Tema1

Programa de la asignatura: Tema 1 Introducción a la inferencia estadística Tema 2. Distribución probabilidad 6 horas de clase Tema 3 8 horas de clase Tema 4 Modelos distribución... 10 horas de clase Tema 5 Convergencia 3 horas de clase Tema 6 Inferencia estadística 1 hora de clase Tema 7 Distribución Probabilidad 7 horas de clase Tema 8 Estimación Puntual 5 horas de clase Tema 9 6 horas de clase Tema 10 Contrate Hipótesis 12 horas de clase TOTAL

+ o – 65 horas

Tema 1 Introducción: Inferir: predecir, sacar conclusiones Población: Se saca una muestra, una parte de la población Existen 2 motivos para precisar la población: • Porque la muestra ha de elegirse dentro de la población • Porque los resultados de la muestra hay que extenderlos a la población La población elegida es importante que sea representativa de la población. Cuando se confían las leyes del azar los mejores estudios de la estadística, es cuando al final nosotros confiamos en las leyes del azar. ( Explicado mejor abajo). Hay una gran probabilidad de obtener muestras representativas de la población si se confía en el azar para la obtención de la muestra. estadística Inferencial: a) Estimación Parametrica: • • •

Estimación puntual Estimación con intervalos de confianza Contraste de Hipótesis

Tenemos una población, existen ciertos parámetros desconocidos, ejemplo media poblacional, desviación típica....llamado Estimación Parametrica

Parámetro θ→ (teta) = Estimación → Parámetro desconocido inicialmente. • • •

Estimando un valor fijo → Estimación Puntual Dar un rango de variación del parámetro → Estimación por Intervalos de confianza Que el recorrido del parámetro se dirija en 2 regiones y decir en cual de las 2 regiones parece más verosímil → Contraste de Hipótesis Ejemplo: Que el parámetro de estimación sea > 3,5 y < 3,5

b) Estimación NO Parametrica—( No entra ) Es un tipo de estimación que cuando se tiene más datos no se sabe ni a que población pertenece, no se tiene un método matemático para realizar estudios. No se utiliza parámetros. Ejercicio: Suponemos que estamos intentando estudiar que % de españoles tiene ordenador personal. Una forma razonable de abarcar este problema es considerar que la variable aleatoria tome: • el valor 1, si el individuo tiene ordenador • el valor 0 si el individuo no tiene ordenador Variable aleatoria X = ξ Distribución de Bernouilli → éxito, fracaso B ( 1, θ)

f θ=θ

x

fθ = θ x (1 − θ )1−θ • • •

Una técnica de la estimación puntual Ej. θ = 0,17 → el 17% tiene ordenador puntual. → Es estimación Puntual. Si θ ∈ ( 0,152,0,187 ) Estimación por intervalos de confianza Si obtengo que este estimador θ es superior o inferior al 20%, → Es Contraste de Hipótesis.

Ej. Caso de una empresa que quiere vender equipos de informática en Lugo, si un 20% de personas tiene ordenador monto la empresa y me establezco sino, no.

REPASO AÑO PASADO- ( Se considera parte tema 2) Llamamos E espacio muestral al conjunto de todos los sucesos elementales del espacio aleatorio. Ej., tirar una moneda E ( Cara, Cruz ) C x E = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) Probabilidad: Un modelo o función de probabilidad viene definido por una función que llamamos P, dado un suceso A c E. Le hace corresponder un nº entre 0 y 1, de tal modo que se verifican que la probabilidad total de todo el espacio maestral es 1 y se verifica que si tengo una serie de sucesos disjuntos o incompatibles se verifica que la probabilidad de la unión de todos ellos es igual a la suma en n de las probabilidades. 1) P (E)= 1  2) An ⇒ PU  n

A

n

} = ∑ P [A ] n

n

Consecuencias: a) b) c)

P(ө) = 0 Si A c B → p (a) ≤ p (b) La probabilidad de la unión A, B = SUCESOS = P ( A B ) = P (A) + P(B) – P (A∩B)

Si se toman todos los sucesos se denomina Ω Conjunto de todos los sucesos simples, compuestos y el ө Conjunto vacío. ( E, Ω, ө) → Espacio de Probabilidad Distribución de Probabilidad: El cómo se distribuye una masa o cantidad de probabilidad entre todos los posibles sucesos de un elemento aleatorio Los modelos de distribución de probabilidad en principio podemos distinguir 2 clases: • •

Modelos Discretos: Según los espacios maestrales son discretos cuando los valores de la variable toma valores concretos Modelos continuos: Cuando la variable puede tomar todos los infinitos valores

Variable Aleatoria: Es una función real definida sobre el espacio muestral que asocia a cada suceso elemental un nº real. Función de Distribución: V.A. → ξ X = Los números reales asociados a cada suceso del espacio muestral E, es decir son los valores de la V.A. Llamamos función de Distribución F x = P[ξ ≤ x ] es decir es la probabilidad acumulada de la V.A. ξ ( símbolo de una variable cualquiera da igual la letra griega) hasta el punto x. Propiedades: 1) F(∞) = 1 2) F(-∞) = 0 3) Si la función de distribución es monótona creciente se verifica que: x1 x2 ⇒ F ( x1) ≤ F ( x 2 )

[

]

4) ∀ x1, x2 ⇒ p x1, ξ ≤ x2 = F ( x 2 ) − F ( x1) 5) Si la función de distribución siempre es Continua por la derecha 6) Si la función de distribución no siempre es Continua por la izquierda. Ejercicio: VA Discreta y su función de Distribución: Voy a tener los valores de la VA en el experimento aleatorio de lanzar 2 veces consecutivas una moneda. Quiero obtener el nº de caras que hay en ese experimento. Ω= ( cc, cx, xc, xx)

x

i

va que expresa el nº de caras

0 1 2

p

i

(

=Pξ = 1/4 1/2 1/4

∑P F(

x)

x)

x 0

x<0

¼ ¾

0 ≤ x<1 1 ≤ x<2

i

=1

i

1

x≥2

F ( ) = p( ξ ≤ x ) x

Es importante que el salto es la probabilidad en el punto Propiedades Variable Aleatoria Discreta: 1) Una VAD sólo toma un numero finito de valores con probabilidad no nula 2) La probabilidad en el punto es el salto de la función de distribución en ese punto 3) Sólo tienen probabilidad no nula los puntos donde F( x ) tiene salto. Los puntos en los que F( x ) es continua tienen probabilidad nula. Suponemos un dado trucado, de tal modo que la probabilidad de aparición de cada una de las caras es proporcional al numero de puntos de la cara.

ξ →VA ⇒ N º puntos en un lanzamiento 1) Hallar K 2) Función de cuantía 3) F( x ) i= valor de la cara= 1,2,3,4,5,6 Pi = P (ξ = X i ) = ki 6

6

i =1

i =1

∑ P = ∑ Ki = 1 ⇒ K ∑ i = 1; K= 1/21 i

Función de cuantía I 1 2 3 4

Pi = P (ξ = i ) 1/21 2/21 3/21 4/21

5 6

5/21 6/21

∑ P =1 i

Función de distribución: F( x ) 0 i<0 1/21 1 ≤ i<2 3/21 2 ≤ i<3 6/21 3 ≤ i<4 10/21 4 ≤ i<5 15/21 5 ≤ i<6 1 i≥6 Sólo hay probabilidades en los puntos donde hay salto F( x ) = P (ξ ≤ x )

Variable Aleatoria Continua VAC: Una VA ξ es Continua si su Funcion de distribución es continua y existe otra función, llamada función de densidad que verifica que la derivada de la función de distribución es la función de densidad. Va ξ : F( x) continua f ( x ) ≥ 0 = función de densidad dF( x ) dx

= F `( x ) = f ( x )

Consecuencias de esta definición:

1) como f ( x ) ⇒ es una densidad de probabilidad, es por tanto una función que asigna probabilidad a los valores de la v.a. 2) Como F( x ) es continua los valores de la v.a. toman valores en un intervalo. ξ toma valores en un intervalo P (ξ = x) = 0, ∀x la probabilidad en un punto es cero 3) Calculo de probabilidades P( X 1 < ξ ≤ X 2 ) = F ( X 2 ) − F ( X 1 ) =

X2

∫f

( x)

dx

X1

F( x ) = P (ξ ≤ x ) =

x

∫f

( x)

dx

−∞

f (∞) = 1 F (−∞) = 0 +∞

∫ f ( x)dx = 1 Condición para que

f ( x ) sea

−∞

función de densidad En la Practica no existen variables continuas porque las medidas que hacemos siempre son discretas ( son un nº). Ejemplos: 1) Tenemos una ξ v.a. continua Su función de densidad f ( x ) = 1

0 < x <1

a) Comprobar si es función de densidad ∞

∫f

−∞

1

( x)

dx = ∫ 1dx = x 0 = 1 función de densidad 1

0

b) Hallar función de densidad F( x ) = P (ξ ≤ x ) =

∞

∫f

−∞

c) Hallar

1

( x)

dx = ∫ 1dx = x 0 = x 0

x

0,5

P (ξ ≤ 0,5) = ∫ 1dx = x 0 = 0,5 0,5

0

2) f ( x ) =

x 8

∞

0< x<4

4

1 1 x2 f dx = xdx = ∫ ( x ) ∫0 8 8 2 −∞

x

F( x )

4

0

1  42  =   = 1 es función de densidad 8 2 

x

1 1 x2 = P (ξ ≤ x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ xdx = 8 8 2 −∞ 0

P (1 < ξ < 2) = F (2) − F (1) =

3) f ( x ) = k (3 + 2 x );

x

0

1 x2 x2 = = 8 2 16

4 1 3 − = 16 16 16

2< x<4

4

k ∫ 3 + 2 xdx = 1 2

2x2 k 3x + 2

4

= k (12 + 16) − (6 + 4) = k (28 − 10) = 18k ;18k = 1; k = 2

4) f ( x) = e − x

∞

−x −x ∫ e = 1;−e 0

x

F( x ) =

∫

−∞

∞ 0

x>0 esto significa 0 ≤ x < ∞

1 1 1  = −  ∞ − 0  = −  − 1 = −( 0 − 1) = 1 e  e ∞  x

x

[

]

f ( x) dx = ∫ e − x dx = −e − x = − e − x + 1 = 1 − e − x 0

0

1 18