Tema 05 Analsisi De Fourier De Sistemes Continus

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus Versió 2007/1 Xavier Giró [email protected]

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció ← 2. Funció de transferència 3. Filtres 4. Interconnexió de sistemes 5. Exemple: Modulador DSB

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Introducció Hem vist que els senyals poden estudiar-se des d'un punt de vista freqüencial Quin interès té estudiar el comportament freqüencial dels sistemes ?

+

SISTEMA

?

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Introducció La TF permet calcular molt fàcilment la integral de convolució com un producte en freqüència. Els SLIs responen a un senyal d'entrada x(t) convolucionant-lo amb h(t) (operació computacionalment complexa).

SENYAL D'ENTRADA x(t)

SLI h(t)

SENYAL DE SORTIDA y t = x t ∗h t 

∞

y t= ∫ x  h t−d 

Y  f = X  f  H  f 

−∞

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Funció de transferència ← 3. Filtres 4. Interconnexió de sistemes 5. Exemple: Modulador DSB

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència En el domini temporal caracteritzem els sistemes per la seva resposta impulsional. En el domini freqüencial caracteritzem els sistemes amb la TF{ h(t) }, anomenada funció de transferència. SENYAL D'ENTRADA

SLI

SENYAL DE SORTIDA

Resposta impulsional x t 

h t 

y t = x t ∗h t 

Funció de transferència Xf

H f 

Y  f = X  f  H  f 

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència Funció de transferència Xf

Y  f = X  f  H  f 

H f 

Existeixen dos camins pel càlcul de la funció de transferència: 1. Si es coneix la resposta impulsional ∞

− j2  ft

H  f =TF {h t }=∫−∞ h t e

dt

2. Si es coneix la TF dels senyals d'entrada i sortida H  f =

Yf X f 

El segon cas no té equivalent en el domini temporal perquè la integral de convolució no té operació inversa. X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència Mòdul i fase Directament a partir de H(f) H  f =ℜ H  f  j ℑH  f 

Fase

Mòdul



2 H

2 H

∣H  f ∣= ℜ  f  ℑ  f 

 H  f =arctg



ℑH  f  ℜH  f 



Si es coneix l'entrada i la sortida Yf

Y  f 

∣Y  f ∣e H  f = =  X  f  ∣X  f ∣e

X

f

H  f 

=∣H  f ∣e

Mòdul

Fase

∣Y  f ∣ ∣H  f ∣= ∣X  f ∣

 H  f = Y  f − X  f 

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència Mòdul i fase Recordatori: arctg H  f =ℜ H  f  j ℑH  f 

Fase  H  f =arctg



ℑH  f  ℜH  f 



X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Funció de transferència Escala logarítmica Sovint el mòdul es representa en escala logarítmica.

20 log∣H  f ∣=∣H  f ∣dB L'escala logarítmica és interessant en casos en que tenim un marge dinàmic molt gran ja que obtenim valors més fàcils de tractar i dibuixar. 10000=105=100 dB

0 ' 00001=10−5=−100 dB

En acústica s'utilitza escala logarítmica perquè l'oida respon logarítmicament als sons.

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Funció de transferència 3. Filtres ← 4. Interconnexió de sistemes 5. Exemple: Modulador DSB

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Filtres Els filtres són sistemes dissenyats per seleccionar un cert marge de freqüències del senyal d'entrada. Xf

Mòdul Fase

Y  f = X  f  H  f 

H f  ∣Y  f ∣=∣X  f ∣∣H  f ∣ Y  f = X  f  H  f 

|X(f)| |H(f)|

2 tons

-f2

-fc

-f1

f1

filtre ideal

fc

f2

f freqüència de tall

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Filtres Els filtres s'acostumen a classificar segons el marge de freqüències que deixen passar: Banda de pas

Pas baix -fc

Pas alt

f

fc

Banda atenuada

-fc

f

fc

Banda de pas

Pas banda fc1

fc2

f

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Filtres Els filtres ideals tenen la forma d'un pols rectangular com a funció de transferència. |H(f)|

-f2

-fc

-f1

f1

Filtre ideal

fc

f

f2

freqüència de tall

La resposta impulsional d'un filte ideal és un senyal sinc , que té una durada infinita. −1

  f   F  sinc −t =sinc t En conseqüència, no es pot implementar a la pràctica un filtre ideal. X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Filtres Normalment es pren com a freqüència de tall aquella en la qual |H(f)| ha caigut 3 dB respecte el seu valor màxim. En escala lineal, es correspon a una caiguda d’amplitud de  2/2 20 log A

 2 = 20 log A 20 log  2 = A dB−3dB 2

2

|H(f)| A

2 A 2

-fc

fc

f freqüència de tall (“c” prové de “cut”)

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Funció de transferència 3. Filtres 4. Interconnexió de sistemes ← 5. Exemple: Modulador DSB

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes En sèrie

v t = x t ∗h 1 t  y t = v t ∗h2 t = x t ∗h 1 t ∗h 2 t  h t = h1 t ∗h 2 t 

V  f = X  f  H 1  f  Y  f =V  f  H 2  f = X  f  H 1  f  H 2  f  H  f = H 1  f  H 2  f 

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes En paral·lel

v t =x t ∗h 1 t  z t =x t ∗h 2 t  y t =v t z t = x t ∗h 1 t h 2 t  h t =h1 t h 2 t  V  f =X  f  H 1  f  Z  f = X  f  H 2  f  Y  f =V  f Z  f =X  f  H 1  f H 2  f  H  f =H 1  f H 2  f  X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes Retroalimentats

y t = v t ∗h1 t  v t = x t  z  t  z t = y t ∗h 2 t  h t =?

En el domini temporal no podem trobar h(t) perquè ens manca la operació inversa a la integral de convolució. X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes Retroalimentats

Z  f =Y  f  H 2  f  V  f =X  f Z  f =X  f Y  f  H 2  f  Y  f =V  f  H 1  f = X  f Y  f  H 2  f  H 1  f  Y  f =

H1 f  1−H 1  f  H 2  f 

H  f =

Xf

H1 f  1−H 1  f  H 2  f 

Fourier ens permet treballar analíticament amb sistemes retroalimentats perquè el producte té la divisió com a operació inversa. X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes Exercici: Calculeu la resposta impulsional i la funció de transferència del següent sistema. Considereu 0 < T1 < T2.

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Funció de transferència 3. Filtres 4. Interconnexió de sistemes 5. Exemple: Modulador DSB ←

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Exemple: Modulador DSB Els moduladors de doble banda lateral (DSB-Double Side Band) fan que l'amplitud d'un senyal sinusoidal varii com el senyal d'entrada. Modulador DSB x(t)

x

y t = x t  cos 2  f 0 t 

cos 2  f 0 t 

El modulador DSB és un SLI perquè la multiplicació és una operació linial que no varia en el temps. X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Exemple: Modulador DSB En el domini freqüencial, la modulació DSB es pot interpretar molt facilment a partir de la propietat de la convolució. y t = x t  cos 2  f 0 t 

x t  y t   X  f ∗Y  f   f − f 0  f  f 0  cos 2  f 0 t   2

j

Y  f = X  f ∗

− j

e  f − f 0 e

  f  f 0

2

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Exemple: Modulador DSB El fet de multiplicar pel cosinus provoca la conversió en dues rèpliques de X(f) desplaçades en freqüència a f0 i -f0. Y  f =

e

j

− j

X  f − f 0 e

X  f  f 0

2

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Exemple: Modulador DSB La modulació (d'amplitud, freqüència i/o fase) permet que un mateix medi físic transporti diferents senyals simultàniament.

Un medi físic molt car és l'espectre radioelèctric. Les adminstracions públiques fan concurs per assignar diferents bandes de freqüències a les empreses que hi operen.

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Funció de transferència 3. Filtres 4. Interconnexió de sistemes 5. Exemple: Modulador DSB

X avi Giró,“5. Anàlisi de Fourier de Sistemes Continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

27