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Optimización en Ingeniería Química (Versión preliminar – Enero 2018)

I. MODELADO MATEMÁTICO En este capítulo se introducirán algunos conceptos generales de modelado, comentando los distintos tipos de modelos existentes. Posteriormente, se describirán con mayor detalle los modelos matemáticos, comentando sus etapas de desarrollo, y se analizará la necesidad del ajuste de datos experimentales para la generación de información necesaria en los modelos matemáticos. Se introduce el concepto de análisis de grados de libertad y se describen las características generales de los modelos empleados en el diseño de procesos. Finalmente, se presenta el algoritmo de Lee y Rudd como un método para la selección apropiada de las variables que pueden actuar como grados de libertad.

Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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1.1 Introducción al modelado Es posible definir un modelo como una representación de un sistema o un fenómeno natural, la cual permite describir y analizar dicho fenómeno. El modelado permite estudiar sistemas reales con un costo relativamente bajo, dando la posibilidad de analizar los efectos de las variables de entrada sobre las variables de salida en un ambiente controlado. Una manera de clasificar los modelos es: •

Modelos conceptuales: este tipo de modelos otorgan una descripción meramente cualitativa; es decir, solo mencionan algunas de las características del sistema de interés. Son representaciones sencillas que dan información general sobre el fenómeno o sistema.

•

Modelos físicos: son experimentos que se pueden manipular de manera sencilla y presenta propiedades similares al sistema real. Un ejemplo típico de este tipo de modelos son los túneles de viento, los cuales permiten estudiar la dinámica de los flujos alrededor de distintos medios de transporte, en un entorno controlado. Otro ejemplo de un modelo físico son las plantas piloto, las cuales son representaciones de una planta de producción a nivel industrial, permitiendo realizar análisis de los efectos de las variaciones en distintas variables sobre el comportamiento del proceso, a un menor costo y riesgo que en el sistema real.

•

Modelos matemáticos: este tipo de modelos consisten en un conjunto de relaciones matemáticas que representan el sistema bajo estudio. Los modelos matemáticos, al igual que los modelos físicos, permiten analizar los efectos de los cambios en las variables de entrada sobre el comportamiento del sistema a un bajo costo. Sin embargo, en el caso de los modelos matemáticos el riesgo es prácticamente nulo. Por otra parte, si no se conocen en totalidad las características del sistema, puede ser necesario llevar a cabo experimentación para obtener los datos faltantes. En caso de que se tenga reportada información para un sistema similar, es posible tomar dicha información, reduciendo la necesidad de generar datos experimentales. Sin embargo, se debe asegurar que este tipo de suposiciones no introduzcan un error importante en el modelo.

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1.2 Modelos matemáticos La mayor parte de los métodos de optimización que se describirán en los siguientes capítulos requieren de modelos matemáticos, por lo que el resto de este capítulo se centrará en ese tipo de modelos. Como se ha mencionado anteriormente, los modelos matemáticos son representaciones abstractas de un sistema o fenómeno, los cuales emplean ecuaciones y relaciones matemáticas para realizar dicha representación. Los modelos matemáticos, de manera general, se componen de los siguientes elementos: •

Variables: son aquellas que pueden tomar distintos valores, y en conjunto con los parámetros representan al sistema de interés. Algunas variables comunes en ingeniería de procesos son la temperatura, la presión, la composición, etcétera.

•

Parámetros: son cantidades que se consideran constantes para un sistema determinado, sin embargo, si el sistema cambia los valores de los parámetros también se modifican. Por ejemplo, los parámetros de interacción de la ecuación NRTL son constantes para un par binario en particular, pero cambian si alguno de los componentes se modifica.

•

Ecuaciones matemáticas: pueden ser igualdades, desigualdades y expresiones lógicas.

•

Relaciones matemáticas: indican la relación que existe entre las variables, constantes y parámetros, por medio de la cual se define el estado del sistema. Estas relaciones matemáticas pueden presentarse en forma de ecuaciones diferenciales, ecuaciones algebraicas, expresiones lógicas, entre otras.

De manera general, un modelo matemático se puede constituir a partir de principios fundamentales, de métodos empíricos o de analogías. Los principios fundamentales son leyes y teorías científicas que han sido probadas y son aceptadas como correctas. Por ejemplo, las leyes de Newton o las ecuaciones de Navier-Stokes. Por otra parte, los métodos empíricos involucran la obtención de datos de entrada y salida con el fin de realizar un análisis estadístico y generar modelos de regresión. Finalmente, la analogía implica usar un sistema similar al de interés como referencia para representar alguna característica del sistema a modelar. Estas estrategias de modelado pueden usarse solas o en combinación, es decir, un modelo puede consistir de un conjunto de ecuaciones generadas por principios fundamentales, combinadas con correlaciones obtenidas a través del ajuste de datos experimentales.

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1.3 Desarrollo de los modelos matemáticos 1.3.1 Fases en el desarrollo del modelo matemático Una vez que se tiene un sistema que desea ser modelado, es de suma importancia delimitar las partes importantes del problema, elegir el grado de precisión, definir si se ha de tomar en cuenta la incertidumbre en el modelo la incertidumbre, hacer la elección de las variables a calcular y aquellas que pueden ser los parámetros del modelo, los cuales pueden ser tomados de referencias bibliográficas u obtenerse por experimentación si es económicamente viable. Las fases en el desarrollo de un modelo se presentan en la Figura 1.1, y se describirán en las siguientes secciones. Definición y formulación del problema

Análisis de sensibilidad

Interpretación física.

Análisis preliminar y detallado

Evaluación

Figura 1.1. Fases en el desarrollo de un modelo matemático. 1.3.1.1 Definición y formulación del problema En esta etapa es necesario identificar qué elementos conforman al problema, así como cuáles son los elementos que conforman a la solución. Se debe analizar el sistema o fenómeno a modelar, identificando las variables que constituirán al modelo, así como las variables que se considerarán independientes. También es necesario determinar cuántos parámetros desconocidos se tienen, con el fin de saber si se deberá obtener información experimental. Por Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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otra parte, se debe establecer el grado de precisión que se requiere en la solución, pues de esto dependerá en gran medida la complejidad del modelo. Sin embargo, tome en cuenta que un modelo muy complicado no es necesariamente mejor. Finalmente, en términos de la complejidad del modelo, la utilidad del mismo y su costo, se establece si el desarrollo del modelo está justificado.

1.3.1.2 Análisis preliminar y detallado En esta etapa se desarrollan las partes que conformarán al modelo matemático, definiendo los límites del sistema y sus alrededores, así como las variables de entrada y de salida. Se genera la representación matemática del sistema, en términos de ecuaciones y relaciones matemáticas. Asimismo, se establece la lógica de programación y los algoritmos que se han de emplear para resolver el modelo matemático. Es importante definir en esta etapa cuáles son las suposiciones propias del modelo, estableciendo así sus limitaciones. En el análisis detallado, se prueban los elementos individuales, verificando que las distintas ecuaciones y relaciones que conforman el modelo sean consistentes, y que cada ecuación, o bloque de ecuaciones, pueda resolverse por medio de los métodos propuestos.

1.3.1.3. Evaluación En esta etapa se codifica y evalúa el modelo como un todo. Se resuelve el modelo empleando el algoritmo propuesto, verificando que exista convergencia adecuada.

1.3.1.4. Interpretación física Una vez que se ha obtenido un resultado, es necesario analizarlo, con el fin de determinar si la información obtenida es lógica y físicamente factible. Es deseable validar los resultados obtenidos, ya sea a partir de datos históricos, por medio de información reportada en literatura o empleando datos experimentales o de planta piloto.

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1.3.1.5. Análisis de sensibilidad Con el fin de establecer la robustez del modelo, es necesario realizar un análisis de sensibilidad, modificando los valores de las variables de entrada en un rango amplio, con el fin de determinar si el modelo converge al modificar los valores de entrada, y si los valores de salida obtenidos continúan siendo lógicos. También es posible modificar los parámetros del modelo, de manera que se verifique su funcionalidad.

1.4. Modelos en Ingeniería Química Dentro de la Ingeniería Química, y particularmente en ingeniería de procesos, el modelado permite efectuar el análisis de los procesos químicos sin necesidad de manipular equipo real, e incluso sin que dicho equipo exista. Así pues, el contar con un modelo matemático del proceso, o de un equipo en particular, permite analizar la respuesta del sistema a cambios en algunas de las variables de entrada, sin necesidad de contar con el equipo, reactivos, equipos auxiliares, servicios, etcétera. Lo anterior tiene como consecuencia ahorro en cuanto a recursos económicos. Por otra parte, se reduce el riesgo de accidentes al analizar en un medio virtual posibles escenarios de riesgo. El modelado se presenta entonces como una herramienta muy útil en el diseño y optimización de procesos. Los componentes principales de un modelo matemático de un proceso químico se muestran en la Tabla 1.1. Tabla 1.1. Principales elementos del modelo de un proceso químico. Balances de cantidad de movimiento Balances de materia Balances de energía Ecuaciones de diseño Relaciones termodinámicas Ecuaciones cinéticas

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Adicionalmente, es posible tener especificaciones de algunas variables o restricciones particulares del caso a analizar. En el caso de los balances de cantidad de movimiento, estos no se consideran en muchos modelos de equipos de procesos, asumiendo en ocasiones que no existe caída de presión, o, si existe, se determina a través de correlaciones empíricas. Por otra parte, los balances de materia y energía son fundamentales en los equipos de proceso, pues son necesarios para asegurar la conservación de la materia y la energía. Asimismo, es de interés para el ingeniero químico conocer los cambios que ocurren con los componentes del proceso, así como la energía que entra y sale del mismo. Las ecuaciones de diseño dependen del tipo de equipo, y son necesarias cuando se requiere dimensionar al mismo. Usualmente, cuando se emplean ecuaciones de diseño, estas suelen asociarse a expresiones para el cálculo del costo de inversión. Las relaciones termodinámicas serán de particular importancia en sistemas donde exista algún tipo de equilibrio entre fases (líquido-líquido, vapor-líquido, sólido-líquido, etcétera), y la cercanía de la predicción del modelo con respecto al sistema real dependerá en gran medida de este tipo de relaciones. Usualmente, al emplear modelos termodinámicos, se requiere la determinación de parámetros empíricos. Por otra parte, las ecuaciones cinéticas serán de importancia en sistemas donde exista la generación o consumo de algún compuesto, es decir, cuando hay reacción química. Estas expresiones también suelen requerir ajuste de datos. Las restricciones particulares son adicionales al modelo base; estas restricciones son necesarias para complementarlo y obtener la información requerida. Un ejemplo de restricción particular está dado por las restricciones de sumatoria en los sistemas con equilibrio de fases: no son parte del modelo termodinámico, pero son necesarias para delimitar los valores que pueden tomar las variables. Por otra parte, las especificaciones de las variables suelen estar dadas por el máximo valor (o el mínimo) que puede tomar la variable. Finalmente, los modelos en ingeniería de procesos pueden desarrollarse en estado estacionario o en estado dinámico. Un modelo estacionario es de utilidad para estudios de diseño, en los cuales se considera que el equipo se encuentra en estado estable, por lo cual las variables no presentan variaciones con el tiempo. Los modelos en estado dinámico se emplean para estudios de control de procesos, en los cuales las variables cambian con el tiempo. Este tipo de modelos

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son útiles cuando existen cambios en las especificaciones de producto o para el arranque de equipos.

1.5. Ajuste de datos empíricos Como se ha mencionado anteriormente, existen ocasiones en las que hace falta información para completar el modelo matemático, por lo cual es necesario obtener datos a través de experimentación. Una vez que se llevan a cabo los experimentos, se obtiene un conjunto de puntos. En esta forma no pueden emplearse para conformar el modelo matemático, por lo que es necesario ajustar los datos obtenidos a una expresión matemática. Algunos ejemplos de expresiones a las cuales se pueden ajustar un conjunto de datos experimentales se muestran en la Tabla 1.2, donde y es la variable dependiente y x1, x2 son variables independientes, mientras que aj son constantes. Los modelos presentados en la Tabla 1.2 son solo ejemplos, sin embargo, es necesario proponer el tipo de modelo apropiado en términos del comportamiento de los datos. Tabla 1.2: Ejemplos de modelos de ajuste. Ecuación

Ajuste

𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟐

Lineal Lineal para constantes, no lineal para las variables

𝒚=

𝟏 𝒂𝒐 + 𝒂𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 𝑥12

No lineal para variables ni para constantes.

Una vez que se ha decidido la forma del modelo para el ajuste, es necesario determinar los valores numéricos de las constantes. Dichos valores deben ser seleccionados de manera que la diferencia entre los datos experimentales y el modelo de ajuste, o desviación, sea mínima. Uno de los métodos más empleados para determinar estas constantes es el de mínimos cuadrados. Con el fin de explicar el método de mínimos cuadrados, se empleará la siguiente ecuación generalizada: 𝑝

𝑦 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑥1 + 𝛽3 𝑥2 + ⋯ = ∑𝑗=1 𝛽𝑗 𝑥𝑗 Dr. Fernando Israel Gómez Castro

(1.1)

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Donde 𝛽𝑗 son los coeficientes de la ecuación generalizada, y xj representa una función de las variables independientes en la asociada a 𝛽𝑗 . En otras palabras, dependiendo de la naturaleza 1

del ajuste, xj puede tomar diferentes formas, tales como 𝑥 , 𝑥1 𝑥2, 𝑥12 , etcétera. Se define entonces 1

la función de mínimos cuadrados de la siguiente manera: 2

𝑓 = ∑𝑛𝑖=1(𝑌𝑖 − ∑𝑃𝑗=1 𝛽𝑗 𝑥𝑖𝑗 )

(1.2)

En la ecuación (1.2), como se ha mencionado, el subíndice j indica la posición en la ecuación generalizada. Por otra parte, el subíndice i está asociado al número de pruebas experimentales. Así, i = 1 se asocia a los datos de la primera prueba experimental, i = 2 a los de la segunda prueba, y así sucesivamente. Yi es el valor de la variable de respuesta (o dependiente) en la prueba experimental i, y el término dentro de la segunda sumatoria corresponde al ajuste. Por tanto, la función de mínimos cuadrados simplemente indica la desviación del valor experimental con respecto al valor predicho por el ajuste. Esta desviación se eleva al cuadrado con el fin de que la función presente siempre valores positivos. El objetivo del método de mínimos cuadrados es minimizar la función presentada en la ecuación (1.2). Los valores de los coeficientes que permiten minimizar dicha función están dados por: 𝛽̅ = (𝑥̿ 𝑇 𝑥̿ )−1 𝑥̿ 𝑇 𝑌̅

(1.3)

Donde: 𝑥11 𝑥 𝑥̿ = [ 21 ⋮ 𝑥𝑛1

𝑥12 𝑥22 ⋮ 𝑥𝑛2

… 𝑥1𝑝 … 𝑥2𝑝 ] ⋱ ⋮ ⋯ 𝑥𝑛𝑝

𝑌1 𝑌 𝑌̅ = [ 2 ] ⋮ 𝑌𝑛

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(1.4)

(1.5)

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𝛽1 𝛽 𝛽̅ = [ ⋮2 ] 𝛽𝑝

(1.6)

Así pues, la solución de la expresión matricial (1.3) arrojará los valores de los coeficientes que minimizan la desviación del ajuste.

1.5.1. Diseño de experimentos factoriales En la ecuación (1.3), es deseable que la matriz 𝑥̿ 𝑇 𝑥̿ sea ortogonal y bien condicionada. Lo contrario ocasionaría que la inversa no exista, lo cual impediría determinar los coeficientes de la ecuación de ajuste. Con el fin de asegurar la ortogonalidad de dicha matriz, es necesario planear los experimentos siguiendo una estrategia apropiada. Una de las maneras más sencillas de realizar esta planeación es a través del diseño factorial estándar.

1.5.1.1. Diseño factorial estándar En el diseño factorial estándar, es posible determinar el número mínimo de pruebas necesarias, en términos de n, el número de variables independientes a trabajar. El número de experimentos necesarios para poder realizar el ajuste está dado por 2n. Con esta información es posible planear las pruebas a llevar a cabo, reduciendo así el costo de la experimentación. Cabe mencionar que estas pruebas son adicionales al experimento inicial, el cual funcionará como punto de partida. Es decir, si se tienen dos variables independientes, se requieren 4 experimentos, más la prueba inicial. Al realizar el diseño factorial, es deseable escalar el rango de las variables independientes, de manera que sus valores en el experimento inicial se tomen como cero. Partiendo del punto cero, un incremento o reducción de Kj unidades con respecto al valor inicial llevará a puntos 1 o -1, respectivamente. Este procedimiento se muestra gráficamente en la Figura 1.2.

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Figura 1.2. Diseño factorial estándar para dos variables independientes.

Cada vértice en la Figura 1.2 representa uno de los experimentos a realizar. El punto (1, -1), por ejemplo, representa el experimento en el cual, partiendo del punto (0, 0), se incrementa la variable x1 en K1 unidades, mientras que la variable x2 disminuye en K2 unidades.

Ejemplo 1.1. Suponga que un reactor opera a un estado de referencia de 200°C y presión de 3 atm. Los datos obtenidos experimentalmente se ajustarán a un modelo lineal de la forma 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3, donde Y es el rendimiento; mientras que x2 y x3 son las variables normalizadas, las cuales se relaciones con las variables de proceso de la manera siguiente: 𝑥2 =

𝑇(°𝐶)−200

𝑥3 =

𝑝(𝑎𝑡𝑚)−3

20

2

(1.7)

(1.8)

Se plantean realizar cambios en las condiciones de operación de ±20°C para la temperatura y ±2 atm para la presión. (a) Plantee el diseño experimental factorial correspondiente. Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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(b) Determine los parámetros del ajuste lineal propuesto, si los resultados de los experimentos son los presentados en la Tabla 1.3.

Tabla 1.3. Resultados de las pruebas experimentales en el reactor del Ejemplo 1.1. T(°C) p (atm)

Y

180

1

20.500

220

1

22.211

180

5

58.890

220

5

77.870

200

3

67.712

Solución (a) Como se ha mencionado, el estado de referencia, es decir, el experimento cero, corresponde a condiciones de T = 200°C, p = 3 atm, y m = 200 kg/h. Asimismo, se ha establecido que K1 = 20ºC, K2 = 2 atm y K3 = 50 kg/h. La elección de la magnitud de estas perturbaciones depende del tipo de variable y de la sensibilidad del sistema a dichos cambios. Dado que se tienen dos variables independientes, se requieren 4 experimentos adicionales al experimento cero. Empleando las expresiones (1.7) y (1.8), es posible asociar variables escaladas a las condiciones experimentales a analizar, según se muestra en la Tabla 1.4. Esto nos permite establecer las condiciones para realizar las pruebas, las cuales se obtuvieron al perturbar Kj unidades cada una de las variables. Esta estrategia asegura una apropiada obtención de datos; asimismo, asegura la ortogonalidad de la matriz 𝑥̿ 𝑇 𝑥̿ en el ajuste de los datos, como se evidenciará más adelante.

(b) El ajuste se realizará para las variables escaladas, pues resulta más sencillo su manejo de esta manera. Cabe mencionar que la variable x1, asociada al parámetro 𝛽1 , es constante e igual a 1. Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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Tabla 1.4. Variables escaladas para el Ejemplo 1.1. T(°C) p (atm) x2 x3

Y

180

1

-1 -1 20.500

220

1

1

-1 22.211

180

5

-1

1

58.890

220

5

1

1

77.870

200

3

0

0

67.712

Se aplicará la ecuación (1.3) por partes, obteniendo primero la matriz 𝑥̿ 𝑇 𝑥̿ : 𝑥11 𝑇 𝑥̿ 𝑥̿ = [𝑥12 𝑥13

𝑥21 𝑥22 𝑥23

𝑥31 𝑥32 𝑥33

𝑥41 𝑥42 𝑥43

𝑥11 𝑥51 𝑥21 𝑥52 ] 𝑥31 𝑥53 𝑥41 [𝑥51

𝑥12 𝑥22 𝑥32 𝑥42 𝑥52

𝑥13 𝑥23 𝑥33 𝑥43 𝑥53 ]

(1.9)

De donde: ∑𝑖 𝑥𝑖1 𝑥𝑖1 𝑥̿ 𝑥̿ = [∑𝑖 𝑥𝑖2 𝑥𝑖1 ∑𝑖 𝑥𝑖3 𝑥𝑖1 𝑇

∑𝑖 𝑥𝑖1 𝑥𝑖2 ∑𝑖 𝑥𝑖2 𝑥𝑖2 ∑𝑖 𝑥𝑖3 𝑥𝑖2

∑𝑖 𝑥𝑖1 𝑥𝑖3 ∑𝑖 𝑥𝑖2 𝑥𝑖3 ] ∑𝑖 𝑥𝑖3 𝑥𝑖3

(1.10)

Empleando los datos reportados en la Tabla 1.4, se tiene: 5 𝑥̿ 𝑇 𝑥̿ = [0 0

0 4 0

0 0] 4

(1.11)

La matriz obtenida es diagonal y ortogonal, por lo cual su inversa existe, y está dada por: 1 5

0 0

(𝑥̿ 𝑇 𝑥̿ )−1 = 0

1

[0

0

4

0 1

4]

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(1.12)

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Se determinará ahora el producto 𝑥̿ 𝑇 𝑌̅:

𝑥11 [ 𝑥̿ 𝑌 = 𝑥12 𝑥13 𝑇̅

𝑥21 𝑥22 𝑥23

𝑥31 𝑥32 𝑥33

𝑥41 𝑥42 𝑥43

𝑌1 𝑥51 𝑌2 𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 + 𝑌5 𝑥52 ] 𝑌3 = [ −𝑌1 + 𝑌2 − 𝑌3 + 𝑌4 ] 𝑥53 𝑌4 −𝑌1 − 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 [𝑌5 ]

247.183 𝑥̿ 𝑇 𝑌̅ = [ 20.691 ] 94.049

(1.13)

(1.14)

Por lo tanto, se tiene que 𝛽̅ está dado por:

1 5

0

𝛽̅ = 0

1 4

[0

0

0

247.183 49.4366 0 [ 20.691 ] = [ 5.17275 ] 1 94.049 23.51225 4]

(1.15)

De donde el ajuste es: 𝑌 = 49.4366 + 5.17275𝑥2 + 23.51225𝑥3

(1.16)

1.6. Análisis de grados de libertad El modelo de un proceso, y en lo general, cualquier modelo matemático, consiste en cierto número de ecuaciones y variables. Algunas de esas variables estarán ligadas a una ecuación, es decir, es posible calcularla de manera directa a través de dicha ecuación. Sin embargo, en ocasiones se tienen dos o más variables ligadas a una sola ecuación, lo cual complica la solución del sistema. En estos casos, se debe suponer el valor de algunas variables para poder resolver el sistema de ecuaciones, convirtiéndolas en variables de decisión o grados de libertad. Así pues, el análisis de grados de libertad indica el número de variables de decisión cuyo valor se puede suponer de manera arbitraria. Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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Para describir el análisis de grados de libertad, considere que un modelo consiste en M ecuaciones independientes y N variables. Es importante remarcar que las ecuaciones deben ser independientes, puesto que la existencia de dependencia entre ecuaciones ocasionará errores en el análisis de grados de libertad. Se define entonces el número de grados de libertad, F, como:

𝐹 = 𝑁−𝑀

(1.17)

En términos del número de ecuaciones independientes y de variables, existen tres posibilidades: 1) M > N. Esto implica que el número de grados de libertad es negativo. Si esto ocurre, se dice que el sistema está sobre-especificado y no tiene solución, puesto que una misma variable estaría asociada a dos o más ecuaciones. Esto puede deberse a errores en el modelado o la presencia de ecuaciones dependientes, por lo cual es necesario revisar el modelo si se presenta esta situación. 2) M = N. Esto implica que el número de grados de libertad es cero. En este caso, el sistema está completamente definido y tiene solución. En el caso de sistemas lineales, dicha solución es única. En el caso de sistemas no lineales, pueden existir soluciones múltiples, pero estas se deberán a las raíces de los polinomios que conformen el sistema. 3) M < N. Esto implica que el número de grados de libertad es positivo. En este caso, para definir el sistema se necesitan N - M relaciones adicionales, que se generan al establecer valores para F variables. Una vez que se fijan los valores para dichas variables, el sistema se convierte en uno de MxM, el cual se puede resolver. La importancia del análisis de grados de libertad radica en que un sistema con grados de libertad positivos es optimizable. El ajuste de las variables establecidas como grados de libertad debe hacerse considerando una función objetivo, la cual permitirá determinar cuál es la mejor combinación de valores para las variables de decisión. Se requiere entonces de técnicas de optimización para resolver este tipo de problemas. El análisis de dichas técnicas será el objeto de estudio de temas posteriores.

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Ejemplo 1.2. Considere el tanque de mezclado mostrado en la Figura 1.3. Si se conoce el flujo del componente A, y el flujo de B es desconocido, establezca un modelo para el proceso y determine el número de grados de libertad. Como dato adicional, se sabe que el flujo del compuesto B está dado como el producto de un valor R y el flujo del componente A.

Figura 1.3. Tanque de mezclado. Solución: Si no es de interés el cálculo de la potencia del agitador y se considera la presión en el tanque como constante, no es necesario establecer el balance de cantidad de movimiento, o emplear correlaciones con este fin. El balance de materia es necesario para conocer los flujos que entran y salen del sistema, y está dato por:

𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 𝐹𝐶

(1.18)

Si se considera que el sistema es isotérmico y no hay calentamiento o enfriamiento externo, no es necesario hacer un balance de energía. Por otra parte, si no se requiere dimensionar el equipo, tampoco se requiere una ecuación de diseño. Una especificación particular del sistema está dada por: 𝐹

𝑅 = 𝐹𝐵

𝐴

(1.19)

Por otra parte, se sabe que: 𝐹𝐴 = 𝑘

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(1.20)

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donde k es una constante. La restricción anterior implica que el flujo de A es conocido y constante. Se tiene entonces que el número de ecuaciones (M) es igual a tres, mientras que el número de variables (N) es igual a cuatro. Estas variables son: F A, FB, FC y R. Así pues, el número de grados de libertad está dado por:

𝐹 = 4−3= 1

(1.21)

Es decir, se tiene una variable que puede manipularse de manera libre. Al asignar un valor a esa variable, las demás se pueden calcular por medio del modelo. Cabe mencionar que un modelo dado para un sistema en particular no es único, y se pueden tener diversas formas de representar el mismo proceso. Por ejemplo, en el ejemplo anterior se consideró el hecho de que el flujo de A es constante como una ecuación. Como alternativa, se podría tomar F A como un valor constante y no incluirlo en el conteo de variables, eliminando a su vez la ecuación 1.20. Al hacer esto, el modelo tendría 2 ecuaciones y 3 variables (FB, FC y R), con lo cual el número de grados de libertad seguiría siendo 1.

1.7. Algoritmo de Lee y Rudd La mayor parte de los problemas en ingeniería de procesos presentan número de grados de libertad disponibles, lo cual genera una situación en la que debemos seleccionar cuáles de las variables se convertirán en esos grados de libertad. El análisis mostrado en la sección 1.6 solo nos indica el número de variables a las cuales se debe asignar un valor para poder resolver el sistema, pero no indica cuáles son esas variables. El algoritmo de Lee y Rudd es una herramienta muy útil para la selección de variables de diseño. Este método se basa en la determinación de las variables que aparecen en un mayor número de ecuaciones, de manera que, al establecer un valor para dichas variables, se pueda resolver de manera directa el sistema de ecuaciones. El algoritmo de Lee y Rudd también permite determinar el orden de solución del sistema de ecuaciones. Por supuesto, para aplicar este método es necesario haber desarrollado previamente el modelo y asegurar que se cuenta con un número de grados de libertad positivos.

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Las etapas del algoritmo de Lee y Rudd son las siguientes: 1.- Construir una matriz de incidencia, formando un arreglo con renglones que especifican las ecuaciones y columnas que identifican las variables contenidas en el sistema de ecuaciones. 2.- Detectar la presencia de una variable en una ecuación mediante algún identificador en ese elemento de la matriz (por ejemplo, una X). Si la variable en cuestión no está contenida en la ecuación, se tiene la ausencia de ese identificador. 3.- Detectar las columnas que contengan solo una X. Eliminar esa columna y el renglón correspondiente. Esto indica que esa variable aparece únicamente en esa ecuación. 4.- Las columnas que queden sin eliminar representan las mejores variables de diseño para el problema. 5.- Es posible determinar la forma en que el sistema de ecuaciones se debe resolver una vez fijados los grados de libertad. Esta secuencia depende de la forma en que las ecuaciones se eliminaron, tal como se presenta a continuación: 5.1. Si el proceso de eliminación se cumple habiendo en cada paso una columna con un solo elemento de incidencia, la solución del sistema de ecuaciones es secuencial. La solución se lleva a cabo por el proceso inverso al de eliminación. El número de columnas sin eliminar en estos casos es igual al número de grados de libertad del problema. 5.2. Si solo existen columnas con más de una incidencia, la solución al sistema de ecuaciones ya no es puramente secuencial. Se deben eliminar tantos renglones como sea necesario para generar al menos una columna con una incidencia y a continuación aplicar el procedimiento descrito en el paso 5.1. Al final del proceso quedarán sin eliminar un número de columnas igual a los grados de libertad del sistema más el número de ecuaciones que se eliminaron para generar columnas con una incidencia en la etapa intermedia. Se eligen en esos casos un número de variables de diseño equivalentes a los grados de libertad del sistema, y el resto se identifican como variables de reciclo. El valor de estas variables se debe suponer para inicializar el proceso de solución, y recalcularlas en algún momento de ese proceso.

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El algoritmo de Lee y Rudd permite determinar las mejores variables de diseño para un problema dado. Sin embargo, habrá ocasiones, en particular con problemas como los descritos en el paso 5.2, en las cuales se deberá decidir entre una u otra variable para continuar con el algoritmo, de manera que la variable seleccionada se convertirá en una variable de decisión y la otra en una variable de reciclo. Determinar que variable es mejor dependerá de la experiencia del ingeniero y su conocimiento del proceso, debiendo preferir las variables que presentan límites mejor definidos y que pueden manipularse de manera más sencilla en el proceso. A continuación, se presentará un ejemplo en el cual la solución del sistema de ecuaciones es secuencial. Posteriormente, se desarrollará un caso en el cual la solución del sistema de ecuaciones requiere del uso de variables de reciclo.

Ejemplo 1.3. Considere los equipos de transferencia de calor en serie que se muestran en la Figura 1.4. Determine: (a) Un modelo que represente a dichos equipos (b) El número de grados de libertad del sistema (c) Las mejores variables de decisión (d) La secuencia de solución del sistema de ecuaciones

K1 U1 A1

mh Ch Tho

T1f

Thi

m1 c1 T10

mh Ch Thf

K2 U2 A2

T2f

m2 c2 T20

Figura 1.4. Serie de equipos de transferencia de calor. Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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Solución: (a) El modelo del primer intercambiador involucra el calor cedido por el fluido caliente y el calor absorbido por el fluido de enfriamiento:

𝑄1 = 𝑚ℎ 𝐶𝑝,ℎ (𝑇ℎ0 − 𝑇ℎ𝑖 )

(1.22)

𝑄1 = 𝑚1 𝐶𝑝,1 (𝑇1𝑓 − 𝑇10 )

(1.23)

Por otra parte, se tiene la ecuación de diseño del intercambiador:

𝑄1 = 𝑈1 𝐴1 ∆𝑇𝑀𝐿1

(1.24)

Dado que no se conoce la geometría del intercambiador ni las características de los fluidos, por el momento se establecerá el coeficiente de transferencia de calor como una función desconocida:

𝑈1 = 𝑈1 (𝑚ℎ , 𝑇ℎ0 , 𝑇ℎ𝑖 , 𝑚1 , 𝑇10 , 𝑇1𝑓 )

(1.25)

Finalmente, se debe tener una relación para determinar la media logaritmica de temperaturas:

∆𝑇𝑀𝐿1 =

(𝑇ℎ𝑖 −𝑇10)−(𝑇ℎ0 −𝑇1𝑓 ) 𝑇 −𝑇 ln ℎ𝑖 10

𝑇ℎ0 −𝑇1𝑓

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(1.26)

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Para el segundo intercambiador, el modelo es similar al del primero, solamente modificándose las variables involucradas:

𝑄2 = 𝑚ℎ 𝐶𝑝,ℎ (𝑇ℎ𝑖 − 𝑇ℎ𝑓 )

(1.27)

𝑄2 = 𝑚2 𝐶𝑝,2 (𝑇2𝑓 − 𝑇20 )

(1.28)

𝑄2 = 𝑈2 𝐴2 ∆𝑇𝑀𝐿2

(1.29)

𝑈2 = 𝑈2 (𝑚ℎ , 𝑇ℎ𝑖 , 𝑇ℎ𝑓 , 𝑚2 , 𝑇20 , 𝑇2𝑓 )

(1.30)

∆𝑇𝑀𝐿2 =

(𝑇ℎ𝑓 −𝑇20 )−(𝑇ℎ𝑖 −𝑇2𝑓 ) ln

𝑇ℎ𝑓 −𝑇20

(1.31)

𝑇ℎ𝑖 −𝑇2𝑓

(b) El sistema consiste de 10 ecuaciones independientes con 13 incógnitas. Por tanto, el número de grados de libertad es:

𝐹 = 13 − 10 = 3

(1.32)

(c) La matriz de incidencia para la primera iteración se muestra en la Tabla 1.5, en la cual se observa que las columnas con una sola incidencia corresponden a las variables A1 y A2, por lo que se podría eliminar cualquiera de ellas. En este caso, se eliminará la columna asociada a la variable A2, junto con el renglón asociado a la Ecuación (1.29). La nueva matriz de incidencia se presenta en la Tabla 1.6.

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Tabla 1.5. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 1. Ec.

Q1

1.22

X

1.23

X

1.24

X

Q2

Thi

T1f

m1

X

X

U1

A1

X

X

ΔTML1 m2

T2f

U2

A2

ΔTML2

X

X

X

X

1.25

X

X

1.26

X

X

1.27

X

1.28

X

1.29

X

X

X

X X

X X

1.30

X

1.31

X

X

X

X X

X X

En la Tabla 1.6. se puede ver que ahora las columnas asociadas a las variables U 2 y ΔTML2, así como aquella asociada a A1, tienen una incidencia. Dado que se ha iniciado eliminando las variables correspondientes al segundo intercambiador de calor, se continuará con esta tendencia, por lo que, por el momento, se mantendrá la variable de área del primer intercambiador, eliminando la columna del coeficiente global de transferencia de calor del segundo intercambiador. Esto implicará una secuencia de solución con mayor lógica, resolviendo primero para el intercambiador 1 y después para el 2. Lo contrario también sería válido. La matriz resultante se presenta en la Tabla 1.7. De la matriz mostrada en la Tabla 1.7, se eliminará la columna asociada a la variable ΔTML2. Note que esto se podría haber realizado en la iteración 2, eliminando en la iteración 3 la columna de U2, por lo que el orden de eliminación no tiene importancia en este caso. La Tabla 1.8 presenta la matriz de incidencia resultante al eliminar la columna de ΔTML2.

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Tabla 1.6. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 2. Ec.

Q1

1.22

X

1.23

X

1.24

X

Q2

Thi

T1f

m1

X

X

U1

A1

X

X

ΔTML1 m2

T2f

U2

ΔTML2

X

1.25

X

X

1.26

X

X

1.27

X

1.28

X

X

X

X X

X

1.30

X

1.31

X

X

X

X

X

X

X

X

Tabla 1.7. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 3. Ec.

Q1

1.22

X

1.23

X

1.24

X

Q2

Thi

T1f

m1

X

X

A1

X

X

ΔTML1 m2

T2f

ΔTML2

X

1.25

X

X

1.26

X

X

1.27

X

1.28

X

1.31

U1

X

X

X X

X X X

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X X

X

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Tabla 1.8. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 4. Ec.

Q1

1.22

X

1.23

X

1.24

X

Q2

Thi

T1f

m1

X

X

U1

A1

X

X

ΔTML1 m2

T2f

X

1.25

X

X

1.26

X

X

1.27

X

1.28

X

X

X

X X

X X

X

En la Tabla 1.8 es posible ver que las variables asociadas al segundo intercambiador que tienen una incidencia son m2 y T2f. También se observa que, cualquiera de las dos que se elimine, cancelará ese renglón, por lo que ya no habría manera de eliminar la columna de la otra variable, y esta seguramente será escogida como grado de libertad. Esta elección es importante. Un criterio auxiliar está relacionado con la naturaleza de las variables. Recuerde que, al implementar la solución al sistema de ecuaciones, será necesario asignar un valor numérico a los grados de libertad. En el caso de la temperatura de salida del fluido frío, esto es relativamente sencillo, pues sabemos que debe ser mayor a la temperatura de entrada, y por heurística es posible asumir un cambio de temperatura apropiado. En el caso del flujo másico, es más complicado asignar un valor numérico, por tanto, esta es la variable que se debe eliminar, resultando en la matriz mostrada en la Tabla 1.9, en cual se observa que, de las variables asociadas al segundo intercambiador, solo Q2 tiene incidencia, por lo que es la columna por eliminar, obteniendo la matriz presentada en la Tabla 1.10. En este punto, ya no quedan variables del segundo intercambiador con incidencias en la matriz, por lo que se comenzarán a eliminar las correspondientes al primer intercambiador, iniciando con A1. Al hacer esto, se obtiene la matriz mostrada en la Tabla 1.11.

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Tabla 1.9. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 5. Ec.

Q1

1.22

X

1.23

X

1.24

X

Q2

Thi

T1f

m1

X

X

U1

A1

X

X

ΔTML1 T2f

X

1.25

X

X

1.26

X

X

1.27

X

X

X

X X

X

Tabla 1.10. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 6. Ec.

Q1

Thi

1.22

X

X

1.23

X

1.24

X

T1f

m1

X

X

1.25

X

X

1.26

X

X

X

U1

A1

X

X

ΔTML1 T2f

X

X X

En la Tabla 1.11, tanto U1 como ΔTML1 muestran una incidencia. Sin embargo, como se observó en las iteraciones 2 y 3, ambas columnas serán eliminadas, por lo cual no importa el orden en que estas operaciones se lleven a cabo. En este ejemplo, se eliminará primero la variable U 1, dando origen a la matriz mostrada en la Tabla 1.12, y posteriormente la variable ΔT ML1, obteniendo la matriz presentada en la Tabla 1.13, en la cual se observa que las columnas asociadas a T1f y m1, respectivamente, presentan una incidencia. Siguiendo el razonamiento

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presentado en la iteración 4, se eliminará la columna de m1, obteniendo la matriz mostrada en la Tabla 1.14.

Tabla 1.11. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 7. Ec.

Q1

Thi

1.22

X

X

1.23

X

T1f

m1

X

X X

1.25

X

X

1.26

X

X

ΔTML1 T2f

U1

X X

Tabla 1.12. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 8. Ec.

Q1

Thi

1.22

X

X

1.23

X

1.26

X

T1f

m1

X

X

ΔTML1 T2f

X

X

Tabla 1.13. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.2, iteración 9. Ec.

Q1

Thi

1.22

X

X

1.23

X

T1f

m1

X

X

T2f

En la matriz de la Tabla 1.14, solamente las variables Q1 y Thi presentan incidencia. Sin embargo, asignar un valor numérico a la variable Q 1 sería complicado, por lo que esta es la Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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columna por eliminar. Al hacer esto, ya no quedan renglones por eliminar, quedando tres variables: Thi, T1f y T2f. Estas son las variables a elegir como grados de libertad. Tabla 1.14. Matriz de incidencia del Ejemplo 1.3, iteración 10. Ecn

Q1

Thi

1.22

X

X

T1f

T2f

(d) Para resolver el sistema de ecuaciones, primero es necesario asignar valores a los grados de libertad. Al tratarse de temperaturas, esta asignación es relativamente simple, pues se conocen límites superior e inferior para Thi, así como límites inferiores para T1f y T2f. Una vez asignados los valores de los grados de libertad, se inicia resolviendo la última ecuación eliminada en el algoritmo de Lee y Rudd, es decir, la ecuación 1.22, para la última variable eliminada, es decir, Q1. Esto es posible debido a que, al asignar un valor numérico a T hi, la única variable restante en esa ecuación es Q1. Este procedimiento de solución “hacia atrás” se continua hasta llegar a la primera ecuación eliminada, lo cual se muestra en la Figura 1.5.

Ejemplo 1.4. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 6𝑥4 + 𝑥5 = 10

(1.33)

4𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 + 4𝑥5 = 20

(1.34)

𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 25

(1.35)

3𝑥3 + 2𝑥5 = 15

(1.36)

2𝑥1 + 7𝑥2 + 6𝑥3 + 9𝑥4 + 5𝑥5 = 30

(1.37)

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Fijar los valores de Thi, T1f, T2f

De la Ec. 1.22

Q1= f (Thi)

De la Ec. 1.23 m1= f (Q1, T1f)

De la Ec. 1.26

ΔTML1= f (Thi, T1f)

De la Ec. 1.25

U1= f (Thi, T1f, m1)

De la Ec. 1.24 A1= f (Q1, U1, ΔTML1)

De la Ec. 1.27

De la Ec. 1.28

De la Ec. 1.31

De la Ec. 1.30

Q2= f (Thi)

m2= f (Q2, T2f)

ΔTML2= f (Thi, T2f)

U2= f (Thi, m2, T2f)

De la Ec. 1.29 A2= f (Q2, U2, ΔTML2) Figura 1.5. Procedimiento de solución del modelo del problema 1.3.

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Determine: (a) El número de grados de libertad del sistema (b) Las mejores variables de decisión (c) La secuencia de solución del sistema de ecuaciones

Solución: (a) El sistema consiste en 5 ecuaciones con 5 incógnitas, por lo cual aparentemente está bien definido y tiene una solución única. Sin embargo, debe notarse que la ecuación (1.37) se puede obtener a partir de la suma de las ecuaciones (1.33) y (1.34), por lo cual las ecuaciones que conforman al sistema no son independientes. Así pues, se debe eliminar la ecuación (1.20), por lo cual se tendrán 4 ecuaciones con 5 incógnitas, y el número de grados de libertad es:

𝐹 = 5−4= 1

La solución a los incisos (b) y (c) se desarrollará en la clase presencial.

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(1.38)

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Referencias bibliográficas Edgar, T.F., Himmelblau, D.M., Lasdon, L.S., Optimization of Chemical Processes, 2a edición, McGraw Hill, U.S.A., 2001.

Jiménez Gutiérrez, A., Diseño de Procesos en Ingeniería Química, Editorial Reverté, Barcelona, 2003.

Ejercicios propuestos Modelado E1.1. Se desea analizar el sistema de condensación mostrado en la Figura E1.1. El diseño del equipo se basará en agua de enfriamiento como medio de condensación. Se conoce la temperatura y flujo de la corriente D, así como el coeficiente global de transferencia de calor y las propiedades termodinámicas. Escriba las ecuaciones que modelan el sistema y determine el número de variables desconocidas.

Figura E1.1. Diagrama de un sistema de condensación.

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E1.2. Se tiene un sistema de mezclado como el que se muestra en la Figura E1.2. Dos corrientes disponibles a diferentes temperaturas con diferentes concentraciones de un soluto se alimentan al tanque, el cual tiene un serpentín de calentamiento para ajustar la temperatura de salida hasta un nivel deseado. No se lleva a cabo ninguna reacción química. Las variables conocidas son x1, x2, T1, T2, Tv, el coeficiente global de transferencia de calor U y todas las propiedades termodinámicas de la mezcla y de los componentes. Escriba las ecuaciones que modelan el sistema y determine el número de variables desconocidas.

Figura E1.2. Diagrama de un sistema de mezclado

E1.3 Una mezcla de dos componentes A y B, donde A es más volátil que B, va a separarse adiabáticamente en un separador flash. La Figura 3 muestra esquemáticamente las variables de interés. Desarrolle el modelo que representa al sistema. Determine las variables desconocidas si se conocen las condiciones de alimentación, la presión del separador, el flujo de vapor y su composición, así como las propiedades termodinámicas de la mezcla.

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Figura E1.3. Representación de un separador flash

E1.4. Los microbios E. Coli crecen en un medio con glucosa, de acuerdo con una cinética de tipo Monod con k = 40 y un valor de 40 para la constante de Monod. Se alimenta un flujo conocido de solución de glucosa a un sistema de reacción de tipo tanque agitado. Se desean probar tres configuraciones distintas: un solo reactor, dos reactores en serie y dos reactores en paralelo. Establezca el modelo para cada situación. Defina cuáles variables son conocidas y cuáles son desconocidas. Justifique su respuesta.

E1.5. El cracking irreversible en fase vapor de la acetona (A) para generar cetena (B) y metano (C), que viene dado por la reacción:

𝐶𝐻3 𝐶𝑂𝐶𝐻3 → 𝐶𝐻2 𝐶𝑂 + 𝐶𝐻4

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se lleva a cabo adiabáticamente en un reactor tubular. La reacción es de primer orden con respecto a la acetona y la velocidad de reacción específica se puede expresar por:

ln 𝑘 = 34.34 −

34.222 𝑇

donde k se mide en s-1 y T en K. La velocidad de flujo de alimentación de la acetona en el reactor es de 8,000 kg/h, la temperatura de entrada es de T = 1,1150 K y el reactor opera a una presión constante de P = 162 kPa (1.6 atm). El volumen del reactor es de 4 m3. Establezca un modelo para la operación del reactor, incluyendo los balances correspondientes de materia y energía.

Ajuste de datos empíricos E1.6. Retome los datos del Ejemplo 1.1, y ajuste los datos a los siguientes modelos: (a) 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑥22 + 𝛽3 𝑥2 𝑥3 + 𝛽4 𝑥32 (b) 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑥22 + 𝛽3 𝑥32 Determine el rendimiento predicho por ambos modelos. ¿Qué modelo ajusta mejor los datos experimentales?

E1.7. Suponga que un reactor de tanque opera a un estado de referencia de 50°C, agitación de 200 RPM y un flujo de catalizador homogéneo de 100 kg/h. Los datos obtenidos experimentalmente se ajustarán a un modelo lineal de la forma 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 + 𝛽4 𝑥4, donde Y es el rendimiento; mientras que x2, x3 y x4 son las variables normalizadas, las cuales se relaciones con las variables de proceso de la manera siguiente:

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𝑥2 =

𝑇(°𝐶)−50

𝑥3 =

𝑅𝑃𝑀−200

𝑥3 =

𝑚(𝑘𝑔/ℎ)−100

(E1.1)

20

(E1.2)

50

(E1.3)

20

Se realizarán cambios en las condiciones de operación de ±20°C para la temperatura, ±50 RPM para la agitación, y ±20kg/h para el flujo. Determine los parámetros del ajuste lineal propuesto, si los resultados de los experimentos son los presentados en la Tabla E1.1.

Tabla E1.1. Resultados experimentales para el reactor del ejercicio E1.7. T(°C) RPM m (kg/h)

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Y

30

150

80

62.310

70

150

80

85.215

30

250

80

57.980

70

250

80

79.012

30

150

120

87.112

70

150

120

91.212

30

250

120

80.915

70

250

120

79.414

50

200

100

80.510

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Análisis de grados de libertad y algoritmo de Lee y Rudd E1.8.- Considere el sistema mostrado en la Figura E1.4. Una corriente consistente de A puro pasa por un intercambiador de calor, y de ahí a un reactor continuo tipo tanque, donde ocurre la reacción 𝐴 → 𝐵. El reactor opera a 100°C y la reacción es incompleta. Se conocen además los coeficientes globales de transferencia de calor del intercambiador y de la chaqueta del reactor, así como el volumen del reactor. ¿Cuántos grados de libertad tiene el sistema? Indique cuáles son las mejores variables de diseño y la secuencia de cálculo para la solución de sistema.

Figura E1.4. Sistema de intercambiador de calor y reactor.

E1.9. Considere el sistema de evaporación mostrado en la Figura E1.5. Escriba las ecuaciones que modelan el proceso. Si se conoce la alimentación y todas sus características, indique cual es el número de grados de libertad. Finalmente, utilice el algoritmo de Lee y Rudd para obtener las mejores variables de diseño y el orden de solución de las ecuaciones.

E1.10. Considere la alimentación a un reactor de producción de estireno, consistente de una mezcla de vapor y etilbenceno, con sus respectivos valores de flujos, temperaturas y presiones de acuerdo al diagrama mostrado en la Figura E1.6. Dr. Fernando Israel Gómez Castro

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Figura E1.5. Sistema de evaporación.

Para mantener el catalizador en condiciones óptimas se requiere que FV/FE = 10. Por otra parte, la alimentación al reactor debe cumplir con T A = 600°C, PA = 1.8 atm. Finalmente, se conocen el consumo de etilbenceno y sus condiciones, FE = 55 T/h, TE = 80°F, PE = 1 atm. Tomando en cuenta esta información, desarrolle los siguientes puntos: a) Escriba el modelo que describe este proceso de mezclado. Suponga que las entalpias de las corrientes son función tanto de la temperatura como de la presión. b) Indique cuántos grados de libertad tiene el sistema. c) Aplique el algoritmo de Lee y Rudd para identificar las mejores variables de diseño y el orden de solución de las ecuaciones.

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Figura E1.6. Reactor de producción de estireno E1.11. Dos líquidos de proceso, A y B, se mezclan en un tanque después de calentarse cada uno en respectivos intercambiadores de calor. Para calentar el líquido A se usa vapor de calentamiento, mientras que para calentar el líquido B se usa una corriente caliente del proceso con el fin de ahorrar energía, según se muestra en la Figura E1.7.

Figura E1.7. Sistema de intercambiadores y tanque.

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a) Escriba las ecuaciones que modelan el sistema. Suponga que los coeficientes globales de transferencia de calor de los intercambiadores, así como el volumen del tanque de mezclado, son conocidos. b) Suponiendo que todas las propiedades termodinámicas de cualquier corriente son conocidas, y que se conocen los flujos FA y FB, así como las temperaturas TA1, TB1 y TL1, indique cuales son los grados de libertad del sistema. c) Aplique el algoritmo de Lee y Rudd para sugerir las mejores variables de diseño y el orden de solución de las ecuaciones. d) Repita los incisos a) al c), asumiendo que los coeficientes globales de transferencia de calor de los intercambiadores son desconocidos, y que el volumen del tanque de mezclado es tal que debe superar en un 20% el volumen total de líquido contenido.

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