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TEMA 1. ANÁLISIS VECTORIAL 1. 2. 3. 4. 5.

Sistemas Coordenados Operador Nabla Teoremas Función Delta de Dirac Ecuaciones de Maxwell

Objetivo del tema • Presentar las herramientas analíticas básicas para resolver problemas de campos eléctricos y magnéticos estáticos  análisis integral y vectorial de funciones escalares y vectoriales en 3 • Enunciar las ecuaciones de Maxwell

1. Sistemas coordenados • Permiten localizar cualquier punto del espacio • Importantes porque facilitan la resolución de problemas: según la simetría del problema se debe seleccionar el sistema coordenado más adecuado para facilitar (i) la resolución y (ii) la interpretación de la solución • En un sistema coordenado ortogonal, cualquier punto es la intersección de tres superficies perpendiculares entre sí  distintos sistemas coordenados según la definición de las superficies: cartesiano (rectangular), cilíndrico y esférico.

Sistema Rectangular o Cartesiano Coordenadas

xˆ yˆ  zˆ

Coordenadas: Vectores unitarios: Vector de posición:

Intersección planos x, y y z

x, y, z xˆ, yˆ , zˆ r r  xxˆ yyˆ  zzˆ

Sistema Rectangular o Cartesiano Diferenciales Elementos diferenciales de línea:

dLx  dx dLy  dy dLz  dz r dL  dxxˆ  dyyˆ  dzzˆ Elementos diferenciales de superficie:

dSx  dLy dLz  dydz dS y  dLx dLz  dxdz

Elemento diferencial de volumen:

dSz  dLx dL y  dxdy

dV  dLx dLy dLz  dxdydz

Tanto los diferenciales de línea como los de superficie pueden ser escalares o vectoriales (añadiendo un vector unitario de forma adecuada). El de volumen siempre es escalar.

Sistema Cilíndrico Coordenadas

ˆˆ  zˆ

Coordenadas: Vectores unitarios: Vector de posición:

Intersección de cilindro de radio , semiplano que contiene el eje z y forma un ángulo  con el eje x, y plano z

, ,z ˆ , ˆ , zˆ r r  ˆ  zzˆ

Sistema Cilíndrico Diferenciales Elementos diferenciales de línea:

dL  d dL  d dLz  dz r dL  dL ˆ  dL ˆ  dLz zˆ  dˆ  dˆ  dzzˆ Elementos diferenciales de superficie:

dS  dL dL z ddz dS  dL dLz  ddz dSz  dL dL  dd

Elemento diferencial de volumen:

dV  dL dL dLz  dddz

Sistema Esférico Coordenadas

ˆˆ  ˆ

Coordenadas: r,  , 

rˆ, ˆ, ˆ r Vector de posición: r  rrˆ Vectores unitarios:

Intersección de esfera de radio r, semiplano que contiene el eje z y forma un ángulo  con el eje x, y superficie cónica con vértice en el origen y con ángulo con el eje z

Sistema Esférico Diferenciales Elementos diferenciales de línea:

dLr  dr dL  rd dL  rsend r dL  dLr rˆ dL ˆ  dL ˆ   drrˆ  rdˆ  rsendˆ Elementos diferenciales de superficie:

dSr  dLdL  r 2 sendd dS  dLr dL  rsendrd dS  dLr dL  rdrd

Elemento diferencial de volumen:

dV  dLr dL dL  r 2 sendrdd

Transformación de Coordenadas Rectangulares-Cilíndricas Coordenadas

x   cos y  sen zz

  x  y  2 y   arctan [0, ] si y ≥ 0 x  (  ,2 ) si y < 0 zz 2

2

1

Vectores unitarios

xˆ  cosˆ  senˆ yˆ  senˆ  cosˆ zˆ  zˆ

zˆ zˆ

ˆ cosxˆ  senyˆ ˆ  senxˆ  cos yˆ

Transformación de Coordenadas Rectangulares-Esféricas Coordenadas

x  rsen cos  y  rsensen z  r cos



r  x y  z 2

2

  arctan x   arctan

2

y x

2



1

y z

2

2



1

2

[0, ] si y ≥ 0   ( ,2 ) si y < 0

Vectores unitarios xˆ  sen cosrˆ  cos cosˆ  senˆ yˆ  sensenrˆ  cossenˆ  cosˆ

rˆ  sen cos xˆ  sensenyˆ  cos zˆ ˆ  cos  cos xˆ  cos senyˆ  senzˆ

zˆ  cos rˆ  senˆ

ˆ  senxˆ  cos yˆ

Transformación de Coordenadas Cilíndricas-Esféricas Coordenadas

  rsen

r    z 2

2



1

  

   arctan 

z  r cos

  

2

z

Vectores unitarios

ˆ senrˆ  cosˆ ˆ ˆ

rˆ  senˆ  coszˆ ˆ  cosˆ  senzˆ

zˆ cosrˆ  senˆ

ˆ ˆ

2. El operador Nabla Es un operador vectorial y diferencial Expresión en cartesianas:     xˆ  yˆ  zˆ x y z

Reglas de aplicación del operador nabla:  o c1 A  c2 B   c1 o A  c2  o B 



 o A  B    o A  B  o A  B   indica la función a la que hay que aplicar la derivación, manteniendo las demás constantes

2. El operador Nabla

Propiedades

1.

 f  g   f  g

2.

 A B   AB

3.

 A B   A B

4.

 fg  gf  fg









5. A  B B A  B   A AB  A  B 6. 7. 8.



     A B  B    A  A    B   fA  A f  f  A   fA  A  f  f  A

9.   A B B A  B  A A B AB

Aplicaciones del operador Nabla (derivadas de primer orden) 1. Gradiente: f 2. Divergencia:   A 3. Rotacional:   A

Gradiente f -Siempre se aplica sobre una función escalar f -El resultado es una magnitud vectorial -Indica la rapidez de variación de un campo escalar en diferentes direcciones del espacio -El vector resultante apunta en la dirección de máxima variación positiva del campo escalar, siendo normal a las superficies equiescalares de f Ejemplo: gradiente del campo escalar “oscuridad”

Divergencia   A -Siempre se aplica sobre una función vectorial

A

-El resultado es una magnitud escalar -Indica la tendencia que presenta un campo vectorial en un punto determinado a dirigirse hacia el punto (divergencia negativa) o a alejarse de él (divergencia positiva). Es decir, mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse en o a converger hacia dicho punto.

Rotacional   A -Siempre se aplica sobre una función vectorial

A

-El resultado es una magnitud vectorial -Indica la tendencia que presenta un campo vectorial en un punto determinado a girar alrededor de ese punto.

Aplicaciones del operador Nabla (derivadas de segundo orden) 1. Laplaciano de Función Escalar:   f      f 2.

  f       f  0

3.

  A

4.

    A      A  0

5.

    A     A    A    A   2 A







 

 2 f



Laplaciano de Función Vectorial:

 2 A    A      A

Operadores Diferenciales en Rectangulares 

ˆ x  o A  







 x

ˆ y

 y

ˆ z

  z

o A

Gradiente

f f f f  xˆ  yˆ  zˆ x y z

Divergencia

r A A A  A  x  y  z x y z

Rotacional

r  Az Ay   Ax Az  Ay Ax      A  xˆ   yˆ     zˆ x   x z   z y   y

Laplaciano

2 f 2 f 2 f  f 2  2 x y z2 2

Operadores Diferenciales en Cilíndricas f  ˆ

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

f 1 f f  ˆ  zˆ z   

r 1 A  1 A  Az   A  z  

r A  1 Az A  A Az  1   ˆ   ˆ   zˆ  A    A         z z           

1   f  1  2 f  2 f    2  f  2      2  z  2

Operadores Diferenciales en Esféricas 1 f f 1 f  ˆ  ˆ r  r sen  r

Gradiente

f  rˆ

Divergencia

r 1  2 1  1 A   A  2 r Ar  A sen   r r r sen  r sen 

 

Rotacional r  A  rˆ

  A  ˆ 1  1 Ar   Ar  1    rA ˆ r A      A sen                  r r   r sen    r sen  r   1

Laplaciano  2f 1   2 f  1 1   f   f  2 sen   2   2 r r r  r  r sen     r sen 2   2 2

Campo irrotacional Se dice que un campo vectorial A es irrotacional en un volumen V si en todos los puntos del volumen se cumple:

 A  0

Ejemplo: campo electrostático. Además, se cumple: A  dL  0 para cualquier L dentro de V   2. A  dL no depende del recorrido L sino de los extremos 1.

L

L

3. A f

Campo solenoidal Se dice que un campo vectorial A es solenoidal en un volumen V si en todos los puntos del volumen se cumple:

 A  0

Ejemplo: campo magnetostático. Además, se cumple: 1.

para cualquier S dentro de V A  dS  0  S

2.

no depende de S, sino de la línea L que la delimita A  dS  S

3. A    B

3. Teoremas Teorema Gauss:

 A dS   AdV V

S

Teorema Stokes:

r r r r  A  dL     A  dS L

S

Teorema de Gauss

 A dS   AdV S

V

Flujo de una función vectorial a través de una superficie cerrada

Demostración:

 r r  r r r r SA  dS   S A  dSi    AVi  V  AdV i1

i

i1

r dS  o   dV o

Generalización:

S

Corolarios:

V

 fdS   fdV r r r  A  d  S    AdV S

S

V

V

-Permite relacionar integrales de volumen y superficie -Válido para superficies cerradas y disjuntas

Aplicaciones del Teorema de Gauss 1. Integración por Partes:

 A fdV   V

V

 

A  fA,   fA  A  f  f  A

f  AdV   fA dS S

2. Primera Identidad de Green: A  gf ,   gf   g  f  g 2 f

g

2

V

f  g  f dV g S

f dS n

3. Segunda Identidad de Green:

g V

2

g   f f  f 2 g dV g f dS S  n n  



Teorema Stokes r r r r  A dL   A  dS L

S

Demostración: 

 r r r r r r r r  A  dL    A  dLi     A  S i     A  dS L

L

i1

i

r  dL o  dSr  o

Generalización:

L

Corolarios:

S

i1

S

r r L dL   S   dS r r r  A  dL    n$    AdS L

S

4. Función Delta de Dirac

5. Ecuaciones de Maxwell: forma diferencial r B   E  t r   D   r B  0 r r r  H  J  D t

E r D

 campo eléctrico  desplazamiento eléctrico

 densidad de carga

r B r H r J

 inducción magnética  campo magnético  densidad de corriente

Ecuaciones de Maxwell: forma integral r r r B CE dl S  t dS r r  dV D  dS S r r V B  dS  0 r  S r r r r D r    dS H  dl  J  dS C S S t

Relaciones constitutivas D  0 E  P r r r B  0 H  M





P  polarización r M  magnetización

Medios conductores

J  E   conductividad

Medios lineales

P   0 e E  D  E r r r r ,   susceptibilidades eléctrica y magnética M  m H  B  H

e m  , 

 permitividad eléctrica y permeabilidad magnética

Ecuaciones de Maxwell en estática Forma diferencial

 rE  0   Dr   B  0 r r HJ

Forma integral

E  dl  r r C

0

 D  dSr  r dV  B  dS  0 S

V

S

r r r r  H  dl   J  dS C

S

Anexo I: Integrales Distinguimos: -por el dominio espacial línea superficie volumen -según el integrando escalares vectoriales

Línea 1. Simple:  f  xdx L

2. Curvilínea (1er tipo):

 fdL L

3.



L



i

i

r r LA  dL

i1

N r r  A o dL  lim  APi  o Li L

N  i1

dL  tˆdL, L  tˆP L i

i

Uso: obtención de la carga total de una distribución lineal de carga

L

4. L 5. Circulación (Curvilínea 2o tipo):

AdL  lim  N AP L N 

AdL r  fdL

i

r r 6. A  dL L

Uso: trabajo realizado por una fuerza sobre una trayectoria L

Superficie 1. Doble: f (x, y)dxdy S



2. Superficie (1er tipo): S fdS 3. 4.

 AdSr

Uso: obtención de la carga

S

  fdS

total de una distribución superficial de carga

S

 AdS  lim  AP S

5. Flujo (Superficie 2o tipo): r r

N

N 

S

 S

r

i

i

 A  dS

i1

A o dS  lim

N  

A Pi o Si



N 

r

i1

dS  nˆ dS, Si  nˆ Pi S i

S

r r 6. A dS S

Volumen

N

 AdV  lim  AP V V

N 

i

i1

i

1.

 fdV

2.

 AdV

V

V

Uso: obtención de la carga total de una distribución volumétrica de carga

Anexo II: Derivadas Volumen

dS o A  dydzxˆ o Ax  dx, y, z   Ax, y, z    lim   S

V 0

V

dxdydz

 dxdzyˆ o Ax, y  dy, z   Ax, y, z    dxdydz  dxdyzˆ o Ax, y, z  dz   Ax, y, z dxdydz A A A  xˆo  yˆo  zˆo x y z       xˆ  yˆ  zˆ oA   x y z  



dS o A  lim  o A S

V 0

V



dS o  o  lim S V 0 V

f

1. Gradiente: 2. Divergencia:  A 3. Rotacional:  A







Superficie

 dL o A  dzzˆo Ax, y  dy, z   Ax, y, z lim L dydz S 0 S dyyˆo Ax, y, z  dz   Ax, y, z dydz  A A  zˆo  yˆo y z      zˆ  yˆ o A z   y

dL o A  lim  xˆ o A L

S 0

S



dL o  nˆ o  lim L

S 0

S

1. nˆ   f  nˆ f 2. n$    A  n$   A 3. nˆ    A  nˆ    A nˆ   A  nˆ   A







Línea

P  P ini , P fin ,

A  AP fin  AP ini 

1. Derivada Direccional de Función

P

Escalar: lim L0

AP L



Ax  dx, y, z   Ax, y, z  A  dx x

A  ˆ  

P lim L0 L

x

A



ˆ   t



P lim L0 L

tˆ  f

 tˆ  f

2. Derivada Direccional de Función Vectorial:

 













r 1 r r r ˆ ˆ ˆ ˆ t       t     t  t     A 2 Ar A r r A



 A    tˆ tˆ   A  A  tˆ

Anexo III: Aplicaciones de la Delta de Dirac Electrostática

Magnetostática