Tema 02 Senyals Continus

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals continus Versió 2007/3 Xavier Giró [email protected]

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

1

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sumari 1. Definició de senyal ← 2. Senyals bàsics 3. Transformacions de la variable independent 4. Senyals bàsics transformats 5. Propietats dels senyals

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

2

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició de senyal Un senyal és una variació en una magnitud física que porta associada certa informació.

Sense variació, no hi ha informació.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

3

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició de senyal Matemàticament, un senyal es representa com una funció que pren diferents valors depenent del valor d'una o més variables independents. Senyal x

xy

Variable independent y

La variable independent pot ser continua o discreta, donant lloc als senyals continus o discrets. La notació utilitzada indicarà amb quin tipus de senyal tractem.

Senyal continu:

xy

Senyal discret:

x[ y]

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Definició de senyal Normalment, en l'enginyeria de telecomunicació: Senyal: Variable independent continua: Variable independent discreta: Senyal continu

Tensió elèctrica Temps (t) Índex d'una seqüència (n) Senyal discret

El mostreig és un procés que genera un senyal discret a partir de capturar el valor d'un senyal continu cada cert període de temps.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

5

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sumari 1. Definició de senyal 2. Senyals bàsics ← 3. Transformacions de la variable independent 4. Senyals bàsics transformats 5. Propietats dels senyals

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exercici: Dibuixeu el següents senyals x(t). Indiqueu els valors rellevants sobre els dos eixos.

{

x  t= 1, t0 0, t0

}

x(t)

t

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

7

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics

{

1, t 0 x t = −1, t 0

}

x(t)

t

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

8

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics

{ } 1, ∣t∣

x t =

0, ∣t∣

1 2 1 2

x(t)

t

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

9

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics x t =

{

1−∣t∣, ∣t∣1 0, ∣t∣1

}

x(t)

t

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

10

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics

{ }

1  , ∣t∣  2 x t =  0, ∣t∣ 2 x(t)

t

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

11

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Els senyals de les qüestions anterior són bàsics en el camp de la teoria del senyal i tenen noms propis.

Signe

{

1, t0 signe t= −1, t0

}

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

12

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Graó unitari

{

u t = 1, t 0 0, t 0

}

Funció discontínua i indefinida en t=0. Algunes definicions consideren u(0)=1/2.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

13

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Pols rectangular Per definició, la funció pols rectangular té una durada de 1.

{ } 1, ∣t∣

 t =

0, ∣t∣

1 2 1 2

1

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

14

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Pols triangular Per definició, la funció pols triangular té una durada de 2.

 t =

{

1−∣t∣, ∣t∣1 0, ∣t∣1

}

2

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

15

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Delta de Dirac o Impuls unitari Definició:

t =lim   0  t 

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

16

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Delta de Dirac o Impuls unitari El valor de la seva àrea és 1.

1  t  dt =⋅ =1 ∫−∞  ∞

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

àrea unitària

17

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Delta de Dirac o Impuls unitari Es representa gràficament com una sageta orientada verticalment.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

18

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Delta de Dirac o Impuls unitari La integral del seu producte amb qualsevol senyal dóna el valor d'aquest senyal a l'origen.

1 ∫−∞  t  x t  dt =x  0⋅ ⋅=x  0 ∞

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

19

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Delta de Dirac o Impuls unitari Exercici: A quin senyal bàsic es correspon la següent integral ? t

x t =∫  d  −∞

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

20

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Cosinus

Sinus

Funcions bàsiques en l'enginyeria de telecomunicacions. Poden ser generades electrònicament mitjançant oscil·ladors. Periòdiques amb període 2 . Tenen la mateixa forma, sols es diferencien per un desplaçament:

 cost =sin t  2 Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

21

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exponencial real At

x t =e ; A∈ℝ Tall amb l'eix t=0:

x  0=e

A⋅0

0

=e =1

el comportament de (de)creixement depèn de A.

A 0 ⇒ x t creixent A=0 ⇒ x t  constant A0 ⇒ x t  decreixent A>0 Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

22

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exponencial complexa

x t =e

j At

; A∈ℝ

Pot estudiar-se a partir de la Relació d'Euler: jx

e =cos x j sin x

Té part real i part imaginària

Cosinus i sinus poden expressar-se en funció d'exponencials complexes jx

cos  x =

− jx

e e 2 jx

sin  x =

− jx

e −e 2j

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

23

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exponencial complexa Demo: jx

e e

− jx

2

=

1 2

 cos x  j sin x cos −x  j sin −x  

Aplicant:

jx

e e 2

− jx

=

cos −x =cos  x  sin−x =−sin  x 

1 2

 cos x cos x  j sin x − j sin x  

e jx e − jx 1 =  2 cos x   =cos  x  2 2 Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

24

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exponencial complexa

x t =e

jA t

; A∈ℝ

Sovint l'estudiarem pel cas particular de A=2f.

e

j2 f t

=cos 2  ft j sin 2  ft 

Llavors cosinus i sinus s'expressen de la següent forma:

cos 2  ft= sin 2  ft =

e

j2 f t

− j2 f t

e

2 e j2  f t −e− j2 f t 2j

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

25

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exemple: Senyal exponencial At

x t =e ; A∈ℂ Es pot descompondre com

A= j 2  f ; At

t

x t =e =e e

 , f ∈ℝ j2 f t

exponencial real

Càlcul del mòdul At

t

∣x  t ∣=∣e ∣=∣e ∣∣e

j 2 f t

∣=e

t

Perquè el mòdul de la part imaginària de l'exponent és 1:

∣e

j2 f t

∣=∣cos 2  ft  j sin2  ft ∣



∣e j 2  f t∣= cos2  2  ft sin2  2  ft = 1=1 Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

26

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics Exponencial complexa Exercici: Utilitzeu la Relació d'Euler per provar les següents igualtats.

sin2x  a. cos x  sin x = 2

1 b. cos2  x = 1cos2x  2

1 c. sin2  x = 1−cos2x 2

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

27

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sumari 1. Definició de senyal 2. Senyals bàsics 3. Transformacions de la variable independent ← 4. Senyals bàsics transformats 5. Propietats dels senyals

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

28

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la v.i. Exercici: Desenvolupeu l’expressió analítica de x(t) a partir de transformacions de la variable independent sobre senyals bàsics. Feu-ne també la representació gràfica. x(t)

x t =ut −1=¿ t

x(t)

x t =u t1=¿

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

t

29

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la v.i. x(t)

x t =

 t

2

t

=¿

x(t)

t

x t = =¿ 2

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

t

30

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la v.i. ATENCIÓ: Un producte amb el senyal x(t) no modifica la variable independent sinó l’amplitud: x(t)

x t =2 u t =¿

t

x(t)

x t =−2 u t =¿

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

t

31

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la v.i. Un canvi de variable independent pot tenir efecte sobre la forma del senyal. Treballarem amb dues transformacions bàsiques: t ➔ At t ➔ t–B

Escalat: Desplaçament:

L'ordre de les operacions pot alterar el resultat. Exemple 2

Exemple 1

1.Desplaçament de B

1. Escalat per A

y 1 t=x t−B

y 1 t =x  At 

2.Desplaçament de B y 2 t = y1 t −B=x  At −B

2.Escalat per A y 2 t = y1  At =x  At −B

Resultats diferents Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

32

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la v.i. Exemple 1 Escalat

t ➔ At

x t 

x  At 

Desplaçament

t ➔ t-B

x  At −B

Exemple 2 Desplaçament

x t 

t ➔ t-B

x t −B

Escalat

t ➔ At

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

x  At−B

33

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la v.i. Un possible mètode d'interpretació gràfica és buscar sempre l'expressió de la TVI que es correspon amb un desplaçament+ escalat. Exemple 2 Desplaçament

x t 

t ➔ t-B

Escalat

x  t −B

t ➔ At

x  At −B

Si no es té una expressió del tipus x(At-B), sempre es pot manipular fins aconseguir-la. Exemples:

x  A  t −B=x  At− AB = x  At −C d 'on C =AB

x  A  t −B−C = x  At − AB−C =x  At−D  d 'on D= ABC Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

34

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Exemple de desplaçament x(t)

0

x(t-B)

t

T

0

t-B

T

t − B= T ⇒ t = TB

t − B=0 ⇒ t =B

B>0

B<0 x(t-B)

x(t-B)

0

B T+B

t

B

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

T+B

0

t 35

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Exemple d'escalat x(t)

0

x(At)

t

T

0

T

At= T ⇒ t =

At=0 ⇒ t =0

0
0

T A

1
x(t)

T

At

T/A

t

0 T/A T

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

t 36

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Cas particular d'escalat: La reflexió x(t)

0

x(-t)

t

T

−t =0 ⇒

0 t =0

-t

T −t = T

⇒

t =−T

x(-t)

-T

0

t

Un signe negatiu al factor d'escalat A provoca una reflexió respecte l'eix t=0 del senyal. Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

37

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Transformacions de la var.indep. Desplaçament

t ➔ t–B

Si la variable t augmenta d'esquerra a dreta, el canvi suposa: B rel="nofollow"> 0 ➔ el senyal es desplaça cap a la dreta (retard) B < 0 ➔ el senyal es desplaça cap a l'esquerra (avançament)

Escalat

t ➔ At

La forma del senyal quedarà modificada segons el valor de A: | A | > 1 ➔ el senyal s'estreny | A | < 1 ➔ el senyal s'eixampla A < 0 ➔ reflexió del senyal respecte l'eix t=0 Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

38

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sumari 1. Definició de senyal 2. Senyals bàsics 3. Transformacions de la variable independent 4. Senyals bàsics transformats ← 5. Propietats dels senyals

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

39

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Pols rectangular de durada T Si efectuem un escalat de t per 1/T (T>0), la durada del pols passa a tenir una durada de T.

{

t 1 T 1, ∣ ∣ ⇒∣t∣ t T 2 2  = T T 0, ∣t∣ 2



} durada del pols

T

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

40

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Exercici: Expresseu els següents senyals com una combinació lineal de graons unitaris. x 1 t = t  x 2 t =K⋅ t 

x 3 t =−

x 4 t =

 t

4

  t−1 3

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

41

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Pols triangular de duració 2T Si efectuem un escalat de t per 1/T (T>0), la durada del pols passa a ser de 2T.

{

t t 1−∣ ∣, ∣ ∣1⇒∣t∣T t T T  = T t 0, ∣ ∣1 ⇒∣t∣T T



} ½ duració del pols

2T

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

42

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Delta de Dirac o Impuls unitari El producte de qualsevol senyal per una delta dóna com a resultat una delta escalada pel valor del senyal en aquell punt.

x  t⋅ t−B= x  B⋅ t −B Exercici: Demostreu-ho.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

43

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Delta de Dirac o Impuls unitari Exercici: Demostreu la següent propietat del senyal delta a partir de la seva expressió analítica.

 t−B=  B−t

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

44

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Delta de Dirac o Impuls unitari Exercici: Combineu el resultat anterior amb dos canvis de variable per transformar la igualtat A amb la igualtat B:

x  t⋅ t−B= x  B⋅ t −B Dos canvis de variable:

Propietat del senyal delta:

x   t −= x t  t− Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

45

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Delta de Dirac o Impuls unitari Exercici: Demostreu la següent igualtat. ∞

x  t= ∫ x  t−  d  −∞

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

46

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Cosinus x t =A cos 2  f t  A f φ

Sinus x t =A sin  2  f t  

→ Amplitud (escalat del valor de la funció cos/sin) → freqüència (escalat de la v.i. t ) → fase (desplaçament de la v.i t )

La modulació és un procés en el qual s'introdueix informació en un senyal sinusoïdal controlant-ne la seva amplitud, freqüència i/o fase. Per aquest motiu, al senyal sinusoïdal original sovint se l'anomena portador.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

47

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Exercici: Dibuixeu els següent senyals entre t=[-T, T], prenent f=1/T x 1 t =cos 2  f t 

x 2 t =A cos 2  f t 

x(t)

-T

-T/2

x(t)

T/2

T

t

-T

 x 3 t = A cos 2  f t  2

-T/2

x 4 t = Asin 2  f t 

x(t)

-T

-T/2

T/2

x(t)

T/2

T

t

-T

-T/2

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

T/2

T

 2

t



T

t

48

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Sinc 1/ 2

sinc t = ∫ e

j2  f t

df

−1 /2 1/ 2

∫

e j2  f t df =

−1 /2

1 j2t

[e

j2  f t

]

1/ 2

− 1/ 2=

1 e j  t −e− j  t t

2j

=

sin t  t

- Talls amb l'eix horitzontal, per t=k, essent k enter no nul: sinc k =

sin k  k

=

0 k

,

k ∈ ℤ , k ≠0

- Tall amb l'eix vertical (t=0): 1/ 2

t=0 ➔

1/ 2

sinc 0= ∫ e j2  f 0 df = ∫ df =1 −1 / 2

−1 / 2

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

49

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Exercici: Dibuixeu les següents funcions i estudieu quina evoució tindria el seu quocient sin t

t 1

2

3

4

5

6

t

t 1

2

3

4

5

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

6

50

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Sinc

sinc t =

sin t  t

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

Oscil·la entre 1 i -1 Creix en valor absolut

51

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Senyals bàsics transformats Exercici: Dibuixeu x(t), considerant que T = 1/f.

x t =sinc  f t  x(t)

t T

2T

3T

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

4T

5T

52

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sumari 1. Definició de senyal 2. Senyals bàsics 3. Transformacions de la variable independent 4. Senyals bàsics transformats 5. Propietats dels senyals ←

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

53

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Dimensionalitat La dimensionalitat d'un senyal es relaciona al nombre de variables independents de les qual depèn. Exemples: Senyals Unidimensionals (1D), bidimensionals (2D), tridimensionals (3D)... multidimensionals.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

54

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Determinista / Aleatori Un senyal determinista es caracteritza per una funció matemàtica que defineix el valor que pren de forma exacta i inequívoca en qualsevol instant de temps.

Exemple senyal sinus

x t =sint 

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

55

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Determinista / Aleatori Un senyal és aleatori quan en cada instant de temps pren un valor d'entre un conjunt de valors possibles, cadascun d'ells amb una certa probabilitat. Es té un coneixement parcial del senyal que ens permet caracteritzar-lo d'una manera estadística.

Exemple soroll x(t)=rand(t) (funció clàssica del llenguatge C) Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

56

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Determinista / Aleatori En els sistemes de comunicació reals, els senyals es modelen per una combinació de senyals deterministes i aleatoris. Per exemple, els portadors són deterministes i els aleatoris modelen el soroll present en qualsevol transmissió electromagnètica.

informació útil

senyal real

+

soroll

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

57

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Periodicitat Un senyal és periòdic quan es repeteix infinitament cada cert interval de temps, anomenat període.

x t =x t mT 

∀ m∈ ℤ

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

58

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Periodicitat Si un senyal és periòdic en T, també ho serà per cada múltiple enter de T. El període fonamental és el valor mínim que pot prendre el període. El seu valor invers és la freqüència fonamental.

f= Exemples

1 T

periòdics: sin(t), cos(t) aperiòdic:

x t =

{

cos t  , t 0 sint  , t ≥0

}

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

59

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Parell

Senar

x t =x −t  Té simetria respecte l'eix t=0

x t =−x −t  Té simetria respecte els eixos t=0 i x(t)=0

Qualsevol senyal pot expressar-se com a suma d'un parell i d'un senar.

part parell de x t  ⇒ x p t =

x t x −t 

part imparell de x t  ⇒ x s t =

2 x t −x −t  2

x t = x P t x S t  Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

60

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Propietats dels senyals Parell

Senar

Exercici: Demostreu que els senyals xp(t) i xs(t) són parell i senar, respectivament.

Exercici: Quin valor té qualsevol senyal senar per t=0 ?

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

61

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Sumari 1. Definició de senyal 2. Senyals bàsics 3. Transformacions de la variable independent 4. Senyals bàsics transformats 5. Propietats dels senyals

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

62

Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Universitat Politècnica de Catalunya

Objectius En finalitzar aquest tema, l'estudiant haurà de ser capaç de: - Distingir entre un senyal continu i un de discret. - Saber la definició dels senyals bàsics presentats i ser capaç de representar-los gràficament amb precisió. - Expressar les exponencials complexes a partir de senyals sinusoïdals i viceversa a partir de la relació d'Euler. - Interpretar i dibuixar les modificacions introduïdes als senyals per una transformació de la variable independent. - Conèixer les propietats bàsiques dels senyals i com es comproven.

Xavi Giró,“2. Senyals continus” - Primavera 2007 @ EUETIT, UPC, Terrassa

63