Tema 12 Transform Ada De Fourier De Senyals Discrets

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformada de Fourier de senyals discrets Versió 2006/3 Xavier Giró [email protected]

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Objectius En finalitzar aquest tema, l'estudiant haurà de ser capaç de: ­  Relacionar  la  Transforma  de  Fourier  (TF)  per  a  senyals  discrets amb la Transformada TZ. ­  Calcular  la  TF  per  a  senyals  discrets  i  estudiar  la  seva  convergència. ­  Calcular  i  dibuixar  la  TF  dels  senyals  bàsics,  així  com  la  de combinacions d'ells. ­  Aplicar  les  propietats  de  la  TF  de  senyals  discrets  i  periòdics. X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició ← 2. Propietats 3. Senyals bàsics 4. Senyals periòdics

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició La transformada de Fourier (TF) per a senyals discrets és el  cas particular de la TZ en el qual z=ej .

Transformada de Fourier

∞

X = ∑ x [ n ] e

−jn

n=−∞

Transformada inversa

x [ n ]=

de Fourier

1 2

∫

X  e

jn

d

2

La TF és una funció de variable real i contínua , tot i estar  definida a partir d'un senyal discret.

x [ n ] , n∈ℤ

TZ

X z  , z∈ℂ

z=ej . X  , ∈ℝ

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició El criteri general de convergència de la TZ... Criteri de  convergència  de la TZ

∞

∑

∞

∑ ∣x [ n]∣∣z∣−nM ∈ℝ

∣x [ n ] z ∣= −n

n=−∞

n=−∞

... se simplifica en el cas de la TF particularitzant per z=ej: Criteri de  convergència  de la TF

∞

∑

−jn

∣x [ n ]∣∣e

n=−∞

∣=

∞

∑ ∣x [ n]∣M ∈ℝ

n=−∞

Exemple:  No  és  possible  calcular  la  Transformada  de  Fourier del graó unitari u[n]. ∞

∑

n=−∞

∞

∣u [ n]∣=∑ 1=1111=∞ n =0

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició És possible calcular la TF d'una seqüència si la ROC de la seva  TZ inclou el cercle de radi unitari. z=ej

Exemple: La TZ del graó unitari u[n] sols és vàlida per a una  ROC que no inclou el cercle de radi unitari. ∞ 1 −n X z = ∑ u [n] z = , ROC :∣z∣1 −1 1−z n =−∞ Per tant, no és possible calcular la TF de u[n]. X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició  2. Propietats ← 3. Senyals bàsics  4. Senyals periòdics

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats Les  propietats  formulades  per  la  Transformada  Z  segueixen  essent vàlides pel cas z=ej

Propietats TZ

Propietats TF

 x [ n ] y [ n]



 X  z  Y  z

x [ n−k ]



z

x [ n]∗y [ n ]



XzH z

 x [ n ] y [ n]



 X   Y 

x [ n−k ]



e

x [ n]∗y [ n ]



X   H 

−k

Xz

−jk

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

X z 

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats Periodicitat 2 X =X 2  k  ,

k ∈ℤ

Demostració ∞

∞

X 2  k = ∑ x [n] e

=

X 2  k = ∑ x [n] e

=X 

n=−∞ ∞

− j 2  k n

− j n

∑

− j n − j 2 kn

x [n]e

e

n=−∞

n=−∞

Conseqüències 1. A les gràfiques només es representa la TF per a un marge 2 de  valors de . Normalment entre (­, ) o (0, 2). 2. Canvia el concepte de freqüències altes o baixes del món continu.  Les baixes són les properes a 2k i les altes, a (2k+1). X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats Desplaçament en freqüència (1/2) j 0 n

x[n ]e

X − 0 



Demostració Definició de TF ➔ X =

∞

∑

−j n

x [ n] e

n =−∞

X −0 = ∞

∞

− j − 0 n

∑

x [n ]e

n=−∞

∑  x [n ]e  e

n =−∞

j 0 n

−jn

∞

=

∑

n=−∞

− j − 0 n

x [n ]e

=X − 0 

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats Desplaçament en freqüència (2/2) Multplicar  en  el  temps  per  una  exponencial  complexa  de  freqüència  0  és  equivalent  a  un  desplaçament  en  freqüència de 0. X()

0

X(­0)



X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

0



11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats Exercici: Dibuixeu la TF del senyal y[n] a partir del de X() i  per a valors de  entre ­ i .

y [ n ]=−1n x [ n]

X()

0

n

Ajuda: −1 =e

j n

Y()





-

0

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 



 12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició  2. Propietats 3. Senyals bàsics ← 4. Senyals periòdics

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Delta de Kronecker

x [ n]=[ n ]

X =1



Demo: X =

∞

∑

−jn

[ n ] e

− j 0

=e

=1

n=−∞

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Pols rectangular de L mostres (1) p L [ n]

−j

L−1

P L =e



 

sin 

2

sin

L 2

   2

És  semblant  a  la  funció  sinc  que  obtenim  quan  calculem  la  TF de l'impuls rectangular continu. Demo: P L =

L−1

∞

∑

p L [ n]e− j n =∑ e− j n

n =−∞

L−1

n =0

P L =∑ e n=0

−jn

− j

−jL

=

1−e

−j

1−e

=

e

− j

e

L 2

e

1 2

e

j

j

L 2

1 2

−j 

−e

−j

−e

L 2



1 2

−j

=e



X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

 

sin  L−1 2

sin

L

2

   2

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Pols rectangular de L mostres (2) Mòdul

∣sin

L ∣ 2

∣P L ∣=  ∣sin ∣ 2

Situació dels zeros

   

sin 

sin

L

2

 2

=0

≠0





L 2

 2

=k  ,

ç k ∈ℤ

≠k '  , k ∈ ℤ





=

  2 L

k

≠2  k '

Els zeros estan situats a =

  2 L

k,

k≠0

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Pols rectangular de L mostres (3) Mòdul

∣sin

L

2 ∣P L ∣=  ∣sin ∣ 2

∣

Estudi del cas de denominador 0 sin

   2

=0



 2

≠k '  , k ' ∈ℤ

Utilitzem l'aproximació de ∣sin

L ∣ 2



=2  k '

sin  x ≈ x ,



∣P L ∣= ≈   ∣sin ∣ 2 2

L 2

quan x ≈0

=L

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exercici:  Dibuixeu  els  següents  senyals  sobre  els  eixos  donats.

sin

  

∣sin

2

1

2

∣

1

 −1

  

2





2

−1

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

18



Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exercici:  Dibuixeu  els  següents  senyals  sobre  els  eixos  donats.

 

sin 

 

3

∣sin 

2

1

1

 −1

3 ∣ 2

2





2

−1

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

19



Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exercici:  Dibuixeu  els  següents  senyals  sobre  els  eixos  donats. 3 ∣sin  ∣ 2 ∣P3  ∣=  ∣sin  ∣ 2

4 ∣sin ∣ 2 ∣P 4 ∣=  ∣sin ∣ 2

1

1

 −1

2





2

−1

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

20



Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exponencial complexa j 0 n

x [ n]=e



X =

∞

∑

l =−∞

2  − 0 −2  l 

Demo: (a la inversa, calculant la TF­1 del tren de deltes) ∞

X = ∑ 2  −0−2 l l=−∞

x [ n ]=

1 2

∫ X  e j  n d = 2

1 2

∞

∫∑

2  l =−∞

2  −0 −2  l e

jn

d

Qualsevol interval 2 inclourà una delta que estarà situada a   0 + 2l . x [ n ]=∫

∞

∑

2  l=−∞

 −0 −2 l e j  n d =e

j  02  l  n

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

=e

j 0 n

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició  2. Propietats 3. Senyals bàsics  4. Senyals periòdics ←

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics Estudiarem  la  TF  dels  senyals  discrets  i  periòdics  a  partir  del  desenvolupament  en  sèrie  de  Fourier  d'un  senyal  discret  de  període N. N ➔ període del senyal

Desenvolupament  en Sèrie

x [ n ]=

k=〈N 〉

de Fourier (DSF)

Coeficients del DSF

∑

a k=

1 N

ak e

N −1

jk

−j

∑ x [n ]e

2 N

2 N

n

kn

n =0

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics Partint del DSF...

x [n ]=

∑

k=〈N 〉

ak e

jk

2 N

n

...i combinant­lo amb la TF de l'exponencial complexa... e

j 0 n

∞



∑

l=−∞

2   −0−2  l 

...es troba una forma per a la TF dels senyals periòdics: ∞

X = ∑

∑

l=−∞ k=〈 N 〉



2  a k  −

2 N

k −2 l



La TF dels senyals periòdics són deltes centrades en 2k/N i  escalades per a cadascun dels coeficients ak del DSF. Com totes les TF, es replica cada 2l. X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics 

Exemple: x [ n ]=

1 2

e

x [ n ]=cos 0 n

j 0 n

− j 0 n

e

=1 e

j  0 1 n

2





1 2

a 1=

e

j 0 −1 n

1 = a1 N 2

a−1=

1 2

= a−1 N

Tan sols ho expressem per al marge de ­ <   < .







X =2  a1  − 0 2  a−1   0







X =  − 0    0





La TF d'un cosinus discret també són dues deltes, igual que  en el cas continu. X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics Exercici: Calculeu i dibuixeu la Transformada de Fourier de  x[n]. x [ n ]=sin

   4

n

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics Exercici: Calculeu i dibuixeu la Transformada de Fourier de  x[n]  si  aquest  és  el  resultat  de  mostrejar  un  senyal  sinusoidal x(t) de 2 kHz a una freqüència de mostreig fs  de  4 kHz. x t =cos  2  2000 t 



x [ n]= x n T s=cos 2  2000 n T s



X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

27

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics Exemple: un tren de deltes

∞

x [ n]=

∑

[n−kN ]

k=−∞

Es calculen els coeficients del DSF... a k=

1 N

N −1

−j

∑ x[n ]e

2 N

kn

n =0

=

1 N

−j

x [ 0] e

2 N

k0

=

1 N

...i  el  resultat  s'aplica  a  l'expressió  de  la  TF  dels  senyals  periòdics. X =

∞

∑

k =−∞



2  a k  −

2 N



k =

2 N

∞

∑

k =−∞



 −

2 N

k



La TF d'un tren de deltes discretes separades N mostres és  un tren de deltes contínues a les freqüències  =2k/N. X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

28

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics Exercici: Calculeu i dibuixeu la Transformada de Fourier de  x[n]. x [ n]=

∞

∑

[ n−4k ]

k=−∞

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

29

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició  2. Propietats 3. Senyals bàsics  4. Senyals periòdics

X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

30

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resum TF de senyals discrets: ∞

X = ∑ x [ n ] e− j  n

X =X  2  k 

n=−∞

TF de senyals bàsics discrets: [ n ] p L [ n]





e

1 − j

2

sin

∞



∑

l=−∞

 

sin  L−1

e

j 0 n

L

2  −0−2  l 

2

   2

TF de senyals periòdics discrets:



cos  0 n ∞

∑

k=−∞





[ n−kN ]







 −0    0 

2 N

∞

∑

k=−∞



 −

2 N

k





X.Giró,“12. TF de senyals discrets” ­ Primavera 2006 @ EUETIT, UPC, Terrassa 

31