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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

JORGE MONTAÑO PISFIL

Callao, 2015

Mecánica de sólidos I – JORGE MONTAÑO PISFIL

Página 0

Capítulo 1

INTERACCIÓN ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO 1.1 INTRODUCCIÓN El presente capítulo trata sobre el campo eléctrico originado por cargas eléctricas estáticas (sin movimiento) y los efectos que produce el campo eléctrico al interactuar con otras cargas eléctricas estáticas. Iniciaremos este capítulo con el estudio de las cargas eléctricas, los tipos de carga, los principios que establecen que la carga eléctrica se conserva y que está cuantizada, continuando con las interacciones entre cargas eléctricas en reposo o también denominadas interacciones electrostáticas. Tales interacciones son sumamente importantes porque mantienen unidos a los átomos, a las moléculas y a nuestros cuerpos, y tienen numerosas aplicaciones tecnológicas. Las interacciones electrostáticas son explicadas por la ley de Coulomb y se describen usando el concepto de campo eléctrico. Finalmente queremos señalar que, si bien los conceptos físicos son simples, su aplicación a problemas prácticos exigirá todas sus habilidades matemáticas, especialmente sus conocimientos de geometría y de cálculo integral. Se recomienda que el alumno entienda los conceptos y principios básicos antes de intentar resolver los problemas asignados, esto se consigue de mejor manera mediante una lectura cuidadosa, antes de asistir a clases, de la teoría sobre la Electricidad y el Magnetismo, correspondiente. En el siguiente cuadro se muestra la relación que existe entre las cargas eléctricas estáticas y el campo eléctrico que generan. Asimismo, se puede observar las mediciones vectoriales y las mediciones escalares que se acostumbran a realizar para estudiar los efectos de las cargas estáticas y del campo eléctrico asociado a dichas cargas.

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CUADRO QUE MUESTRA LA RELACIÓN ENTRE LAS CARGAS ELÉCTRICAS ESTÁTICAS, EL CAMPO ELÉCTRICO, Y LAS CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES QUE RESULTAN DE MEDIR LOS EFECTOS DEL CAMPO ELÉCTRICO

CARGAS ELÉCTRICAS ESTÁTICAS

CAMPO ELÉCTRICO CANTIDADES VECTORIALES QUE RESULTAN DE MEDIR LOS EFECTOS PRODUCIDOS POR EL CAMPO ELÉCTRICO

CANTIDADES ESCALARES QUE RESULTAN DE MEDIR LOS EFECTOS PRODUCIDOS POR EL CAMPO ELÉCTRICO

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

POTENCIAL ELÉCTRICO

FUERZA ELÉCTRICA

DIFERENCIA DE POTENCIAL

ENERGÍA ELECTROSTÁTICA

CAPACITANCIA

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1.2 CARGA ELÉCTRICA La carga eléctrica es una propiedad fundamental de las partículas que constituyen la materia. La cantidad de carga eléctrica “ Q ” es una cantidad escalar que mide el exceso o déficit de electrones que posee un objeto. Tipos de carga eléctrica: a) Carga positiva.- es la que posee un objeto que tiene déficit de electrones. Ejemplo: carga que adquiere una varilla de vidrio, inicialmente neutra, al ser frotada con seda. b) Carga negativa.- es la que posee un objeto que tiene exceso de electrones. Ejemplo: carga que adquiere una varilla de plástico, inicialmente neutra, al ser frotada con lana. NOTA.- un objeto en estado normal está neutro, es decir que su número de electrones es igual a su número de protones, por lo tanto su carga neta es igual a cero.

1.3 PRINCIPIOS QUE CUMPLEN LAS CARGAS ELÉCTRICAS 1. “La carga eléctrica está cuantizada”. De acuerdo a la Física cuántica, la carga eléctrica se halla en “paquetes” discretos, es decir, está cuantizada, por lo tanto la carga que tiene o adquiere un objeto es un múltiplo entero de e, donde e es la unidad de carga elemental, cuyo valor es igual a – 1,6x10-19 Coulomb. Matemáticamente se cumple que:

Q  ne

Donde n es un número entero positivo o negativo, que indica el número de electrones que ha ganado o perdido un objeto, respectivamente. Por lo tanto, la carga Q puede ser + 10 e, - 6 e, +106 e, etc.

TABLA Nº 1.1 Carga y masa del electrón, protón y neutrón Partícula

Carga (C)

Masa (Kg)

Electrón (e)

- 1,6021917x10-19

9,1095x10-31

Protón (p)

+1,6021917x10-19

1,67261x10-27

Neutrón (n)

0

1,67492x10-27

Fuente: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – SERWAY/Cuarta Edición 2. “La carga eléctrica se conserva”. Es decir que en todo sistema aislado la carga neta permanece constante.

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3

Este principio también afirma que, la carga eléctrica no se crea ni se destruye sólo se transfiere de un objeto a otro. Es decir, si en un sistema aislado se hallan dos objetos inicialmente neutros y transferimos cargas eléctricas de uno de ellos al otro, se cumple que la cantidad de electrones que gana uno de los objetos es igual a la cantidad de electrones que pierde el otro.

1.4 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE CARGA Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA A. Distribuciones discretas de carga.- se presenta en las cargas puntuales (cargas muy pequeñas separadas una distancia relativamente grande) Ejemplos: - Carga de un ión (partícula cargada eléctricamente) - Tres cargas puntuales ubicadas en los vértices de un triángulo. B. Distribuciones continuas de carga.- se presenta en los cuerpos cuyas dimensiones no se pueden despreciar.  Si se tuviera un conjunto de cargas muy cercanas entre sí, diremos que se trata de una distribución continua de cargas. Ejemplo:

  

     

Paño de lana cargado positivamente, luego de haber sido frotado con una varilla de plástico que inicialmente estaba neutra.

Las distribuciones continuas de carga pueden ser de tres tipos: 1. Distribución de carga lineal.Se presenta en aquellos objetos donde predomina su longitud. Ejemplo: en un alambre o hilo cargado eléctricamente.

x

d

Q



dQ

x

En este tipo de distribución de carga tenemos una densidad de carga lineal  (en C/m) definido por:



c arg a Q (Para distribución uniforme)  longitud

O también:



dQ (Para distribución no uniforme) d

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4

Despejando “ dQ ” tenemos: dQ   d Integrando obtenemos:

Q  d L

2. Distribución de carga superficial.Se presenta en aquellos objetos donde predominan dos dimensiones. Ejemplo: un disco cargado eléctricamente.



R

En una distribución de carga superficial tenemos una densidad de carga superficial  (en C/m2) definido por:



c arg a Q  area A

O también:  

(Para distribución uniforme)

dQ dA

(Para distribución no uniforme)

Despejando “ dQ ” tenemos: dQ   dA

Integrando obtenemos:

Q    dA S

3. Distribución de carga volumétrica.Es la distribución real de carga (en tres dimensiones) que presentan los cuerpos u objetos cargados eléctricamente. Ejemplo: en un cilindro macizo cargado eléctricamente.



En una distribución de carga volumétrica tenemos una densidad de carga superficial  (en C/m3) definido por:



C arg a Q (Para distribución uniforme)  Volumen V

O también:



dQ dV

(Para distribución no uniforme)

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Despejando “ dQ ” tenemos: dQ   dV



Integrando obtenemos: Q   dV V

1.5 CONDUCTORES Y AISLADORES Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con bastante libertad. El cobre, el aluminio, la plata, son ejemplos de conductores. Cuando estos materiales se cargan en alguna pequeña región, la carga se distribuye por si sola sobre la superficie del conductor. Los aisladores son materiales en los que las cargas se mueven con mucha dificultad. El vidrio, caucho, agua, aceite, madera seca, algunos polímeros, son ejemplos de aislantes. Cuando dichos materiales se cargan por frotamiento, sólo el área que se frota queda cargada y la carga no puede moverse a otras regiones del material. * Los semiconductores son una tercera clase de materiales. Sus propiedades eléctricas se encuentran entre las de los aisladores y las de los conductores. El silicio y el germanio son ejemplos muy conocidos de semiconductores utilizados comúnmente en diversos dispositivos electrónicos.

1.6 FUERZA ELÉCTRICA, LEY DE COULOMB: FORMA VECTORIAL Charles Augustin Coulomb (1736-1806) midió cuantitativamente la atracción y repulsión eléctricas y dedujo la ley que las gobierna. En 1785, Coulomb estableció la ley fundamental de la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas en reposo. Los experimentos demuestran que una fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades: - La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la separación, r , entre las dos partículas y está dirigida a lo largo de la línea que une a las partículas. - La fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas q1 y q2 de las partículas. - La fuerza es atractiva si las cargas son de signo opuesto y repulsiva si las cargas tienen el mismo signo. A partir de estas observaciones, podemos expresar la magnitud de la fuerza eléctrica entre las cargas q1 y q2 como:

F

1 q1. q 2 . 4 0 r 2

Donde  0 es la permitividad del vacío, cuyo valor es igual a 8,85x10-12 C2/N.m2

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La trascendencia de la ley de Coulomb va mucho más allá de la descripción de las fuerzas que actúan entre esferas cargadas. Esta ley, cuando está incorporada dentro de la estructura de la Física cuántica, describe correctamente (1) las fuerzas eléctricas de enlace de los electrones de un átomo con su núcleo, (2) las fuerzas que enlazan a los átomos entre sí para formar las moléculas, y (3) las fuerzas que ligan a los átomos y a las moléculas entre sí para formar a los sólidos y los líquidos. Así la mayoría de las fuerzas de nuestra experiencia diaria que no son de naturaleza gravitatoria son eléctricas. Las fuerzas eléctricas entre cuerpos cargados tienen muchas aplicaciones industriales, estando entre ellas el rociado electrostático de pintura y el recubrimiento con polvos, la precipitación de cenizas volantes, la impresión sin impacto por chorro de tinta, y el fotocopiado. En el caso del fotocopiado, las partículas de toner con carga negativa son atraídas de sus esferas portadoras a una imagen latente con carga positiva del documento que desea copiarse, la cual se forma sobre un tambor giratorio. Una hoja de papel cargada atrae entonces hacia sí las partículas de toner del tambor, después de lo cual se funden mediante calor para obtener la copia final.

Ley de Coulomb: Forma vectorial a) Para dos cargas puntuales: Sean las cargas puntuales + q1 y + q2 , en estado de reposo o estacionarias, mostradas en la figura. En este caso, como las cargas son del mismo signo la fuerza eléctrica es de repulsión, esta fuerza también se ha graficado en la figura. z 



F2/1



q1

q2



F 1/ 2



r  r r 11



r2



r

2

y 0 Sistema de referencia “fijo”

x

 * F 1/ 2 = Fuerza eléctrica ejercida por

q1 sobre q2



* F 2 / 1 = Fuerza eléctrica ejercida por q2 sobre q1 



Se cumple: F2 / 1   F1 / 2





y F 2 / 1  F1 / 2

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7



Según la ley de Coulomb: forma vectorial, la fuerza eléctrica F , en el vacío o en el aire, viene dada por la siguiente ecuación: 

F

1 q1.q2  . r , O también: 4 0 r 2



F

1 q1.q2  . r 4 0 r 3







Donde: r = vector unitario en la dirección del vector r ; se cumple que: r 



r r

De la figura: 













r1  r  r2 , despejando r obtenemos: r  r2  r1 



Luego, reemplazando r la expresión general para F será: 

F

  q q 1 . 1. 2 (r2  r1 ) 4 0 Ir2  r1 I3

Unidades en el SI:

Equivalencias:

F : newton (N)

1 C = 6,25x1018 e

q : coulomb (C)

1 C = 10-6 C

d : metro (m)

1 pC = 10-12 C

b) Para distribuciones discretas de carga: La figura muestra las cargas puntuales + q1 , + q2 , q3 , . . . , - qn , interactuando con + q . Cada una de estas cargas ejerce una fuerza eléctrica de atracción o repulsión sobre la carga + q . Estas fuerzas se aprecian también en la figura.

 q1 

F3

d1  q2

d2

q



F2

d3  q3

dn  Fn

 F1

 qn ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

8



La fuerza resultante F , que actúa sobre la carga + q , se halla por el principio de superposición aplicado a las fuerzas eléctricas: la fuerza resultante es igual a la suma de las fuerzas que ejercen por separado cada una de las cargas que actúan sobre + q . Matemáticamente sería: 

n 

F  Fi



o también:









F  F 1 F 2  F 3  ....  F n

i 1

c) Para distribuciones continuas de cargas:

z Sea la distribución continua de carga Q , mostrada en la

puntual

q.

dF

Para

 r 2

aplicar la ley de Coulomb es

 

necesario

r1 r 1

tomar

un

diferencial de carga



q

r

dQ dQ

figura, interactuando con la carga



Q

r2

dQ ,

luego calcular la fuerza entre

y

éste diferencial y la carga

O

puntual “ q ”, y por último

Sistema de referencia “fijo”

x

integrar. 

* Observe que el vector r se traza desde “ dQ ” hasta ” q ”. Por ley de Coulomb, la fuerza eléctrica ejercida por el elemento diferencial dQ , sobre la carga “ q ”, viene dada por: 

dF 

1 dQ.q  r 4 0 r 2

Integrando tenemos:



1 F 4 0

dQ.q   r2 r 0

Q



O también:

 Si la distribución es lineal:

dQ   d

 Si la distribución es superficial:

dQ   dA

F

q 4 0

.

dQ 







(r2  r1 ) 3

r2  r1

 Si la distribución es volumétrica: dQ   dV

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1.7 CAMPO ELÉCTRICO Cuando un cuerpo u objeto cargado eléctricamente se halla ubicado en algún lugar del espacio modifica de alguna manera las propiedades del espacio alrededor de él. Esta región del espacio alrededor de la carga, cuyas propiedades han sido modificadas, recibe el nombre de campo eléctrico. Este campo eléctrico está presente aunque no haya ningún otro cuerpo u objeto cargado eléctricamente en dicha región. Para comprobar experimentalmente si hay un campo eléctrico en un punto particular del espacio, colocamos un objeto cargado llamado carga de prueba (carga unitaria positiva), en dicho punto. Si la carga de prueba experimenta una fuerza eléctrica (de atracción o repulsión), habrá un campo eléctrico en ese punto. Este campo es producido por otra u otras cargas que no son la carga de prueba. Cuando en cierto lugar del espacio hay dos cuerpos u objetos cargados, cada uno de ellos crea alrededor suyo un campo eléctrico, siendo la fuerza eléctrica de atracción o repulsión el resultado de la interacción entre los cuerpos u objetos debido a la existencia de los campos eléctricos. Es decir, la fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos cargados. El campo eléctrico desempeña el papel de intermediario entre dos cargas. Esto significa que al campo eléctrico le cabe el papel de transmisor de interacciones entre cuerpos u objetos cargados eléctricamente. La siguiente tabla muestra las magnitudes de algunos campos eléctricos de la naturaleza. TABLA Nº 1.2 Algunos campos eléctricos de la naturaleza Campo eléctrico (N/C) En los cables domésticos

10-2

En las ondas de la radio

10-1

En la atmósfera

102

En la luz solar

103

Bajo una nube tormentosa

104

En la descarga de un relámpago

104

En un tubo de rayos x

106

En el electrón de un átomo de hidrógeno

6 x 1011

En la superficie de un núcleo de uranio

6 x 1021

Fuente: Física PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA – TIPLER/MOSCA. EDICIÓN 5a

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El campo eléctrico es la región del espacio que rodea a una carga eléctrica en reposo, cuyas propiedades se alteran debido a la presencia de esta carga, logrando ejercer una fuerza eléctrica de atracción o repulsión sobre otras cargas eléctricas ubicadas en dicha región. El campo eléctrico transmite las interacciones entre cuerpos cargados eléctricamente. Se considera que el campo eléctrico creado por una carga tiene como límite el infinito. 

F 



q0



Campo eléctrico

q

Carga de prueba

+q = carga generadora del campo eléctrico

1.8 LÍNEAS DE FUERZA Son líneas imaginarias que tienen por finalidad describir gráficamente un campo eléctrico. Convencionalmente se asume que las líneas de fuerza salen de una carga positiva e ingresan a una carga negativa. CARACTERISTICAS:

a. La tangente geométrica a estas líneas en cada punto da la dirección del campo eléctrico en dicho punto. b. Las líneas de fuerza son continuas, no se cruzan ni son cerradas. c. Las líneas de fuerza se originan en una carga positiva (fuente) y terminan en una carga negativa (sumideros). d. Las líneas de fuerza son perpendiculares a la superficie del cuerpo que crea el campo eléctrico. e. Las líneas de fuerza llenan todo el espacio hasta el infinito, pero por cuestiones didácticas sólo se representan algunas de estas líneas. f. El número de líneas que salen de una carga (o que llegan a una carga) debe ser proporcional al valor de la carga, por lo tanto la densidad de líneas de fuerza es proporcional a la intensidad del campo eléctrico. g. Las líneas de fuerza son paralelas cuando el campo eléctrico es un campo uniforme.

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DESCRIPCIÓN GRÁFICA DEL CAMPO ELÉCTRICO ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES DE LA MISMA MAGNITUD

A) De diferente signo En

este

caso

las

cargas

eléctricas se atraen entre sí, por lo tanto las líneas de fuerza

-

+

que describen gráficamente el campo

eléctrico

tienen

la

siguiente forma.

B) De igual signo Cuando las cargas tienen signo contrario se repelen o rechazan entre sí, por 

lo tanto las líneas de fuerza

que

gráficamente eléctrico



describen el

campo

tienen

la

siguiente forma. 

1.9 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO ( E ) Cantidad vectorial que se define como la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre una carga de prueba ubicada en un punto del campo eléctrico. 

El vector E

tiene la misma dirección de la fuerza eléctrica y es tangente a las líneas de

fuerza en cualquier punto. 

E 



q



F





Fuerza eléctrica F E  c arg a de prueba q 0

q0 Unidades en el SI: E: volt/metro (V/m) F: newton (N) q: coulombio (C)

Para utilizar esta ecuación debemos considerar una carga de prueba lo suficientemente pequeña como para no perturbar la distribución de las cargas cuyos campos eléctricos ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

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estamos tratando de medir. Por lo tanto, la ecuación anterior se escribiría de la siguiente forma: 



E

F

Lím q q0  0

o

CASOS: A. Campo eléctrico debido a una carga puntual

Sea la carga puntual  Q en estado de reposo, la cual crea un campo eléctrico a su 

alrededor. La intensidad de campo eléctrico E en un punto, a la distancia r de esta carga, se determina a partir de la ley de Coulomb: forma vectorial, tal como se indica a continuación. 

Se sabe que: E 



F q0

. . . (1)

1 Q.q o  r 4 0 r 2



Por ley de Coulomb: forma vectorial, tenemos: F  Reemplazando en (1):

1 Q.q0  r  4 0 r 2 E q0



E

Q r 4 0 r 2 1

B. Campo eléctrico debido a distribuciones discretas de carga

Si tenemos las cargas puntuales + q1 , + q2 , + q3 , . . . , - qn , tal como se muestran en la figura, cada una de ellas genera una intensidad de campo eléctrico en el punto A. Los vectores campo eléctrico correspondientes a estas cargas se aprecian también en la figura. 

q1 

E3

r1 

E2 

A

r2

q2





r3



rn E n 

q3

E1

qn

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

El campo eléctrico resultante ER en el punto A se halla por el principio de superposición aplicado a los campos eléctricos. Es decir: 









ER  E1  E2  E3  . . .  En

C. Campo eléctrico debido a distribuciones continuas de cargas

Sabemos que la carga eléctrica está cuantizada, sin embargo un gran número de cargas elementales pueden considerarse como una distribución de carga continua. El campo debido a una distribución de carga continua puede calcularse al dividir la distribución en 

elementos infinitesimales dQ . Cada elemento de carga establece un campo “ d E ” en un punto P, y el campo resultante en P se determina entonces a partir del principio de superposición al sumar (es decir: al integrar) las contribuciones de campo debidas a todos los elementos de carga. Ejemplo: Sea la carga continua Q , mostrada en la figura. Para calcular la intensidad de campo eléctrico en el punto P es necesario tomar un diferencial de carga dQ , luego calcular el campo eléctrico en el punto P, debido a este elemento diferencial, y por último integrar. z 

Q

P

r

dQ dQ





dE









r2

r1 r 1

r2

y O Sistema de referencia “fijo”

x

El campo eléctrico en el punto P, debido al elemento diferencial dQ , viene dado por: 

dE

1 dQ  r ; integrando tenemos: 4 0 r 2



E

1 dQ.  r 40  r 2

La ecuación integral anterior equivale a:

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

E

dQ  r 4 0  r 3



1

;

E

O también:

1 4 0



dQ 







(r2  r1 ) 3

r2  r1

Donde:

dQ   d , si la distribución es lineal; dQ   dA , si la distribución es superficial dQ   dV , si la distribución es volumétrica 1.10

MAGNITUD DEL CAMPO ELÉCTRICO PARA ALGUNAS CONFIGURACIONES DE CARGA ELÉCTRICA

Cuando se tiene configuraciones de carga conocidas, como por ejemplo las que se muestran a continuación, la magnitud o módulo del campo eléctrico se puede calcular en forma directa. Si asumimos que alrededor de las cargas hay vacío, las ecuaciones a utilizar son las que se indican. 1) Para un hilo rectilíneo de longitud L con densidad de carga lineal  



E



La magnitud de E en el punto P, ubicado en

P

el plano medio, viene dado por:

d

E

L 2 0 d L2  4d 2

L 2) Para un hilo infinito con densidad de carga lineal  

E





P

La magnitud de E en el punto P, viene dado por:

r

E

 2 0 r

3) Para un anillo de radio “R” con densidad de carga lineal  



La magnitud de E en el punto P, viene

E P

dado por:



E

z R

* Si z  0

Rz 2 0 ( R2  z 2 )3/ 2

(centro del anillo):

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E0

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4) Para un semianillo de radio “R” con densidad de carga lineal 

 

La magnitud de E



O



en el punto O, viene

dado por:

E

E

R

 2 0 R

5) Para un disco de radio “R” con densidad de carga superficial  

La magnitud de E



E

en el punto O, viene dado por:

   z 1   2 0  R2  z 2   z  0 (centro del disco): E  2 0 E

P

 z * Si R O

, este campo

es igual al campo de un plano infinito.

6) Para un casquete esférico de radio R con densidad de carga superficial  

La magnitud de E en el punto P, viene dado



por:



E  P

r

 R2 E 0 r2 * Si

R

r  R (puntos de la superficie): E 

 0

Nota.- en puntos muy cercanos a la superficie de un conductor cualesquiera (por ejemplo un casquete esférico), se cumple que:

E

 0

; donde:  = densidad de carga superficial

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1.11 FLUJO ELÉCTRICO El flujo es una propiedad de cualquier campo vectorial. Por lo tanto, el flujo de un campo vectorial es una medida del flujo o intensidad de penetración de los vectores de campo a través de una superficie fija imaginaria en el campo. En términos sencillos el flujo eléctrico es una medida del número de líneas de campo eléctrico que pasan a través de una superficie. 

Para un campo eléctrico uniforme E que atraviesa una superficie, representada por el 

vector S , como se muestra en la figura, el flujo eléctrico  se define como:





  E. S

; o también:

  E S cos 



, donde

campo uniforme



= ángulo ente



E y S



S 



E

En general, para una superficie cualesquiera (ver figura siguiente): 

dS 

E

dA



El flujo eléctrico que atraviesa el elemento diferencial de superficie d S viene dado por: 



d  E . d S

Integrando hallo el flujo eléctrico  para toda la superficie:





   E .d S S

* El flujo total T que atraviesa una superficie cerrada S, viene dado por:





T   E  d S S

Donde:



S

significa que la integral se extiende a toda la superficie cerrada.

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1.12 LEY DE GAUSS Es una versión más general de la ley de Coulomb y se utiliza para calcular el campo eléctrico creado por una o más cargas estáticas. Establece lo siguiente: “El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada por esta superficie” Ejemplo: sea la carga eléctrica Q, mostrada en la figura. Según la ley de Gauss se cumple que: 



T   E  d S 

Q

S

Q

0

Q = carga neta encerrada por la superficie gaussiana.

Superficie gaussiana (S.G.) * La superficie gaussiana es una superficie imaginaria que se traza alrededor de la carga

eléctrica antes de calcular el campo eléctrico debido a esta carga. * Para aplicar la ley de gauss debe existir simetría en la figura, esta simetría puede ser de

tipo cilíndrico, esférico, etc. Debemos entender por simetría, la propiedad de que el módulo del campo eléctrico es igual para puntos simétricos de la distribución de carga. OBSERVACIONES: 

1. Si Q = 0 (no hay carga encerrada)   = 0 . En este caso E también es igual a cero. 2. Si Q > 0   > 0 3. Si Q < 0   < 0 4. Si Q se halla fuera de la superficie cerrada, el flujo eléctrico  es igual a cero 5. Para distribuciones discretas de carga se cumple que Q 

n

q i 1

i

En este caso la ley de Gauss quedará expresada por: n

q3 q1



q2



  Ed S 

qn

S

q i 1

i

0

6. Para distribuciones continuas de carga, la carga Q (carga encerrada por S.G.) viene dado por:

Q   d L

(Para distribución lineal) ;

Q    dA (Para distribución superficial) S

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Q    dV (Para distribución volumétrica) V

Entonces, la ley de Gauss se expresará, según corresponda, de la siguiente forma: 



  Ed S 

  d

S

L

0





  Ed S 

;

  dA A

S

0





  Ed S 

;

S

  dV L

0

1.13 ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS 

1) Para calcular el campo eléctrico E debido a una carga puntual “ q ” Se tiene una carga puntual “ q ” ubicada en el origen de coordenadas, tal como se muestra 

en la figura. Para calcular el campo eléctrico E , a una distancia “ r ” de la carga (en la 

posición r ), trazamos primero la superficie gaussiana (S.G.) y luego aplicamos la ley de Gauss. En este caso la superficie gaussiana es una esfera de radio “ r ” porque se asume que la carga puntual es una esfera muy pequeña, de esta forma se cumple que el campo eléctrico tiene el mismo módulo en cualquier punto de la S.G.

z 

E 

r q



(r )

dS y

x Superficie gaussiana (S. G.) 

Por ley de Gauss: 



Q

Ed S   S



De la figura: E  E r



y

. . . (1)

0 

d S  dA r , dA = diferencial de área

Además: Q (carga neta encerrada por S.G.) = q (carga puntual)

Reemplazando en la ecuación (1):



S





E r  dA r 

q

0

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E  dA  S

q

0

19

dA  r 2 sen d d

En coordenadas esféricas:

E  r 2 sen d d 

Luego:

S

E (4 r 2 ) 

q

q

0 E

0



q

E para una carga puntual)

(Magnitud de

4 0 r 2 





q

El vector intensidad de campo eléctrico E será: E 

4 0 r 2

r



O

E

q 4 0 r 3



r



2) Para calcular el campo eléctrico E debido a un hilo infinito con densidad de carga lineal



En este caso la S.G. es un cilindro de radio “ r ” y altura “L”, cuyo eje es paralelo al hilo infinito tal como se muestra en la figura.

 

d S1 

E1

r



E2

L



d S2



Superficie Gaussiana (S.G.)



Por ley de Gauss:



Ed S  S

Q

0

d S3



E3

; Q = carga neta encerrada por S.G.

Descomponiendo la integral cerrada en tres integrales abiertas, y remplazando Q   L , tenemos:





Tapa sup erior











E1 . d S1  Superf . E2 . d S2  Tapa E3 . d S3  lateral

0  E (2 rL)  0 

inf erior

L 0

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

E

L 0

 2 0 r

20



Vectorialmente sería:

E

  r 2 0 r 

* Del resultado se concluye que E tiene dirección radial. 

3) Para calcular el campo eléctrico E debido a una lámina plana no conductora con densidad de carga superficial  . En este caso la S.G. es un cilindro que corta transversalmente a la lámina infinita (su eje es perpendicular al plano o lámina infinita), tal como se muestra en la figura.

 



d S3

d S2





A

E3

E1



E2



d S1 S. G.



Por ley de Gauss:



Ed S  S

Q

0

Descomponiendo la integral cerrada en tres integrales abiertas, y remplazando Q   A , tenemos: 



 E1  d S1 

Tapa dercha





 E2  d S 2 

Superficie lateral



Tapa izquierda

E ( A)  0  E ( A) 

E

 2 0



 E3  d S 3 

A 0

A 0

(Magnitud del campo eléctrico para un plano infinito)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

21

Nota.- El valor del campo eléctrico en un punto, debido a un plano o lámina infinita, no depende de la distancia. 

4) Para calcular el campo eléctrico E debido a una esfera aislante de radio R con densidad de carga volumétrica  . 

Como se trata de una esfera cargada, la S.G. también será una esfera (para que E tenga el mismo módulo en cualquier punto de la S.G.), cuyo radio variará dependiendo si se quiere hallar el campo eléctrico en puntos interiores o puntos exteriores de la esfera.

r  R:

a) Para puntos



Por ley de Gauss: Vista transversal de la esfera y de las superficies gaussianas



Ed S  S

Q

0

El desarrollo de la integral da como resultado



E(4 r 2 ) dS 

r

y

reemplazando

Q    dV , V

la

expresión anterior queda:

E

E (4 r 2 ) 

(r )

R

1

 0 V

 dV ;

Donde: dV  r 2 sen d d dr Luego:

Superficies Gaussianas (S.G.)

1

2

r



E(4 r 2 ) 

 0 r0 0 0

E(4 r 2 ) 

  4 r 3   0  3 

 r 2 sen d d dr

E

r 3 0

b) Para puntos r  R : Se aplica la ley de Gauss y se El procede en forma similar al;caso vector será: paraanterior. En este caso se debe tener en cuenta que al evaluar la integral triple los límites de “ r ” son 0 y R . Por lo tanto, la expresión que resulta al aplicar la ley de Gauss será:

E(4 r )  2

1

R 2



 0 r0 0 0

 r 2 sen d d dr

Evaluando la integral tenemos:

  4 R3  E (4 r )    0  3 

E

2



El vector campo eléctrico será:

E

 R3  r 3 0 r 2

 R3 3 0 r 2

; para r  R

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

22



5) Para calcular el campo eléctrico E debido a un cilindro infinito no conductor de radio R con densidad de carga volumétrica  . Como se trata de un cilindro infinito de radio R , la S.G. también será un cilindro de radio 

r , cuyo eje es el mismo que el del cilindro cargado eléctricamente. De esta forma E tendrá el mismo módulo en cualquier punto de la S.G. En este caso primero analizaremos para puntos interiores del cilindro de radio R ( r  R ) y luego para puntos exteriores al cilindro de radio R ( r  R ).

R





d S1 

E1

r



E2

L 

d S2 

d S3



E3

Superficie Gaussiana (S.G.)

a) Para puntos r  R (interior del cilindro de radio R): 

Por ley de Gauss:



Ed S  S

Q

0

El desarrollo de la integral da como resultado E (2 rL) porque no hay flujo a través los extremos planos del cilindro (de las tapas), y reemplazando Q 



V

de

 dV   ( r 2 L) , la

expresión anterior queda:

E (2 rL) 

E

r 2 0

 ( r 2 L) 0

(Magnitud del campo eléctrico para puntos interiores del cilindro de radio R )

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23



Vectorialmente será:

E

r  r 2 0

; para r  R

b) Para puntos r  R (exterior del cilindro de radio R): Se aplica la ley de Gauss y se procede en forma similar al caso anterior. En este caso se



debe tener en cuenta que Q 

V

 dV   ( R2 L) , porque la S.G. a considerar es un

cilindro cuyo radio r es mayor que R . Por lo tanto, la expresión que resulta al aplicar la ley de Gauss será:

E (2 rL) 

 R2 E 2 0 r

 ( R 2 L) 0 (Magnitud del campo eléctrico para puntos exteriores al cilindro de radio R )

 R2  E r 2 0 r 

El vector campo eléctrico será:

; para r  R

1.14 COMPORTAMIENTO DE UNA CARGA DENTRO DE UN CAMPO ELÉCTRICO 

Toda carga eléctrica “ q ” (positiva o negativa) en el interior de un campo eléctrico E 

experimenta una fuerza eléctrica F , debido a este campo. Esta fuerza es igual al producto de la carga y el campo eléctrico. Es decir: 



F qE

CASOS : A) Cuando la carga es positiva 

q 

E







F tiene la misma dirección que

F

E

B) Cuando la carga es negativa 

E 

F

q



F tiene dirección contraria a

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

E

24

1.15 DIPOLO ELÉCTRICO Se denomina dipolo eléctrico al sistema formado por dos cargas puntuales de la misma magnitud y signo contrario, separadas una distancia pequeña fija “ a ”. 

a 

q

q

Campo eléctrico de un dipolo 

El campo eléctrico debido a un dipolo, en un punto arbitrario 0, suficientemente alejado del dipolo (r >> a), es:

0

E

r

1

P E 3cos2   1 3 4 0 r



 a

q

P 

q

Momento dipolar Se define como el producto de una de las cargas y la distancia que las separa. Es decir: 





P qa

; P = Momento dipolar eléctrico 

Torque de un dipolo eléctrico (  ) Cantidad vectorial igual al producto del momento dipolar y la intensidad del campo eléctrico. 



Consideremos un dipolo eléctrico de momento dipolar P , dentro de un campo eléctrico E (ver la figura).

q

F  qE



a F  qE





E





  p xE



q

O también:





  a xF

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25

Capítulo 2

POTENCIAL ELÉCTRICO 2.1 POTENCIAL ELÉCTRICO El potencial eléctrico es una cantidad escalar que se utiliza para expresar cuantitativamente la medición de los efectos del campo eléctrico en un punto de dicho campo. Dado que el potencial eléctrico es una cantidad escalar, entonces lleva el mismo signo de la carga que genera el campo eléctrico.

2.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL La diferencia de potencial “ dV ” se define como la variación de energía potencial por unidad de carga. Es decir:

dV 

  dU   E d  q0

Para un desplazamiento finito desde el punto A al punto B, la diferencia de potencial viene dado por

VB  V A 

   B U   E  d  ; donde : d  d r A  q0

Donde:

VB = Potencial eléctrico en el punto B ;

V A = Potencial eléctrico en el punto A

U = Variación de energía potencial

 q0 = Unidad de carga (o carga de prueba)

;

2.3 POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN PUNTO Si consideramos que el punto A es un punto de referencia donde el potencial eléctrico es nulo ( VA  0 ), entonces la ecuación anterior queda de la siguiente forma:

VB 

   B U   E  d  ; donde : d  d r A  q0

Donde:

VB = potencial eléctrico en el punto B

;

U = Variación de energía potencial

 q0 = unidad de carga (o carga de prueba) ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

26

* Se consideran como puntos de referencia el infinito y tierra, por lo tanto:

V(Tierra )  0

;

V  0

2.4 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL Sea la carga puntual  q mostrada en la figura. El potencial eléctrico debido a esta carga, en 

la posición r , viene dado por: z

q





r  r'

P



r'

V



r

q 



4 0 r  r´

y

O

x

2.5

POTENCIAL

ELÉCTRICO

DEBIDO

A

DISTRIBUCIONES

DISCRETAS DE CARGA Si tenemos las cargas puntuales + q1 , + q2 , q3 , . . . , - qn , tal como se muestran en la figura, cada una de ellas crea un potencial eléctrico en el punto A. El potencial eléctrico resultante ( VR ) en el punto “A” se halla aplicando el principio de superposición, es decir: 

n

VR  Vi  V1  V2  . . .  Vn

q1

i 1

r1

Donde: 



r2

q2

rn

r3

Vi 

A

1 qi ; i  1, 2, . . , n. 4 0 ri

* Si q i lleva signo positivo, entonces Vi también llevará signo positivo. De la misma forma, si q i lleva signo negativo,



 q3

qn

entonces

Vi

también

llevará

signo

negativo.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

27

2.6

POTENCIAL

ELÉCTRICO

DEBIDO

A

DISTRIBUCIONES

CONTINUAS DE CARGA Sea la distribución continua de carga “ Q ” mostrada en la figura. El potencial eléctrico en la 

posición r , debido a esta distribución continua de carga, viene dado por: z 

Q



V

r  r'

dQ dQ

P

1 4 0



dQ 

 ´

rr



r

 

r'

r

r1

2

Donde:

dQ   d , para una distribución de carga lineal. y

O

x

Sistema de referencia “fijo”

dQ   dA , para una distribución de carga superficial.

dQ   dV , para una distribución de carga volumétrica.

2.7 RELACIÓN ENTRE EL POTENCIAL Y LA INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO 

Cuando se conoce el potencial eléctrico V , la intensidad de campo eléctrico E se puede hallar mediante el negativo del gradiente de potencial. Es decir, se cumple que: 

E   V Nota: el signo menos del gradiente del potencial eléctrico es porque el trabajo que se realiza es en contra del campo.

Gradiente de una función escalar φ en coordenadas rectangulares (x, y, z)

 

      ax  ay  az x y z

Gradiente de una función escalar φ en coordenadas cilíndricas ( ,  , z)

  1       a  a  a     z z ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

28

Gradiente de una función escalar φ en coordenadas esféricas  r ,  ,   :

 

2.8

  1   1   ar  a  a r r  r sen 

ENERGÍA ELECTROSTÁTICA ( WE )

Es la energía que se almacena en un punto cualesquiera de un campo electrostático, debido a este campo. En el caso de una distribución continua de carga, esta energía se puede calcular con la siguiente ecuación:

WE  Donde:

1  0 E 2 dV  2V

E = módulo o magnitud de la intensidad de campo eléctrico.

* Se denomina densidad de energía electrostática ( wE ) a la cantidad de energía que almacena un campo electrostático por cada unidad de volumen. Por lo tanto, la energía electrostática WE , en función de wE , se puede expresar de la siguiente forma:

WE   wE dV

;

V

Donde:

1 wE   0 E 2 2

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29

Capítulo 3 CAPACITANCIA Y CAPACITORES, DIELÉCTRICOS 3.1 CAPACITANCIA Y CAPACITORES Todos los cuerpos conductores (metales) tienen la capacidad de electrizarse y por tanto, almacenar cargas eléctricas positivas o negativas. La capacitancia es una cantidad escalar que se define como la cantidad de carga eléctrica que se le debe entregar a un cuerpo conductor neutro para que adquiera un potencial eléctrico igual a la unidad.

C 

Q V

Donde: C = capacitancia Q = carga eléctrica V = potencial eléctrico

Unidades en el SI: C: faradio (F) Q: culombio (C) V: voltio (V)

NOTA: como el faradio es una unidad muy grande, en la práctica se utilizan las siguientes unidades: milifaradio ( mF ) = 10-3 F microfaradio ( F ) = 10-6 F nanofaradio ( nF ) = 10-9 F picofaradio ( pF ) = 10-12 F Cuando dos conductores electrizados con cantidades de carga de signos diferentes y de igual magnitud se encuentran muy próximos entre sí pueden almacenar una Energía Potencial Eléctrica que puede ser útil para la construcción de ciertos dispositivos eléctricos denominados CAPACITORES, utilizados ampliamente en los aparatos eléctricos y electrónicos, como televisores, equipos de sonido, computadores, teléfonos celulares, etc.

Q--

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+Q

30

Los capacitores más utilizados en el mercado son: planos, cilíndricos y esféricos (ver la figura mostrada a continuación).

-

-

+

-

+

+

Los Capacitores son dispositivos constituidos por dos cuerpos conductores (placas o láminas del capacitor) separados por una distancia pequeña y que se utilizan para almacenar Energía Potencial Eléctrica.

CAPACITOR PLANO – PROCESO DE CARGA DE UN CAPACITOR PLANO Un capacitor plano es aquel cuyas placas o láminas son planas y paralelas entre sí. Para cargar un capacitor se conecta a una fuente de energía eléctrica, como una batería o una pila, tal como se observa en la figura. En el proceso de carga del capacitor, existe un desplazamiento de electrones desde la placa conectada al polo positivo hacia la placa conectada al polo negativo (ver la figura anterior). La batería actúa como una bomba de electrones que lleva a los electrones de una placa a la otra.

Q+

Q-

--

--

--

---

d

-

--

+

--

BATERÍA

El desplazamiento de estos electrones se produce, porque, en principio, las placas del capacitor tienen un potencial eléctrico cero y los polos de la batería un potencial eléctrico diferente de cero, esto hace que los electrones libres se desplazan desde una placa a otra. El desplazamiento de electrones se da hasta que el sistema alcance el equilibrio electrostático, es decir, la diferencia de potencial eléctrico entre las placas del capacitor sea igual a la diferencia de potencial eléctrico de los polos de la batería. Por tanto, cuando el capacitor ya este cargado, su diferencia de potencial eléctrico es igual a la diferencia de potencial de la batería. La representación simbólica del capacitor plano y su fuente de tensión (batería) mostrada en la figura anterior es la que se muestra a continuación. Q-

Q+

a

a

b

-

+

b

Vab La capacitancia de un capacitor plano, está dada por la razón entre la magnitud de la carga eléctrica de una de sus placas y la diferencia de potencial al cual están conectadas sus placas. Es decir:

C  Q / Vab .

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31

La capacitancia de un capacitor es propia de sus características geométricas. Para un capacitor plano la capacitancia depende del medio que exista entre las placas, del área de las placas (A) y de la distancia de separación (d) entre estas. Cuando el medio que separa a las placas es el aire o vacío, la capacitancia C0 del capacitor plano está dada por

Co   o

A d

Cuando el medio es un dieléctrico de constante dieléctrica k , la capacitancia

Cd

del

capacitor plano está dada por

C  k o

A  k Co d

CAPACITOR CILÍNDRICO Un capacitor cilíndrico consta de un pequeño cilindro o alambre conductor de radio R1 y una corteza cilíndrica mayor de radio R2 concéntrica con la anterior. Un cable coaxial, como el utilizado en la televisión por cable, puede considerarse como un capacitor cilíndrico. La capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial es importante en la determinación de las características de transmisión del cable. Sea el capacitor cilíndrico de radios R1 y R2 (R2 > R1) y longitud L, sin dieléctrico, tal como se muestra en la siguiente figura.

R2 

R1

L La capacitancia C0

de este capacitor cilíndrico, se determina a través de la siguiente

ecuación:

C0 

2 0 L ln( R2 / R1 )

Si entre las láminas del capacitor cilíndrico hubiese un dieléctrico de constante dieléctrica k , la capacitancia C d de este capacitor está dada por la siguiente ecuación:

Cd 

2 k 0 L ln( R2 / R1 )

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32

CAPACITOR ESFÉRICO Un capacitor esférico está constituido por dos cascarones conductores esféricos concéntricos de radios R1 y R2 (R2 > R1). El cascarón interior tiene una carga total  Q y el cascarón exterior tiene una carga  Q , tal como se muestra en la figura.

Q

Q

R2

R1

La capacitancia C0 de un capacitor cilíndrico, sin presencia de dieléctrico, se calcula con la ecuación siguiente:

C  4 0

R1 R2 ( R2  R1 )

Si entre las láminas del capacitor esférico hubiese un dieléctrico de constante dieléctrica k , la capacitancia C d de este capacitor está dada por la siguiente ecuación:

C  4 k  0

R1 R2 ( R2  R1 )

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DE UN CAPACITOR La cantidad de energía empleada por la batería para trasladar las cargas de una placa a otra depende de la cantidad de carga final que adquiere el capacitor y de la diferencia de potencial que aparece entre las placas. Esta energía empleada por la batería es la energía almacenada por el capacitor. Es decir:

U  WBateria 

1 q Vab 2

ASOCIACIÓN DE CAPACITORES ASOCIACIÓN EN SERIE Un sistema de dos o más capacitores se hallan asociados en serie, cuando estos se conectan uno a continuación del otro sin haber conexiones intermedias, tal como se observa en la figura: C1 Q

C3

C2 Q

Q

V ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

33

Su conexión equivalente será:

Q

CEQUIVALENTE

V Características: - La carga de cada capacitor, incluido el equivalente, es la misma. - La suma de la diferencia de potencial de cada capacitor es igual a la diferencia de Potencial de la fuente. - La capacitancia total o capacitancia equivalente se calcula con la ecuación siguiente:

ASOCIACIÓN EN PARALELO Un sistema de dos o más capacitores se halla conectados en paralelo cuando sus extremos están conectados a puntos comunes, de tal forma que todos los capacitores reciben la misma diferencia de Potencial (ver la figura mostrada a continuación). Q1

Q2

Q3

La conexión equivalente será:

C1

C2

C3

CEQUIVALENTE Q

Características: - La diferencia de Potencial de cada Capacitor, incluido el equivalente, es la misma. Es decir que la diferencia de potencial permanece constante. - La suma de las cargas de los capacitores en paralelo es igual a la carga del capacitor equivalente, esto por el principio de conservación de la carga.

- La capacitancia total o capacitancia equivalente es igual a la suma de las capacitancias de los capacitores. Es decir:

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34

3.2 DIELÉCTRICOS Los dieléctricos ideales son materiales que no conducen las cargas eléctricas porque no tienen cargas libres, es decir, no poseen electrones capaces de desplazarse libremente a través del material bajo la influencia de un campo eléctrico. Los materiales dieléctricos pueden ser de diferentes clases: sólidos, líquidos o gases. Entre los dieléctricos sólidos tenemos por ejemplo: polímeros industriales empleados en la industria eléctrica y electrónica (baquelita o resinas fenólicas, Cloruro de Polivinilo o PVC, Polietileno o PE, Poli estireno o PS, Acrilonitrilo Butadieno Estireno o resinas ABS, nylon), mica, papel, cuarzo, caucho, vidrio, cerámica (porcelana), germanio. Entre los dieléctricos líquidos tenemos: aceite mineral, glicerina, agua, goma. Entre los dieléctricos gaseosos tenemos: el aire y el hexafluoruro de azufre (SF6).

CONSTANTE DIELÉCTRICA DE UN DIELÉCTRICO Los dieléctricos tienen una constante dieléctrica cuyo valor depende de la naturaleza del material dieléctrico y de la temperatura a la que se encuentra. A continuación se muestra una tabla de constantes dieléctricas para varias sustancias a una temperatura de 20 ºC. TABLA DE CONSTANTES DIELÉCTRICAS DE VARIAS SUSTANCIAS A 20oC Vacío Aire (1 atm) Teflón Polietileno Benceno Cloruro de polivinilo Mica Cuarzo Vidrio Germanio Glicerina Agua

1 1,00059 2,1 2,25 2,28 3,18 3-6 4,3 5 – 10 16 42,5 80,4

Los dieléctricos tienen diferentes aplicaciones en ingeniería. Por ejemplo: - En Ingeniería Eléctrica: para la fabricación de capacitores, aisladores utilizados en las líneas de media tensión y alta tensión, cables eléctricos, transformadores. - En Ingeniería electrónica: para la fabricación de cables de fibra óptica utilizados en telecomunicaciones, casi todas las carcasas de los equipos electrónicos. COMPORTAMIENTO DE UN DIELÉCTRICO CUANDO SE LE APLICA UN CAMPO ELÉCTRICO EXTERNO Si a un dieléctrico le aplicamos un campo eléctrico externo, las cargas se reordenan en su interior, de manera de seguir siempre fuertemente ligadas a su núcleo. En este caso se dice que el dieléctrico se polarizó. En el dieléctrico polarizado cada molécula se convierte en un dipolo inducido, estos dipolos producen un nuevo campo eléctrico, que se suma al original. El efecto total, desde el punto de vista macroscópico, es más fácil de visualizar como un desplazamiento de toda la carga positiva en el dieléctrico con respecto a la carga negativa.

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35

Un dieléctrico polarizado, aun siendo eléctricamente neutro en promedio, produce un campo eléctrico en los puntos exteriores e interiores del dieléctrico. A continuación se muestra una porción de material dieléctrico polarizado. -+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+



E Externo DISRUPCIÓN (RUPTURA O PERFORACIÓN) DE UN DIELÉCTRICO – RÍGIDEZ DIELÉCTRICA Cuando el campo eléctrico en un dieléctrico es suficientemente grande, comienza a jalar los electrones para desprenderlos de las moléculas, y el dieléctrico se vuelve conductor. Entonces se dice que ha ocurrido disrupción (ruptura o perforación) de un dieléctrico cuando éste se vuelve conductor. El quebrantamiento de un dieléctrico ocurre en todas las clases de materiales dieléctricos (gases, líquidos y sólidos) y depende de la naturaleza del material, la temperatura, la humedad y el tiempo en que se aplica el campo. El valor mínimo del campo eléctrico al que ocurre la disrupción dieléctrica se llama resistencia o rigidez dieléctrica del material dieléctrico. Es decir, la resistencia dieléctrica es el campo eléctrico máximo que puede tolerar o soportar un dieléctrico sin disrupción. Los materiales dieléctricos tienen una rigidez dieléctrica no nula. En la siguiente tabla se muestra la rigidez dieléctrica para algunos materiales. TABLA DE RIGIDEZ DIELÉCTRICA PARA ALGUNOS MATERIALES Material Aire (a presión atmosférica)

Rigidez dieléctrica (V/m)

3 106

Nailón

14  10 6

Aceite mineral

15 106

Papel

16  10 6

Poliestireno

20 106

Baquelita

24  10 6

Caucho

25 106

Vidrio

30 106

Teflón

60 10 6

Mica

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200 106

36

IMPORTANCIA DE LOS DIELÉCTRICOS 1) Proporcionan una mayor resistencia a la ruptura del aire (hay mayor rigidez dieléctrica), y por lo tanto permiten una mayor diferencia de potencial. Los dieléctricos resisten más que el aire, y por lo tanto se les puede aplicar mayores voltajes sin que la carga pase por el espacio. 2) Aumentan la capacitancia de un capacitor. 3) Proporcionan un medio mecánico para mantener la separación constante entre las placas de un capacitor, evitando que haya contacto entre los conductores. NOTA.- cuando un dieléctrico se introduce entre las placas de un capacitor aislado de una batería, origina las siguientes consecuencias: - Disminuye la intensidad del campo eléctrico entre las placas del capacitor. - Disminuye la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. - Aumenta la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas (ruptura dieléctrica). - Aumenta la capacitancia de un capacitor. - La carga se mantiene constante (es la misma carga con la cual fue cargado el capacitor cuando estuvo sometido a un voltaje). 

POLARIZACION ( P ) La polarización es una cantidad vectorial que caracteriza el comportamiento electrostático de un medio dieléctrico. Se define como el momento dipolar por unidad de volumen. 



dp P dv



,

p = momento dipolar eléctrico 

p =



VPdv

La densidad superficial de polarización (  Pol ) es una cantidad escalar que se define por:

 

Donde: n = vector unitario normal;

 

pol

 P.n



P = vector polarización

La densidad volumétrica de polarización ( Pol ) es una cantidad escalar que se define por: 



 . P pol

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

37



DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO O DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO ( D ) En un material dieléctrico la intensidad de campo eléctrico, debido a una distribución de cargas dada, es diferente a la intensidad de campo eléctrico en el vacío, esto se debe a la polarización presentada en el material dieléctrico. En estas circunstancias, definimos una nueva cantidad fundamental de campo 

denominada densidad de flujo eléctrico o desplazamiento eléctrico, D , de forma que: 





D   o E P (C / m2 ) Donde:

 0 = permitividad del vacío o del espacio libre. 

E = vector campo eléctrico 

P = vector polarización La figura siguiente muestra a un capacitor de láminas paralelas con dieléctrico, en ella se 





observa a los vectores D , E y P ; así como a las cargas libres:  q y  q (cargas de las placas del capacitor) y a las cargas de polarización:  q pol y  q pol (cargas en el dieléctrico polarizado).



E 

q

 q pol

 



  

  

P

 q pol

q

    

  



D OBSERVACIONES: 





1. Los vectores D , E y P son paralelos. 





2. En el vacío: P = 0 (no hay polarización), entonces D   0 E 

3. Para campos no muy intensos y en la mayoría de los dieléctricos el vector P

varía



linealmente con E , lo que se expresa: 



P  0  E





P  (   0 ) E

Donde:  es la susceptibilidad eléctrica del dieléctrico.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

38













Reemplazando La ecuación de P : P   0  E en la expresión: D   o E P 







obtenemos:



D  0 r E   E

D   0 (1   ) E Donde:

 r  1   = permitividad relativa o constante dieléctrica  = permitividad del medio o permitividad absoluta. 

Utilizando el vector

D

y la densidad volumétrica de las cargas libres  , tenemos la

siguiente ecuación: 

. D   Esta ecuación diferencial es fundamental para el estudio de los campos eléctricos en cualquier medio. La forma integral correspondiente a la ecuación anterior es: 



 D.d S  QLIBRE S

Donde: QLIBRE = carga libre encerrada por la superficie gaussiana Esta ecuación es la ley de Gauss aplicable a cualquier medio.

CAMPO ELÉCTRICO FUERA DE UN MEDIO DIELÉCTRICO Si tenemos una porción finita de material dieléctrico polarizado, es decir, que está 





caracterizada en cada punto r por una polarización P ( r ) . La polarización da origen a un 

campo eléctrico, y lo que se debe hacer es calcular este campo en un punto r que está fuera de la masa del dieléctrico (ver figura). Para ello primero se calcula el potencial   y luego (r)

obtenemos el campo eléctrico como menos el gradiente de  .

(x,y,z) r  r 

P

v

(x,y,z)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

39

Al realizar los cálculos se obtiene: 

-

Para el potencial debido al material dieléctrico en la posición r

( r )

    dA' '  poldV  1  pol 1           4 o 4 o So ' Vo r  r'   rr  



dq' pol 



r  r'



-

Para el campo eléctrico en la posición r



E (r)

   '  rr    1      pol   4 o So r  r'  

    '     r  r    dA'     ' Vo pol  ' dV   rr   

NOTA.- esta última ecuación da la contribución del medio al campo eléctrico en r , 

independientemente de si r está dentro o fuera del medio. Por lo tanto, esta ecuación también puede utilizarse para calcular el campo eléctrico dentro de un dieléctrico.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

40

Capítulo 4 CORRIENTE ELÉCTRICA Y CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 4.1 CORRIENTE ELÉCTRICA La corriente eléctrica es un fenómeno físico originado por el movimiento de cargas eléctricas. Es decir, cuando las cargas eléctricas están en movimiento el efecto fundamental que originan se denomina corriente eléctrica. 4.1.1 TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA - Corrientes de convección.- están originadas por el movimiento de partículas con carga positiva o negativa (iones) en el vacío o en un gas enrarecido. Ejemplo: haces de electrones en un tubo de rayos catódicos y los violentos movimientos de partículas cargadas durante una tormenta. Las corrientes de convección implican un transporte de masa y no están regidas por la ley de Ohm.

En una descarga atmosférica se producen corrientes de convección, estas corrientes eléctricas alcanzan hasta 300 mil amperios y tensiones de millones de voltios.

- Corrientes de conducción.- están originadas principalmente por el movimiento de electrones libres a través de un cuerpo conductor bajo la influencia de un campo eléctrico. Este tipo de corrientes está regido por la ley de ohm. En los conductores metálicos la corriente eléctrica está originada por el movimiento de electrones, siempre y cuando se aplique una diferencia de potencial sobre dicho conductor. Este movimiento de electrones se debe a la fuerza eléctrica, originada por el campo eléctrico, que actúa sobre los electrones. Convencionalmente se asume que el sentido de la corriente eléctrica es en la misma dirección que la del flujo de carga positiva, es decir en el mismo sentido del campo eléctrico. Por lo tanto, en los conductores metálicos la dirección de la corriente es opuesta a la dirección del flujo de los electrones. I 

  

I 











E









ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL











E 

41

Sentido convencional de I

Las cargas positivas que se desplazan en la dirección del





campo eléctrico E producen la misma corriente eléctrica que el mismo número de cargas negativas de igual magnitud que se mueven, con la misma rapidez, en la dirección opuesta al campo.



















I I

()

a

()

I

b Vab = Voltaje o diferencia de potencial entre a y b.

4.1.2 EFECTOS Y RIESGOS DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA AL PASAR POR UN CUERPO 1) Si por un cuerpo conductor circula una corriente eléctrica, entonces el conductor aumenta su temperatura. 2) Cuando la corriente es intensa, el calentamiento del conductor es grande. Este comportamiento puede ser usado en planchas eléctricas, hornos eléctricos, termas eléctricas, etc. 3) Si la intensidad de corriente es muy alta, el conductor puede ponerse incandescente (como en el caso de los focos o lámparas incandescentes) y proporcionarnos luz. Asimismo, el paso de la corriente eléctrica a través de un cuerpo produce reacciones químicas, descomponiendo las soluciones ácidas, salinas y básicas. En los seres vivos causa reacciones físico-químicas que incluso pueden causar la muerte. Tabla 4.1 EFECTOS FISIOLÓGICOS PRODUCIDOS POR EL PASO DE UNA INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA (50/60 Hz) Intensidad Efectos fisiológicos que se observan en condiciones normales 0 – 0,5 mA No se observan sensaciones ni efectos. El umbral de percepción se sitúa en 0,5 mA 0,5 – 10 mA

Calambres y movimientos reflejos musculares. El umbral de no soltar se sitúa en 10 mA

10 – 25 mA

Contracciones musculares. Agarrotamiento de brazos y piernas con dificultad de soltar objetos. Aumento de la presión arterial y dificultades respiratorias.

25 – 40 mA

Fuerte tetanización. Irregularidades cardiacas. Quemaduras. Asfixia a partir de 4 s

40 – 100 mA

Efectos anteriores con mayor dificultad y gravedad. Fibrilación y arritmias cardíacas

Aprox. 1A

Fibrilación y paro cardiaco. Quemaduras muy graves. Alto riesgo de muerte

1–5A

Quemaduras muy graves. Parada cardiaca con elevada probabilidad de muerte

La foto muestra las quemaduras eléctricas sufridas por una persona (el punto oscuro al centro de la herida es el punto de entrada de la corriente eléctrica).

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42

4.2 INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA ( I ; i ) La intensidad de corriente eléctrica es una cantidad física que se define como la cantidad de carga que atraviesa la sección recta de un conductor en cada unidad de tiempo, es decir, la tasa a la cual fluye la carga por la sección transversal de un conductor. Matemáticamente la corriente promedio viene dada por: Donde: q = cantidad de carga que pasa por la sección recta del conductor. t = intervalo de tiempo (o tiempo transcurrido)

q I t

Si la tasa a la cual fluye la carga varía en el tiempo, la corriente también varía en el tiempo, entonces hablamos de corriente instantánea, cuya ecuación es: Donde: dq = diferencial de carga eléctrica dt = diferencial de tiempo

dq I dt

Unidades en el SI:

I : Ampere (A) q : Coulomb (C) t : segundo (s)

1 Ampere (A) = 1

 La intensidad de corriente I

C 6, 2415x1018 e  s s

también se define como el flujo del vector densidad de



corriente J a través de una sección del conductor. Es decir: 



I   J.d S

I  J  n qVd A 

Esta última ecuación es válida sólo si la densidad de corriente J es uniforme y sólo si la superficie, de área A , es perpendicular a la dirección de la corriente. Además, las unidades 

SI de J son A/m2.  Si relacionamos la corriente I con la magnitud de la velocidad de desplazamiento “ Vd ” de los portadores de carga (o velocidad de arrastre) se tiene:

I  nqVd A Donde:

n = número de portadores de carga por unidad de volumen.

q = carga de los portadores n q = densidad de carga =  A = área de la sección transversal del conductor

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43

4.3 RESISTENCIA ELÉCTRICA (R) Es una propiedad que tienen todos los cuerpos que se manifiesta mediante la oposición que ofrece un cuerpo al paso o flujo de cargas eléctricas a través de su masa. La resistencia eléctrica es pequeña (o muy pequeña) en los cuerpos conductores y relativamente grande en los materiales dieléctricos (aislantes). R

SIMBOLO:

* La resistencia eléctrica depende del tipo de material y de su geometría. Para un conductor cilíndrico de resistividad  , longitud L y área de sección transversal uniforme A , se cumple que:

R

L

L A

A

En general, la resistencia de un material conductor, de sección transversal no uniforme, se calcula con la siguiente ecuación:

R 

d A

* La resistividad depende de varios factores, uno de ellos es la temperatura. Experimentalmente se comprueba que en los conductores la resistividad varía aproximadamente de manera lineal con la temperatura en un intervalo limitado de ésta de acuerdo con la expresión

  o 1  T  To  0 es la resistividad a determinada temperatura de referencia T0 (que suele considerarse igual a 20oC) y  se Donde  es la resistividad a cierta temperatura T (en oC),

denomina coeficiente de temperatura de resistividad. Puesto que la resistencia es proporcional a la resistividad, la variación de la resistencia con la temperatura puede expresarse a través de la siguiente ecuación:

R  R o 1  T  To 

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44

TABLA Nº 4.2 RESISTIVIDAD Y COEFICIENTE DE TEMPERATURA PARA CIERTOS MATERIALES Material

Resistividad (Ω m)

Coeficiente de temperatura  (OC) -1

Plata

1,47.10-8

3,8.10-3

Cobre

1,72.10-8

3,9.10-3

Oro

2,44.10-8

3,4.10-3

Aluminio

2,75.10-8

3,9.10-3

Tungsteno

5,25.10-8

4,5.10-3

Acero

2,0.10-7

5,0.10-3

Mercurio

9,5.10-7

3,92.10-3

Plomo

2,2.10-7

3,910-3

Nicromo

1,0.10-6

0,4.10-3

Carbono puro (grafito)

3,5.10-5

- 0,5.10-3

Germanio puro

0,60

- 48.10-3

Silicio puro

2 300

- 75.10-3

Vidrio

1010 – 1014

Mica

1011 – 1015

Teflón

1013

Azufre

1015

Cuarzo fundido

75.1016

Referencia: FÍSICA UNIVERSITARIA – VOLUMEN 2 – SEARS/ZEMANSKY/YOUNG/FREEDMAN

4.4 LEY DE OHM A) A nivel macroscópico.La ley de Ohm es una relación empírica válida sólo para ciertos materiales denominados óhmicos (los que no obedecen la ley de Ohm son no óhmicos). Ohm comprobó que la intensidad de corriente es directamente proporcional a la diferencial de potencial e inversamente proporcional a la resistencia eléctrica.

V  IR I

R

I

V R

V

R

V I

Donde:

I = intensidad de corriente eléctrica en amperes (A) V = voltaje o diferencia de potencial en volts (V) R = resistencia eléctrica en ohm (Ω)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

45

B) A nivel local.La ley de Ohm aplicada a nivel local (en un punto interior de un conductor) establece que en muchos materiales (incluidos la mayor parte de los metales), la proporción entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante,  , que es independiente del campo eléctrico que produce la corriente. Una manera de expresar matemáticamente lo señalado sería: 



J  E

Donde: 

E = campo eléctrico local

 = conductividad del material en siemens/m Se cumple:

ne2 1 ;   m  n = densidad electrónica en C/m3 e = carga del electrón en coulomb (C)  = tiempo de relajación: tiempo promedio entre dos colisiones, en segundos m = masa del electrón en kg = 9,11.10-31 kg  = resistividad en  m 4.5 POTENCIA ELÉCTRICA (P) Y ENERGÍA ELÉCTRICA (W) La potencia eléctrica se define como la tasa a la cual se brinda energía a un resistor, o también la rapidez a la cual consume energía un resistor. La potencia suministrada a un resistor por una batería o la potencia transferida a cualquier dispositivo que conduzca una corriente I y tenga una diferencia de potencial V entre sus terminales, está dada por

P  VI Para una fuente que se puede describir mediante una fuerza electromotriz (fem) resistencia interna r , el voltaje entre sus terminales es dicha fuente será



y una

V    Ir , por lo tanto la potencia de

P   I  I 2r La potencia disipada por un resistor, con resistencia eléctrica R , se puede calcular con la siguiente ecuación

V2 PI R R 2

Donde, en el SI, P está en watt (W), I en amperes (A), V en volts (V), y R en ohm (Ω). La energía eléctrica W (en joule en el SI) suministrada por una fuente de tensión, que entrega un Voltaje V entre sus terminales, está dada por

W V I t Remplazando V    Ir , tenemos

W  ( I  I 2r ) t ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

46

La energía eléctrica W (en Joule en el SI) consumida por un resistor, con resistencia eléctrica R , se calcula con la siguiente ecuación

W  I 2 Rt 4.6 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Los circuitos eléctricos son un medio para transportar energía de un lugar a otro. Cuando las partículas cargadas se desplazan dentro de un circuito, se transfiere energía potencial eléctrica desde una fuente (una batería o un generador eléctrico) a un dispositivo en el que dicha energía se almacena o se convierte en otra forma de energía (energía sonora en un aparato de sonido, en calor si se trata de una plancha eléctrica o en luz si es una bombilla eléctrica). Desde un punto de vista tecnológico, los circuitos son útiles porque permiten que la energía se pueda transportar sin usar ninguna parte móvil (excepto las propias partículas cargadas). Los circuitos eléctricos son la parte esencial de las computadoras, transmisores y receptores de radio y televisión, y sistemas de distribución de energía domésticos e industriales. El sistema nervioso de los animales, incluyendo a los humanos, es un circuito eléctrico especializado que lleva signos vitales de una parte del cuerpo a otra. Los circuitos eléctricos elementales tienen componentes tales como: fuente de tensión (batería o generador), conductores (cables), resistores, capacitores, inductancias, etc. Si la corriente que transporta un circuito eléctrico permanece invariable en el tiempo (es constante) recibe el nombre de circuito de corriente continua.

4.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ (  ) Es la cantidad de energía suministrada por una fuente de tensión (batería o generador) para mantener un flujo de cargas eléctricas a través de un circuito. La fuerza electromotriz (fem) describe el trabajo realizado por unidad de carga. Matemáticamente está dada por

 Donde:

W q

 = fuerza electromotriz (fem) en volts (V)

W = energía eléctrica en joule (J) q = carga eléctrica (convencionalmente +) que se pone en movimiento a través del circuito. * Una fuente de tensión o fuente de fuerza electromotriz es cualquier dispositivo que produce un campo eléctrico y que por lo tanto puede originar un movimiento de cargas a través de un circuito.

4.8 RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO Cuando dos o más resistores se conectan juntos de manera que sólo tengan un punto común por par, se dice que están en serie. En este caso la corriente que circula a través de todos los resistores es la misma (ver gráfico).

R1 a (+)

Características de un circuito serie:

 V1 

1. Itotal = I = Constante

+

VT b ( )

IT V3 

V2 

R2

2. Vtotal = Vab = V1 + V2 + V3 + … 3. Rtotal = Rab = R1 + R2 + R3 + …

R3 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

47

Cuando dos o más resistores tienen sus extremos conectados a puntos comunes, de tal forma que todos reciben el mismo voltaje (la diferencia de potencial entre sus extremos es la misma) se dice que están en paralelo (ver gráfico). Las corrientes que circulan por resistores conectados en paralelo son inversamente proporcionales a sus resistencias. Es decir, pasa más corriente por la trayectoria de menor resistencia.

I1

R1

I2

R2

I3

R3

Características de un circuito paralelo: 1. Itotal = I1 + I2 + I3 + …. 2. Vtotal = Vab = Constante

IT ()

()

a

b

VT

1 1 1 1     ... RT R1 R2 R3

3.

IT

4.9 REGLAS DE KIRCHHOFF Son reglas básicas que se utilizan en la resolución de circuitos eléctricos donde haya dos o más fuentes de fem en diferentes ramas de un circuito con varias mallas. REGLA DE KIRCHHOFF DE LOS NODOS: “La suma algebraica de las corrientes que concurren a un nodo (o nudo) es cero”. Es decir:

I

( NODO)

O

(Válida en cualquier nodo)

Para ello se asume que las corrientes que ingresan al nodo llevan signo positivo y las que salen del nodo llevan sigo negativo. Otra forma de enunciar esta primera regla es la siguiente: “La suma de todas las intensidades de corriente que ingresan a un nodo es igual a la suma de todas las intensidades de corrientes que salen de él”. Ejemplo: Sea la porción de un circuito eléctrico mostrado en la figura, en ella se observa que hay tres corrientes que ingresan al nudo (o nodo) y dos corrientes que salen de él, luego se cumple que:

I1 I 4

I

nudo

I2 I3

I5

(ingresan a un nudo)

  I(salen

del nudo)

I1  I3  I5  I2  I4

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

48

REGLA DE KIRCHHOFF DE LAS MALLAS: “La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier trayectoria cerrada, incluyendo las asociadas con fuentes de fem, resistores, inductores, capacitores y otros elementos, debe ser cero”. Es decir:

V

( MALLA)

O

(Válida para cualquier trayectoria cerrada)

Para ello se considera que las “subidas de tensión” (que producen generalmente las fuentes de tensión) llevan signo positivo y las “caídas de tensión” (que producen los resistores, capacitores, inductores, etc) llevan signo negativo. También se afirma que: “En todo circuito cerrado o malla, la suma de todas las fuerzas electromotrices entregadas por las fuentes de fuerza electromotriz (generadores eléctricos) es igual a la suma de todas las caídas de tensión producidas en los resistores, inductores, capacitores y otros elementos” Ejemplo: Sea el circuito resistivo (porque sólo tiene resistencias, además de las fuentes de tensión) mostrado a continuación. En este caso se cumple que la la suma de todas las fuerzas electromotrices es igual a la suma de todas las caídas de tensión producidas en los resistores”. Es decir:

R1

1

 

   IR

   2

I

I

Luego:

R2

I



R3

+1   2  3  IR1  IR 2  IR3



 +1   2  3  I(R1  R 2  R3 )

3

4.10 EFECTO JOULE La experiencia demuestra que cuando una corriente eléctrica circula por un resistor, éste aumenta su temperatura y disipa energía calorífica. Esta energía calorífica puede ser utilizada, por ejemplo, para calentar agua. “La cantidad de calor “Q” disipado por una resistencia es proporcional al cuadrado de la intensidad de corriente “I”, a la resistencia eléctrica “R” y al tiempo “t” de funcionamiento de dicha resistencia”

Q

I

R

Q  I2 . R . t

Unidades en el SI: Q : joule (J) ; R : ohm(  ) ; I : ampere (A) ; “Q” en calorias(cal):

t : segundo (s)

Q  0, 24 I2 . R . t

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

49

Capítulo 5 CAMPO MAGNÉTICO 5.1 CAMPO MAGNÉTICO Para comprender a cabalidad el concepto de campo magnético, vamos a describir primero las interacciones magnéticas siguientes: -

Una carga eléctrica en movimiento o una corriente eléctrica producen un campo magnético en el espacio circundante (además del campo eléctrico). 

-

El campo magnético ejerce una fuerza magnética F sobre cualquier otra carga eléctrica en movimiento o corriente eléctrica que esté presente en dicho campo. 

El campo magnético es un campo vectorial. Utilizaremos el símbolo B para referirnos al campo magnético (también denominado inducción magnética o densidad de flujo magnético). 

En cualquier posición, la dirección de B está definida como aquella a la que tiende a señalar 

el polo norte de la aguja de una brújula. Para cualquier imán, B apunta hacia fuera de su polo norte y hacia dentro de su polo sur. A continuación tenemos la descripción gráfica de algunos campos magnéticos.



B 

S

N

B

I

Las figuras muestran: - Líneas de campo magnético en un plano que pasa por el centro de un imán permanente. - Líneas de campo magnético en un plano perpendicular a un cable largo y recto por el que circula una corriente eléctrica I.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

50

La

figura

muestra

magnéticas

que

las

líneas

representan

al

campo magnético en las cercanías de

un

solenoide

con

corriente

eléctrica

5.2 FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO El flujo magnético m se define como el campo magnético que atraviesa una determinada superficie. O también el número de líneas que atraviesan el área de una superficie. 

Si tenemos un diferencial de superficie dS , por el cual atraviesa un campo magnético B (ver figura), el flujo magnético viene expresado por:





dm  B cos dA  B  d S



dS





B

dA

El flujo magnético total a través de la superficie es la suma de las contribuciones de los elementos de área individuales. Es decir: 



m   B cos dA   B  d S



El flujo magnético es una cantidad escalar. En el caso especial en que B es uniforme sobre una superficie plana con área total A, se cumple que:

m  B A cos 

Si B es perpendicular a la superficie, entonces cos Ф = 1 y la ecuación anterior se reduce a:

m  B A El campo magnético se representa por líneas de campo magnético. Es la misma idea que para las líneas de campo eléctrico vistas anteriormente. Trazamos las líneas de modo que, en 

cualquier punto, sean tangentes al vector campo magnético B en dicho punto. Igual que con ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

51

las líneas de campo eléctrico, sólo trazamos algunas líneas representativas, pues de otro modo llenarían todo el espacio. Si dos líneas están muy cercanas, la magnitud del campo es 

grande, y a la inversa. Dado que la dirección de B en cada punto es única, las líneas de campo nunca se cortan (cruzan). Unidades en el SI:

 : weber (Wb) B : tesla (T) A : m2 En la ley de Gauss, el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie. Por ejemplo, si la superficie cerrada contiene un dipolo eléctrico, el flujo eléctrico total es cero porque la carga total es cero. Por analogía, si existiese algo como una sola carga magnética (monopolo magnético), el flujo magnético total a través de una superficie cerrada siempre es cero. Es decir: 



 B  d S  0 (Flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada) Esta ecuación se conoce como ley de Gauss para el magnetismo. De lo anterior se concluye que cada línea de campo que penetra en una superficie también sale de ella: El flujo neto a través de la superficie es cero. También se concluye que, las líneas de campo magnético siempre son continuas. A diferencia de las líneas de campo eléctrico, que empiezan y terminan en cargas eléctricas, las líneas de campo magnético nunca tienen puntos finales; tal punto indicaría la existencia de un monopolo. Para la ley de Gauss, que siempre trata con superficies cerradas, el elemento de área 

vectorial d S de la ecuación anterior siempre apunta hacia fuera de la superficie. Sin embargo, algunas aplicaciones del flujo magnético implican una superficie abierta con una línea de frontera; existe entonces una ambigüedad del signo en la ecuación primera del flujo, debido a 

las dos posibles alternativas de dirección de d S . En tales casos, escogemos uno de los lados posibles de la superficie como el lado “positivo” y utilizamos dicha elección de forma coherente.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

52

5.3 FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS MÓVILES 

La experiencia demuestra que toda partícula, con cantidad de carga q y velocidad V , que 

ingresa a una región donde existe un campo magnético



B , experimenta una fuerza F



debido a este campo. Esta fuerza F es de naturaleza magnética y tiene las siguientes características: 



- Siempre es perpendicular al campo magnético B y a la velocidad V . -

Su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga y a la magnitud del campo magnético.

- Su magnitud es proporcional a la componente de la velocidad perpendicular al campo. En el 

caso que esa componente es cero (es decir, cuando



y

V

B son paralelos o

antiparalelos), la fuerza es cero. 

En la figura se muestran estas relaciones. La dirección de F siempre es perpendicular al 

plano que contiene a V



y B . Esta dirección se determina aplicando la regla de la mano

derecha. 

q + V 



V

B +

q

F=0 

F 

B

q 





B

V F = q V B Sen  

F max 

q

B



B



V F=qVB

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

53



La fuerza magnética F que actúa sobre una carga positiva q que se desplaza con velocidad 





V es perpendicular tanto a V

como a





B . La fuerza magnética es cero cuando V es 



paralela o antiparalela a B . Cuando V forma un ángulo  con respecto a B , F = q V B 



Sen  . Cuando V es perpendicular a B , F = q V B; para valores dados de V y de B, está orientación da la mayor fuerza. 



La fuerza F , tanto en magnitud como en dirección, está dada por:





F  qVxB



La magnitud de F será:

F  q V B sen Esta ecuación está basada en experimentos, y es válida para cargas positivas y negativas. 





Cuando q es negativa la dirección de F es opuesta a la de V x B . Unidades en el SI: F : newton (N) q : coulomb (C) V : m/s B : tesla (T) Cuando una partícula cargada se desplaza a través de una región del espacio en donde hay campos eléctricos y magnéticos, ambos campos ejercen fuerzas sobre la partícula. La fuerza 

total F es la suma vectorial de las fuerzas eléctrica y magnética. Es decir: 







F  q ( E  V x B) 5.4 FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR POR EL QUE CIRCULA UNA CORRIENTE ELÉCTRICA ¿Qué hace que un motor eléctrico funcione? Las fuerzas que lo hacen girar son fuerzas que un campo magnético ejerce sobre un conductor por el que circula una corriente. Las fuerzas magnéticas sobre las cargas en movimiento dentro del conductor se transmiten al material del conductor y éste, como un todo, experimenta una fuerza distribuida a lo largo de su longitud. Experimentalmente se comprueba que todo conductor, de longitud L y que lleva una corriente 

estacionaria I, que está en el interior de un campo magnético B , experimenta una fuerza 



F debido a dicho campo. Esta fuerza F siempre es perpendicular al conductor y al campo y su dirección se determina por la regla de la mano derecha.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

54



Si representamos el segmento de cable con un vector  a lo largo del cable en la dirección de 

la corriente; entonces la fuerza F sobre este segmento es: 





F  I xB

(Fuerza sobre un segmento recto de cable)





La fuerza magnética F sobre un segmento recto

F



de cable de longitud

por el que circula una 

corriente

I

(en

la

dirección

de

)

es



perpendicular





B

tanto

a

como

al

campo



magnético B .

I



Si el conductor no es recto, lo podemos dividir en segmentos infinitesimales d  . La fuerza 







d F sobre cada segmento es: d F  Ï d  x B Integrando esta expresión a lo largo del cable encontramos la fuerza total sobre un conductor de cualquier forma. La integral es una integral de línea, la misma operación matemática que utilizamos para definir el potencial eléctrico. 





F  I d x B

5.5 FUERZA Y MOMENTO

DE TORSIÓN SOBRE UNA ESPIRA

POR LA QUE

CIRCULA UNA CORRIENTE ELÉCTRICA Los conductores por los que circulan corrientes, por lo general forman trayectorias cerradas, por lo tanto se utilizará las ecuaciones de la fuerza magnética sobre un cable con corriente para hallar la fuerza magnética total y el momento de torsión sobre un conductor con forma de espira. Como ejemplo, veamos una espira de corriente rectangular en un campo magnético uniforme. Podemos representar la espira como una serie de segmentos rectos. Encontraremos que la fuerza total sobre la espira es cero, pero que puede haber un momento de torsión neto que actúa sobre ella. En la figura se muestra una espira rectangular de cable cuyas dimensiones son a y b. Una línea perpendicular al plano de la espira (es decir, una normal al plano) forma un ángulo 

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

55



con la dirección del campo magnético B ; la corriente en la espira es I. Los cables por donde entra y sale la corriente en la espira y la fuente de fem se omiten para que el diagrama no se complique. z 

y

I







B

F´

x 

F I





B



 bSen 



A



B



I



F

a



I

b

 F´

La fuerza total sobre la espira es cero, ya que las fuerzas sobre lados opuestos se cancelan por parejas. La fuerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme es cero. Sin embargo el momento de torsión neto no es igual a cero. La magnitud del momento de torsión neto es:

  I B A sen

(Magnitud del momento de torsión sobre una espira de corriente)

Donde A es el área de la espira igual a ab. 

El momento de torsión es mayor cuando  = 90º, B está en el plano de la espira y la normal a 

este plano es perpendicular a B . El momento de torsión es cero cuando  es cero o 180º y la normal a la espira es paralela o antiparalela al campo. El producto IA se conoce como momento dipolar magnético o momento magnético de la espira, el cual lo denotamos por μ: μ = IA En términos de μ, la magnitud del momento de torsión sobre una espira de corriente es:

   B sen Finalmente, la expresión vectorial del momento de torsión será: 





   x B (Vector momento de torsión sobre una espira con corriente)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

56

Capítulo 6 FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO 6.1 INTRODUCCIÓN Sabemos que los imanes permanentes, las corrientes directas y un campo eléctrico cambiando linealmente con el tiempo producen campos magnéticos. A estos se denominan fuentes de campo magnético. Así mismo, se sabe que toda carga en reposo crea un campo eléctrico. También es cierto que, toda carga en movimiento produce un campo magnético, este caso es el primero que analizaremos. A partir del análisis del campo magnético creado por una carga en movimiento determinaremos el campo producido por un pequeño segmento de conductor por el que circula corriente. Cuando podamos hacer eso ya seremos capaces de determinar el campo magnético producido por un conductor con cualquier forma. Para calcular el valor del campo magnético producido por un conductor con corriente aplicaremos la ley de Biot-Savart, y para el caso donde hay simetría aplicaremos la ley de Ampère.

6.2 CAMPO MAGNÉTICO DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO Toda partícula cargada eléctricamente en movimiento produce un campo magnético en el espacio que la rodea. Si la velocidad de la partícula es constante, la dirección del campo magnético en cualquier punto es perpendicular a la velocidad de la partícula y al vector que va de ésta al punto. 

Los experimentos muestran que la magnitud de B es proporcional a la magnitud de q y a 1/r2. 

Pero la dirección de B no es a lo largo de la recta que va desde el punto fuente (posición donde está la carga puntual) al punto campo (punto donde deseamos encontrar el campo). El campo magnético es perpendicular al plano que contiene a esta línea y al vector velocidad de la partícula, como se muestra en la figura siguiente. Además, la magnitud del campo (B) 

también es proporcional a la rapidez (V) de la partícula y al seno del ángulo Φ entre



Vy B.

Es decir, la magnitud del campo magnético en el punto P está dado por:

B

 o q Vsen 4 r 2



La ecuación vectorial para el campo B debido a una carga puntual en movimiento es:  

 q Vx r B o 4 r 2 

(Campo magnético de una carga puntual con velocidad constante)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

57

P 



Plano de r y

V



B





r

+

r

B  0



V

q

B  0



B





B 

B 



En la figura se muestra la relación de r y P y también el campo magnético B en varios puntos de la vecindad de la carga. En todos los puntos a lo largo de una línea que pase por la 

carga paralela al vector velocidad V , el campo magnético es cero porque sen  0 en todos 

estos puntos. A cualquier distancia r de q,

B tiene su mayor magnitud en puntos que se



encuentran en el plano perpendicular a

V porque en todos ellos   90 o y sen  = 1. Si la



carga q es negativa, la dirección de B es opuesta a la mostrada en la figura. Una carga puntual en movimiento también produce un campo eléctrico cuyas líneas de campo salen de manera radial de una carga positiva. Las líneas de campo magnético son bastantes diferentes. El análisis anterior muestra que para una carga puntual que se desplaza con 



velocidad V , las líneas de campo magnético son círculos centrados en la línea de V , y se encuentran en planos perpendiculares a esta línea. La dirección de las líneas de campo para una carga positiva está dada por la regla de la mano derecha.

6.3 CAMPO MAGNÉTICO DE UN ELEMENTO DE CORRIENTE – LEY DE BIOTSAVART Así como el principio de superposición se cumple en el caso del campo eléctrico, también se cumple en el campo magnético. Por lo tanto podemos afirmar que: el campo magnético total ocasionado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos provocados por las cargas individuales. Este principio se puede utilizar para encontrar el campo magnético producido por una corriente en un conductor. 

En la figura se muestra los vectores campo magnético d B debidos a un elemento de 

corriente de longitud d

y las líneas de campo magnético en un plano que contiene al



elemento d . La corriente está dirigida hacia dentro del plano de la página. Si compara esta figura con la correspondiente al campo de una carga puntual en movimiento verá su similitud.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

58

P 

Plano de r y



d



r

dB



r



dB





dB  0 

I

Eje de



d

d

dB  0 



dB 

dB 

La ley de Biot-Savart permite calcular la densidad de flujo magnético B (o inducción 

magnética) o la intensidad de campo magnético H en cualquier punto del espacio, debido a un pequeño elemento de conductor por el que circula una corriente. También se puede utilizar para encontrar la densidad de flujo magnético creada por cualquier configuración de conductores con corriente. Sea el conductor curvilíneo, mostrado en la figura, por el que circula una corriente estacionaria I. Alrededor de este conductor se crea un campo magnético, el cual envuelve al propio conductor. En el punto P este campo es entrante al plano de la hoja. z



d







 r  r2  r1

.P

 B

I 

r1

o



r2

y

x

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

59

Según Biot-Savart, la magnitud del campo magnético en el punto P, debido al elemento de 

longitud d  , por el que circula una corriente I (ver la figura), está dado por la siguiente expresión:

dB 

0 ( I )(d )(sen ) 4 r2 

En forma vectorial, utilizando el vector unitario r , tenemos: 







     Id x r o Id x r dB o d B  , o también: , donde: r  r 2  r1 4 r 2 4 r3 

Integrando, tenemos: 



μ Id x r o B o   4π r2 4 

6.4

REPRESENTACIÓN MAGNÉTICAS

DEL





Id

CAMPO





x(r2  r1 )



3

r2  r1

MAGNÉTICO

MEDIANTE

LÍNEAS

Si un conductor, como por ejemplo: alambre de cobre, barra de aluminio o cable coaxial, lleva una corriente eléctrica, alrededor de dicho conductor se crea un campo magnético. Este campo

I

magnético se representa por líneas magnéticas cerradas que envuelven al conductor y tienen como centro el mismo conductor. El sentido de las líneas magnéticas se determina aplicando la regla de la mano derecha. En la figura mostrada a continuación se observa las líneas magnéticas

Líneas magnéticas

que representan al campo magnético creado alrededor de un alambre con corriente directa I.

Nota.- si las líneas magnéticas ingresan perpendicularmente a un plano, se les representa por aspas (x); y si salen perpendicularmente del plano se representan por puntos (.). Ejemplo:

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

60

I . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Campo saliente

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

x x x x x x

x x xx x xx

x x x x x x

x x xx x xx

x x xx x xx

x x xx x xx

I

Campo entrante Campo saliente

Campo entrante

. . . . . . . . . .  . CÁLCULO DE B , APLICANDO LEY DE BIOT – SAVART, PARA . CONFIGURACIONES CONOCIDAS: . . . . . 1- PARA UN SEGMENTO RECTILÍNEO CON CORRIENTE ELÉCTRICA I .

ALGUNAS

Sea el segmento rectilíneo con corriente estacionaria I, mostrado en la figura. z

2

2

I



d z x

P

d







´

.

r



B X

d

P

y

1

1



Por ley de Biot-Savart, la inducción magnética B , a una distancia perpendicular “d” del segmento rectilíneo, con corriente estacionaria I, viene dado por: 



μ Id x r B o  4π r2 



La ecuación (1) equivale a: B 

. . . (1)

μ o Id sen  ( i ) . . . (2) 4π  r 2

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

61

d  dz ; r 2  z 2  d 2 ; tg  tg ´ 

De la figura:

d z

z  d cot g

 dz  dCo sec2  d ; r 2  d 2Co sec2  Reemplazamos en (2): 2

2

 I (dCo sec2  d )sen  0 I  B 0  ( i )  ( i )  sen d 4  d 2Co sec2  4 d  

1

1



B 

B

La magnitud de B será:

 0 I (cos1  cos 2 )( i ) 4 d

0 I (cos1  cos 2 ) 4 d 

I B 0 2 d

* Caso particular: 1  0o y  2  180o

(Magnitud de B para un alambre muy largo con corriente)

2. PARA UNA ESPIRA CIRCULAR CON CORRIENTE ELÉCTRICA I Sea una espira circular de radio “a” que conduce una corriente eléctrica de intensidad I. Para calcular la inducción magnética



B

a una distancia z del centro de la espira, primero elegimos 

un elemento diferencial de longitud d  en la misma dirección de la corriente, luego trazamos 



los vectores r 1 y r 2 , y aplicamos la ecuación de la ley de Biot – Savart. 

Para calcular B en el punto P (0; 0; z) aplico la ecuación de la ley de Biot – Savart. Es decir: z

P 



dB 

I











. . . (1)















r 2  z k , r 1  a Cos i  a Sen j

r 2 r1

Reemplazando en (1):

O





De la figura: d   a d a  , donde : a   Cos j  Sen i

r2 a



 I d  ( r 2  r 1 ) B 0    3 4 r 2 r1 

y



r1











 I a d (Cos j  Sen i )  [ z k  (a Cos i  a Sen j )] B 0  3/ 2 4 a2  z2 



d

Desarrollando el producto vectorial, reemplazándolo luego en la integral, y evaluando finalmente la integral para valores de Φ desde 0° hasta 360° (2π), obtenemos:

x

0 I a 2  B k 2 (a 2  z 2 ) 3 / 2 



( B para una espira circular de radio “a” con corriente eléctrica “I”, a una distancia “z” del centro de la espira) 

* En el centro de la espira (z = 0), la densidad de flujo magnético o inducción magnética B viene dada por: 

B

0 I  k 2a

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

62

6.5 FUERZA ENTRE CONDUCTORES PARALELOS Como sabemos, todo conductor con corriente crea a su alrededor un campo magnético. Si tenemos dos conductores paralelos, cada uno de ellos creará su propio campo magnético. La fuerza de interacción entre dos conductores puede ser de atracción si las corrientes tienen la misma dirección y de repulsión, si las corrientes tienen direcciones contrarias.

I1 

F2 /1

I2

I1

I2 



F1/ 2

F2 /1



F1/ 2

r

r

La magnitud de la fuerza de atracción o repulsión entre dos conductores paralelos con corriente viene dada por:

F

0 I1I 2 L 2 r





; donde: F  F2/1  F1/ 2

La magnitud de la fuerza por unidad de longitud (F/L) será:

F 0 I1 I 2  L 2 r

6.6 LEY DE AMPÈRE 

Permite calcular con facilidad la densidad de flujo magnético B (o inducción magnética) debido a una distribución de corriente muy simétrica (alambre infinito, lámina infinita, cable coaxial muy largo, toroide, etc). Según Ampère, la circulación del campo magnético, a través de la curva cerrada C (o trayectoria amperiana), es proporcional a la corriente encerrada (Ienc.) por la curva cerrada C. Es decir: 



 B  d   0 Ienc. C

Para aplicar la ley de Ampère, primero trazamos una curva cerrada que encierre a la corriente. A esta curva cerrada C se le denomina trayectoria amperiana o línea amperiana. La ley de Ampère sólo es válida si las corrientes son estacionarias y no hay materiales magnéticos ni campos eléctricos que varíen con el tiempo.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

63



CÁLCULO DE B , APLICANDO LEY DE AMPÈRE, PARA ALGUNAS CONFIGURACIONES CONOCIDAS:

1. Para a un alambre muy largo (infinito) con corriente eléctrica I Consideremos un alambre rectilíneo muy largo que conduce una corriente eléctrica de intensidad “ I ” en la dirección del eje + z, tal como se muestra en la figura. 

Para calcular B a una distancia perpendicular “ r ” del alambre, aplicamos la ley de Ampère, para ello primero trazamos una curva cerrada “C” alrededor del alambre con corriente (ver figura de la vista de planta). 



 B  d   0 I ENC.

Por ley de Ampère:

C





Como los vectores B y d  son colineales, su producto escalar queda igual al producto

VISTA DE PLANTA

de sus módulos. Además, como

I

curva cerrada es anterior queda:

I

P

r

 B d  



r

C

B





0

I ENC. por la

I , entonces la ecuación

B (2 r )  0 I

I



 I B 0 2 r

(Magnitud de B para un alambre muy largo con corriente eléctrica “I”) Vectorialmente tenemos:

d Curva cerrada “C” o trayectoria amperiana



B

0 I  a 2 r

2. Para una lámina infinita con corriente eléctrica de densidad lineal “K” Consideremos una lámina infinita que conduce una corriente eléctrica de densidad lineal “K” (en A/m) en la dirección del eje + x (saliendo perpendicularmente del plano de la hoja), tal como se muestra en la figura. 

Para calcular B a una distancia perpendicular “ r ” de la lámina infinita, aplicamos la ley de Ampère, para ello primero trazamos una curva cerrada “C” en forma de rectángulo (ver figura siguiente). z



B

L



d



B



d





B 

r

r

d

B



d

x 





d

d

B

B





d

d



Curva cerrada “C” o trayectoria amperiana

y 

B

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL



Líneas magnéticas

B

64



Por ley de Ampère:



 B  d   0 I ENC. C

En este caso, la integral cerrada a través de la curva “C” la descomponemos en cuatro integrales 



abiertas. De esas cuatro integrales, dos son iguales a cero (en los lados donde los vectores B y d  



son perpendiculares) y las otras dos son iguales (en los lados donde los vectores B y d  son colineales). Luego, la ecuación inicial de la ley de Ampère, queda:





2  B d   0 I ENC. ; Donde: I ENC.  K (L)

 K B 0 2

2B L  0 (K L)



(Magnitud de B para una lámina infinita con corriente eléctrica de densidad lineal “K”)

Vectorialmente tenemos:

0 K  ( j ) Para puntos que se encuentran sobre la parte superior de la lámina: 2  0 K  B  ( j ) Para puntos que se encuentran sobre la parte inferior de la lámina: 2 

-

-

B



Nota.- El valor de B en un punto a una distancia “ r ” de una lámina infinita con corriente, NO DEPENDE de dicha distancia “ r ”, sólo va a depender del valor de la densidad lineal de corriente “K”.

3. Para un toroide de “N” espiras con corriente eléctrica I Consideremos un toroide con “N” vueltas (o espiras) de alambre muy juntas una de otra y con núcleo de aire, por el cual circula una corriente eléctrica I como se muestra en la figura. Los radios interno y externo del toroide son a y b. 

Para calcular B a una distancia “r” del centro y en el interior del toroide, hacemos un corte transversal, luego trazamos la trayectoria amperiana de radio “r” y aplicamos la ley de Ampère.

I I a

I

I trayectoria Amperiana

r



B 

d b



Por ley de Ampère:



 B  d   0 I ENC. C

La corriente encerrada ( I ENC , ) es “N” veces la corriente eléctrica I. Luego: B (2 r )   0 ( N I )

 NI B 0 2 r



(Magnitud de B para un toroide con núcleo de aire)





B

0 N I  a 2 r

(Para a  r  b )



Nota.- Para valores r  a y r  b : B  0 (No hay campo magnético)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

65

Capítulo 7 FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA E INDUCTANCIA 7.1 INDUCCIÓN MAGNÉTICA Es un fenómeno físico que consiste en la inducción de una corriente eléctrica y una fuerza electromotriz, a través de un circuito, debido a un campo magnético variable. La inducción magnética es el principio fundamental sobre el cual operan, por ejemplo, los transformadores y generadores eléctricos.

7.2 EXPERIENCIA DE FARADAY En 1831, y después de realizar muchas investigaciones y experimentos, Faraday descubrió que sólo un campo magnético variable podía inducir una corriente eléctrica a través de un circuito. La foto muestra la denominada Experiencia de Faraday: al mover un imán cerca de una bobina se produce una corriente eléctrica inducida, la cual es detectada por el miliamperímetro. La aguja del miliamperímetro analógico girará sólo cuando se acerca o se aleja el imán, si el imán se mantiene en reposo no hay corriente inducida en la bobina. Se repite la experiencia con bobinas de distinto número de espiras apreciando que la corriente inducida aumenta.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

64

7.3 FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA Y LEY DE FARADAY “Cuando sobre un circuito atraviesa un flujo magnético variable, se induce una fuerza electromotriz



en el circuito que tiende a producir una corriente eléctrica”

Se cumple que:

  Donde:

 t

 

O también:

d dt

 = fuerza electromotriz inducida en voltios (V)

 = variación del flujo magnético en weber (Wb) t = intervalo de tiempo en segundos (s) * Si hubiese N espiras apretadas, las ecuaciones anteriores quedan:

  N

 t

  N

O también:

d dt

* El signo negativo es explicado por la ley de Lenz que afirma que la fuerza electromotriz inducida hará que fluya una corriente en el circuito, con dirección tal que se oponga al cambio del flujo magnético ligado. * El flujo magnético  que atraviesa una superficie abierta de área A , como por ejemplo el área de una espira circular, viene dado por:

 BA





   Bd S

O también:

S

* Si la superficie es cerrada, como por ejemplo la superficie que encierra a un cubo, el flujo magnético total Total es CERO. A esto se le denomina ley de Gauss para el magnetismo. Es decir, se cumple que: 



Total   B  d S  0 S

7.4 TRANSFORMADORES Un transformador es un dispositivo de corriente alterna que cambia el valor de voltajes, corrientes e impedancias. Está constituido por dos o más bobinas acopladas magnéticamente a través de un núcleo ferromagnético común, como se muestra en la figura siguiente.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

65

 i1

i2

V1

N1

N2

RL

V2

 Para la trayectoria cerrada en el circuito magnético trazado por el flujo magnético 

se

cumple que

N1 i1  N 2 i2   donde N1 , N 2 e i1 , i2 son el número de vueltas (o número de espiras) y la corriente en los circuitos primario y secundario, respectivamente. El lado izquierdo de la ecuación es igual a la 

integral de línea cerrada



 H  d  alrededor del núcleo del transformador, resultado de la C

ley circuital de Ampère, y representa la fuerza magnetomotriz neta (en ampere-vuelta). El símbolo  en el lado derecho de la ecuación se denomina reluctancia del circuito magnético, la cual depende de la geometría y es inversamente proporcional a la permeabilidad del material del núcleo. Para el caso de los transformadores ideales suponemos que no hay flujo de fuga y que    ,   0 , en esta situación la ecuación anterior se convierte en

i1 N 2  i 2 N1 Esta relación establece que la razón de las corrientes en los devanados primario y secundario ideal es igual a la inversa de la razón de transformación. Además, de la ley de Faraday se concluye que:

V1 N1  V2 N 2 Es decir, la razón de los voltajes entre el devanado primario y el secundario de un transformador ideal es igual a la razón de transformación. Cuando el devanado secundario termina en una resistencia de carga RL , como se observa en la figura, la carga efectiva vista por la fuente conectada al devanado primario es

( R1 ) efec

V ( N / N )V  1  1 2 2 i1 ( N 2 / N1 ) i2

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO – JORGE MONTAÑO PISFIL

2

( R1 ) efec

N    1  RL  N2 

66

Para el caso de una fuente senoidal V1( t ) y una impedancia de carga Z L , la carga efectiva para la fuente es ( N1 / N 2 ) 2 Z L , una transformación de impedancia. Luego, se cumple: 2

(Z1 ) efec

N    1  Z L  N2 

Finalmente hay que señalar que en los transformadores reales tenemos las siguientes condiciones: la existencia de flujo de fuga, inductancias finitas, resistencia diferente de cero en el devanado y la presencia de histéresis y pérdidas por corrientes parásitas. Además, la naturaleza no lineal del núcleo ferromagnético complica aún más el problema de un análisis exacto de los transformadores reales.

7.5 INDUCTANCIA MUTUA Y AUTOINDUCTANCIA Sean dos espiras cerradas cercanas, C1 y C2, que limitan las superficies S1 y S2, respectivamente, como se observa en la figura siguiente. Si por la espira C1 fluye una 

corriente I1, entonces se creará un campo magnético B1 . Parte del flujo magnético 

ocasionado por B1 estará ligado a la espira C2, es decir, pasará a través de la superficie S2 limitada por C2. Si designamos este flujo mutuo con 12 , entonces: 



12   B1  d S 2 S2

(Wb) . . . (1)



Como B1 es directamente proporcional a I1 (según la ley de Biot-Savart), entonces el flujo 12 también es proporcional a I1. Por lo tanto:

12  L12 I1 , . . . (2) donde la constante de proporcionalidad L12 se denomina inductancia mutua entre las espiras C1 y C2, cuya unidad SI es el henry (H). En este caso, C2 tiene N2 vueltas y el flujo ligado 12 debido a 12 es

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12  N212 (Wb) . . . (3) La ecuación (2) se generaliza como

12  L12 I1 (Wb), . . . (4) O

L12 

  12 N2  B  d S . . . (5) 1 2 (H) I1 I1 S 2

La inductancia mutua entre dos circuitos es el flujo magnético ligado con un circuito por unidad de corriente en el otro. En la ecuación (5) está implícito que la permeabilidad del medio no cambia con I1. Es decir, las ecuaciones (2) y (5) sólo son aplicables a medios lineales. Una parte del flujo magnético producido por I1 está ligado únicamente a C1 y no a C2. El flujo total ligado a C1 causado por I1 es

11  N111 > N112 . . . (6) La autoinductancia del circuito C1 se define como el flujo ligado magnético por unidad de corriente en el propio circuito, es decir,

L11 

11 N1    B1  d S1 (H) I1 I1 S1

. . . (7)

La autoinductancia de una espira o de un circuito depende de la forma geométrica y de la disposición física del conductor que constituye la espira o el circuito, así como de la permeabilidad del medio. En el caso de un medio lineal, la autoinductancia no depende de la corriente en la espira o en el circuito. Un conductor dispuesto en la forma adecuada (como un alambre conductor enrollado formando una bobina) y que proporciona cierta cantidad de autoinductancia se conoce como inductor. Un inductor puede almacenar energía magnética. El procedimiento para determinar la autoinductancia, o denominada simplemente inductancia, de un inductor es el siguiente: 1. Se elige un sistema de coordenadas apropiado para la geometría dada. 2. Se asume que circula una corriente I en el alambre conductor o circuito. 

3. Se determina

B

a partir de I usando la ley circuital de Ampère si existe simetría; en

caso contrario se utiliza la ley de Biot-Savart. 







4. Se halla el flujo ligado a cada vuelta,  , a partir de B mediante integración:   B  d S , S



donde S es el área de la superficie sobre la cual existe B corriente supuesta. 5. Se determina el flujo ligado



y que está ligada a la

multiplicando  por el número de vueltas N.

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6. Se determina la autoinductancia L usando el cociente

L  /I .

Para determinar la inductancia mutua L12 entre dos circuitos sólo se requiere una ligera modificación al procedimiento anterior. Después de elegir un sistema de coordenadas apropiado, se continúa de la siguiente manera: Se supone una corriente I1 a través del 



circuito 1; se calcula B1 ; se encuentre 12 integrando B1 sobre la superficie S2 ; se determina el flujo ligado 12  N212 ; se determina L12  12 / I1 .

7.6 INDUCTORES Son dispositivos eléctricos que poseen una autoinductancia de valor L. A los inductores también se les conoce como reactores o bobinas de choque. Estos dispositivos se utilizan, por ejemplo, en la instalación y funcionamiento de los fluorescentes.

Reactor marca Alpha Los inductores se representan mediante el siguiente simbolo:

7.7 ENERGÍA MAGNÉTICA Consideremos una espira cerrada con autoinductancia L1 en la cual la corriente inicialmente es cero. Se conecta a la espira un generador de corriente que aumenta la corriente i1 de cero a I1, induciéndose una fuerza electromotriz en la espira que se opone al cambio de corriente. Hay que realizar cierto trabajo para superar esta fuerza electromotriz. Sea v1  L1di1 / dt

el

voltaje de la inductancia. El trabajo requerido es:

W1   v1i1dt  L1  i1di1  I1

0

1 2 L1I1 2

que se almacena como energía magnética.

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En el caso de dos espiras acopladas por las que circulan corrientes, la energía almacenada en el campo magnético viene dada por:

W2 

1 2 1 L1I1  L21I1I 2  L2 I 22 2 2

En el caso de una corriente I que fluye por un inductor con inductancia L, la energía magnética almacenada es

Wm 

1 2 LI 2

(J)

ENERGÍA MAGNÉTICA EN TÉRMINOS DE CANTIDADES DE CAMPO 



Energía magnética en términos de B y H :

Energía magnética en términos de B y  :

Wm 

1   H  B dV 2 V

1 B2 Wm   dV 2 V 

(J)

(J)

De esta última ecuación podemos determinar la autoinductancia de manera más fácil a partir 



de la energía magnética almacenada, calculada en términos de B o H , en lugar de usar el flujo ligado. Es decir:

L

2Wm I2

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(H)

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