Tema 08 Sistemes Discrets

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes discrets Versió 2007/2 Professor: Xavi Giró i Nieto

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Objectius Al final d'aquest tema l'estudiant haurà de ser capaç de: - Estudiar les propietats bàsiques dels sistemes discrets. - Trobar la resposta impulsional d'un sistema lineal i invariant. - Calcular la convolució de dues seqüències emprant un mètode gràfic o el sumatori d'una progressió geomètrica. - Combinar la resposta impulsional global interconnexió de sistemes lineals i invariants.

d'una

- Relacionar la implementació d'un sistema en Equacions de Diferències Finites (EDF) i la seva resposta impusional.

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció ← 2. Propietats dels sistemes 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) 4. Convolució discreta 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] 6. Interconnexió de sistema 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Introducció Sistema discret Anàlogament al cas continu, un sistema discret es caracteritza per la transformació que realitza sobre un senyal discret x[n] per generar un senyal discret y[n].

y [ n ]=S [ x [ n] ]

Senyal discret

Sistema discret

Senyal discret

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats dels sistemes ← 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) 4. Convolució discreta 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] 6. Interconnexió de sistema 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Les propietats presentades pels sistemes continus són també vàlides pels sistemes discrets.

Linealitat

[

]

[

]

[

S  x 1 [ n ] x 2 [ n ] = S x 1 [ n ]  S x 2 [ n]

]

Exemple: S [x [n] ]=x 2 [ n]

[

no és lineal 2

] 



2

2

2

2

S  x 1 [ n ] x 2 [ n ] =  x 1 [ n ] x 2 [ n] = x 1 [ n ] x 2 [ n ]2   x1 [ n] x 2 [ n]

[

]

[

]

2

2

 S x 1 [ n]  S x 2 [n ] = x 1 [n ] x 2 [n]

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Exercici: Estudieu la linealitat del següent sistema, S [ x [ n] ]=k 1 x [ n]k 2

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Invariància S [ x [ n− M ] ]=y [ n−M ] , ∀ M ∈ ℤ

Exemple: y [ n ]=S [ x [ n] ]=n x [ n ]

x[n]

n

S [ x [ n] ]=n x [ n]=y [ n ]

no és invariant

n  n-M

y [ n−M ]=n−M  x [ n− M ]

No són iguals

x [n ]

n  n-M

x [ n−m ]

n

S [ x [ n− M ] ]=n x [ n−M ]

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Causalitat y [ n ]= f  x [ n ' ]  ,

n ' n , ∀ n

Exemple: S [ x [ n]]=x [ n−1]

és causal perquè n ' =n−1n , ∀ n

Exemple: S [ x [ n]]=x [ n1]

no és causal perquè n ' =n1n

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Estabilitat ∣x [ n]∣M ∞ ⇒ ∣y [ n ]∣M ' ∞ ,

∀n

Exemple: El sistema acumulador no és estable. S [ x [n] ]=y [n ]=

n

∑

x [k ]

k =−∞

Prenem un contraexemple, Entrada acotada Sortida no acotada

x [ n ]=u[ n ]≤1

y [ n ]=

n

∑

k=−∞

∀n

u[ k ]=

{

0 n0 n1 n≥0

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

} 10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats dels sistemes 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) ← 4. Convolució discreta 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] 6. Interconnexió de sistemes 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals i Invariants (SLI) Donat un SLI... y [ n ]=S [ x [ n] ]

... i un senyal qualsevol... ∞

x [n ]=

x [m][ n−m]

∑

m=−∞

Combinem les dues expressions

y [n ]=S

[

∞

∑

x [m][n−m]

m=−∞

]

Apliquem el principi de superposició

y [n ]=

∞

∑ S [ x [m][n−m]]

m =−∞

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals i Invariants (SLI) Com que el SLI actua en el domini de n, el terme x[m] es pot extreure's de la seva influència considerant-lo una constant. ∞

y [n ]=

∑

x [ m]S [ [n−m] ]

m =−∞

Definim la resposta impulsional d'un SLI com la seva resposta a l'impuls unitari

Resposta impulsional

h [ n ]=S [  [ n ] ]

Com que es tracta d'un sistema invariant, es compleix que

h [ n−m ]=S [ [ n−m ] ]

y [n ]=

∞

∑

x [m] h[ n−m]

m=−∞

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals i Invariants (SLI) Exemples de respostes impulsionals:.

Amplificador o atenuador y [ n ]= x [ n ]  h [ n ]= [ n]

Retardador y [ n ]= x [ n−m ]  h[ n]= [ n−m ]

Acumulador y [n ]=

n

∑

k=−∞

n

x [k ]  h [n]= ∑ [k ]=u [n] k=−∞

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals i Invariants (SLI) Exercici: Demostreu que la resposta impulsional del sistema promitjador de L mostres és un pols rectangular de durada L.

y [ n ]=

1

n

∑

L k=n− L−1

x[k]

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats dels sistemes 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) 4. Convolució discreta ← 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] 6. Interconnexió de sistema 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta En el cas discret, enlloc de calcular la sortida a partir d'una integral, es realitzar a partir d'un sumatori. ∞

Convolució y [ n ]= ∑ x [ m ] h[ n−m ]=x [ n ]∗h [ n ] discreta m=−∞ El càlcul gràfic de la convolució es pot fer seguint les mateixes pautes que pel cas continu.

Mètode gràfic pel càlcul de la convolució 1. Dibuixar x[m]. 2. Dibuixar h[m]. 3. Dibuixar h[n+m] (sense l'eix m=0). 4. Dibuixar h[n-m] . 5. Calcular el sumatori dels productes resultants quan s'alinia x[m] amb h[n-m] per a diversos valors de n. Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Alternativament, es poden fer els càlculs amb una taula.

m -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x[m] 2 4 6 8 n 0 1 2 3 4 5

3

y[n] h[n-m] 1 5 10 3 1 5 22 3 1 5 40 3 1 5 58 3 1 5 26 3 1 5 24

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Longitud del senyal de sortida

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Exercici: Calculeu la convolució gràfica de x[n] amb h[n]:

x [ n ]={...,0 ,0 ,1 ,2 , 1 ,1 ,0,0 , ...}

h [ n ]={... ,0 ,0 , 1 ,−1,0 ,0 ,1,1 ,0 ,0 , ...}

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Exercici: Calculeu la convolució x[n] amb h[n]:

x [ n ]=an u [n ] , a∈ℝ

h [ n ]=bn u [ n ] , b ∈ℝ

(Per resoldre aquest exercici, ajudeu-vos de les expressions pel sumatori de progressions geomètriques de les següents pàgines) Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa 24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Progressions geomètriques Una progressió geomètrica és una seqüència on cadascun dels seus membres és el resultat de multiplicar el valor anterior per una raó (r). r

r

r

r

r-1

r-1

r

r

r

r

{... , a−4 , a−3 ,a−2 ,a−1 ,a 0 ,a 1, a2, a3, a 4, , ...} r-1

r-1

r-1

r-1

r-1

r-1

Exemple: Progressió geomètrica de raó 2. 1 1 1 1 {... , , , , , 1 ,2 ,4 ,8 ,16 , , ...} 16 8 4 2 Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Progressions geomètriques En general, dos termes ai i aj de la progressió estan relacionats segons la següent expressió:

a j =a i r

j−i

Exemple: En la progressió geomètrica de raó 2 de l'exemple anterior: {... ,

a 1=a 0⋅r

1−0

a 4=a 0⋅r

4−0

1 1 1 1 , , , , 1 ,2 ,4 ,8 ,16 , , ...} 16 8 4 2

=1⋅2=2 4

=1⋅2 =16

a 3= a1⋅r

3−1

a−4 =a0⋅r

2

= 2⋅2 =8

0 −4

1 =1⋅r = 4 = 16 r

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

−4

1

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Suma dels termes entre ai i aj d'una progessió geomètrica de raó r

a j =a i r

j−i 2

S =a iai rai r ai r

j −i

S =a i 1r r 2r j−i  2

3

S⋅r= ai r r r  r S −S⋅r= ai −a i r S =a i

j−i1

= ai 1−r

1−r j−i1 1−r

j−i1

=

 j −i 1

= S 1−r 

ai −a j r 1−r

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

27

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució discreta Suma d'infinits termes a partir de ai d'una progessió geomètrica de raó r A partir del resultat anterior... S =a i

1−r j−i1 1−r

=

ai −a j r 1−r

...es fa tendir j a infinit i es considera |r|<1. S =lim j ∞

ai

1−r j−i 1 1−r

=

ai 1−r

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

28

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats dels sistemes 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) 4. Convolució discreta 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] ← 6. Interconnexió de sistema 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

29

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats del SLI a partir de h[n] La causalitat i l'estabilitat dels SLIs es poden estudiar a partir de la h[n].

Causalitat

h [ n ]=0

per n≤−1

∞

Estabilitat

∑ ∣h[ m ]∣∞

m =−∞

Exemple: L'acumulador SÍ és causal perquè

h [ n ]=u [ n ] u [ n]=0 per n≤−1 ∞

NO és estable perquè

∑ ∣u [m]∣∞ no està acotat.

m =−∞

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

30

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats del SLI a partir de h[n] Demo: Causalitat Dividim el sumatori de la convolució en dos intervals,

y [n ]=

n

∑

x [ m] h [n−m]

m =−∞

∞

∑

x [ m ]h [ n−m]

m =n1

La condició de causalitat és equivalent a dir que y[n] tan sols depèn de valors passats i presents de x([n] . Sols podem garantir la causalitat si el segon sumatori ha de ser 0 per a qualsevol entrada. El terme del segon sumatori que depèn del sistema és h[n-m], per tant cal forçar que aquest sigui zero.

h [ n−m ]=0

n1≤m≤∞

És equivalent a forçar,

h [ n ]=0

n≤−1

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

31

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats del SLI a partir de h[n] Demo: Estabilitat Si l'entrada està acotada per un valor màxim M, ∞

∣y [n ]∣=∣ ∑ x [m−n ]h [m]∣≤ m=−∞

∞

∑

∣x [ m−n]∣∣h[ m]∣

m =−∞

entrada acotada ∣x [ m−n]∣M ∞

∞

m =−∞

m =−∞

∑ ∣x [ m−n]∣∣h [m]∣M ∑ ∣h [m]∣

Perquè la sortida estigui acotada, el sumatori del mòdul de la resposta impulsional també ha d'estar-ho condició final

∞

∑ ∣h[m ]∣∞

m =−∞

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

32

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats dels sistemes 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) 4. Convolució discreta 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] 6. Interconnexió de sistemes ← 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

33

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes Les propietats de la convolució discreta són les mateixes que en el cas continu. Commutativa x [ n ]∗h [ n]=h [ n ]∗x [ n]

Distributiva





x [ n ]∗ h1 [ n ]h 2 [ n] = x [ n]∗h1 [ n ]x [ n]∗h 2 [ n ]

Associativa



 



x [ n ]∗ h1 [ n ]∗h 2 [ n] = x [ n]∗h 1 [ n] ∗h 2 [ n ]

Element neutre x [ n ]∗[ n ]=x [ n] x [ n ]∗[ n−M ]= x [ n−M ] Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

34

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes Les propietats de la convolució discreta permeten modelar matemàticament diferents interconnexions de sistemes.

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

35

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats dels sistemes 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) 4. Convolució discreta 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] 6. Interconnexió de sistemes 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF) ←

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

36

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes EDF Un Sistema en Equacions de Diferències Finites (EDF) es defineix amb una expressió de la forma, N

M

k=0

k=0

∑ b k y [n−k ]=∑ ak x [n−k ] Aïllant y[n] s'obté, M

ak

k= 0

b0

y [ n ]=∑

N

bk

k=1

b0

x [ n−k ]−∑

Part no recursiva (Finite Impulse Response, FIR)

y[ n−k ]

Part recursiva (Infinite Impulse Response, IIR)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

37

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes EDF Els Sistemes EDF són fàcilment implementables, M

ak

k= 0

b0

y [ n ]=∑

N

bk

k=1

b0

x [ n−k ]−∑

y[ n−k ]

retardador

multiplicador

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

38

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes EDF Exercici: Trobeu l’expressió EDF d’aquest sistema.

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

39

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes EDF Exercici: Dibuixeu el sistema invers del sistema presentat a la pàgina anterior. Utilitzeu la propietat que la connexió en sèrie de dos sistemes invers té com a resposta impulsional total una delta.

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

40

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats dels sistemes 3. Sistemes Lineals i Invariants (SLI) 4. Convolució discreta 5. Propietats dels SLIs a partir de h[n] 6. Interconnexió de sistemes 7. Sistemes en Equacions de Diferències Finites (EDF)

Xavi Giró,“8. Sistemes discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

41