Tema 07 Senyals Discrets

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets Versió 2007/2 Professor: Xavi Giró i Nieto

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Objectius En finalitzar aquest tema, l'estudiant haurà de ser capaç de: - Expressar i interpretar correctament un senyal discret. - Reconèixer la durada d’un senyal discret. - Calcular la versió delmada d’un senyal discret. - Interpretar i generar criteris d’interpolació de senyals discrets. - Expressar i dibuixar els senyals discrets bàsics. - Relacionar la forma d’un senyal exponencial a partir de la posició de z en el pla complexe. - Estudiar la periodicitat d’un senyal sinusoïdal discret.

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definicions ← 2. Transformacions de la variable independent 3. Senyals discrets bàsics

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definicions Seqüència Una seqüència x[n] és un conjunt de nombres ordenats segons l'índex n. Seqüència x

x={ x [ n] }

−∞n∞ , n ∈ℤ

El mostreig d'un senyal continu genera una seqüència o senyal discret (en el temps).

Senyal continu

Senyal discret o seqüència

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definicions Durada La durada d'una seqüència és el nombre de mostres contingudes en un interval que conté totes les mostres de la seqüència diferents de 0 (dins l'interval pot haver-hi mostres de valor zero). Exemple:

x [ n ]={0, 0, 1,1, 0 , 2, 0, 4, 0, 0, 0 } x[n]

0

n

durada = 6 (interval de n= -2 fins n= 3) Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definicions Durada La durada de les seqüències pot ser finita o infinita. Exemples:

Seqüència finita x [ n ]={0, 0, 1,1, 0 , 2, 0, 4, 0, 0, 0 } durada = 6

Seqüència infinita x [ n ]= n={−4,−3,−2,−1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5, 6} Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definicions 2. Transformacions de la variable independent ← 3. Senyals discrets bàsics

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. En el cas dels senyals discrets, la variable independent és l'índex de la seqüència. Normalment, prendrem n entera per representar la v.i. El resultat de la transformació també ha de ser un enter. Desplaçament →

y [ n ]=x [ n−B ] ,

Delmat

→

y [ n ]=x [ An ] ,

A∈ℕ

Interpolació

→

y [ An ]= x [ n ] ,

A∈ℕ ; i ?

Reflexió

→

y [ n ]=x [−n ] ,

A∈ℕ

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

B∈ ℤ

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Desplaçament

y [ n ]=x [ n−B ] ,

B∈ ℤ

z-B 0

n

B

n

Si la variable n augmenta d'esquerra a dreta, el canvi suposa: B > 0 ➔ el senyal es desplaça cap a la dreta (retard) B < 0 ➔ el senyal es desplaça cap a l'esquerra (avançament) Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Delmat

y [ n ]=x [ An ] ,

A∈ ℕ

La seqüència resultant conserva una de cada A mostres a l'entrada. Aquesta operació s'anomena delmat. Exemple: y[n]=x[2n]

x[n]

↓A -2 -1 0

1

3

n

-1 0 1

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

n

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Exercici: Dibuixeu les següents seqüències:

a) y[n]=x[2n-1] b) y[n]=x[2n+1]

x[n]

-2 -1 0

1

3

n

x [ n ]={0, 0, 1,1, 0 , 2, 0, 4, 0, 0, 0 }

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Interpolació y [ A n]= x [n ], A∈ℕ La seqüència resultant necessita nous valors intermitjos que cal determinar segons algun criteri. Aquesta operació s'anomena interpolació. Exemple: y[2n] = x[n] + interpolació lineal y[n]

x[n]

↑A -2 -1 0

1

3

n

-3 -2 -1 0

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1 2 3 4

n

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Reflexió y [n]= x [−n] La seqüència gira amb l'eix a n=0. Idèntic al cas continu. Exemple: y[n]

x[n]

n → -n -2 -1 0

1

3

n

-3 -2 -1 0

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1 2 3

n

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Analogia amb el cas continu

' y [ n]=x [ An] ' ,

0

1

3

n

A∈ℝ

0 1/A

3/A

n

| A | > 1 ➔ el senyal tindrà menys mostres (delmat) “| A | < 1” ➔ el senyal tindrà més mostres (interpolació) A < 0 ➔ reflexió del senyal respecte l'eix n=0 Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Exemple:

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Exemple:

cal establir un criteri Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Exercici: Dibuixeu y[n] si la seqüència x[n] s’interpola segons l’expressió donada de y[n].

y [2n−1]= x [ n ] x [ n ] x [ n 1] y [2n ]= 2

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Exercici: Inventeu-vos un altre criteri d’interpolació per 2 de la seqüència x[n]. Expresseu-lo analíticament i dibuixeu-ne la seqüència resultant y[n].

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Com en el cas continu, l'ordre de les operacions pot alterar el resultat. x [ n]

z-B

x [ n−B]

↓A

x [ An−B]

x [ n]

↓A

x [ An]

z-B

x [ An−B]

Exemple 1

Exemple 2

1.Desplaçament de B y 1 [ n ]= x [ n−B]

1. Delmat per A y 1 [ n ]= x [ An]

2. Delmat per A y 2 [ n]=y 1 [ An ]= x [ An−B]

2.Desplaçament de B y 2 [ n]=y 1 [ n−B ]= x [ A n−B]

Expressions diferents Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definicions 2. Transformacions de la variable independent 3. Senyals discrets bàsics ←

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Graó

u [ n]=

{

1

n≥0

0

n≤−1

}

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Delta de Kronecker o impuls unitari

{

[ n ]= 1 0

n=0 n≠0

}

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Delta de Kronecker o impuls unitari Qualsevol seqüència es pot representar com una combinació lineal de deltes desplaçades.

x [n ]=

∞

∑

x [m][n−m]

m=−∞

x [ n ]= x [−1]  [ n1] x [ 0] [ n ] x [1 ] [ n−1] x [ 2] [ n−2 ]

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Delta de Kronecker o impuls unitari Propietats:

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Signe

{

1 signe[ n ]= 0 −1

n0 n=0 n0

}

signe [ n ]= u[ n ]−u [− n]

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Pols rectangular

{

P M [ n]= 1 0

0≤ n≤ M −1 altrament

}

durada

-3 -2 -1 0

1 2 ... M-1

n

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Sinusoidals x [ n]= A cos  n  freqüència angular

Casos particulars: =0, =0

= , =0





x [ n ]= A

x [n]= A−1

n

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

27

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Sinusoidals Els valors de x[n] poden calcular-se còmodament a partir de les projeccions sobre l'eix horitzontal (cosinus) o vertical (sinus) d'un punt que gira un angle  per a cada nova mostra al voltant d’una circumferència de radi 1. /2

x [ n]= cos  n 



x [ n]= sin  n

0

3/2 Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

28

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Sinusoidals Les freqüències angulars discretes prenen valors entre [-, ], o [0, 2] perquè són periòdiques cada 2.

{

x 1 [ n ]= cos n x 2 [ n]=cos  2  n

}

x 1 [ n]= x 2 [ n ]

−≤ ≤  0≤≤2 

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

29

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial real unilateral n

x [ n ]=a u [ n ] ,

a∈ℝ

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

30

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa n

x [ n]=z ; n

x [ n]=∣z∣ e

z ∈ℂ

z=∣z∣e

j

j  n

n

x [ n]=∣z∣  cos n  j sin n exponencial real

sinusoides

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

31

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa unilateral La representació de z en el pla complexe facilita recordar les propietats de les seqüències exponencials. Gràfiques de Re{ zn u[n] }

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

32

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa unilateral La representació de z en el pla complexe facilita recordar les propietats de les seqüències exponencials. Gràfiques de Re{ zn u[n] }

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

33

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa unilateral La representació de z en el pla complexe facilita recordar les propietats de les seqüències exponencials. Gràfiques de Re{ zn u[n] }

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

34

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa Exercici: Dibuixeu la seqüència x[n] per als diferents valors de i donats. n

x [ n ]=Real  z   i={

per z=e

j

  3 , ,, } 4 2 2

−5≤n≤5

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

35

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa d'amplitud unitària

x [ n ]=e

jn

=cos  n j sin  n

L'exponencial complexa discreta d'amplitud unitària conté senyals sinusoïdals en les seves parts real i imaginària. Els resultats extrets per ella, es poden extrapolar als senyals sinusoïdals discrets. Presenta dues grans diferències respecte la seva versió contínua: 1. No és periòdica per a tots els valors de . 2. Valors majors de  no impliquen necessàriament oscil·lacions més ràpides. Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

36

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa d'amplitud unitària Demo (1) Una seqüència és periòdica si existeix algun valor enter del període N pel qual es compleixi el següent: x [ n ]= x [ n N ]

∀ n , N ∈ℤ

Suposem que existeix un N que fa l'exponencial complexa periòdica i busquem quina condició s'ha de complir, e j  n= e j   nN = e j  n e j  N ⇔  N= 2  k , k ∈ℤ ⇔ N =

2k 

O de forma equivalent,  2

=

k N

∈ ℚ

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

37

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa d'amplitud unitària Exemple (2) Valors més grans de  no impliquen que el senyal oscil·li més ràpidament.

x [ n]=ℜ {e j  n}=cos  n   0=

 2

 1=

 6

0 0 1

2  k ,

k 0, k ∈ℕ

1

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

38

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals discrets bàsics Exponencial complexa d'amplitud unitària Exercici: Estudieu si les següents seqüències són periòdiques. En cas de ser-ho, especifiqueu-ne el període.

 

a) x [ n ]=sin 2  n 30



b) x [ n ]=sin 2  16 n

c)



30

x [ n ]=sin 2   2 n





Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

39

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Resum Exercici: Responeu al qüestionari d'autoavaluació disponible al Moodle

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

40

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definicions 2. Transformacions de la variable independent 3. Senyals discrets bàsics

Xavi Giró,“7. Senyals discrets” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

41