Teknik Lagrangian.pdf

TEKNIK LAGRANGIAN (Laporan Praktikum Mekanika)

Oleh Septina Sri Haryanti 1613022018

LABORATORIUM PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS LAMPUNG 2017

DAFTAR ISI

Halaman COVER ......................................................................................................................... i DAFTAR ISI ................................................................................................................ ii BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ........................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................... 2 1.3 Tujuan Percobaan ....................................................................................... 2 BAB II. DASAR TEORI DAN HIPOTESIS 2.1 Dasar Teori ................................................................................................. 3 2.2 Hipotesis ..................................................................................................... 5 BAB III. METODOLOGI PERCOBAAN 3.1 Alat dan Bahan ........................................................................................... 7 3.2 Prosedur Percobaan .................................................................................... 7 BAB IV. HASIL PENGAMATAN DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil Pengamatan ....................................................................................... 9 4.2 Pembahasan .............................................................................................. 17 BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan............................................................................................... 21 5.2 Saran ......................................................................................................... 21 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

ii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak fenomena fisika yang sering dijumpai, salah satu contohnya adalah gerak. Gerak sering sekali dilakukan oleh manusia dalam menjalankan aktifitasnya, baik gerak karena aktifitas fisiknya sendiri maupun karena dipengaruhi oleh suatu alat.

Dalam ilmu fisika, gerak dipelajari pada cabang ilmu mekanika. Secara umum mekanika terdiri dari dinamika dan kinematika. Dinamika mempelajari tentang gerak

benda

dengan

menganalisis

penyebabnya,

sedangkan

kinematika

mempelajari tentang gerak tanpa memperdulikan penyebab gerak tersebut.

Bebrapa contoh gerak benda dalam fenomena fisika yaitu pada peristiwa osilasi harmonik, gerakan pada mesin atwood, gerak zarah bermuatan dalam medan elektromagnetik, dan lain sebagainya. Contoh-contoh peristiwa gerak tersebut merupakan peristiwa gerak yang dalam menganalisis persamaannya menggunakan persamaan lagrangian atau suatu persamaan gerak partikel yang dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik (T) yang dalam koordinat kartesian didefinisikan sebagai kecepatan dan energi potensial (V) yang didefinisikan sebagai fungsi dari posisi partikel tanpa perlu meninjau interaksi gaya yang bekerja pada partikel tersebut. Bila dilihat dari bentuk persamaan nya, persamaan ini merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum dan waktu.

2

Mengingat akan pentingnya gerak dalam kehidupan sehari-hari, maka dilakukanlah praktikum Teknik Lagrangian dengan pesawat adwood ini untuk menemukan persamaan gerak pada 𝑚1 dan 𝑚2 , menemukan besar percepatan dari gerak kedua benda, dan memverifikasi lagrangian sistem.

1.2 Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah pada percobaan ini yaitu sebagai berikut. 1.2.1

Bagaimana persamaan gerak pada 𝑚1 dan 𝑚2 ?

1.2.2

Berapa besar percepatan dari gerak kedua benda?

1.2.3

Apakah pada percobaan ini teknik lagrangian berlaku pada sistem?

1.3 Tujuan Percobaan Adapun tujuan dari percobaan ini adalah sebagai berikut. 1.3.1

Menemukan persamaan gerak pada 𝑚1 dan 𝑚2 .

1.3.2

Menemukan besar percepatan dari gerak kedua benda.

1.3.3

Memverifikasi lagrangian sistem.

BAB II DASAR TEORI DAN HIPOTESIS

2.1 Dasar Teori Dalam dunia fisika, persamaan lagrangian merupakan suatu persamaan gerak partikel dimana dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik (T) dan energi potensial(V) partikel tanpa perlu meninjau interaksi gaya yang bekerja pada partikel tersebut.Dalam koordinat kartesian energi kinetik partikel merupakan suatu fungsi dari kecepatan, sedangkan energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif merupakan fungsi dari posisi. Bila dilihat dari bentuk persamaan nya, persamaan ini merupakan persamaan gerak partikel sebagai

fungsi

dari

koordinat

umum,

kecepatan

umum

dan

waktu.

Bila didefinisikan Lagrangian merupakan selisih dari energi kinetik dan energi potensial.

L = T - V ........(1)

Bila menggunakan koordinat kartesian, pada dasarnya persamaan lagrange sama dengan persamaan gerak newton. Formulasi Lagrangian diperlukan dalam mekanika newton karena dalam persamaan newton yaitu konsep gaya diperlukan sebagai besaran fisis yang berperan dalam interaksi terhadap partikel. Besaran fisis yang ditinjau adalah energi kinetik dan energi potensial partikel. Hal ini karena energi merupakan besaran skalar, maka energi bersifat invarian terhadap transformasi koordinat.

4

........(2) Gambar diatas merupakan hubungan antara persamaan lagrangian dan persamaan euler, dimana persamaan tersebut digunakan dalam menentukan persamaan gerak. (Pamungkas, 2014)

Pak Lagrange ceritanya nih mengembangkan Hukum kedua Newton. Dimana Hukum Newton ini hanya dapat digunakan jika semua gaya-gaya yang bekerja pada sistem yang telah diketahui, dan otomatis kondisi dinamisnya juga diketahui. Selanjutnya

kita

menggunakan

koordinat

kartesian,

dankadang-kadang

menggunakan koordinat polar, silinder atau bola. Misalnya tasbih yang meluncur pada tali. Dalam hal ini tidak hanya bentuk gaya yang tidak diketahui yang memaksa membentuk gerakan tersebut yang membuat permasalahan menjadi sulit diselesaikan dengan analisis Newton biasa. Bahkan dengan pendekatan koordinat kartesius atau sistem koordinat lainnya persoalan ini tidak mungkin untuk diselesaikan walaupun gayanya telah diketahui. Dari permasalahan ini, muncul persamaan Lagrange atau Lagrangian yang merupakan turunan dari Hukum kedua Newton, yang membetikan penyelesain yang lebih mudah dalam penanganan permasalahan-permasalahan fisika alam yang sangat rumit. Kenapa mudah? Karena teknik Lagrange ini hanya menggunakan koordinat umum, malahan hanya dibatasi hanya penggunaan koordinat kartesius atau polar saja. Dan juga kuantitaskuantitas seperti kecepatan, momentum anguler, atau panjang yang akan digunakan dalam penyelesaian persoalan. Selanjutnya teknik ini menggunakan pendekatan energi, yang memiliki keuntungan lebih mudah apabila berurusan dengan skalar daripada vektor.

Dalam perumusan Lagrange, koordinat umum yang digunakan adalah posisi dan kecepatan, dalam persamaan diferensial linier orde satu.

5

Analisis gerak dengan menggunakan Hukum Newton adalah: ∑F= m . a

Namun pada mekanika lanjut, analisis gerak yang digunakan menggunakan lagrangian. Secara umum Lagrangian adalah selisih antara energi kinetik dengan energi potensial atau secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut : L=T–V

Dimana : T= Energi kinetik ; V= Energi potensial

Sehingga persamaan Euler-Lagrange tergantung dari jumlah variabel terkaitnya (tergantung x, y, z). Misal untuk gerak 3 dimensi (x,y,z) :

2.2 Hipotesis Adapun hipotesis dari rumusan masalah yang didapatkan adalah sebagai berikut. 2.2.1

1

1

Persamaan gerak pada 𝑚1 dan 𝑚2 adalah 𝑇 = 2 𝑚1 𝑦̇ 1 ² + 2 𝑚2 𝑦̇ 2 ² dan 𝑉 = 𝑚1 𝑔𝑦 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑦) 𝑚 −𝑚

2.2.2

Besar percepatan dari gerak kedua benda adalah 𝑦̈ = (𝑚2 +𝑚 1 )𝑔

2.2.3

Teknik lagrangian berlaku pada sistem yaitu dengan persamaan 𝐿 = 𝑇 − 𝑉

2

1 1 𝑇 = 𝑚1 𝑦̇ 1 ² + 𝑚2 𝑦̇ 2 ² 2 2

1

6

𝑉 = 𝑚1 𝑔𝑦 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑦) 𝐿 = 𝑇−𝑉 1 1 𝐿 = ( 𝑚1 𝑦̇ 12 + 𝑚2 𝑦̇ 22 ) − (𝑚1 𝑔𝑦 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑦)) 2 2

7

BAB III METODOLOGI PERCOBAAN

3.1 Alat dan Bahan Adapun alat dan bahan yang digunakan dalam percobaan ini adalah sebagai berikut: Tabel 3.1.1 Alat dan Bahan Alat/ Bahan

Kuantitas

Alat/Bahan

Kuantitsas

Dasar Statif

2 bh

Kamera

1 bh

Batang Statif Panjang

1 bh

Tripot

1 set

Batang Statif Pendek

2 bh

Lapop terinstall Tracker

1 set

Mistar

1 bh

Beban 20 gram

2 bh

Katrol d = 50 mm

1 bh

Beban 10 gram

1 bh

Jepit penahan

1 bh

Tali

1,44 m

3.2 Langkah Percobaan Adapun langkah percobaan yang harus dilakukan dalam praktikum ini adalah sebagai berikut: 3.2.1

merangkai alat seperti pada gambar 3.1.1,

Gambar 3.1.1 Rangkaian Percobaan Teknik Lagrangian

8

3.2.2

mengukur dan memotong tali sepanjang 1,44 m,

3.2.3

memasang beban 𝑚1 = 30 gram dan 𝑚2 = 20 gram,

3.2.4

mengatur posisi 𝑚1 dan 𝑚2 sehingga berada pada ketinggian 50 cm dari permukaan lantai,

3.2.5

memasang mistar pada sumbu vertikal di samping 𝑚1 ,

3.2.6

memasang kamera pada tripot untuk melakukan perekaman. Mengatur posisi kamera tegak lurus terhadap percobaan.

3.2.7

melepaskan kedua benda secara bersamaan hingga 𝑚1 bergerak turun.

3.2.8

merekam gerak benda mulai kedua benda dilepaskan sampai 𝑚1 menyentuh lantai dan berhenti,

3.2.9

melakukan analisis video percobaan dengan menggunakan aplikasi tracker untuk: 1. mendapatkan data track jarak yang ditempuh, waktu, dan kecepatan. (mengikuti panduan penggunaan tracker) 2. mendapatkan grafik hubungan jarak terhadap waktu dan grafik kecepatan terhadap waktu, dari gerak kedua benda. (mengikuti panduan penggunaan tracker) 3. mendapatkan persamaan gerak dan percepatan kedua benda. (mengikuti panduan penggunaan tracker)

3.2.10 mengulangi percobaan 3.2.1 sampai 3.2.8 sebanyak 3 kali, dan 3.2.11 menghitung kesaalahan relatif pada hasil percobaan.

BAB IV HASIL PENGAMATAN DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Pengamatan Data jarak, waktu dan kecepatan dari hasil pengamatan pada percobaan teknik lagrangian adalah sebagai berikut: Tabel 4.1.1 Hasil pengamatan pada percobaan pertama. Data ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Jarak (y)

Waktu (t)

Kecepatan (v)

Percepatan (a)

1,110E-16

0,000

-1,825E-2

0,033

0,552

-3,697E-2

0,067

0,595

1,099

-5,810E-2

0,100

0,634

1,218

-7,945E-2

0,134

0,668

1,272

-0,103

0,167

0,724

1,896

-0,128

0,201

0,791

1,235

-0,156

0,234

0,817

0,208

-0,183

0,268

0,793

0,849

-0,209

0,301

0,863

1,441

-0,240

0,335

0,915

1,035

-0,270

0,368

0,910

1,183

-0,301

0,402

0,995

-0,337

0,435

Data jarak, waktu, dan kecepatan yang tertera pada tabel di atas diperoleh dari hasil analisis video dengan menggunakan aplikasi tracker. Analisis jarak yang

10

dilakukan adalah jarak yang ditempuh beban 𝑚1 yang bergerak ke bawah atau ke sumbu y negatif yaitu jarak benda ketika 𝑚1 sejajar dengan 𝑚2 sampai 𝑚1 hampir menyentuh lantai, sehingga pada tabel di atas terlihat data jarak pada sumbu y yang bernilai negatif. Hubungan jarak terhadap waktu berdasarkan data yang tertera pada tabel di atas adalah berbanding terbalik, yaitu semakin kecil nilai jarak, maka semakin besar nilai waktunya. Selain hubungan jarak terhadap waktu, pada tabel di atas juga terlihat hubungan kecepatan terhadap waktu yang berbanding lurus, yaitu semakin besar nilai kecepatan, semakin besar pula nilai waktunya.

Tabel 4.1.2 Hasil pengamatan pada percobaan kedua. Data ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Jarak (y)

Waktu (t)

Kecepatan (v)

Percepatan (a)

-1,110E-16

0,000

2,060E-3

0,033

7,099E-2

4,776E-3

0,067

0,103

0,960

8,958E-3

0,100

0,140

1,013

1,402E-2

0,134

0,169

1,237

2,030E-2

0,168

0,218

1,405

2,869E-2

0,201

0,270

1,173

3,815E-2

0,234

0,295

1,009

4,849E-2

0,268

0,331

1,269

6,038E-2

0,301

0,386

1,249

7,401E-2

0,334

0,417

0,924

8,840E-2

0,369

0,439

1,332

0,104

0,402

0,501

1,443

0,122

0,436

0,549

1,216

0,140

0,469

0,578

0,931

0,160

0,502

0,616

0,834

0,182

0,536

0,630

1,238

0,203

0,569

0,693

1,267

11

19 20 21 22 23 24 25 26 1

0,228

0,603

0,735

2,334

0,252

0,637

0,813

0,929

0,282

0,670

0,845

0,115

0,308

0,703

0,780

0,762

0,335

0,737

0,884

2,058

0,368

0,770

0,945

1,413

0,398

0,804

0,954

0,566

0,432

0,838

1,009

0,465

0,871

Data jarak, waktu, dan kecepatan yang tertera pada tabel di atas diperoleh dari hasil analisis video dengan menggunakan aplikasi tracker. Pada tabel di atas terlihat hubungan antara jarak terhadap waktu yaitu berbanding lurus, semakin besar nilai jarak, maka semakin besar pula nilai waktunya. Tabel di atas juga menunjukkan data kecepatan yang cenderung naik, akan tetapi pada data ke-22 kecepatan turun lalu kemudian naik kembali, meskipun terdapat satu penurunan kecepatan, data di atas tetap memperlihatkan hubungan kecepatan terhadap waktu yang juga berbanding lurus, yaitu semakin besar nilai waktu, semakin besar pula nilai kecepatan.

Tabel 4.1.3 Hasil pengamatan pada percobaan ketiga Data ke1 2 3 4 5 6 7

Jarak (y)

Waktu (t)

Kecepatan (v)

Percepatan (a)

0,000

0,000

-1,659E-3

0,033

6,244E-2

-4,197E-3

0,067

0,101

1,171

-8,463E-3

0,100

0,145

0,982

-1,382E-2

0,133

0,167

1,007

-1,969E-2

0,168

0,205

1,076

-2,763E-2

0,201

0,248

1,236

12

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

-3,614E-2

0,234

0,282

1,059

-4,660E-2

0,268

0,320

1,040

-5,767E-2

0,301

0,348

1,050

-6,995E-2

0,335

0,391

1,209

-8,392E-2

0,368

0,437

1,009

-9,885E-2

0,401

0,457

1,109

-0,115

0,436

0,501

1,250

-0,132

0,469

0,553

1,223

-0,151

0,502

0,580

0,932

-0,171

0,536

0,609

0,876

-0,192

0,569

0,644

1,087

-0,214

0,602

0,681

1,179

-0,238

0,636

0,718

1,475

-0,262

0,669

0,771

0,948

-0,290

0,703

0,797

0,576

-0,316

0,737

0,806

0,997

-0,343

0,770

0,865

1,476

-0,374

0,804

0,906

1,327

-0,404

0,837

0,950

0,898

-0,437

0,870

0,979

-0,470

0,904

Data jarak, waktu, dan kecepatan yang tertera pada tabel di atas diperoleh dari hasil analisis video dengan menggunakan aplikasi tracker. Analisis jarak yang dilakukan adalah jarak yang ditempuh beban 𝑚1 yang bergerak ke bawah atau ke sumbu y negatif yaitu jarak benda ketika 𝑚1 sejajar dengan 𝑚2 sampai 𝑚1 hampir menyentuh lantai, sehingga pada tabel di atas terlihat data jarak pada sumbu y yang bernilai negatif. Hubungan jarak terhadap waktu berdasarkan data yang tertera pada tabel di atas adalah berbanding terbalik, yaitu semakin kecil nilai jarak, maka

13

semakin besar nilai waktunya. Selain hubungan jarak terhadap waktu, pada tabel di atas juga terlihat hubungan kecepatan terhadap waktu yang berbanding lurus, yaitu semakin besar nilai kecepatan, semakin besar pula nilai waktunya.

Berdasarkan data di atas, maka dapat diperoleh grafik hubungan jarak terhadap waktu dan grafik hubungan kecepatan terhadap waktu dalam teknik lagrangian, yaitu sebagai berikut

Gambar 4.1.1 Grafik Hubungan Jarak (y) Terhadap Waktu (t) Pada Percobaan Pertama

Dari grafik hubungan y terhadap t di atas dapat diketahui bahwa jarak berbanding terbalik dengan waktu, yaitu semakin besar nilai waktu yang dibutuhkan maka akan semakin kecil nilai jarak yang ditempuh, sehingga terbentuklah grafik yang parabola yang melengkung ke atas atau membuka ke bawah dengan persamaan 𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 𝑡 + 𝐶 dengan nilai A= -5,654E-1, B= -5,271E-1, dan C=4,337E-4.

14

Gambar 4.1.2 Grafik Hubungan Kecepatan (v) Terhadap Waktu (t) Pada Percobaan Pertama

Dari grafik hubungan v terhadap t di atas dapat diketahui bahwa kecepatan sebanding dengan waktu, yaitu semakin besar nilai waktu yang dibutuhkan maka akan semakin besar nilai kecepatannya, sehingga terbentuklah grafik linear dengan persamaan 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 dengan nilai A=1,137E0 dan nilai B=5,240E-1.

Gambar 4.1.3 Grafik Hubungan Jarak (y) Terhadap Waktu (t) Pada Percobaan Kedua

Dari grafik hubungan y terhadap t di atas dapat diketahui bahwa jarak sebanding dengan waktu, yaitu semakin besar nilai waktu yang dibutuhkan maka akan semakin besar pula nilai jarak yang ditempuh, sehingga terbentuklah grafik yang parabola yang melengkung ke bawah atau membuka ke atas dengan persamaan

15

𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 𝑡 + 𝐶 dengan nilai A= 5,874E-1, B= 2,302E-2, dan C=3,460E4.

Gambar 4.1.4 Grafik Hubungan Kecepatan (v) Terhadap Waktu (t) Pada Percobaan Kedua

Dari grafik hubungan v terhadap t di atas dapat diketahui bahwa kecepatan sebanding dengan waktu, yaitu semakin besar nilai waktu yang dibutuhkan maka akan semakin besar pula nilai kecepatannya, sehingga terbentuklah grafik linear dengan persamaan 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 dengan nilai A=1,172E0 dan nilai B=2,429E-2.

Gambar 4.1.5 Grafik Hubungan Jarak (y) Terhadap Waktu (t) Pada Percobaan Ketiga

Dari grafik hubungan y terhadap t di atas dapat diketahui bahwa jarak berbanding terbalik dengan waktu, yaitu semakin besar nilai waktu yang dibutuhkan maka akan semakin kecil nilai jarak yang ditempuh, sehingga terbentuklah grafik yang

16

parabola yang melengkung ke atas atau membuka ke bawah dengan persamaan 𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 𝑡 + 𝐶 dengan nilai A= -5,448E-1, B= -2,730E-2, dan C=6,236E-5.

Gambar 4.1.6 Grafik Hubungan Kecepatan (v) Terhadap Waktu (t) Pada Percobaan Ketiga

Dari grafik hubungan v terhadap t di atas dapat diketahui bahwa kecepatan sebanding dengan waktu, yaitu semakin besar nilai waktu yang dibutuhkan maka akan semakin besar pula nilai kecepatannya, sehingga terbentuklah grafik linear dengan persamaan 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 dengan nilai A=1,092E0 dan nilai B=2,696E-2.

Berdasarkan beberapa data tabel dan grafik di atas, diperoleh persamaan gerak benda dari analisis video tracker yaitu persamaan gerak parabola 𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 𝑡 + 𝐶, dengan nilai A merupakan

1 2

percepatan lagrangian (𝑦̈ ), B merupakan

kecepatan awal benda, dan C merupakan posisi awal benda, sehingga diperoleh 1

persamaan gerak benda y = 2 𝑦̈ 𝑡 2 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑦𝑜 . Berdasarkan beberapa data tabel dan grafik juga diperoleh persamaan garis linier yaitu 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 dengan A sama dengan percepatan lagrangian dan B merupakan kecepatan awal benda, sehingga diperoleh persamaan gerak benda 𝑣 = 𝑦̈ 𝑡 + 𝑣𝑜 . Dari persamaan gerak 𝑚 −𝑚

benda tersebut diperoleh percepatan gerak benda yaitu 𝑎 = (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑔 dan 1

𝑚 −𝑚

percepatan gerak benda dengan teknik lagrangian yaitu 𝑦̈ = (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑔. 1

2

2

17

4.2 Pembahasan Berdasarkan hasil pengamatan yang diperoleh dari analisis video dengan aplikasi Tracker di atas, terdapat bebrapa hal yang perlu dibahas, diantaranya yang pertama adalah hubungan jarak (y) terhadap waktu (t). Pada percobaan pertama diperoleh grafik parabola yang melengkung ke atas atau membuka ke bawah, yang dimulai dari sumbu y bagian kiri atas dan menuju ke sumbu x bagian kanan bawah atau dari titik koordinat (0,0) yang merupakan posisi awal benda hingga titik koordinat (0,435;0,337) yang merupakan posisi benda pada waktu terakhir. Grafik tersebut menunjukkan hubungan jarak terhadap waktu yang berbanding terbalik, yaitu semakin lama waktu yang ditempuh, semakin kecil nilai jaraknya, persamaan yang diperoleh adalah 𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 𝑡 + 𝐶. Persamaan yang diperoleh sudah sesuai 1

dengan teori yang ada yaitu 𝑦 2 𝑦̈ 𝑡 2 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑦𝑜 , akan tetapi grafik yang menyatakan hubungan keduanya tidak sesuai dengan teori yang ada, seharusnya jarak berbanding lurus dengan kuadrat waktu.

Pada percobaan kedua diperoleh grafik parabola yang melengkung ke bawah atau membuka ke atas, yang dimulai dari sumbu x bagian kiri bawah dan menuju sumbu y bagian kanan atas atau dari titik koordinat (0,0) yang merupakan posisi awal benda hingga titik koordinat(0,871;0,465) yang merupakan posisi benda pada waktu terakhir. Grafik tersebut menunjukkan hubungan jarak terhadap waktu yang berbanding lurus, yaitu semakin lama waktu yang ditempuh, semakin besar pula nilai jaraknya, persamaan yang diperoleh adalah 𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 𝑡 + 𝐶. 1

Persamaan ini sudah sesuai dengan teori yang ada yaitu 𝑦 2 𝑦̈ 𝑡 2 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑦𝑜 , grafik yang menyatakan hubungan keduanya juga sudah sesuai dengan teori yang ada, yaitu jarak berbanding lurus dengan kuadrat waktu.

Pada percobaan ketiga diperoleh grafik parabola yang melengkung ke atas atau membuka ke bawah, yang dimulai dari sumbu y bagian kiri atas dan menuju ke sumbu x bagian kanan bawah atau dari titik koordinat (0;-0,00) yang merupakan

18

posisi awal benda hingga titik koordinat (0,904;-0,47) yang merupakan posisi benda pada waktu terakhir. Grafik tersebut menunjukkan hubungan jarak terhadap waktu yang berbanding terbalik, yaitu semakin lama waktu yang ditempuh, semakin kecil nilai jaraknya, persamaan yang diperoleh adalah 𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 1

𝑡 + 𝐶 . Persamaan ini sudah sesuai dengan teori yang ada yaitu 𝑦 2 𝑦̈ 𝑡 2 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑦𝑜 , akan tetapi, grafik yang menyatakan hubungan keduanya tidak sesuai dengan teori yang ada, seharusnya jarak berbanding lurus dengan kuadrat waktu.

Pembahasan yang kedua adalah mengenai hubungan kecepatan (v) terhadap waktu (t). Pada percobaan pertama diperoleh grafik linier yang dimulai dari sumbu y bagian kiri bawah dan menuju ke sumbu x bagian kanan atas atau atau dari titik koordinat (0,033;0,552) yang merupakan posisi awal benda hingga titik koordinat (0,402;0,995) yang merupakan posisi benda pada waktu terakhir. Grafik tersebut menunjukkan hubungan kecepatan terhadap waktu yang berbanding lurus, yaitu semakin lama waktu yang ditempuh, semakin besar nilai kecepatannya, persamaan yang diperoleh adalah 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 Persamaan ini sudah sesuai dengan teori yang ada yaitu 𝑣 = 𝑦𝑡 + 𝑣𝑜 , grafik yang menyatakan hubungan keduanya juga sudah sesuai dengan teori yang ada, yaitu kecepatan berbanding lurus dengan waktu.

Pada percobaan kedua diperoleh grafik linier yang dimulai dari sumbu y bagian kiri bawah dan menuju ke sumbu x bagian kanan atas atau atau dari titik koordinat (0,033;0,071) yang merupakan posisi awal benda hingga titik koordinat (0,4838;1,009) yang merupakan posisi benda pada waktu terakhir. Grafik tersebut menunjukkan hubungan kecepatan terhadap waktu yang berbanding berbanding lurus, yaitu semakin lama waktu yang ditempuh, semakin besar nilai kecepatannya, persamaan yang diperoleh adalah 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 Persamaan ini sudah sesuai dengan teori yang ada yaitu 𝑣 = 𝑦𝑡 + 𝑣𝑜 , grafik yang menyatakan

19

hubungan keduanya juga sudah sesuai dengan teori yang ada, yaitu kecepatan berbanding lurus dengan waktu.

Pada percobaan ketiga diperoleh grafik linier yang dimulai dari sumbu y bagian kiri bawah dan menuju ke sumbu x bagian kanan atas atau atau dari titik koordinat (0,033;0,062) yang merupakan posisi awal benda hingga titik koordinat (0,87;0,979) yang merupakan posisi benda pada waktu terakhir. Grafik tersebut menunjukkan hubungan kecepatan terhadap waktu yang berbanding berbanding lurus, yaitu semakin lama waktu yang ditempuh, semakin besar nilai kecepatannya, persamaan yang diperoleh adalah 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 Persamaan ini sudah sesuai dengan teori yang ada yaitu 𝑣 = 𝑦𝑡 + 𝑣𝑜 , grafik yang menyatakan hubungan keduanya juga sudah sesuai dengan teori yang ada, yaitu kecepatan berbanding lurus dengan waktu.

Berdasarkan analisis dari tiga percobaan, diperoleh persamaan gerak benda dari analisis video tracker yaitu persamaan gerak parabola 𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑡 2 + 𝐵 ∗ 𝑡 + C, dengan nilai A merupakan

1 2

percepatan lagrangian (𝑦̈ ), B merupakan kecepatan

awal benda, dan C merupakan posisi awal benda, sehingga diperoleh persamaan 1

gerak benda y = 2 𝑦̈ 𝑡 2 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑦𝑜 . Berdasarkan beberapa data tabel dan grafik juga diperoleh persamaan garis linier yaitu 𝑣 = 𝐴 ∗ 𝑡 + 𝐵 dengan A sama dengan percepatan lagrangian dan B merupakan kecepatan awal benda, sehingga diperoleh persamaan gerak benda 𝑣 = 𝑦̈ 𝑡 + 𝑣𝑜 . Dari persamaan gerak benda tersebut 𝑚 −𝑚

diperoleh percepatan gerak benda yaitu 𝑎 = (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑔 dan percepatan gerak 1

2

𝑚 −𝑚

benda dengan teknik lagrangian yaitu 𝑦̈ = (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑔, sehingga hipotesis yang 1

2

telah diungkapkan sebelumnya sesuai dengan hasil percobaan. Pembahasan ketiga adalah mengenai perbandingan nilai 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 . Berdasarkan perhitungan pada percobaan pertama diperoleh 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 sebesar

20

1,144 m/s² dan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 2 m/s², sehingga selisih antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 pada percobaan pertama adalah sebesar 0,856. Pada percobaan kedua diperoleh 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 sebesar 1,160 m/s² dan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 2 m/s², sehingga selisih antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 pada percobaan kedua adalah sebesar 0,840. Pada percobaan ketiga diperoleh 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 sebesar 1,091 m/s² dan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 2 m/s², sehingga selisih antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 pada percobaan ketiga adalah sebesar 0,909. Perbedaan antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 di atas dikarenakan adanya beberapa kendala saat melakukan perekaman video pada saat percobaan dan saat melakukan analisi video dengan menggunakan aplikasi tracker. Kendala-kendala ini diantaranya adalah keterbatasan alat yang menyebabkan waktu untuk kegiatan praktikum menjadi tidak efisien, kebisingan pada saat praktikum berlangsung, adanya gerakan-gerakan yang mempengaruhi aplikasi tracker dalam menganalisis objek, dan warna objek yang kurang kontras dengan warna background.

Meskipun terdapat beberapa kendala yang menyebabkan nilai percepatan dari hasil analisis tracker tidak sama dengan nilai percepatan yang diperoleh dari perhitungan, namun percobaan kali ini dikatakan berhasil karena Kesalahan Relatif yang diperoleh dari perhitungan yang tertera pada lampiran adalah hanya sebesar 1,5% atau kurang dari 5%.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Adapun kesimpulan dari praktim ini adalah sebagai berikut: 5.1.1

1

1

Persamaan gerak pada 𝑚1 dan 𝑚2 adalah 𝑇 = 2 𝑚1 𝑦̇ 1 ² + 2 𝑚2 𝑦̇ 2 ² dan 𝑉 = 𝑚1 𝑔𝑦 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑦) 𝑚 −𝑚

5.1.2

Besar percepatan dari gerak kedua benda adalah 𝑦̈ = (𝑚2 +𝑚 1 )𝑔

5.1.3

Teknik lagrangian berlaku pada sistem yaitu dengan persamaan 𝐿 = 𝑇 − 𝑉

2

1

1 1 𝑇 = 𝑚1 𝑦̇ 1 ² + 𝑚2 𝑦̇ 2 ² 2 2 𝑉 = 𝑚1 𝑔𝑦 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑦) 𝐿 = 𝑇−𝑉 1 1 𝐿 = ( 𝑚1 𝑦̇ 12 + 𝑚2 𝑦̇ 22 ) − (𝑚1 𝑔𝑦 + 𝑚2 𝑔(𝑙 − 𝑦)) 2 2 5.2 Saran Praktikum Teknik Lagrangian ini berlangsung kurang efektif dikarenakan keterbatasan alat yang menyebabkan waktu untuk kegiatan praktikum menjadi tidak efisien, sehingga terjadi beberapa kendala saat kegiatan praktikum berlangsung maupun saat kegiatan analisis video. Kendala-kendala ini diantaranya adalah kebisingan dari praktikan pada kelompok lain, adanya gerakan-gerakan yang mempengaruhi aplikasi tracker dalam menganalisis objek, dan warna objek yang kurang kontras dengan warna background. Pada praktikum selanjutnya, diharapkan segala kebutuhan praktikum yang meliputi alat dan bahan, tempat, dan

22

pemahaman materi dapat disiapkan dengan baik sehingga kegiatan praktikum dapat berjalan sebagaimana mestinya dan dapat mengasilkan data yang akurat.

.

DAFTAR PUSTAKA

Pamungkas,

Wisnu.

2014.

Persamaan

Lagrange.

Diakses

dari

http://wisnusunu27.blogspot.co.id/2014/12/persamaan-lagrange.html.

Pada

Tanggal 20 November 2017. Pukul 11.53 WIB.

Arifin, Muhammad. 2014. Penjelasan Sederhana dan Mudah Dipahami Tentang Lagrangian.

Diakses

Dari

http://arifinmuhammad19.blogspot.co.id/2014/12/penjelasan-sederhana-danmudah-dipahami.html. Pada Tanggal 20 November 2017. Pukul 11.53 WIB.

24

LAMPIRAN

25

PERHITUNGAN

Diketahui : Massa beban 𝑚1 = 20 𝑔𝑟𝑎𝑚 + 10 𝑔𝑟𝑎𝑚 = 30 𝑔𝑟𝑎𝑚 = 0,03 𝑘𝑔 Massa beban 𝑚2 = 20 𝑔𝑟𝑎𝑚 = 0,02 𝑘𝑔 g=10 m/s²

1. Perbandingan antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 Percobaan 1 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 = 𝑎𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 =

11,436 10

= 1,144 𝑚/𝑠²

𝑚1 − 𝑚2 0,03 𝑘𝑔 − 0,02 𝑘𝑔 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = ( )𝑔 = ( ) 10 𝑚/𝑠² = 2 𝑚/𝑠² 𝑚1 + 𝑚2 0,03 𝑘𝑔 + 0,02 𝑘𝑔 Dari perhitungan di atas diperoleh 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 sebesar 1,144 m/s² dan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 2 m/s², sehingga antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 berbeda 0,856.

Percobaan 2 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 = 𝑎𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 =

26,677 23

= 1,160 𝑚/𝑠²

𝑚1 − 𝑚2 0,03 𝑘𝑔 − 0,02 𝑘𝑔 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = ( )𝑔 = ( ) 10 𝑚/𝑠² = 2 𝑚/𝑠² 𝑚1 + 𝑚2 0,03 𝑘𝑔 + 0,02 𝑘𝑔 Dari perhitungan di atas diperoleh 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 sebesar 1,160 m/s² dan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 2 m/s², sehingga antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 berbeda 0,840.

Percobaan 3 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 = 𝑎𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 =

26,192 24

= 1,091 𝑚/𝑠²

26

𝑚1 − 𝑚2 0,03 𝑘𝑔 − 0,02 𝑘𝑔 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = ( )𝑔 = ( ) 10 𝑚/𝑠² = 2 𝑚/𝑠² 𝑚1 + 𝑚2 0,03 𝑘𝑔 + 0,02 𝑘𝑔 Dari perhitungan di atas diperoleh 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 sebesar 1,091 m/s² dan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 2 m/s², sehingga antara 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟 dengan 𝑎ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 berbeda 0,909.

2. Kesalahan Relatif Berulang 𝑎̅1 + 𝑎̅2 + 𝑎̅3 1,144 + 1,160 + 1,091 3,395 𝑎̅ = = = = 1,132 𝑚/𝑠² 3 3 3 ∑ 𝑎2 = 𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 = (1,144)2 + (1,1602 ) + (1,0912 ) = 3,844 ∑ 𝑎2 − 𝑛(𝑎)2 3,844 − 3(1,132)2 3,844 − 3,842 ∆𝑎 = √ =√ =√ = √0,0003 𝑛(𝑛 − 1) 3(3 − 1) 6 = 0,017 𝐾𝑅 =

∆𝑎 0,017 𝑥100% = 𝑥100% = 1,5 % 𝑎̅ 1,132