Tema 1 Campos

Capítulo 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

1.1

INTRODUCCIÓN La Teoría Electromagnética utiliza un lenguaje matemático para expresar cuantitativamente los 

conceptos físicos que la sustentan.  Es necesario que dicho lenguaje esté claramente establecido y sea  familiar  para el lector.   El propósito de este capítulo es  presentar los conceptos y herramientas  fundamentales para el cálculo con campos escalares y vectoriales, los cuales son los protagonistas de  la Teoría Electromagnética.   En este capítulo se explican en primer lugar los conceptos de Campo Escalar y Vectorial, y se  presenta la notación empleada.  Luego se presentan los Sistemas de Coordenadas y sus elementos,  haciendo hincapié en el Sistema de Coordenadas Ortogonales Generalizadas.  Después se trata sobre  la   integración   de   campos   escalares   y   vectoriales   sobre   contornos,   superficies   y   volúmenes,  mencionando   algunas   aplicaciones   de   dichas   integraciones   y   enfatizando   los   conceptos   de  Circulación   y   Flujo   de   un   campo   vectorial   como   herramientas   integrales   para   conocer   el  comportamiento global de los campos y la naturaleza de sus fuentes.  Seguidamente se presentan los  conceptos de Gradiente de un campo escalar, y Divergencia y Rotacional de un campo vectorial,  como herramientas diferenciales para conocer el comportamiento puntual de los campos y la forma  de   distribución   de   sus   fuentes.     Finalmente   se   presentan   las   operaciones   conjuntas   entre   los  operadores diferenciales mencionados arriba, el Teorema de Helmholtz y los teoremas integrales de  Gauss, de Stokes y de Green. Se ha hecho gran énfasis en explicar la relación entre los campos vectoriales y sus fuentes a  través de la Circulación, el Flujo, la Divergencia y el Rotacional, de manera que dichas relaciones  sean familiares para el lector cuando se aborden los fundamentos de la Teoría Electromagnética.  Estas relaciones no son tratadas en la mayoría de libros de texto que han podido revisarse.  Por otra  parte   se   han  omitido   tópicos   tales   la   Suma   de   Vectores   y  el   Producto  escalar   y   vectorial   entre  vectores, los cuales se supone que son dominados por el estudiante y además son cubiertos con  detalle en libros de texto.

2

1.2.­

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES.

Un  campo es, desde el   punto de vista matemático, cualquier función univaluada  de  varias  m n variables  f : A → B , donde  A m  es un subconjunto de un espacio de m dimensiones ( m > 1 ) y  Bm   es un subconjunto de un espacio de n dimensiones ( n ≥ 1).  Los campos se clasifican, de acuerdo a la  dimensionalidad del conjunto de llegada de la función  f , en escalares ( n = 1 ) y vectoriales ( n > 1). Los campos se usan generalmente para describir magnitudes físicas que dependen del espacio y  del tiempo.  Los campos escalares asociados a magnitudes físicas están descritos por una magnitud  asignada a cada punto del espacio tridimensional en cada instante de tiempo.  Un ejemplo de campo  escalar   es   el   campo   de   temperaturas   dentro   de   una   sala.     Los   campos   vectoriales   asociados   a  magnitudes físicas están descritos por un vector asociado a cada punto del espacio en cada instante  de tiempo, el cual puede expresarse en términos de su magnitud, dirección y sentido, o en términos  de sus componentes relativas a cierto sistema de coordenadas.   Como ejemplo de campo vectorial  tenemos la velocidad de un fluido dentro de una tubería. En la literatura se asignan comúnmente letras latinas o griegas a los campos para identificarlos.  Las letras de tipo normal o itálicas representan campos escalares; las letras en negrillas, subrayadas o  con  flechas  representan campos vectoriales.    En esta guía  se  representan  los campos  con   letras  itálicas, los campos vectoriales se distinguen por llevar una rayita encima de la letra que los designa,  así:   F . La   dependencia   espacial   de   un   campo   se   denota   como   r ,   a   menos   que   se   quiera   destacar  explícitamente la dependencia respecto a las coordenadas de un sistema de coordenadas particular.  Por ejemplo,  F (r,t )  identifica a un campo vectorial que depende del espacio y del tiempo, y  φ (r )   identifica a un campo escalar que sólo depende del espacio. Los   campos   escalares   pueden   representarse   gráficamente   mediante   superficies   en   que   la  magnitud del campo es constante.  En una representación bidimensional se muestran contornos en  que la magnitud del campo es constante.  Por su parte, los campos vectoriales pueden representarse  gráficamente mediante vectores cuyo origen se ubica en el punto al cual están asignados, o mediante  la técnica de líneas de flujo, la cual se explica más adelante. 1.3.­

SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES. Cuando se estudia el comportamiento de un campo, usualmente se desea investigar los sitios en 

1.1

Introducción

3

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

que la magnitud del campo es máxima o mínima, las regiones donde dicha magnitud crece o decrece,  la ubicación de discontinuidades o singularidades del campo, y en el caso de un campo vectorial,  hacia dónde fluyen las líneas del campo y el cambio de dirección y sentido que experimentan dichas  líneas.   Para el procesamiento gráfico o analítico de la información relativa a un campo, se requiere  identificar   a   cada   punto   del   espacio   tridimensional   de   una   manera   única.     El   método   de  identificación más versátil y más empleado es el de asignar una terna de números a cada punto del  espacio, de acuerdo a una regla que permita que puntos distintos tengan asignadas ternas distintas (es  decir, tengan identificaciones distintas) y que las ternas estén ordenadas espacialmente.   Se utiliza  entonces un SISTEMA DE COORDENADAS para la realización de dicha asignación. Pueden   construirse   infinidad   de   sistemas   de   coordenadas   tridimensionales,   sin   embargo,   se  prefieren los Sistemas Ortogonales porque simplifican las operaciones entre vectores.  La escogencia  de   un   sistema   de   coordenadas   para   el   estudio   de   un   campo   se   basa   generalmente   en   dos  requerimientos: simplificar al máximo las expresiones de la región donde está definido el campo, y  simplificar al máximo la expresión analítica (si existe) del campo. Los   sistemas   de   coordenadas   más   utilizados   son   el   Rectangular   o  Cartesiano,   el   Cilíndrico  Circular y el Esférico.   Antes de estudiar estos sistemas, se presenta un Sistema Generalizado de  Coordenadas Ortogonales, el cual es útil para hacer ciertas deducciones generales. 1.3.1

El Sistema Generalizado de Coordenadas Ortogonales.

Un sistema generalizado de coordenadas ortogonales está constituido por: a)

El origen de coordenadas, el cual corresponde al punto  O(0,0,0) .

b)

Tres   ejes   de   referencia   ortogonales   x, y, z   que   se   intersectan   en   el   origen,   llamados  ejes   coordenados.

c)

Tres   familias   de  superficies   coordenadas  u1(x, y,z) = c1 ,   u2 (x, y, z) = c2   y     u3(x, y,z) = c3 ,  donde  c1 ,  c2  y  c3  son parámetros.  Dichas superficies están definidas y son ortogonales entre sí  en todo punto del espacio.   Cada uno de los parámetros   c1 ,   c2   y   c3   al variar describe una  familia.

La   diferencia  primordial  entre   los  diversos  sistemas  de  coordenadas  es   la   definición  de   las  superficies coordenadas   u1(x, y,z) ,  u2 (x, y, z)  y  u3(x, y,z)  que lo constituyen. 1.1

Introducción

4

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

Otros elementos de los sistemas de coordenadas se derivan de los listados arriba.  Así, un punto  P de coordenadas  (C1,C2,C3 ) , donde  C1 ,  C2  y  C3  son constantes, se define por la intersección de  las tres superficies ortogonales  u1(x, y,z) = C1 ,  u2 (x, y, z) = C2  y   u3(x, y,z) = C3 .   Una línea coordenada se define como la familia de puntos en que sólo varía dicha coordenada:  la   línea   coordenada   u1(u2 = C2 ,u3 = C3 )   se   obtiene   mediante   la   intersección   de   las   superficies  u2 (x, y, z) = C2   y   u3(x, y,z) = C3 ;   de   manera   similar,   se   obtienen   las   líneas   coordenadas  u2 (u1 = C1 ,u3 = C3 )  y  u3(u1 = C1,u2 = C2 ) . Los  vectores unitarios  1u1 ,  1u2   y  1u3   en un punto   P(C1,C2,C3 )   se definen, respectivamente,  como los vectores unitarios normales en el punto P a las superficies coordenadas  u1 = C1 ,   u2 = C2  y  u3 = C3 , orientados según la dirección de crecimiento de las coordenadas correspondientes.   Por  construcción geométrica, los vectores unitarios resultan tangentes a las tres líneas coordenadas que  se   intersectan   en   el   punto  P.     Cabe   destacar   que   en   cualquier   sistema   de   coordenadas,   con   la  excepción del sistema rectangular, los vectores unitarios cambian de dirección y sentido en función  de la posición. En la figura 1.1 se presenta un sistema generalizado de coordenadas ortogonales, mostrando el  origen,  los   ejes   coordenados,   las   superficies   coordenadas,   las   líneas   coordenadas   y   los  vectores  unitarios. z

u2 = c2

u1 = c1

1u3 1u1

u3 = c 3

0

1u2

x

y

Fig. 1.1: Sistema Generalizado de Coordenadas Ortogonales.

1.1

Introducción

5

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

El  elemento  diferencial  de   longitud  vectorial   dl1   en  el  punto   P(C1,C2,C3 )   es  un  vector   de  magnitud diferencial, paralelo al vector unitario 1u1 , que une al punto  P(C1,C2,C3 )  con el punto de  coordenadas   (C1 + du1,C2,C3 ) .   Su magnitud   dl1   es la distancia entre los puntos   P(C1,C2,C3 )   y  (C1 + du1,C2,C3 ) .  De manera análoga se definen los elementos diferenciales de longitud vectoriales  dl2  y  dl3 , y sus magnitudes correspondientes  dl2  y  dl3 , en el punto  P(C1,C2,C3 ) . El elemento diferencial de área vectorial  da1  en el punto  P(C1,C2,C3 )  es un vector de magnitud  diferencial, paralelo al vector unitario  1u1   (y por lo tanto normal a la superficie   u1 = C1   en dicho  punto), igual al producto vectorial  dl2 × dl3 .  Su magnitud  da1  es la superficie del elemento de área  en la superficie  u1 = C1  cuyos vértices son los puntos de coordenadas  (C1,C2,C3 ) ,  (C1,C2 + du2 ,C3) ,   (C1,C2 ,C3 + du3 )   y   (C1,C2 + du2 ,C3 + du3) .     De   manera   análoga   se   definen   los   elementos  diferenciales de área vectoriales  da2  y  da3  y sus magnitudes correspondientes  da2  y  da3 . El elemento diferencial de volumen  dV  en el punto  P(C1,C2,C3 )  es el producto de los elementos  diferenciales de longitud  dl1 ,  dl2  y  dl3  en dicho punto.  Su magnitud es igual al volumen del parale­ lepípedo diferencial cuyos vértices son los puntos de coordenadas   (C1,C2,C3 ) ,   (C1,C2 + du2 ,C3) ,  (C1,C2 ,C3 + du3 ) ,   (C1,C2 + du2 ,C3 + du3) ,   (C1 + du1,C2 + du2 ,C3 + du3) ,   (C1 + du1,C2,C3 ) ,  (C1 + du1,C2 + du2 ,C3)  y  (C1 + du1,C2 ,C3 + du3 ) .  Los elementos diferenciales de longitud, superficie y volumen, los cuales se utilizan para el  cálculo integral   y/o diferencial con campos, están relacionados con los incrementos diferenciales  du1 ,   du2   y   du3   a través de los  coeficientes métricos, que son el cociente entre el diferencial de  longitud y el diferencial de la coordenada en cada punto del espacio.  De esta manera, se definen los  elementos diferenciales de longitud como  dl1 = h1 du1 ,  dl2 = h2 du2  y  dl3 = h3 du3 , donde  h1 ,  h2  y  h3   son   los   coeficientes   métricos   (en   general,   campos   escalares   h1(u1,u2 ,u3 ) ,   h2 (u1,u2 ,u3 )   y  h3 (u1,u2 ,u3 ) ).  El resto de los elementos diferenciales se construye a partir de  dl1 ,  dl2  y  dl3 .   La   tabla   1.1   describe   los   elementos   diferenciales   del   sistema   generalizado   de   coordenadas  ortogonales, en la figura 1.2 se muestran los mencionados elementos diferenciales. TABLA 1.1: Elementos diferenciales del Sistema de Coordenadas Ortogonal Generalizado

Longitud, es­ Longitud, vecto­ calares dl1 = h1 du1 dl2 = h2 du2 dl3 = h3 du3

Area, escalares

Area, vectoriales

dl1 = h1 du11u1 dl2 = h2 du21u2

da1 = dl2 dl3 = h2 h3 du2 du3 da2 = dl1 dl3 = h1 h3 du1 du3

da1 = dl2 × dl3 = h2 h3 du2 du31u1 da2 = dl3 × dl1 = h1 h3 du1 du31u2

dl3 = h3 du31u3

da3 = dl1 dl2 = h1 h2 du1 du2

da3 = dl1 × dl2 = h1 h2 du1 du2 1u3

riales

1.1

Introducción

6

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

Longitud vectorial total:  dl = dl1 + dl2 + dl3 1.3.2

Volumen:  dV = dl1 dl2 dl3 = h1 h2 h3 du1 du2 du3

El sistema de coordenadas rectangulares.

Las   superficies   que   describen   al   sistema   de   coordenadas   rectangulares   son   planos  perpendiculares a los ejes coordenados: u1 = x , u2 = x  y u3 = z .   dl3

1u 3

da1

dl2

dl3

dl3

da2 dV dl1 1u 1

dl1

dl2 1u 2

da3

dl1

dl2

Fig. 1.2: Elementos diferenciales de un Sistema Generalizado de Coordenadas Ortogonales.   (a) Elementos de longitud y de volumen; (b) elementos de área.

El sistema de coordenadas rectangulares tiene propiedades únicas: a)

Las superficies coordenadas son siempre perpendiculares a los ejes coordenados respectivos.  Las líneas coordenadas son siempre paralelas a los ejes correspondientes.

b)

Los vectores unitarios son invariantes (constantes) respecto a la posición .   Los coeficientes métricos de este sistema son  hx = hy = hz = 1 .  Los elementos diferenciales de 

este sistema de coordenadas se obtienen sustituyendo los coeficientes métricos en la tabla 1.1, y se  muestran en la tabla 1.2.  En la figura 1.3 se muestra el sistema de coordenadas rectangulares con sus  elementos.

1.1

Introducción

7

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS TABLA 1.2: Elementos diferenciales del Sistema de Coordenadas Rectangulares

Longitud, es­ Longitud, vecto­

Area, escalares

Area, vectoriales da1 = da x = dy × dz = dy dz 1x da2 = day = dz × dx = dx dz 1y da3 = daz = dx × dy = dx dy 1z

calares dl1 = dx

riales dl1 = dx = dx 1x

dl2 = dy

dl2 = dy = dy 1y

da1 = da x = dl2 dl3 = dy dz da2 = day = dl1 dl3 = dx dz

dl3 = dz

dl3 = dz = dz 1z

da3 = daz = dl1 dl2 = dx dy

Volumen:  dV = dl1 dl2 dl3 = dx dy dz

Longitud vectorial total:  dl = dx + dy + dz

z y =y 0

x =x 0

daz

1z 1z 1x 1x

1y

dz z =z0

1y

da x

dy

dx

da y

x y Fig. 1.3: Sistema de coordenadas rectangulares.

1.3.3

El sistema de coordenadas cilíndricas circulares.

Las superficies que describen a este sistema son:  a)

Cilindros circulares cuyo eje es el eje z, dados por la ecuación: u1(x, y,z) = ρ = x 2 + y2 , ρ ≥ 0

(1.1a) 

1.1

Introducción

8

b)

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

Semiplanos que parten del eje z, y que forman un ángulo  ϕ   (0 ≤ ϕ < 2 π )  con el semiplano X– Z, x  ≥  0, cuya ecuación es:    x −1 2 2 cos  2  , si y ≥ 0, x + y ≠ 0 2   x +y  u2 (x, y, z) = ϕ =    x  −1 2 π − cos  , si y < 0, x 2 + y 2 ≠ 0  2 2   x +y  

c)

(1.1b)

Planos perpendiculares al eje z:  u3(x, y,z) = z .

(1.1c)

Los coeficientes métricos de este sistema son:  hρ = 1 ,  hϕ = ρ ,  hz = 1.  Nótese que  h2  es la fun­ ción que relaciona a la longitud de arco diferencial con el cambio de ángulo diferencial, por lo que es  igual al radio de la circunferencia a la que pertenece el arco en cuestión.  Los elementos diferenciales  del sistema de coordenadas cilíndricas circulares se muestran en la tabla 1.3. Cabe destacar que en este sistema de coordenadas los vectores unitarios 1ρ  y 1ϕ  cambian con la  posición. TABLA 1.3: Elementos diferenciales del Sistema de Coordenadas Cilíndricas Circulares

Longitud, escala­

Longitud, 

res dl1 = dρ

vectoriales

Area, escalares

Area, vectoriales

da1 = daρ = ρ dϕ dz

dl2 = dlϕ = ρ dϕ

dl2 = dlϕ = ρ dϕ 1ϕ

da2 = daϕ = dρ dz

daρ = dlϕ × dz = ρ dϕ dz 1ρ daϕ = dz × dρ = dρ dz 1ϕ

dl3 = dz

dl3 = dz = dz 1z

da3 = daz = ρ dρ dϕ

daz = dρ × dlϕ = ρ dρ dϕ 1z

dl1 = dρ = dρ 1ρ

Longitud vectorial total:  dl = dρ + dlϕ + dz

Volumen:  dV = dl1 dl2 dl3 = ρ dρ dϕ dz

En la figura 1.4 se muestra el sistema de coordenadas cilíndricas circulares con sus elementos.

1.1

Introducción

9

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

z

da z 1z

z = z0

dϕ

1ϕ

daϕ

dz

1ρ

ρ = ρ0

dρ daρ

x

y ϕ = ϕ0

Fig. 1.4: Sistema de coordenadas cilíndricas circulares.

1.3.4

El sistema de coordenadas esféricas.

Las superficies que describen a este sistema son: a)

Esferas concéntricas de radio r cuyo centro es el origen: u1(x, y,z) = r = x 2 + y 2 + z2 , r ≥ 0

b)

(1.2a)

Conos con vértice en el origen, cuya apertura es el ángulo  θ   (0 ≤ θ ≤ π )  medido respecto al se­ mieje z positivo, y cuyo eje es el eje z:   2 z 2 2 u2 (x, y, z) = θ = cos   , x + y + z ≠ 0        2 2 2  x +y +z  −1

(1.2b)

1.1

Introducción

10

c)

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

Semiplanos que contienen al eje z, y que forman un ángulo ϕ   (0 ≤ ϕ < 2 π )  con el semiplano  X − Z ,  x ≥ 0 :    x −1 2 2 cos  2  , si y ≥ 0, x + y ≠ 0 2   x +y  u2 (x, y, z) = ϕ =    x  −1 2 π − cos  , si y < 0, x 2 + y 2 ≠ 0  2 2   x +y  

(1.2c)

En   este   sistema   de   coordenadas   los   tres   vectores   unitarios   cambian   con   la   posición.     Los  2 coeficientes métricos de este sistema son:  hρ = 1 ,  hθ = r  y  hϕ = r sen θ .  Nótese que  hθ  y  hϕ  son  funciones que relacionan a la longitud de arco diferencial con el cambio diferencial angular de las  coordenadas θ y ϕ, respectivamente, tal como se muestra en la figura 1.5.

z

z

dϕ dlθ

dθ r

y

rsen ϕ r

dlψ y

Fig. 1.5:  Geometrías que relacionan a los cambios angulares con las longitudes de arco en coordenadas esféricas.

Los elementos diferenciales correspondientes al sistema esférico se describen en la tabla 1.4, en  la figura 1.6 se muestra el sistema de coordenadas esféricas con sus elementos. TABLA 1.4: Elementos diferenciales del Sistema de Coordenadas Esféricas

Longitud, escalares

Longitud, vectoria­

Area, escalares

Area, vectoriales dar = r2 sen θ dθ dϕ 1r daϕ = r dr dθ 1ϕ

les dl1 = dr

dr = dr 1r

dl2 = dlθ = r dθ

dlθ = r dθ 1θ

da1 = dar = r2 sen θ dθ dϕ da2 = daθ = r sen θ dr dϕ

dlϕ = r sen θ dϕ 1ϕ

da3 = daθ = r dr dθ

dl3 = dlϕ = r sen θ dϕ

Longitud vectorial total:  dl = dr + dlθ + dlϕ 1.1

Introducción

daθ = r senθ dr dϕ 1θ

2 Volumen:  dV = dl1 dl2 dl3 = r sen θ dr dθ dϕ

11

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

z

θ = θ0 daϕ dlθ dlψ

r = r0

dar

dr y x

daθ

ϕ = ϕ0

Fig. 1.6: Sistema de coordenadas esféricas.

1.4.­

EL VECTOR POSICIÓN.  El vector posición es el vector que une a cada punto del espacio con el origen de coordenadas. 

La manipulación del vector posición cobra especial importancia en el cálculo de integrales de línea y  de superficie.  En estos casos, se asocia al vector posición una ecuación vectorial que lo convierte en  la expresión matemática del subconjunto del espacio sobre el cual se realiza la integración.  A dicha  ecuación vectorial se le llama frecuentemente “parametrización”. En   la   tabla   1.6   se   dan   las   expresiones   del   vector   posición  r   en   los   distintos   sistemas   de  coordenadas. TABLA 1.6: Expresiones para el vector posición

Coordenadas rectangulares x 1x + y 1y + z 1z

Coordenadas cilíndricas x 2 + y2 1ρ + z 1z

ρ cosϕ 1x + ρ senϕ 1y + z 1z

ρ 1ρ + z 1z

r senθ cosϕ 1x + r senθ senϕ 1y + r cosθ 1z

r sen θ 1ρ + r cos θ 1z

Coordenadas esféricas x 2 + y2 + z 2 1r

ρ 2 + z2 1r r 1r 1.1

Introducción

12

TEMA 1: ANÁLISIS DE CAMPOS

La utilización de cualquiera de las expresiones anteriores se hace de acuerdo al contexto de cada  problema particular.  Sin embargo, cabe destacar que cuando es necesario utilizar las derivadas del  vector   posición,   es   más   útil   la   representación   de   éste   en   coordenadas   rectangulares,   ya   que   los  vectores unitarios son invariantes en el mencionado sistema de coordenadas.

1.1

Introducción