Tema 1 Estadistica Matematica Probabilidades Administracion F.pdf

TEMA 1 Estadística Matemática USFXCH Elaborado :Lic. Marco A Sánchez L

Sucre-Bolivia 2013

Los conceptos básicos que debemos considerar para introducirnos al calculo de las probabilidades son:

 El Experimento aleatorio  El espacio muestral  Los eventos  Operaciones con eventos

Los experimentos u operaciones reales se dividen en dos: 1. Determinísticos si los resultados del experimento están completamente determinados y pueden describirse por una formula matemática llamada también modelo determinístico. Ejemplo: a un cuerpo de masa m en reposo se somete a una fuerza constante F y el cuerpo se moverá una aceleración constante a =F/m (Segunda ley de Newton)

No Determinísticos: cuando los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento. Ejemplos: 1: Lanzar una moneda y anotar la cara superior 2: Lanzar un dado y ver la cara superior Los aspectos comunes en estos dos ejemplos son los siguientes: 2.

a)

b) c)

Cada experimento puede repetirse indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones. Cada experimento es no determinístico Cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden describirse de antemano con precisión por ejemplo 1: {C,S y 2: {1,2,3,4,5,6 

Los experimentos aleatorios son los que tiene las tres propiedades antes mencionadas. Ejemplos: los experimentos 1, 2 y los siguientes: 3: Extraer una articulo de un lote que tiene artículos defectuosos “D” y no defectuosos “N”. 4: Contar el numero de vehículos que llegan a una estación deservicios en un día.

Se llama Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio , al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio y lo denominaremos por:  (omega). Considerando los experimentos aleatorios anteriores tenemos: 1= {C,S 2={1,2,3,4,5,6  3={D,N  4={ 1,2,3,4,5,6,…… 

El Espacio muestral puede estar asociado a experimentos simples como los de los ejemplos anteriores o a experimentos compuestos.

Un experimento se dice que es compuesto , si consiste de dos o mas experimentos simples sucesivos o simultáneos. Dentro de estos se consideran dos tipos:

Experimentos unidos por la o EXCLUYENTE: Un experimento compuesto , se dice que es una o-combinación de los experimentos simples 1y 2 si y solo si, el experimento , ocurre cuando el experimento 1ó 2 ocurre pero no ambos. Ejemplo: considere el experimento compuesto que consiste en lanzar un dado o una moneda y hallar su espacio muestral.

El experimento compuesto , consiste en dos experimentos simples unidos por la “o” excluyente entonces tenemos: 1: Lanzar un dado  1={1,2,3,4,5,6  2: Lanzar una moneda  2= {C,S Y = 1ó 2 por lo tanto el espacio muestral  asociado al experimento compuesto es la unión de 1 y 2 = 1  2 ={1,2,3,4,5,6, C,S

Experimentos unidos por la y INCLUYENTE: Un experimento compuesto , se dice que es una y-combinación de los experimentos simples 1y 2 si y solo si, el experimento , ocurre cuando ambos experimento 1y 2 ocurren. CONSECUENCIA : Si el experimento compuesto , es una y-combinación de los experimentos 1y 2 , el espacio muestral  asociado a: , es el producto cartesiano de los espacios muéstrales 1 y 2 correspondientes a 1y 2 respectivamente . Es decir:  = 1 x 2

Ejemplo: considere el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda tres veces y hallar su espacio muestral asociado a este experimento. Entonces el experimento compuesto , consiste de tres experimentos simples unidos por la “y”, es decir el experimento ocurre si los tres experimentos ocurren y tenemos: 1: El primer lanzamiento : 1= {C,S 2 : El segundo lanzamiento : 2= {C,S 3: El tercer lanzamiento : 3= {C,S Entonces = 1 x 2 x 3= {(x,y,z)/x,y,z= C,S

={CCC,CCS,CSC,SCC,CSS,SCS,SSC,SSS

Los espacios muéstrales discretos son aquellos que tienen un número finito o infinito numerable de elementos. Espacios muéstrales discretos finitos; son aquellos que tienen un número finito de elementos por ejemplo: se lanzan dos monedas simultáneamente y se observan las secuencias de caras y sellos. Entonces = 1 x 2 ={(x,y)/x= C,S, y= C,S ={ CC, CS,SC,SS 

Espacios muéstrales discretos infinitos son aquellos en los que puede establecerse una correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos de modo que pueda ser enumerado como 1,2,3,….. Por ejemplo lanzar una moneda hasta que ocurra cara. Entonces se establece: ={ C, SC,SSC,SSSC,SSSSC,……. 

Espacio Muestral Continuo, es aquel que tiene un numero no numerable de elementos. Es decir cuyos elementos son todos los puntos de algún intervalo. Por ejemplo: : Elegir un punto del intervalo cerrado 0,1 ={xϵ ℝ/ 0 ≤ x ≤ 1

Se llama EVENTO a cualquier subconjunto del espacio muestral y lo denotaremos por: A,B,C,D,E,F,…etc. Así si A es un evento entonces A . Y llamaremos SUCESO a todo elemento del espacio muestral y lo designaremos por: w, x, y, etc. Esto es si x es un suceso entonces x ϵ . Un evento con un solo elemento es un evento elemental, así si A={w es un evento elemental.

Obsérvese que el evento {w y el suceso w no son lo mismo, esto lo sabemos de la teoría de conjuntos.

En otras palabras evento es cualquier elemento del conjunto potencia P(), (así:  y  son eventos)

Considerando que los eventos son subconjuntos, las operaciones de la intersección “”, unión “” e inclusión “” serán definidos para eventos las leyes y propiedades de los conjuntos son validas para el contexto del espacio muestral y los eventos. SUB-EVENTOS, dados los eventos A y B se dice que A esta contenido en B o que A es sub evento de B y es denotado por “A⊂B”. Si todo suceso favorable a: A es favorable a B

Ejemplo: Consideramos el experimento lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el número de lanzamientos de la moneda y definimos los siguientes eventos: A: “Se necesita por lo menos 20 lanzamientos” B: “Se necesita mas de 5 lanzamientos” El espacio muestral es: Ω=1,2,3,4,5,… A= 20,21,22,23,… B= 6,7,8,9,10,… Es claro que A⊂B

Igualdad de eventos; Se dice que dos eventos A y B son iguales, y se denota por “A=B” si A⊂B y B⊂A.

Unión de eventos; Dados dos eventos A y B se llama unión de A con B y se designa por “A∪B” al evento formado por los sucesos que pertenecen a A o a B o a ambos , es decir si ocurre el evento A o B o ambos, en símbolos: A∪B= w∊Ω/w ∊ A y w ∊ B

Intersección; dados los eventos A y B se llama intersección de A y B y se denota por “A∩B” o “AB” al evento formado por todos los sucesos favorables a A y B. Es decir ambos eventos ocurren A y B. En símbolos: AB= A∩B w∊Ω/w ∊ A ⋀ w ∊ B Diferencia; Dados los eventos Ay B se llama diferencia de A con B y se denota por “A-B” a evento formado por los sucesos favorables a A y que no son favorables a B.

En símbolos: A-B= w∊Ω/w ∊ A ⋀ w ∉ B Complemento; Sea el evento A que pertenece al espacio muestral Ω, se establece el complemento A designado por “Ac” o “Ā” al conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen a Ω y no pertenecen a A. En símbolos: Ac =Ā= Ω- A= w∊ Ω / w ∉ Ā 

Ley distributiva; Dados los eventos A, B y C, entonces: D1) A(BC)=(AB)(AC) D2) A (BC)=(AB)(AC) Ley de Morgan, Sean los eventos A y B DM1) AB = AB DM2) AB = AB

Producto cartesiano, dados los eventos A y B se llama producto cartesiano de A con B, denotado por “AxB”, al conjunto de pares ordenados cuyos primeros elementos pertenecen a A y cuyos segundos elementos pertenecen a B en símbolos: AxB=(w1,w2)/ w1A y w2B

Usamos el producto cartesiano para construir el espacio muestral asociado a un experimento compuesto.

Generalizando las leyes distributivas y de Morgan tenemos, considerando A,A1,A2,A3,..An eventos entonces: D1a)A(A1A2  A3 ,..An)=A D2a)A  (A1  A2A3,..An)=A DM1a) A1A2A3,..An= DM2a) A1A2A3,..An=

𝑛 𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝑛 𝑖=1 Ā𝑖

=

𝑛 𝑛 𝐴𝑖 = 𝑖=1 𝑖=1(𝐴𝐴𝑖) 𝑛 𝑛 𝐴𝑖 = 𝑖=1 𝑖=1(𝐴𝐴𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 Ā𝑖 =Ā1Ā2 𝑛 𝑖=1 Ā𝑖 =

,..Ān

Ā1Ā2,..Ān

Eventos Mutuamente excluyentes, Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral se dice que son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. En símbolos: AB= Ejemplo: Se lanza un dado dos veces. Sean los eventos: A: La suma de los puntos obtenidos en los dos lanzamientos es 7

B: En los dos dados se obtiene el mismo número A y B son eventos mutuamente excluyentes pues el conjunto A es el conjunto: (3,4),(4,3),(1,6),(6,1),(5,2),(2,5) y B es el conjunto: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) por lo tanto AB=

Eventos colectivamente exhaustivos; Se dice que una colección de n eventos: A1,A2,A3,..An, definidos sobre el mismo espacio muestral son colectivamente exhaustivos si la unión es igual al espacio muestral. Es decir: A1A2  A3 ,..An= 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = Ejemplo: Considerando el experimento numero de personas atendidas en un banco en un periodo determinado. Sean los eventos:

A:Menos de 11 personas has sido atendidas. B: de 11 a 20 personas has sido atendidas. C: mas de 15 personas han sido atendidas.

Los eventos A,B y C son colectivamente exhaustivos , pues: ABC=0,1,2........=

En muchas situaciones estaremos interesados en la cantidad de sucesos que tenga el espacio muestral o algún evento, ambos relacionados a experimentos aleatorios. Para estos casos recurrimos a las técnicas de conteo. Principio de la multiplicación: Si un experimento aleatorio (u operación) ℇ1 ocurre de n1 formas y si para cada una de estas, un experimento (u operación) ℇ2 ocurre de n2 formas, entonces los dos experimentos ocurren de n1x n2 formas

Es una condición necesaria y suficiente para que se aplique el principio de la multiplicación es que se realicen ambos experimentos (u operaciones), uno seguido del otro o simultáneamente. Ejemplo: Cuántos sucesos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado simultáneamente” #1=2 y #2=6   = 2x6=12 sucesos  =(w1,w2)/ w1 1y w2 2 

Generalización del principio de la multiplicación Si un experimento aleatorio (u operación) ℇ1 ocurre de n1 formas y si para cada una de estas, un experimento (u operación) ℇ2 ocurre de n2 formas, y si para cada una de estas dos primeras , un experimento (u operación) ℇ3 ocurre de n3 formas entonces los dos experimentos ocurren de n1x n2 formas y así sucesivamente, la secuencia de k experimentos (u operaciones) se realizara de n1xn2xn3x…..xnk formas diferentes.

Consecuencias de los principios de la multiplicación: 1. En la generalización del principio de la multiplicación si n1=n2=n3…=nk entonces la secuencia de los k experimentos (u operaciones), ocurren de nk formas. 2. Sea N(A), denota el numero de sucesos de un evento A y supongamos que N(A)=m y N(B)=n. Entonces el número de formas de seleccionar un suceso de A y un suceso de B es igual a n x m. En símbolos: 3. N(AxB)=N(A)xN(B)=n x m

3. En general se cumple: N(A1xA2xA3x..x Ak)=N(A1)xN(A2)x…xN(Ak) PRINCIO DE ADICION Si un experimento aleatorio (u operación) ℇ1 ocurre de n1 formas y un experimento (u operación) ℇ2 ocurre de n2 formas, entonces el experimento u operación ℇ, que consiste en realizar ℇ1o ℇ2 (“o” en el sentido de exclusión, es decir ℇ1y ℇ2 no pueden ocurrir juntos), ocurren de n1+ n2 formas, siempre que los espacios muéstrales 1 y 2 asociados a ℇ1y ℇ2 sean disjuntos.

Generalización del principio de adición: Si un experimento aleatorio (u operación) ℇ1 ocurre de n1 formas y un experimento (u operación) ℇ2 ocurre de n2 formas, ….. ℇk ocurre de nk formas; entonces el experimento u operación ℇ, que consiste en realizar ℇ1o ℇ2 o….o ℇk (la partícula “o” en el sentido de exclusión. Es decir ℇ1,ℇ2,…. ℇk no pueden ocurrir juntos), ocurren que n= n1+ n2+..+nk formas, siempre que los espacios muéstrales asociados a ℇ sean disjuntos dos a dos.

Consecuencia del principio de adición: Si A y B son conjuntos disjuntos entonces N(AB=N(A)+N(B) En general, si A1,A2,…Ak son conjuntos disjuntos dos a dos entonces: N

𝑘 𝑖=1 𝐴𝑖

=

𝑘 𝑖=1 𝑁(𝐴𝑖 )

PERMUTACION; Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. Ejemplo: tenemos un conjunto de 3 objetos A=a, b, c y estamos interesados en el número de arreglos (permutaciones) del conjunto A. Las posibles permutaciones son: abc, acb, bac, bca, cab, cba Podemos observar que son 6 permutaciones distintas.

Se puede llegar al mismo resultado sin encontrar las permutaciones correspondientes de la siguiente manera: Los arreglos de los objetos se los puede disponer en tres celdas: 3

2

1

Hay tres formas posibles de llenar la primera celda, dos la segunda y una la tercera y a esto aplicamos el principio de la multiplicación y tenemos: 3x2x1=3!=6 o permutaciones.

Se puede llegar a la misma respuesta sin tener que escribir todas las ordenaciones posibles. La forma de denotar las permutaciones es: nPn = P(n,n) = 𝑃𝑛𝑛 =n! La cual se lee así número de permutaciones de n objetos tomados de n a n. o simplemente permutaciones de nn objetos diferentes. Ejemplo: En una competencia automovilística intervienen 40 participantes. ¿De cuantas formas distintas se pueden adjudicar los lugares de largada a los 40 competidores?

47 40P40=40!=8,159152828x10

El numero de permutaciones de N objetos tomados r a r es:

𝑃𝑛𝑟 =nPr

=

𝑛! 𝑛−𝑟 !

Ejemplo: Un grupo esta formado por 5 personas y desea formar una comisión integrada por presidente y secretario ¿De cuantas maneras puede nombrarse esta comisión?

El primer cargo pueden ocuparlo las 5 personas y el segundo 4 entonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos 5x4=20. La segunda forma de resolver seria: 5! 5! 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 2 𝑃5 =5P2= = = =20 5−2 ! 3! 3𝑥2𝑥1

Permutaciones con Repetición; El número de permutaciones distintas de n objetos de los cuales n1 son de una clase, n2 de una segunda clase ,……nk de una k-ésima clase y todos los demás objetos de clase 1 se calcula aplicando la siguiente operación:

𝑛! 𝑛1,𝑛2,…𝑛𝑘 𝑃𝑛 = 𝑛1!𝑛2!..𝑛𝑘!

Ejemplo: Un estante de una librería tiene capacidad para 10 libros de matemáticas, que tienen pasta verde, 8 de física de pasta roja y 7 de química de pasta azul. ¿De cuantas maneras pueden colocarse los libros según los colores? 25! 10,8,7 𝑃25 = =21.034’470.600 10!8!7!

Las permutaciones con repetición se aplican para efectuar las divisiones de sub conjuntos en la partición de conjuntos. Ejemplo: Un hombre tiene 8 bonos financieros de compañías distintas y piensa regalarlos a sus tres hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor3; a su segundo hijo, 3 y al ultimo 2. 8! 40.320 40.320 3,3,2 𝑃8 = = = =560 3!3!2! 6∗6∗2 72

COMBINACIONES; Un subconjunto de r elementos de un conjunto que tiene n elementos diferentes se llama combinación de los elementos tomados r a r sin interesar su orden. 𝑛! 𝑟 C(n,r)=𝐶𝑛 = 𝑟! 𝑛−𝑟 !

Ejemplo: Un estudiante tiene que responder 8 de 10 preguntas de un examen a) ¿De cuantas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas? b) Si las tres primeras son obligatorias ¿de cuantas maneras puede escoger las preguntas? c) Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras ¿de cuantas formas puede hacerlo?

a) Considerando que se escogen 8 preguntas de 10 sin interesar el orden tenemos: 10! 10! 10𝑥9𝑥8! 8 𝐶10 = =8!2!= 8! 10−8 ! 8!2!

90

= =45 2

b) Puesto que tres preguntas son obligatorias quedaran para escoger 5 de las 7 restantes, entonces tenemos: 7! 7! 5 𝐶7 = = =21 5! 7−5 ! 5!2!

c) Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras lo haría de 5 maneras. Y las cuatro preguntas restantes seleccionara de las 5 finales lo que seleccionaría de 5 formas también. Entonces las 8 preguntas se seleccionaran de: 5 x 5 = 25 formas diferentes sin interesar el orden.

MUESTREO CON Y SIN REMPLAZO Si al extraer los r objetos del conjunto de n objetos, se considera el orden en el que son seleccionados los objetos; el conjunto de los r objetos extraídos se llama una muestra ordenada de tamaño r. Cuando un objeto se extrae y se remplaza antes de extraer el siguiente objeto, se dice que el muestreo es con reemplazamiento

El numero de formas de extraer dos objetos con reemplazamiento será: n x n= n2. Para cualquier numero de rextracciones, el número de formas de extraer con reemplazamiento será: nr. Si al extraer un objeto no se reemplaza, para extraer el siguiente, se dice que el muestreo es sin reemplazamiento. El numero de formas de extraer una muestra de tamaño r sin reemplazamiento es: 𝑛! 𝑟 𝑃𝑛 = 𝑛−𝑟 !

Si no interesa el orden de los elementos que se extraen de la muestra el numero de maneras de escoger r objetos de los n esta dada por 𝑛! 𝑟 𝐶𝑛 = 𝑟! 𝑛−𝑟 !

Ejemplo: Considere las placas de automóviles que tienen tres letras seguidas de tres dígitos si puede emplearse todas las combinaciones posibles ¿Cuántas placas diferentes pueden formarse? Tenemos 26 letras del alfabeto y se trabaja con reemplazamiento entonces tenemos nr y remplazando tendríamos 263.

Considerando los números que se pueden escoger el universo es del 0 al 9 y serian 10 números de los cuales se extraerán 3 con reemplazamiento y tendríamos 103 . Y considerando ambos espacios muestrales para conformar uno compuesto por 3 letras y 3 números tendríamos: (26)3*(10)3= 17.576.000

Son tres los enfoques de la probabilidad que dan origen a tres definiciones diferentes que son el enfoque clásico, el enfoque relativo y el enfoque subjetivo. Los tres son complementarios.  Definición de Probabilidad Clásica o a Priori  Definición de Probabilidad por frecuencia relativa o a posteriori  Definición de Probabilidad Subjetiva. Las dos primeras definiciones son objetivas

Definición de Probabilidad Clásica La probabilidad de un evento, es la razón entre el número de casos (sucesos), favorables y el numero total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos sucesos deba tener preferencia a los demás, lo que hace que todos sean igualmente posibles. Según esta definición N()= n, es el número de elementos del espacio muestral (número total de sucesos) y N(A)=nA, es el número de elementos del evento A ( o número de sucesos favorables).La probabilidad del evento A, denotado por PA es la razón de N(A) a N() o sea:

𝑁(𝐴) 𝑛𝐴 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 = = 𝑁() 𝑛 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

PA=

Observaciones 1. La probabilidad de un evento cualquiera A esta comprendido entre 0 y 1.Es decir 0 ≤ PA ≤ 1 2. PA=0, si A es un evento imposible 3. PA=1, si A es un evento seguro 4. Puesto que todos los elementos de )={w1,w2,…,wn} son igualmente probables se 1 tiene que la Pwi= , i=1,2,3,..,n 𝑛

Y la P= 𝑛𝑖=1 𝑃 {𝑤𝑖} =1 y si A es un evento de ,entonces: PA= 𝑤𝑖∈𝐴 𝑃 {𝑤𝑖} Ejemplo: Si ser lanza una moneda 3 veces calcular la probabilidad que ocurran: a)dos caras; b) al menos dos caras y c) a lo mas dos caras.

Primero establecemos el espacio muestral y su numero de sucesos, para esto sabemos que el lanzamiento de una moneda tiene 2 resultados Cara y Sello y como se lanzan tres veces el N()=23=8 y ={ccc, ccs, csc, css, scc, ssc, scs, sss}

Segundo Establecemos los suceso favorables al evento A:”ocurren dos caras”, entonces A={ccs, csc, scc} entonces N(A)=3 por lo tanto

la

𝑁(𝐴) P[A]= 𝑁()

3

=8

Tercero, Establecemos los sucesos favorables al evento B “ocurren al menos dos caras”, entonces: B={ccs, csc, scc,ccc} entonces N(B)=4 por lo tanto la

𝑁(𝐵) P[B]= 𝑁()

4 1 =8= 2

Cuarto, Establecemos los sucesos favorables al evento C “ocurren a lo más dos caras”, entonces: C={sss, ssc, scs, css, ccs, csc, scc}

entonces N(C)=7 por lo tanto la

𝑁(𝐶) P[C]= 𝑁()

7

=8

Observese: que los eventos: A, B y C muestran la diferencia notoria en sus sucesos y tienen diferentes resultados de probabilidad.

Definición de Probabilidad por frecuencia relativa Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande); sea nA
Observaciones 1) La frecuencia relativa de un evento esta comprendida entre 0 y 1por lo tanto 0≤PA≤1. 𝑛𝐴 2) =0, si y solo si, en las n repeticiones del 𝑛 experimento el evento A no ocurre. Por lo tanto P[A]=0, si y solo si, A no ocurre en las n repeticiones del experimento. 𝑛𝐴 3) =1, si y solo si, el evento A ocurre en las n 𝑛 repeticiones del experimento. En particular: 𝑛 =1 𝑛 Por lo tanto P[A]=1, si y solo si, A ocurre en todas las repeticiones del experimento.

Ejemplo: La distribución de los miembros de los partidos políticos es: Partido Número total de militantes

Militantes mujeres

A

B

C

D

E

F

105

100

70

45

40

15

15

20

5

10

3

2

¿Cuál es la probabilidad que un miembro seleccionado aleatoriamente, a) sea mujer? b) Pertenezca al partido B c) Sea un hombre miembro del partido C?

Primero , determinamos n= total de militantes =105+100+70+45+40+15=375 a) Sea A el evento: “el militante seleccionado sea una mujer” nA=numero de socios mujeres = 55 11 15+20+5+10+3+2 = 55 luego la P[A]= = 375 75 b) Sea B el evento: “el miembro seleccionado pertenece al partido B” nB= total de miembros del partido B=100 100 20 entonces: P[B]= = 375

75

c) Sea C el evento: “La persona seleccionada es hombre y pertenece al partido C” nC= total de hombres que pertenecen al partido= 65 375

70-5=65 entonces: P[C]=

=

13 75

Definición de Probabilidad Subjetiva Dado un experimento determinado, la probabilidad de un evento A es el grado de creencia asignado a la ocurrencia de este evento por un individuo particular, basado en toda la evidencia a su disposición, con las siguientes exigencias:

1) 2) 3)

P[A]=0 representa la certeza que el evento A no ocurrirá. P[A]=1 representa la certeza que el evento A si ocurrirá. 0< P[A]<1 representa el grado de certeza que el evento A ocurrirá.

La probabilidad subjetiva de un mismo experimento, cambia de un sujeto a otro debido a su nivel de conocimiento respecto al experimento que se analice.

La probabilidad de un evento A es la suma de las probabilidades asignadas de los puntos muestrales pertenecientes al evento A; esto es: P[A]= 𝑖/𝑤𝑖∈𝐴 𝑃𝑖 = 𝑤i∈𝐴 𝑃[ 𝑤𝑖 ] Ejemplo: Ocho amigos juegan boliche una vez a la semana. Este grupo esta formado por dos parejas de casados 3 jóvenes y una joven. Antes del juego cada uno coloca 50Bs en una bolsa cuyo contenido se lo llevará el ganador. Si las mujeres tiene la mitad de habilidad que los varones que poseen para el juego. ¿Cuál es la probabilidad que un soltero gane?¿Cual es la probabilidad que gane una mujer? ¿Cuál es la probabilidad que gane un hombre casado?

Personas

Casados

Solteros

Total

Habilidad

Total habilidades

Hombres

2

3

5

1

10/2

Mujeres

2

1

3

1/2

3/2

Total

4

4

8

13/2

a) Sabiendo que son 4 solteros entre hombres y mujeres, la probabilidad que gane uno de ellos seria del 4/8=0,5 o 50% esto considerando solo la cantidad Considerando la habilidad seria: (6/2+1/2)/13/2=7/2/13/2=14/26=7/13= 0,538=,054 =54%

b)La probabilidad que gane una mujer será: 3/2/13/2=6/26=3/13=0,23=23%. c)La probabilidad que gane un hombre casado sería:4/2/13/2=8/26=4/13=0,31=31%

La probabilidad cumple los siguientes axiomas que son consecuencia inmediata de su definición: Ax1: 0 ≤P[A] ≤ 1, para cada evento A en Ω Ax2: P[Ω]= 1 Ax3: Para cualquier numero finito k de eventos mutuamente excluyentes en Ω es:

Una consecuencia inmediata del tercer Axioma es: P[A∪B]= P[A]+P[B] En teoría mas avanzada de probabilidad en vez del tercer axioma se usa el siguiente: Si A1,A2,A3,…. Es una secuencia numerable de eventos mutuamente excluyentes definidos en Ω, entonces: P[A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪…]= P[A1]+P[A2]+P[A3]…

Debido a que la definición de probabilidad cumple los axiomas Ax1,Ax2,y Ax3, se da la definición de probabilidad axiomática o abstracta Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento ɛ. La probabilidad P, es una función que asigna a cada evento A(A∊ℛ(Ω)), un número P[A], llamada la probabilidad del evento A, tal que cumple los axiomas:Ax1,Ax2 y Ax3.

Los teoremas siguientes son consecuencia inmediata de los axiomas: Teorema 1: Si ∅ es el evento imposible, entonces P[∅]=0 Teorema 2:Para cada evento A, se cumple que: P[Ā]=1- P[A] o P[A]= 1-P[Ā] Teorema 3: Si A y B son eventos tales que AB, entonces P[A]≤P[B]

Teorema 4: Si A y B son dos eventos cualesquiera en Ω entonces: P[A∪B]= P[A]+P[B]-P[A∩B] Una consecuencia importante de este teorema es: P[A∪B]≤ P[A]+P[B], ya que P[A∩B]≥0 En este teorema se ha probado que: P[B]=P[AB]+P[ĀB] y P[A-B]= P[ĀB]=P[B]-P[AB]

Teorema 5: Si A,B y C son tres eventos cualesquiera en Ω, entonces: P[A∪B ∪C]= P[A]+P[B]+P[C]-P[A∩B]-P[A∩C] ]P[C∩B]+P[A∩B ∩C] Teorema 6: Si A1,A2, A3,…, Ak es una colección de eventos cualesquiera en Ω, entonces: P[A1∪A2∪A3,…∪Ak]= 𝑘𝑖=1 𝑃[𝐴𝑖 ]𝑘 𝑖<𝑗<𝑟=3 𝑃 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑟 + ⋯ + −1

𝑘 𝑖<𝑗=2 𝑃 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 𝑘+1 𝑃[𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩

+ ⋯ ∩ 𝐴𝑘 ]

Ejemplo 1: La probabilidad que llueva en Monteagudo el 12 de octubre es de 0,10 de que truene es 0,05 y que llueva y truene es 0,03.¿Cuál es la probabilidad que llueva o truene ese día?

Se debe primero definir los siguientes eventos: A: Llueve en Monteagudo el 12 de octubre. B: Truena el 12 de octubre C: Llueva o truene ese día Entonces: P[A]=0,10; P[B]=0,05 y P[AB]=0,03 El evento C= AB y la

P[C]= P[AB]= P[A]+P[B]-P[AB] por teorema 4 =0,10+0,05-0,03=0,12

Ejemplo 2: De un grupo de personas el 30% practica futbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente una persona ¿Cuál es la probabilidad que: a)Juegue futbol o ajedrez b) Practique solo uno de estos deportes c)No practique ni futbol ni ajedrez Se definen los eventos: A: la persona elegida es futbolista B: La persona elegida juega ajedrez

La probabilidad pedida es de AUB y debemos recordar una observación sobre la probabilidad y el porcentaje, que están relacionados por el factor 100; es decir el hecho de que el 30% de las personas practiquen futbol es igual a indicar de que la probabilidad de que la persona elegida sea futbolista es del 0,3 además como el 50% de los futbolistas o sea el 15% del total juega futbol y ajedrez tenemos: P[AB]= P[A]+P[B]-P[AB]=0,3+0,4-0,15=0,55 a)

b) Sea el evento C: La persona practica solo uno de estos deportes. El evento C se puede escribir así: C= (AB)(BĀ) Los eventos AB y BĀ son mutuamente excluyentes entonces: P[C]= P[AB]+P[BĀ] por Axioma 3 =0,15+0,25=0,40

c) Sea el evento D: “la persona elegida no practica futbol ni ajedrez“ El Evento D se escribe D=AB

P[D]=P[AB]=1-P[AB] por teorema 2 =1-0,55=0,45 En conjuntos de Ven tendríamos: A B 15%

15%

25%

La probabilidad en sus diversas formas discutidas en los acápites anteriores a sido calculada considerando el espacio muestral y hemos usado P[A] para denotar la probabilidad de ocurrencia del evento A; podríamos haber usado el símbolo P[A/Ω] que se lee: «la probabilidad del evento A dado que ha ocurrido Ω» Frecuentemente estaremos interesados en encontrar la probabilidad de un evento, donde dicho evento esta condicionado a la ocurrencia de un subconjunto del espacio muestral.

Es decir se da que el evento B a ocurrido y se quiere saber la probabilidad que ocurra el evento A. Evidentemente, la probabilidad de un evento A es diferente cuando tenemos la información que a ocurrido ya un subconjunto B de Ω. Ω

Ω A

A

A∩B

B

Se dice que ya ocurrió B, entonces, se tiene que el espacio muestral , se ha restringido al conjunto B. Pues se sabe que no ha ocurrido todo suceso w que pertenezca a B. Por lo tanto seria razonable definir la probabilidad del evento A dado que ha ocurrido B denotado por P[A/B] tal como sugiere la figura anterior en su parte sombreada, igual a la razón del área AB al área B que visualizados como probabilidades tendríamos:

𝑃[𝐴∩𝐵] P[A/B]= 𝑃[𝐵]

, si P[B] > 0

Así la P[A/] se puede escribir ahora : 𝑃[𝐴∩] P[A/]= 𝑃[] =P[A]

Ejemplo consideremos el lanzamiento de un dado cuyo espacio muestral es: =1,2,3,4,5,6 y se consideran los siguientes eventos: A: Se observa un número impar B: Se observa un numero mayor que tres Entonces: A=1,3,5 B=4,5,6 AB=5 P[AB]=1/6 y P[B]=3/6, por lo tanto la de que el evento A ocurra dado que el evento B ha ocurrido es:

1/6 1 P[A/B]= = 3/6 3

notesé que N(AB)=1 y el N(B)=3

Entonces :

N(AB) 1 P[A/B]= = 3 N(B) Ejemplo 2. Consideremos ahora el lanzamiento de 2 dados y suponiendo que se nos informa haber obtenido suma mayor que 6 ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 7?

A: Obtener la suma de los dados igual a 7 B: Se obtuvo suma mayor que 6 El calculo lo realizamos estableciendo primero el espacio muestral y conociendo la probabilidad de ocurrencia del evento B para luego calcular A que es un evento intersectado con B es decir existe el evento A dentro del evento B. Entonces primero establecemos el espacio muestral mediante una tabla de doble entrada:

Dado1 Dado 2

1

2

3

4

5

6

1

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

(6,1)

2

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

(6,2)

3

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

(6,3)

4

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

(6,4)

5

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

(6,5)

6

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

(6,6)

En el espacio establecemos que el número de sucesos del evento B es 21 y podemos establecer que la P[B/]=21/36=7/12=0,58 o 58%

Así mismo el cuadro nos muestra que el N(AB)= 6

Y el N(B)=21 entonces la

𝑁(𝐴𝐵) 6 P[A/B]= = 𝑁(𝐵) 21

Otra forma de calcular esta probabilidad es: 𝑃[𝐴𝐵] P[A/B]= 𝑃[𝐵]

=

6/36 21/36

=

6 21

Formalizando la definición de probabilidad condicional tendríamos:

Definición: Sea un evento B con P[B]>0, la probabilidad condicional de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido B, denotada por P[A/B] se define como sigue: 𝑃[𝐴∩𝐵] P[A/B]= 𝑃[𝐵]

Nota 1La P[A/B] no esta definida si P[B]=0 Nota 2 Como hemos visto intuitivamente en los dos ejemplos dados 𝑃[𝐴∩𝐵] 𝑁(𝐴∩𝐵)/𝑛 𝑁(𝐴∩𝐵) P[A/B]= = = 𝑃[𝐵] 𝑁(𝐵)/𝑛 𝑁(𝐵)

Es decir la probabilidad condicional es una probabilidad calculada en un espacio muestral reducido B; pues a partir de la información sabemos con probabilidad 1 que el evento B ya ocurrió. En la practica podemos resolver el problema usando la definición, esto es calculando P[AB y la P[B] con respecto al espacio muestral original, o considerando la probabilidad del evento A con respecto al espacio muestral reducido B ( como indica la nota 2 y los ejemplos que hemos dado).

Respecto a los axiomas la probabilidad bajo la condición que la P[B]>0 cumple los tres: Ax.1 0≤P[A/B]≤1 Ax.2 P[/B]=1 Ax.3 P[A1A2 ,.. An/B]=P[A1/B]+P[A2/B]+… + P[An/B] o P[ 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 /𝐵]= 𝑛𝑖=1 𝑃[𝐴𝑖/𝐵] Para una secuencia de n eventos A1,A2,..,An, mutuamente excluyentes es decir: AiAj= siendo i≠j

De los Axiomas 1,2 y 3 de la probabilidad condicional, los teoremas dados en el anterior acápite siguen siendo validos para la probabilidad condicional. Es decir si B es un evento tal que P[B]>0 tenemos los teoremas: Teorema 1: P[/B]=0 Teorema 2:P[Ā/B]=1-P[A/B] o P[A/B]= 1-P[Ā/B] Teorema 3: Si AB entonces P[A/B]
Ejemplo: En una universidad de 10000 estudiantes y 1000 profesores, el 10% de los profesores son de izquierda y el 90% de derecha, mientras que en los estudiantes este porcentaje es el contrario. Se selecciona al azar un miembro de la universidad y se encuentra que es de derecha ¿cual es la probabilidad que haya seleccionado un estudiante? ¿un profesor?

El numero de elementos del espacio muestral es N()=10.000+1.000=11.000 Definimos los eventos: D: “un integrante de derecha” E: “el integrante es un estudiante” a)

Debemos calcular P[E/D]=

𝑃[𝐸𝐷] 𝑃[𝐷]

N(ED)=1000 N(D)=1900, luego: P[E/D]=

1000/11000 =10/19=0,53 1900/11000

b) P[E/D)=

𝑃[Ē 𝐷] 𝑃[𝐷]

N(Ē𝐷) = 900 entonces P[Ē𝐷]

=

900 11000 1900 11000

9 = =0,47=47% 19

O también usando el teorema 2 P[Ē/D]=1-P[E/D]=1-10/19=9/19=0,47=47%

De la definición de probabilidad condicional, obtenemos una formula para obtener la probabilidad de la intersección (o producto) de los eventos A y B. esto es: 𝑃[𝐴∩𝐵] P[A/B]= , P[B]>0 (1) 𝑃[𝐵] 𝑃[𝐵∩𝐴] P[B/A]= , P[A]>0 (2) 𝑃[𝐴]

Multiplicando ambos miembros de la expresión 1 por P[B] y por P[A] la expresión (2), obtenemos las ecuaciones:

P[AB]= P[B] P[A/B]= P[AB] y P[AB]= P[A] P[B/A]= P[AB] Este resultado en teoría de probabilidades, se denomina REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, o probabilidad de la intersección, también (probabilidad conjunta);expresa la probabilidad de que ocurra los eventos A y B, es igual a la probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos multiplicado por la probabilidad condicional que ocurra el segundo, dado que el primero ha ocurrido.

Ejemplo1: Una urna contiene 5 bolas blancas, y 6 negras, se extrae al azar sucesivamente y sin reposición (con reposición) dos bolas, ¿Cuál es la probabilidad que las 2 resulten blancas? Definimos primero los eventos: A1: “La primera bola resulto blanca” A2: “La segunda bola resulto blanca” E: “Las dos bolas resultan blancas” Es claro que la probabilidad pedida es del evento E.

E=A1A2=A1A2, es decir E es la intersección de los dos eventos y la ocurrencia de A1 influye en la de A2. O sea: P[E]=P[A1A2]=P[A1] P[A2/A1] En la urna hay 11 bolas de las cuales 5 son blancas 5 por lo tanto: P[A1]= , después de la ocurrencia 11 del evento A1, quedan 10 bolas de las cuales 4 son 4 blancas, luego P[A2]= por lo tanto: 10 5 4 20 2 P[A2/A1]= x = = 11 10 110 11

P[E]=P[A1] = 0,1818 =18,18% El calculo anterior es sin repetición, y un esquema de ayuda para visualizar la solución es:

5

P[A1]=11

4

P[A2]=10

Para el calculo con remplazo tendríamos: 5 P[A1]= ,después 11

de la ocurrencia del evento A1, con remplazo seria nuevamente 11 bolas de las cuales 5 son blancas, luego 5 5 25 P[E]=P[A1]P[A2/A1]= x = 11 11 121

5 P[A2]= 11

=0,2066 =20,66%

Segunda forma: El problema se puede enfocar de otra manera en su solución a saber: Existen 5+6= 11 bolas, la forma de seleccionar dos de 2 ellas esta dado por: C11 y cada una de estas formas tiene probabilidad igual de ocurrir, es decir es nuestro espacio muestral. El número de sucesos favorables al evento E, lo obtenemos de la siguiente manera: como existen 5 bolas blancas podemos elegir dos de ellas de C52 formas diferentes luego aplicando la definición clásica tenemos:

P[E]=

C25 C211

=

5! 2!3! 11! 2!9!

2 = 11

=0,1818 =18,18%

ARBOL DE PROBABILIDAD DE EXPERIMENTOS SUSECIBOS Un diagrama que ayuda a visualizar estos problemas es

el llamado es el árbol de experimentos sucesivos en el que cada rama completa del diagrama de árbol se llama una trayectoria y representa un posible resultado del experimento. En cada segmento que une la secuencia de experimentos se pone sus respectivas probabilidades. Su aplicación la vemos a través del siguiente ejemplo:

En un sistema de alarma la probabilidad que se presente un peligro es de 0,10. Si este se produce la probabilidad que funcione la alarma es del 0,95. La probabilidad que funcione la alarma sin haber habido el peligro es 0,03. Determinar la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione. Para comenzar definimos los siguientes eventos: P:”hay peligro”, F: “La alarma funciona. Entonces F: “La alarma no funciona”

Luego debemos determinar la probabilidad del evento PF: “Haya peligro y la alarma no funcione” P[PF]=P[P] P[F/P] Sabemos que la P[P]=0,10 si ocurre el evento P, la P[F/P]=0,95 y la P[F/P] =1- P[F/P]=1-0,95=0,05 por teorema 2 Por lo tanto la P[PF]=0,10x0,05=0,005 Esto en el árbol de probabilidad de eventos sucesivos lo vemos de la siguiente manera:

F

P[PF]=0,0095

P F F P F

P[PF]=0,005

Teorema 5: Si A, B y C son eventos de , tales P[A]≠0 y P[AB] ≠0 entonces: P[ABC]= P[A] x P[B/A] x P[C/AB]

Teorema 6: Si A1, A2,… An son eventos de , y P[A1A2 … An-1] ≠0 entonces: P[A1A2 … An]=P[A1] x P[A2/A1]x P[A3/A1A2] … P[An/A1A2 …An-1] Este ultimo teorema es una generalización del anterior.

Ejemplo: Dos establos A y B tienen 1000 cabezas de vacuno cada uno. Existe una epidemia que afecta a los cascos y la boca del ganado la proporción de ganados afectas con 1/5 y ¼ respectivamente (por establo). Se escoge un ganado al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad que el ganado escogido viene del rancho A y tiene afección a los cascos y la boca? b) ¿Si el 70% de los ganados afectados tienen edad menor que un año ¿Cuál es la probabilidad que el ganado escogido viene del rancho B y tiene la afección y es mayor de un año de edad

Se establecen los eventos: A: El ganado procede del rancho A B1: El ganado procede del rancho B E: El ganado esta infectado. Entonces la P[A]=1000/2000=1/2=0,5=50% La P[E]=200/1000=2/10=0,2= 20% La P[AE]=P[A]xP[E]=0,5x0,2=0,1=10%

b) Consideramos el evento: F: El ganado es mayor de un año P[BEF] =P[B] P[E/B] P[F/BE] =1000/2000x1/4x135/450 =1/2x1/4x3/10=0,5x0,25x0,3=0,037 =3,7%

Este teorema es el mas importante de este capitulo y requiere primero definir la partición de un espacio muestral y el teorema de la probabilidad total que son utilizados para su cálculo. PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL Definición Se dice que la colección de eventos B1,B2,..,Bk del espacio muestral  representa una partición del espacio muestral , si cumple las siguientes condiciones:

a) Los eventos B1,B2,..Bk son mutuamente excluyentes. En símbolos BiBj= i≠ji,j=123,..,k b) Los eventos B1,B2,..Bk son colectivamente exhaustivos. En símbolos: 𝑘𝑖=1 𝐵𝑖 = c) P[Bi]>0 con i=1,2,..,k  B1

Bk B2

Ejemplo: En el lanzamiento de un dado: =1,2,3,4,5,6 Si B1= 1,2, B2= 3,4,5 y B3= 6 B1 B2B3=  por lo que se indica que es una partición del espacio muestral. En cambio los eventos: E1=1,2 E2=3,4 E3=6 no son una partición del espacio muestral por que: E1 E2E3≠ 

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Sean: B1,B2,..Bk una partición del espacio muestral , entonces para cualquier evento A en  se cumple: P[A]= 𝑘𝑖=1 𝑃[𝐵𝑖]P[A/Bi] =P[B1]P[A/B1]+P[B2]P[A/B2]+…+P[Bk]P[A/Bk] Demostración.1)Sabemos que: =B1⋃B2⋃..⋃Bk hipótesis

2) Para cualquier evento A en  se tiene: A=A⋂ A= A⋂(B1⋃B2⋃…⋃Bk) ver grafico siguiente: A=(A⋂B1)⋃(A⋂B2)⋃…⋃(A⋂Bk)

B1

B2

……

……

Bk⋂A

B2⋂A

B1⋂A



Bk

3) Los eventos A⋂Bi y A⋂Bj , i≠j son mutuamente excluyentes pues: (A⋂Bi) ⋂ (A⋂Bj) = A⋂(Bi⋂Bj)=,i≠j, i,j=1,2,3,…k

4) Tomamos probabilidades a ambos miembros de la igualdad del paso 2 y tenemos: P[A]= P[A⋂B1]+P[A⋂B2]+…+P[A⋂Bk]

=P[B1]P[A/B1] +P[B2]P[A/B2]+ …+P[Bk]P[A/Bk] = 𝑘𝑖=1 P[Bi]P[A/Bi]

El diagrama de árbol de probabilidad para eventos sucesivos de la figura siguiente, da una visión esquemática del teorema de la probabilidad total. B1 B2

. . Bk

A

B1A

Ā A

B1Ā

Ā A

B2Ā

B2A

Ā A Ā A

BkA

Ā

BkĀ

De donde P[A]=P[ 𝑘𝑖=1 𝐵𝑖𝐴]= 𝑘𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 P[A/Bi] Corolario: Si B es un evento en  tal que 0
2. Para cualquier evento A en  se tiene: A=A⋂ =A A=A(B⋃B)=AB⋃AB 3. AB⋂AB =A(B⋂B)=.Es decir los eventos AB y AB son mutuamente excluyentes. 4. Aplicando probabilidad a ambos miembros de la igualdad obtenida en el paso 2 tenemos: P[A]=P[AB⋃AB]=P[AB]+P[AB] =P[B]P[A/B]+P[B]P[A/B]

El diagrama de árbol de probabilidades, muestra una visión esquemática del corolario: A B

Ā

A B

BA

Ā

BA

Ejemplo: En un laboratorio hay tres jaulas. En la jaula 1 hay dos conejos pardos y tres blancos, la jaula 2 tiene 4 conejos pardos y 2 blancos y la jaula 3 contiene 5 conejos pardos y 5 blancos. Se selecciona una jaula al azar y se saca un conejo al azar de esta jaula. ¿Cuál es la probabilidad que el conejo escogido sea blanco? Para solucionar el problema seguimos los siguientes pasos: 1ro Paso: Definimos los siguientes eventos:

1: La jaula 1 es seleccionada 2: La jaula 2 es seleccionada 3: La jaula 3 es seleccionada A: El conejo escogido es blanco 2do Paso: Definimos el espacio muestral del experimento que estaría constituido por los conejos de las tres jaulas del experimento, que a su vez es una partición del espacio muestral, es decir: =1⋃2⋃3

3er Paso: Analizamos la relación del evento con el espacio muestral con lo que tendríamos: A  , entonces A= 1A⋃2A⋃3A, luego por el teorema de la probabilidad total tenemos: P[A]=P[1]P[A/1]+P[2]P[A/2]+P[3]P[A/3] 4to Paso: Visualizamos en el diagrama de árbol de probabilidad para experimentos sucesivos los resultados favorables ha A.

Dentro del árbol solo algunas ramas son las que conforman la probabilidad total del evento A

1 2 3

A

1A

Ā

1Ā

A

2A

Ā

2Ā

A

3A

Ā

3Ā

Como podemos observar en el árbol la probabilidad inicial para escoger las Jaulas es similar para las 3 es decir:

P[1]= P[2]=P[3]=1/3 En lo referente al la probabilidad que se cumpla el evento A tenemos P[A/1]=3/5.Si se saca de la jaula 2 la P[A/2]=2/6. Finalmente si se selecciona la jaula 3 tenemos: P[A/3]=5/10. Remplazando estos valores en el paso 3 tenemos: P[A]=(1/3x3/5)+(1/3x2/6)+(1/3x5/10) P[A]=1/5+1/9+1/6=43/90=0,48= 48%

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Sean: B1,B2,..Bk una partición del espacio muestral , y sean A y E eventos entonces: P[E/A]=P[B1/A] P[E/B1A]+P[B2/A] P[E/B2A]+ …+ P[Bk/A] P[E/BkA] O: P[E/A]= 𝑘𝑘=1 P[Bi/A]P[E/ABi] Presentando esto en diagrama de árbol tendríamos:

B1

A

B2

. . Bk

E

AB1E

Ē E

AB2E

Ē E Ē E Ē E Ē

ABkE

Ejemplo: Todos los miembros de un club son médicos o abogados, 40% de los miembros son médicos, mientras que el 30% de las mujeres son médicos. El 50% de los médicos y el 30% de los abogados ganan mas de $60.000 por año. Sin embargo solamente el 20% de las mujeres médicos y el 10% de las mujeres abogados gana mas de 60.000 por año a) Si se escoge aleatoriamente un miembro del club ¿Cuál es la probabilidad que gane mas de 60.000 por año? b) Si se escoge aleatoriamente una mujer. ¿Cuál es la probabilidad que ella gane mas de 60.000 por año?

Consideremos los siguientes eventos: M: “El miembro del club es un médico” A: “El miembro del club es un abogado” F: “El miembro del club es femenino” G: “El miembro del club gana mas de 60.000 al año” a) Debemos calcular la probabilidad de G =A⋃M Los eventos A y M forman una partición del espacio muestral  además G  Aplicando el teorema de la probabilidad total tenemos:

P[G]=P[A]P[G/A]+P[M]P[G/M] =(0,6)(0,3)+(0,4)(0,5)=0,38=38% b) Se debe calcular P[G/F].El diagrama siguiente, muestra el árbol de probabilidades para este caso. G

M

G G

F A

G

Luego: P[G/F]=P[M/F]P[G/FM]+ P[A/F]P[G/FA] =(0,3)(0,2)+(0,7)(0,1)= 0,13=13%

Si los eventos B1,B2,…,Bk forman una partición del espacio muestral  y A, es un evento cualquiera de , entonces: P[Br/A]=

𝑃 𝐵𝑟 𝑃[𝐴/𝐵𝑟]

𝑘 𝑖=1 𝑃

𝐵𝑖 𝑃[𝐴/𝐵𝑖] 𝑃 𝐵𝑟 𝑃[𝐴/𝐵𝑟] = 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴/𝐵1 +𝑃 𝐵2 𝑃 𝐴/𝐵2 +⋯+𝑃 𝐵𝑘 𝑃 𝐴/Bk

Para r=1,2,3,..,k Este teorema resulta como consecuencia inmediata del teorema de la probabilidad total. En efecto:

𝑃[𝐵𝑟𝐴] 𝑃 𝐵 𝑃[𝐴/𝐵𝑟] = 𝑘 𝑟 𝑃[𝐴] 𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 𝑃[𝐴/𝐵𝑖]

P[Br/A]=

El numerador resulta del teorema de la multiplicación y el denominador del teorema de la probabilidad total. COROLARIO: Si A y B son eventos en  tales que la P[A]>0 y 0
Ejemplo: En un laboratorio hay tres jaulas. En la jaula 1 hay dos conejos pardos y tres blancos, la jaula 2 tiene 4 conejos pardos y 2 blancos y la jaula 3 contiene 5 conejos pardos y 5 blancos. Se selecciona una jaula al azar y se saca un conejo blanco al azar de esta jaula. ¿Cuál es la probabilidad que el conejo escogido provenga de la jaula 1? Para este caso debemos calcular P[1/A] y por la definición de probabilidad condicional y el teorema de la multiplicación tenemos:

𝑃[1∩𝐴] 𝑃 1 𝑃[1/𝐴] P[1/A]= = 𝑃[𝐴] 𝑃[𝐴]

En el ejercicio la probabilidad de A se ha calculado por el teorema de la probabilidad total y es

43 90

= 0,4777 𝑜 47, 77%.Luego la:

P[1/A]=

1 3 𝑥 3 5

43/90

=

3 15 43 90

270 = =0,4186=41,86% 645

EJEMPLO: Una compañía de desarrollo Urbano esta considerando la posibilidad de construir un centro comercial en Yamparaez. Un elemento vital en esta consideraciones es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro del municipio. Si el concejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad del 0,90 de que la compañía construya el centro, en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo el 0,20. Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad del 0,60 que la autopista sea aprobada. a)¿Cuál es la probabilidad que la compañía construya el centro comercial? b)Dado que el centro comercial fue construido ¿ Cuál es la probabilidad que la autopista haya sido aprobada?

Definimos los eventos: A:”La autopista es aprobada” B:”El centro comercial es construido” a) Debemos calcular P[B] aplicando el corolario del teorema de la probabilidad total, el Evento B se escribe: B=AB⋃ĀB y: B A

𝐵 B

Ā

AB

𝐵

ĀB

P[B]=P[AB]+P[ĀB]=P[A]P[B/A]+P[Ā]P[B/Ā] =(0,60)(0,9)+(0,40)(0,20)=0,54+0,08 =0,62=62% b)Por el corolario del teorema de Bayes tenemos: 𝑃 𝐴 𝑃[𝐵/𝐴] (0,6)(0,9) 54 P[A/B]= = = =0,87=87% 𝑃[𝐵] 0,62 62

DEFINICION Los eventos A y B en  son independientes si y solamente si se cumple una de las siguientes condiciones: 1)P[A⋂B]= P[A]P[B] 2)P[A/B]=P[A] si la P[B]>0 3)P[B/A]=P[B] si la P[A]>0 En otro caso se dice que los eventos A y B son dependientes. Los eventos independientes son llamados algunas veces: Estadísticamente independientes, estocásticamente independientes o independientes en el sentido probabilístico.

Ejemplo1: Considere el lanzamiento simultaneo de una moneda y un dado. Sean los eventos A:”se obtiene cara en la moneda” B: “en el dado sale 6” Verificar que A y B son independientes. El espacio muestral compuesto seria: ={(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(c,6),(s,1),(s,2), (s,3), (s,4),(s,5),(s,6)} Luego: A={(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(c,6)} B={(c,6),(s,6)} A⋂B={(c,6)} Entonces en probabilidades tendríamos:

P[A⋂B]=1/12; P[A]=6/12=1/2; P[B]=2/12=1/6 Comprobando: P[A⋂B]=P[A] P[B]=1/2x1/6=1/12 Lo que indica que ambos eventos son independientes. Ejemplo2:En un estudio de una enfermedad al pulmón se examinan 10.000personas mayores de 60 años. Se halla que 4.000 personas de este grupo son fumadores. Entre los fumadores 1800 padecen de desordenes pulmonares. Entre los que no fuman 1500 tienen desordenes pulmonares. ¿Son los eventos “fumadores” y desordenes pulmonares independientes?

Sean los eventos: A:”La persona elegida al azar es fumador” y B:”La persona tiene desordenes pulmonares”. 4000 P[A]= 10000

3300 P[B]= 10000

= 0,4 y = 0,33 La probabilidad condicional de fumadores dado un desorden pulmonar es: 𝑃[𝐴∩𝐵] P[A/B]= = 𝑃[𝐵]

1800 10000 3300 10000

1800 = =0,55≠P[A] 3300

Por lo tanto los eventos A y B no son independientes

El concepto de eventos independientes puede extenderse a mas de dos eventos. Tres eventos A, B y C en , se dice que son mutuamente independientes si y solamente si cumplen las siguientes condiciones: 1)Ellos son independientes por pares. Es decir: P[AB]=P[A] P[B] ; P[AC]=P[A] P[C] y P[BC]=P[B] P[C] 2) P[ABC]=P[A] P[B] P[C] Y esto mismo se puede aplicar a n eventos.

TEOREMAS PARA EVENTOS INDEPENDIENTES Teorema 1: Si Ay B en  son eventos independientes, entonces: 1) A y 𝐵 son independientes 2) 𝐴 y B son independientes 3) 𝐴 y 𝐵 son independientes Teorema 2: Si A y B son eventos cualesquiera en  y son independientes, entonces: P[A⋃B]=1- P[𝐴]P[𝐵] = 1- (1-P[A])(1-P[B])

Teorema 3: Si A1,A2,..An son n eventos en  independientes, entonces: P[ 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ]=1 - 𝑛𝑖=1 𝑃 𝐴𝑖 =1-[1-P[A1]] [1-P[A2]]….[1-P[An]] Ejemplo 3: Durante el primer año de uso de un amplificador de radio puede requerir tres tipos de reparaciones y las probabilidades correspondientes son: 0,05;0,04 y 0,12 ¿Cuál es la probabilidad que un amplificador seleccionado al azar requiera reparación durante su primer año de uso?. Cada tipo de reparación es independiente de los otros dos.

Definimos los eventos: Ei: “El amplificador seleccionado requiere reparación del tipo i(i=1,2,3)” E: “El amplificador seleccionado requiere reparación” El evento E, se escribe: E= 3𝑖=1 𝐸𝑖 P[ 3𝑖=1 𝐸𝑖 ] =1-[1-P[E1]] [1-P[E2]] [1-P[E3]] =1-(1-0,05)(1-0,04)(1-0,12) = 0,10624=10,62%

EXPERIMENTOS INDEPENDIENTES Sea un experimento  que consiste en una secuencia de n ensayos 1, 2,.., n. Los ensayos son independientes si el resultado de cualquier ensayo no afecta la probabilidad de los resultados de los otros ensayos. Además si los Ai, i=1,2,..,n son eventos cualesquiera de i , i=1,2,..,n respectivamente , donde los i son los espacios muestrales asociados a los experimentos i respectivos. La probabilidad de la ocurrencia de los n eventos es:

P[A1⋂A2 ⋂.. ⋂An]=P[A1]P[A2]……P[An] Ejemplo: Consideremos el experimento de lanzar una moneda y un dado, sea el evento A: “obtener una cara y un 6” =1x2, donde: 1={c,s}y 2={1,2,3,4,5,6} A=A1⋂A2 =A1A2, donde A1={c} A2={6} Entonces: P[A]=P[A1]P[A2]=1/2x1/6=1/12

Cuando se habla del enfoque clásico de la probabilidad en espacios muestrales infinitos no tiene sentido hablar del cociente de na/n ya que el espacio muestral tiene infinitos elementos. Sin embargo se puede modificar este concepto asignando probabilidades pi a todos los sucesos wi, i=1,2,….es decir pi=P[(wi)] tal que: 1) Pi>0 , i=1,2,….. ∞ 2) 𝑖=1 𝑃𝑖 = 1

Luego, se define la probabilidad de un evento A en  de la siguiente manera. P[A]= 𝑤𝑖∈𝐴 𝑃 𝑤𝑖 = 𝑖/𝑤𝑖∈𝐴 𝑃𝑖 Obsérvese que la sumatoria esta tomada sobre todos los sucesos favorables ha A. Ejemplo: Se lanza una moneda hasta que ocurra cara. Calcular la probabilidad de lanzarla a lo mas tres veces.

El Espacio muestral es: ={c,sc, ssc, sssc,…} Es claro que los sucesos no tienen la misma probabilidad así: P[w1]=P[c]=1/2 P[w2]=P[sc]=1/2x1/2=1/22=1/4 como ya hemos visto y así sucesivamente, en general obtenemos: 1 P[(wi)]= 𝑖 2

, i=1,2,3,4,…

Ahora sea E el evento “lanzar tres veces”. Entonces: E={w1,w2,w3}={c,sc,ssc} 1 P[E]=P[w1]+P[w2]+P[w3]= 2

1 + 4

1 8

+ =

7 8

Ejemplo 2: Se lanza un dado hasta que ocurra 4. Calcular la probabilidad de lanzar: a) tres veces. b)A lo mas tres veces. El espacio muestral se puede escribir así: ={4,☆4,☆☆4, ☆☆☆4,…}={w1,w2,w3,…}

Donde cada ☆ representa un resultado diferente a 4. P[(w1)]=1/6 ; P[(w2)]=(5/6)x(1/6)=5/36; 5 2 P[(w3)]=( ) 6

En general:

1 6

× =

25 216

P[(wi)]=

Entonces: a)

5 𝑖−1 6

×

5 2 P[(w3)]=P[(☆☆4)]=( ) 6

1 , 6

i=1,2,3,… 1 6

× =

25 216

b) Si A es el evento “lanzar a lo mas tres veces” A={4, ☆4,☆☆4}={w1,w2,w3} 1 P[A]= 6

+

5 1 ( × ) 6 6

+

5 2 6

1 6

× =

91 216

El diagrama de árbol de probabilidades que ilustra este ejemplo es: 4 #≠4 5/6

5/6

4

4

#≠4

#≠4 5/6

4……..

5/6

#≠4……

Ejemplo 3: Usted lanza alternativamente un dado y una moneda hasta obtener 6 en el dado o cara en la moneda; en el primer caso gana y en el segundo pierde. Calcular la probabilidad de ganar. Se debe considerar que la ocurrencia de 6 en el dado o cara en la moneda detiene el experimento. Enumeramos a continuación los resultados: w1=6; w2=☆c ; w3= ☆s6 ; w4= ☆s ☆c; ……..

Entonces ={6,c, ☆s6, ☆s☆c, ☆s ☆s6, ☆s☆s ☆c,…} donde cada ☆ representa un número diferente de 6 con probabilidad de 5/6 y la probabilidad que salga 6, 1/6. Sea G el evento “Ganar” los sucesos en los cuales se gana son:

G={w1,w3,w5,w7,w9,..} P[G]=P[(w1)]+P[(w3)]+P[(w5)]+P[(w7)]+…. 1 = 6

5 6

1 2

1 6

+ × × + 1 = 6

1

5 2 6

1 2 2

5 3 1 3 × × + × 6 2 5 5 2 5 3 + + + +⋯ 12 12 12 1 1 1 12 2 = = × = 6 1− 5 6 7 7 12

1 6

1 6

× +⋯

Nota:Explicación de la suma de infinitos términos. ∞

𝑟𝑘 𝑘=0

1 = , 𝑠𝑖 𝑟 < 1 1−𝑟

Una forma no muy rigurosa pero conveneiente de demostrar esto es la siguiente: ∞ 𝑘 = 1 + 𝑟 + 𝑟 2 + 𝑟 3 + ⋯ (1) 𝑟 𝑘=0 ∞ 𝑘 = 𝑟 + 𝑟 2 + 𝑟 3 + ⋯ (2) 𝑟 𝑘=0 Restando 2 de 1 ∞

∞

𝑟𝑘 − 𝑟 𝑘=0

𝑟𝑘 = 1 𝑘=0

Factorizando ∞ 𝑘 𝑘=0 𝑟

1 − 𝑟 = 1 𝑦 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ∞ 𝑘 𝑟 𝑘=0

1 = 1 + 𝑟 + 𝑟 2 + 𝑟 3 + ⋯ =1−𝑟

En el ejemplo 3 ,

5 r= 12

El calculo de la probabilidad en los espacios muestrales continuos es diferente a los discretos. En los espacios muéstrales continuos se pueden crear subconjuntos que no son eventos y por lo tanto cualquier asignación de probabilidad que se les haga es inconsistente con los axiomas de la probabilidad. Sin embargo también existen los subconjuntos que son eventos y son los que estudiaremos en esta oportunidad. El espacio muestral continuo tiene sus elementos de la misma verosimilitud, esto significa que la probabilidad que un punto ocurra en un subconjunto de , es proporcional a la longitud del sub intervalo.

Definición de probabilidad en un espacio muestral continuo: como la razón entre la longitud del evento “lA” y la longitud del espacio muestral “l” lA Entonces P[A]= l Aquí el concepto de longitud representa un concepto mas amplio, según el caso puede ser: longitud misma, área, volumen, etc. Mas apropiadamente se puede hablar de medida del evento m() y m(A), luego:

𝑚(𝐴) P[A]= 𝑚()

Ejemplo1: Se elige aleatoriamente un punto dentro del segmento determinado por el intervalo [2,10]. ¿Calcular la probabilidad que pertenezca al segmento [3,5]? Solución: ={x/x[2,10]} y 𝑚=10-2=8 A={x/x[3,5]} y 𝑚A=5-3=2 Luego

2 P[A]= 8

=

1 =0,25 4

Ejemplo2: La luz de un semáforo aparece cada 4 minutos y dura un minuto para luego cambiar a verde (por lo tanto es verde durante 3 minutos, rojo un minuto, etc.). Cada hora en punto la luz del semáforo cambia a rojo primeramente. a) Si se llega al semáforo en un instante al azar entre las 7:55 y 8:05, a.m. ¿Cual es la probabilidad que usted tenga que detenerse ante el semáforo? b) Si se llega al semáforo en un instante al azar entre las 7:54 y 8:04, a.m. ¿Cual es la probabilidad que usted tenga que detenerse ante el semáforo?

Suponiendo que estamos en automóvil, el espacio muestral seria: ={t/t[7:55, 8:05]} a) Se consideran los eventos: A:”Detenerse ante el semáforo si llega entre las 7:55 y8:05” R: Tiempo que dura la luz roja = 1 minuto V: Tiempo que dura la luz verde=3 minutos En el siguiente diagrama se presenta la situación: V 7:55

R 7:56

V 7:57

R 8:00

V 8:01

R 8:04

8:05

m=8,05-7,55=10 minutos mA=3R=3 minutos mA 3 Por lo tanto la P[A]= = =0,3=30% de m 10 probabilidad. b) Sea el evento B:”Tener que detenerse si llega al semáforo entre 7,54 y 8,04” Esto se presenta el siguiente diagrama: V 7:54

R 7:56

V 7:57

R 8:00

V 8:01

8:04

m=8,04-7,54=10 minutos mB=2R=2 minutos mA 2 1 Por lo tanto la P[A]= = = =0,2=20% de m 10 5 probabilidad de detenerse.