Tema V. Funciones De Varias Variables

Funciones de varias variables Función de dos variables Definición. Es una función único número real

f

que asigna a cada pareja ordenada ( x, y ) de D un

f ( x , y ) . El conjunto D es el dominio de

f , y el

correspondiente conjunto de valores f ( x, y ) es el rango.

f

Z=f(x,y)

(x,y)

Dominio

Rango

Gráfica de la función de dos variables Es el conjunto de todos los puntos ( x, y, z ) para los z  f ( x, y ) y ( x, y ) que está en el dominio de

f

.

Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez

Ejemplo. Bosqueje la gráfica de f ( x, y )  1  x 2  y 2

Curvas de nivel Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar z  f ( x, y ) se asigna al punto ( x, y ) . Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de los cuales es constante. Las curvas de nivel de igual presión se llaman isobaras. Las curvas de nivel que en mapas climáticos representan puntos de igual temperatura reciben el nombre de isotermas. Las curvas de nivel que representan campos de potenciales eléctricos se llaman líneas equipotenciales. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topográfico. Límites y continuidad Previo a la definición de límite de una función de dos variables necesitamos definir una serie de conceptos, tales como: 1. Vecindad de un punto x: un punto x que pertenece a R, cualquier subconjunto de R que posea un abierto que contenga a x se llama una vecindad de x.

2. Bola abierta:

se llama bola abierta al

conjunto representado por

B( x )  {( x, y ) : ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2   } 3. Bola

cerrada:

se

llama

bola

cerrada

al

conjunto

dado

por

B( x )  {( x, y ) : ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2   } 4. Punto interior: un punto x es un punto interior de un conjunto S si existe una vecindad de x contenida en S. El conjunto de los puntos interiores de S se llama interior de S. 5. Punto frontera: un punto x es un punto frontera de un conjunto S si cada vecindad de contiene puntos que están en el interior de S y puntos que no están en S. El conjunto de los puntos fronteras recibe el nombre de frontera de S. 6. Un conjunto es abierto si contiene todos puntos interiores y es cerrado si contiene todos sus puntos fronteras. Hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados. 7. Conjunto acotado; un conjunto S es acotado si existe un R>0 tal que todas las parejas ordenadas en S están dentro de un círculo de radio R y con centro en el origen. Definición límite de una función de dos variables Sea

f

una función de dos variables en un disco abierto centrado en ( x0 , y0 ) ,

excepto posiblemente en ( x0 , y0 ) , y sea L un número real. Entonces

lim

( x , y ) ( x0 , y0 )

f ( x, y)  L

Si cada   0 existe   0 tal que f ( x, y )  L   siempre que 0  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 )2  

Nota: los límites de dos variables tienen las mismas propiedades que cuando es de una sola variable. Ejemplo. Calcular el límite de

lim

( x , y ) (0,0)

xy  cos x xy  cos x

xy  cos x (0)(0)  cos 0 0  1    1 ( x , y )  (0,0) xy  cos x (0)(0)  cos 0 0  1 lim

Ejemplo. Determine si el límite existe o no.

lim

( x , y )  (0,0)

xy x2  y 2

Solución : lim

( x , y )  (0,0)

xy x2  y 2



(0)(0) 02  02



0 0

Acerquemonos a lo largo del eje x lim

( x ,0)  (0,0)

xy x2  y 2



x(0)

lim

( x ,0) (0,0)

x 2  02



lim

( x ,0)  (0,0)

0 x2

0 0 ( x ,0)  (0,0) x Pr ocedamos acercarnos a traves de la recta x  y lim

lim

( x , y )  (0,0)

lim

( x , x )  (0,0)

xy x2  y 2 x2 2 x2





lim

xx

( x , x )  (0,0)

lim

( x , y ) (0,0)

x2  x2



lim

( x , x ) (0,0)

x2 x2  x2

x2 x 0  lim  0 2 x ( x , x )(0,0) 2 2

Podemos decir que el límite existe, porque al acercarnos por caminos diferentes siempre nos da 0, y este es el valor del límite.

Otra forma: Utilizando coordenadas polares podemos determinar si el límite existe o no. Determine si el siguiente límite existe o no.

 x2  y2  lim xy  2 2  ( x, y )(0,0) x y  x  r cos , y  rsen  x2  y2   r 2 cos2   r2sen2  lim xy  2 2   lim r cos rsen  2 2 2 2  ( x, y )(0,0)  x  y  r0  r cos   r sen    r 2 (cos2   sen2 )   r 2 (cos2   sen2 )  2 lim r cos sen  2   lim r cos sen   2 2 r 0 r2  r (cos   sen  )  r 0   2

lim r 2 cos sen  cos2   sen2   (0)2 cos sen  cos2   sen2   0 r 0

Función continua en un punto Definición. Una función f ( x, y ) es continua en el punto (a,b) si se cumple que: 1.

f

tiene un valor en (a,b)

2. El lίmite 3.

f (a, b) 

f

existe en (a,b)

lim

( x , y ) ( a , b )

f ( x, y )

Continuidad en un conjunto Definición. Una función

f ( x, y ) es continua en un conjunto S si f ( x , y ) es

continua en cada punto del conjunto.

Teorema. Composición de funciones Si una función

g de

dos variables es continua en (a,b) y una función

f de una

variable es continua en g (a , b ) , entonces la composición f  g , definida como

( f  g )( x, y )  f ( g ( x, y ) es continua en (a,b). Derivadas parciales Sea

f una función de dos variables ( x, y ) . Si y se mantiene constante, digamos

y  y0 , entonces f ( x, y0 ) es una función de la variable simple x . Su derivada en x  x0 es la derivada parcial

f respecto de x en ( x0 , y0 ) y se denota por

f x ( x0 , y0 ) . Así

f x ( x0 , y0 )  lim

x  0

f ( x  x0 , y0 )  f ( x0 , y0 ) x

De forma análoga, la derivada parcial de

f

respecto a

y en ( x0 , y0 ) se

por f y ( x0 , y0 ) y está dada por

f y ( x0 , y0 )  lim

y  0

f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ) y

f ( x, y ) este símbolo significa la derivada parcial de f ( x, y ) respecto de x. x

f ( x, y ) este símbolo significa la derivada parcial de f ( x, y ) respecto de y. y

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denota

Ejemplo. Determine la derivada parcial de

z  y cos( x 2  y 2 )  2 xy z  2 xysen( x 2  y 2 )  2 y x z  2 y 2 sen( x 2  y 2 )  cos( x 2  y 2 )  2 x y Derivadas parciales de orden superior Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible determinar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que éstas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden en que se hace la derivación. Dada la función

z  f ( x, y ) tiene las siguientes

derivadas parciales de segundo orden. 1. Derivar dos veces respecto a x:

  f   2 f  f xx   x  x  x 2 2. Derivar dos veces respecto de y:

  f   2 f  f yy   y  y  y 2 3. Derivar primero respecto de x y luego respecto a y:

  f  2 f  f xy   y  x  xy 4. Derivar primero respecto de y y luego respecto a x:

  f  2 f  f yx   x  y  yx Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas). Ejemplo. Hallar las derivadas parciales de segundo orden

z  e x tan y  senxy z  e x tan y  y cos xy x 2z  e x tan y  y 2 senxy 2 x 2 z  e x sec 2 y  xysenxy  cos xy xy z  e x sec 2 y  x cos xy y 2z  2 e x sec 2 y tan y  x 2 senxy 2 y 2 z  e x sec 2 y  xysenxy  cos xy yx Como se puede observar las derivadas

2 z 2 z y son iguales. xy yx

Teorema. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Si

f es una función en ( x, y ) tal que f xy y f yx son continuas en un disco abierto

R , entonces, para todo ( x, y ) en R ,

 2 f ( x, y )  2 f ( x, y )  xy yx

Diferenciales Definición de diferencial total Si

z  f (x, y)

y

x y y son

los incrementos en

x

y en

y,

entonces las

diferenciales totales de las variables independientes son dx  x y dy  y y la diferencial total de la variable dependiente

dz 

z es

z z dx  dy  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy x y

Esta definición puede extenderse una función de tres o más variables. Ejemplo. Hallar la diferencial total

z  2 x 2 y 3 ; P (1,1), Q (0.99,1.02) Aplicando la fόrmula de de diferencial total:

z

z z dx  dy  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy x y

z z  4 xy 3 ,  6 x2 y 2 x y dx  0.99  1  0.1, dy  1.02  1  0.02 dz  4 xy 3 dx  6 x 2 y 2 dy Evaluamos el diferencial total de la función en (1,1)

dz  4(1)(1) 2 ( 0.01)  6(1) 2 (1) 2 (0.02)  0.08 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez

Diferenciabilidad Definición. Una función

f dada por z  f ( x, y ) es diferenciable en ( x0 , y0 ) si z

puede expresarse en la forma

z  f x ( x0 , y0 )x  f y ( x0 , y0 )y  1x   2 y Donde 1 y  2  0 cuando (x, y )  (0, 0) . La función

f es diferenciable en una

región R si es diferenciable en todo punto de R . Teorema. Condiciones suficientes para la Diferenciabilidad Si

f es una función en ( x, y ) , para la que f x y f y son continuas en una región

abierta R , entonces

f es diferenciable en R .

Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad Si una función en ( x, y ) es diferenciable en ( x0 , y0 ) , entonces es continua en ( x0 , y0 ) .

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Reglas de la cadena para funciones de varias variables Teorema. Regla de la cadena: una variable independiente Sea w  f ( x, y ) , donde donde g

f es una función derivable de x e y . Si x  g (t ), y  h(t ) ,

y h son funciones derivables de t , entonces w es una función

diferenciable de t , y

dw w dx w dy   dt x dt y dt

Ejemplo 1. Determine

dw mediante la regla de la cadena. dt

w  x 2 y  xy 2 ; x  cos t , y  sent dw w dx w dy   dt x dt y dt w w dx dy  2 xy  y 2 ,  x 2  2 xy;   sent ,  cos t x y dt dt Sustituyendo cada derivada en la fόrmula tenemos: dw  (2 xy  y 2 )( sent )  ( x 2  2 xy ) cos t dt

Ahora sustituimos a x e y por su equivalente para poner el resultado en función de t

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dw  (2 cos tsent  sen 2t ) sent  (cos 2 t  2 cos tsent ) cos t dt dw  ( 2 cos tsent  sen 2t ) sent  (cos 2 t  2 cos tsent ) cos t dt 2sent cos t  sen2t dw  (  sen 2t  sen 2t ) sent  (cos 2 t  sen 2t ) cos t dt Teorema. Regla de la cadena: dos variables independientes Sea w  f ( x, y ) , donde

f es una función derivable de x e y . Si x  g ( s, t ), y  h(s, t )

son tales que las derivadas parciales de primer orden están dadas por

w w x w y   s x s y s

Ejemplo 2. Hallar

y

w w x w y   t x t y t

w w y s t

w  x 2  y 2 , x  s cost, y  set w w x w y w w x w y   ~ (a )   ~ (b) s x s y s t x t y t w w x y  2 x,  2 y,  cos t ,  et ~ (2) x y s s Sustituyendo (2) en (a)

w  2 x(cos t )  2 y(et ) s Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez

x x y y , , y , existen, y s t s t

Sustituyendo a x y a y por su valor:

w  2s cost(cos t )  2set (et ) s w  2s cos 2 t  2 se2t s Ahora derivemos respecto a

t:

w w x w y   ~ (b) t x t y t

x y    ssent ,  set  t t  ~ (3) w  2 x(  ssent )  2 y ( set )   s Sustituyendo (3) en (b)

w  2s cos t ( ssent )  2set ( set ) s w  2 s 2 cos tsent )  2s 2 e2t s

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Extremos de funciones de dos variables Definición de extremos relativos Sea

f una función definida en una región R que contiene ( x0 , y0 ) .

1. La función

f tiene un mínimo relativo en ( x0 , y0 ) si f ( x, y )  f ( x0 , y0 )

para todo ( x, y ) en un disco abierto que contiene ( x0 , y0 ) . 2. La función

f tiene un máximo relativo en ( x0 , y0 ) si f ( x, y )  f ( x0 , y0 )

para todo ( x, y ) en un disco abierto que contiene ( x0 , y0 ) . Teorema del valor extremo Sea

f una función continua de dos variables x e y y definida en una región

acotada cerrada R en el plano

xy .

1. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor máximo.

Definición de los puntos críticos Sea

f definida en una región abierta R que contiene ( x0 , y0 ) . El punto ( x0 , y0 ) es

un punto crítico de

f si se satisface una de las condiciones siguientes:

1. f x ( x0 , y0 )  0 y f y ( x0 , y0 )  0 2. f x ( x0 , y0 ) o f y ( x0 , y0 ) no existe.

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Teorema. Los extremos relativos se presentan solo en los puntos críticos Si

f tiene un extremo relativo en ( x0 , y0 ) en una región abierta R , entonces es

un punto crίtico de

f.

El criterio de las segundas derivadas parciales Los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos o mínimos. Algunos puntos críticos dan puntos sillas que no son ni máximos ni mínimos.

Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales Sea

f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región

abierta que contiene un punto (a,b) para el cual

f x ( a, b)  0 y f y ( a, b)  0 Para buscar los extremos relativos de

d  f xx ( a, b) f yy ( a, b)   f xy ( a, b) 

f , considérese la cantidad

2

Entonces 1. Si d  0 y f xx (a, b)  0, entonces f tiene un mí min o en (a, b). 2. Si d  0 y f xx (a, b)  0, entonces f tiene un máximo en (a, b). 3. Si d  0, entonces (a, b, f (a, b)) es un punto silla. 4. Si d  0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.

Nota: Una forma conveniente para recordar el valor de d, es utilizar el determinante 2x2

f xx (a, b)

f xy (a, b)

f xy (a, b)

f yy (a, b)

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Ejemplo 3. Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máximo local o un mínimo local o si es un punto silla.

f ( x, y)  x3  y 3  6 xy 1. Derivamos a la función respecto de x e y : f x ( x, y )  3 x 2  6 y f y ( x, y )  3 y 2  6 x Igualamos a f x ( x, y)  0, f y ( x, y)  0 3x2  6 y  0 3 y2  6x  0 2. Re solvemos el sistema para det er min ar los puntos críti cos : 3x2  6 y  y 

x2 2

2

 x2  3x4 3   6x  0   6x  0 4  2 12 x 4  24 x  0  x4  2 x  0, x( x3  2)  0 x  0, x  3 2, entonces : 3

y  0, y 

4 2

Los puntos críti cos son : 3 3 4 (0, 0) y  2,  2   3. Halllemos las derivadas de segundo orden : f xy ( x, y )  6 f xx ( x, y )  6 x, f yy ( x, y )  6 y

4. Evaluemos las derivadas en los puntos críti cos, para luego hallar el valor de d : f xx (0, 0)  6(0)  0, f yy (0, 0)  6(0)  0 f xy (0, 0)  6

d

0 -6

-6  36 0

Como d  0 existe un punto silla f (0, 0)  0 El pto. silla  (0, 0, 0) f xx f xy

 

d

3

3

2, 2,

3

4 2

3

63 2 -6

4 2

  6 2, f    6 3

yy

-6 33 4

3

2,

3

4 2

0

d  0, no hay conclusión

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3

3

4

Multiplicadores de Lagrange

Teorema de Lagrange Sean f y g

f

funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que

tiene un extremo en un punto (x0 , y0 ) sobre la curva suave de restricción o

ligadura g ( x, y)  c . Si g ( x0 , y0 )  0 , entonces existe un número real

 tal que

f ( x0 , y0 )  g ( x0 , y0 ) Método de los multiplicadores de Lagrange

Si f y g son funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea

f

una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción

g ( x, y)  c . Para hallar el mínimo o el máximo de f , seguir los pasos descritos a continuación: 1. Resolver simultáneamente las ecuaciones f ( x, y)  g ( x, y ) y g ( x, y )  c resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

f x ( x, y)   g x ( x, y ) f y ( x, y)   g y ( x, y ) g ( x, y )  c 2. Evaluar

f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor

mayor da el máximo de menor da el mínimo de

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f

f sujeto a la restricción g ( x, y)  c , y el valor sujeto a la restricción g ( x, y)  c .

Ejemplo. Mediante los multiplicadores de Lagrange encuentre los extremos de la función sujeto a la restricción x 2  y 2  1 .

f ( x, y )  x 2  3xy  y 2 1er Paso. Sea g ( x, y )  x 2  y 1 2do Paso. Hallamos las derivadas parciales de f y g :

f x ( x, y)  2 x  3 y ~ (1) f y ( x, y )  3x  2 y g x ( x, y )  2 x y g y ( x, y )  2 y Construímos el sistema de ecuaciones :

f x ( x, y )   g x ( x, y ) f y ( x, y )   g y ( x, y ) g ( x, y )  c 2 x  3 y   2 x ~ (1) 3 x  2 y   2 y ~ (2) x 2  y 2  1 ~ (3)

Despejando  de las ecs. (1) y (2) : 2x  3 y 3x  2 y ~ (4),   ~ (5) 2x 2y Igualamos las ecuaciones (4) y (5) : 2 x  3 y 3x  2 y  2x 2y



4 xy  6 y 2  6 x 2  4 xy 6 y 2  6x2  y   x Sust. a y por su valor en (3) : x2  x2  1  2x2  1 x2 

1 1 x 2 2

Evaluamos a f en

 1 1  El punto crítico es  ,   2 2



1 2

,

1 2

:

2

f

1 2

1 ,

2

5  1   1  1   1  1 3 1 5    3     2  2  2  2  Máx  2 2  2  2  2   2 

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