Tema V, Vibraciones Mecanicas

VIBRACIONES MECANICA Introducción El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto. El Ingeniero debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas, medirlas, analizar el origen de ellas y aplicar correctivos. Hace más o menos 40 años, la temática de vibraciones mecánicas se constituyó en parte integral de la formación de ingenieros mecánicos en los países industrializados. El fenómeno de las vibraciones mecánicas debe ser tenido en cuenta para el diseño, la producción y el empleo de maquinaria y equipos de automatización. Así lo exige un rápido desarrollo tecnológico del país. Aunque este artículo se enfoca hacia las vibraciones en sistemas mecánicos, el texto y los métodos analíticos empleados son compatibles con el estudio de vibraciones en sistemas no mecánicos. Definición de vibración mecánica Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en maquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las perdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado CAUSAS DE LAS VIBRACIONES MECANICAS. Son muchas, pero básicamente las vibraciones se encuentran estrechamente relacionadas con tolerancias de mecanización, desajustes, movimientos relativos entre superficies en contacto, desbalances de piezas en rotación u oscilación, etc.; es decir, todo el campo de la técnica. Los fenómenos anteriormente mencionados producen casi siempre un desplazamiento del sistema desde su posición de equilibrio estable originando una vibración mecánica. CONSECUENCIAS DE LAS VIBRACIONES La mayor parte de vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables porque aumentan los esfuerzos y las tensiones y por las pérdidas de energía que las acompañan. Además, son fuente de desgaste de materiales, de daños por fatiga y de movimientos y ruidos molestos. “Todo sistema mecánico tiene características elásticas, de amortiguamiento y de oposición al movimiento; unas de mayor o menor grado a otras; pero es debido a que los sistemas tienen esas características lo que hace que el sistema vibre cuando es sometido a una perturbación ". “Toda perturbación se puede controlar, siempre y cuando anexemos bloques de control cuya función de transferencia sea igual o invertida a la función de transferencia del sistema ". “Si la perturbación tiene una frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema, la amplitud de la respuesta puede exceder la capacidad física del mismo, ocasionando su destrucción ". VIBRACIÓN LIBRE

Aunque los sistemas vibratorios generalmente trabajan como sistemas forzados el análisis de sistema libres adquiere importancia debido a que uno de los problemas a los que "las maquinas temen" es la resonancia. Según su concepto la resonancia se presenta cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia de resonancia. La frecuencia natural es la frecuencia de los sistemas vibratorios en la vibración libre, de aquí que el cálculo de frecuencias naturales es importante. Movimiento armónico El movimiento armónico es importante de estudiar ya que tiene similitud con muchos movimientos de sistemas vibratorios, todo movimiento periódico debe satisfacer: X (t) = X (t + ζ) EC 3.1 Vamos a ver que significa esto. Un movimiento periódico es un movimiento que se repite a intervalos de tiempo llamados periodos ‘ζ ’. La frecuencia se define como el número de ciclos por unidad de tiempo, de tal forma que se relaciona con el periodo de la forma F = 1/ζ (EC. 3.2) Las unidades de la ecuación 3.2 son ciclos/seg. Vibración libre no amortiguada. En este apartado se estudiara el modelo más simple de tal modo que una ecuación matemática denotara su comportamiento. Este modelo lo llamaremos el modelo típico, y la ecuación diferencial que determina su comportamiento lo llamaremos la forma canónica de un sistema libre no amortiguado. La fig. 3.2 muestra este modelo un sistema de masa ‘m’ y una constante elástica ‘k’ vamos a realizar un estudio estático y cinético con el fin de determinar la ecuación diferencial que determinara el movimiento posteriormente veremos la solución de la ecuación diferencial para ver la respuesta en el tiempo del sistema así como la formula que determina el calculo de la frecuencia natural.

Fig. 3.2 modelo típico de un sistema libre no amortiguado.

En la figura 3.3 (a) se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa ‘m’ y el resorte sufre una deformación Xs que llamaremos deformación estática; de aquí Fk = KXs

Fig. 3.4 diagrama de cuerpo libre, análisis estático.

El diagrama de cuerpo libre estático nos rebela que ∑ Fy = 0 mg – KXs = 0 mg = Kxs EC.3.3 Ahora imaginemos que estiramos la masa una distancia X y luego lo soltamos y aquí comenzamos hacer el análisis.

La figura 3.5 nos muestra el diagrama de cuerpo libre como consideramos X + 1 por lo tanto x y x serán positivos hacia abajo. Utilizando la 2da ley de Newton + ∑ fy = ∑ fy

efect

= mx

mg – KXt = mx Ec. 3.4 Como KT = Xs + x la ecuación 3.4 se convierte en: Mg – KXs – Kx = mx Ec 3.5 Utilizando la ecuación 3.3 como en la ecuación 3.5 aparecen como constantes se pueden eliminar, por lo tanto: Mx + kx = 0 EC. 3.6 A la ecuación 3.6 se le conoce como la ecuación diferencial del movimiento de un sistema libre no amortiguado. Si existe deformación estática el efecto que produce la masa se coloca con un resorte cuando se deforma estáticamente por lo tanto vamos a buscar la solución utilizando la transformada de Laplace. Si analizamos el término angular (√K (t)) cuya unidad deberá ser los radianes, por lo tanto: √m √K T = seg. √m De aquí que el termino √K es la frecuencia natural en otras unidades √m Por lo tanto la EC 3.7 que denota la respuesta en el tiempo del sistema queda: Determinado su movimiento por la ecuación diferencial: mx + kx = 0 Cuya solución, queda determinada la respuesta en el tiempo: x(t) = x(0) cos wnt + x(0) sen wt

Wn Donde: x (0) = deformación inicial X (0) = velocidad inicial wn frecuencia natural (rad/seg.) La frecuencia natural queda definida como: Wn = √K /m

Analizando la ec. 3.11 vamos a analizar su grafica respuesta en el tiempo. Caso 1 si el sistema parte con velocidad 0; es decir x(0)

Caso 2: si el sistema parte con velocidad inicial x (0) y sin deformación, es decir x (0)

Puede ser un problema, mas sin embargo solo hay que dedicarse a llegar a la ecuación diferencial y esta se asemeja a la ecuación 3.6 Definición 3.2.B

Forma canónica de un sistema libre no amortiguado A+B=0 Donde = d2 / dt

Resumen

En general al momento de resolver un problema de vibraciones el estudiante debe de tener en cuenta las siguientes ecuaciones:

Frecuencia circular natural ωn = √k/m

Desplazamiento X= xn sen (ωnt + ø) Velocidad V = = xm ωn cos (ωnt + ø) Aceleración a = d2 x/dt = - xm ωn2sen(ωnt + ø)

Periodo ζn = 2∏/ ωn

Frecuencia natural ƒn = 1/ ζn = ωn/2∏ Ejemplo

Una partícula se mueve en movimiento armónico simple. Sabiendo que la amplitud es de 18 pulg. y la velocidad máxima es de 6 m/s, determinar la máxima aceleración de la partícula y el período de su movimiento. Solución

18 pulg. = 1.5 m X = xm sin ωnt = 1.5 sen ωnt dx/dt = 1.5 ωn cos ωnt,

1.5 ωn = 6m/s

Entonces ωn = 6/1.5 = 4 Rad. / s = 4/2∏ hz dx/dt = -1.5 ωn2 sen ωnt = - 24 sen ωnt repuesta aceleracion maxima = 24 m/s periodo = ∏/2 = 1.5715 s

Vibraciones Forzadas Definiciones básicas en vibraciones forzadas

El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad con excitación externa, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes características equivalentes mEQ, cEQ, kEQ y la fuerza F(t), el cual se ilustra en la siguiente figura:

FIG. 13. Sistema de un grado de libertad con excitación externa. Luego, para este tipo de sistemas, la ecuación diferencial que rige su movimiento está representada por:

Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Para este caso se tendrán como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes, más allá de los límites tolerables.

Con respecto a la excitación, los sistemas desbalanceados representan una excitación de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance (m·e) y de la frecuencia de la excitación (Ω). Además de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin excitación externa (libres), en los sistemas forzados se hace necesario definir otras variables para el análisis de los mismos: La relación de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de excitación. Se designa con el símbolo r , es adimensional y se expresa según la ecuación:

El factor de amplificación dinámico se designa con el símbolo Κ y es adimensional. Se expresa por:

El retraso de fase se designa con el símbolo φ y se expresa en grados o radianes. Se expresa según la ecuación:

Respuesta ante la excitación En el estudio de vibraciones forzadas son muy útiles los gráficos de factor de amplificación dinámico y retraso de fase vs. relación de frecuencias. Para el caso de sistemas que presentan desbalance, es útil graficar r^2*K ⋅vs. r debido a que la excitación depende de la frecuencia de operación del sistema.

FIG.

FIG. 14. Factor de amplificación vs. relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación

FIG. 15. Retraso de fase vs. Relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación.

El retraso de fase se designa con el símbolo φ y se expresa en grados o radianes. Se expresa según la ecuación: Respuesta ante la excitación En el estudio de vibraciones forzadas son muy útiles los gráficos de factor de amplificación dinámico y retraso de fase vs. relación de frecuencias. Para el caso de sistemas que presentan desbalance, es útil graficar r^2*K ·vs. r debido a que la excitación depende de la frecuencia de operación del sistema. FIG. 14. Factor de amplificación vs. relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación. FIG. 15. Retraso de fase vs. relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación

Un cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando se desplaza varias veces a uno y otro lado de la posición fija que tenia inicialmente. Vibración mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina. Una forma simple de definir vibración

CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de los elementos y las características de la señal. Dependiendo de la excitación • Vibración Forzada • Vibración libre Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo permanente. Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía por medio de un impulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte. Dependiendo de la disipación de energía • No amortiguada • Amortiguada El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamente amortiguador. Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilación de un sistema se ve afectada por la disipación de la energía, pero cuando la disipación de energía no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilación entonces la vibración es del tipo no amortiguada.

VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS. Con fricción y sin fuerza externa Las raíces del polinomio asociado son Si incluimos el efecto de amortiguación, entonces la edo que describe la masa es

Las raíces del polinomio asociado son

Tenemos tres casos a considerar dependiendo de si C 2 - 4 k m es positivo, negativo o cero.

SOBRE AMORTIGUADO. C 2- 4 k m > 0

Tanto r1 como r2 son raíces reales negativas. La solución general queda como

Representa movimientos de la masa en rápidamente se regresa al punto de equilibrio.

donde

ante

CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. C 2- 4 K M = 0

cualquier

alteración

La masa en este caso cruza una vez el punto de equilibrio y regresa rápidamente a él.

La solución en este caso queda como

Los amortiguadores cuando están críticamente amortiguados es su estado ideal.

SUBAMORTIGUADO.

C 2- 4 k m < 0 En este caso la solución queda como

La cual como en el caso de vibraciones libres puede expresarse como

Como el desplazamiento oscila entre las curvas La masa oscila cada vez menos tendiendo hacia el equilibrio.

CONCLUSIONES DE VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS. •

Los sistemas mecánicos amortiguados están basados en este principio. Sin embargo, sus valores deben de estar cerca de la situación de críticamente amortiguado es decir C 2 - 4 k m debe ser cercano a cero. •

En la medida que se aleja del valor cero:

Con valor positivo pierde amortiguación. Con valor negativo pierde recuperación hacia su estado de equilibrio, vibrando demasiado.

VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS. Con fricción y fuerza externa. Si se introduce una fuerza externa F(t) = F0 Cos w t, entonces la edo que regula el movimiento de la masa es queda como solución particular.

La solución general

Donde yH es solución de la edo homogénea y yP es una Propongamos como solución particular de la forma Sustituyendo en la ecuación nos queda

De donde nos queda el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Cuya solución es

La solución particular queda entonces como

Ordenando tenemos

nos queda

Simplificando nos queda la solución particular

Donde En cuanto a la solución de la homogénea pues es el caso anterior de vibraciones libres amortiguadas en donde sabemos que la solución yH tiende a cero hacia valores grandes de t.

CONCLUSIONES DE VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS. •

La parte homogénea es de alguna de las tres formas que nos da las vibraciones libres amortiguadas.

•

La parte no homogénea queda como

Donde Como la ecuación de la parte homogénea tiende a cero, entonces, con sólo la parte no homogénea podemos describir el comportamiento de las vibraciones forzadas amortiguadas. yH se conoce como la parte transitoria y yP la parte estacionaria, de la ecuación.