Tema 10 Transform Ada Z Inversa

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

La transformada Z inversa Versió 2007/3 Professor: Xavi Giró i Nieto

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció ← 2. Identificació 3. Fraccions complexes a) Reducció b) Normalització c) Pols i zeros d) Descomposició e) Identificació

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Introducció La transformada Z inversa permet recuperar la seqüència original donada una TZ. Hi ha diverses maneres de trobar la TZ inversa, 1. Mètode teòric

x [ n ]=

1 2 j

∮ Xzz

n−1

dz

2. Mètodes pràctics - Identificació - Descomposició en fraccions simples + Identificació En aquest curs ens centrarem en els mètodes pràctics. X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Identificació ← 3. Fraccions complexes a) Reducció b) Normalització c) Pols i zeros d) Descomposició e) Identificació

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Identificació En certs casos podem identificar expressions ja conegudes que ens permetin trobar la TZ inversa.

x [ n ]= [ n−k ] , k 0



X  z=z −k , ROC : z≠0

x [ n ]= [nk ] , k 0



X  z =z k , ROC : z∞

n

x [ n ]=a u [ n ] n

x [ n ]=−a u [−n−1]



X  z =



X  z=

1 −1

1−a z 1

−1

1−a z

, ROC :∣z∣a , ROC :∣z∣a

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Identificació Exercici: Quina seqüència x[n] té la següent TZ ? −1

X z =12z z

−2

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Identificació Exemple: Trobeu la seqüència que té com a TZ la següent fracció simple, 1

X z = 1−

1 3

−1

z

Hi ha dues seqüències que tenen aquesta TZ, les exponencials a dreta i a esquerra. OPCIÓ A OPCIÓ B

x [ n ]=

n

  1

u [ n]

3

x [ n ]=−

1 3

n

u[−n−1]

Caldria saber també la ROC per poder determinar quina de les dues és. X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Identificació Exercici: Trobeu la seqüència a esquerra que té la X(z) donada. 1

2

X z =z z 1−

1 2

−1

z

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Identificació 3. Fraccions complexes ← a) Reducció b) Normalització c) Pols i zeros d) Descomposició e) Identificació

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Fraccions complexes En el cas de les fraccions complexes, no es pot aplicar directament el mètode d'identificació ja que tenen formes d'aquest tipus, M

Fraccions complexes

∑ b k z−k X z =

k=0

=

N

∑ a k z−k

b 0b 1 z−1b M z −M a 0a1 z −1a N z −N

k=0

Exemple: X z =

1811 z−1−3 z −2−z−3 −1

−2

6−z −z

M =3, N =2 b 0=18, b 1=11, b2=−3, b 3=−1 a 0= 6, a1=−1, a 2=−1

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Fraccions complexes Per tractar el cas de les fraccions complexes, utilitzarem el següent mètode: 1. Reducció de l'ordre mitjançant divisió polinòmica Exemple:

X z =

1811 z −1−3 z−2−z −3 −1

6−z −z

−2

−1

=2−z 

67 z−1 6−z −1−z −2

2. Normalització de numerador i denominador Exemple:

X '  z=

67 z −1 −1

−2

6−z −z

=

7 −1 1 z 6 1 1 1− z −1− z −2 6 6

3. Descomposició en fraccions simples Exemple:

7 −1 1 z 6 2 1 X '  z= = − 1 1 1 1 1− z−1 − z−2 1− z−1 1 z −1 6 6 2 3

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Fraccions complexes 4. Identificació k2

k2

X z = ∑ Ak z−k

x [ n]= ∑ Ak [ n−k ]



k= k 1

Ak

N

X z =∑ k=1

k=1

N

1− p k z −1 Ak

N

X z =∑

k=k 1

1− p k z



x [ n ]=∑ Ak  p k  u[ n ] n

k=1 N

−1



x [ n ]=−∑ Ak  p k n u [−n−1] k =1

Exemple:

X '  z =

67 z−1

= −1 −2 6−z −z

2 1 1− z −1 2

−

1 1 1 z −1 3

n

n

        

1 x [ n ]=2 2 x [ n]=−2

x [ n]=−2

1

1 u [n ] − 3 n

u [−n−1] −

2

1 2

u [n ]

n

u [−n−1]− −

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

n

3

1 3

u[ n]

n

u[−n−1]

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Reducció Si el grau del polinomi del numerador és més gran o igual que el del polinomi del denominador, el quocient es pot simplificar per divisió polinòmica. −1 −2 −3 Exemple: 1811 z −3 z −z X z =

6−z −1−z −2

El grau del numerador és 3 i el del denominador és 2, per tant, es pot fer una reducció polinòmica amb una divisió.

−1

−1

X z =2z 

67 z

−1

−2

6−z −z

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Normalització Les fraccions complexes tenen un polinomi al numerador i un altre al denominador. Si els termes independents no són 1, cal normalitzar-los dividint per b0 i/o a0.

X z =

b0 a0

1

1

b1 b0 a1 a0

bM

−1

z  −1

b0

z 

aN a0

z− M z −N

D'aquesta manera queda una expressió del següent tipus X z =

−1

−M

−1

−N

b 0 1b ' 1 z b ' M z a 0 1a ' 1 z a ' N z

= A0

−1

−M

−1

−N

1b ' 1 z b ' M z 1a ' 1 z a ' N z

El factor b0/a0 és un factor constant que anomenarem A0. X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Normalització Exemple: Normalitzeu la següent fracció complexa, X '  z=

67 z

−1

−1

−2

6−z −z

El terme independent del denominador és diferent a la unitat, així que normalitzem dividint numerador i denominador per 6.

X '  z=

6 6

1 1−

7 −1 z 6 1 6

z −1−

1 1 6

= z−2

1−

7 −1 z 6 1 6

z−1−

1 6

z−2

En aquest exemple, A0 val 6/6=1. X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Pols i zeros Un polinomi té tantes arrels com el seu ordre i es pot descompondre en productes de binomis. M

M

∑ b' k z

∏ 1−c k z 

−k

X  z= A0

k= 0 N

∑ a ' k z− k k= 0

−1

=A0

k =1 N

∏ 1− pk z−1  k =1

Per a alguns valor de z, X(z) té un comportament especial: zeros (ck) ➔ pols (pk) ➔

X ci = 0,

valors de z que fan que X(z) valgui zero valors de z que fan que X(z) tendeixi a infinit 1≤i≤M

X  pi   ∞ ,1≤i≤ N

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Pols i zeros Demostració (zeros):

M

∏ X ci = A0

k=1 N

∏ k =1

             1−

ck

1−

ci

=A 0

pk

c1 ci

1−

c2

 1−

ci

N

∏

ci

k =1

1−

ci ci

 1−

cM ci

pk ci

              1−

X ci = A0

1−

c1 ci

1−

c2 ci

 1−1  1−

N

∏ k=1

1−

pk ci

cM ci

1−

= A0

c1 ci

1−

c2 ci

0  1−

N

∏

1−

k=1

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

pk

cM ci

=0

ci

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Pols i zeros Demostració (pols): M

∏ k=1

X  pi =A0

N

∏ k=1

             1−

1−

ck

pi

pk

M

∏ k =1

= A0

1−

pi

X  pi =A0

p1 pi

1−

p2

1−

k=1

1−

p1 pi

1−

p2 pi

pi

 1−

pi

       M

∏

1−

ck

pi pi

 1−

pN pi

ck

pi

 0 1−

pN

=

1 ∞ 0

pi

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Pols i zeros La representació dels valors de z que són pols (X ò +) i zeros (O) s'anomena diagrama de pols i zeros.

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Pols i zeros Exemple (1/2): Diagrama de pols i zeros de X'(z).

1 X '  z = 1−

pk =

1 ± 6



−

7 6 1 6

z −1 z −1 −

1 1 6

= z −2

2



1 1 −4⋅1⋅− 6 6 2⋅1

1 =

6

7

z −1

6

±





1 36



1 6

24 36

2

 

z z

z −2 z 2 −

1 =

6

z−

±

1 6





=

25 36

2

z 2−

7 6

1 6

z−

7 6

c 2 =0

1 6

15 6 1 p1 = = = 12 12 2 1

=

c 1=−

6

± 2

5 6

p2 =

1−5 12

=−

4 12

=−

1 3

Hi ha dos zeros a c1=-7/6 i c2=0, i dos pols a p1=1/2 i p2=-1/3 .



2

∏ 1−c k z

−1

X '  z =A0



k =1 2

∏ 1− pk z−1  k =1

1

=



1−

7 6

   

−1

z

1−0

1 −1 1 z 1 z−1 2 3

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Pols i zeros Exemple (2/2): Diagrama de pols i zeros de X'(z).

Hi ha dos zero a c1=-7/6 i c2=0 i dos pols a p1=1/2 i p2=-1/3 .

O

X O

X

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Descomposició Si totes les arrels del denominador són diferents, s'obtenen pols simples. M

∏ 1−c k z  −1

X z =

k=1

=∑

N

Ak

N

∏ 1− p k z  −1

k =1

1− p k z

−1

k=1

Exemple: 1 X '  z=



7 6



z −1

1 −1 1 −1 1− z 1 z 2 3



=

A1 1−

1 2

 z

−1

A2 1

1 3

z−1

El problema es redueix a trobar els valors de Ak. X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Descomposició Un mètode per trobar els valors de Ak es basa en buscar el denominador comú i igualar el numerador per obtenir un sistema d'equacions Exemple: 1 X '  z=



1−

X '  z=

1 2

z

−1

7

z

6



1

1 3

−1

z



7 1 z −1 6



1−

1 2

z

−1



1

{

A1

=

1−

1 2

1 3

−1

z

 

1−

1= A1 A2 7 6

=

z

−1

A 1 A 2 =

1 3

A 1−

1 2

A2

A2



1 2

1



−1

z

A1 3



1 3

−

1



A1 1

−1

= −1

z

A2 2 1 3



3

1−

−1

z

1 2

z

      A2 1−

−1

1

1 3

1 2

−1

z

−1

z

z −1

−1

z



1



}

⇒ A1=2, A2=−1

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Identificació Una vegada descompost amb fraccions simples, la transformada inversa es podrà trobar per identificació amb la TZ de l'exponencial unilateral. N

X z =∑ k=1 N

X z =∑ k=1

Ak

N

1− p k z



−1

ROC :∣z∣a

k=1

Ak 1− p k z

x [ n ]=∑ Ak  p k n u[ n ] , N



−1

x [ n ]=−∑ Ak  p k n u [−n−1] ,

ROC :∣z∣a

k =1

Exemple: Calculeu la TZ inversa de X(z): −1

X z =

−2

1811 z −3 z −z −1

6−z −z

−2

−3 −1

=2z 

2 1

1− z 2

− −1

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1 1

1 z−1 3 24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Identificació Es consideren les diferents ROC possibles. X z =2z−1

ROC

3

1 1 1 z−1 3

x [ n]=2  [n][ n−1 ]2

∣z∣

0∣z∣

1 1− z −1 2

−

TZ inversa

1 ∣z∣ 2 1

2

1 3

1

x [ n]=2  [n][ n−1 ]−2

2 x [ n]=2  [ n][ n−1 ]−2

n

n

         1

u[ n]− −

2

1

2

3

u[ n]

n

u[−n−1]− −

2

1

1

n

u[−n−1] −

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

n

3

1 3

u [n]

n

u [−n−1]

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

FC: Final Exercici: Trobeu la TZ de X(z) considerant que x[n] és a dreta. 5 −1 2− z 6 X z = 5 −1 1 −2 1− z  z 6 6

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Identificació 3. Fraccions complexes a) Reducció b) Normalització c) Pols i zeros d) Descomposició e) Identificació

X.Giró,“11. La transformada Z inversa” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

27