Tema I, Cinematica De Cuerpo Rigido

MOVIMIENTO RELATIVO A SISTEMA DE REFERENCIA EN TRASLACION Sean dos sistemas de referencia F y M que se mueven uno respecto del otro con velocidad constante.

•

En este caso, el movimiento relativo de uno respecto del otro será rectilíneo uniforme

•

M se mueve con es relativo).

•

Supongamos que en el instante inicial dos orígenes coinciden por lo que

•

Llamamos y respectivamente.

•

Además se cumple a identidad vectorial

respecto de F. (Note sin embargo que el movimiento

a la posición de una partícula vista desde F y M

.

La relación entre las posiciones vistas desde los dos sistemas de referencia es:

La relación entre la velocidad se obtiene derivando esta expresión respecto del tiempo:

Y para obtener la relación entre aceleraciones se vuelve a derivar:

al ser

constante.

EN COMPONENTES:

Si elegimos los ejes de forma que , y sean paralelos y que este dirigido a lo largo del eje X, podemos expresar de forma sencilla las ecuaciones anteriores en componentes:

EJEMPLO: INTERPRETACION GRAFICA DE en aguas tranquilas. Sea la Una barca es capaz de desarrollar una velocidad debemos dirigir velocidad del agua de un río respecto de la orilla. ¿Con que ángulo la barca para conseguir atravesar el río siguiendo la dirección perpendicular a la orilla?

http://aransa.upc.es/ED/diego/apuntes/mov_rel_trasla.pdf

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO Cuerpo Rígido Sistema dinámico que no presenta deformaciones entre sus partes ante la acción de fuerzas. Matemáticamente, se define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan algún grado de deformación. Sin embargo, la supocision de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos de cuerpo rígido y no afectan la respuesta del cuerpo ante las acciones extremas. Cuerpo Rígido en Movimiento Plano Caso en que cada partícula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo. Note que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente, tales como laminas, discos, etc. Moviéndose en su propio plano, como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita. Configuración Supóngase un cuerpo rígido en movimiento plano. Dos rectos AB y CD fijas al respectivamente con una referencia fija. Pero cuerpo, formando ángulos donde es constante. Esto quiere decir que si se conoce la posición angular de cualquier recta fija al cuerpo, se conoce la posición angular del cuerpo. Además, por lo tanto, la velocidad angular mismas para cualquier recta fija al cuerpo.

y la aceleración angular

son las

Para especificar la configuración de un cuerpo rígido en movimiento plano es conveniente utilizar un sistema de referencia S´ fijo al cuerpo con origen en O´. La configuración del cuerpo rígido queda completamente determinada mediante las coordenadas

y el ángulo

que forma

con

http://www.ociv.utfsm.cl/asignaturas/mecanica_racional/files/CAP5.pdf

TIPOS DE MOVIMIENTOS DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO En el plano, un cuerpo puede moverse de tres formas diferentes: traslación, rotación al rededor de un eje fijo y movimiento plano general. Traslacion: Un cuerpo está en traslación si todas las partículas (puntos) que lo componen describen la misma trayectoria. La traslación puede ser rectilínea o curvilínea. [Figuras a y b].

(a) Traslación rectilínea

(b) Traslación curvilínea

Una característica del movimiento de traslación es que cualquier recta, considerada como perteneciente al cuerpo, permanece siempre en la misma dirección. Esto se puede apreciar en la figura a donde la recta AB es paralela a la recta A’B’.

Como el cuerpo no tiene movimiento rotacional a=0 entonces fuerza resultante pasa por el centro de masa y se debe cumplir que

, la .

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE TRASLACION El movimiento de un cuerpo está completamente definido si se puede determinar la posición de cualquier punto perteneciente a él en cualquier tiempo. A continuación se presentarán para cada tipo de movimiento las relaciones matemáticas que permiten definir el movimiento de un cuerpo con base en los conceptos explica. Consideremos dos puntos A y B de un cuerpo en traslación, [Fig. 3-5]

La posición de A y B con respecto a un sistema xy de referencia se representan por medio de los vectores de posición y respectivamente, y la posición de B con respecto de A por

.

Como

se tiene que

Figura 3-5

, y representan Donde las derivadas con respecto del tiempo de los vectores , y respectivamente. Puesto que en un movimiento de traslación no varía entonces por consiguiente

y como

, en traslación

es cero;

donde , y representan la segunda derivada con respecto del tiempo de los vectores , y respectivamente. Como cero, entonces

es

[3-2]

Entonces, en traslación las aceleraciones de todos los puntos de un cuerpo también son iguales.

[3-1] De las consideraciones anteriores con Es decir, en traslación, todos los , se puede postular que puntos de un cuerpo tienen la misma respecto a las derivadas respecto al tiempo de un velocidad. vector que pertenece a un cuerpo en traslación son cero De otra parte, la aceleración de B es:

[3-3]

Rotacion Rotación con respecto a un eje fijo. En este movimiento, las partículas que constituyen el cuerpo rígido se desplaza en planos paralelos, a lo largo de círculos centrados en el mismo eje fijo (figura 1.15) si este eje, llamado eje de rotación, interseca el cuerpo rígido, las partículas localizadas en el eje tienen velocidad y aceleración cero. No se debe confundir la rotación con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo, la placa mostrada en la (figura 1.16) esta sometida a una traslación curvilínea, por que todas sus partículas se desplazan a lo largo de círculos paralelos, mientras que la placa mostrada en la figura 1.16b se encuentra sometida a rotación, por que todas sus partículas se desplazan a lo largo de círculos concéntricos. En el primer caso, cualquier línea recta trazada en la placa conservara la misma dirección, mientras que, en el segundo caso, el punto O permanece fijo. Como cada partícula se mueve en un plano dado, se dice que la rotación de un cuerpo con respecto a un eje fijo es un movimiento plano.

Figura 1.15

Figura 1.6 a y b

http://ssfe.itorizaba.edu.mx/industrial/reticula/fisicaI/contenido/unidad%201/tema1 _4.html

Movimiento alrededor de un eje fijo Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotación es el eje z. Sea A un punto del cuerpo rígido y su vector de posición, [Fig. 3-6]. Como se sabe, la velocidad de A, , es tangente a la trayectoria y ésta está contenida en un plano perpendicular al eje de rotación. El desplazamiento angular de la recta OA se denota por

y su velocidad angular por

.

(a)

(b) Figura 3-6

Al vector contenido en el eje de

[3-5]

, se le define como rotación el vector velocidad angular. Si la La aceleración de A es por definición rotación es en sentido antihorario vista desde el eje positivo, el vector velocidad angular se considera positivo, de otra forma es negativo. Cuando se considera una lámina representativa del cuerpo en rotación, sale del plano si es [Fig. 3-6b] positivo y entra si es negativo; como de la ecuación [3-5], de cualquier manera el vector se ve entonces como un punto, la velocidad angular se representa por medio de un arco circular indicando con una cabeza de [3-6] flecha el sentido de rotación. Sin embargo no se debe perder de vista que el vector velocidad angular entra o donde es la aceleración angular sale del plano del dibujo. del cuerpo. Volviendo a la figura 3-6a y

El vector aceleración angular tiene el

recordando que la velocidad de A es

mismo sentido de la velocidad angular si ésta aumenta y sentido contrario si tiende a disminuir. La ecuación [3-6] expresa que la aceleración de una partícula que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo tiene dos

y teniendo en cuenta que se tiene que:

componentes: una tangencial

la dirección de

una normal . Las magnitudes de estas componentes son respectivamente y que

Notando que

y

[3-7]

coincide con la

dirección del vector ; se define Donde res la distancia perpendicular de vectorialmente la velocidad de A como la partícula al eje de rotación. [3-4] puesto que también

Ambas componentes están en el plano del movimiento. Esta es la razón por la cual el movimiento se puede considerar como un movimiento en el plano.

se puede generalizar que la derivada de un vector que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo es

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1 _2.htm

Movimiento alrededor de un eje fijo Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotación es el eje z. Sea A un punto del cuerpo rígido y su vector de posición, [Fig. 3-6]. Como se sabe, la velocidad de A, , es tangente a la trayectoria y ésta está contenida en un plano perpendicular al eje de rotación. El desplazamiento angular de la recta OA se denota por

y su velocidad angular por

.

(a)

(b) Figura 3-6

Al vector contenido en el eje de

[3-5]

, se le define como rotación el vector velocidad angular. Si la La aceleración de A es por definición rotación es en sentido antihorario vista desde el eje positivo, el vector velocidad angular se considera positivo, de otra forma es negativo. Cuando se considera una lámina representativa del cuerpo en rotación, sale del plano si es [Fig. 3-6b] positivo y entra si es negativo; como de la ecuación [3-5], de cualquier manera el vector se ve entonces como un punto, la velocidad angular se representa por medio de un arco circular indicando con una cabeza de [3-6] flecha el sentido de rotación. Sin embargo no se debe perder de vista que el vector velocidad angular entra o donde es la aceleración angular sale del plano del dibujo. del cuerpo. Volviendo a la figura 3-6a y

El vector aceleración angular tiene el

recordando que la velocidad de A es

mismo sentido de la velocidad angular si ésta aumenta y sentido contrario si tiende a disminuir. La ecuación [3-6] expresa que la aceleración de una partícula que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo tiene dos

y teniendo en cuenta que se tiene que:

componentes: una tangencial

la dirección de

una normal . Las magnitudes de estas componentes son respectivamente y que

Notando que

y

[3-7]

coincide con la

dirección del vector ; se define Donde res la distancia perpendicular de vectorialmente la velocidad de A como la partícula al eje de rotación. [3-4] puesto que también

Ambas componentes están en el plano del movimiento. Esta es la razón por la cual el movimiento se puede considerar como un movimiento en el plano.

se puede generalizar que la derivada de un vector que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo es

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1 _2.htm

MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO Es el movimiento de un cuerpo rígido que no puede clasificarse como Traslación Pura, ni como Rotación Pura. El movimiento general se asume una combinación simultánea de Traslación y Rotación. MOVIMIENTO GENERAL = TRASLACION + ROTACION (M.G. = T + R) Teorema de Chasle Cualquier movimiento general en el plano de un cuerpo rígido se explica como la combinación de dos movimientos más simples: Una traslación tomando como referencia un punto cualquiera del sólido y Una Rotación alrededor de dicho punto.

Movimiento general de un sólido rígido Un sólido fijo se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo. En la figura vemos que la posición del punto P del sólido es

rP=rc+R Donde C se refiere al centro de masas del sólido. El vector R que va del centro de masas al punto P es un vector cuyo módulo es constante.

Derivando la expresión anterior respecto del tiempo obtenemos

El primer término es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la velocidad del punto P respecto del centro de masas

Dado que el vector R tiene módulo constante, el único movimiento posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como vemos en la figura.

Así pues, el movimiento de un punto P del sólido lo podemos considerar como la suma de un movimiento de traslación del centro de masas más una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de masas. Movimiento de rodar sin deslizar El movimiento general de un sólido rígido, es la composición de un movimiento de traslación del centro de masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.

•

En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.

•

En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.

En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. El punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se debe de cumplir que vc=

R

La velocidad de traslación vc es igual a la velocidad de rotación rueda R.

por el radio de la

Calculamos la velocidad de cualquier punto P, que dista r del centro de una rueda de radio R, y que forma un ángulo φ, con la horizontal. Los ángulos se miden en sentido de las agujas del reloj, que es el sentido del movimiento de rotación de la rueda.

El módulo y el ángulo que forman con el eje horizontal X son, respectivamente

VELOCIDAD Y ACELERACION EN LA TRASLACION:

A, B: OXYZ:

Dos partículas arbitrarias del sólido. Marco referencia inercial o fijo a tierra en la posición mostrada

Correspondiente a un instante cualquiera t. _ RA: Vector posición de la partícula “A”. _ RB: Vector posición de la partícula “B”. _ RB/A: Vector definido por la recta que une A y B, o vector posición relativa de B Con respecto a “A”.

DESDE EL TRIANGULO VECTORIAL OAB: _ _ _ RB= RA+RB/A (1) Derivando (1) dos veces contra el tiempo: _ _ _ _ _ _ RB= RA+RB/A VB= VA+VB/A _ _ _ _ _ _ (2) RB= RA+RB/A Ab= Aa+Ab/a

EL VECTOR (RB/A) ES CONSTANTE PORQUE:

a) Lo es en magnitud (por definición de cuerpo rígido b) Lo es en dirección (por definición de traslación)

*

_ RB/A= constante

*

Sustituyendo en (2):

_ _ Ab = Aa _ _ Vb = Va

_ _ RB/A= VB/A=0 _ _ RB/A= Ab/a=0

En traslación en cualquier Instante todas las partículas Del cuerpo rígido tienen igual Velocidad e igual aceleración.

Desde el punto de vista Cinemática un cuerpo rígido Puede considerarse como una “MASA PUNTUAL” O “PARTICULA”

BIBLIOGRAFIA: Apuntes del profesor Manuel segura

TEOREMA DE OMEGA Aplicaciones graficas del teorema de omega

Análisis vectorial del teorema de omega

MOVIMIENTO DE ROTACION CON ACELERACION ANGULAR CONSTANTE Definición Matemática Está dada por:

Donde θ representa el ángulo que ha recorrido en función de t y ω la velocidad angular.

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento. Aceleración Constante Para todos los valores constantes del torque, τ de un cuerpo, la aceleración angular será también constante. Para este caso especial de aceleración angular constante, la ecuación producirá un definitivo valor para la aceleración:

. Rotación con aceleración angular constante En este ejercicio vamos a medir la aceleración del disco pesado cuando le aplicamos un torque externo. Ver la figura 5. El torque externo lo produce la tensión en una cuerda que sostiene a un objeto que cae, y está atada a un carrete en el eje de giro. Para calcular su valor usamos la definición τ = r × T. Ver la figura 6. El brazo de palanca, r, y la tensión en la cuerda, T, son perpendiculares entre sí por lo tanto τ 121 = rT, siendo r el radio del carrete donde se encuentra arrollado el hilo en el eje de giro y T, la tensión en el hilo que sostiene al objeto que cae

Figura 5 Aparato para el experimento de movimiento de rotación

Figura 6 Rotación del disco pesado con aceleración constante Por otro lado, τ = Iα, con I el momento de inercia del disco pesado y α, su aceleración angular. Obtendremos la gráfica de velocidad angular vs. tiempo y, de su pendiente, deduciremos la aceleración angular, α El análisis dinámico del sistema es el siguiente, T−mg= −ma donde T es la tensión en la cuerda y m, la masa del objeto que cae más la del porta pesas que lo sostiene. La aceleración, a, con la que el cuerpo cae, es la misma que la aceleración tangencial de cualquier punto en el perímetro del carrete, es decir, a = aT = αr. Por otro lado, como τ = Iα = r T = rm(g – a) = rm(g - αr) podemos despejar el momento de inercia I, y expresarlo en cantidades conocidas, o medidas en el experimento, por lo tanto,

I mr2( g/αr -1) Identificaremos este valor como el momento de inercia del disco pesado, medido en el laboratorio, mientras que al valor obtenido de la ecuación

I = ½ MR2,

Le llamaremos el momento de inercia teórico, o el valor que se reporta en la literatura. 122

Figura 7 El disco pesado, visto por abajo, tiene un carrete con la cuerda atada a él Movimiento circular uniformemente acelerado En este movimiento, la velocidad angular varía linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el móvil a una aceleración angular constante. Las ecuaciones de movimiento son análogas a las del rectilíneo uniformemente acelerado, pero usando ángulos en vez de distancias:

W2 = W0

2

+ 2α ( θ- θ0 )

W2 = W0

2

+2αθ

Siendo

la aceleración angular, constante.

GRUPO II – CIV-202 – SEC.: 10 Diaz Espinal, Dilenia Diaz M, Luis Encarnación Castillo, Esperanza Encarnación Gonzalez, Jhonathan Encarnación Sebastián, Yafreisy Estevez Howley, Miguel Estrella J, David Fabian Capellan, Jose Fernandez Cepeda, Juan Figueroa D, Yoryinell Firpo R, Ariel Furcal Guerrero, Denny Garden F, Amelia Gonzalez, Pedro David Grullon Gomez, Victor Guerra Capellan, Eury Herrera Contreras, Anabel Hughes Peña, Victor

BH7062 CB0730 BH1164 CC3202 BH0797 BH0384 BH2255 BB0273 BH0494 CA9071 CB1609 BH5254 BH0875 BE1172 (sec. 09) BH7840 AD9722 CB2855 BH1567

EJERCICIO # 1. El movimiento de un rotor, se define mediante la relación θ=8t³- 6 (t-2)², donde θ se expresa en radianes y t en seg. Determine: a) en que momento la aceleración angular es cero. b) la coordenada angular y la velocidad angular en ese momento. Parte a) La aceleración angular se obtiene buscando la segunda derivada de la ecuación de posición que en este caso dicha ecuación es θ=8t3-6(t-2)2 o la derivada de la velocidad angular la cual es la primera derivada de la ecuación posición. -Derivaremos la ecuación posición una vez para obtener la velocidad angular:

8t3-6(t-2)2 ω = 24t2-12(t-2) (1) ω = 24t2-12t+24 Si derivamos la velocidad angular ω = 24t2-12t+24 respecto del tiempo podemos encontrar la aceleración angular, veamos: =

24t2-12t+24 48t-12 Ya obtenida la ecuación de la aceleración angular en función del tiempo 48t12 procederemos a determinar lo que se nos pide en la parte a: es igual a Debemos determinar el momento t en el que la aceleración angular cero, es decir, debemos igualar la ecuación de la aceleración angular a cero y despejar el tiempo t, veamos: 48t-12 = 0 48t-12 = 0

t = _12_ 48 t = _1_ segundos 4

48t =12 La aceleración angular es cero en un tiempo de ¼ de segundos.

Parte b) La coordenada angular en el tiempo t = 1/4 segundos, se refiere a la posición que tenia el rotor en dicho tiempo. Para esto, sustituiremos t (tiempo en el que la aceleración angular se hace cero) en la expresión de la posición del rotor θ=8t36(t-2)2

θ=8t3-6(t-2)2 θ=8(1/4)3-6((1/4)-2)2 θ=8(1/4)3-6(-7/4)2 θ=8(1/64)-6(49/16) θ= (1/8)-(147/8) θ= -73/4 radianes θ= -18.25 radianes La velocidad angular en el tiempo t=1/4 segundos, se refiere a la velocidad que tenia el rotor en dicho tiempo. Para esto sustituiremos t (tiempo en el que la aceleración angular se hace cero) en la expresión de la Velocidad angular ω = 24t2-12t+24 ω =24t2-12t+24 ω =24(1/4)2-12(1/4)+24 ω =24(1/16)-12(1/4)+24 ω =24/16)-(12/4)+24 ω = (3/2)-3+24 ω =(45/2) radianes/segundos ω = 22.5 radianes/segundos

EJERCICIO # 2. El bloque rectangular que se muestra gira alrededor de la diagonal OA con velocidad angular constante de 6.76 rad./seg. Si la rotación es en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde A. Determine velocidad y aceleración del punto B en el instante indicado.

Datos: ω = 6.76 rad./seg. vb = ? αb = ? Solución: 1) Ubicar las coordenadas de los puntos que nos interesa. Tomando en cuenta que O es el origen tenemos que: Las coordenadas del punto A son: A (5,31.2,12) Las coordenadas del punto B son: B (5,15.6,0) 2) Trazar los radios vectores desde el origen a los puntos en cuestión.

ro/A = 5i+31.2j+12k ro/B = 5i+15.6j+ok 3) Determinar el vector unitario landa de ro/A: λ o/A = √ (5) + (31.2) + (12) = 33.8¨ 4) Determinar velocidad angular: ω = 6.76((5/33.8)i + (31.2/33.8)j + (12/33.8)k)

ω=

i + 6.42j + 2.4k

5) Determinar la velocidad en el punto B:

Vb = ω x ro/B Recordando que: ω=

i + 6.42j + 2.4k

ro/B = 5i+15.6j+ok Nota: Una posible solución para resolver esta multiplicación en cruz de vectores es utilizar el método de matrices o la regla de la mano derecha, en este caso utilizaremos es el método de las matrices.

Vb =

i

j

k

1

6.24

2.4

5

15.6

o

Vb = -37.4i + 12.0j -15.6k

(m/s)

6) Determinar la aceleración en el punto B:

αb = ω x vb

αb =

i

j

k

1

6.24

2.4

12.0

-15.6

-37.4

αb = -126.1i – 74.3j + 2.46k (m/s

)

EJERCICIO # 3. La fig. está compuesta por dos varillas y una placa rectangular BCDE soldadas entre si. El ensamble gira alrededor del eje AB con velocidad angular constante de 10 rad./seg. Si la rotación es en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde B. Determine velocidad y aceleración para la esquina E.

A (0,0.225,0) B (0.5,0,0.3) E (0.5,0,0)

rB/A = 0.5 i – 0.225 j + 0.3 k L AB = √ (0.5) + (0.22) L AB =0.625 mt. W=

W .

+ (0.3)

rB/A

L AB W=

10 . (0.5 i – 0.225 j + 0.3 k) 0.625

W = 8 i – 3.6 j + 4.8 k

rE/B = - 0.3 k VE = W *

rE/B

aE = W * VE

MOVIMIENTO PLANO GENERAL. Es un movimiento plano que no es ni una traslación ni una rotación. Sin embargo un movimiento plano general siempre puede considerarse como la suma de una traslación y una rotación.

VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO:

VB = VA + VB/A

VB = VA + VB/A

VB = VA + WK * rB/A

VA = VB + VB/A

EJEMPLO # 1:

La varilla AB puede deslizarse libremente a lo largo del piso y el plano inclinado. En el instante que se muestra la velocidad del extremo A es de 4.2 pie/seg. hacia la izquierda. Determine la velocidad angular de la varilla y la velocidad del extremo B de la varilla.

Sen β = _12_ ; β = 36.87° 20 tag θ = _12_ 5

; θ = 67.38°

VA = 4.2 pie/seg. VB/A = r WAB = _ 20 _ WAB 12

VB = VB

VB = VA + VB/A

ø = 180 – θ – (90° - β) ø = 59.49

Ley de los senos: VB = VB/A = Sen θ sen (90°-β)

VA _ sen ø

EJEMPLO # 2:

Si el disco tiene velocidad angular constante de 15 rad/seg en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular de la barra BD y la velocidad del collarín D cuando: a) θ = 0° b) θ = 90° c) θ = 180°

WA = 15 rad/seg AB = 2.8”

VB = AB WA = 2.8 (15) VB = 42 pulg / seg

a) θ = 0° VD = VB + VD/B

Sen β =

2.8__ » β = 16.26° 10

Cos β = __VB__ VD/B Cos β = __VB__ VD/B

»

VD/B = ___42____ cos (16.26)

VD/B = 43.75 pulg./seg.

VD/B = DB WDB » WDB =

VDB DB

_

=

43.75 _ 10

WDB = 4.38 rad/ seg tg β =

VD _ VB

»

VD = VB tg β = 12.25 pulg/seg

b) θ = 90°

Sen β = _5.6_ » β = 34.06 10 VD = VB + VD/B VD/B = 0 VD = VB = 42 pulg/seg.

c) θ = 180°

VB = 42 m/seg Sen β = _2.8_ » β = 16.26° 10

Cos β = __VB__ » VD/B = 43.75 VD/B Cos β = ____ 42 ___ Cos (16.26°) WDB = __VD/B__ = _43.75_ 10 DB VD = tg β VB VD = 12.25 pulg/seg.

»

WDB = 4.38

EJEMPLO # 3:

Si en el instante mostrado la velocidad angular de la varilla BE es de 4rad./seg. en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine: a) La velocidad angular de la varilla AD b) La velocidad del collarín D c) la velocidad el punto A

Barra BE: VE = 0 VB =

rB/E WBE

VB = (192) (4) = 768 mm/seg. Barra ABD: VD = VD VD

»

VD = VB + VD/B

= 768 + 360 WAD

a) Sen 30° = __VB__ VD/B Sen 30° (360 WAD) WAD = 4.27 rad./seg.

b) 768 = VD tg 30° VD = 1330 m/seg.

c) VA/B = AB WAB ; WAB = WAD VA/B = 240 (4.27) = 1024mm/seg. VA = VB + VA/B VA = 768 + 1024 = 1557 mm/seg.

EJEMPLO # 4:

En la posición que se muestra en la barra AB tiene velocidad angular de 4rad./seg. En el sentido de la manecilla del reloj. Determine la velocidad angular de la barra BD y DE.

› La barra AB esta en rotación para alrededor de A VB = WAB * rB/A = (-4k) * (-0.25)j VB = -1.0 m/s i › La barra ED en rotación en E VD = WDE k * rD/E VD = WDE k * (-0.07i – 0.15j) VD = 0.15 WDE i – 0.07 WDE j › La barra BD: traslación con B + rotación en B = WBD k * 0.2 i VD/B = WBD k * rD/B VD/B = 0.2 WBD j VD = VB + VD/B 0.15WDE i – 0.07 WDE j = -i + 0.2 WBD j En i : 0.15 WDE = -1.0 » WDE = -6.667 rad -0.075 WDE = 0.2 WBD WBD =

-0.075 (-6.667) 0.2

=

2.5 rad/seg.

EJEMPLO # 5:

En el instante que se muestra, la barra tiene velocidad angular constante de 35rad/seg., horario. Determinar para este instante: a) La velocidad angular de la placa rectangular. b) En punto sobre la placa FBDH con velocidad cero.

» La barra DE en rotación alrededor de E WDE = 35 rad/seg. VD = rD/E WDE = 8 (35) = 280 pulg./seg. » La barra AB, rotación alrededor de A VB = VB

VB = 8 WAB

Placa EDHF, movimiento plano general; referenciado al punto D VB = VD + VB/D

__VB/D__ = ___VD__ Sen 90° Sen 30°

VB/D = __280__ = 560 pulg/seg Sen 30°

WBDHF = __VD/B__ = __560__ = 35 rad/seg LDB 16 b) El punto con velocidad cero es :

= __VD__ WBDHF

= __280__ = 8” 35

Encima del punto D

CENTRO INSTANTANEO DE ROTACION En El Movimiento Plano Cuando un cuerpo está en movimiento plano general. Existe un punto del cuerpo o fuera del cuya velocidad es cero, dicho punto se llama centro instantáneo de rotación (CIR). Localizado el centro instantáneo de rotación, todas las velocidades podrán calcularse, asumiendo rotación pura alrededor de dicho punto. Como el CIR cambia de un instante a otro, por tanto su aceleración no es cero; siendo imposible el cálculo de aceleración asumiendo rotación pura alrededor del CIR. El centro instantáneo de rotación, referido al movimiento plano de un cuerpo, se define como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula. Para localizar el CIR: • Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación.

• Si el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.

• Si el cuerpo realiza un movimiento general el centro instantáneo de rotación se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro (de ahí que se llame centro instantáneo de rotación). Su posición se puede

conocer en cada instante por intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus puntos.

Rotación Del Solido Rígido Rotación de un sólido rígido se da cuando la trayectoria de todos los puntos de dicho sólido son circunferencias situadas en planos paralelos y cuyos centros se alinean sobre una misma recta o eje de rotación

En la figura anterior se muestra en línea azul la trayectoria circunferencial de un punto P perteneciente a un sólido rígido que describe un movimiento de rotación alrededor del eje de rotación OZ.

Traslación Del Solido Rígido

La traslación de un sólido rígido se da cuando cualquier recta del sólido permanece en la misma dirección durante el movimiento.

De este modo, si observamos la figura anterior se cumple, para los vectores de posición de los puntos A y B que:

Y por tanto las velocidades de dichos puntos:

El último término del sumando de la ecuación anterior se anula ya que se trata de la derivada de un vector de módulo constante (condición de sólido rígido) y de dirección también constante (movimiento de traslación). Por tanto:

Así, la traslación también se puede definir como el movimiento del sólido rígido en el que todos los puntos del mismo se mueven con la misma velocidad en todo instante y por lo tanto la trayectoria de todos los puntos es la misma.

Ejemplo anterior usando CIR:

Ø = arc tan (150/75)

ø =63.44

180-(63.44+90) = 26.56

BD/sen 26.56 = CD

CD = 200/(0.45) = 444.4 mm

BC/sen 63.44(CD) BC= 0.895(444.4) = 397.7 mm

VB= WAB (AB) VB= 4rad/seg (0.25) = 1m/s VB = WBD (BC) ---> WBD= VB/BC

WBC= 1m/ (0,3977m) = 25. 14 rad/seg. VD= WBD (CD) = 25.14(1.04444m) VD= 1.117m/s

WDE= VD/ED= 1.117 m/s / (0.1677) = 6.66 rad/seg. USANDO CIR: Ejemplo Anterior Vd = WDE x ED

Vd = WBD x CD

=

35 rad/seg x 8” =

280 pulg/seg

-> WBD = Vd/CD

Wbd = 280/8 = 35 rad/seg Wbd = Wbdhf El punto con velocidad cero es: Vd/Wbdhf D, es el punto fijo en este instante, solamente

Ejemplo: .-Si en el instante mostrado la velocidad angular de la barra DC es de 18 Rad/Seg. en sentido contrario al de las manecillas del reloj, Determine: A) La velocidad angular de la barra AB B) La velocidad angular de la barra BC C) La velocidad del punto medio de la barra BC

A 30

0.20"

C B

30

D

A

0.10

"

0.1 0"

WAB 30

B YB

30

VC

P

30

60 30

60

C 60

30

WCD

PC= 10” CD= 10” θC= 60º IP= 10”

VC= (WCD)*(CD) VC= (18)(10)= 180 In/seg

VB= (WBC)*(IB)

VB= (18Rad/Seg)*

CIR=(I)

IC= 10”;

IB= (300^2)=17.32

WBC= (VC)/(IC)=(180IN/Seg)/(10IN)=18Rad/Seg VB=(18Rad/Seg)*(17.32)=311.76In/Seg

VP= (WBC)*(IP)=(18Rad/Seg)*(10”)=180

ACELERACION ABSOLUTA

Y

RELATIVA

EN EL MOVIMIENTO:

Plano General Vamos a analizar ahora el movimiento de un sistema rígido aplicando una metodología distinta a la vista recientemente. Para ello analizaremos el movimiento del sólido respecto de una terna que se mueve con respecto a otra considerada fija y a la cual se desea referir el movimiento. A la terna "fija" la llamamos absoluta y a la móvil, de arrastre siendo

el

vector rotación absoluta de la terna móvil y la velocidad de dicho punto también absoluta, pueden distinguirse 3 movimientos:

1) Movimiento Relativo: es el movimiento del sistema rígido con respecto a la terna de arrastre como si ésta estuviese fija.

2) Movimiento de Arrastre: Es el movimiento del sólido como si estuviera solidariamente unido a la terna móvil y ésta lo "arrastrase" en su movimiento. 3) Movimiento Absoluto: Es el movimiento del sistema rígido respecto de la terna absoluta como consecuencia de la simultaneidad de los dos movimientos anteriores. Habrá siempre un movimiento absoluto y uno relativo pero puede haber muchos de arrastre según las ternas que se intercalen; todos ellos pueden reducirse a uno solo por composición de movimientos. Notar

que

es

la

velocidad

de

rotación

de

los

ejes

mientras que la velocidad de rotación del sólido es (ambas absolutas). Tomemos un punto P del sólido y analicemos cuál sería su velocidad con respecto a la terna absoluta como consecuencia de los movimientos relativos y de arrastre. Será: (19) derivando con respecto al tiempo:

(19’)

pero siendo vectores de posición con respecto a la terna absoluta, sus derivadas temporales darán las velocidades de P y 01 respecto del sistema absoluto; Con respecto a los 3 últimos sumandos del lado derecho de la igualdad, pueden aplicarse las fórmulas de Poisson, obteniéndose:

Por lo tanto y teniendo en cuenta que los 3 primeros sumandos representan la velocidad de P como si la terna móvil estuviese quieta: (20) donde:

= velocidad absoluta de P

= velocidad relativa de P = sería la velocidad de P como si éste fuese arrastrado por la terna móvil (velocidad de arrastre); así, rotaría con reducción del movimiento. Luego:

y 01 sería el centro de

(20’) Es decir que la velocidad absoluta de un punto cualquiera de un sistema rígido resulta de la suma de sus velocidades de arrastre y relativa. Veamos ahora qué ocurre con la aceleración; derivamos dos veces la expresión (19):

(21)

resolvamos el primer paréntesis:

=

= el segundo paréntesis nos da: ; por (20)

= Reemplazamos en (21) (22) donde:

aceleración absoluta de P Aceleración relativa de P es la forma impropia de la ley de distribución de

aceleraciones en un sistema rígido (tal como si éste fuese arrastrado por la terna móvil) y se denomina aceleración de arrastre. Aceleración complementaria o de Coriolis, aparece por la rotación de los ejes de la terna móvil y representa la diferencia en aceleración de P como si fuera medida a partir de unos ejes (0,i,j,k) no giratorios y de otros (01, i1, j1, k1) giratorios, ambos con origen en 01. Se anula si no hay rotación o bien si no

hay movimiento relativo y también en los movimientos helicoidales permanentes donde Así resulta:

(22’)

Ejemplo: La barra de la figura rota en 0 con ω = 3t + 1 mientras que el punto P se desplaza sobre la barra con una ley r = 4 t2 + 4. Encontrar la velocidad y aceleración absolutas de P respecto del sistema

y graficar los vectores.

Solución Adoptemos una terna móvil de origen 01 ≡ 0 y con su eje es decir rotando con

y Luego

Así:

;

fijo a la barra,

Obsérvese que

está en

por lo tanto actúa sobre el módulo de

y sobre la dirección

Diag. De Velocidades

Diag. De Aceleración

• El primer plano pasa por el circulo de aceleraciones en un análisis de velocidad, con el objetivo de conocer y/o calcular todas las velocidades angulares(W); ya que estas velocidades, aparecen en la ecuación de aceleración.aB= aA+ a

b/a

• El método geométrico no es muy práctico pues la ecuación de aceleración consta de cuatro (4) términos; por lo que no representa un triangulo vectorial: aA= aB+ a

A/B

Movimiento En Plano General a. Velocidad Aceleración

Vectorial Si Si

MOVIMIENTO EN EL PLANO GENERAL Geométrico CIR Si Si o no

Ejemplo.

Los collarines B y D se conectan por medio de pasadores a la barra ABD y pueden deslizarse a lo largo de varillas fijas. En el instante que se muestra, la velocidad angular de la barra ABD es de cero y su aceleración angular es de 12 rad/seg2 en el sentido de las manecillas del reloj. Determine a) la aceleración del punto D; b) la aceleración del punto B y c) la aceleración del punto A.

si no

WABD= 0;

αABD= α= 12 rad/ seg2

en sentido horario.

AB= AD + AB/D AB= AD + AB/Dot + AB/Dn

Para AB: Observar diagrama, punto B.

Para AD: AD Para AB/D: Relativa. Observar diagrama.

De donde:

AB/Dt

AB/Dn Componentes:

(+)

AB cos 60°= AD + AB/Dt cos 60° + AB/Dn cos 30° AB cos 60°= AD + αBD rDB cos 60° + W2BD rDB cos 30°

AB cos 60°= AD + 12 (0.45) cos 60° - (0) (0.45) cos 30° AB cos 60°= AD + 12 (0.45) cos 60°

(+) 

- AB sen 60°= 0 + 12 (0.45) sen 60° AB=- 5.4 m/seg2

AD= AB cos 60° - 5.4 cos 60° AD= - 5.4 cos 60° - 5.4 cos 60° AD= - 5.4 m/seg2 AD= 5.4 m/seg2

AB= 5.4 m/seg2

c) AA= AD + AA/Dt + AA/Dn

= 5.4 + 12 (0.9)

(+)

AA= - 5.4 + 10.8 cos 60° AA= 0

+ (0) (0.9)

(+)

An= 0 + 10.8 sen 60° An= 9.35 m/seg2

αAB= 0 AB= AA + AB/A AA= 0

De donde:

AB= AB/A= αAB AB + W2AB AB

AB= 0 + [(200) (4)2]

AB= 3,200 mm/seg2

AB= At + An

AD/B= [(BD) αBD

AD= AB + AD/B

At= 0

] + [(BD) WBD]

EJEMPLO: BARRA AB W, CONSTANTE, 4 RAD/S     

  Determinar:     αBD:    αDE    Tg β = 60/120  β = 26.565    DE= 120/cos β = 134.16 mm    VB= (AB) WAB  =    VB= VB ← (200) (4) = 800 mm/s  VD=VD  C, es el centro instant. Rot.  Barra BD  BC= BD/tg β  = 160/ tg β     = 320 mm.    CD= BC/cosβ   =  357.77 mm  W BD = VB/BC  = 800/320  =  2.5 Rad/s 

RAZON DE CAMBIO DE UN VECTOR CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACION

**Fuente: Imágenes del libro de Beer y Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica, 5ta. ed. • • • •

OXYZ, Sistema de referencia fijo. Oxyz, Sistema de referencia que gira alrededor del eje fijo OA. Ω, velocidad angular del sistema Oxyz. Q, vector fijo en O.

Considerar una función vector Q (t): −

Razón de cambio respecto a OXYZ.

−

Razón de cambio respecto a Oxyz.

Objetivo: Determinar la relación que existe entre estas dos razones de cambio. Componentes de Q, respecto al sistema de referencia rotatorio: Q=Qxi+ Qyj+ Qzk Talque: Qoxyz= Qxi+ Qyj+ Qzk Para el sistema fijo Oxyz, hay que considerar a i, j, k, como variables. Talque: Qoxyz= Qxi+ Qyj+ Qzk + Qx (di/dt) + Qy (dj/dt) + Qz (dk/dt) Talque: Qx (di/dt) + Qy (dj/dt) + Qz (dk/dt)= Talque:

=

ΩxQ

= Ω+Q

CONCLUSION: la razón de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia fijo OXYZ se compone de dos partes:

Primera parte: razón de cambio respecto Oxyz rotatorio Segunda parte: se induce por la rotación del sistema de referencia Oxyz.

MOVIMIENTO PLANO DE UNA PARTICULA, RELATIVA AUN SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACION. Aceleración De Coriolis Efecto Coriolis

**fuente: www.wikipedia.com Una bolita se mueve sin fricción sobre un plato de sección parabólica que está girando a velocidad constante. La gravedad tira de la bolita hacia el centro con una fuerza directamente proporcional a la distancia respecto a éste. La fuerza centrífuga (o, mejor dicho, la ausencia de fuerza centrípeta) tira de la bolita hacia afuera. La conservación del momento angular cambia la velocidad angular de la bolita cuando ésta se mueve hacia dentro (acelera) y hacia afuera (frena). También puede expresarse diciendo que, para mantener su velocidad líneal, la bolita cambia su velocidad angular al variar la distancia respecto al eje. En cualquier caso, la magnitud subyacente es la inercia y la desviación que sufre la bolita con respecto a la dirección de los radios es el efecto Coriolis. Izquierda: El movimiento observado desde un punto de vista externo (movimiento verdadero). Derecha: El movimiento visto desde un punto de vista solidario con el sistema inercial. El efecto Coriolis, descrito en 1835 por el científico francés GaspardGustave Coriolis, es la aceleración relativa que sufre un objeto que se mueve dentro de un sistema de referencia no inercial en rotación cuando varía su distancia respecto al eje de giro. El efecto Coriolis hace que el objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotación tienda a acelerarse o a frenarse con respecto a ese disco según si el movimiento es hacia el eje de giro o alejándose de éste, respectivamente. Por el mismo principio, en el caso de una esfera en rotación, los movimientos de un objeto sobre los meridianos resultan afectados por esta fuerza ficticia, ya que dichos movimientos reducen o hacen crecer la distancia respecto al eje de giro. Como el objeto se acelera (en relación con el marco de referencia no inercial) sin que se le aplique ninguna fuerza, a veces el efecto Coriolis se denomina fuerza de Coriolis, y en ese caso se aclara que se trata de una fuerza ficticia.

La magnitud física subyacente al efecto Coriolis es la inercia del cuerpo denominada conservación del momento angular, en el caso de cuerpos girando alrededor de un eje-, que hace que la aceleración que tiene el marco de referencia (el giro implica una aceleración puesto que el vector velocidad varía de forma continua), al no ser aplicada al cuerpo, produzca la apariencia de que éste se está acelerando absolutamente. En términos más rigurosos, se denomina fuerza de Coriolis a la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo para que no modifique su velocidad angular cuando varía su distancia respecto al eje, es decir, la fuerza que hay que ejercer para que el efecto Coriolis no se manifieste. Esto es análogo al caso de la fuerza necesaria para que un cuerpo con una distancia fija respecto al eje la mantenga, fuerza que se denomina fuerza centrípeta y cuya ausencia produce la apariencia de fuerza (o fuerza ficticia), llamada fuerza centrífuga. Un Ejemplo Canónico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un obús desde el Ecuador en dirección norte. El cañón está girando con la tierra hacia el este y, por tanto, imprime al obús esa velocidad (además de la velocidad hacia adelante de la carga de impulsión). Al viajar el obús hacia el norte, sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad líneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente. La inercia del obús hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que, por tanto, adelante a los puntos que sobrevuela. Si el vuelo es suficientemente largo (ver cálculos al final del artículo), el obús caerá en un meridiano situado al este de aquél desde el cual se disparó, a pesar de que la dirección del disparo fue exactamente hacia el norte. Análogamente, una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentará su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya. Finalmente, el efecto Coriolis, al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias, induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo. Introducción La fuerza de Coriolis es una fuerza ficticia que un observador de un sistema en rotación a velocidad angular constante ve actuar sobre un cuerpo, cuando éste está en movimiento con respecto al sistema en rotación. La fuerza de Coriolis no incluye la fuerza centrífuga. La fuerza de Coriolis siempre es perpendicular a la dirección del eje de rotación del sistema y a la dirección del movimiento del cuerpo vista desde el sistema en rotación. La fuerza de Coriolis tiene dos componentes: • una componente tangencial, debido a la componente radial del movimiento del cuerpo, y • una componente radial, debido a la componente tangencial del movimiento del cuerpo. La componente del movimiento del cuerpo paralela al eje de rotación no engendra fuerza de Coriolis. El valor de la fuerza de Coriolis

es:

donde: • es la masa del cuerpo. es la velocidad del cuerpo en el sistema en rotación . • es la velocidad angular del sistema en rotación vista desde • un sistema inercial. indica producto vectorial. • Demostración por conservación del momento angular Recordemos que cuando un observador en un sistema no inercial, como lo es un sistema en rotación, trata de comprender el comportamiento de su sistema como si fuese un sistema inercial, ve aparecer fuerzas ficticias. En el caso de un sistema en rotación, el observador ve que todos los objetos que no están sujetos se alejan de manera radial como si actuase sobre ellos una fuerza proporcional a sus masas y a la distancia a una cierta recta (el eje de rotacion). Esa fuerza es la fuerza centrífuga que hay que compensar con la fuerza centrípeta para sujetar los objetos. Por supuesto, para un observador externo, situado en un sistema inercial (sistema fijo), la única fuerza que existe es la fuerza centrípeta, cuando los objetos están sujetos. Si no lo están, los objetos tomarán la tangente y se alejarán del eje de rotación.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, la velocidad (en negro) de un punto puede descomponerse en una velocidad radial (en magenta), una velocidad axial (en azul) y una velocidad tangencial (en verde). Si los objetos no están inmóviles con respecto al observador del sistema en rotación, otra fuerza ficticia aparece: la fuerza de Coriolis. Visto del sistema en rotación, el movimiento de un objeto se puede descomponer en una componente paralela al eje de rotación, otra componente radial (situada sobre una línea que pasa por el eje de rotación y perpendicular a éste), y una tercera componente tangencial (tangente a un círculo centrado en el eje y perpendicular a éste) (ver dibujo). Un objeto que se desplaza paralelamente al eje de rotación, visto de un sistema fijo, gira con el sistema en rotación a la misma velocidad angular y radio constante. La única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza centrípeta. El observador del sistema en rotación sólo ve la fuerza centrífuga contra la cual hay que oponerse para que se quede a la misma distancia del eje.

Cuando se reduce el radio de rotación de un cuerpo sin aplicar un torque, el momento angular se conserva y la velocidad tangencial aumenta. En cambio, si se obliga el cuerpo a conservar la misma velocidad angular, la velocidad tangencial disminuye. El dibujo está visto desde un sistema fijo (inercial). Supongamos que un observador en el sistema en rotación mantiene una masa a una distancia del eje de rotación mediante un hilo de masa despreciable. El observador tira del hilo y modifica ligeramente el radio de rotación . Eso le ha tomado un tiempo . Como se trata de un hilo y no de la masa de puede crear torques, el momento angular de la masa se conserva. Si llamamos la velocidad tangencial de la masa, la conservación del momento angular nos dice:

El signo menos indica que cuando el radio aumenta la velocidad tangencial disminuye. Si la masa se moviese siguiendo una trayectoria radial, fija con respecto al sistema en rotación, conservando en consecuencia la misma velocidad angular del (o sistema en rotación, su velocidad lineal habría aumentado de es negativo). Para un observador fijo, entre la velocidad de la disminuido, si masa que se ve obligada a seguir una trayectoria radial y la velocidad de la masa que conserva su momento angular hay una diferencia de:

Como el objeto no está sujeto al sistema en rotación, el observador en ese . Eso lo interpreta como la sistema ve la masa tomar una velocidad lateral aplicación de una fuerza lateral (de Coriolis). Si el cambio de velocidad tomó segundos, la aceleración de Coriolis será (en valor absoluto): , donde Coriolis) de:

es la velocidad radial. Esa aceleración corresponde a una fuerza (de

Ocupémonos de un objeto con velocidad tangencial vista por el observador en el sistema en rotación. Esta vez, la misma masa tenida por un hilo tiene una velocidad angular diferente del sistema en rotación. Para el observador en el sistema en rotación, las fuerzas que ve aplicadas a la masa para que siga una

trayectoria circular son: la fuerza centrífuga

que ve aplicada en todos los

objetos, más la fuerza centrífuga debido a la rotación aparente de la masa . Pero eso no basta. Hay aún otra fuerza aparente, y es precisamente la fuerza de Coriolis. Calculemos la fuerza centrípeta que ve un observador fijo. La velocidad . Para este observador, la fuerza centrípeta que tangencial que ve es mantiene la masa a distancia constante es:

El primer término es la fuerza centrífuga común a todos los objetos que giran con el sistema en rotación. El tercero es la fuerza centrífuga debida a la rotación de la masa con respecto al sistema en rotación. Y el segundo término es la fuerza de Coriolis. Es un término suplementario debido al hecho de que la fuerza centrífuga depende del cuadrado de la velocidad tangencial y no puede obtenerse sumando las fuerzas centrífugas debido a velocidades parciales. La fuerza de Coriolis es:

Como hemos dicho, esa fuerza es radial. Demostración por la derivación en base móvil Para esta demostración utilizaremos el subíndice abs para indicar magnitudes vistas desde el sistema de referencia inercial, es decir, uno donde el espacio sea homogéneo e isotrópico y donde el tiempo sea constante. El subíndice rel (relativa) se refiere a magnitudes vistas desde una referencia no galileana o no inercial. El subíndice ar (arrastre) hace referencia al movimiento de la base móvil respecto a la base fija. También es necesario conocer cómo se deriva en una base móvil:

Una aceleración es un cambio en la magnitud o en la orientación de la velocidad. Para esa demostración consideraremos un movimiento que no varía la magnitud de su velocidad, es decir, que no está sometido a fuerzas que tengan alguna componente en la dirección del movimiento. Entonces:

Por una parte:

Por otra:

Donde:

Como no consideramos el movimiento alrededor del Sol, sino sólo el giro de la tierra en torno a si misma:

Además, como estamos imaginando un movimiento sin aceleración relativa (como un proyectil):

La cosa queda así:

Pero:

Entonces:

Volviendo al principio:

La aceleración de Coriolis es el primer sumando:

La aceleración centrípeta es el segundo:

Ver Coriolis Gráficamente Como Ω, es un vector normal al plano de movimiento y en consecuencia a Vp/F, la magnitud de la aceleración de coriolis

ac=2 Ωx Vp/F

90º

A continuación, se explican los efectos de la aceleración de Coriolis y la centrífuga, sobre el movimiento de un cuerpo que cae verticalmente en el hemisferio Norte desde una altura h. Supondremos que el observador está en un sistema NO inercial, en rotación solidariamente con la Tierra. En el capítulo Dinámica Celeste se dará una explicación de los efectos de la aceleración de Coriolis desde el punto de vista de un observador inercial.

Aceleración de Coriolis La fórmula de la aceleración de Coriolis es Ac=-2

v

Donde w es la velocidad angular de rotación del planeta, y v es la velocidad del cuerpo medida por el observador no inercial. El ángulo es la latitud del lugar considerado situado en el hemisferio Norte.

Como podemos apreciar en la figura de más abajo, el vector velocidad angular forma un ángulo igual a la latitud con la dirección Norte-Sur en el plano local La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte está dirigida hacia el Este y su módulo es ay=2

v·sen (90+ ) =2

v·cos

A lo largo del eje Z la aceleración es la de la gravedad az=g En el plano local tenemos la composición de dos movimientos •

Uniformemente acelerado a lo largo del eje Z

•

Acelerado (aceleración variable) a lo largo del eje Y

Se ha supuesto que el cuerpo parte del reposo desde la posición z=h, y=0. La aceleración de Coriolis de un cuerpo que cae es máxima en el ecuador =0º y es nula en los polos =90º En el polo coinciden las direcciones de los vectores velocidad angular de rotación y la velocidad v del cuerpo que cae, el producto vectorial de ambos vectores es por tanto, cero.

COLABORADORES Nombres Y APELLIDOS Patricia Marrero Yeison Mateo Marlix Martínez Santana Carmela Moya José R Lebreault Grecia Moreno Emil Inoa Oscar Mena Yajar Medina Eladio Medina Gabriel Mejía Ramírez Joel Macea Alfri López Jonathan Luperon

Matricula CF-6586 CF5640 CH6972 DC6885 DC7077 BH3208 CB2634 BH5485 BB2969 CF6411 DC4716 BI8938 BH2606

SECCION 10 10 10 10 10 10 10 10 09 10 10 10 10

el collarin E, se desliza hacia el punto A con velocidad relativa constante de 3 m/s a lo largo de la Varilla AB, la cual gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a velocidad angular constante de 15 rad/seg. Para el instante mostrado; determine la velocidad angular y la aceleración angular de la varilla de:

VE = 3 m U = 3m

s

s

velocidad relativa

*

u=0 Wab = 15 rad s ∴α ab = 0 ∴VE´ = (0.4) sen450 VE´ = rAE .WAE = 4.24m / s

Como

α ab = 0 , sólo tenemos (aE´ )n

(aE´ )t = 0

(aE´ ) = Wab 2 .rAE = (15) 2 (4sen450 ) = 63.64 m s

El collarin E, se desliza enana barra AB que rota alrededor de A.

VE = VE´ + VE / AB = 4.24 + 3 ↓ Coriolis = 2 WabU

= (2)(15)(3) = 90m / s

ac = 90m / s → 2

[ ]

aE = aE´ + aab + ac = 63.64 ↓ + Ú ↓ + 90 = 63.64 ↓ +90 Barra de WDE

y

α DE

hay que arreglar la imagen Movimiento plano = traslación en E + rotación alrededor de E

VD = VE + VD / E

VD = 4.24 + 3 ↓ +0.4WDE VD / E = WDE .rED Componentes

0 = −3 − 0.4WDE sen45o ∴WDE = −10.61 rad

s

aD = aE + aD / E = aE + (aD / E )t + (aD / E ) n aD = 63.64 ↓ +90 → +0.4α DE a 45º bajo la horizontal + 0.4WDE a 45º sobre la 2

horizontal Componentes:

0 = 63.64 − 0.4α DE sen45o + 0.4(−10.61) 2 sen45o 0 = 63.64 − 0.2828α DE + 31.82 31.82 = −112.52 rad 2 s 0.2828 ∴ wDE = 10.61 rad s α DE = 112.5 rad s ∴α DE = −

VE

= 3m / s const. AB

w AB = 15 rad const. s α AB = 0 ⎛o⎞ ⎛o⎞ VP = ⎜ r ⎟ = Ω xr + ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ oxy ⎝ ⎠ oxy VP = VP `+VP / F a P = aP `+ a P / F + ac o

**

*

= Ω xr + Ω x (Ω xr ) + r oxy + 2Ω x ( x) oxy

MOVIMIENTO ROTACIONAL

aE

AB

(

= wAB • AE = 15 rad

) • (0.4)sen45 s 2

a E ` = 63.63m / s 2 ↓ VE ` = wAB (0.4) sen45o = 4.242m / s a P = a P ` + a P / F + ac ac = 2ΩVE

= 2(15)(3m / s ) = 90m / s 2 → AB

VE = VE ` + VE

AB

VE = 4.242 m ← + 3 m s s a E = a E ` + aE + aC AB

a E = 63.63 m

s2

↓ +90 m

s2

→

o

BARRA DE: MOVIMIENTO PLANO GENERAL. Traslaciòn + rotaciòn.

Giro alrededor del punto E.

∴VD = VE + VD aD = aE + aD

E

E

a D = a E + ⎛⎜ aD ⎞⎟ a 45o sobre la horizontal ⎝ E ⎠N + ⎛⎜ aD ⎞⎟ a 45o bajo la horizontal ⎝ E ⎠T Componentes.

∴VD = VE + VD aD = aE + aD

E

E

a D = aE + ⎛⎜ aD ⎞⎟ a 45o sobre la horizontal + ⎛⎜ aD ⎞⎟ a 45o bajo la horizontal ⎝ E ⎠T ⎝ E ⎠N VD = 4.242m / s ← +3m / s ↓ + wDE (0.4) a 45o bajo la horizontal 0 = −3 − wDE (0.4) sen45o ∴ wDE = −

3 = −10.61 rad seg 0.4 sen45o

a D = 63.63 ↓ +90 → + wDE ED a 45o sobre la horizontal + α DE*ED a 45o bajo la horizontal 2

a D = 63.63 ↓ +90 → +45.03 a 45o sobre la horizontal + 0.4α DE a 45o bajo la horizontal 0 = −63.63 + 45.03sen45o − 0.4α DE sen450 ∴α DE = −

31.79 = −112.41 rad seg 2 0.4 sen45o

La barra AB gira en el sentido de las manecillas del reloj con velocidad angular constante de 8 rad/seg. Y la varilla EF gira en el sentido de las manecillas del reloj con velocidad angular constante de 6 rad/s, para el instante mostrado, determine a) la velocidad angular de la barra BD, b) la velocidad relativa del collarin D, respecto a la varilla EF. IMAGEN 4 Barra AB: Rotación alrededor de A.

wAB = 8 rad ↵ s VB = wAB * AB = 8 *12 = 96in / seg

Varilla EF: Sistema referencial en rotación:

VD´ = wDE * ED = 6 x 12 = 72 rad ← s α DE = 0 ∴ ⎛⎜ aD ⎞⎟ = 0 ⎝ EF ⎠T Asumir velocidad relativa

VD

=?↑ EF

Barra BD: Movimiento Plano General. Asumir wBD en sentido horario Velocidad

∴VD = VB + VD

B

VD = 96m / s → + wDB * BD cos θ → + wBD * BD senθ VD = 96m / s → +12 wDB → +24 wDB ↑ Collar D: deslizamiento velocidad relativa ↑

VD = VD ` + VD

EF

VD = 72m / s ← +VD / EF

Componentes:

ε rotación

barra EF con

+

96 + 12 wBD = −72 24 wBD = VD ∴ VD

EF

= 24(−14) = −336 In EF

s

∴ wBD = 14 rad ↵ s ft ∴VD = 28 ↓ seg EF Movimiento de (tridimensional).

un

cuerpo

rígido

en

el

espacio:

I) Movimiento de un cuerpo rígido en un punto fijo: El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un punto fijo es una rotación alrededor de un eje que pasa por el punto. Así, la distancia (r) desde el punto fijo (O) hasta cualquier partícula P del solido es la misma en cualquier posición del cuerpo rígido, por tanto la trayectoria del movimiento de P, está en la superficie de una esfera de radio r, centrada en O. El eje de rotación cambia de dirección en cada instante y por tanto dos o más rotaciones infinitesimales en torno a ejes diferentes equivalen a una sola rotación resultante en torno a un eje que pasa por el punto fijo (teorema de Euler).

w = w w =

α =

La aceleración angular

α

*

θ

1

+ w =

2

dθ dt

d w = dt

*

w

representa cambios simultáneos en la magnitud y

dirección de la velocidad angular ( w ), y por tanto ( α ) no tiene la dirección del eje instantáneo de rotación. En cualquier instante:

Vp = V = w× r a p = a = α × r + w × w× r Al calcular ( α ), puede ser útil usar la extensión del teorema Omega: *

α = ( wOXYZ ) = ( w)OXYZ + Ω × w

donde

Ω,

velocidad angular del marco rotatorio OXYZ. Movimiento general:

es

la

VB = VA + VB

A

La velocidad de B, VB relativa al sistema de referencia AX`Y`Z`. Como A es el punto fijo: VB = V A + w × rB donde w es la velocidad angular del cuerpo en un A

instante considerado. La aceleración es:

aB = a A + aB

A

∴ a B = a A + α × rB + w × ⎛⎜ w × rB ⎞⎟ A A⎠ ⎝ Estas ecuaciones muestran que el movimiento más general de un cuerpo rígido es equivalente, en cualquier instante dado, a la suma de una traslación en el cual todas las partículas del cuerpo tienen la misma velocidad y aceleración que una partícula de referencia A, y de un movimiento en el que la partícula A se supone fija. Hay que recordar que w y α no son colineales, y que la aceleración de la partícula del cuero en su movimiento relativo al sistema de referencia AX`Y`Z` no puede determinarse como si el cuerpo estuviera rotando permanentemente alrededor del eje instantáneo que pasa por A.

Movimiento tridimensional de una partícula con respecto a un sistema de referencia en rotación. Aceleración de coriolis.

⎛*⎞ ⎛*⎞ = ⎜ Q ⎟ + ΩQ ⎜Q⎟ ⎝ ⎠OXYZ ⎝ ⎠ oxyz

⎛*⎞ VP = Ω × r + ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ oxyz

Si se denota por F, el sistema rotatorio OXYZ, entonces

VP = VP´ + VP / F

VP = Velocidad absoluta de la partícula VP´ = Velocidad del punto p´ del sistema de referencia en movimiento, F que coincide con P. VP / F = Velocidad de P relativa al sistema de referencia en movimiento F . La aceleración absoluta: * ⎛*⎞ ⎛ ** ⎞ a P = Ω× r + Ω × (Ω × r ) + 2Ω × ⎜ r ⎟ + ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ oxyz ⎝ ⎠ oxyz aP = aP´ + aP / F + aC aP = Aceleración absoluta de la partícula aP´ = Aceleración del punto p´ del sistema de referencia en movimiento, F que coincide con P. aP / F = Aceleración de P relativa al sistema de referencia en movimiento F .

⎛*⎞ aC = 2Ω × ⎜ r ⎟ = 2Ω × VP / F ⎝ ⎠ oxyz Aceleración de coriolis o complementario