Tekst Diplomskog.docx

Задатак геометрије је да људе уздиже и доводи у додир са вечитим и бестелeсним идејама, којим се бави и само божанство. ПЛАТОН

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

УВОД

Учење математике на предшколском и млађе школском узрасту уско је везано за конкретне проблеме и потребе из свакодневног живота, уз истраживања и упознавање света у којем живимо. На исти начин су се развијала и математичка знања у историји, од конкретних проблема из света искуства према теоријским знањима. Из историјских остатака можемо видети да је већ прачовек познавао геометријске облике и ликове (по облику настајања које је градио, облику оруђа које је употребљавао, орнаментима на неким посудама које је израђивао и тд.) Геометрија је одувек била омиљена математичка грана. Тако да за геометрију можемо рећи да је настала веома давно, зато се онда и сматра древном науком. Она је у свом првобитном занчењу представљала науку о простору која проучава облике величине и узајемне положаје предмета. Данас постоје многе геометрије и теорије. Оне се данас разликују по томе какав простор изучавају, којим методама се служе, које фигуре и њихова својства изучавају итд. Основни задатак изучавања геометријских садржаја у поченој настави математике је формирање код деце јасних представа и појмова о основним геометријским фигурама као и упознавање односа међу њима. Појмови геометријских садржаја изграђују се чулно – искуственим и мисаоним сазнањем, што значи да их можемо видети, додирнути, направити, предпоставити, дакле, у потпуности га доживети, док то за аритметичке појмове не можемо рећи. Као што смо већ рекли, историјски пут развоја математике врло је сличан сазнајном путу које пролази дете на почетку свог образовања, па су тако и овде геометријски садржаји најпогоднији да се њима започне настава математике. Осим тога дете се најбоље саналази у опредмећеном свету у којем живи па је оправдано уверење да наставу математике теба започети управо геометријским садржајем. У геометријском смислу важмо је знати да се знања о геометријским појмовима стичу поступно, а на крају долази фаза мисаоног формирања геометријских појмова. Изучавајући геометријске садржаје настава мора бити усмерена на развијање просторне орјентације код деце; на развијању способности посматрања, уочавања, упоређивања, апстаховања и уопштавања. У току изучавања геометријских садржаја

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

неопходно је користити очигледна наставна средства, а код неких наставних јединица треба активирати и децу тако што ће и сами израђивати моделе на пример: квадрат, троугао, круг, квадар, коцку, лопту. Приликом сталног проширивања и богаћења дечијег знања о представама и појмовима геометријских садржаја важно је и неоходно ослањање на њихова постојећа искуства. За почетну наставу геометрије битно је да се сагледају конгинитивне могућности деце за формирање геометријских појмова и на оснву тога да се одреде садржаји и њихова дидактичка интерпретација. Готово сви методичари се слажу да је један од најважнијих циљева наставе математике развој логичког мишљења код детета кроз математичке садржаје. Логичко мишљење често називамо и математичко мишљење што у настави математике значи да дете мора научити размишљати и комуницирати са задатим степеном слободе односно научити како мисао довести од предпоставке до закључка, строго поштујући прихваћено знање појмова, задата правила и задата ограничења, а самим тим разумети начин долажења до нових сазнања. Да би овај циљ остварили, детету се мора понудити адекватна околина, за учење примерено степену његовог сазнајног развоја, која ће постицати његов даљи развој и у којој ће учити како закључивати, поимати, судити и истраживати. Математичко мишљење млађе деце је глобално и на том нивоудеца геометријске фигруе упознају као целину, по облику. Касније се изучавају својства геометријских фигура и према тим својствима оне се препознају. Затим на вишем нивоу деца повезују своства фигура у једну целину и на основу њих исказују дефиниције, у стању су да искажу дефиниције најближих врсних појмова. На основу могућности деце најпре се може почети са препознавањем и именовањем модела геометријских тела и то лопта, коцка, квадар, пирамида, ваљак и купа. Нкон тога упознају појам површи и то равне и закривљене и стране геометрискх тела као површи, затим појам линије и то праве, криве, отворене и затворене, упознаје се са тачком, а након тога упознаје квадарат, правоугаоник, троугао и круг.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

1. ИСТОРИЈСКИ РАЗВОЈ ГЕОМЕТРИЈЕ 1.1 КРАТАК ПРЕГЛЕД РАЗВОЈА ГЕОМЕТРИЈЕ

Од свих математичких наука, геометрија има најдужу историју. Реч геометрија је грчког порекла и састоји се од речи geo – земља и metrol – мера, мерити што у буквалном преводу на српски језик занчи „мерење земље“. Развоју геометрије предходили су миленијуми запажања, прикупљања чињеница, сазревања сазнања. То је један дуг период у коме је настало емпириска геометрија заснована на посматрању и експерименту. Човек палеолита је у природи уочавао разне облике и стекао прве представе о правом и закривљеном. Посматрајући Месец и Сунце стекао је прву претставу о кругу. Доба неолита доноси нова сазнања. То је почетак формирања првих људских заједница и поседа. Постепено су се развијали занати као што су грнчарски, ткачки и дрводељски. Развој трговине доводи до појаве језика. Пронађен је грчарски круг и колски точак. Јавља се потреба човека за лепим па се развијају и фини осећај за геометријске облике. Неолитски орнаменти су пријатни за око, јер су у њима садржани једнакост, симетрија и сличност фигура. Почиње и украшавање глинених посуда, израда асура, корпи и тканина од трске, а касније и обрада метала допринели су формирању представа о односу у равни и простору. Као што се може видети геометрија сеже још од античког доба, али је њена колевка несумњиво Исток, тако да развој геометрије можемо поделити на четири периода и то: 1. период настанка, до око V века пре нове ере 2. период систематског излагања, античка Грчка 3. аналитичка геометрија, од настанка капитализма у Европи 4. изградња нееуклидских геометрија, до данас. Геометрија се као накука први пут појавила у дреном Египту, Вавилнији и Грчкој у вези са развојем културе премеравања тла. Египћани су развијали индуктивни метод закључивања – од појединости ка општости. У VII веку пре н.е. геометријско знање је по мижљењу грчких историчара пренесено из Египта и Вавилоне у Грчку. Око IV – V века пре н.е. Грчки филозофи су се почели упознавати са египатским и вавилонском мудрошћу и тада почиње период систематског излагања геометрије као науке, када се све тврдње (искази) доказују.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Прво геометријска знања старих Египћана први је Грчима пренео Талес из Милета. Он је основао Јонску филозофску школу у граду Млету на малоазиској обали Јонског мора и први је почео да доказује геометријска тврђења. Користећи сличност троуглова одредио је висину Кеопсове пирамите и растојање брода на морској пучини од обале. Тако да су Грци развили нови метод тј. дедуктивни метод – од општег ка појединачном.

И ако се Талес сматрао најстаријим грчким математичарем и пак највећа заслуга припада Питагори и његовој филозофској школи. Велики је допринос Питоагоре и питагорејанаца у развитку геометрије. Доказали су Питагорину теорему, теорему о збиру углова у троуглу, конструисали правилни тетраедар, коцку и додкаедар, открили несмерљивост дијагонале и странице квадрата. Хипократ Хионски, Питагорин следбеник, изложио је системски геометрију („Елементи геометрије“) Најпознатија школа у Атини у V – VI веку пре н. е. Била је Платонова академија. На улазу у ову академију био је натпис: „Нека нико не улази овамо, ко не зна геометрију.“ Мада Платон и његов ученик Аристотел нису оставили никаквих дела у геометрији, али су придавали значај систему и основама геометрије. Платон је први почео да поставља аксиоме, али у то време многе аксиоме су искуључивале једна другу. Тако је геометрија у Грчкој достигла степен када је постала нужна да се она систематизује. Систематизацију геометрије је учинио Еуклид у III веку пре н. е. који је и био на челу Александријске школе. Он је написао дело „Елементи“ које се састоји од 13 књига и представља највише читано математичко дело у историји. Еуклид своје ставове исказује у универзалном облику. Не интересује га своство неке конкретне геометријске фигуре, не задовољава се само исказивањем тврђења, већ их и доказује. У доказивању се служи логичким расуђивањем, а не експериментом. Еукели у својим „Елементима“ износи полазно тврђење из којих ће се дедуковати остали. Њих не доказује. Називамо их постулатима. То су тврђења о линијама, угловима и другим фигурама. Тврђења која доказује представљају теореме (ставове). Поред постулата, којих има пет и то: нека се предпостави 1. да се може повући од сваке тачек ка свакој другој тачки права линија;

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

2. и да ограничена права може бити продужена у свом правцу непрекидно; 3. и да се може описати из сваког средишта сваким растојањем круг; 4. и да су сви прави углови једнаки међусобно; 5. И да ће се, ако једна права у песеку са другим двема образује са исте стране два унуташња угла чији је збир мањи од правог угла, те две праве, бескрајно продужене сећи и то са оне стране са које су ови углови мањи од правог.1 Он користи и девет других полазних ставова (аксиома) и то: 1. Они (објекти) који су једнаки истом (објекту) једнаки су међусобно; 2. Ако се јендаким (објектима) додају једнаки (објекти) целине су једнаке; 3. Ако се од јендаких (објекта) одузму једнаки (објекти) остаци су једнаки; 4. Ако се нејендаким (објектима) додају једнаки (објекти) целине су неједнаке; 5. И удвостучени једнаки (објекти) једнаки су међусобно; 6. И половине од једнаких (објеката) једнаке су међусобно; 7. И они (геометријски објекти) који се могу поклопити једнаки су међусобно. 8. И целина је већа од дела; 9. И две праве не ограничавају област.2 Разлика између постулата и аксиома јесте у томе што постулати говоре о геометиским објектима и њиховим односима који су узети за основне појмове, а аксиоме су опште прихваћене истине. Еуклидов поступак подразумева да сваки појам који се користи буде дефинисан, где и прва књига „Елемената“ почиње са 23 дефиниције на пример: 1. Тачка је оно што нема делова. 2. Линија је дужина без ширине. 3. Крајеви линије су тачке. 4. Права линија је она, која за тачке на њој подједнако лежи. 5. Површина је оно што има само дужину и ширину. 6. Крајеви површине су линије. 7. Раван је површина која за праве на њој подједнако лежи...3 Све друге геометијске ставове Еуклид доказује на основу неког полазишта: постулата, аксиома, дефиниција и већ доказаних теорема.

Еуклидови елементи Ибид 3 Ибид 1 2

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

После Еуклида у Грчкој се јавља низ истакнутих математичара Архимед, Апооније, Ератостен и други који су обогатили геометрију новим открићима. Распад

античког робовалсничког уређења довело је до заостоја у развоју

геометрије у Грчкој, да би тек развојем капитализма у Европи дошло до новог тј. трећег периода у развоју геометрије. У првој половини XVII века насаје алнитичка геометрија чији су творци Декарт и Ферман, у XVIII веку се јавља диференцијална геометрија у делима Ојлера и Монжа. Такоже у то време се јавља и пројектна геометрија. Четврти период у развоју геометије обелижен је изградњом нееуклидске геометрије, чији су ставови често супротни од ставова Еуклидсе геометије. Једна од тих је била геометија Лобачевског, коју је Лобачевски израдио истражујући основе геометрије. После тога је Еуклидска геометрија (обична елементарна геометрија која се изучава у школи) добила своју аксиоматичку основу. Крајем XIX века немачки математичар Хилберт је први поставио конкретан систем аксиома Еуклидске геометрије тзв. Хилбертове аксиоме. Он је то објавио у свом делу „Основе геометрије“. Хилберт књигу „Основе геометрије“ започиње дефиницијом: „Ми замишљамо три различита система ствари: ствари првог система називамо тачкама и означавамо их са А,В,С..., стави другог система називамо правима и означавамо их са 𝒶, 𝒷, 𝒸; ствари трећег система називамо равнима и осзначавамо их са 𝛼, 𝛽, 𝛾; тачке се називају и елементима линеарне геометрије, тачке и праве се називају елементима равне геометрије, а тачке, праве и равни називају се елементима просторне геометрије или елемнтима простора.4 Тачек, праве и равни замишља у извесном међусобном односу и означава ове односима речима „лежати“, „између“, „подударно“, „паралелно“, „непрекидно“. Тачан и за математичке сврхе потпун опис ових одноа постиже се помоћу аксиома геометрије. Тако да поред основних појмова и релација у гометрији имамо аксиоме, које су сврстане у пет група: I. II.

5

Аксиоме распореда

III.

Аксиоме подударности

IV.

Аксиоме пралености

V.

4

Аксиоме веза

Аксиоме непрекидности.5

Д,Хилберт, Основи геометрије, Српска академија науке,Београд, 1957, стр.3 Ибид, стр 3

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

1.2 ГЕОМЕТРИЈСКЕ ФИГУРЕ И ПОЈМОВИ Једна од првих знања која деца стичу у поченој настави математике су неки основни појмови уз помоћ којих они успешно овладавају наставним садржајем, па самим тим они представљају основну грађу мишљења код деце. Сам сазнајни процес у настви геометрије мора дс се заснива првенствено на схватању и разумевању геометријских појмова који се јављају у том процесу. Правилно и потпуно проучавање тих појмова је први корак ка успешном усвајању знања из геометрије. Под геометријским појмом подразумевамо сва својства која су карактеристична за неки скуп објеката. Тако на пример квадрат један математички појам, а чине га својства: четвороугаони облик, једнакост страница, прави углови и тд. Треба напоменути да дете на предшколском и млађешколском узрасту најцелисходније генеричкиприступа при формирању појмова. Дете на основу чулно – искуственог сазнања увиђа да сваки реални објекат има сопствени облик, да заузима одређени положај према другом објекту, запрема један део простора. Одбацивањем свих осталих дредница реалних објеката, а задржавањем три наведена својства (облик, положај и величина заузетог простора) формирамо математички појам – геометријско тело. Мисаона граница између геометријског тела и простора коме тело припада је геометријска површ. С обзиром да ранице реалних објеката могу бити равне и криве то и површи могу бити равне и криве. Тело ограничено само равном површином су рогљаста, а они која имају бар једну криву површ су нерогљаста, међу њима су: ваљкаста, купаста и сферна тела. Ако равну површ „проширимо“ по целом простору „протезањем“ у две димензије добијамо геометријску раван. Издвајањем једног дела равни добијамо затворену ограничену равну површ. Граница између ове површи и осталог дела равни (који припада површи) је геометријска линија. Линију, као мисаону творевину схватамо и као пресек површи. Зависно од врсте површи које се секу пресеци могу бити: -

права линија и

-

крива линија.

Ако мисаоно „продужимо“ једну правау линију по целој равни „протезања“ у једној димензији, добићемо геометријску праву. Мисаоним издвајањем једног дела

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

праве и њиховим изоловањем од осталог дела праве, добијамо затворену ограничену праву линију – геометријску дуж. Граница дужи од осталог дела праве која припада дужи је бездимензиона одредница – геометријска тачка. Тачку, мисаоно схватамо и као пресек заједничи део линије. Тако да је основни задатак изучавања геометријског садржаја у почетној настави математик, је формирање код деце јасних представа и појмова о основним геометријским фигурама, као и упознавање са односима међу њима. Појмови геометријског садржаја изграђују се чулно – искуствним и мисаоним сазнањем. Пут формирања појма код детета је: уочавање одговарајућих реални предмета → уочавање њихових заједничких карактеристика које у глави остављају некакав трак (ментална слика) који носи заједничко својство свих појединачних примера → именовање и симболичко записивање појмова који се фромира. Међутим, најважније особние некго појединачног појма су његов обим и садржај. Обим појма је скуп свих реалних предмета које обухвата дати појам. На пример: обим појма круг чине сви кругови, опбим појма троугао чине сви троуглови. Садржај појмова чини скуп његових биних особина на пример: садржај појма троугла чине три угла, три странице. Најбитнија заједничак особина за обим и садржај је да су у обрнутој размери тј. ако се увећава садржај, обим се смањује. На пример: ако за троугао повећамо захтев да су сви углови једнаки, обим се смањује остају само правилни троуголви. Ако смањујемо садржај на пример уклонимо услов да постоје тачно три угла и три странице, онда повећавамо обим и добијамо многоугао. На основу предходног можемо увести следеће: Ако обим једног појма обухвата обим другог појма, онда за овај шири појам кажемо да је родни у односу на други, а за ужи појам кажемо да је врсни у односу на први. На пример појам троугла је врсни у односу на појам многоугла, родни у односу на појам правоуглог троугла. Пример 1: Појам квадрата је врсни у односу на појам ромга, паралелограма и четвороугла. Појам четвороугла је родни у односу на појам паралелограма, ромба и квадрата. Најзад после одређивања обима и садржаја неког одређеног појма можемо тај појам и именовати. Имановање подразумева додељивање појму речи из придодног језика као и одређивање симбола.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Следећи корак у формирању појма након одређивања обима и садржаја појма је дефинисање појма. Многи појмови нарочито у детињству формирају се посматрањем великог броја предмета и појава и издвајањем заједничких особина. Међутим, највећи број појмова у математици стиче се путем дефинције. Дефинисањем се уводи нови појам помоћу што мањег броја других појмова које узимамо као основне или предходно уведен. У математици, као сновне појмове најчешће узимамо објкте као што су: тачка, права раван, између и тд. Овакве појмове не можемо дефинисати, већ их узимамо као полазне и потпуно одређене. У почетној настави математике то су они појмови који не захтевају додатна разматрања. Такви појмови су на пример: сећи се, лежи, испод, изнад, лежи лево (десно), површ, лопта итд. Ови појмови се стичу на основу искуства. Дефиницијом изражавамо најважније особине појмова. У дефиницију улазе оне особине појма које одређују појам једнозачно. Јако је важно да дефиниција не буде ни превише широка ни превише уска. Пример 2:

Квадрат је ромбкоји има четири права угла има вишка, јер је

довољно рећи: Квадрат је ромб који има један прав угао. Појам можемо дефинисати преко његовог родног појма, а најкоректније је то урадити преко најближег родног појма. Такве дефиниције, којима издвајамо особине појмова које га битно разликују од његовог родног појма зовемо карактеристичне дефиниције. Оне су важне за рану фазу наставе математике. За дефинисање геометријских појмова у млађемшколском узрасту користе се гентичек и дескриптивне дефиниције. Генетичке дефиниције показују како је дати појам настао, док дескриптивне описују дати појам набрајањем његових особина. Пример 3:

Коцка је геометријско тело које има 6 страна, а све стране су

додударни квадрати или краће: Коцка је геометријско тело ограничено са 6 једнаких квадрата. Дефинисање појмова је сложен поступак, нарочито у раним фазама наставе. То се може показати на примеру дефинисања круга. Деци најпре треба сугерисати да опажањем и уочавањем упознају примере коисне за схватање појма, као што су точак на бицикли, колима, облици као што су Сунце, Месец и томе слично. Нкон тога треба показати најбиније особине појма које га разликују од остлих појмова. Деци треба дати јано да је круг нешто што нема ивица, да оно што сматрамо кругом, може да се окреће. На тај начин деца стичу мисаону представу о кругу. Затим треба одредити уске специфичности појма. Треба објаснити

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

разлику измеду круга и кружнице. Међутим, врло је важно не оптерећивати појам неким строгим детаљима и посебним случајевима. На крају треба исказати речима дефиницију прецизно, са што мање нових речи, без сувишних детаља. Да би деца што боље схватила нови појам треба га опет илустровати конкретним примером.

1.3 АКСИОМЕ И ДЕФИНИЦИЈЕ НЕКИХ ВАЖНИЈИХ ГЕОМЕТРИЈСКИХ ФИГУРА

Пре него што навеемо неке важније дефиницје геометријскх фигура уочимо разлику између аксиома и теорема геометрије. Као и свака друга дедуктивна

теорија геометрија се заснива на извесним

појмовима које сматрамо познатим те их не треба дефинисати и на извесним тврђењима које сматрамо познатим те их не доказујемо. Полазне појмове које прихватамо без дефиниција називамо основним геометријским појмовима, а геометријска тврђења која прихватамо без доказивања

називамо основним

геометијским тврдњама или аксиомима геометрије. Појмове које дефинишемо у геометрији називамо изведним геометријским појмовима, а тврдња коју доказујемо у геометрији називамо изведеним геометријским тврдњама или теоремама геометрије. Основне геометријске тврдење или аксиоме геометрије као што смо раније рекли разврставамо у пет гупа по Хилберту. 1.3.1. Аксиоме везе Аксиоме везе постављају везу између тачака, правих и равни. Аксиома веза има седам и то: I1: Свака права садржи најмање две тачке А и В. I2: Постоји најмање једна права која садржи две тачке А и В. I3: Постоји највише једна права која садржи две разне тачке А и В. I4: Свака раван садржи најмање три неколинеарне тачке А, В и С. I5: Постоји најмање једна раван која садржи три тачке А, В и С. I6: Постоји највише једна раван која садржи три неколинеарне тачке А, В и С. I7 : Ако две разне тачке А и В неке праве 𝓅 припадају исвеној равни 𝜋, тада све тачке праве 𝓅 припадају равни 𝜋.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

I8: Ako dve ravni 𝛼 и 𝛽 имају једну заједничку тачку А, оне имају најмање још једну заједничку тачку В. I9: Постоје четири некомпланарне тачке А, В, С и D.6 Док се прве четири аксиоме односе на геометрију равни и називамо их планиметријским, а остале се односе на геометрију простора и називамо их стереометријским аксиомама везе. Тврђења која се добијају из аксиома веза показаћемо на неким од тих тврђења. Теорема 1.1 Постоји јена и само једна права која садржи две различите тачке А и В. Доказ: Према аксиоми I2 постоји права 𝓅 која садржи тачке А и В, а према I3 постоји највише једна таква права. Стога постоји једна и само јена права 𝓅 која садржи тачке А и В. Теорема 1.2. Постоји једна и само једна раван која садржи три неколинеарне тачке А, В и С. Доказ: Према аксиоми I5 постоји најмање јена раван 𝜋 таква да је А, В, С ∈ 𝜋 , а према I6 постоји највише једна раван 𝜋 таква да је А, В, С ∈ 𝜋. Стога постоји једна и само јдена раван 𝜋 која садржи три неколинеарне тачке А, В, С. Теорема 1.3 Ако две разнеравни 𝜋1 и 𝜋2 поседују најмање једну заједничку тачку, оне се секу по једној правој.

1.3.2. Аксиоме распореда и њихове последице У аксиомама распореда Хилберт истиче релацију између. Симбол ℬ(А,В,С) означава да се тачка В налази између А и С. Троелементна релација ℬ је карактериана следећим аксиомама: II1: Ако су А, В и С три колинеарне тачке такве да је ℬ(А,В,С), тада су сваке две од тачака А, В,С међу собом различите II2: Ако су А, В и С три колинеарне тачке такве да је ℬ(А,В,С), тада је ℬ(С,В,А). II3:Ако су А,В и С три колинеарне тачке такве да је ℬ(А,В,С), тада није ℬ(А,С,В). II4: Ако су А и В две разне тачке неке праве 𝓅, тада на правој 𝓅 постоји тачка С таква да је ℬ(А,С,В).

6

Д., Лопандић, Геометрија за трећи резред усмереног образовања, Научна књига, Београд, 1979., стр.18.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

II5: Ако су А, В и С три разне колинеарне тачке, тада важи најмање једна од релација ℬ(А,В,С), ℬ(А,С,В) или ℬ(С,А,В). II6: (Пашова аксиома). Ако су А, В и С три разне неколинеарне тачке и 𝓅 права која припада равни АВС, не садржи тачку А и сече праву ВС у тачки Р тада је ℬ(В,Р,С), тада права 𝓅 сече праву АС у тачки Q таквој да је ℬ(А,Q,С) или праву АВ у тачки R таквој да је ℬ(А,R,В).7 Првих пет аксиома поретка односе се на геометрију праве и због тога називају линеарним аксиомама поретка, а последња тј. Пашова аксиома односи се на геометрију равни. Потребно је напоменути да се из линеарних аксиома не може изградити потпуна геометрија поретак тачкака на првој и у изградњи те теорије неопходно је принеути Пашове аксиоме. Помоћу ових аксиома доказују се тврђења, где се наводе нека важнија, али без доказа. Теорема 2.1. Ако су А, В, С три разне колинеарне тачке, тада важи  (А, В, С) (В, С, А)  (С,А,В), где је  значи ексклузивну дисјункцију. Теорема 2.2. Ако су А и В двије различите тачке, тада постоји тачка С која је између њих. Теорема 2.3. Ако су А, В, С три неколинеарне тачке, а Р,Q,R тачке такве да је (В,Р,С), (С,Q,A), (A,R,B) тада су Р,Q,R неколинеарне тачке. Аксиоме поретка омогућавају да се установи појам дужи, полуправе, полуравни, пoлупростора, затим полигонске површи, полиедарске површи и полиедара. У теорији поретка могу се дефинисати конвексни и конкавни ликови. Дефиниција 2.1. За лик 𝜙 каже се да је конвексан или испупчен ако све тачке дужи одређене било којим двема тачкама лика 𝜙 припадају том лику; ако тај услов није задовољен, за лик 𝜙 каже се да јеконкаван или удубљен. 1.3.3. Аксиоме подударности и њихове последице Групм

аксиома

подударности

ближе

одређујемо

особине

релације

подударности које се односе на дужи и то: III1: Ако је (А,В) ≅ (C,D), тада је А=В, тада је C=D. III2: За сваке две тачке А и В имамо да је (А,В) ≅ (В,А). III3: Ако тачке А,В,С,D,E,F задовољавају релације (А,В) ≅ (C,D) и (А,В) ≅ (E,F) тада је (C,D) ≅ (E,F).

7

Д., Лопандић, Геометрија за трећи резред усмереног образовања, Научна књига, Београд, 1979., стр.20

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

III4: Ако су С и С’ тачке отворених дужи (А,В) и (А’,В’) такве да је (А,С) ≅ (А’,С’) и (В,С) ≅ (В’,С’) тада је и (А,В) ≅ (А’,В’) III5: Ако су А, В две различите тачке и С крај неке полуправе 𝓅, тада на плуправој 𝓅 постоји тачка D таква да је (А,В) ≅ (C,D) III6: Ако су А,В,С три неколинеарне тачке и А, В тачке руба неке полуравни 𝜋 такве да је (А,В) ≅ (А’,В’), тада у полу равни 𝜋 постоји јединствена тачка С’таква да је, и (В,С) ≅ (В’,С’). III7: Ако су А,В,С и А’,В’, С’ две тројке неколинеарних тачака сл. 1 и D, D’ тачке полуправих В,С и В’,С’ такве да је (А,В) ≅ (А’,В’), (В,С) ≅ (В’,С’), (С,А) ≅ (С’,А’), (В,D) ≅ (В’,D’), тада је и (А,D) ≅ (А’,D’). Помоћу ових аксиома доказују се тврђења, где се наводе нека важнија, али без доказа. Теорема 3.1. Релација подударности парова тачака је релација еквивалениције. Теорема 3.2. Ако су А и В различите тачке и ако је А' почетна тачка неке полуправе А'𝓅, тада на тој полуправој постоји тачно једна тачка В' таква да је АВ ≅А'В'. Теорема 3.3 Ако су А, В, С три различите тачке праве 𝓅 и А', В' две тачке праве 𝓅' такве да је АВ ≅А 'В', тада постоји једна и само једна тачка С таква да је АС≅А' С ' и ВС≅В'С'. Осим тога, С∈р' и распореди тројки А, В, С и А', В',С ' су аналогни. Овом теоремом се изражава могућност растављања дужи на два дела. 1.3.4. Аксиоме непрекидности и аксиома паралелности Неким трвђењима из предходних разматрања на извстан начин већ смо били упућени да праву линију замишљамо и на моделу представљамо као непрекидну линију. Тим тврђењима може се само налутити, но не и егзактно изградити учење о непрекидности, то је група аксиома непрекидности и њу сачињавају следеће две аксиоме: IV1: (Аксиома мерења или Архимедова аксиома) Ако су АВ и СD ма које две дужи онда постоји неки таквав број 𝓃, да када се дуж СD преноси 𝓃 пута од А једно за другим по полуправој која пролази кроз тачку В прелази се преко тачке В. 8 IV2:

(Аксиома

линеарне

потпуности

или

Канторовом

аксиомаом

непрекидности). Нека је на некој правој 𝓅 дат бесконачан низ дужи А1 В1, А2 В2 ,А3 В3 ... Аn Вn ... таквих да је: i. 8

Хилберт

Свака дуж Аn Вn садржи следећу Аn+1 Вn+1 као подскуп.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

ii.

Не постоји дуж која припада свим дужима тог низа, тада постоји тачка Х која припада свим дужима.

Наведене четири групе аксиома помћу којих се изграђује тзв. апсолутна геометрија нису довољне да се у потпуности изгради геометрија разматраног простора. За изградњу те теорије неопходно је увести још једну групу аксиома то је по реду пета група аксиома геометрије. Ту групу чини само једна аксиома која се односи на паралелне праве те је називамо и Плејферовом аксиомом паралелности. V1: За сваку праву 𝒶 и тачку В ван ње, у равни одређеној правом 𝒶 и тачком В постоји једна и само једна права 𝒷 која садржи тачку В и која са правом 𝒶 нема заједничких тачака. 1.3.5. Дефиниције неких важнијих геометријских фигура Деф. 1. Нека су А и В дате различите тачке. Скуп свих тачака С таквих да је (А,С,В) заједно са А и В називамо дуж и означавамо са АВ. Тачка С је унутрашња тачка, а тачке А и В су крајеви дужи. Деф. 2. Ако је ℬ(А, О, В) каже се да су тачке А и В са разних страна тачке О и да су О и В са исте стране тачке A (односно A и О су са исте стране тачке A) Деф. 3. Тачку О праве ℓ заједно са свим тачкама те праве које се налазе са исте стране тачке О називамо полуправа, а означавамо је са О ℓ. Деф. 4. Нека је 𝛼 раван и ℓ права садржана у равни 𝛼 . Ако су А и В произвољне тачке равни 𝛼 и ако постоји тачка С на правој l таква да је ℬ (А, С, В), каже се да су А и В распоређене са разних страна праве l. У противном, А и В су са исте стране праве l. Деф. 5. Тачке праве l заједно са тачкама равни 𝛼 у којој она лежи, а налазе се са исте стране те праве, чине полураван. Права l се назива граничном правом те полуравни. Деф. 6. Нека су А и В различите тачке простора Е и 𝛼 нека раван. Ако постоји тачка С у равни  тако да је  (А, С, В), тада кажемо да су А и В са разних страна равни . У противном, А и В су са исте стране равни 𝛼. Деф. 7 Тачке равни 𝛼 заједно са тачкама простора које леже са исте стране те равни називамо полупростор Деф. 8. Скуп тачака које припадају полуправама Ор и Оq називамо угаоном линијом са тјеменом О и крацима Ор и Oq, а означавамо је pOq. Лако се закључује да угаона линија лежи у само једној равни. Угаона линија ту раван дијели на двије угаоне области.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Деф. 9. Скуп тачака угаоне линије рОд и једне од угаоних области називамо угао, а значавамо га ознаком  рОq. Полуправе Ор и Оq су краци угла, а тачка О тјеме угла. Деф. 10. Ако су А и В произвољне тачке угла  рОq и ако дуж АВ припада углу  рОq, каже се да је угао  рОq конвексан. У противном, угао је конкаван. Деф. 11. Ако различити краци Ор и Оq припадају истој правој угао  називамо опружени. Ако су краци и једнаки, добијамо пуни угао, односно нула угао. Деф. 12. Углови  рОr и  qОq при чему различити краци Ор и Oq припадају истој правој, називају се упоредним. Деф. 13. Ако су Ор и Ор' односно Оq и Oq' различите полуправе праве а, односно праве b, тада се углови  рОq и  р’Оq' називају унакрсним. Деф. 14. Нека је А1, А2, ..., Аn (п  3) коначан скуп тачака при чему никоје три узастопне тачке нису колинеарне. Тада је унија дужи A1A2, A2A3,…,An-An назива изломљеном линијом. Ако је А1 Ап изломљена линија је отворена, а при А1 = Аn изломљена линија је затворена и назива се многоугао. Дужи Аi- Аi i = 2п су стране многоугла, а тачке Аi, i = п су тјемена. Деф. 15. Ако никоје двије различите стране немају заједничких тачака сем, евентуално тјемена, многоугао је прост. У противном, он је сложен. Деф. 16. Ако је О тачка у равни многоугла која му не припада и нека је Ор полуправа у тој равни која не садржи ниједно тјеме многоугла. Ако полуправа са многоуглом има паран број заједничких тачака, укључујући и нулу, тачка О је изван многоугла. У противном, тачка О је унутар многоугла. Другачије се каже, тачка О је вањска, односно унутрашња тачка многоугла. Деф. 17. Скуп свих унутрашњих (спољашњих) тачака простог многоугла називамо унутрашњост (спољашњост) тог многоугла. Деф. 18. Унија тачака многоугла и његове унутрашњости назива се многоугаоном површи. Многоугао са п врхова има п угаоних линија и п унутрашњих углова. Троугао је многоугао са три угла. Ако су сви унутрашњи углови конвексни, многоутаона површ је конвексна. Уколико је бар један унутрашњи угао конкаван и многоугаона област је конкавна.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Деф. 19. Унију двије полуравни аа и а@ са заједничком граничном правом а називамо диедарска површ. Полуравни су стране, а права а је ивица диедарске површи. Диедарска површ дијели простор на двије диедарске области. Деф. 20. Диедар /. аа/?је скуп тачака диедарске површи и једне диедарске области.

а Деф. 21. Нека је 51 тачка која не лежи у равни многоугла А1А2 ... А„. Скуп полуправих &4;, / = п таквих да Ај % &4,-, ј * *', назива се рогаљ. Углови А18А2, А28А3, ... , Ап-18Ап, А„$А1 су стране рогља, полуправе 8АГ су ивице рогља, а 5 је тјеме или врх рогља. На датој слици се налази један четворострани рогаљ.

Деф. 22. За неки геометријски објекат О кажемо да је повезан ако за сваке двије тачке А и В објекта С постоји многоугаона линија чији су крајеви А и В, а која припада С Повезан објекат О још називамо и област. Деф. 23. Ако су АЈ, А2,... , А„ различите колинеарне тачке, тада се користи симболј? (АЈ, Агџ..., АЈ. Још се каже да је на тај начин дуж АЈАП разложена на п-1 дуж. Права АЈАП]$ разложена на п-1 дуж и двије полуправе. Иначе, појам разлагања се уводи на било који геометријски објекат О. Деф. 24. Ако су геометријски објекти §Ј, §2> — > 8п садржани у објекту С и ако се објекат С/& <Ј & ^ ... ^ §п разлаже на т > 1 класа еквиваленције, помоћу

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

релације повезаио каже се да је објекат О разложен на објекте СУ, СУ,..., <Јт помоћу објеката#/, #2,..., #„.Нека је раван а у улози објекта С, а двије паралелне праве р\ и рг те равни у улози објеката §Ј И ^- Раван а се разлаже на три објекта СЈ, С2, ОЗ И ТО двије полуравни и једну пругу међу правима. Та три објекта су класе еквиваленције.

II КОГНИТИВНЕ МОГУЋНОСТИ ЗА РАЗВИЈАЊЕ ГЕОМЕТРИЈСКИХ ПОЈМОВА КОД ПРЕДШКОЛСКЕ ДЕЦЕ

У изградњи геометријских појмова код предшколске деце поступак је обрнут тј. полази се од предмета реалног света који се простиру у три димензие и који имају одређен облик. Ту дететово сазнање о појму започиње посматрањем примера везаних за тај појам. Дете сазнаје непосредним опажањем (чулно сазнање) на основу кога се стиче представа (ментална слика репродукција опажаја) о појму. Процес који почиње посматрањем примера и завршава се формирањем менталне слике

о неком геометријском појму назива се развијање геометријског

појма. Овакво знање о геометријском појму налази се на нивоу препознавања. Деца су у стању да препознају објекте на које се геометријски појам односи и да их именују. Следећа фаза у сазнајном процесу о појмовима је мисаона обрада чулно – искутвеног сазнања. У мисаоној обради учествују мисаоне операције, а најзначајнија је апстракција. На овом нивоу иде се од опажања ка апстрактном појму и затим се исказује дефиниција. Сазнање о геометријском појму, које је непосредно засновано на опажању и пролази фазу развијања и његове мисаоне обраде назива се изграђивање геометријског појма. Док процес сазнања код кога се у мисаоној обради користи чулно искуство које је стечено раније, а не приликом обраде појма назива се формирање геометријског појма. Изнете фазе у сазнајном процесу о појму (развијање, изграђивање или формирање појмова) представњају геометријско расуђивање о појму. На том путу треба тежити да до изражаја дођу деца, јер на тај начин могу да разумеју оно што уче и да то шно уче трајно усвоје и упешно примене. 2.1. САЗНАЈНЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ У ПСИХОЛОШКО – ПЕДАГОШКОЈ КАТЕГОРИЈИ

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Геометријски садржаји су одувек сматрани за оне садржаје који имају изузетну вредност за развијање опажања и мижљења посебно логичко – математичког мишљења. Тако Баскин између осталог каже: „Ни у јеном предмету логичке методе не избијају тако изразито на прво место као у геометрији. Ни у јеном другом предмету целокупни материјал не зависи тако пресудно од логичког мишљења. Најзад ни један други предмет не пружа толико примера за илустрацију логичких ставаова. Стога ни један други предмет не располаже таквим могућностима за развијање логичког мишљења као геометрија.“9 У раду са предшколском децомгеометријски садржаји имају посебну вредност, јер они оспособљавају дете за правилно схватање простора. С обзиром да предшколса деца не могу до краја изградити ни један појам геометријског карактера, то не значи да их треба лишити и оних сазнања која су им доступна. Због тога што се та

сазнања налазе у основи изграђивања геометријских појмова и

просторног представљања, што даље има веома велики значај за општи развој детета и упознавање света који га окружује. Без правилног опажања простора и просторних облика и развијања способности елементарне анлаизе облика и просторних односа нема ни виших форми апстраховања и резоновања у домену геометрије. Према Пијажеу у периоду развоја перцепције изграђују се значајне операције којима се структурира простор: ред просторне сукцесије и уклапање интервала или растојања, конзервација дужине, површине и тд. Операције које се развијају још нису такве да је дете способно да врши логичке операције без истовременог извођења практичних активности. Процес развијања почетних геометријских појмова је процес развијања функције чула која учествују у опажању просторних појава, поцеса изграђивања просторних представа, процес сталног развоја виших облика трансформације просторног искуства и развоја симболичких функција. Зато је реализација програмских садржаја везаних за геометријске појмове условљена познавањем путева сазнања облика предмета и процеса формирања ових појмова.10 С тога се целокупан рад у овој области мора заснивати на природним путевима опажања и апстраховању просторних односа и облика као посебног вида тих односа. Велики број истраживања у свету је посвећен опажању облика предмета, где су експерименти вршени са децом свих узраста. Тако је Л. А. Вангер закључио да се извесно разликвање дводимензионих и тродимензионих фигура јавља већ код деце у терћем – четвртом месецу живота. 9

Н.,Добрић, Развијање почетних математичких појмова у предшколском узрасту, Београд,1985, стр.165 Ибиди, стр.166

10

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Међутим, данас се поуздано зна, то су утврдили многи експеримнети, да у процесу развоја опажања форме веома важну улогуима рука – као орган пипања и као орган деловања на предмет. (Пијаже, Јакопсон, Волоткини, Херлоков и др.) Сматра се да тактилна перцепција предњачи у односу на визуелну све до четврте – пете године и да рука „учи“ око. Интересантно је поменути још и експерименте П.В. Зиченка и А.Г. Руске којима су утврдили да при решавању истих задатака код неких је руци било потребна помоћ ока, код неких оку помоћ руке, док су неки задаци успешније решавани уз помоћ само једног чула. У раду са предшколском децом изузетно је важно знати, да је код њих процес опажања облика у најужој вези са практичном радњом коју дете врши на предметима. У току разних активности са предметима, пипање као начин упознавања форме постепено се диференцира од практичне радње и јавља се као самостално сазнајна активност чији је циљ упознавање облика предмета. Међутим, и визуелно опажање форме се постепено временски усавршава, па тко практична радња, пипање и визуелно опажање обогаћују перцепцију форме. Сматра се да тек око пете године само визуелна перцепција облика достиже по ефикасности перцепцију која је резултат практичног манипулисања. Упоредо са овим процесом врши се трасформација практичне радње у мисаоне операције. При томе свест, како тврди и Пијаже, не добија готове психичке садржаје преко чула. За изградњу одређеног појма потребно је активна трансформација перцепције. Интериоризацијмо практичних радњи и сензо – моториних операција дете се постепено оспособљава да оперише формом као својством предмета независно од самог предмета носиоца форме. Задатак рада са предшколском децом је управо развијање способности оперисања формом као посебним параметром, јер у изграђивању појма бока главна тешкоћа коју треба савладати, превазићи јесте постојање синкретичности у мишљењу детета. Дете предшколског узраста није способно да врши рашчлањавање појмова, већ их схвата глобално, целовито и недеференцирано. У схватању облика код предшколске деце мошемо уочити неколико фаза. Дете млађег предшколског узраста је сконо да фору предмета идентификује са самим предметом (Облик лопте је само лопта играчка). Док дете на крају средњег и почетног старијег узраста почиње издвајање облика као једнг од својстава предмета. У овом периоду деца почињу да апстрахују форму и свесна су апстрактивног значења облика. Апстрактовање форме истовремено значи и прелаз са перцептивно – практичне фазе у развоју опажања и мишљења на перцептивну активност у првом смилу и на

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

опажајно – представно мишљење којег ће у даљем развоју сменути право појмовно мишљење.11 Многа истраживања рађена у циљу изналажења најбоље методе у развијању геометријских појмова потврдила

су Пијажеов став да васпитач треба дете да

подстакне на размишљање, нудећи му могућност манипулације предметима, а затим постављајући му захтеве у виду игре, да би у игри показало самоиницијативност, „изумевање“, радозналост, аутокорекцију, да развија самопоуздање и радост откривања непознатог. Затим у рализацији овог дела програмских садржаја циљ нам није давање неких готових знања о геометријским облицима, већ стимулисање развоја оних сензорних и мисаоних структура које су предуслов за формирање геометријских појмова. Па стога можемо закључити да је предшколско дете способно да иде даље од обичног перцепирања и перцептивног разликовања облика, оно може форму предмета да мисаоно издвоји од самог предмета, може да апстахује облик и да буде свесно његовог апстактног значења.

2.2. РАЗВИЈАЊЕ ПРВИХ САЗНАЊА О ГЕОМЕТРИЈСКИМ ПОЈМОВИМА КОД ДЕЦЕ ПРЕДШКОЛСКОГ УЗРАСТА Процес опажања и схватања форме је у најужој вези са практичном радњом коју дете врши на предметима кроз слободну игру деце предметима различитог облика. Дете ће облике пре схватити ако је тим облицима раније манипулисало. Развојни ступњеви код геометријских представа и појмова код деце су у обрнутом редоследу од оног како су ти појмови настали. Деца најпре откривају тополошке појмове, а затим пројектну геометрију, па тек онда еуклидску геометрију. 2.2.а. Разијање геометријских појмова код деце млађе узрасне групе Италијански теоретичар предшколског васпитања Марија Монтесори је у стварању свога познатог материјала тежила да деци пружи најразличитије облике. С обзиром да је основни задатак у раду са млађом узрасном групом развијање перцепције и дискриминације облика, због тога ову групу треба опремити гарнитурама лопти разних величина, коцки и других облика и разним конструктивним материјалима. 11

Н.,Добрић, Развијање почетних математичких појмова у предшколском узрасту, Београд,1985, стр 167.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Деца већ цртежом почињу да изражавају своје представе, тако да лопту предстаљају „кругом“ боље рећи затвореном кривом линијом. С тога је и програмска орјентација да деца млађе групе науче да разликују облик лопет од других облика и да тај облик препознају на предмтима којима манипулишу. Поред најразноврснијих свакодневних ситуација пгодних да се деци укаже на облик лопте, могу се организовати и посебне активности у којима ће доминирати овај облик као својство већег броја предмета с којима се изводе планиране активности. Да би деца обратила пажњу на облик, васпитач оабране предмете може да котрља по длану, котрља с длана на далан, по патосу и сл. Ову перцепцију васпитач поткрепљује речима: „Гледајте кликер се котрља, котрља се и ова куглица, лоптица се по столу... Зашто се могу котрљати и кликер и лоптица и клупче...?“ Васпиач организује разне игре у којима деца уочавају да се предмети који имају облик лопте котрљају било како да се баце. Котрљање предмета који имају облик лопте је физичко својство предмета тог облика и то је без значаја за сам појам, јер ће деца тек на стријем узрасту почети да се служе неком врстом вербалне дефиниције, али у њу нетреба уносити ову одредбу. Међутим, практичне радње са предметима и ослањање на физичка својства неопходна су у грађењу појмова. Деци је доста лакше да уоче облик лопте ако имају прилику да га истовремено упоређују са другим облицима. За то упоређивање и уочавање разлике најбоље је узети коцку.12 Фебел, а и новија истраживања показала су да деца најлакше перципирају облик лопте и коцке с њиховим изразитим једноличним понављањем перципиране површине. Сталним именовањем облика и указивањем на својства предмета датог облика, дете почиње да издваја облик од предмета и постаје способно да обликом као појмом оперише независно од предмета. Поред упознавања деце са облицима лопте и коцке, децу упознајемо и са појмом геометријских фигура у равни. Равне геометријске фигуре деца теже схватају и зато користимо моделе, логичке блокове. У млађој узрасној групи деца треба да умеју да препознају круг. Они као модел користе саобраћајне знаке, дугме, кружиће разних боја, точкиће. Међутим, да би деца правила разлику између лопте и круга узима се модел лопте која се може раздвојити на делове и показује да је пресек круга, део равни а цело тело је лопта. Деца при том анализирају облике предмета и отвора, упоређују их и повезују облик лопте са обликом круга, облик квадрата са обликом коцке идт. Дете ако не успе у

12

Н.,Добрић, Развијање почетних математичких појмова у предшколском узрасту, Београд,1985, стр 168

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

првом покушају оно ће стрпљиво наставити истраживање, све док не реши проблем, а то и јесте најважнији циљ – развој мисаоних функција, неговање упорности, систематичности и истрајности, што резултује упешном решавању задатака. А самим тим се развиа самопоуздање детета и задовољство, радост због упеха тј. развијају се пожељне особине личности детета. Зато код деце теба искористити њихову радозналост од самог почетка и деци треба давати испрвне одговоре, појаве, предмете, облике предмета и њихове односе именовати правим именом. Од пресудног значаја у малђој узрасној групи је индивидуални облик рада. У слободним активностима деци се могу понутиди логички блокови, где издвајају блокове кружног облика, затим да класификују по величини и боји или да врше серијацију кругова по величини и боји. Овде се примењује

операција

класификације и серијације на опажање и развијање појмова о геометријским облицима. 2.2.б. Развијање геометијских појмова у средњој узрасној групи Децу средње узрасне групе карактеристише неразвијено мишљење, они су још увек у преоперационој фази, али знатно развијеније него код деце млађег узраста. Они су у могућности да разумеју математичке садржаје и формирају представу о геометријским фигурама. Деца на овом узрасту су у стању да именују неке облике предмета, да их описују, упоређују са другим облицима предмета, разликују и препознају. Међутим, све је то још далеко од математичког појма одређене геометријске фигуре, то се постиже тек на оперативном нивоу. У средњој узрасној групи деца упознају и облик коцкице. Собзиром да мишљење на овом узрасту јос увек није довољно развијено, али је развијеније него код млађе узрасне групе. Ово омогућава да деца схвате сложеније геометријске појмове. Поред препознавања облика коцке, деца су још у стању да истакну и њене битне карактеристике.13 У раду на развијању схватања олика коцке пажњу детета треба обраћати на стране коцке. Подударност страна најлакше ће дете уочити у разним конструктивним играма с елементима у облику коцке. При развијању појма коцке треба поћи од модела коцке, који је направљен од дрвета, пластке, картона и омогућити да свако дете добије модел, да га опипа и загледа са свих страна. 13

Шимић, Методика ....стр.169

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Уз помоћ васпитача деца рукама додирују стране коцке и гроје их. Бројањем они закључују да коцка има шест страна, а запажају да су све стране међусобно једнаке, уочавају ивице и темена, развијају и појам квадрата. Све ово је неовојиво од модела чији се делови додирују и именују. Међутим, као издвојена сазнања чињеница та подударност не постаји у свести детета. Са овом чињеницом васпитач упознје децу на разне начине. Једнакост стран се доказује утискујући сваку стране у исти отисак или опцтравајући оловком једну стану и у тај оквир стављајући остале стране. Све време морамо бити свесни да се ради о материјализацији геометријског појма коцке да би смо усмерили децу да уоче и апстрахују само битно својство модела коцке, створе представу о коцики и по томе је препознају. Док до појма квадрата долази се тако што са коцке „скида“ налепљена страна од папира или картона, па се онда тај квадрат ставља на све стране коцке и уочава поклапање. То

није

једноставно,

јер

мешљење

деце

је

још

увек

глобално

и

недиференцирано. Они коцку посматрају као целину и не могу да јеразложе односно да на њој уоче и издвоје неке њене елемеенте и да и анализирају одвојено од коцке. Када деца са вањпитачем именују квадрат, одна заједно прстом по ивици повлаче и броје их. Дете тада уочава да квадрат има четири странице и да су међуособно једнаке и показују четири темена квадрата. Погодан дидактички материјал за развијање појма квадрата су логички блокови, геометријски домино, геометријски лото и сл. Деца на овом узрасту упознају облке и разлкују једне од других брже него што усвајају термине. Развијање појма квадрата се остварује како на слободним тако и на усмереним активностима, у игри, разговору, посматрању предмета из околине и у корелацији са остллим васпитно – образовним областима. 2.2.в. Развијање геометријских појмова у старијој узрасној групи Код деце старије предшколске групе велики је скок у развоју интелигенције. Мисаоне операције су им развијеније, јавља се и аналитичко мишљење, што омогућава да боље запажају. Богатији речник им омогућава да боље описују оно што запажају. На овом нивоу развијајусе појмови квадар, правоугаоник, троугао и ваљак. Дете сада са лакоћом одваја облике од предмета, лако их именује и препознаје, не само у околини, већ и на цртежу. Појам квадрата деца развијају тако што се деци понуде модели коцке и квадра и подстичу се да уочавају њихове сличности и разлике. На моделу квадра деца уочавајуда нису све стране једнаке, за разлику од коцке.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Кад васпитач процени да су деца схватила осноне карактиеристике квадра тада се може ици на развијање појма правоугаоника. До правоугаоника се долази на сличан начин као што се долази и до квадрата. Васпитач показују једну страну квадра која није квадрат и деца се подстакну да пажљиво посматрају ту фигуру, запазе и опишу у чему се разликује од кватрата, зато се узима модел правоугаоника коме је једна страница подударна страници квадрата, а друга се доста разликује. Деца се затим упућују да прстима правлаче преко стрница правоугаоника и покажу које су једнаке странице, а које неједнаке, затим им се саопштава да та страна квадра има облик правоугаоника. Следећи корак је препознавање облика правоугаоника на цртежу, симболичкој представи, као прелазу са конкретног предмета на апстрактну представу о геометријским фигурама. У старијој узрасној групи деца су у стању да врше класификацију по два и више својстава, да врше серијацију више од три предмета, да оперишу појмовима на нивоу представа. Деца такође уочавају да су квадрат и правоугаоник четворуоуглови. Када су деца у потпуности схватила појам четовроугла, онда се са папирног модела четвороугла пресавијањем по дијагонали добијанови модел фигуре тј. троугао. У циљу развијања појма троугла и четвороугла организује се више активности, праве се модели од картона, палидрваца, користе се „танаграми“ и разне дидактичке игре за развиање појмова геометријских фигура. Велики успех и напредак деца предшколског узраста постижу ако су у стању да на сложеним предметима и сликама тих предмета открије површине одговарајуће некој геометријској фигури. Да би ово постигли они морају бити способни да мисаоно рашчлањују тај предмет односно слику, да врше анализу форме сваког његовог дела и да препознају одређену фигуру. Од деце на овом узрасту не може се тражити да говоре научним речником, држећи се строгих дефиниција и аксиоматике, већ се терминологија поједностављује тако да дете може да да вербални опис фигуре који није у супротности са научним погледом на геометријске садржаје.

III МЕТОДИКА ФОРМИРАЊА ГЕОМЕТРИЈСКИХ ПОЈМОВА КОД ДЕЦЕ ПРЕДШКОЛСКОГ УЗРАСТА

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

3.1. УЛОГА И ЗАЧАЈ ЗНАЊА О ГЕОМЕТРИЈИ Геометрију учимо због њеног значаја. Она је продрла у многе области математике и без геометрије се не би могла замислити математика. Према Глејзеру геометријско образовање има вишеструки заначај и то: 1) логички занчај, јер доприноси развоју детета и његових способности 2) сазнајни значај, јер помоћу геометрие дете упознаје свет који га окружује, његове просторне и количинске односе. 3) историјски и филозовски значај. Значај развоја геометријски садржај доприноси и развија друге веома важна својства личности детета као што су интелектуално радозналост, истрајност, доследност и тд. Док код деце предшколског узраста појмови носе у себи много интуитивног, али сам процес разијања геометриских појмова има утицај на начин мишљења и закључивања у животним ситуацијама, а дечије мишљење се ослобађа опажајног. Исто тако, рад на развијању геометријских појмова доприноси формирању наших карактеристика личности,развоја радозналости, тачности, систематичности, истрајности, дакле има и васпитни значај. Деца уочавају и схватају квантитаивне односе и релације у својој околини, схватају простор и у њему се правилно орјентишу. 3.2. ЦИЉ И ЗАДАЦИ РАЗВИЈАЊА ГЕОМЕТРИЈСКИХ ПОЈМОВА КОД ПРЕДШКОЛСКЕ ДЕЦЕ Основни задатак изучавања геометијскх садржаја у почетној настави математике, је формирање код деце јасних представа и појмова о основним геометријским облицима и фигурама, као и у упознавање са односима међу њима. Геометријски појмови израђују се чуло – искуственим и мисаоним сазнањем. Рад на развијању геометријских појмова не сме се схватити као рад који се исцрпљује само у деловању на интелектуални развој, већ као чинилац који се интегрише у опште васпитно деловање усмерено на развој свих страна личности. Радом у области развијања геометријскх појмова треба да се реализују следећи задаци: 1) да се посредно допринесе формирању неких оштих особина личности (радозналости, самосталоности, иницијативности, тачности итд.);

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

2) да се утиче на општи сазнајни развој детета и посебно да се развија култура мишљења, ослобађајући децу зависности од опажања датог доприносећи схватању суштинског у појавама из околине у којој деца живе; 3) да код деце форимра способност уоћавања проблема кји почивају на квантитативним односима, да им се помогне да схвате функцију и природу геометријских садржаја у решавању проблема; 4) да се подрже и даље развија спонтана и трајна радозналост деце за квантитативне односе са околином.14 При остваривању задатака геометријских садржаја активност у радуса децом мора бити усмерена на развијање просторне орјентације, на развијање способности посматрања, уочавања, упоређивања, апстраховања и уопштавања. Приликом узучавања геометријскх појмова неопходно је користити очигледна наставна средства, а код неких активности омогућити деци да и сами израђују. Док циљ васпино – образовног рада на развијању геометријскх појмова јесте да омогући деци препознавање модела геометријских тела и геометријских фигура у равни, да их правилно именују и именују облике предмета из непосредне околине. Дакле, у овом узрасту нема традиционалног учења које представља само прикупљање информација и њихова запамћивање, већ је циљ побудити дечије интересовање поједнотављивањем проблема, представљањем у склопу дидактичких игара, тако да дете у решавању проблема активира све своје физичке и мисаоне потенцијале, доживљава задовољство, радост у игри и стиче самопоуздање у своје способности и при томе богати своје искуство и знање, спонтано учи. 15 3.3. УЛОГА ИГРЕ У РАЗВИЈАЊУ ГЕОМЕТРИЈСКИХ ПОЈМОВА Игра је изразит вид дечије активности. У најстријим епохама развоја човечанства уважавана је потреба детета за игром. Игри се придаје велики значај у подизању и васпитању нових генерација. У детињству игра је активност која ангажује све стране дечије личности. Играјући се дете вежба и развија своје физичке и психичке снаге и способности, стиче знање о спољном свету и богати свој емоционални живот, развија и формира вољне особине, с тога се игра јавља као основни облик учења предшколског детета.

14 15

Н.,Добрић, Развијање почетних математичких појмова у предшколском узрасту, Београд,1985, стр Шимић, стр.192

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Најприроднији пут у когнитивном развоју предшколске деце је игра, јер кроз њу дете трансформише искуство. Игра је израз процеса унутрашњег активног конструисања знања било да је реч о физичком или математичко – логичком знању. Најбоље су слободне игре, традиционалене игре оне игре које ствара само дете или са партнером. Систем класификације игара заснива се на следећим критеријумима: садржај игара, психичке функције ангажовања у играма, психогенетички критеријуми и структура игара. Игре код деце предшколског узраста у зависности од степена интелектуалног развоја могу бити: 1) функционалне 2) симболичке (игре маште, игре улога, имитација) 3) игре по правилима и 4) конструктивне игре. За развијање математичких појмова и учења, а самим тим и геометријских, код детета посебно место имају дитактичке игре, које у себи садрже елементе наведених игара. Оне су најчешће преузете из дечијег слободног играња модификоване тако да доприносе остваривању унапред постављеног циља. За развој геометријских појмова садржаје треба ставити у различите контексте музичких, говорних, ликовних и сензомоторних активности, као што и активности из ових области треба обогатити садржајима у којима се решавају логкичко – математички проблеми. Организујући активности, васпитач за себе оставља улогу ненаметљивог партнера. Поред структуирања средине, бирања адекватних садржаја, облика у којима ће бити презентовани, васпитач наводи децу да се интересују за заједничи задатак, укључује и оне активности за које немајухрабрости да се одлуче, примете и мање атрактивну средину. Такође, васпитач води рачуна и о вербалној комуникацији унутар групе, пажљиво укључује децу у разговор, подстиче их да размижљају, комбинују, да се међу собом договарају, да упитају и неког другог, осим васпитача, за објашњење, да један другом објашњавају. У активностима за развијање геометријских појмова сусрећемо се са различитим врстама средстава. Она се често називају дидактичка средства и стварају рђав закључак да се активности из ове области могу организовати само уз њихову употребу. Meђутим, за активности у којима је циљ прелажење на виши ниво мишљења потребно је обратити пажњу на оне ситуације и решења која се заснивају на

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

комбинаторици и где средства могу да довуку пажњу детета, зато је увек боље да се определи за поливалентна средства, необликване материјале и природне облике, који деци пружају више могућности за тражење и налажење решења датих проблема. Деца, кроз игру предметима из своје околине проналазе енобичне и неочекиване промене и улоге према својој оригиналној замисли, у чему их треба подстицати. Дидактичке материјале треба мењати при понављању активности, јер се тако деца брже ослобађају терцептивног, не везују геометријске

појам за само један

предмет преко кога су се први пут упознали са тим геометријским појмом и брже прелазе на апстракно мишљење. У том циљу најчешћи редослед коришћења дидактичког материјала је следећи: 1) предмети из непосредне околине који су деци познати 2) специјализована дидактичка средства 3) слике, апликације, илустрације, графички прикази и други симболички материјали.

Ова трећа група дидактичких материјала омогућава деци прелаз од конкретног ка апстрактном мишљењу. У дељем тексту, биће речи о неким специјализованим дидактичким средствима и материјали, неким играма, активностима и ситуацијама који се примењују у конкретном раду са децом. 3.3.а. Специјализована дидактичка средства Логички блокови Овај материјал је познат још под називом Динес-материјал. Вредност логичких блокова је у томе што је могућност нјегове примене готово неисцрпна. Користи се за разне врсте логичких вежби, за рад са скуповима, као и за рад на формирању појмова о геометријским фигурама. Због разноврсности боја (срвена, плава и жута) и облика (кружни, квадратни, правоугаони и троугаони,) величина (велики и мали), дебљине (дебели и танки), ово средство деца радо прихватају као средство за конструкцију кразличитих ликова и композиција (сл. 23). Мала геометрија То је материјал намењен израђивању знања о геометријским облицима. У већој кутији класиран је већи број пластичних плочица у облику круга, троугла, квадрата, правоугаоника, петоугла и у облику елипсе. Плочице су израђене у пет боја и две

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

величине. Средство је погодно и за рад са скуповима предмета, односно класификације по облику, боји и величини, могу се елементи бројати итд. (сл.24) Лото геометриских облика Ово средство има више варијанти. Састоји се од плоче која је подељена на девет утиснутих поља. У сваком пољу је слика једне геометријске фигуре (круга, квадрата и троугла) у разним или истим бојама. Свако поље има покриваљку тј. плочицу на којј су наликане исте геомеријске фигуре. Број поља и облика може да варира. Средство се најчешће израђује од дрвета, а васпитач га може се направити и од картона. Поред овог основног, постоје и сложенији лото-материјали. Лото – симетрије тражи способност уочавања и комбиновања елемената (сл. 24) Домино Популарна игра „Домино“ налази велику примену и у предшколским установама, али само на специфичан начин. Она се користи за упознавање боја (домино боја), цвећа, воћа, поврћа итд. Класичан облик ове игре, са плочицама с различитим сликама и истим бројем тачака. Постоји тзв. домино геометријских облика. Уместо уобичајених тачака на плочицама се налазе слике геометријских фигура. Игра се на исти начин као и класичним. (сл. 26). Модели геометријских фигура Ово је старо, опробано дидактичко средство. Јавља се у више варијанти. Садржи моделе геометријских тела. Обично се користи у играма деце као грађевински материјал, али и у дидактичким играма у усмереним активностима. Циљ овог дидактичког средства је развијање просторних геометријских фигура и облика предмета. Геометријски мозаик Мозаик материјали су веома бројни и оснвна им је намена развијање креативности. „Мозаик – куглице“ су израђене од решеткасте подлоге и куглица у разним бојама. Могу се користити за формирање скупова, класификацију, просторну орјентацију, знање боја идр. Већи број ових материјал је израђен тако да се могу преко њега развијати и геометријски појмови. Постоје мозаици са једним или више облика плочица. Често се израђују од магнетне плоче или магнетних елемената и погодни су за игре деце (сл...)

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

3.3.б. Игре Заврши цртеж У игри учествује до двадесеторо предшколске деце и свако дете добија папир и оловку. На папиру се налазе недовршени цртежи геометријских фигура у равни од иломљене, обле и праве линије до делова троуглова, четвороугла или круга. Цртежи би требали да буду једнаки по величини, а геометријски облици да буду нацртани на истим деловима цртежа. Задатак се може решавати на два начина: 1. начин: Свако дете по свом мишљењу нацрта од датог облика оно што жели, односно доврши цртеж без сугестије васпитача. Када је готово, објашњава шта је нацртао, који је то облик и зашто се тако зове, колико има страница и сл. 2. начин: Сада деца добијају налоге шта да нацртају. Нпр: „Кад имаш такве две линије, шта ти недостаје да добијеш троугао?“ Или: „Може ли се од ова два троугла направити четвороугао?“ Завршни облици сечењем дају апликације које се могу употребити за даље играње. Такође, недовршени облици се могу цртати и на провидним фолијама где дете, стављајући облик на облик, контролише да ли је задати облик и да ли даје тачан одговор. Сунце и киша Геометријске фигуре у равни означавају дечије кућице. Фигуре су залепљене на столичице и деца седе на њима. Киша је и деца седе у кући. Када васпитач викене: „Сунце“ сва деца истрче из кућица и трче по простору. За то време васптиач кућицама промени места. А на узвик: „Киша“ деца треба да пронађу своју кућицу и седну на њу. Препознај облик На коцки су налепљени, у различитој величини и боји, геометријски облици који су у истом облику и боји али у много већој количини исечени и стављени на сто пред децу. Деца добијају папир на којем најпре ређају облике како су добили котрљајући коцку, а касније их лепе, стварајући слике од геометриских апликација. Обуци лутку Цртеж лутке, чији су поједини делови у облику геометријских фигура (одећа), дају се сваком детету које учествује у игри. Уз сваки цртеж да се и одговарајући

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

материјал којим се покрива („облачи“) лутка. Учесници игре бацају коцку на чијим станама су слике квадрата, троугла, круга, евентуално правоугаоника. Ако дете бацањем коцке добије на пример слику троугла, стиче право да узме апликацију таквог облика и да њоме покрије одговарајући облик лутке. (сл::) Танаграм Танаграм је стара кинеска игра која се код нас у вртићима дуго користи као логичка игра. Игра се тако што се од геометријских фигура стварају силуете предмета. Игру чини комплет од седам геометријских слика – делова квадрата. Тако што квадрат режемо наседам делова и тада добијамо пет правоуглих троуглова разних димензија, један квадрат иједан ромб. Правила игре: за прављење шеме користе се свих седам делова, спајати их по страницама, при томе пазити да не дохватају једна другу већ чврсто стоје једна поред друге. Сл::.

IV ПИСАНЕ ПРИПРЕМЕ ЗА АКТИВНОСТИ РАЗВИЈАЊА ГЕОМЕТРИЈСКИХ ПОЈМОВА

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

ЗАКЉУЧАК Геометрија као наука развијала се почев од еуклидсе геометрије, пројектне, до топологије XIX века, која на ошти квалитетан начин описује просторне односе прави разлике између отворених и затворених форми. Док дете у свом схватању просторних односа почиње од тополошких форми. На почетку свог сазнајног развоја код детета је квадрат, троугао исто што и круг, да би оно тек касније разазнало број страница и углова многулга и црта га другачије од круга, тј. овладавањем тополошких односа почиње да развија предству у смислу еуклидске геометрије. Радећи са децом васпитач подстиче децу да вербализује своја сазнања, своје закључке, где је вербализација резултат спознтих чињеница у практичним активностима. И поред великог значаја вербализације искуства и значења речи у развијању геометријских појмова и пречишћавања мисли, код деце предшкоског узраста не инсистирамо на дефиницији. Међутим у току читавог рада на обогаћивању дечијег знања о геометријским појмовима настојимо да дете изграђује посебан вид дефинисања сазнатог. Деца на овом узрасту имају потребу за вербалним описом, тај опис није наметнут и резултат је дечијих ближих видова „описивања“ појава: моделовања, описа помоћу покрета руку, цртања, навођења примера и на тај начин дете се приближава дефиницији.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

Процес израђивања геометријских појмова је процес сталног грађења виших геометријских појмова и процес сталног грађења виших менталних структура. У читавом развојном процесу и у процесу развоја почетних математичких појмова, примарно је подстицати прелаз са перцептивног на концептуално поимање. У том процесу радост коју дете доживљава у току сазнајне актовности исто је толико значајно колико и садржај активности. Такав природни ток развоја когнитивних способности детета и начин откривања односа међу појмовима најбоље нам код деце предшколског узраста пружа метода игре, која се свесно и организовано користи у васпитно – образовном раду. Овај рад можемо завршити речима Толстоја: „Знање је тек онда знање када је стечено напором властите мисли, а не памћењем.“

БИБЛИЈОГРАФИЈА Зовем се Маријана Арсеновић. Рођена сам 14.07.1977. године у Ваљеву. Основну и средњу школу завршила сам у свом родном граду Ваљеву. По завршетку средње школе у Вршцу завршавам Вишу школу за образовање васпитача. Стицањем дипломе на вишој школи своје прво запослење у струци васптича започињем у НВО „Анђели чувари“ где радим у Дечијем вртићу „Пинокио“ као волонетр. Да би после две године проведене у ДВ „Пинокио“ прешла да радим у Предшколску установу за децу „Милица Ножица“ у Дечији вртић „Наша радост“ у Ваљеву. А затим 2006. године уписујем Учитељски факултет у Ужицу.

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова

ЛИТЕРАТУРА

Маријана Арсеновић: Развијање геометријских појмова