Tema 5

Tema 5. Inferencia sobre la media de una población pág. 1

5.1.- ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

EJEMPLO 6.1 CRECIMIENTO DE PLANTAS DE SOJA Como parte de un estudio sobre el crecimiento de la planta, un fisiólogo vegetal plantó individualmente 13 plantas de soja del tipo "Wells II". Se midió la longitud del tallo (en cm.) para cada planta después de 16 días.

20.2 22.0 19.7

Longitud del tallo (cm) 22.9 23.3 20.0 22.1 22.0 21.9 21.5 20.9

19.4 21.5

y- = 21.3385 s = 1.2190 µ = longitud media del tallo de las plantas de soja Wells II crecidas bajo condiciones específicas. σ = DT de las longitudes de los tallos de las plantas de soja Wells II crecidas bajo condiciones específicas. y- =21.34 es una estimación de µ. s = 1.22 es una estimación de σ.

EJEMPLO 6.2 CRECIMIENTO DE PLANTAS DE SOJA El error estándar de la media es: 1.219 s = = 0.3381 cm SEy- = n 13

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5.2.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA LA DISTRIBUCIÓN

t – STUDENT

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EJEMPLO 6.3 CRECIMIENTO DE PLANTAS DE SOJA Los grados de libertad son gl = n-1 = 13-1 = 12 y de la tabla se obtiene t.05 = 2.179 El intervalo de confianza al 95% es 1.219 21.3385 ± 2.179 13 21.3385 ± 2.179 · 0.3381 21.3385 ± 0.7367 21.34 ± 0.74 [20.6, 22.1]

EJEMPLO 6.4 CRECIMIENTO DE PLANTAS DE SOJA De la tabla 4, para gl = 12, se obtiene t.10 = 1.782 Así, el intervalo de confianza al 90% es 1.219 21.3385 ± 1.782 13 21.3385 ± 1.782 · 0.3381 21.3385 ± 0.6025 [20.7, 21.9]

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INTERPRETACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA

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EJEMPLO 6.6 PESOS DE CORDEROS RECIEN NACIDOS Un genético pesó al nacer a 28 corderos hembra. Los corderos nacieron todos en abril, eran todos del mismo tipo "Rambouillet", y fueron todos nacimientos individuales. La dieta y otras condiciones ambientales fueron las mismas en los padres de todos ellos. Los pesos al nacer fueron :

4.3 5.5 5.4 5.8

5.2 5.3 5.5 6.1

Peso al nacer (kg) 6.2 6.7 5.3 4.0 4.9 5.2 3.6 5.8 5.6 4.9 4.5 4.8

4.9 4.9 5.0 5.4

4.7 5.3 5.2 4.7

y- = 5.17 kg s = 0.65 kg SE = 0.12 kg La DT describe la variabilidad de un cordero a otro, mientras que el SE indica la incertidumbre asociada con la media, vista como una estimación del peso medio de la población de corderos recién nacidos.

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EJEMPLO 6.7 PESOS DE CORDEROS RECIEN NACIDOS Si se consideran estos datos como una muestra de tamaño 28 de una población, y cogemos muestras de mayor tamaño, los valores de y- y s se aproximan cada vez más a µ y σ.

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REPRESENTACIONES GRÁFICAS EJEMPLO 6.9. MAO Y ESQUIZOFRENIA. La enzima monoamina oxidasa ( MAO ) es de interés en el estudio del comportamiento humano. Las siguientes figuras y tablas muestran las medidas de actividad MAO en las plaquetas de sangre en cinco grupos de gente: Grupos I,II y III son tres categorías de diagnóstico de pacientes esquizofrénicos y los grupos IV y V son hombres y mujeres sanos que forman los grupos control.

Grupo I II III IV V

n 18 16 8 348 332

Actividad de la MAO Media 9.81 6.28 5.97 11.04 13.29

a) Representación de y ± SE

DT 3.62 2.88 3.19 5.59 5.50

SE 0.85 0.72 1.13 0.30 0.30

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REPRESENTACIONES GRÁFICAS b) Representación de y ± DT

c) Representación mediante diagramas de cajas

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5.3.- PLANIFICACIÓN DE UN ESTUDIO PARA ESTIMAR LA MEDIA POBLACIONAL

EJEMPLO 6.10 CRECIMIENTO DE PLANTAS DE SOJA Los datos de la longitud del tallo en las plantas de soja proporcionan los siguientes estadísticos: y- = 21.34 cm s = 1.22 cm SE = 0.34 cm Supongamos que el investigador está planificando un nuevo estudio del crecimiento de la soja y ha decidido que sería deseable que el SE no fuera mayor de 0.25 cm. Como previsión de la DT va a utilizar el valor del estudio anterior. Así, el tamaño muestral debe satisfacer la siguiente relación: 0.25 =

1.22 n

Esta ecuación se resuelve con n = 23.8, y el nuevo experimento debe incluir 23 o 24 plantas. Si el SE deseado fuera 0.125, la relación sería: 0.125 =

1.22 n

cuyo resultado es n = 95.3, y se tendrían que considerar 95 o 96 plantas.

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5.4.- CONDICIONES DE VALIDEZ

a) CONDICIONES SOBRE EL DISEÑO DEL EXPERIMENTO 1.- Tiene que ser razonable considerar los datos como una muestra aleatoria de una población grande. 2.- Las observaciones de la muestra han de ser independientes entre sí.

b) CONDICIONES SOBRE LA DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN 1.-

Si n es pequeña, la distribución de la población ha de ser aproximadamente normal

2.-

Si n es grande, no es necesario que la distribución de la población sea aproximadamente normal.

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CUMPLIMIENTO DE LAS CONDICIONES DE VALIDEZ

(a) Intervalo de confianza al 95% Tamaño muestral Población 1 Población 2 Población 3

2 .95 .94 .87

4 .95 .93 .53

8 .95 .94 .57

16 .95 .94 .80

32 .95 .95 .88

64 Muy grande .95 .95 .95 .95 .92 .95

(b) Intervalo de confianza al 99% Tamaño muestral Población 1 Población 2 Población 3

2 .99 .99 .97

4 .99 .98 .82

8 .99 .98 .60

16 .99 .98 .81

32 .99 .99 .93

64 Muy grande .99 .99 .99 .99 .96 .99

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5.5.- CONTRASTE DE HIPÓTESIS: EL TEST t El nivel total de proteínas en un adulto sano es de 7.25. Se realiza una serie de ocho análisis de sangre sobre un determinado paciente, a lo largo de varios días, y se determina el nivel total de proteínas. Los resultados obtenidos son: 7.23

7.25

7.28

7.29

7.32

7.26

7.27

7.24

¿Qué conclusión puede extraerse de estas observaciones? (¿El nivel total de proteínas del paciente es 7.25 o no?) Supóngase normalidad y α = 0.05 Hipótesis:

 H 0 : µ = 7.25   H 1 : µ ≠ 7.25

Cálculos de los estadísticos de la muestra: Estadístico test:

ts =

x = 7.268,

s = 0.029

x − µ 0 7.268 − 7.25 = = 1.756 s 0.029 n 8

Mirando la tabla, 0.10 < P-valor < 0.20 Por tanto, la decisión sería no rechazar la hipótesis nula: No tenemos pruebas para afirmar que µ≠7.25

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5.6.- TEST UNILATERALES El Departamento de Salud de Estados Unidos ha fijado en 70 el número medio de bacterias por centímetro cúbico de agua que constituyen un nivel máximo aceptable para las aguas en las que se practica la recogida de almejas. Un nivel medio superior a 70 es peligroso porque comer almejas recogidas en tales aguas puede causar hepatitis. Se ha tomado una muestra de 9 observaciones, obteniéndose los valores: 69

74

75

70

72

73

71

73

68

¿Se debe prohibir la recogida de almejas en esas aguas? Hipótesis:

 H 0 : µ = 70   H1 : µ > 70

Cálculos de los estadísticos de la muestra: Comprobación de direccionalidad:

x > 70,

Estadístico test:

ts =

x = 71.7,

s = 2.3

x − µ 0 71.7 − 70 = = 2.22 2.3 s 9 n

Mirando la tabla, 0.05/2 < P-valor < 0.10/2 Es decir

0.025 < P-valor < 0.05

Por tanto, la decisión sería rechazar la hipótesis nula: El número medio de bacterias por centímetro cúbico es superior a 70 y se debe prohibir la recogida de almejas.

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5.8.- TEST DE NORMALIDAD: KOLMOGOROV-SMIRNOV Tenemos 13 datos, correspondientes a concentraciones de zinc en el agua del mar en una zona contaminada: 13.5 23.8 23.3 20.9 23.8 29.0 24.4 16.4 18.3 17.6 25.4 23.3 20.9 La media muestral

y = 21.6 ; la desviación típica muestral

s = 4.21

X(i)

F0(X(i))

Fn(X(i))

ai

bi

13.5 16.4 17.6

0.0272 0.1084 0.1711

1/13 2/13 3/13

0.050 0.045 0.059

0.027 0.031 0.017

18.3 20.9 23.3 23.8

0.2165 0.4340 0.6568 0.6992

4/13 6/13 8/13 10/13

0.091 0.028 0.041 0.070

0.014 0.126

24.4 25.4 29.0

0.7470 0.8166 0.9606

11/13 12/13 13/13

0.099 0.106 0.039

0.195 0.084 0.022 0.030 0.038