Teil2

4. Lagrange 2 mit Bewegungsgleichung:

L = T − V (kin. – pot.)

  d  δL  δL − =Ξ • dt   δϕ   δ ϕ1 1  

und

Für die Berechnung: 1. Quadratische Klammern auflösen 2. Regeln (bei Unklarheit):

d  •2  • •2 ϕ  = ϕ d t  

.    δ0,5 ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ ϕ  d   = d mr   . dt   dt  δϕ    

Vorsicht: Wenn

2

.  ϕ = mr 

2

..

. .

ϕ+ 2mr r ϕ

δT ≠ 0 dreht sich das Vorzeichen!! δ( ϕ / x )

Dann ausrechnen und nach

Umdrehung in

 . .  δΘ⋅ ϕ⋅ sin ϕ .. . d    = ϕ⋅ sin ϕ+ϕ2 ⋅ cos ϕ  . dt   Θ    

• δL  •2    ϕ = 2 ϕ •   δϕ  

••

ϕ

•

• •

=ϕ . o. . 1+ϕ d2⋅ 2 =ϕ .e . .r

auflösen, z.B.:

ωumrechnen:

 1  Umdrehunge n ⋅ 2π min   ω= 60

v = ω⋅r

Drallsatz, Impulssatz integriert (wenn Kräfte angreifen): ..

m ⋅ x = H − µ ⋅N − S

.

I ⋅ ω = S1 ⋅ r + MM − S 2 ⋅ r

Aufstellen des Drallsatzes ohne Stoß bezgl. Punkt A 1.Massendrehpunkt G finden

ja

2. Ist A gleicht G?

nein

Fall 1:

ja

G,A

3. Ist A ortsfest?

Fall 2:

nein

Fall 3:

G

A

G

A

HA = I ⋅ ωabs ( ωabs ist mit Ω und

α)

Für später überlegen: Ist A ortsfest? a) Ja --> Normale Euler Ableitung b) N. --> Euler Ableitung mit Beschl.

HA = I ⋅ ωabs + rG / A × m ⋅ v G .

HA → normale Euler Ableitung

HA ,rel = I ⋅ ωabs + rG / A × mv G / A

a) v G / A = v G − v A

oder

b) rG / A einmal Euler ableiten .

HA → durch Euler Ableitung mit Beschl.

Euler Ableitung:

Euler Ableitung mit Beschleunigung:

d → d  → → V =  V  + ωx V dt  dt 

→ d → d  → → → V =  V  + ωx V+ r G / A × m ⋅ a A dt  dt 

→

...( a A siehe Front) Stoßen: 1. Stoßbedingung: __

__

v −v Geschw.danach e = − 1x 2 x = − v 1x − v 2 x Geschw.davor e = 1 keine Energieverlust, ideal elastisch e = 0 vollständiger Energieverlust, ideal plastisch 2. Impulssatz: a) Impulse gehen durch den Mittelpunkt, v 2 x / 1x in v G umrechnen!! ∧

wird!!

b) F nur verwenden, wenn Imps. nicht über Gesamtsys. aufgestellt ∧

G0 = m ⋅ v G

Satz: G 0 + F = G1 3. Drallsatz:

a) Um welchen Punkt dreht es? ∧ b) F eliminieren, falls vorhanden ∧

H0 =I ⋅ ω

Satz: H0 + F⋅ Arm = H1 Schräger Wurf: 2

g  x − x0   + ( x − x 0 ) tan α Bahnkurve: z = z 0 −  2  v 0 ⋅ cos α  1

2 Wurfhöhe: h = 2 ⋅ g ( v 0 ⋅ sin α)

Wurfzeit: t w =

v 0 ⋅ sinα  2 ⋅ g ⋅ z0 1+ 1+ 2 g  v 0 ⋅ sin2 α

2 Weite: w = v 0 ⋅

2 ⋅ g ⋅ z0 sinα ⋅ cosα  ⋅ 1+ 1+ 2  g v 0 ⋅ sin2 α 

v = 2⋅ g ⋅ h

t=

v g

       

oder: H0 = m ⋅ v G ⋅ Arm

Trägheitstensor Statisch ausgewuchtet: es kippt weder in xy noch in xz Ebene Dynamisch ausgewuchtet: es rotiert und bleibt dabei stabil in xy sowie in yz Ebene Bsp: Statisches GG: m 2 ⋅ r2 = m1 ⋅ r1 + m 3 ⋅ r3 Dynamisches GG: r3 ⋅ ( − a 3 ) ⋅ m 3 + a1 ⋅ r1 ⋅ m1 = 0 Drehmatrix:  cos ϕ sin ϕ  →  ⋅a  − sin ϕ cos ϕ

Drehungen in 2D: 

Drehungen in 3D gegen UZG: Drehung um x-Achse: 1  0 0 

  cos ϕ sin ϕ  − sin ϕ cos ϕ  0

0

Drehung um y-Achse: Drehung um z-Achse: cos ϕ 0 − sin ϕ    cos ϕ sin ϕ 0      1 0  − sin ϕ cos ϕ 0   0  0  sin ϕ 0 cos ϕ  0 1    

Drehungen in 3D mit UZG: Drehung um x-Achse: 1  0 0 

0 0   cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ  

cos ϕ − sin ϕ 0     sin ϕ cos ϕ 0   0 0 1  

Drehung um y-Achse:  cos ϕ 0  1  0 − sin ϕ 0 

Drehung um z-Achse:

sin ϕ   0  cos ϕ 

Trägheitsmomente:

Eine Seite sehr dünn → b = 0

Punktmasse: I = m ⋅ r 2 Trägheitsarm für Körper gegeben:

Dünne Scheibe (um z, mit und ohne

 m ⋅ r2   4  I= 0   0  

0 m ⋅ r2 4 0

 mk 2   4  I= 0   0  

0 mk 2 4 0

 0    0   mk 2   

Steiner):

   m ⋅ r2 2  + lx ⋅ m 0 0 0      4  m ⋅ r2 2   0 I =  0 + ly ⋅ m 0  4   2  2 m⋅r   m⋅r 2 0 0 + lz ⋅ m  2   2 

Schwingungen: k c2 − m 4m 2

ω=

k  − ω2  ⋅ 4 ⋅ m 2 m  

Dämpfungskoeffizient: c =  c

Amplitude: x ( t ) = x ⋅ e − 2m t 0

T=

Amplitude unter 1% nach: t = − f=

Schwingung en Zeit

2π ω

2m ⋅ ln 0,01 c

ganzzahlige Anzahl von Schwingungen angeben!!

ω = 2 ⋅ π⋅ f

Schwingungsamplitude: A =

F ⋅V k

k = alle Federn zusammen (parallel / reihe) F = Kraft V = Vergrößerungsfaktor (optional i. d. Formel, war gegeben) Eigenfrequenz aus BGL bestimmen:

  BGL:  6 0  x   6 ⋅ + ..

− 2  x   0 3  ..   − 2 2  ⋅  ϕ  = 0   ϕ     M

k

6 − 6 ω 2 det k − ω2 ⋅ M =   −2

(

)

−2  = 8 − 30ω2 − 18ω4 2 2 − 3ω 

Φx  Eigenvektor Φ =   bestimmen, wenn Φy 

( 6 − 6ω ) Φ 2

x

a det  c

b = ad − bc d

ω gegeben:

−2=0

Bewegungsgleichung ist immer in der Form: •• Richtung festlegen, dann mit richtigen Vorzeichen antragen

mx = . . . .

x

kx Arbeit die verrichtet wird bis x: ∫ ( ma + kx + ...)dx = max +

2

0

v = a ⋅ t + v0

x=

1 ⋅ a ⋅ t2 + v0 ⋅ t 2 −1

1 1  Feder in Reihenschaltung (in y): m y −  +  y = 0  k1 k 2  ..

2

..

Feder in Parallelschaltung (in y): m y + ( k + k ) y = 0 1 2 Winkel: Sinussatz:

sin α sin β sin γ = = a b c

Kosinussatz: c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ

sin( 90 − α ) = cos α sin( 90 + α ) = cos α sin( α − 90 ) = − cos α

cos( 90 − α ) = sin α cos( 90 + α ) = − sin α cos( α − 90 ) = sin α

Abgefahrene Trägheitsmomente:

sin( − α ) = − sin α

cos( − α ) = cos α