Tecniche Ortopediche

Corso di Laurea in Tecniche Ortopediche

Analisi Matematica

Anno accademico 2009/10

INFORMAZIONI GENERALI Insegnante: Giuseppe Eulisse Fondazione Ospedale Maggiore Policlinico, Mangiagalli e Regina Elena Servizio Fisica Sanitaria: via Pace 9 Milano

Telefono: 02.5503.5201

FINALITA’ DEL CORSO CONOSCERE LE NOZIONI FONDAMENTALI DI ARITMETICA, ALGEBRA E ANALISI INFINITESIMALE

PROGRAMMA DEL CORSO I numeri Il calcolo letterale Le equazioni Geometria analitica Limiti, derivate e integrali

MATERIALE DI RIFERIMENTO Sarà consegnata copia di tutte le diapositive impiegate nel corso. Potete approfondire gli argomenti affrontati nel corso su qualunque manuale di scuola media superiore a disposizione. L’esame scritto sarà costituito da 30 domande sugli argomenti presentati nel corso. Chi risponderà correttamente ad almeno

L’origine della Fisica Fisica, in greco, significa natura. Talete (624-546 a.C.) fu il primo a utilizzare il termine ed è ricordato, oltre che come l’iniziatore della filosofia greca, anche come primo fisico; fisica e filosofia sono caratterizzate da forme di indagine razionale e tralasciano quindi i miti dell’epoca. I primi trattati sulla natura sono testi di filosofia, che ricercano il principio delle cose, e di fisica, in quanto tentano di dare una spiegazione razionale a fenomeni naturali.

Fisica e matematica Pitagora (575-497 a.C.) affianca alla fisica e alla filosofia la matematica. Il numero diviene il principio primo del reale, il cardine di una vera e propria ontologia. La prima sintesi tra realtà del mondo fisico e verità del pensiero viene compiuta da Platone (427-347 a.C.) che distingue due livelli della realtà, sensibile e soprasensibile, e pone le basi per una distinzione tra le diverse scienze.

Le scienze teoretiche Aristotele (384-322 a.C.) riprende in forma sistematica la distinzione del maestro Platone e distingue le scienze in tre grandi categorie: teoretiche, pratiche (economia ed etica) e produttive (arte e tecnica). Le scienze teoretiche sono quelle che hanno come fine esclusivo la ricerca della conoscenza fine a se stessa, cioè la filosofia (etimologicamente composta da sapere e amore).

Le scienze teoretiche Le scienze teoretiche sono suddivise da Aristotele in tre categorie: la filosofia prima (chiamata anche teologia o metafisica) che si occupa dei principi primi della conoscenza, dell’essere e di Dio, enti separati dalla materia; 

la filosofia seconda (chiamata anche fisica) che ha come oggetto il movimento delle sostanze terrestri e celesti; 

la matematica che ha per oggetto enti di ragione immobili ma non esistenti separatamente dalla materia in quanto attributi della medesima. 

Il metodo aristotelico Una differenza tra la fisica aristotelica e la fisica sperimentale del XVII secolo consiste nel metodo con il quale i fenomeni sono indagati. L’indagine del mondo sensibile deve avvenire per Aristotele con gli stessi strumenti concettuali con i quali si indagano i principi primi e le cause dell’essere. La fisica aristotelica è cioè qualitativa mentre la fisica galileiana, alla base della scienza moderna, è quantitativa (ossia matematizzabile) e sperimentale.

La rivoluzione di Galileo Nel Seicento Galileo Galilei elabora il metodo sperimentale, basato sull’osservazione empirica, la sperimentazione pratica e la concettualizzazione teorica. E’ l’inizio dei moderni concetti di scienza, tecnica e progresso intesi come utilizzazione di una 1564 -1642 strumentazione tecnica finalizzata alla comprensione e alla manipolazione della natura.

Il libro dell’universo “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica.” Galileo Galilei, Il Saggiatore 1623

I numeri naturali (N) Sono i numeri interi positivi. Zero è un numero naturale? Per alcuni sì; altri introducono i numeri assoluti. Georg Cantor ha affermato: “L’essenza della matematica

è la libertà”

I numeri naturali L’insieme dei numeri naturali è un insieme infinito: il numero cardinale di tale insieme non è un intero naturale e si dice “numero transfinito”. Si dice che l’insieme dei numeri naturali ha la “potenza del numerabile”, o più semplicemente, che è numerabile. Il numero cardinale dell’insieme dei numeri naturali è un numero transfinito, da Cantor chiamato aleph 0.

Gli insiemi numerabili Un insieme A è numerabile se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra A e l’insieme dei numeri naturali, cioè se si possono numerare gli elementi di A. Per esempio, se A è formato dai quadrati: 1, 4, 9,16 … questi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali: 1 2 3 4 … 1 4 9 16 … L’insieme dei “quadrati” ha lo stesso numero cardinale di quello dei numeri naturali. Un insieme infinito è in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio!

L’albergo infinito Nel paese senza confini esiste il più grande di tutti gli alberghi: l'albergo con infinite stanze. Tuttavia anche gli ospiti sono infiniti, e il proprietario ha esposto un cartello con la scritta "COMPLETO". Ad un tratto si presenta un viaggiatore che ha assolutamente bisogno di una camera per la notte. Egli non fa questione di prezzo e infine convince l'albergatore, il quale trova il modo di alloggiarlo. Poco dopo arriva una comitiva di infiniti turisti, anche in questo caso l'albergatore si lascia convincere, in fondo si tratta di un grosso affare, e trova posto ai nuovi infiniti ospiti con la stessa facilità con cui aveva alloggiato l'ospite in più...

L’albergo infinito

Lorella Fabro Onde di meraviglia

Per alloggiare il viaggiatore, il proprietario fa spostare l'ospite della camera numero 1 nella camera numero 2, quello della numero 2 nella numero 3, quello della numero 3 nella numero 4, quello della numero 4 nella numero 5 e così via all'infinito. Disturbando ogni ospite una volta sola egli riesce a liberare una stanza. Quando i nuovi ospiti da alloggiare sono infiniti, il proprietario fa invece spostare l'ospite della camera numero 1 nella camera numero 2, quello della numero 2 nella numero 4, quello della numero 3 nella numero 6, quello della numero 4 nella numero 8, della 5 nella 10 e così via all'infinito. In questo modo tutte le infinite camere dispari risulteranno libere per i nuovi arrivati, disturbando anche in questo caso ogni ospite una volta sola. Queste sono le soluzioni più immediate …… Ve ne sono infinite altre! (D.Hilbert 1920)

I numeri primi Un numero naturale p>1 è primo se ha due soli divisori: il numero 1 e se stesso. I primi numeri della serie sono: 2, 3, 5, 7, 11…

I numeri composti Un numero naturale è composto se ha più di due divisori. Tra i primi 10.000 numeri un record appartiene al numero 7560 e al numero 9240: hanno ben 64 divisori.

Le operazioni tra numeri Per i numeri naturali le operazioni di somma e prodotto sono sempre interne all’insieme di detti numeri mentre le operazioni di sottrazione e divisione non sono interne. Per consentire in ogni caso l’operazione di sottrazione tra numeri interi vengono introdotti i numeri relativi. Per consentire in ogni caso l’operazione di divisione tra numeri interi vengono introdotti i numeri razionali.

I numeri interi relativi (Z) I numeri naturali costituiscono un sottoinsieme proprio di un insieme più generale, che è quello dei numeri interi relativi , cioè dei numeri contraddistinti dal segno positivo o negativo. Anche l’insieme dei numeri interi relativi è numerabile.

I numeri razionali (Q) I numeri interi relativi costituiscono un sottoinsieme proprio di un insieme più generale che è quello dei numeri razionali, cioè dei numeri definiti dal rapporto tra due numeri interi relativi.

Anche l’insieme dei numeri razionali è numerabile.

I numeri razionali (Q) I numeri razionali possono sempre essere espressi come numeri decimali finiti o illimitati periodici. Vale anche il viceversa.

I numeri irrazionali (I) L’insieme dei numeri razionali non è completo: esistono numeri decimali illimitati non periodici che vengono definiti numeri irrazionali. Come ci si è accorti dell’esistenza di questi numeri?

Problema Dato un quadrato quanto deve misurare il lato di un nuovo quadrato per avere area doppia di quello di partenza? Il quadrato blu è costruito in modo da avere superficie doppia rispetto al quadrato rosso. Quanto vale il lato del quadrato blu ovvero esiste un numero razionale che al quadrato è uguale a 2?

Soluzione Supponiamo che esista la frazione, con m e n numeri interi non nulli:

m n

che abbia per quadrato il numero 2, cioè:

2

 m  = 2m e n primi tra di loro, perché se avessero Possiamo pensare i numeri interi n un fattore comune potremmo sempre eliminarlo. Anche i loro quadrati un fattore comune potremmo sempre eliminarlo. Anche i loro quadrati saranno primi tra loro e, quindi, il loro rapporto non può essere uguale a 2.

I numeri irrazionali (I) L’insieme dei numeri irrazionali è non numerabile: in altre parole, non è possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali. Il numero cardinale dell’insieme dei numeri irrazionali è un numero transfinito, chiamato aleph 1.

I numeri trascendenti I numeri irrazionali sono sempre costituiti da radici? La risposta è NO. Esistono numeri irrazionali, chiamati numeri trascendenti, che non sono soluzioni di equazioni algebriche e, quindi, non sono esprimibili come radici, per esempio:

π

rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio

e

base dei logaritmi naturali

I numeri reali (R) L’insieme dei numeri numeri reali è costituito dalla somma dell’insieme dei numeri razionali e dei numeri irrazionali.

Notazione scientifica I numeri molto grandi o molto piccoli si possono scrivere in forma abbreviata utilizzando le potenze di 10. Si dice notazione scientifica di un numero q la sua rappresentazione attraverso il prodotto di un numero decimale compreso tra 1 e 10 e di una potenza di 10. Esempi: 2.700.000.000 = 2,7 x 109 0,00000045 = 4,5 x 10 -7

L’algebra L’algebra è la scienza della risoluzione dei problemi mediante l’uso di lettere che rappresentano grandezze o numeri incogniti attraverso la soluzione di equazioni e sistemi di equazioni. Per esempio: l’area di un qualunque quadrato si ottiene moltiplicando la lunghezza del lato per se stessa.

a = l2

Le equazioni Le equazioni sono uguaglianze che risultano vere solo per determinati valori attribuiti all’incognita.

Esercizi − 3( x +1) − 2 − 4 x = 2 8 x − 3 + 2 x = 6 x +1 + 4 x x( x + 2 ) + 9 = 8 x +1 y − 2 x + 2 = 0  2 2  y = x −2  3 

Le funzioni

Le funzioni

Le funzioni

Alcune funzioni: la retta

Equazione in forma implicita

ax+by+c=0 dove: • a è il coefficiente della variabile x • b è il coefficiente della variabile y • c è il termine noto

Equazione in forma esplicita

y=mx+q dove: • m è il coefficiente angolare • q è l’ordinata all’origine

Dalla forma implicita alla esplicita

ax+by+c=0 by=-ax-c a c a c y = − x − , posto m = − , q = − b b b b

y=mx+q

Il coefficiente angolare m fornisce indirettamente la misura dell’angolo che la retta forma con il semiasse orientato positivamente delle ascisse

y

y=mx+q α

0

x

Se m>0 allora 0°<α <90°

y

y=mx+q

α O

Se m<0 allora 90°<α <180 °

x

L’ordinata all’origine q Rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate

y q O

x

Se q=0 ⇒ y=mx la retta passa per l’origine

y O

x

Condizione di parallelismo

Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare

y x

r: y=mx+q r’: y=m’x+q’

O

r

r’

r // r’ ⇔ m=m’

Condizione di perpendicolarità

Due rette sono perpendicolari se e solo se il coefficiente angolare dell’una è inverso e opposto al coefficiente angolare dell’altra retta

y

r’ r: y=mx+q x r’: y=m’x+q’

O

r

1 r ⊥ r’ ⇔ m = − m'

Una retta semplice

y=x

Il significato del coefficiente angolare

Il significato del coefficiente angolare

Il significato del termine noto

Trovare punto di incontro tra le due rette

Le coniche s r Data una retta s, detta asse di rotazione, e una retta r che interseca s in un punto V, Asse di rotazione detto vertice, la superficie illimitata generata da r nella V α sua rotazione completa intorno Retta generatrice a s si chiama superficie conica circolare indefinita di rotazione. Le due porzioni della superficie conica, quella inferiore e quella superiore, che hanno in comune il vertice, si chiamano falde della superficie conica. L’angolo α formato dalle rette generatrici con l’asse di rotazione si chiama semiapertura della superficie conica.

Le coniche Con il termine conica, si indica una curva ottenuta sezionando, mediante un piano, una superficie conica indefinita a due falde. Al variare dell’ampiezza dell’angolo β , formato dall’asse della superficie conica con il piano secante, si possono presentare seguenti casi (fig. 2): β

= 90o

α

<β

900 β = α 0

α

≤ β <

circonferenza ellisse parabola iperbole

Le coniche nelle applicazioni Le coniche si prestano a rappresentare molti fenomeni fisici. Per esempio: Circonferenza

Onde in uno stagno

Ellisse

Moto dei pianeti intorno al sole

Parabola

Traiettoria di uno zampillo d’acqua

Iperbole

Legge di Boyle

Le equazioni delle coniche Circonferenza

x 2 +y 2+ax+ by + =c

Ellisse

x2 y2 + = 2 2 a b

Parabola

y =ax +2 bx + c

Iperbole

x2 y2 −= ± 2 2 a b

0

1

1

La circonferenza La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro

Una circonferenza semplice

Una circonferenza più generale

In quali punti la retta y = -x-2 incontra la seconda circonferenza?

In nessun punto!

L’ellisse L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante

Le leggi di Keplero

L’orbita descritta da un pianeta nel suo moto intorno al sole è un ellisse; il sole occupa uno dei fuochi

Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.

La parabola La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice y

P(x;y) F (0;p/2) p y= 2

PH = PF x

O d H

Una parabola semplice

L’importanza del coefficiente di x2

L’importanza del coefficiente di x2

L’importanza del coefficiente di x2

L’importanza del termine noto

Una parabola generale

Trovare i punti di intersezione

L’iperbole L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi

L’iperbole equilatera

Proporzionalità inversa

Trovare i punti di intersezione

La funzione esponenziale L’aneddoto della scacchiera …

y = 2X

La funzione y = 2

X

La funzione y = 2

X

La funzione esponenziale in generale

La funzione esponenziale in generale 

funzione esponenziale y = a



dominio D= R codominio C=R+ la funzione è crescente

 



lim x

x

ax = 0 -∞

lim x

x

ax = + ∞ +∞

con a > 1



funzione esponenziale y = a x con



dominio D= R codominio C=R+ la funzione è decrescente

 



lim x

ax = 0 +∞

lim x

y

y

1

1

0

0

x

ax = + ∞ -∞

0
La funzione esponenziale in base e y = ex

e

base dei logaritmi naturali

La funzione esponenziale

La funzione esponenziale inversa y = e-x

Il decadimento radioattivo A(t) = A0 x e

-λ t

λ = 0,693/T1/2

I logaritmi Dati due numeri positivi a e b, con a≠ 1 si chiama logaritmo in base a del numero b l’esponente a cui si deve elevare la base per ottenere il numero b

x = logab

ax = b

Ciò equivale a dire che l’equazione ax=b ammette una e una sola soluzione; tale soluzione si chiama logaritmo di b in base a.

La funzione logaritmo Sia x un numero positivo qualunque e a ≠ 1 esiste il logaritmo di x rispetto alla base a e ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di log a x , quindi: y = log a x con a rel="nofollow"> 0 e a ≠ 1 si chiama funzione logaritmica di base a

Proprietà della funzione logaritmo Distinguiamo due casi: a > 1 oppure 0 < a <1 1° caso: per p esempio supponiamo che sia a=2

y = log 2 x 2

x

y

¼ ½ 1 2 4

-2 -1 0 1 2

1

0

1

-1 -2

Osservazioni  

 

Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi D = R+ Il valore del logaritmo cresce al crescere dell’argomento x : x 1 > x2 log2 x1 > log2 x2 funzione crescente y può assumere qualsiasi valore reale C=R I valori di y per x > 1 tendono a diventare grandi quanto si vuole, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano negativi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0 lim log2x = -∞ lim log2x =+∞ x

0+

x

+∞

Proprietà della funzione logaritmo 2° caso: per p esempio supponiamo che sia a=1/2 si ha y = log1/2 x 2

x

y

¼ ½ 1 2 4

2 1 0 -1 -2

1

0

1

-1

-2

Osservazioni  

 

Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi D = R+ il valore del logaritmo decresce al crescere dell’argomento: x1 > x 2 log1/2 x1 < log1/2 x2 funzione decrescente y può assumere qualsiasi valore reale C=R I valori di y per x > 1 decrescono indefinitamente, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano positivi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0 lim log1/2 x = -∞ lim log1/2 x = +∞ x

+∞

x

0+

La funzione logaritmo in generale 

funzione logaritmica y = log a x



con a > 1 dominio D= R+ codominio C=R la funzione è crescente



lim log a x = -∞

 

x

x





lim log a x = +∞



+∞

funzione logaritmica y = log a x con 0


lim log a x = + ∞

0



x

0

y

0 x

lim log a x = - ∞ x

+∞

y

1

0 x

1

ANGOLO Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.

ARCO La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo. B

A

SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI SESSAGESIMALE: grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro. RADIANTE l’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.

Misura in radianti di un angolo È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio: o angolo giro = 2π r / r = 2π o angolo piatto = π r / r = π o angolo retto = π /2

Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:

360 : 2 π = as : ar

seno e coseno Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano, la circonferenza con raggio 1 e centro nell’origine è detta circonferenza goniometrica.

Seno = ordinata punto M Coseno = ascissa punto M

y = sin (x) π / y 2

y 1 2π x A=(1,0)

π

(3/2)π

-π /2 π /2 π -1

(3/2) π

Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2π

x 2π

y = cos (x) π / y 2

y

2π x A=(1,0)

π

(3/2) π

-π /2 π /2 π

(3/2)π

Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2π

x

y = tan (x) = senx/cosx π / y2

T = (1, tan(α ))

2π A=(1,0)

π

y

-π /2

π /2 π

(3/2)πx

(3/2) π Dominio = R \ π /2 + kπ  k ∈ Z

Codominio = R

Periodica di periodo π

y = cot(x) = cosx/senx π / y 2 B=(0,1)

T’ = (cot(α ), 1)

2π A=(1,0)

π

(3/2) π

y x -π /2

π /2 π

(3/2)π

2 π

Relazione tra seno e coseno sin2(x) + cos2(x) = 1

y M=(cos(α ), sin(α ))

A=(1,0)

sin( x) = ± 1 − cos ( x) 2

Relazione tra seno, coseno e tangente sin2(x) + cos2(x) = 1

1 1 + tan ( x) = 2 cos ( x) 2

1 cos ( x) = 2 1 + tan ( x) 2

1 cos( x) = ± 1 + tan 2 ( x)

Valori in archi particolari π /6

π /3

π /4

π 1 sin( ) = 6 2

π 2 sin( ) = 4 2

π 3 cos( ) = 6 2

π 3 sin( ) = 3 2 π 1 cos( ) = 3 2

π 1 tan( ) = 6 3

π tan( ) = 3 3

π 2 cos( ) = 4 2 π tan( ) = 1 4

π 1 cot( ) = 3 3

π cot( ) = 1 4

π cot( ) = 3 6

Le funzioni studiate

I limiti : le origini storiche L’idea di limite si può far risalire al metodo di esaustione di Eudosso (IV secolo a.C.) e dei geometri greci che lo hanno seguito. Tale metodo fu poi potenziato da Archimede (II secolo a.C.). La nozione di limite nasceva però solo in una forma geometrica intuitiva. Così, ad es., una piramide appariva come il limite della somma di tanti prismi in essa inscritti (o circoscritti). La nozione entrò nell’ambito dell’Analisi pura con Wallis (1656) e, in una forma più completa e rigorosa, con Bolzano (1817), Cauchy (1823) e, soprattutto, Weierstrass (1885).

Nozione di limite Data la funzione

La funzione non è definita per x = 2; la si può tuttavia calcolare in punti che si approssimano a 2 tanto per difetto quanto per eccesso.

Nozione di limite Si osservi dalle tabelle 1 e 2 che, a mano a mano che x si avvicina a 2, i valori di f(x) si avvicinano sempre più a 8. Il concetto “sempre più vicino a …”, si può esprimere come

Limite finito di una funzione per x tendente a un valore finito

Una funzione di questo tipo, per la quale il limite per x

x0 è uguale a f(x0) si dice continua in quel punto.

Limite finito di una funzione per x tendente a un valore finito

Poiché il limite per x che tende a x0 di f(x) è un numero reale l, si dice che il limite è “finito”. La validità della condizione |f(x)- l|<є presuppone che f(x0) sia definita in I (escluso al più x0).

Specifichiamo la definizione La definizione dice che, fissato un є qualsiasi, anche “molto vicino a zero”, troviamo sempre un intorno di x0 tale che per ogni x di quell’ intorno f(x) appartiene a ]l-є;l+є[, cioè è “molto vicino” a l.

Domanda Per quali punti x0 si pone il problema di “cercare il limite della funzione in x0” ?

Limite infinito di una funzione per x tendente a un valore finito Data la funzione

Vogliamo esaminare il problema della ricerca del limite nel punto x0 = -1.

Limite infinito di una funzione per x tendente a un valore finito Attribuendo a x valori che si avvicinano sempre più a -1, tanto per difetto quanto per eccesso, si osserva che i corrispondenti valori di f(x) risultano via via crescenti: pur non ottenendo la stabilizzazione dei valori della funzione su un numero ben preciso, come avveniva nel caso del limite finito, i valori di f(x) tuttavia crescono a mano a mano che si sceglie x più vicino a -1.

Limite infinito di una funzione per x tendente a un valore finito A questo comportamento di valori sempre più grandi si dà il nome di limite più infinito (+ ∞)

+ ∞ non è numero, perché non esiste alcun numero più grande di tutti. Dire invece che la funzione tende al limite + ∞ è lecito e appropriato per indicare il fenomeno osservato nelle tabelle.

La definizione

L’andamento della funzione

Un’altra definizione ….

e un’altra rappresentazione grafica

Gli asintoti

La funzione y = 1/x La funzione ha due diversi limiti a seconda che ci si avvicini a x = 0 da destra o da sinistra! L’asse delle y è aisntoto verticale.

Limite finito di una funzione per x tendente a un valore infinito Data la funzione In che modo si stabilizza per x tendente all’infinito (+ o -)?

Limite finito di una funzione per x tendente a un valore infinito

Limite finito di una funzione per x tendente a un valore infinito

Limite finito di una funzione per x tendente a un valore infinito

L’asintoto orizzontale

L’asintoto orizzontale

L’asintoto orizzontale

L’asintoto orizzontale

Limite infinito di una funzione per x tendente a un valore infinito

Limite infinito di una funzione per x tendente a un valore infinito

Limite infinito di una funzione per x tendente a un valore infinito

Forme indeterminate

Esempi di calcolo di limiti

Esempi di calcolo di limiti

LE DERIVATE La pendenza di un tratto di strada:

è misurata dal coefficiente angolare della retta, se il tratto è rettilineo.

LE DERIVATE La pendenza di un tratto P,R non rettilineo y = f (x) descritto da

è data dal coefficiente angolare della retta r passante per P e R espresso da f ( xo + ∆x) − f ( xo ) mr = = tan α r ∆x

LE DERIVATE La pendenza in un punto P di un tratto rettilineo o y = f (x) non rettilineo rappresentato da

è dato dal coefficiente angolare della retta tangente t (se esiste) in P alla curva: f ( x o + ∆x) − f ( xo ) mt = lim = tan α t ∆x ∆x→0

LE DERIVATE Osservazioni 1. Per far avvicinare il punto R al punto P sulla curva, occorre che la funzione y = f (x) sia continua! 1.

Poiché il punto R può avere ascissa maggiore o minore dell’ascissa di P, per definire la pendenza in P occorre che ci si possa avvicinare sia da destra che da sinistra a P ottenendo lo stesso risultato:

f ( xo + ∆x) − f ( xo ) f ( xo + ∆x) − f ( xo ) lim = lim ∆x ∆x ∆x ↓ 0 ∆x ↑ 0

LE DERIVATE L’equazione della retta tangente in P è data da:

y − f ( xo ) = f ' ( xo ) * ( x − xo ) La pendenza in P alla curva viene indicata con: f ' ( xo ) utilizzando la simbologia di Lagrange, e viene chiamata derivata prima xdella o funzione in . Esistono altri modi per indicare la derivata prima, ad df esempio la notazione di Leibniz:

dx

LE DERIVATE Esempio 1 Si consideri la curva senza punti “angolosi” descritta dalla funzione continua y = f ( x) = x 2 ed un generico punto P x, x 2 sulla curva. Si consideri un secondo punto sulla curva di coordinate R x +.∆La in P alla curva è: x, ( pendenza x + ∆x ) 2

(

(

lim

( x + ∆x ) 2 − x 2

∆x→0

∆x

)

x 2 + 2 x∆x + ( ∆x ) 2 − x 2 2 x∆x + ( ∆x ) 2 = lim = lim = ∆x ∆x ∆x→0 ∆x→0

= lim ( 2 x + ∆x ) = 2 x = f ' ( x) ∆x→0

)

LE DERIVATE Analogamente per la funzione y = f ( x) = x 3

si ottiene: lim

∆x→0

( x + ∆x ) 3 − x 3 ∆x

x 3 + 3 x 2 ∆x + 3x( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 − x 3 = lim = ∆x ∆x→0

(

)

3 x 2 ∆x + 3 x( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 = lim = lim 3 x 2 + 3 x∆x + ( ∆x ) 2 = 3 x 2 = f ' ( x) ∆x ∆x→0 ∆x→0

LE DERIVATE Generalizzando (usando la formula di Newton per lo sviluppo della potenza nesima del binomio) si ottiene:

( x ) = n( x ) n '

n −1

Per le altre funzioni elementari si ottiene:

( sinx ) ' = cos x

( cos x ) ' = −sinx

(a )

x '

= a x ln a

LE DERIVATE La derivata prima e le operazioni algebriche. Date due funzioni derivabili nello stesso insieme si ha: 1.

( f ± g ) ' ( x ) = [ f ( x ) ± g ( x )] ' = f ' ( x ) ± g ' ( x )

2.

( f * g ) ' ( x ) = [ f ( x ) ⋅ g ( x )] ' = f ' ( x ) g ( x) + f ( x ) g ' ( x )

3.

' ' f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x)  f   f ( x)    ( x) =   = g 2 ( x) g  g ( x)  '

'

LE DERIVATE Esempio 2 Per la funzione

sinx y = tan x = cos x

si ottiene:

2 2 2 2  sinx  cos x * cos x − sinx * ( − sinx ) cos x + sin x cos x sin x ' ( tan x ) =  = = + =  = 2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x  cos x  '

= 1 / cos 2 x = 1 + tan 2 x

LE DERIVATE La derivata delle funzioni inverse. Sia y = f (x) una funzione derivabile e dotata di x = f −1 ( y ) = g ( y ) funzione inversa Anche l’inversa è derivabile e risulta: g ' ( y) =

dx 1 1 = = dy dy f ' ( x) dx

LE DERIVATE Esempio 3. 3 Si consideri la funzione y = e x . Essa è invertibile e derivabile. La derivata di questa funzione è la funzione stessa. La derivata della funzione inversa

( ln y ) ' =

1

(e )

x '

=

1 ex

=

1 y

x = ln y

è:

LE DERIVATE Il segno della derivata prima. Se la derivata prima di una funzione è positiva (negativa) allora la funzione è crescente (decrescente). Si rammenti che la derivata prima indica il coefficiente angolare della retta tangente.

LE DERIVATE Massimi e minimi relativi. y = f (x) si dice che in xo Data una funzione presenta un massimo relativo se f ( xo ) rel="nofollow"> f ( x) In un intorno di x o ∀x ≠ x o ∈ D f La funzione presenta un minimo y = f (x) relativo in se in un intorno di xo

∀x ≠ x o ∈ D f

f ( x o ) < f ( x)

xo

LE DERIVATE

Nei punti A e C la funzione presenta due valori di massimo relativo mentre in B si ha un minimo relativo.

LE DERIVATE Come determinare i punti di max e min relativi. In corrispondenza ad un punto di max rel. si ha: x < xA f (x) crescente

x > xA f (x) decrescente

f ' ( x) > 0

f ' ( x) < 0

In corrispondenza ad un punto di min rel. si ha: x < xB f (x) decrescente

x > xB f (x) crescente

f ' ( x) < 0

f ' ( x) > 0

LE DERIVATE Se la funzione è derivabile nei punti

e

x A si ha: xB

Riassumendo: in corrispondenza ad un valore in cui la funzione (derivabile) presenta un max o un min relativo, xo la derivata prima è nulla e il segno cambia passando da valori più piccoli a valori maggiori di .

xo

LE DERIVATE Se la derivata prima in xo è nulla ma non cambia segno passando da valori più piccoli a valori più grandi di xo allora in corrispondenza a quel valore la funzione presenta un punto di flesso orizzontale.

LE DERIVATE Procedura

1. Calcolo della derivata primay = f ' ( x) della funzione y = f (x) 2. risoluzione dell’equazione f ' ( x) = 0 . Se tale equazione non ammette soluzioni, non esistono punti critici e il procedimento si conclude. Se esistono soluzioni s prosegue, 3. determinazione del segno della derivata prima nell’insieme X, 4. confronto del segno di f ' ( x) vicino ad ogni valore estremale con le situazioni indicate nelle figure 7.15, 7.16, 7.17. 5. classificazione dei punti critici in punti di massimo e minimo relativo , flessi orizzontali.

LE DERIVATE Derivando la derivata prima si ottiene la derivata seconda che può essere indicata con il simbolo: y = f '' ( x)

Il segno della derivata seconda dà indicazioni sulla concavità e convessità di una funzione e consente di individuare una procedura alternativa per il calcolo dei massimi e dei minimi relativi.

LE DERIVATE 

Dal grafico della curva concava si può verificare che al crescere di x il coefficiente angolare della retta tangente alla curva cresce; ovvero la derivata prima (=coeff. ang.) cresce al crescere di x.

LE DERIVATE 

Se una funzione cresce la sua derivata è positiva. Ma la derivata della derivata prima è la derivata seconda. Quindi se una funzione è concava la sua derivata seconda è positiva.



Attenzione a non legare il risultato alla crescenza della funzione. Se la funzione è decrescente e concava la derivata seconda è comunque positiva.

LE DERIVATE  

Analogamente se la derivata seconda è negativa la funzione è convessa. Si definisce flesso un punto in corrispondenza al quale la funzione cambia la sua concavità:

LE DERIVATE 

Si osservi che in un punto di minimo relativo per una funzione “liscia” la funzione è concava, in un punto di max relativo la funzione è convessa, come riportato nelle “figure buffe” seguenti

LE DERIVATE 

Analogamente in un punto di flesso orizzontale si ha

LE DERIVATE Teorema di Rolle y = f (x) Si consideri una funzione 1. continua nell’intervallo chiuso [ a, b ] ; ] a, b[ ; 2. derivabile in 3. la funzione assume valori uguali negli estremi dell’intervallo f (a) = f (b) .  Allora esiste almeno un punto interno all’intervallo nel quale la derivata prima della funzione si annulla: f ' ( xo ) = 0

LE DERIVATE 



Se la funzione è costante allora in ogni punto dell’intervallo la derivata prima è uguale a 0 e il teorema è dimostrato. Se la funzione non è costante almeno il minimo o il massimo della funzione viene raggiunto in un punto interno all’intervallo.

LE DERIVATE 

In quel punto la funzione è derivabile per ipotesi e in più nulla (per la condizione necessaria per i valori estremanti!).



Si noti che ipotizzare il minimo raggiunto in un estremo dell’intervallo e il massimo nell’altro ci riporterebbe al caso della funzione costante per l’ipotesi 3 del teorema.

LE DERIVATE Teorema di Lagrange (o del valor medio) Si consideri una funzione y = f (x) 1.continua nell’intervallo chiuso [ a, b ] ; ] a, b[ ; 2.derivabile in Allora esiste almeno un punto interno all’intervallo nel quale risulta: ' f (b) − f (a) f ( xo ) =

b−a

Si osservi che Rolle è un caso particolare di Lagrange.

LE DERIVATE 

Graficamente si può descrivere il teorema dicendo che esiste un punto sulla curva che rappresenta geometricamente la funzione nel quale la retta tangente è parallela alla retta passante per gli estremi.

LE DERIVATE Teorema di Cauchy (o degli incrementi finiti) y = f (xe ) y = g (x) . Si considerino due funzioni Esse soddisfano le condizioni seguenti:  Sono continue nell’intervallo [ a, b]  Sono derivabili nell’intervallo ] a, b[ g ' ( x) ≠ 0 ∀x ∈ ] a, b[  Allora esiste un punto interno all’intervallo in cui f (b) − f (a ) f ' ( xo ) = g (b) − g (a ) g ' ( x o )

LE DERIVATE TEOREMA DI DE L’HOSPITAL .  Siano dueRfunzioni derivabili in A; sia f ,g : A→ accumulazione per A e sia:

un punto di x

lim f ( x) = f ( xo ) = 0 e lim g ( x) = g ( xo ) = 0

x→ xo



x→ xo

Il calcolo del rapporto dei limiti genera la f.i.

1. 2. 

g ' ( xo ) ≠ 0

Allora f ' ( x) ∃ lim =l x→ xo g ' ( x ) lim

x→ xo

f ( x) =l g ( x)

. Sia inoltre: 0 0

o

Formule di derivazione

Formule di derivazione

Formule di derivazione

Formule di derivazione

Gli integrali L'idea del concetto di integrale si trova già in Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C, in parte nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o del segmento di parabola detto metodo di esaustione e più precisamente nel calcolo dell'area della superficie racchiusa dal primo giro della spirale. Nel XVII secolo, vari matematici trovarono altri metodi ingegnosi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, ad esempio (Fermat 1636, Nicolaus Mercator, 1668). Tutto ciò prima che Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprissero indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale che ricondusse tale problema alla ricerca di una primitiva o antiderivata di una funzione. La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da Pietro Mengoli ed espressa con maggiore rigore da Cauchy, venne posta su base diversa da Riemann in modo da evitare il concetto di limite e da comprendere più estese classi di funzioni. Ma nel 1875 Gaston Darboux mostrò con un suo celebre teorema che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purché si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann. Tale maggior generalità servì di spunto a Mauro Picone nel 1923 per la definizione del limite d'una variabile detta ordinata.

Gli integrali L’integrale indefinito può essere inteso come operatore inverso della derivata perché associa a una funzione f(x) (integranda) l’insieme di tutte e sole le funzioni la cui derivata è la f(x) stessa. Per esempio, date le funzioni: y = x l’integrale indefinito è dato da y = cosx l’integrale indefinito è dato da y = ex l’integrale indefinito è dato da y = 1/x l’integrale indefinito è dato da

1

∫ xdx = 2 x

2

+C

∫ cos xdx = senx + C x x e dx = e +C ∫

1 ∫ x dx = log x + C

Proprietà degli integrali indefiniti L’integrale indefinito, come anche la derivata, è un operatore lineare e quindi: Una costante moltiplicativa si può portare dentro o fuori del segno di integrale indefinito.

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx L’integrale di una somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni.

∫ [ f ( x ) + f ( x ) ]dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 1

2

1

2

Primitive di alcune funzioni

L’integrale definito Per calcolare l'integrale definito useremo questa semplice regola:

Cioè prima calcoliamo l'integrale indefinito F(x) poi sostituiamo alla x il valore superiore dell'integrale, mettiamo il segno meno e sostituiamo alla x il valore inferiore dell'integrale.

L’integrale definito

Esempi

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Esercizi

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Esercizio, tornando alle funzioni