Teladan 2

Teladan 2 Soal No. 21 Persamaan Bessel

x2y’’+ (1-2v)xy’ +v2(x2v + 1-v2)y =0 Penyelesaian: Misal: y = xv.u dy dx

du du dz du = vxv-1u + xv dx = vxv-1.u + xv dz . dx = vxv-1.u + vxv-1. xv dz = vxv-1.u +vx2v-1

d2y dx 2

dan z = xv, maka

d = dx

du dz ......(*)

 v −1 d  vx v −1  u + x v du   v −1 v du   vx u + vx x   dz   dz  = dx   

 du du d 2u   v du    + vx v −1 + xv u + x  dx dz dz.dx  dz  v-2 v-1   = v(v-1)x + vx 2  du v −1 v −1 du v v −1 d u   v du   u − x   dx .vx + vx dz + x .vx dz 2  dz   + vxv-1  = v(v-1)xv-2  2  v −1 du v v −1 d u   v du    2 vx + x . vx u + x  2   dz dz dz   + vxv-1  = v(v-1)xv-2 

 du d 2u   2vx v −1 + vx 2 v −1 2  dz dz  =1+ vxv-1  = v(v-1)xv-2.u + v(v-1).x2v-2

du du d 2u dz + 2v2x2v-2 dz + v2x3v-2 dz 2

= v(v-1)xv-2.u + (v2-v).x2v-2

du du d 2u dz + 2v2x2v-2 dz + v2x3v-2 dz 2

(

2v −2 2 2v−2 2 2v −2 = v(v-1)xv-2.u + x v − x v + 2v x

(

2

= (v2-v) xv-2.u + 3v x

2v −2

− vx

2v −2

)

)

du d 2u dz + v2x3v-2 dz 2

du d 2u dz + v2x3v-2 dz 2 .......(**)

Substitusikan (*) dan (**) ke dalam persamaan awal Persamaan awal x2y’’+ (1-2v)xy’ + v2(x2v + 1-v2)y =0

( ⇒ x 2

(

2

(v2-v) xv-2.u + 3v x

2v −2

− vx

2v −2

)

du d 2u dz + v2x3v-2 dz 2

)

+ (1-2v) x

(

vxv-1.u +vx2v-1

du dz

)+

v2(x2v + 1-v2)y =0 du d 2u du 2 ⇒ (v2-v)xv.u + (3v2-v)x2v dz + v2x3v dz + (1-2v) vxv.u +(1-2v)vx2v dz

) + (v x

du d 2u du 2 ⇒ (v2-v)xv.u + (3v2-v)x2v dz + v2x3v dz + (1-2v) vxv.u +(1-2)vx2v dz

) + v x u(x

( (

du du d 2u 2 ⇒ v2xvu –vxvu +3v2x2v dz - vx2v dz + v2x3v dz +

(

+ v2-v4) xvu =0

2 2v

2 v

+1-v2) = 0

2v

du du vxvu-2v2xvu + vx2v dz - 2v2x2v dz

)+

v2xvu(x2v+1-v2) = 0 du du d 2u du du 2 ⇒ x2xvu –vxvu +3v2x2v dz - vx2v dz + v2x3v dz + vxvu-2v2xvu + vx2v dz - 2v2x2v dz + v2xvu(x2v+1-v2) = 0 ⇒ v2x3v

d 2u du 2 dz + 3v2x2v- vx2v + vx2v-2v2x2v dz + (v2xvu-vxvu+vxvu-2v2xvu)+ v2xvu(x2v+1-v2) = 0

(

)

d 2u du 2 ⇒ v2x3v dz +v2x2v dz - v2xvu + v2xvu(x2v+1-v2) = 0 d 2u du 2 ⇒ x3v dz + x2v dz - xvu + x3vu+ xvu –xvv2) = 0 d 2u du 2 ⇒ x2v dz + xv dz - u (x2v – xv) = 0 Karena y =xv.u dan z = xv , maka z2 = x2u, sehingga: d 2u du 2 Z 2 dz + z dz +(z2-v2) u= 0 Persamaan bessel dengan variabel Z dengan akar-akar v dan –v. Sehingga solusi umumnya adalah: Y(x)

= A0 Jv (z)+B0 J-v (z) = A0 Jv(xv)+B0 J-v(xv)