Tema 03 Sistemes Continus

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes continus Versió 2007/1 Xavier Giró [email protected]

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema ← 2. Interconnexió de sistemes 3. Propietats dels sistemes 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) 5. Convolució gràfica 6. L’operador convolució 7. Propietats dels SLIs segons h(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició de sistema Un sistema es pot entendre com qualsevol procés que produeix una transformació de senyal.

SENYAL D'ENTRADA

SISTEMA

SENYAL DE SORTIDA

Els senyals d'entrada i de sortida estan relacionats per la transformació del sistema.

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició de sistema SENYAL D'ENTRADA

SISTEMA

SENYAL DE SORTIDA

Exemples:

Programari d'equalització

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema 2. Interconnexió de sistemes ← 3. Propietats dels sistemes 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) 5. Convolució gràfica 6. L’operador convolució 7. Propietats dels SLIs segons h(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes Els sistemes complexos es divideixen en subsistemes per facilitar-ne el disseny, producció i comercialització. És molt important caracteritzar en detall els punts d'interconnexió per garantir el correcte funcionament en conjunció amb altres sistemes (estàndards).

Existeixen tres tipus bàsics d’interconnexions: a) En sèrie b) En paral·lel c) Amb retroalimentació X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes En sèrie, cascada o per etapes La sortida del sistema 1 és l'entrada del sistema 2 SISTEMA 1

SISTEMA 2

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes En paral·lel El mateix senyal d'entrada s'aplica a tots els sistemes i es combinen les sortides. SISTEMA 1 + SISTEMA 2

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Interconnexió de sistemes Amb retroalimentació La sortida d'un sistema és l'entrada de l'altre, i viceversa. SISTEMA 1

+

SISTEMA 2

+

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema 2. Interconnexió de sistemes 3. Propietats dels sistemes ← 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) 5. Convolució gràfica 6. L’operador convolució 7. Propietats dels SLIs segons h(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Continu/Discret Un sistema és continu o discret segons la naturalesa dels senyals d'entrada i de sortida.

Sistema continu y t =S [ x t  ]

Sistema discret y [ n ]=S [ x [ n] ]

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Continu/Discret Exemples:

Sistemes continus

Sistemes discrets

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Linealitat Un sistema és lineal quan compleix el principi de superposició.

Principi de superposició Si l'entrada és la suma ponderadada de diferents senyals, la sortida ha de ser la suma ponderada de les respostes del sistema a cadascun dels senyals d'entrada.

[

]

[

]

[

S  x 1 t  x 2 t  = S x 1 t   S x 2 t 

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

]

13

Linealitat Interpretació gràfica de la propietat de linealitat. S[ ] S[ ]

[

S x 2 t 

] ]

+

[

]

[

 S x 1 t   S x 2 t

]



x 2 t

[

S x 1 t



x 1 t

Són iguals ? x 1 t

 +

x 2 t 

 x 1 t x 2 t

S[ ]

[

S  x 1 t  x 2 t 

]



Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Linealitat La linealitat és la combinació de dues propietats més bàsiques, l'homogeneïtat i l'additivitat.

Homogeneïtat

[

]

[

S  x 1 t  = S x 1 t 

]

Additivitat

[

]

[

] [

S x 1 t x 2 t  =S x 1 t  S x 2 t  X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

] 15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Linealitat Exemple: Un sistema amplificador per un factor k constant compleix la propietat de linealitat.

Amplificador y t =k x t  , ∣k∣1

[

] 



S  x 1 t  x 2 t  =k  x 1 t  x 2 t  =k  x 1 t k  x 2 t 

[

]

[

k  x 1 t k  x 2 t = k x 1 t  k x 2 t = S x 1 t   S x 2 t 

]

Un amplificador sí que és un sistema lineal. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Estudieu la linealitat dels sistemes definits a continuació. a) b)

2

y t= x t t 1

y t= ∫ x  d  −∞

c) d)

y t =sin  x t  

2

y t=t x t 

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Invariància Un desplaçament en el temps del senyal d'entrada provoca el mateix desplaçament en el temps del senyal de sortida.

S [ x t−T  ]= y t−T  , ∀ T ∈ℝ

El sistema respon de la mateixa manera independentment de l'instant de temps. La forma del senyal de sortida no quedarà afectat encara que s'apliqui un desplaçament al senyal d'entrada. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Invariància Exemple: Estudieu si un sistema amplificador per un factor constant k compleix la propietat d'invariància. x t 

k

S [ x t  ]=k x t =y t 

t  t-T

y t −T =k x t −T 

Són iguals

x t 

t  t-T

x t −T 

k

S [ x t−T  ]=k x t −T 

Un amplificador per un factor constant k sí que és un sistema invariant. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Invariància Exemple: Estudieu si un sistema amplificador per un factor t compleix la propietat d'invariància. x t 

t

S [ x t  ]=t x t =y t 

t  t-T

y t −T =t −T  x t −T 

No són iguals

x t 

t  t-T

x t −T 

t

S [ x t−T  ]=t x t −T 

Un amplificador de factor t no és un sistema invariant, ja que el factor d'amplificació depèn de l'instant de temps. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Estudieu la invariància dels sistemes definits a continuació. 2

y t= x t t 1

y t= ∫ x  d  −∞

y t =sin  x t  

2

y t=t x t  X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Causalitat El valor del senyal a la sortida tan sols depèn d'instants de temps anteriors o present del senyal d'entrada. Si dos senyals d'entrada són idèntics fins a un cert instant de temps, les seves sortides també hauran de ser idèntiques.

y t = f [ x  t '  ] , t 't , ∀ t Exemples:

sistema causal y t =x  t −1 , t ' =t−1t ∀ t sistema anticausal y t =x  t 1 , t ' =t1t sistema anticausal y t =x −t 1 ,

1 t ' =−t 1t per t  2

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Causalitat Exemple: Estudieu si un sistema amplificador per un factor constant k compleix la propietat de causalitat.

Amplificador y t =k x t  , ∣k∣1 t ' =t t

Un amplificador per un factor constant k sí que és un sistema causal. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Estudieu la causalitat dels sistemes definits a continuació. 2

y t= x t t 1

y t= ∫ x  d  −∞

y t =sin  x t  

2

y t=t x t  X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Estabilitat Si el senyal d'entrada està acotat, el senyal de sortida també ha d'estar-ho.

∣x  t ∣M ∞ ⇒ ∣y t ∣M ' ∞ , cota superior

∀t

cota superior

La idea és una petita variació en el senyal d'entrada no provocarà una variació descontrolada en el senyal de sortida.

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Estabilitat Exemple: Estudia si un sistema amplificador per un factor constant k compleix la propietat d'estabilitat

Amplificador y t =k x t  , ∣k∣1 Suposant que el senyal d'entrada està acotat...

∣x  t ∣M ... es pot garantir que el senyal de sortida també estarà acotat.

∣y t ∣=∣k x t ∣=∣k∣∣x t ∣∣k∣M Un amplificador per un factor constant k sí que és un sistema estable. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Estudieu la estabilitat dels sistemes definits a continuació. y t= x 2 t

t 1

y t= ∫ x  d  −∞

y t =sin  x t  

2

y t=t x t  X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

27

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Memòria Un sistema té memòria si el senyal de sortida depèn d'alguna manera dels valors passats del senyal d'entrada.

∃t 't

t.q.

y t = f  x t '  

Exemple:

x() t

integrador y t= ∫ x  d  −∞

 t X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

28

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Memòria Exemple: Estudia si un sistema amplificador per un factor constant k té memòria.

Amplificador y t =k x t  , ∣k∣1 t ' =t =t

Un amplificador per un factor constant k no té memòria. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

29

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Invertibilitat Un sistema S[ ] és invertible si existeix un altre sistema que connectat en sèrie a la sortida pot regenerar el senyal d'entrada amb, com a molt, un retard.

Si[ ] s'anomena sistema invers. Tots els sistemes reals introdueixen un retard pel fet que qualsevol canvi en el nostre univers no pot fer-se més ràpid que a la velocitat de la llum. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

30

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels sistemes Invertibilitat Exemple: Estudia si un sistema amplificador per un factor constant k compleix la propietat d'invertibilitat.

Amplificador y t =k x t  , ∣k∣1 y t =kx t 

1 x t = y t  k



El sistema invers de amplificador és l'atenuador.

Atenuador

y t =

1 k

x t  , ∣k∣1

Comprovació:

[

]

1

S i S [ x t  ] =S i [ k x t  ] = k x t = x t  k X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

31

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema 2. Interconnexió de sistemes 3. Propietats dels sistemes 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) ← 5. Convolució gràfica 6. L’operador convolució 7. Propietats dels SLIs segons h(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

32

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals Invariants (SLI) Els Sistemes Lineals Invariants (SLI) són molt importants perquè: 1. Molts sistemes electrònics presenten aquestes dues propietats 2. Permeten un anàlisi matemàtic detallat i simple.

linealitat

invariància

S [  x 1  t x 2  t ]= S [ x 1 t  ] S [ x 2 t ] S [ x t−T  ] = y t−T  , ∀ T ∈ℝ

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

33

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals Invariants (SLI) Donat un SLI...

y t =S [ x t  ] ... i un senyal qualsevol... ∞

x  t= ∫ x  t−  d  −∞

...combinem les dues expressions...

y t =S [ x t ]=S

[

∞

∫ x   t− d  −∞

]

...apliquem el principi de superposició (una integral es pot interpretar com una suma d'elements infinitesimals) ∞

y t = ∫ S [ x  t−  ] d  −∞ X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

34

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals Invariants (SLI) Com que el SLI actua en el domini del temps, el terme x() es pot extreure's de la seva influència considerant-lo una constant. ∞

y t= ∫ x  S [ t− ] d  −∞

La resposta impulsional d'un SLI es defineix com la seva resposta a l'impuls unitari

Resposta impulsional

h t =S [ t ]

Com que es tracta d'un sistema invariant, es compleix que

h t −=S [ t −] X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

35

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sistemes Lineals Invariants (SLI) Finalment obtenim l'expressió de la integral de convolució

Integral de convolució

∞

y t = ∫ x  h t−d  −∞

Si coneixem la resposta impulsional d'un SLI serem capaços de calcular fàcilment la resposta del sistema a qualsevol senyal d'entrada. Si no és un SLI, la resposta impulsional tan sols ens informa de com reacciona el sistema a una delta, una dada que no podem extrapolar a altres senyals.

x(t)

h(t)

y(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

36

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema 2. Interconnexió de sistemes 3. Propietats dels sistemes 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) 5. Convolució gràfica ← 6. L’operador convolució 7. Propietats dels SLIs segons h(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

37

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució gràfica Podem interpretem la integral de convolució des d'un punt de vista gràfic per entendre-la millor. ∞

y t = ∫ x  h t − d  −∞

El mètode de solució gràfica segueix aquests passos: 1. Dibuixar x() 2. Dibuixar h() 3. Dibuixar h(t+) (sense l'eix =0, perquè t>0 o t<0). 4. Dibuixar h(t-) 5. Interpretar l'àrea (valor de la integral) resultant de superposar en l'eix  x() i h(t-) per diferents valors de t.

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

38

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució gràfica Exemple: Donat x(t) i h(t), calcular y(t)

x t =

1 T





t −T / 2

1. Es dibuixa x()

T



−

h t=e

2. Es dibuixa h()

t t0

ut 

3. Es dibuixa h(t+)

0 X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

39

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució gràfica 4.Es dibuixa h(t-).

5. Es donen diferents valors a t i s'interpreta l'àrea (valor de la integral) resultant de superposar x() i h(t-) sobre l'eix  .

t<0

No hi ha encavalcament, per tant el valor de la integral serà 0. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

40

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució gràfica 0
t

y t =∫ 0

y t=

t0 T

Encavalcament entre 0 i t.

1 T

−

e

−

e

t t0

−

t − t0

d =

e

t

   t

t0

e −1 =

t0 T



t0 t

T

−

∫e

t0

d =

0 −

1−e

t t0

e T

t t0

t

[ ] 

t0 e

t0

0



X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

41

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució gràfica Encavalcament entre 0 i T.

T
T

y t=∫ 0

y t =

t0 T

1 T

−

e

−

e

t t0

−

t− t0

d =

e T

t t0 T

∫e

 t0

d =

0

    T

t0

e −1 =

t0 T

T

t0

−

e −1 e

t0 T

−

e

t t0

 T

[ ] e

t0

0

t t0

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

42

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució gràfica Exercici: Calculeu la convolució de dos pols rectangulars bàsics de durada T1 i T2, considerant T1 < T2.

 

t x  t = T1

 

t h  t = T2

∞

y  t =∫ x  h  t − d  −∞

a) Dibuixeu x() b) Dibuixeu h() c) Dibuixeu h(t+) (sense l'eix =0, perquè t>0 o t<0). d) Dibuixeu h(t-) e) Interpreteu l'àrea (valor de la integral) resultant de superposar en l'eix  a x() i h(t-) per diferents valors de t.

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

43

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Convolució gràfica Exercici: A partir del resultat anterior, quin senyal s'obté particularitzant pel cas T1=T2=T ?

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

44

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema 2. Interconnexió de sistemes 3. Propietats dels sistemes 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) 5. Convolució gràfica 6. L’operador convolució ← 7. Propietats dels SLIs segons h(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

45

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Definició La integral de convolució és un càlcul aplicable a qualsevol parell de funcions. La seva aplicació als SLIs és tan sols una de les seves múltiples aplicacions. Es defineix l'operador convolució amb el símbol estrella “*”.

y t = x t ∗h t  equivalent ∞

y t= ∫ x  h t−d  −∞

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

46

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Distributiva x t ∗[ h1 t  h 2 t ]=[ x t ∗h 1 t ][ x t ∗h 2 t ] Demo:

[

∞

]





x t ∗ h1 t h 2 t  =∫ x  h 1 t −h 2 t− d 

[

]

−∞ ∞

[

]

x t ∗ h1 t h 2 t =∫ x  h1 t− x  h2 t− d  −∞

[

]

∞

∞

x t ∗ h1 t h 2 t  =∫ x h 1 t− d  ∫ x  h 2 t − d  −∞

[

] [

−∞

] [

x t ∗ h1 t h 2 t  = x t ∗h1 t   x t ∗h 2 t 

]

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

47

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Distributiva

x  t ∗[ h 1 t h 2 t ]=[ x t ∗h 1 t ][ x t ∗h2 t ] Una connexió en paral·lel de dos sistemes h1(t) i h2(t) és equivalent a un sistema que tingui una resposta impulsional h(t) = h1(t) + h2(t). h1(t)

x t ∗h 1 t 

x t 

+ h2(t)

x t ∗h 1 t x t ∗h2 t 

x t ∗h 2 t 

h t =h1 t h 2 t  X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

48

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Associativa

[ x t ∗h t  ]∗h 1

2

[

t =x  t ∗ h1  t ∗h2 t 

]

Demo: ∞

∞

[

]

∞

[ x t∗h t  ]∗h t=∫ [ x u ∗h u ] h t −u du=∫ ∫ x  h u− d  h t−u du 1

2

1

2

−∞ ∞

−∞ −∞

[ [∫ ∞

[ x t∗h t  ]∗h t=∫ x  ∫ h u−h t −u du 1

2

−∞

∞

[ x t∗h t  ]∗h t =∫ x  1

2

−∞

1

1

2

−∞

∞

] { ] ∫

d = v=u− u=v dv=du  du=dv ∞

h 1 v h 2 t −−v dv d =

−∞

[

2

} ]

x  h1 t−∗h 2 t − d 

−∞

[ x t ∗h t  ]∗h t =x  t ∗[ h  t ∗h t  ] 1

2

1

2

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

49

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Associativa Una connexió en sèrie de dos sistemes h1(t) i h2(t) és equivalent a un sistema que tingui una resposta impulsional h(t) = h1(t) * h2(t).

x t 

h1(t)

x t ∗h 1 t 

h2(t)

[ x t ∗h t  ]∗h t  1

2

h t =h1 t ∗h 2 t  X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

50

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Commutativa

x t ∗h t = h t ∗x t  La sortida d'un SLI h(t) a un senyal d'entrada x(t) és la mateixa que la d'un sistema SLI x(t) a un senyal d'entrada h(t). Es demostra fent un canvi de variables '=t- i d'=-d. ∞

{

y t = ∫ x  h t−d = u=t −  =u−t du=−d   d =−du −∞ −∞

}

∞

y t =−∫ x u−t h u du= ∫ x u−t h u du ∞

−∞

∞

y t= ∫ h u x u−t du=h t∗x t  −∞

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

51

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Commutativa La seva aplicació en els SLIs és que l’ordre d’interconnexió en sèrie de dos SLIs no altera el senyal de sortida.

x t 

h1(t)

x t ∗h1 t 

h2(t)

y t = x t ∗h1 t ∗h2 t 

Són iguals x t 

h2(t)

x t ∗h2 t 

h1(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

y t = x t ∗h 2 t ∗h 1 t 

52

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Element neutre

x t ∗t =x t  Demo: ∞

x t ∗t =∫ x  t − d = x t −∞

Un SLI que tingui com a resposta impulsional una Delta de Dirac, generarà a la sortida un senyal idèntic al senyal d'entrada. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

53

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Desplaçament

x t ∗t −B=x t −B Demo:

∞

x t ∗t −B= ∫ x  t −B− d ={t −B=u } −∞ ∞

x t ∗t−B= ∫ x  u−d =x u= {u=t −B }=x t −B −∞

Un SLI que tingui com a resposta impulsional una delta de Dirac desplaçada B, genera a la sortida un senyal idèntic al senyal d'entrada però desplaçat B. X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

54

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

L'operador convolució: Propietats Resum:

Commutativa Distributiva Associativa Element neutre Desplaçament

x  t ∗h  t =h  t ∗x  t 

x  t ∗[ h1  t  h2  t ]=[ x  t ∗h 1  t ][ x  t ∗h 2  t ]

[ x  t ∗h1  t  ]∗h2  t= x  t ∗[ h 1  t ∗h 2  t  ] x  t ∗  t =x  t  x  t ∗  t −B =x  t −B 

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

55

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema 2. Interconnexió de sistemes 3. Propietats dels sistemes 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) 5. Convolució gràfica 6. L’operador convolució 7. Propietats dels SLIs segons h(t) ←

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

56

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels SLIs segons h(t) Una vegada vist que els completament a partir la s'estudiarà les relacions entre h(t). En concret, es demostrarà següents:

SLIs es poden caracteritzar seva resposta impulsional, algunes propietats dels SLI i la que les condicions són les

Causalitat

h t =0

per −∞t 0

Estabilitat ∞

∫ ∣h ∣d M ' ∞ −∞ X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

57

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels SLIs segons h(t) Causalitat temporal Dividim la integral de convolució en dos intervals t

∞

y t = ∫ x   h t− d ∫ x   ht − d  −∞

t

La condició de causalitat és equivalent a dir que y(t) tan sols depèn de valors passats i presents de x(t). Perquè això sigui cert, la segona integral ha de ser 0 per a qualsevol entrada

h t −=0

per t ∞

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

58

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels SLIs segons h(t) Causalitat temporal

h t −= 0

per t ∞ 1)

2)

Fent el canvi de variable '=t- s'obté la condició

h  ' = 0 1)

t t − '

2)

t − ' ∞

per ⇒ ⇒

 ' 0 −∞ '

On teníem ' hi escrivim t

h t = 0

per −∞t  0

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

59

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels SLIs segons h(t) Estabilitat Si l'entrada està acotada per un valor màxim M, llavors apliquem commutabilitat i la desigualtat triangular ∞

∞

∣y t ∣=∣∫−∞ h x t − d ∣≤∫−∞ ∣h ∣∣x t −∣d 

entrada acotada

∣x  t ∣M ∞ ∞

∞

∫−∞ ∣h ∣∣x t −∣d  M ∫−∞ ∣h  ∣d  Per garantir una sortida acotada, cal que la integral del mòdul de la resposta impulsional també ho estigui. condició final

∞

∫−∞ ∣h ∣d M ' ∞

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

60

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Índex 1. Definició de sistema 2. Interconnexió de sistemes 3. Propietats dels sistemes 4. Sistemes Lineals Invariants (SLI) 5. Convolució gràfica 6. L’operador convolució 7. Propietats dels SLIs segons h(t)

X.Giró,“3. Sistemes continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

61