Tema 04 Analisis De Fourier De Senyals Continus

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Anàlisi de Fourier de Senyals Continus Versió 2007/3 Xavier Giró [email protected]

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Objectius Al final d'aquest tema, l'estudiant haurà de ser capaç de: - Recordar les expressions pel càlcul de la Transformada de Fourier (TF) i la seva inversa. - Utilitzar les propietats bàsiques de la TF per a resoldre càlculs complexes. - Calcular i recordar les TF dels senyals bàsics. - Calcular la TF de senyals, sempre que el càlcul no presenti una alta dificultat matemàtica. - Calcular el Desenvolupament en Sèrie de Fourier (DSF) de senyals senzills. - Relacionar la TF d'un senyal periòdic amb el seu DSF. -Interpretar l'efecte d'un fenestrament sobre la TF d'un senyal.

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció ← 2. Propietats de la Transformada de Fourier 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier 5. Transformada de Fourier del DSF 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics 7. Fenestrament

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Introducció Jean Baptiste Joseph Fourier Auxerre (21/03/1768) - Paris (16/05/1830) Novè dels dotze fills del segon matrimoni d'un sastre d'Auxerre. Començà a destacar en les matemàtiques als 13 anys. Dilema intern entre dedicar la seva vida a l'església o a les matemàtiques. Vinculat amb el Comitè Revolucionari local durant la Revolució Francesa (1789). Feu carrera acadèmica matemàtica a París amb Lagrange i Laplace com a mestres. Lluità a l'exèrcit de Napoleó a Egipte com a conseller científic.

+info: http://ca.wikipedia.org/wiki/Jean_Baptiste_Joseph_Fourier

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Introducció L'anàlisi de Fourier de senyals i sistemes ens ofereix un punt de vista freqüencial enlloc de temporal. Anàlisi temporal: Evolució del senyal en funció del temps. Anàlisi freqüencial: Patró de periodicitat del senyal.

Exemple: Servei d'autobusos Anàlisi temporal: Passa a les 8.00, 8.10, 8.20, 8.30, 8.40, 8.50, 9.00, 9.10, 9.20, 9.30, 9.40, 9.50 i 10.00 Anàlisi freqüencial: De 8 a 10, passa cada 10 minuts. Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Introducció La Transformada de Fourier (TF) ∞

X  f =TF {x t}= ∫ x t e

− j2 ft

dt

−∞

La Transformada Inversa de Fourier (TIF) ∞

x t =TIF {X  f }=∫ X  f e j2  ft df −∞

Són transformades biunívoques, és a dir, no hi ha dos senyals amb la mateixa transformada, ni a l'inrevés.

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats de la Transformada de Fourier ← 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier 5. Transformada de Fourier del DSF 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics 7. Fenestrament

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Linealitat

 x 1 t  x 2 t    X 1  f  X 2  f  Demo

∞

∫  x 1 t  x 2 t  e

− j2 ft

dt

−∞ ∞

∫  x 1 t e− j2  ft x 2 t  e− j2 ft  dt −∞ ∞

∞

∫  x 1 t  e− j2 ft dt ∫  x 2 t e− j2  ft dt −∞

−∞ ∞

∞

 ∫ x 1 t  e− j2 ft dt ∫ x 2 t e− j2  ft dt −∞

−∞

 X 1  f  X 2  f  Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Desplaçament temporal − j2 f B

x t −B  X  f  e Demo ∞

{

TF {x t −B}=∫ x t −Be− j2 f t dt = u=t−B  t =uB du=dt  dt =du −∞ ∞

}

∞

TF {x t −B}=∫ x u e− j2 f  uB  du=∫ x u e− j2 f u e− j2  f B du −∞



TF {x t −B}=

∞

∫ x u e− j2  f u du −∞

−∞



− j2  f B

e

− j2 f B

=X  f  e

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Desplaçament temporal Exercici: Demostreu que un desplaçament no modifica el mòdul de la transformada de Fourier d’un senyal. Sense desplaçament Amb desplaçament

x  t  X  f   ∣X  f ∣ − j2  f B

x  t−B  X  f  e

 ?

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Escalat temporal

x  At   Demo ∞

TF {x  At }= ∫ x  At  e− j2 f t dt = −∞

A>0 TF {x  At }= A<0 TF {x  At }=

1

∞

− j2 f

∫ x u e

u A

A −∞ 1 A

−∞

∫ ∞

− j2 f

x u e

du

u A

du

{

}

1 ∣A∣

X

 f

A

u=At  t =

u

A 1 du= A dt  dt = du A

TF {x  At }=

1

∞

} − j2 

∫ x u e

∣A∣ −∞

f A

u

du=

1 ∣A∣

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

X

 f

A

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Escalat + desplaçament temporals Cal tenir presents conceptes bàsics de transformació de la variable independent per aplicar aquestes dues propietats. x t  t ➔At

1

Xf

∣A∣

X

t ➔t-B

f

e− j2  f B

A

∣A∣



t➔At

t ➔t-B − j2 f B

e

X f 

X

 f

A

x  At−B

x t −B

x t 

Xf

x  At −B

x  At 

− j2 

e

f A

∣A∣

B

X



Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

f

A

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Desplaçament freqüencial

x t e

j2  f 0 t

 X  f − f 0

Demo TF {x t e

j2 f 0 t

∞

}=∫ x t e −∞

TF {x t e

j2 f 0 t

∞

j2 f 0 t

∞

− j2  f − f 0 t

e− j2  f t dt= ∫ x t e

{

dt= f − f 0 =u

}

−∞

{

}

}=∫ x t  e− j2 u t dt=X u= u= f − f 0 =X  f − f 0 −∞

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Desplaçament freqüencial

x t e

j2  f 0 t

 X  f − f 0

El producte d'un senyal per una exponencial complexa suposa un desplaçament en freqüència.

L'ample de banda (W) d'un senyal és el marge de freqüències positives en el que la TF no és (o es considera) nul·la. +info: http://en.wikipedia.org/wiki/Bandwidth

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Convolució temporal

x t ∗y t   X  f Y  f  Demo ∞

∞

TF [ x t ∗ y t ]=∫−∞ [∫−∞ x  y t − d ] e− j2 ft dt

S'inverteix l'ordre d'integració, ∞

∞

TF [ x t∗y t ]=∫−∞ x [∫−∞ y t − e− j2 ft dt ]d  S'aplica la propietat de desplaçament temporal sobre l'eix , ∞

− j2  f 

TF [ x t ∗y t ]=∫−∞ x Y  f e

[

∞

− j2  f 

TF [ x t ∗y t ]= ∫−∞ x e

d

]

d  Y  f =X  f Y  f 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Convolució freqüencial

x t  y t   X  f ∗Y  f  Demo ∞

TF [ x t  y t ]=∫−∞ x t  y t  e− j2 ft dt

S'aplica l'expressió de TIF per y(t) sobre l'eix , ∞

∞

TF [ x t y t ]=∫−∞ x t [∫−∞ Y  e j2  t d ] e− j2  ft dt

S'inverteix l'ordre d'integració, ∞

∞

− j2  f − t

TF [ x t y t]=∫−∞ Y [∫−∞ x t  e

dt] d 

∞

TF [ x t y t]=∫−∞ Y  X  f − d =X  f ∗Y  f  Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Convolució

x t ∗y t   X  f Y  f  x t  y t   X  f ∗Y  f  La integral de convolució, de difícil càlcul, es tradueix per un senzill producte després de la TF (o TIF).

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF Dualitat

X t   x − f  Demo ∞

La definició de TIF és:

x u= ∫ X v e j2  vu dv −∞

∞

∞

−∞

−∞

TF [ X t  ]=∫ X t e− j2  ft dt=∫ X t e j2 − f t dt=x − f 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats de la TF (Resum) Linealitat

 x 1 t  x 2 t    X 1  f  X 2  f 

Desplaçament temporal

x t −B  X  f  e− j2 f B

Escalat temporal

x  At  

1 ∣A∣

X

 f

A

Desplaçament freqüencial

x t e

Convolució temporal

x t ∗y t   X  f Y  f 

Convolució freqüencial

x t  y t   X  f ∗Y  f 

Dualitat

X t   x − f 

j2  f 0 t

 X  f − f 0

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats de la Transformada de Fourier 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics ← 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier 5. Transformada de Fourier del DSF 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics 7. Fenestrament

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals bàsics Pols rectangular

 t   sinc  f  Demo 1/ 2 − j2  ft

X  f = ∫ e

dt=−

−1 /2 − j f

X  f =−

1 e f

−e j2

1 j2  f

j f

=

[e

− j2 ft

sin f  f

]

1 /2 −1 /2

=sinc  f 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals bàsics Exemple: Efecte de la transformació de la variable independent t sobre la TF d’un pols rectangular   t 

t ➔ t/T

T

T sincTf 

sinc  f 

 t −t 0 

 t 

t ➔ t-t0 sinc  f 

 t

− j2 f t 0

e

sinc  f 



t ➔ t-t0

  t−t 0 T

− j2 f t 0

e



t ➔ t/T

− j2 T f t 0

e

T sinc Tf 

t T

−t 0 

T sinc Tf 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals bàsics Pols triangular 2

t   sinc  f  Demo El pols triangular és la convolució de dos polsos rectangulars,

t = t∗ t  Aplicant la propietat de la convolució,

x t ∗y t   X  f Y  f  2

X  f =sinc f sinc  f =sinc  f  Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals bàsics Delta de Dirac o impuls unitari

t   1 Demo La delta de Dirac té la següent propietat, ∞

∫−∞ t g t  dt =g 0 Aplicant-la al càlcul de la TF, ∞

− j2 ft

X  f =∫−∞  t  e

− j2 f0

dt = e

0

= e =1

Observacions (aplicant linealitat i dualitat)

A t   A

A  A  f 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals bàsics Exponencial complexa

e

j2 f 0 t

  f − f 0 

Demo Es combina la TF d'una constant amb la propietat del desplaçament freqüencial,

A  A  f 

x t e

j2  f 0 t

 X  f − f 0

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals bàsics Cosinus i sinus cos 2  f 0 t   sin 2  f 0 t  

 f − f 0  f  f 0  2   f − f 0 − f  f 0  j2

Demo

Es combinen les TF de les exponencials complexes i la relació d'Euler TF exponencial complexa Relació d'Euler

e

j2 f 0 t

  f − f 0 

cos 2  f 0 t = sin 2  f 0 t =

e

j2 f 0 t

e

j2 f 0 t

− j2  f 0 t

e 2

− j2 f 0 t

−e j2

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals bàsics Exponencial real unilateral Exercici: Calculeu la TF d'un senyal exponencial real unilateral. Després, calculeu el seu mòdul i la fase a partir de les seves parts real i imaginària.

e

−at

u t  , a0∈ℝ



?

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

27

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats de la Transformada de Fourier 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier ← 5. Transformada de Fourier del DSF 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics 7. Fenestrament

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

28

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics: DSF Desenvolupament en Sèries de Fourier (DSF) Les sèries de Fourier permeten descompondre certs senyals periòdics (els que compleixen les condicions de Dirichlet) com un sumatori d'exponencials complexes de freqüències múltiples.

Condicions de Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

1. Absolutament integrable sobre qualsevol període.

∫∣x t ∣dt ∞ T0

2. Nombre finit de màxims i mínims dins de qualsevol període. 3. En qualsevol interval finit de temps hi ha tan sols un nombre finit de discontinuïtats. A més, han de ser discontinuïtats finites. Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

29

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics: DSF Els senyals periòdics integrables al quadrat en un període sempre són expressables en DSF. 2

Si ∫∣x t ∣ dt ∞

→ x(t) expressable en SF

T0

Exemple:

Tren de deltes ∞

pt = ∑ t−n T  n=−∞

El seu quadrat és integrable en un període:

1 1 1 ∫∣ t ∣ dt = ⋅ ⋅= ∞  T 2

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

30

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics: DSF Els càlculs es fan amb les següents expressions:

Desenvolupament en Sèrie de Fourier (DSF) ∞

x  t=

∑

n=−∞

Cn e

j2 f 0 n t

Coeficients de la Sèrie de Fourier

1 − j2 n f t C n= ∫ x  t e dt , T0 T 0

0

1 f 0= T0

En el processament del senyal, alguns coeficients del sumatori reben un nom especial: C0 → Valor mig o contínua C1 → Fonamental Altres → Harmònics Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

31

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics: DSF Exemple: Calculeu el DSF d'un tren de deltes Expressió analítica d'un tren de deltes amb període T0=1/f0. ∞

1 − j2 n f t C n= ∫ p t e dt T0 T 0

d'on

∑

p t=

n=−∞

0

 t−n T 0 

Càlcul dels coeficients del DSF (interval entre -T0/2 i T0/2) T0

1 C n= T0

2

∫ −

 t e

− j2 n f 0 t

T0 2

1 − j2 n f 0 1 dt = ⋅e = T0 T0 0

Expressió del tren de deltes en DSF ∞

p t=

∑

n=−∞

Cn e

j2 f 0 nt

∞

1 j2 f = e ∑ T 0 n=−∞

0

nt

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

32

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics: DSF Exemple: L'interval de durada T0 pot estar centrat en qualsevol punt. Càlcul dels coeficients del DSF (interval entre T0/2 i 3T0/2) 3T 0

1 C n= T0 − j2 n

e

2

− j2 n f 0

∫  t−T 0  e T0 2

1 − j2  n f t dt = ⋅e T0

=cos−2  n  j sin−2  n=1,

0

T0

− j2 n

=

e

T0

n∈ℤ

S'obté el mateix resultat que en l'exemple anterior.

1 C n= T0 Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

33

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals periòdics: DSF Exercici: Calculeu el DSF d'un tren de pols rectangulars de durada T i separats T0 (T0>T>0). ∞

x t = ∑  n=−∞

  t−nT 0 T

+info: http://ca.wikipedia.org/wiki/S%C3%A8rie_de_Fourier de Blanca Torres (SiS, Primavera 2006) Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

34

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats de la Transformada de Fourier 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier 5. Transformada de Fourier del DSF ← 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics 7. Fenestrament

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

35

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF del DSF Desenvolupament en Sèrie de Fourier ∞

∑

n =−∞

Cne

j2  f 0 nt

∞



∑

n =−∞

C n   f −nf 0 

Transformació interessant perquè ens permet calcular la TF dels senyals periòdics expressats en DSF. Demo Es combinen les propietats de desplaçament freqüencial, linealitat i la TF de les exponencials complexes. Desplaçament freqüencial Linealitat

x  t e

j2 f 0 t

 X  f − f 0

 x 1 t  x 2 t    X 1  f  X 2  f 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

36

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF del DSF Exemple: Calculeu la TF d'un tren de deltes: El tren de deltes pot expressar-se en Sèrie de Fourier, ∞

pt =

∑ n=−∞

t −n T 0 =

1 T0

∞

∑

e j2 f n t

amb

n=−∞

C n=

1 T0

La TF d'un senyal periòdic expressable en DSF és un tren de deltes escalades pels coeficients del DSF, ∞

∑ n=−∞

Cn e

j2  f 0 nt

∞



∑ n=−∞

C n   f −nf 0 

Es combinen els dos resultats anteriors per trobar la DSF d'un tren de deltes, ∞

1 ∑  t−n T 0   T n =−∞ 0

∞

∑

n=−∞

 f −nf 0 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

37

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats de la Transformada de Fourier 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier 5. Transformada de Fourier del DSF 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics ← 7. Fenestrament

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

38

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals periòdics Qualsevol senyal periòdic es pot entendre com la repetició d'un senyal bàsic xb(t) cada període fonamental T0. ∞

x t = ∑ x b t−n T 0  n=−∞

Igualment, es pot entendre com el mateix senyal bàsic convolucionat per un tren de deltes. ∞

x t = ∑ x b t ∗t−n T 0  n=−∞

∞

x t =x b t ∗ ∑ t−n T 0  n=−∞

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

39

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals periòdics Utilitzant el Desenvolupament en Sèrie de Fourier del tren de deltes... ∞ 1 j2  f nt x t =x b t ∗ ∑e T 0 n=−∞ 0

...i combinant la propietat de la convolució i l'expressió de la TF del tren de deltes... TF de convolució

x t ∗y t   X  f Y  f  ∞

TF d'un tren de deltes

∑

t −n T  

n=−∞

1

∞

∑

T 0 n =−∞

 f −nf 0

...s'obté la TF d'un senyal periòdic en funció de la TF del senyal bàsic.

x b t ∗

1

∞

∑

T 0 n =−∞

e

j2 f 0 nt

∞



∑ n=−∞

X b  nf 0 T0

  f −nf 0 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

40

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals periòdics Exercici: Calculeu la TF d'un tren de pols rectangulars de durada T i separats T0.

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

41

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals periòdics Comparant l'expressió amb la de la TF d'una Sèrie de Fourier, es veu que els coeficients del DSF són els valors de la TF de xb(t) en nf0, tot normalitzats per T0

TF d'un senyal periòdic ∞

∑

X  f =

n =−∞

X b nf 0  T0

  f −nf 0 

TF del DSF ∞

X  f =

∑ n =−∞

C n  f −nf 0

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

42

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals periòdics S'han presentat dos mètodes per calcular la TF d'un senyal periòdic.

x(t) periódic

∞

x  t=

∑

n=−∞

Cn e

j2 f 0 n t

= x b t ∗ ∑  t−n T 0 

∞

X  f =

∑

n=−∞

∞ n=−∞

∞

C n  f −nf 0 =

∑

n=−∞

X b  nf 0  T0

  f −nf 0 

X(f) tren de deltes escalades Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

43

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

TF dels senyals periòdics Exercici: Compareu el DSF i la TF d'un tren de pols rectangulars de durada T i separats T0. Quina relació tenen ?

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

44

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats de la Transformada de Fourier 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier 5. Transformada de Fourier del DSF 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics 7. Fenestrament ←

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

45

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Fenestrament A la pràctica, la TF d'un senyal s'ha de calcular en un interval de temps limitat. La limitació en temps d'un senyal s'anomena fenestrament. Es modela multiplicant el senyal de durada infinita per un pols rectangular de durada finita T.



t x T t =x  t  T

En el domini freqüencial, es tradueix en una convolució de la transformada per una sinc. Efecte en freqüència d'un fenestrament temporal amb un pols rectangular de durada T

X T  f =X  f ∗T sincTf 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

46

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Fenestrament Exemple: Fenestrament d'un senyal sinusoidal La TF d'un senyal sinusoidal són dues deltes,

x t =cos 2  f 0 t   X  f =

 f − f 0  f  f 0  2

L'impacte del fenestrament sobre la TF és una convolució per una sinc,

X T  f =X  f ∗T sincTf  En un analitzador d'espectres s'observaran dues sincs enlloc de dues deltes perquè sempre veurem el senyal sinusoidal dins una finestra temporal,

X T  f =T

sinc T  f − f 0 sincT  f  f 0  2

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

47

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Fenestrament Exercici: Calculeu i dibuixeu la TF de la versió fenestrada cada 10T0 de x(t).

x  t =3 cos4  f 0 t −4 sin6  f 0 t 

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

48

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Introducció 2. Propietats de la Transformada de Fourier 3. Transformada de Fourier dels senyals bàsics 4. Senyals periòdics: Desenvolupament en Sèries de Fourier 5. Transformada de Fourier del DSF 6. Transformada de Fourier dels senyals periòdics 7. Fenestrament

Xavi Giró,“4. Anàlisi de Fourier de senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

49