Tema 3_ Elementos Fundamentais Do Debuxo Tecnico

Tema 3. [Elementos e trazados básicos do debuxo técnico] [RECTAS, SEMIRRECTAS E SEGMENTOS] Un trazado xeométrico é un debuxo cuxa construción se somete ás regras da xeometría [parte das matemáticas que estuda a medida e propiedades das figuras no espazo], sen que poda haber elementos representados ó azar. Todas as figuras, en último análise, están compostas por puntos. [Punto] unidade gráfica mínima. Represéntase cómo o cruce de dúas rectas. Noméanse, sempre, con letras maiúsculas.

Unha certa cantidade de puntos situados cada un xunto outro, nunha mesma dirección, dan orixe a un trazo continuo, que é unha liña. [Liña] está formada por unha sucesión de puntos na mesma dirección. As liñas son infinitas xa que non teñen nin principio nin fin. Noméanse, sempre, con letras minúsculas. Tamén a podemos definir como a intersección entre dous planos no espazo. Nun trazado xeométrico podemos encontrarnos con diferentes tipos de liñas segundo a dirección dos seus puntos: rectas, quebradas o curvas. [recta] sucesión de puntos dispostos sempre na mesma dirección e de lonxitude ilimitada. [quebrada] combinación de fragmentos de liñas rectas que cambian de dirección [curva] sucesión de puntos dispostos en diferentes direccións.

QUEBRADAS

RECTAS t

r s

CURVAS t s

As liñas rectas poden ser, segundo a súa dirección: horizontais, verticais ou oblicuas.

u

Habitualmente utilizamos os seguintes fragmentos de recta: [Semirrecta] É unha porción de recta delimitada nun dos seus extremos por un punto.

[Segmento] É a porción de recta comprendida entre dous dos seus puntos aos que chamamos extremos. Os segmentos se nomean por medio das letras maiúsculas correspondentes os seus extremos.

Nun trazado xeométrico podemos empregar diferentes tipos de liñas: rectas, quebradas e curvas. As rectas segundo a súa dirección poden ser horizontais, verticais ou oblicuas. Habitualmente utilizamos porcións de recta como semirrectas ou segmentos.

[Operacións con segmentos] [Suma] para realizar unha suma de segmentos os poñemos un a continuación do outro sobre unha recta. O resultado será a lonxitude total dende o primeiro punto ate o último punto.

[Resta] Para realizar unha resta de segmentos os poñemos sobre unha recta partindo do mesmo punto. O resultado será o espazo no que os segmentos non se montan.

[Multiplicación] Para realizar unha multiplicación de segmentos repetimos o segmento que queremos multiplicar por tantas veces cómo desexemos sobre unha recta.

[División] Para dividir en partes potencia de 2 (1, 2, 4, 8, 16…) un segmento utilizaremos a Mediatriz. Para dividir un segmento en calquera número (n) de partes iguais utilizaremos o Teorema de Tales. [Mediatriz] Recta perpendicular ao segmento que pasa polo seu Punto Medio e polo tanto divide ao segmento en dúas partes iguais. Segmento dividido en 8 partes iguais mediante a aplicación da Mediatriz:

Segmento dividido en 7 partes iguais mediante a aplicación do Teorema de Tales:

[Teorema de Thales] Di que cando un feixe de rectas paralelas cortan a dúas rectas secantes determinan nestas segmentos proporcionais. Así que cando pasamos paralelas das divisións da semirrecta ó segmento dividimos este en partes iguais.

[Relacións de rectas no plano] [Xeometría Plana] aquela rama da xeometría que estuda as figuras existentes nun plano; distinguíndoa da que estuda os volumes existentes en todas as dimensións do espazo. En xeral, as cousas existen no espazo; é dicir, nas tres dimensións conformadas por o alto, o ancho e o largo. Experimentalmente, podemos considerar que algunhas cosas, como por exemplo una folla de papel, soamente existen en dúas desas dimensións, o ancho e o largo; si prescindimos de que, por máis fina que sexa, de todos modos ten un fondo, que cando é moi pequeno soe denominarse espesor. Sen embargo, empregando a imaxinación — e aprendendo así a facer abstraccións matemáticas e xeométricas — podemos pensar nunha lámina consistente so no ancho e o alto, sen ningún espesor.

[plano] En xeometría, se denomina plano a unha entidade de existencia ideal ou teórica, que so ten dúas dimensións, considerándose inexistente a terceira.

Dúas rectas poden relacionarse no plano por diferentes posicións:

[Paralelas] Dúas rectas situadas no mesmo plano se denominan paralelas cando todos os puntos das dúas se atopan á mesma distancia, é dicir, as rectas paralelas son rectas que nunca se cortan e que se manteñen sempre á mesma distancia. [diverxentes] Dúas rectas situadas no mesmo plano se denominan diverxentes cando os puntos de ambas van aumentando a súa distancia. [converxentes] Dúas rectas se denominan converxentes cando os puntos de ambas van diminuíndo a súa distancia e poden chegar a cortarse nun punto.

t

p

r

q

s

m Rectas paralelas

Rectas diverxentes

Rectas converxentes

As rectas converxentes, poden ser: [Perpendiculares] Dúas rectas situadas no mesmo plano se denominan perpendiculares cando se cortan nun punto formando 90º. Dividen o plano en catro partes iguais; é dicir, cando ao cruzarse ningunha resulta estar inclinada respecto da outra. [Oblicuas] Dúas rectas situadas no mesmo plano se denominan perpendiculares cando se cortan nun punto formando unha angulación diferente de 90º. Crúzanse de forma inclinada entre elas, e polo tanto dividen o plano en catro sectores dos cales dous son iguais, pero distintos dos outros dous que a súa vez son iguais entre si.

Rectas oblicuas

Rectas perpendiculares

As relacións fundamentais entre rectas no plano son o paralelismo e a perpendicularidade. Rectas paralelas son aquelas que nunca se cortan e que se manteñen sempre á mesma distancia. Rectas prependiculares son aquelas rectas converxentes que se cortan nun punto formando un ángulo de 90º.

[Construción de perpendiculares e paralelas] Nos trazados xeométricos empregamos moi frecuentemente rectas paralelas e rectas perpendiculares. Utilizando a escuadra e o cartabón podemos trazar estes dous tipos de rectas de modo moi sinxelo. [Escuadra] plantiña en forma de triángulo rectángulo con catetos iguais. Ten un ángulo de 90º e os outros dous miden 45º.

[Cartabón] plantiña en forma de triángulo rectángulo con catetos distintos. Un ángulo mide 90º e os outros dous 30º e 60º.

A continuación mira como se trazan paralelas e perpendiculares con escadra e cartabón:

Trazado de perpendiculares con escuadra e cartabón:

Trazado de paralelas con escuadra e cartabón:

O cadro seguinte servirá tamén para o trazado de ángulos con escuadra e cartabón:

[ÁNGULOS] [Ángulo] Chamamos ángulo á porción do plano delimitada por dous semirrectas que teñen o mesmo orixe. Os elementos que definen un ángulo son os seus lados e o seu vértice. [lados] son as semirrectas que delimitan á porción de plano do ángulo [vértice] é o punto onde coinciden as dúas semirrectas [Amplitude] é a abertura ou angulación entre os lados do ángulo. Mídese en graos.

[Clases de ángulos] Segundo a medida dos ángulos ou as propiedades dos seus lados, pode establecerse unha clasificación como esta: RECTO

AGUDO

OBTUSO

LLANO

CÓNCAVO

CONVEXO

[Relacións entre os ángulos] Dous ángulos poden estar relacionados entre si segundo a seguinte clasificación: IGUAIS

COMPLEMENTARIOS

SUPLEMENTARIOS

ADXACENTES

CONSECUTIVOS

OPOSTOS PORLO VÉRTICE

[Transporte de ángulos] En ocasiones necesitamos construír un ángulo igual a outro dado. A este procedemento de construción se lle chama transporte de ángulos. 1. Dado un ángulo se traza un arco con centro no vértice e con abertura calquera. Obtemos os puntos B e A.

2. Trasladamos o punto B sobre a recta r, tamén mediante un arco.

A

a C V

r

a

b

V

B

V

C b

B

3. Medimos a distancia co compás que hai entre A e B e a trasladamos sobre a nosa construción.

4. Unimos V con A mediante unha liña recta

A

A

r V

B

r V

B

[Operacións con ángulos] Outros procedementos útiles son a suma e a resta de ángulos. Recorda que para realizar estas operacións debes ter practicado cómo se transporta un ángulo

Operacións dados os ángulos a e b:

a

b

a+b=c c

[suma] Para realizar unha suma de ángulos trasladamos un sobre unha recta. A continuación transportamos o outro sobre o lado do anterior ángulo, non sobre a recta.

b r

a

a-b=c [Resta] Para realizar unha resta transportamos o primeiro segmento e a continuación o segundo pero, non a continuación, senón partindo da mesma recta como base.

c

a b

r

[Multiplicación] Transportaríamos un ángulo, un a continuación do outro, tantas veces como o quixéramos multiplicar.

[División] Os ángulos se dividen mediante o trazado da súa bisectriz.

[Bisectriz] A bisectriz dun ángulo é a semirrecta que ten por orixe o vértice e divide ó ángulo en dúas partes iguais..

[A CIRCUNFERENCIA] [Circunferencia] A circunferencia é unha curva pechada cuxos puntos equidistan (están a igual distancia) doutro punto denominado centro (O). [Círculo] Superficie contida dentro dunha circunferencia.

[rectas notables da circunferencia] Algunhas das rectas notables máis importantes da circunferencia son:

RECTAS DA CIRCUNFERENCIA tanxente recta exterior

corda

radio

O diámetro secante

[Radio] é o segmento que une o centro con calquera punto da circunferencia [Diámetro] segmento da recta que une dous puntos opostos dunha circunferencia e polo tanto pasa polo seu centro. [Corda] segmento que une dous puntos calquera dunha circunferencia. [Tanxente] recta que toca nun punto á circunferencia [Secante] recta que corta á circunferencia en dous puntos diferentes [recta exterior] recta que non ten ningún punto en común coa circunferencia

[Posicións relativas de dúas circunferencias] Dúas circunferencias poden estar relacionadas entre si segundo a seguinte clasificación: EXTERIORES

INTERIORES

TANXENTES EXTERIORES

TANXENTES INTERIORES

SECANTES

CONCÉNTRICAS

Para trazar unha circunferencia se utilizan basicamente tres métodos: a partir dun radio dado, dado o diámetro ou partindo de tres puntos non aliñados. Saber realizar estes trazados é fundamental para poder construír polígonos.

[OS POLÍGONOS] Seguro que viches sinais de tráfico triangulares, cadradas, octogonais...

Nestes casos, a forma e o contido xunto coa cor das sinais sirve para transmitir unha mensaxe. Un dos linguaxes utilizados nas sinais de tráfico é o dos polígonos.

Na natureza tamén poden atoparse diversos exemplos de polígonos. Un panal de abellas, por exemplo, é un entrampado hexagonal de cera. [Polígono] Un polígono é unha figura xeométrica pechada e cha limitada por segmentos de recta ou unha liña que vai cambiando de dirección. Tamén podemos definilo como unha figura xeométrica chan limitada por lados que se cortan en vértices.

[Elementos dun polígono] [Lado] Os polígonos están delimitados por segmentos, chamados lados. [Vértice] Os lados concorren nuns puntos denominados vértices. [Ángulo] A porción de plano que queda entre dous lados consecutivos se chama ángulo [Diagonais] Os segmentos que unen dous vértices non consecutivos se chaman diagonais

Observa el polígono da dereita. Trátase dun hexágono. Os puntos A, B e D son algúns dos seus vértices. O segmento e é un dos lados. E denota un dos seus ángulos. O segmento marcado en vermello é unha diagonal.

[Tipos de polígonos] Segundo o número de lados, un polígono pode ser triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc: 3 4 5 6 7 8 ... N.º de lados triángulo cuadrilátero pentágono hexágono heptágono octógono ... Nome

Os polígonos tamén se clasifican segundo o tamaño relativo dos seus lados: [Polígonos regulares] teñen todos os seus lados e todos os seus ángulos iguais [Polígonos irregulares] teñen ao menos un lado ou un ángulo desigual Si contas o número de lados dos polígonos que aparecen á dereita, verás que os dous de arriba son pentágonos (5 lados) e que os dous de abaixo son octógonos (8 lados). Dos catro, os dous da esquerda son regulares, porque todos os seus lados e os seus ángulos son iguais. Os dous da dereita, sen embargo, son irregulares ao non ter iguais nin seus lados nin seus ángulos.

Regulares

Irregulares

[Triángulos] O triángulo é un polígono de tres lados e tres vértices. Os triángulos son os únicos polígonos que non teñen diagonais. As súas propiedades fundamentais son: • • •

A suma dos seus ángulos interiores e 180º. Cada lado é menor que a suma dos outros dous e maior que a súa diferenza. A maior lado oponse sempre maior ángulo.

[Clasificación dos triángulos] Os triángulos poden clasificarse segundo as relacións de igualdade ou desigualdade entre os seus lados ou entre os seus ángulos:

CLASIFICACIÓN DOS TRIÁNGULOS

SEGUDO OS SEUS LADOS

SEGUNDO OS SEUS ÁNGULOS

Segundo os seus lados. [Equilátero] Todos os lados e ángulos iguais [Isósceles] Ten dous lados e dous ángulos iguais. [Escaleno] Todos os lados e ángulos diferentes. Segundo os seus ángulos: [Acutángulo] Todos os ángulos son agudos, menores de 90º [Obtusángulo] Un dos seus lados é obtuso, maior de 90º [Rectángulo] Un dos seus lados é de 90º.

Para trazar un triángulo se utilizan basicamente dous métodos: a partir dun lado dado o inscribíndoo nunha circunferencia de radio dado.

[puntos e rectas notables dos triángulos]

PUNTOS E RECTAS NOTABLES DOS TRIÁNGULOS

O punto no que se cortan as tres mediatrices do triángulo chamanse circuncentro, e é centro da circunferencia circunscrita a dito triángulo. O punto no que se cortan as tres bisectrices do triángulo se chama incentro, e é centro da circunferencia inscrita en dito triángulo. O punto en que se cortan as tres medianas do triángulo chamase baricentro. O punto en que se cortan as tres alturas do triángulo chamase ortocentro

[Mediatrices e circuncentro do triángulo] As mediatrices dos lados do triángulo son as rectas perpendiculares a estes, que pasan polo seu punto medio.

Si se trazan as mediatrices dos tres lados, obtense o circuncentro do triángulo, que é o centro da circunferencia circunscrita a dito triángulo.

[Bisectrices e incentro do triángulo] A bisectriz é a semirrecta que divide un ángulo en dous metades iguais.

As bisectrices do triángulo córtanse nun punto chamado incentro. Este punto equidista dos tres lados do triángulo e é centro da circunferencia inscrita no triángulo.

[Medianas y baricentro del triángulo] As medianas do triángulo son os segmentos que unen cada vértice do triángulo co punto medio do lado oposto.

As tres medianas do triángulo se cortan no punto denominado baricentro.

[Alturas y ortocentro del triángulo] As alturas do triángulo son as rectas perpendiculares a cada un dos lados que pasan polos vértices opostos.

As alturas do triángulo se cortan no punto chamado ortocentro.

[Cuadriláteros] [Cuadrilátero] O cuadrilátero é un polígono de catro lados, catro vértices e catro ángulos. Os seus ángulos suman 360º. A diagonal é o segmento que divide ao cuadrilátero en dous triángulos.

[clasificación dos cuadriláteros] Segundo as relaciones que se establecen entre os seus lados e entre os seus ángulos, poden distinguirse tres tipos de cuadriláteros: paralelogramos, trapecios e trapezoides. [Paralelogramos] Cuadrilátero que ten os lados opostos iguais e paralelos entre si. [Cadrado]Ten os lados iguais e os catro ángulos rectos. As súas diagonais son iguais e se cortan formando 90º. Ë un polígono equilátero e equiángulo. [Rectángulo] Ten os lados opostos iguais, os ángulos rectos e as diagonais iguais. Estas se cortan sen formar 90º. [Rombo] Paralelogramo de lados iguais, e ángulos iguais dous a dous. As súas diagonais non son iguais e forman 90º ao cruzarse. [Romboide] Lados e ángulos opostos iguais entre si. As súas diagonais son iguais e non son perpendiculares.

[Trapecios] Cuadriláteros que teñen unicamente dous lados opostos paralelos chamados bases, sendo a súa altura a distancia entre ambas. [Rectángulos] Teñen dous ángulos rectos. A unión deses vértices determinan a altura. [Trapecio Isósceles] Teñen os lados que non son paralelos iguais. As súas diagonais son iguais. [Trapecio Escaleno] Non teñen ningún ángulo, nin lado, nin diagonal igual. [Trapezoides] Non teñen ningún lado paralelo. Os ángulos e lados son desiguais.

Para trazar un cadrado, un pentágono ou un hexágono se utilizan basicamente dous métodos: a partir dun lado dado o inscribíndoo nunha circunferencia de radio dado.

[Polígonos estrelados] Os polígonos estrelados constitúen unha dan figuras máis fermosas en xeometría e foron moi usados no arte árabe e renacentista. Partindo dun polígono regular, e unicamente variando a orde de unión dos seus vértices constrúense estes polígonos chamados estrelados ou cóncavos, cuxos lados e ángulos son iguais. Para definilos debemos ter en conta o seu xénero e a súa especie ou paso. [Xénero] É o número de cordas utilizadas para trazalo e coincide co número de lados que ten o polígono convexo do que partimos. [Especie] É a alternancia na unión dos vértices ou lados consecutivos. O polígono se pecha no mesmo vértice no que se comezou; o seu trazado pode facerse sen levantar o lapis do papel.

5º XÉNERO 2ª ESPECIE

7º XÉNERO 2ª ESPECIE

7º XÉNERO 3ª ESPECIE

8º XÉNERO 3ª ESPECIE

Para construír polígonos de calquera número de puntas debes empezar construíndo o polígono regular que teña tantos lados como número de puntas. Despois en vez de unir os vértices consecutivamente alternas as unións.