Tema 11 Aplicacions Transform Ada Z

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Aplicacions de la transformada Z Versió 2007/1 Professor: Xavi Giró i Nieto

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Objectius Al final d'aquest tema, l'estudiant haurà de ser capaç de: - Utilitzar la funció de transferència d'un SLI per a trobar la seva resposta una exponencial complexa. - Trobar la funció de transferència de qualsevol sistema EDF. - Donada una funció de transferència, dissenyar un sistema EDF que la implementi. - Estudiar l'estabilitat d'un SLI a partir del seu diagrama de pols i zeros.

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Resposta dels SLIs a zn ← 2. Funció de transferència dels EDF 3. Resposta impulsional dels EDF 4. Estabilitat i ROC 5. Estabilitat i pols

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resposta dels SLIs a z

n

Utilitzarem la TZ per estudiar de la resposta dels SLIs a exponencials complexes, n

x [ n]= z ;

z =∣z∣e

j

∞

∞

∑

y [n ]=

x [ k ] h[ n−k ]= ∑ x [ n−k ] h[ k ]

k=−∞ ∞

∑

y [n ]=

k =−∞

Funció de transferència

∞

z n−k h [k ]=

k=−∞

∑

z n z−k h[ k ]

k=−∞

∞

y [n ]=z

n

∑

z

−k

n

h[ k ]=z H  z= x [n] H  z 

k=−∞

x [ n]= z

n

h[n]

n

y [n ]=z H  z =x [ n] H  z 

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resposta dels SLIs a z

n

Exemple: Calculeu y[n] per a la x[n] i h[n] donades.  n

 

x [ n ]= 2 e

j

2

h [ n ]=u [ n ]

z=2 e

 

H z =

j

 2

= j2 , ∣z∣=2

1 1−z

−1

,

ROC :∣z∣1

1 j2 j2−1− j2 H  j2= = = −1 −1 j2 −1 j2−1− j2 1− j2

4− j2 4− j2 4 2 H  j2= = = −j 14 5 5 5



4 2 y [n]=H  j2 x [n]= − j 5 5

 n j 2

 2 e 

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Resposta dels SLIs a zn 2. Funció de transferència dels EDF ← 3. Resposta impulsional dels EDF 4. Estabilitat i ROC 5. Estabilitat i pols

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència dels EDF Es considera el cas en què els senyals d'entrada siguin exponencials unilaterals a dreta i deltes. n

x [n ]=∑ i k  [n−k ]∑ i ' k p k u[ n] k

k

La seva TZ té forma de fracció polinòmica.

X z =∑ i k z ∑ i ' k −k

k

SENYAL D'ENTRADA P(z)/Q(z)

SLI h[n]

1 −k

1− pk z

=

P z  Q z  SENYAL DE SORTIDA ?

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència dels EDF Es considera el cas dels sistemes definits per un sistema d'equacions en diferències finites. N

M

∑ b k y [n−k ]=∑ ak x [n−k ] k=0

k=0

La seva TZ pot calcular-se fàcilment aplicant linealitat. N

M

∑ b k z Y  z=∑ a k z −k

k=0

−k

X  z

k=0

La funció de transferència del sistema es pot expressar com un quocient de X(z) i Y(z). M

H  z =

Y z  Xz

M

∑ a k z −k =

k=0

=A 0

N

∑ bk z

−k

k=0

∏ 1−c k z −1  k=1

=

N

∏ 1− pk z

−1



A z B z 

k=1

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència dels EDF Aplicant la propietat de convolució de la TZ, la TZ del senyal de sortida es calcula amb un senzill producte.

Y  z= X  z  H  z =

P z  A z  Q  z B  z

Els senyals de sortida seran del mateix tipus que els d'entrada. Pot donar-se el cas que els pols i els zeros de X(z) i de H(z) es cancel·lin entre si. Tot aquest raonament és aplicable en condicions inicials nul·les, per poder considerar el sistema lineal i invariant. SENYAL D'ENTRADA X(z)=P(z)/Q(z)

SLI A(z)/B(z)

SENYAL DE SORTIDA Y(z)=P(z)A(z)/Q(z)B(z)

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència dels EDF Exercici: Un senyal d’entrada x[n] s’injecta a un sistema EDF amb resposta impulsional h[n]. a) Dibuixeu el diagrama de pols i zeros de X(z) i H(z). b) Dissenyeu el sistema EDF. c) Calculeu la TZ de la sortida Y(z). d) Calculeu el senyal de sortida y[n] com una convolució. e) Quin nom rep el sistema ? Justifiqueu el resultat obtingut a la sortida.

x [ n]=[n ]− [n−1]

h [n ]=u[n ]

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Resposta dels SLIs a zn 2. Funció de transferència dels EDF 3. Resposta impulsional dels EDF ← 4. Estabilitat i ROC 5. Estabilitat i pols

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resposta impulsional dels EDF L'expressió general dels sistemes EDF té una part causal i una part anticausal. N

M

∑ b k y [n−k ]=∑ ak x [n−k ] k=0

k=0

M

y [ n ]=∑ k= 0

ak b0

N

x [ n−k ]−∑

Part no recursiva (finite impulse response, FIR)

k=1

bk b0

y[ n−k ]

Part recursiva (infinite impulse response, IIR)

A continuació s'estudia la influència de cada part en H(z) i el tipus de resposta impulsional a què es corresponen. X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resposta impulsional dels EDF Part no recursiva (FIR) Els sistemes presenten una funció de transferència en què només hi ha numerador. Tots els seus pols estan situats a l'origen o a l'infinit. La seva resposta impulsional és finita, és a dir, FIR (finite impulse response).

M

M

y [n ]=∑ a ' k x [n−k ] k= 0

H  z =

Y z  Xz

TZ  Y  z =∑ a ' k z

k=0

X z 

k=0

M

=∑ a ' k z

−k

M −k

 TZ 

h [n]=∑ a ' k  n−k  k=0

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resposta impulsional dels EDF Part recursiva (IIR) Els sistemes presenten una funció de transferència en forma de fracció polinòmica. Els seus pols i zeros poden estar per tot el pla Z. La seva resposta impulsional és infinita, és a dir, IIR (infinite impulse response).

N

M

∑ b ' k y[ n−k ]=x [n ]

 TZ 

k=0

H  z =

Y z X  z

=

∑ b ' k z −k Y  z =X  z  k=0

1

 TZ 

M −k

∑ b'k z

h [n ]=?

Cal calcular la TZ inversa

k=0

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resposta impulsional dels EDF Exercici: Utilitzeu la TZ per calcular el senyal de sortida y[n] donat el senyal d’entrada x[n]. x [ n ]= [ n]−3 [ n−1]2 [ n−2]

x[n]

y[n]

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Resposta dels SLIs a zn 2. Funció de transferència dels EDF 3. Resposta impulsional dels EDF 4. Estabilitat i ROC ← 5. Estabilitat i pols

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Estabilitat i ROC L'estabilitat dels SLI es pot veure ràpidament amb l'estudi dels pols i dels zeros de H(z). Anteriorment, s'ha demostrat que tots els sistemes estables satisfan el següent: ∞

∑

∣h[m ]∣∞

m =−∞

És equivalent a dir que la ROC ha d'incloure el cercle unitari sobre el pla Z, ∞

∑ m =−∞

−n

∣h[ m ] z ∣∞

⇔ ∣z∣=1 ⊂ ROC

Condició d'estabilitat

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Estabilitat i ROC Exemple: Estudieu l'estabilitat dels SLI caracteritzats per la seva resposta impulsional.

Acumulador h [ n ]=u [ n ]



H z =

1 1−z

−1

,

ROC :∣z∣1

Sistema no estable

Promitjador de L mostres h [ n ]= p L [ n ]



H  z=

1−z −L 1−z

−1

,

ROC :∣z∣0

Sistema estable X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Resposta dels SLIs a zn 2. Funció de transferència dels EDF 3. Resposta impulsional dels EDF 4. Estabilitat i ROC 5. Estabilitat i pols ←

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Estabilitat i pols Els pols d’un sistema delimiten la ROC. En el cas del sistemes causals (com els EDF) el pols amb mòdul major defineix el radi de la ROC. Un sistema causal és estable si el seu pol de mòdul major està dins el cercle de radi unitari.

∣max {p k }∣1

Condició d'estabilitat

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Estabilitat i pols Exercici: Estudieu l’estabilitat del sistema descrit per H(z) sabent que té un pol a p1=1/3 i un zero a z1=1.

1 H  z =

10

−1

−2

2

z 3 z  z −3 3 3

1 −1 1 −2 1 −3 1− z − z  z 3 4 12

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Resposta dels SLIs a zn 2. Funció de transferència dels EDF 3. Resposta impulsional dels EDF 4. Estabilitat i ROC 5. Estabilitat i pols

X.Giró,“11. Aplicacions de la transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22