Tema 3 Y 4. Técnicas De Conteo.pdf

3 Y 4. PROBABILIDAD CON TÉCNICAS DE CONTEO. PROBABILIDAD

Y ESTADÍSTICA

3. PROBABILIDAD CON TÉCNICAS DE CONTEO. 3.1 REGLAS DE MULTIPLICACIÓN. 3.2 DIAGRAMAS DE ÁRBOL.

3.3 ARREGLOS CON Y SIN REEMPLAZO 3.4 COMBINACIONES. 3.5 REGLA DE LA SUMA.

3.6 APLICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO A LA PROBABILIDAD.

3.1 REGLAS DE MULTIPLICACIÓN PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

EN LA SOLUCIÓN DE ALGUNOS PROBLEMAS ES NECESARIO CONSIDERAR LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN SUCESO A EN UN PRIMER ENSAYO Y EL SUCESO B OCURRA EN UN SEGUNDO ENSAYO. ESTO SE REPRESENTA CON LA EXPRESIÓN P (A Y B). P (A Y B)= P (OCURRE EL SUCESO A Y DESPUÉS OCURRE EL SUCESO B)

EN LA PROBABILIDAD P(A O B) SE ASOCIA O CON SUMAR. EN ÉSTE

CASO

P(A Y B), Y SE ASOCIA CON LA OPERACIÓN DE MULTIPLICACIÓN.

EN UNA SECCIÓN DE UN EXAMEN HAY UNA PREGUNTA DEL TIPO VERDADERO/FALSO Y ENSEGUIDA UNA PREGUNTA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (5 OPCIONES). ¿QUÉ PROBABILIDAD HAY DE CONTESTAR

LAS DOS CORRECTAMENTE SI SE CONTESTA AL AZAR?

DIAGRAMA DE ÁRBOL

EN ÉSTE

CASO ES ÚTIL EL EMPLEO DE UNA IMAGEN GRÁFICA DE TODOS LOS RESULTADOS

POSIBLES DE UN PROCEDIMIENTO QUE SE MUESTRAN COMO LÍNEAS QUE EMANAN DE UN PUNTO DE PARTIDA.

EL GRÁFICO SE LLAMA DIAGRAMA DE ÁRBOL Y SE UTILIZA PARA DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL EN MUCHOS PROBLEMAS.

ESPACIO MUESTRAL DEL PROBLEMA: P(AMBAS CORRECTAS)= 1/10

P(EN

REACTIVO

F/V)= ½

P(EN OPCIÓN MÚLTIPLE)=

1/5

NOTAR QUE: 1/2 *1/5 = 1/10

P(AMBAS CORRECTAS)= P(EN

REACTIVO

F/V) X P(EN

OPCIÓN MÚLTIPLE)

P(A LA

Y

B)= P(A)· P(B)

EXPRESIÓN ANTERIOR SE UTILIZA EN EL CASO DE QUE LOS SUCESOS

(CUANDO DEL OTRO).

INDEPENDIENTES OCURRENCIA

SI A

Y

B

A

Y

B

SEAN

LA OCURRENCIA DE UNO NO AFECTA LA PROBABILIDAD DE LA

NO SON INDEPENDIENTES, SE DICE QUE SON DEPENDIENTES.

EJEMPLO: EXPERIMENTO DE MENDEL SI DOS DE LOS CHICHAROS SE SELECCIONAN AL AZAR SIN REEMPLAZO, CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA SELECCIÓN TENGA UNA VAINA VERDE Y LA SEGUNDA UNA VAINA AMARILLA (SIN CONSIDERAR EL COLOR DE LA FLOR)

PRIMERA SELECCIÓN: P(VAINA VERDE)= 8/14 SEGUNDA

SELECCIÓN:

P(VAINA AMARILLA)= 6/13

P(PRIMER CHÍCHARO CON VAINA VERDE Y SEGUNDO AMARILLA)=(8/14

CHÍCHARO CON VAINA

)(6/13 ) = 0.264

EL PUNTO CLAVE ES QUE SE TIENE QUE AJUSTAR REFLEJAR EL RESULTADO DEL PRIMER SUCESO.

LA PROBABILIDAD DEL SEGUNDO SUCESO PARA

PROBABILIDAD CONDICIONAL

CUANDO LA PROBABILIDAD DEL SEGUNDO SUCESO B DEBE TOMAR EN CUENTA EL HECHO DE QUE EL PRIMER SUCESO YA OCURRIÓ, ÉSTE PRINCIPIO PUEDE EXPRESARSE USANDO LA NOTACIÓN: P(B|A) SE LEE “PROBABILIDAD DE B DADO A” Y REPRESENTA LA PROBABILIDAD DE QUE UN SUCESO OCURRA DESPUÉS DE ADMITIR QUE EL SUCESO A OCURRIÓ.

REGLA FORMAL DE LA MULTIPLICACIÓN

P (A O B) = P (A) · P (B|A) SI A Y B SON SUCESOS

INDEPENDIENTES

P(B|A) ES LO MISMO QUE P(B)

EJERCICIOS

¿DE CUÁNTAS FORMAS SE PUEDE

VESTIR UNA PERSONA QUE TIENE

PARA VESTIRSE, LA PERSONA SE PONE EL PANTALÓN Y LUEGO ES DECIR TIENE

3 X 3 = 9 OPCIONES DIFERENTES

DE VESTIRSE.

3 PANTALONES Y 3 CAMISAS?

LA CAMISA,

¿DE CUÁNTAS FORMAS SE PUEDE PROTEGER DEL FRÍO UNA PERSONA QUE TIENE 3 CHAMARRAS Y 3 SWEATERS? SABIENDO QUE NO SE PUEDE PONER CHAMARRA Y SWEATER A LA VEZ. PARA ENFRENTAR EL FRÍO, LA PERSONA SE PUEDE PONER CHAMARRA O SWEATER, ES DECIR, TIENE 3 + 3 = 6 OPCIONES DIFERENTES PARA PROTEGERSE DEL FRÍO.

EN UNA PAREJA, CADA UNO DE SUS MIEMBROS POSEE GENES PARA OJOS CASTAÑOS Y AZULES. TENIENDO EN CUENTA QUE CADA UNO TIENE LA MISMA PROBABILIDAD DE APORTAR UN GEN PARA OJOS CASTAÑOS QUE PARA OJOS AZULES Y QUE EL GEN PARA OJOS CASTAÑOS ES DOMINANTE, OBTENER LA PROBABILIDAD DE QUE UN HIJO NACIDO DE ESTA PAREJA TENGA LOS OJOS CASTAÑOS.

“UNA MUJER ES PORTADORA DE HEMOFILIA. AUNQUE LA MUJER NO TENGA LA ENFERMEDAD, PUEDE TRANSMITIRLA A SUS 3 HIJOS. OBTENER LAS TRAYECTORIAS PARA ESTE EXPERIMENTO MEDIANTE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL”. SUPONIENDO QUE ES IGUALMENTE PROBABLE QUE SE TRASMITA O NO LA ENFERMEDAD. OBTENER LAS PROBABILIDADES DE LOS SIGUIENTES SUCESOS: 1.- NINGÚN HIJO TENGA LA ENFERMEDAD, (SUCESO A) 2.- DOS HIJOS TENGAN LA ENFERMEDAD, (SUCESO B)

UN MÉDICO GENERAL CLASIFICA A SUS PACIENTES DE ACUERDO A: SU SEXO (MASCULINO O FEMENINO), TIPO DE SANGRE (A, B, AB U O) Y EN CUANTO A LA PRESIÓN SANGUÍNEA (NORMAL, ALTA O BAJA). MEDIANTE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL DIGA ¿EN CUÁNTAS CLASIFICACIONES PUEDEN ESTAR LOS PACIENTES DE ESTE MÉDICO? .

DOS EQUIPOS DENOMINADOS A Y B SE DISPUTAN LA FINAL DE UN PARTIDO DE BALONCESTO, AQUEL EQUIPO QUE GANE DOS JUEGOS SEGUIDOS O COMPLETE UN TOTAL DE TRES JUEGOS GANADOS SERÁ EL QUE GANE EL TORNEO.

MEDIANTE UN CUANTAS MANERAS PUEDE SER GANADO ESTE TORNEO,

DIAGRAMA DE ÁRBOL DIGA DE

UN HOMBRE TIENE TIEMPO DE JUGAR RULETA CINCO VECES COMO MÁXIMO, ÉL EMPIEZA A JUGAR CON UN DÓLAR, APUESTA CADA VEZ UN DÓLAR Y PUEDE GANAR O PERDER EN CADA JUEGO UN DÓLAR, ÉL SE VA A RETIRAR DE JUGAR SI PIERDE TODO SU DINERO, SI GANA TRES DÓLARES (ESTO ES SI COMPLETA UN TOTAL DE CUATRO DÓLARES) O SI COMPLETA LOS CINCO JUEGOS, MEDIANTE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL, DIGA CUÁNTAS MANERAS HAY DE QUE SE EFECTUÉ EL JUEGO DE ESTE HOMBRE.

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

COMBINACIONES LAS COMBINACIONES SON AQUELLAS FORMAS DE AGRUPAR LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO TENIENDO EN CUENTA QUE:

 NO INFLUYE EL ORDEN EN QUE SE COLOCAN.  SI PERMITIMOS QUE SE REPITAN LOS ELEMENTOS, PODEMOS HACERLO HASTA TANTAS VECES COMO ELEMENTOS TENGA LA AGRUPACIÓN

EXISTEN

DOS TIPOS:

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN Y COMBINACIONES CON REPETICIÓN

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

CALCULA: A)

C7,0

B)

C10,5

C)

C17,12

D)

C20,15

A)

CON LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO A={1, 3, 5, 7,9}, CONSTRUIR TODAS LAS COMBINACIONES SIN REPETICIÓN DE ORDEN 3.

B)

CON

A={A,

LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO

LAS COMBINACIONES SIN REPETICIÓN DE ORDEN

4.

B, C, D, E, F}, CONSTRUIR TODAS

EN UN GRUPO DE AMIGOS HAY CINCO HOMBRES Y SEIS MUJERES. CUATRO DE ESTAS PERSONAS VAN A UN SUPERMERCADO CERCANO A COMPRAR REFRESCOS.

A)

¿DE

CUÁNTAS FORMAS SE PUEDEN ELEGIR LAS CUATRO PERSONAS QUE VAN A REALIZAR LA

COMPRA?

B)

¿Y SI TIENEN QUE IR DOS HOMBRES Y DOS MUJERES?

EN

UNA CLASE DE

ALUMNOS.

35

¿CUÁNTOS

ALUMNOS SE QUIERE ELEGIR UN COMITÉ FORMADO POR TRES COMITÉS DIFERENTES SE PUEDEN FORMAR?

• NO

ENTRAN TODOS LOS ELEMENTOS.

• NO

IMPORTA EL ORDEN:

• NO

SE REPITEN LOS ELEMENTOS.

JUAN, ANA.

SE TIENEN LOS 4 ASES DE UNA BARAJA Y SE QUIEREN TOMAR AL AZAR DOS CARTAS. CUÁNTAS Y CUÁLES SON LAS COMBINACIONES QUE PUEDEN RESULTAR?

EN UNA CLASE CON 45 ALUMNOS, TIENEN QUE SALIR 3 VOLUNTARIOS PARA REALIZAR UNA ACTIVIDAD. ¿CUÁNTOS GRUPOS DE VOLUNTARIOS DIFERENTES PUEDEN HACERSE?

UN ALUMNO DECIDE PRESENTAR 3 DE LAS 5 EVALUACIONES (ARITMÉTICA, ESPAÑOL, INGLÉS, RELIGIÓN, SOCIALES) QUE TIENE PENDIENTE EN SU COLEGIO. ¿DE CUANTAS DETERMÍNELAS.

MANERAS

DIFERENTES

PUEDE

ELEGIR

ESAS

EVALUACIONES?

COMBINACIONES CON REPETICIÓN

EN UNA BOLSA HAY

. SIN MIRAR SE SACA UNA BOLA, SE APUNTA EL NÚMERO CORRESPONDIENTE Y SE VUELVE A DEJAR LA BOLA DENTRO DE LA BOLSA. SE REPITE ESTA ACCIÓN TRES VECES MÁS (ES DECIR, EN TOTAL SE APUNTAN CUATRO NÚMEROS). ¿CUÁNTOS GRUPOS DE NÚMEROS, SIN IMPORTAR EL ORDEN, SE PUEDEN OBTENER MEDIANTE ESTE PROCEDIMIENTO? BOLAS NUMERADAS DEL AL

SE QUIERE SABER CUANTAS COMBINACIONES CON REPETICIÓN DE 5 DE 3 EN 3 HAY

ELEMENTOS TOMADOS

¿DE

CUÁNTAS FORMAS PUEDEN MEZCLARSE LOS SIETE COLORES DEL ARCO IRIS TOMÁNDOLOS DE TRES EN TRES?

A UNA REUNIÓN ASISTEN 10 PERSONAS Y SE INTERCAMBIAN ¿CUÁNTOS SALUDOS SE HAN INTERCAMBIADO?

SALUDOS ENTRE TODOS.

EN

UNA BODEGA HAY EN UN CINCO TIPOS DIFERENTES DE BOTELLAS. FORMAS SE PUEDEN ELEGIR CUATRO BOTELLAS?

¿DE

CUÁNTAS

¿CUÁNTAS

APUESTAS DE MELATE HAN DE RELLENARSE PARA ASEGURARSE EL ACIERTO DE LOS SEIS RESULTADOS, DE 49?

UN GRUPO, COMPUESTO POR CINCO HOMBRES Y SIETE MUJERES, FORMA 5 HOMBRES Y 3 MUJERES. DE CUÁNTAS FORMAS PUEDE FORMARSE, SI: 1. PUEDE

PERTENECER A ÉL CUALQUIER HOMBRE O MUJER.

2. UNA

MUJER DETERMINADA DEBE PERTENECER AL COMITÉ.

3. DOS

HOMBRES DETERMINADOS NO PUEDEN ESTAR EN EL COMITÉ.

UN COMITÉ DE

¿CUÁNTAS

FICHAS TIENE EL JUEGO DEL DOMINÓ?

EN

UNA PASTELERÍA HAY

PUEDEN ELEGIR

4

6

TIPOS DISTINTOS DE PASTELES.

PASTELES?.

¿DE

CUÁNTAS FORMAS SE

PERMUTACIONES LAS PERMUTACIONES SON AQUELLAS FORMAS DE AGRUPAR LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO TENIENDO EN CUENTA QUE:  INFLUYE EL ORDEN EN QUE SE COLOCAN.  TOMAMOS TODOS LOS ELEMENTOS DE QUE SE DISPONEN.  SERÁN PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN CUANDO TODOS LOS ELEMENTOS DE QUE DISPONEMOS SON DISTINTOS.  SERÁN PERMUTACIONES CON REPETICIÓN SI DISPONEMOS DE ELEMENTOS REPETIDOS. (ESE ES EL Nº DE VECES QUE SE REPITE ELEMENTO EN CUESTIÓN).

ES POR ELLO QUE TAMBIÉN SE LLAMAN ORDENACIONES. LOS SÍMBOLOS QUE UTILIZAMOS SON LOS SIGUIENTES.

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

CARACTERÍSTICAS



SÍ ENTRAN TODOS LOS ELEMENTOS.



SÍ IMPORTA EL ORDEN.



NO SE REPITEN LOS ELEMENTOS.

CALCULAR LAS PERMUTACIONES DE 6 ELEMENTOS.

UN VENDEDOR QUIERE VISITAR 5 CIUDADES. SI NO QUIERE REPETIR CIUDADES, ¿CUÁNTAS RUTAS DISTINTAS PUEDE ELABORAR SI PUEDE EMPEZAR Y ACABAR EN CUALQUIERA DE LAS CIUDADES?

¿CUÁNTOS

NÚMEROS DISTINTOS DE TRES CIFRAS DIFERENTES SE PUEDEN ESCRIBIR CON LOS DÍGITOS: 1, 5, 7 ?

¿DE CUÁNTAS FORMAS PUEDEN

SENTARSE

10 PERSONAS EN UNA

FILA DE BUTACAS DE CINE?

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

SI TENGO 3 OBJETOS {A, B, C} , LOS PUEDO COLOCAR ORDENADAMENTE DE MANERA QUE LA 'A' APAREZCA 2 VECES, LA 'B' OTRAS 2 VECES Y LA 'C' 1 SOLA VEZ. CADA UNO DE ESTOS GRUPOS DECIMOS QUE ES UNA PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN DE ESTOS 3 ELEMENTOS.

CARACTERÍSTICAS

SON LOS DISTINTOS GRUPOS QUE PUEDEN FORMARSE CON ESOS N ELEMENTOS DE FORMA QUE :



SÍ ENTRAN TODOS LOS ELEMENTOS.



SÍ IMPORTA EL ORDEN.



SÍ SE REPITEN LOS ELEMENTOS.

¿CUÁNTOS NÚMEROS DISTINTOS SE PUEDEN ESCRIBIR EL 1 SE REPITE 2 VECES, EL 5 SE REPITE 3 VECES?

CON LOS DÍGITOS

1

Y

5

EN QUE

¿CUÁNTOS 458870?

NÚMEROS DIFERENTES PUEDEN FORMARSE CON LAS CIFRAS DEL NÚMERO

PERMUTACIONES CIRCULARES

EN

PERMUTACIONES CIRCULARES DE M ELEMENTOS SE FIJA UN ELEMENTO Y SE HACE

PERMUTAR EL RESTO.

¿DE

CUÁNTAS FORMAS SE PUEDEN SENTAR CIRCULAR?

4

PERSONAS

A, B, C

Y

D

EN UNA MESA

CALCULAR

LAS PERMUTACIONES CIRCULARES DE

7

ELEMENTOS.

¿DE

CUÁNTAS FORMAS DISTINTAS PUEDEN SENTARSE OCHO PERSONAS ALREDEDOR DE UNA MESA REDONDA?

EJERCICIOS

¿CUÁNTAS PLACAS PARA AUTOS SE PUEDEN HACER EN NUESTRO PAÍS?

¿CUÁNTAS MANERAS HAY DE ASIGNAR LAS 5 POSICIONES DE JUEGO DE UN EQUIPO DE BALONCESTO SI EL EQUIPO CONSTA DE 12 INTEGRANTES Y ESTOS PUEDEN JUGAR EN CUALQUIER POSICIÓN?

CALCULAR CUÁNTOS NÚMEROS ENTEROS DIFERENTES DE 3 DÍGITOS SE PUEDEN FORMAR CON LOS DÍGITOS 2, 4, 6, 8 Y 9, SI LOS DÍGITOS NO PUEDEN REPETIRSE.

¿CUÁNTAS CLAVES DE ACCESO A UNA COMPUTADORA SERÁ POSIBLE DISEÑAR SI DEBE ESTAR FORMADA DE 2 LETRAS SEGUIDAS DE CINCO DÍGITOS? CONSIDERE QUE LAS LETRAS Y LOS DÍGITOS NO PUEDEN REPETIRSE.

UNA TARJETA DE CIRCUITO IMPRESA SE PUEDE COMPRAR DE ENTRE 5 PROVEEDORES. ¿DE CUÁNTAS MANERAS PUEDE ELEGIRSE 3 PROVEEDORES?

UN COMITÉ DE 4 PERSONAS VA A SER SELECCIONADO DE UN GRUPO DE 3 ESTUDIANTES DE 4TO. AÑO, 4 DE 3RO. Y 5 DE 2DO. SI DOS ESTUDIANTES DE TERCERO NO SON ELEGIBLES. ¿DE CUÁNTAS MANERAS PUEDE SELECCIONARSE EL COMITÉ CON 2 ESTUDIANTES DE 2DO., 1 DE 3RO. Y 1 DE 4TO?

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL.

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

SI A1, A2, ..., AN SON SUCESOS INCOMPATIBLES DOS A DOS Y CUYA UNIÓN ES TODO EL ESPACIO MUESTRAL, ENTONCES LA PROBABILIDAD DE CUALQUIER OTRO SUCESO B ES: P(B) = σ𝑛𝑖=1 (P(A )·P(B / A ))

EJEMPLO SEAN A1, A2, A3 Y A4, RESPECTIVAMENTE, SER ALUMNO DE 1º , 2º, 3º O 4º AÑO DE UNIVERSIDAD.

3º 1o

4o 2o

ESTOS CUATRO SUCESOS

SON INCOMPATIBLES DOS A DOS Y SU UNIÓN ES EL ESPACIO MUESTRAL

LLAMEMOS AHORA B A CUALQUIER GRIPE”.

OTRO SUCESO, POR EJEMPLO

3º 1o

4o B

2o

“QUE UN ALUMNO

TENGA LA

EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL AFIRMA QUE: P(B)=ΣP(AI)·P(B/AI), DESDE I=1 HASTA 4 ES DECIR, LA PROBABILIDAD DE QUE UN ALUMNO TENGA LA GRIPE ES IGUAL A: LA PROBABILIDAD DE QUE SEA DE 1º POR LA PROBABILIDAD DE TENER GRIPE CONDICIONADO A SER DE 1º, MÁS LA DE QUE SEA DE 2º POR LA PROBABILIDAD DE QUE TENGA LA GRIPE CONDICIONADO A QUE ES DE 2º, MÁS ...

EJERCICIO SE SABE QUE EL 65% DE LOS ACCIDENTES DE TRÁFICO QUE SE PRODUCEN DURANTE LA NOCHE DE LOS SÁBADOS SE DEBEN A LA INGESTA EXCESIVA DE ALCOHOL, EL 25% SE DEBEN A LA IMPRUDENCIA DEL CONDUCTOR (SOBRIO) Y EL RESTO A OTRAS CAUSAS, (FALLO MECÁNICO...ETC.).

EN ESTOS ACCIDENTES, EL RESULTADO ES NEFASTO 20% EN EL SEGUNDO Y EL 5% EN EL TERCERO. A)

EL

30% DE LAS VECES

EN EL PRIMER CASO, EL

CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNO DE ESTOS ACCIDENTES TENGA NEFASTO.

RESULTADO

LLAMEMOS: A1 AL SUCESO “TENER UN ACCIDENTE POR CIRCULAR CON UNA INGESTA EXCESIVA DE ALCOHOL”

A2 AL SUCESO “TENER UN ACCIDENTE POR IMPRUDENCIA DEL CONDUCTOR” Y A3 AL SUCESO “TENER UN ACCIDENTE POR OTRAS CAUSAS”. ESTOS SUCESOS SON INCOMPATIBLES DOS A DOS Y SU UNIÓN ES EL ESPACIO MUESTRAL, POR LO QUE SE VERIFICAN LAS HIPÓTESIS DEL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL.

SEA N EL SUCESO “TENER

RESULTADO NEFASTO”

P(N)=P(A1)*P(N/A1)+ P(A2)*P(N/A2)+ P(A3)*P(N/A3) = 0.65*0.3+0.25*0.2+0.1*0.05 = 0.25

TEOREMA DE BAYES PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

SI A1, A2, ..., AN SON SUCESOS INCOMPATIBLES DOS A DOS Y CUYA UNIÓN ES EL ESPACIO MUESTRAL, Y B ES OTRO SUCESO CUALQUIERA, ENTONCES:

𝑃(𝐴𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵Τ𝐴𝑖 ) 𝑃 𝐴𝑖 Τ𝐵 = 𝑛 σ𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) ⋅ 𝑃(𝐵Τ𝐴𝑖 )

EJEMPLO

SE SABE QUE EL 65% DE LOS ACCIDENTES DE TRÁFICO QUE SE PRODUCEN DURANTE LA NOCHE DE LOS SÁBADOS SE DEBEN A LA INGESTA EXCESIVA DE ALCOHOL, EL 25% SE DEBEN A LA IMPRUDENCIA DEL CONDUCTOR Y EL RESTO A OTRAS CAUSAS, (FALLO MECÁNICO...ETC.). EN ESTOS ACCIDENTES, EL RESULTADO ES NEFASTO EL 30% DE LAS VECES EN EL PRIMER CASO, EL 20% EN EL SEGUNDO Y EL 5% EN EL TERCERO. B) SI SE PRODUCE UN ACCIDENTE CON RESULTADO NEFASTO, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE

QUE LA CAUSA DE DICHO ACCIDENTE SEA LA INGESTA EXCESIVA DE ALCOHOL.

LLAMEMOS: A1 AL SUCESO “TENER UN ACCIDENTE POR CIRCULAR CON UNA INGESTA EXCESIVA DE ALCOHOL”

A2 AL SUCESO “TENER UN ACCIDENTE POR IMPRUDENCIA DEL CONDUCTOR” Y A3 AL SUCESO “TENER UN ACCIDENTE POR OTRAS CAUSAS”. ESTOS SUCESOS SON INCOMPATIBLES DOS A DOS Y SU UNIÓN ES TODO EL ESPACIO MUESTRAL, POR LO QUE SE VERIFICAN LAS HIPÓTESIS DEL TEOREMA DE BAYES.

SEA N EL SUCESO “TENER

𝑃 𝐴 𝑖 Τ𝐵 =

RESULTADO NEFASTO”

𝑃(𝐴𝑖 )∙𝑃(𝐵Τ𝐴𝑖 ) 0.65∙0.3 = σ𝑛 Τ 𝑃(𝐴 )⋅𝑃( 𝐵 𝐴 ) 0.65∙0.3+0.25∙0.2+0.1∙0.05 𝑖 𝑖 𝑖=1

=

0.195 0.25

= 0.78

EJERCICIOS 1. EN LA SALA DE PEDIATRÍA DE UN HOSPITAL, EL 60% DE LOS PACIENTES SON NIÑAS. DE LOS NIÑOS EL 35% SON MENORES DE 24 MESES. EL 20% DE LAS NIÑAS TIENEN MENOS DE 24 MESES. UN PEDIATRA QUE INGRESA A LA SALA SELECCIONA UN INFANTE AL AZAR. A.

DETERMINE

EL VALOR DE LA PROBABILIDAD DE QUE SEA MENOR DE

B. SI EL INFANTE RESULTA SER MENOR DE NIÑA.

24 MESES. DETERMINE

24 MESES.

LA PROBABILIDAD QUE SEA UNA

2. UN MÉDICO CIRUJANO SE ESPECIALIZA EN CIRUGÍAS ESTÉTICAS. ENTRE SUS PACIENTES, EL 20% SE REALIZAN CORRECCIONES FACIALES, UN 35% IMPLANTES MAMARIOS Y EL RESTANTE EN OTRAS CIRUGÍAS CORRECTIVAS. SE SABE ADEMÁS, QUE SON DE GENERO MASCULINO EL 25% DE LOS QUE SE REALIZAN CORRECCIONES FACIALES, 15% IMPLANTES MAMARIOS Y 40% OTRAS CIRUGÍAS CORRECTIVAS. SI SE SELECCIONA UN PACIENTE AL AZAR, DETERMINE: A.

DETERMINE LA PROBABILIDAD DE QUE SEA DE GÉNERO MASCULINO

B. SI RESULTA QUE ES DE GÉNERO MASCULINO, DETERMINE LA PROBABILIDAD QUE SE HAYA REALIZADO UNA CIRUGÍA DE IMPLANTES MAMARIOS.

3. UN DOCTOR DISPONE DE TRES EQUIPOS ELECTRÓNICOS PARA REALIZAR ECOSONOGRAMAS. EL USO QUE LE DA A CADA EQUIPO ES DE 25% AL PRIMERO, 35% EL SEGUNDO EN Y 40% EL TERCERO. SE SABE QUE LOS APARATOS TIENEN PROBABILIDADES DE ERROR DE 1%, 2% Y 3% RESPECTIVAMENTE. UN PACIENTE BUSCA EL RESULTADO DE UNA ECOGRAFÍA Y OBSERVA QUE TIENE UN ERROR. DETERMINE LA PROBABILIDAD DE QUE SE HA USADO EL PRIMER APARATO.

4. ESTUDIOS SOBRE LA DEPRESIÓN MUESTRAN QUE LA APLICACIÓN DE UN DETERMINADO TRATAMIENTO MEJORA EL ESTADO DEL 72% DE LAS PERSONAS SOBRE LAS QUE SE APLICA, NO PRODUCE EFECTO ALGUNO EN UN 10% Y EMPEORA EL ESTADO DEL RESTO. SI SE TRATA UN PACIENTE QUE SUFRE DE DEPRESIÓN, DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE EMPEORE. CALCULAR TAMBIÉN LA PROBABILIDAD DE QUE EL TRATAMIENTO NO VAYA EN DETRIMENTO DE SU ESTADO

5. DOS TRATAMIENTOS A Y B CURAN UNA DETERMINADA ENFERMEDAD EN UN 20% Y EN UN 30% DE LOS CASOS, RESPECTIVAMENTE. SUPONIENDO QUE AMBOS ACTÚAN DE MODO INDEPENDIENTE, ¿CUÁL DE LAS DOS ESTRATEGIAS SIGUIENTES ES MEJOR? a) APLICAR AMBOS TRATAMIENTOS b)

B)

A.

A LA VEZ.

APLICAR PRIMERO EL TRATAMIENTO B, Y SI NO SURTE

EFECTO APLICAR EL TRATAMIENTO

6. SE ESTIMA QUE EL 15% DE LA POBLACIÓN ADULTA PADECE DE HIPERTENSIÓN, PERO QUE EL 75% DE TODOS LOS ADULTOS CREEN NO TENER ESTE PROBLEMA. SE ESTIMA TAMBIÉN QUE EL 6% DE LA POBLACIÓN TIENE HIPERTENSIÓN AUNQUE NO ES CONSCIENTE DE PADECERLA. SI UN PACIENTE ADULTO OPINA QUE NO TIENE HIPERTENSIÓN, ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE REALMENTE SEA HIPERTENSO?

7. CIERTA ENFERMEDAD PUEDE SER PRODUCIDA POR TRES TIPOS DE VIRUS A, B, C. EN UN LABORATORIO SE TIENEN TRES TUBOS CON EL VIRUS A, DOS CON EL B Y CINCO CON EL C. LA PROBABILIDAD DE QUE EL VIRUS A PRODUZCA LA ENFERMEDAD ES 1/3, QUE LA PRODUZCA B ES 2/3 Y QUE LA PRODUZCA C ES 1/7. a) SI SE INOCULA ALGÚN VIRUS A UN ANIMAL, ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ÉSTE CONTRAIGA LA ENFERMEDAD? b)

B) SI SE INOCULA UN VIRUS A UN ANIMAL Y CONTRAE LA ENFERMEDAD, PROBABILIDAD DE QUE EL VIRUS INYECTADO FUERA C?

¿CUÁL ES LA

8. EN QUÍMICA CLÍNICA SON PARTICULARMENTE INTERESANTES LOS LLAMADOS COEFICIENTES FALSO-POSITIVO Y FALSO-NEGATIVO DE UN TEST. TALES COEFICIENTES SON PROBABILIDADES CONDICIONADAS. EL COEFICIENTE FALSO-POSITIVO ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL CONTRASTE RESULTE POSITIVO CUANDO DE HECHO EL SUJETO NO PADECE LA DOLENCIA. EL COEFICIENTE FALSO-NEGATIVO SE DEFINE DE MANERA ANÁLOGA. ES DECIR: Α = COEFICIENTE FALSO-POSITIVO = P(EL TEST DA +/EL SUJETO ES EN REALIDAD −), Β = COEFICIENTE FALSO-NEGATIVO = P(EL TEST DA −/EL SUJETO ES EN REALIDAD +). CADA UNA DE ESTAS PROBABILIDADES ES UNA PROBABILIDAD DE ERROR; POR TANTO, CABE ESPERAR QUE LOS VALORES OBTENIDOS EN LA PRÁCTICA SEAN PRÓXIMOS A CERO. LOS RESULTADOS SIGUIENTES SE OBTUVIERON EN UN ESTUDIO DISEÑADO CON EL FIN DE AVERIGUAR LA CAPACIDAD DE UN CIRUJANO PATÓLOGO PARA CLASIFICAR CORRECTAMENTE LAS BIOPSIAS QUIRÚRGICAS COMO MALIGNAS O BENIGNAS:

DETERMINAR Α Y Β A PARTIR DE ESTOS DATOS

9. UN TEST DETECTA LA PRESENCIA DE CIERTO TIPO T DE BACTERIAS EN EL AGUA CON PROBABILIDAD 0.9, EN CASO DE HABERLAS. SI NO LAS HAY, DETECTA LA AUSENCIA CON PROBABILIDAD DE 0.8. SABIENDO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE UNA MUESTRA DE AGUA CONTENGA BACTERIAS DEL TIPO T ES 0.2, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE: a) REALMENTE POSITIVO.

HAYA PRESENCIA DE BACTERIAS CUANDO EL TEST HA DADO RESULTADO

b) REALMENTE NEGATIVO.

HAYA PRESENCIA DE BACTERIAS CUANDO EL TEST HA DADO RESULTADO

c) HAYA BACTERIAS Y ADEMÁS EL TEST DÉ POSITIVO. d) O HAYA BACTERIAS, O EL TEST DÉ POSITIVO

10. EN UNA

CAMPAÑA DE ERRADICACIÓN DE TUBERCULOSIS SE SOMETE A LA POBLACIÓN

ESCOLAR A UNA PRUEBA DE TUBERCULINA. SE SABE QUE LA PROBABILIDAD DE ACIERTO SOBRE

96%, Y LA PROBABILIDAD DE QUE EL TEST FALLE CON PERSONAS CONFIRMADAS SANAS ES DEL 5%. SE SABE TAMBIÉN QUE LA DOLENCIA LA PADECE EL 0.1% DE LA POBLACIÓN. SE PIDE: PERSONAS CONFIRMADAS ENFERMAS ES DEL

a) DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE EL TEST DETECTE CORRECTAMENTE LA ENFERMEDAD.

LA PRESENCIA DE

b) DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE EL TEST DETECTE CORRECTAMENTE ESTÁ SANA.

QUE LA PERSONA

c) ¿CUÁLES SON LOS COEFICIENTES FALSO-POSITIVO Y FALSO-NEGATIVO

DEL TEST?

11. EN LA ENFERMERA

DEL DOCTOR

MARTÍNEZ NO SE PUEDE CONFIAR, PUES DURANTE LA

AUSENCIA DEL MÉDICO LA PROBABILIDAD DE QUE NO LE INYECTE UN SUERO A UN ENFERMO ES DE

0.6. SE SABE QUE SI A UN ENFERMO

GRAVE SE LE INYECTA EL SUERO TIENE IGUAL

PROBABILIDAD DE MEJORAR QUE DE EMPEORAR, PERO SI NO SE LE INYECTA ENTONCES LA

0.25. A SU REGRESO, EL DR. MARTÍNEZ SE ENCUENTRA CON QUE UN ENFERMO HA EMPEORADO. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA ENFERMERA OLVIDARA INYECTAR EL SUERO A ESTE PACIENTE? PROBABILIDAD DE QUE MEJORE ES DE

12. EL 35 % DE LOS ESTUDIANTES

DE UNA UNIVERSIDAD PRACTICAN EL FÚTBOL.

EL 70 % DE LOS QUE PRACTICAN EL FÚTBOL QUE NO PRACTICAN EL FÚTBOL.

ESTUDIA

MATEMÁTICAS, ASÍ COMO EL 25 % DE LOS

DIBUJA EL DIAGRAMA DE ÁRBOL ASOCIADO A ESTE EJERCICIO Y ASIGNA LA PROBABILIDAD A CADA UNO DE SUS TRAMOS.

13. UNA EMPRESA UTILIZA DOS SERVIDORES PARA CONECTARSE A INTERNET. EL PRIMERO, 1 S , LO UTILIZA EL 45% DE LAS VECES Y EL SEGUNDO, 2 S , EL RESTO. CUANDO SE CONECTA A INTERNET CON 1 S , LOS ORDENADORES SE BLOQUEAN EL 5% DE LAS VECES, Y CUANDO LO HACE CON 2 S EL 8%. DIBUJA EL DIAGRAMA DE ÁRBOL ASOCIADO A ESTE EJERCICIO Y ESCRIBE LA PROBABILIDAD DE CADA UNO DE SUS TRAMOS.

14. IRVIN ABRE SU CAJÓN DE LOS CALCETINES PARA CONSEGUIR UN PAR CALCETINES PARA LLEVAR A LA ESCUELA. MIRA EN EL CAJÓN DE LOS CALCETINES Y VE 4 CALCETINES ROJOS, 6 CALCETINES BLANCOS Y 8 CALCETINES MARRONES. IRVIN METE LA MANO EN EL CAJÓN Y SACA UN CALCETÍN ROJO. LLEVA PANTALONES CORTOS AZULES, POR LO QUE LO REEMPLAZA. A CONTINUACIÓN, EXTRAE UN CALCETÍN BLANCO. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE IRVIN SACA UN CALCETÍN ROJO, LO REEMPLAZA, Y LUEGO SACA UN CALCETÍN BLANCO?

EN EL EJEMPLO 14, ¿QUÉ PASA SI EL PRIMER CALCETÍN ESTÁ NO SUSTITUIDO ?

15. EN UNA

ENCUESTA, LOS FANÁTICOS DEL BÉISBOL SE LES PIDIÓ QUE LES GUSTARÍA GANAR LOS

PLAYOFFS DE LA LIGA

NACIONAL. 54% RESPONDIERON QUE LES GUSTARÍA A LOS FILIS A GANAR, Y EL 46% RESPONDIÓ QUE LES GUSTARÍA A LOS GIGANTES A GANAR. LUEGO SE LES PIDIÓ A LOS FANS QUE LES GUSTARÍA GANAR LOS PLAYOFFS DE LA LIGA AMERICANA CUANDO LOS FILIS GANAR LOS PLAYOFFS DE LA LIGA NACIONAL, Y QUE LES GUSTARÍA GANAR LOS PLAYOFFS DE LA LIGA AMERICANA CUANDO LOS GIGANTES A GANAR LOS PLAYOFFS DE LA LIGA NACIONAL. SI LOS FILIS GANAR LOS PLAYOFFS DE LA LIGA NACIONAL, EL 42% DE LOS AFICIONADOS RESPONDIERON QUE QUIEREN QUE LOS RANGERS DE GANAR LOS PLAYOFFS DE LA LIGA AMERICANA, Y EL 58% DIJO QUE ELLOS QUIEREN A LOS YANKEES A GANAR. SI LOS GIGANTES GANAN LOS PLAYOFFS DE LA LIGA NACIONAL, EL 48% DE LOS AFICIONADOS RESPONDIERON QUE QUIEREN A LOS RANGERS A GANAR LAS ELIMINATORIAS DE LA LIGA AMERICANA, Y EL 52% DIJO QUE ELLOS QUIEREN A LOS YANKEES A GANAR. LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO SE MUESTRAN EN EL DIAGRAMA DE ÁRBOL SIGUIENTE: SEGÚN LA ENCUESTA, EL PORCENTAJE DE LOS AFICIONADOS QUE CADA UNO DE LOS POSIBLES SERIE MUNDIAL MATCH-UPS? NO TODAS LAS PROBABILIDADES SE SUMAN A 100%?