoidal, representados como funciones de x en un instante dato t. TEMA I.16:
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Ondas Sonoras Ejemplo: Onda sonora en el aire Onda sonora de moderada intensidad tiene una amplitud de presi´on pmax = 3.0 × 10−2 Pa alrededor de la presi´ on atmosf´erica: pa = 1.013 × 105 Pa. Si f = 1000 Hz, y νaire = 344 m/s ¿Cu´al es la amplitud de la onda? Por definici´on: A =
pmax Bκ
Donde κ = ω/ν y ω = 2π f = 2π rad · 1000 Hz = 6283 rad/s ⇒κ=
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
ω 6283 rad/s rad = = 18.3 ν 344 m/s m
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Ondas Sonoras
Usando el m´odulo de volumen adiab´atico: B = γpa = 1.4 · 1.013 × 105 Pa = 1.42 × 105 Pa ⇒A=
pmax 3.0 × 10−2 Pa = = 1.2 × 10−8 m Bκ (1.42 × 105 Pa)(18.3 rad/m)
Esto es 1/100 el tama˜ no de una c´elula humana.
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
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Ondas Sonoras Ejemplo: Onda en el o´ıdo interno Cuando una onda entra en el o´ıdo se pone al oscilar el t´ımpano (ver Figura I.16.3). Este hace oscilar los os´ıculos que transmiten la onda al o´ıdo interno lleno de un fluido. El movimiento del fluido perturba las c´elulas pilosas que transmiten impulsos nerviosos al cerebro. La parte m´ovil del t´ımpano tiene un ´area de 43 mm2 . El estribo tiene un ´area de apenas 32 mm2 .
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Ondas Sonoras
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Ondas Sonoras
Figura I.16.3: Anatom´ıa del o´ıdo humano. TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
14 / 19
Ondas Sonoras
Si ignoramos la masa de los os´ıculos (58 mgrs) la fuerza sobre el fluido ejercida por los os´ıculos es igual al la fuerza ejercida sobre el t´ımpano por la onda sonora. La amplitud de presi´on en el o´ıdo interno es mayor porque si la fuerza es la misma, el ´area donde se aplica la fuerza es menor.
pmax,int =
pmax,aire Stim F (3.0 × 10−2 Pa)(43 mm2 ) = = = 0.40 Pa Sint Sint 3.2 mm2
Los os´ıculos aumentan la presi´ on en el o´ıdo interno por un factor de Stim /Sint = 13.
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Ondas Sonoras
La amplitud del desplazamiento en el o´ıdo interno (fluido = agua pura): 1 1 11 Pa y κ = ωaire . A = pBmax κ , donde B = compresibilidad del agua = 45.8 × 10 νagua Para una temperatura de 37 o C , νagua = 1500 m/s, κ = (6283 rad/s)/(1500 m/s) = 4.2 rad/m. Aint =
0.40 Pa = 4.4 × 10−11 m (2.18 × 109 Pa)(4.2 rad/m)
Pero que cuenta realmente es la amplitud de presi´ on porque es la variaci´on de presi´on que mueve las c´elulas pilosas.
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Percepci´on de Ondas Sonoras Las caracter´ısticas de la onda sonora tienen una relaci´on directa con la percepci´on. Para una frecuencia dada, mayor la amplitud de presi´ on y mayor el volumen aparente. El o´ıdo no es sensible a todas las frecuencias de la misma manera. Para 1000 Hz, pmax = 3 × 10−5 Pa, pero para producir el mismo volumen a 200 Hz o 1500 Hz, pmax = 3 × 10−4 Pa. Con la edad se pierda la sensibilidad a las altas frecuencias. La frecuencia determine el tono (calidad de agudo o grave).
TEMA I.16:
Ondas Sonoras
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Ondas y Fluidos
17 / 19
Percepci´on de Ondas Sonoras La amplitud de presi´on tambi´en determina la percepci´on del tono. Mayor presi´ on, m´as volumen y m´as grave la impresi´ on. El sonido musical es una combinaci´ on de ondas complejas formadas de fundamentales y arm´onicas. La calidad del tono tambi´en es determinada por el ataque y decremento de la onda. En la Figura I.16.4 vemos las curvas de fluctuaci´ on de presi´on de un clarinete (a) y de una flauta (c). Las curvas de abajo muestran el contenido arm´onico. El ruido es una combinaci´ on de todas las frecuencias. El ruido blanco es una combinaci´on en cantidad igual de todas las frecuencias.
TEMA I.16:
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Ondas y Fluidos
18 / 19
Percepci´on de Ondas Sonoras
Figura I.16.4: (a) Curva de fluctuaci´ on de presi´ on versus tiempo de un clarinete. (b) Contenido arm´ onico del sonido del clarinete. (c) Curva de fluctuaci´on de presi´on versus tiempo de una flauta dulce alto. (d) Contenido arm´onico del sonido de una flauta dulce alto.
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