Tema 09 Transform Ada Z

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

La transformada Z Versió 2007/4 Professor: Xavi Giró i Nieto

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Objectius Al final d'aquest tema l'estudiant haurà de ser capaç de: - Calcular la Transformada Z i la Regió de Convergència de les seqüències bàsiques - Conèixer les Transformades Z de les deltes i les exponencials unilaterals (a dreta i a esquerra) - Relacionar la lateralitat d'una seqüència amb la Regió de Convergència de la seva Transformada Z - Calcular noves Transformades Z a partir de combinar propietats i transformades Z ja conegudes.

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Transformada Z (TZ) i Regió de Convergència (ROC) ← 2. Transformades Z bàsiques 3. Convergència i lateralitat 4. Propietats de la Transformada Z

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformada Z i ROC En el cas discret, la resposta dels sistemes lineals i invariants a una seqüència d'entrada es modela amb la convolució discreta.

y [ n ]=

∞

∑

x [ m] h [ n−m]=x [ n ]∗h [ n]

m =−∞

Anàlogament al cas continu, la definició de la Transformada Z permet caracteritzar millor i més fàcilment els SLIs.

x[n]

h[n]

y[n]

TZ

X(z)

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

H(z)

Y(z)

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformada Z i ROC La Transformada Z (TZ)

X z =

∞

∑

x [ n ] z −n ,

z ∈ℂ

n =−∞

La variable independent z és complexa i per tant es representa sobre un pla complex, anomenat pla z. Im{z}

Pla z

Re{z} |z|=1

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformada Z i ROC Regió de convergència L'expressió de TZ presenta un sumatori infinit que, per a algunes seqüències, es correspon amb una progressió geomètrica.

X z =

∞

∑

x [ n ] z −n ,

z ∈ℂ

n =−∞

La regió de convergència (o ROC, de Region Of Convergence) es defineix com el conjunt de valors de z pels quals es pot calcular la TZ.

z∈ ROC

⇒

∃ Xz

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformada Z i ROC Exemple: Càlcul la TZ i la ROC per les següents seqüències de longitud finita:

x 1 [ n ]= [ n][ n−1] TZ ROC

0

X 1  z =z z =1z −1

−1

z≠0

x 2 [ n]=[ n1][ n ] TZ ROC

X 2 z =z

−−1

−0

z =z1

z≠∞

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformada Z i ROC En aquest curs s'aplicarà una criteri suficient (però no necessari) per avaluar la convergència de la TZ.

Criteri de convergència ∞

∑

∣x [ n ] z−n∣=

n=−∞

∞

∑

∣x [ n]∣∣z∣−nM ∈ℝ ⇒ z ∈ROC

n=−∞

La notació polar de z permet interpretar la ROC com a regions definides a partir de circumferències. límit de compliment del criteri ∞

∑

∣x [ n ]∣∣z∣ =M ⇒ ∣z∣=ctt −n

n=−∞ X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

z=∣z∣e j  8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Transformada Z (TZ) i Regió de Convergència (ROC) 2. Transformades Z bàsiques ← 3. Convergència i lateralitat 4. Propietats de la Transformada Z

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformades Z bàsiques Exemple: Càlcul la TZ i la ROC de la seqüència a la dreta u[n].

X z =

TZ

∞

∑

n =−∞

∞

n=0

1

−1 n

u [n] z =∑  z  = −n

1−z −1

En el darrer pas, s'ha aplicat el resultat pel sumatori infinit de sèries de progressió geomètrica, en aquest cas, de a0=1 i r=z-1.

S=

ai 1−r

ROC −1

∣r∣=∣z ∣=

1

1 ⇒ ∣z∣1 ∣z∣

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformades Z bàsiques Exemple: Càlcul la TZ i la ROC de la seqüència a l'esquerra -u[-n-1]. TZ

∞

−1

∞

n

X z =− ∑ u[−n−1]z =− ∑ z =−∑ z =− −n

n=−∞

−n

n=−∞

n=1

En el penúltim pas, s'ha aplicat el resultat pel sumatori infinit de sèries de progressió geomètrica, en aquest cas, de a1=z i r=z.

z 1−z

S=

=

1 1−z

−1

ai 1−r

ROC

∣r∣=∣z∣1

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformades Z bàsiques Exercici: Calculeu la TZ i les ROCs de les següents seqüències exponencials reals unilaterals (a la dreta i a l'esquerra).

A la dreta x [ n ]=a n u [ n ] A l'esquerra x [ n ]=a n u [−n−1]

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformades Z bàsiques Exemple: Càlcul la TZ i la ROC per qualsevol seqüència de durada finita.

Seqüències de durada finita

{

x[n ]

0

X  z=

∑

n=−∞

altrament

}

n2

∞

TZ

n1≤ n≤ n 2

x [n ]z = ∑ x [ n] z −n

−n

n= n1

La TZ d'una seqüència finita és la suma d'un nombre finit de termes. ROC La ROC és tot el pla z, excepte, probablement, per z=0 i/o z=∞. X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformades Z bàsiques Exercici: Calculeu la TZ i la ROC d’un pols rectangular de durada L.

{

P L [ n]= 1 0

0≤n≤ L−1 altrament

}

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Transformada Z (TZ) i Regió de Convergència (ROC) 2. Transformades Z bàsiques 3. Convergència i lateralitat ← 4. Propietats de la Transformada Z

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convergència i lateralitat La ROC serà l'interior o exterior de la circumferència depenent de la lateralitat de la seqüència.

Seqüències a dreta

Exterior d'una circumferència

Seqüències a esquerra

Interior d'una circumferència

A continuació es demostren aquests resultats. X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convergència i lateralitat Seqüència a dreta a) Si x[n] és a dreta ... ...i z=r0 ∈ ROC, és a dir, que ∞

∑

n= N

−n

x[n]r 0

convergeix...

...llavors segur que quan z=r1, ( |r1|>|r0|| ) també convergirà ∞

∑

n= N

−n

x[n]r 1

... i més ràpid

Adaptat de MITOpenCourseWare: “Signals and Systems” de Gray et al. X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convergència i lateralitat Seqüència a dreta El criteri de convergència imposa que s'ha de complir la següent condició: ∞

∑

∣x [ n] z−n∣=

n =−∞

∞

⇒ z ∈ ROC

∑ ∣x [n ]∣∣z∣−n M ∈ℝ

n=−∞

El criteri s'aplica a l'expressió trobada per les seqüències a dreta, ∞

∑ ∣x [ n ]∣∣z∣

−n

n =N

∞

n 0

∞

≤ ∑ A1 r ∣z∣ = ∑ A1 n=N

Condició per poder calcular el sumatori infinit

−n

n =N

n

  r0

∣z∣

M

∣z∣r 0 ⇒ z∈ ROC

Conclusió: La ROC és l'exterior d'una circumferència per a les seqüències a dreta. X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convergència i lateralitat Seqüència a esquerra b) Si x[n] és a esquerra ... ...i z=r0 ∈ ROC, és a dir, que N

∑

n=−∞

−n

x[n]r0

convergeix...

...llavors segur que quan z=r1 ( |r1|>|r0|| ) també convergirà N

∑

n=−∞

−n 1

x[n] r

... i més ràpid

Adaptat de MITOpenCourseWare: “Signals and Systems” de Gray et al. X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convergència i lateralitat Seqüència a esquerra x [ n] a esquerra TZ

X  z=

x [ n ]= 0

⇔

N

∑

x[n ]z

∀ n≥ N

−n

n=−∞ ROC Es repeteix el mateix raonament fins a l'hora d'avaluar el criteri de convergència. N

∑

n =−∞

−n

∣x [ n]∣∣z∣ ≤

N

∑

n=−∞

n 0

A2 r ∣z∣ =

Condició per poder calcular el sumatori infinit

−n

N

∑

n=−∞

A2

  r0

∣z∣

n

M

∣z∣r 0 ⇒ z∈ ROC

Conclusió: La ROC és l'interior d'una circumferència per a les seqüències a esquerra. X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convergència i lateralitat Exemple: Les TZ de anu[n] i de -anu[-n-1] tenen la mateixa expressió però diferents ROCs. TZ

anu[n]

-anu[-n-1]

X z =

X z =

ROC 1

1−a z −1

1 1−a z −1

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convergència i lateralitat Exemple: Deltes desplaçades a dreta i a esquerra. seqüència a dreta TZ

x [ n ]= [ n−k ] , ∞

X z =

∑

k0

[n−k ] z =z −n

−k

n =−∞

ROC

seqüència a esquerra TZ

−k

∣z ∣M

⇒

∀ z≠0

x [ n ]= [ nk ] , X z =

∞

∑

k0

[nk ] z−n=z k

n =−∞

ROC

∣z k∣M

⇒

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

∀ z≠∞ 22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Transformada Z (TZ) i Regió de Convergència (ROC) 2. Transformades Z bàsiques 3. Convergència i lateralitat 4. Propietats de la Transformada Z ←

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TZ Linealitat  x [ n ]  y [ n ]

 TZ 

 X z  Y  z

ROC : R x ∩ R y

A l'hora de combinar dues TZ, cal recalcular la ROC. Exemple: Seqüències de durada infinita. x [ n ]=

∞

∑

k=−∞

∞

x [ k ] [ n−k ]=∑ x [ k ] [ n−k ] k=0

part a dreta xc[n]

TZ x [ n]= x c [ n ] x a [ n ] ROC



−1

∑

x [ k ] [ n−k ]

k=−∞

part a esquerra xa[n]

X  z = X c  z X a z 

Rc ∩R a

En aquest cas la ROC és un anell si rc < ra. X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TZ Linealitat Exemple: Seqüències de durada finita A partir de la TZ d'una delta retardada...

[ n−k ]



X z =

∞

∑

[ n−k ] z =z −n

−k

n =−∞

... es pot trobar la TZ de qualsevol seqüència de durada finita aplicant la propietat de linealitat. k2

x [n ]= ∑ Ak  [n−k ] k=k 1

k2

TZ 

X  z = ∑ Ak z

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

−k

k=k 1

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TZ Desplaçament en el temps

x [n−k ]

 TZ 

z −k X z 

Demo: TZ {x [ n−k ]}=

∞

x [ n−k ] z

∑

−n

n=−∞

Un canvi de variable permet desenvolupar l'expressió,

m =n− k  n= m k TZ {x [ n−k ]}=

∞

∑

− mk

x [m] z

m =−∞

TZ {x [ n−k ]}=z−k

∞

=

∑

x [m] z

−m

z

−k

m=−∞ ∞

∑

x [ m ] z−m=z −k X z 

m=−∞

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TZ Convolució x [ n]∗h [ n ]

TZ 

Demo

TZ [ x [ n]∗y [n] ]=

∞

[

∞

∑ ∑

n=−∞

X  z H  z

]

x [ k ] h [n−k ] z

k=−∞

ROC : R x ∩Rh

−n

S'inverteix l'ordre dels sumatoris TZ [ x [n ]∗y[ n] ]=

∞

[

∑ ∑

k=−∞

]

∞

∞

x [k ] h[ n−k ] z =

n=−∞

−n

[∑ ∞

x [k ]

∑

k =−∞

h [n−k ] z

−n

n =−∞

]

S'aplica la propietat de desplaçament temporal, TZ [ x [n ]∗y[ n] ]=

∞

∑

k=−∞



x[ k] H zz = −k

∞

∑

k=−∞

x[ k] z

−k



X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

H  z= X  z  H  z 

27

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TZ Exemple: Càlcul la TZ de x[n] a partir de TZ conegudes i les propietats de la TZ. x [ n ]=

n

 1 2

u [−n]=

n−1



1 1 2 2

[

1 1 u [−n]=− − 2 2

]

n

u [−n−1] ∗ [ n−1]

Es coneixen les següents TZ, n



−

1 2

u [−n−1]

 TZ 

[n−1]

 TZ 

1 1 −1 1− z 2

z

−1

,

,

ROC :∣z∣

1 2

ROC : z≠0

S'apliquen les propietats de convolució i de linealitat, 1 −1 − z 1 1 2 −1 X z =− ⋅ ⋅z = 2 1 1 1− z −1 1− z−1 2 2

,

ROC : 0∣z∣

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1 2

28

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TZ Exercici: Calculeu la TZ de x[n] a partir de TZ conegudes i les propietats de la TZ

x [ n ]=

     1 2

n



1 4

n

u[ n ]

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

29

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Transformada Z (TZ) i Regió de Convergència (ROC) 2. Transformades Z bàsiques 3. Convergència i causalitat 4. Propietats de la Transformada Z

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

30

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resum TZ de seqüències bàsiques x [ n ]= [n−k ] , k 0



X  z=z −k , ROC : z≠0

x [ n ]= [nk ] , k 0



X  z =z k , ROC : z∞



X  z =



X  z=

n

x [ n ]=a u [ n ] n

x [ n ]=−a u [−n−1]

1 1−a z 1

−1

1−a z

−1

, ROC :∣z∣a , ROC :∣z∣a

Propietats de la TZ  x [ n ]  y [ n ]



 X  z Y z 

x [ n−k ]



z

x [ n ]∗ y [ n]



X z  H z 

−k

ROC : R x ∩ R y

Xz ROC : R x ∩ R y

X.Giró,“9. La transformada Z” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

31