Td1 Series

S. Jaubert - CFAI-CENTRE

TD1 - Séries

1. Etudier la nature et la somme des séries de terme général : a n (série géométrique) ; 1n (série harmonique) 2. Etudier la nature des séries de terme général : 2n a. u n  n 2  n − n ; v n  a − 1n  (règle de Cauchy) ; xx1xn w n  nn1nn règle de d’Alembert b. u n  wn 

−1 n n 2 n

; vn  e−

n

(comparaison avec une série de Riemann) ;

1 3−1 n  n

3. Calculer la somme des séries de terme général : nn2 n3 u n  nn1n2 ; v n  nn4n−3 2 −4 ; w n  ln 2 n1

4. Etudier la nature des séries de terme général : 1 a. u n  nn1 ; v n  sin 1n  ; w n  1 − cos 1n  b. u n 

1 n n

nn n!

; vn 

; wn 

2n n7 n

c. u n  n − n 2  1 ; v n  d. u n 

2n1 3n4

e. u n  ln 1  f. u n 

n ln n ln n n

n 1 n2

; vn 

1 nn1n2 n2 an a  n1

; wn 

e −n n2 n n 1

0 ; w n 

1

1

; v n  n  1 n − n n ; w n  ln

; vn 

1 ln n

n

; wn 

1 n

ln n ln1 

1 n

1 n

n

− ln sin



5. Déterminer la nature et la somme éventuelle des séries suivantes : a. 2n ∑ nn − 1n  1 n≥2 b.

∑ n≥1

1 nn  1n  3

c.

∑n  13 −n n≥0

d.

∑ n≥0

n n4  n2  1

e.

∑ n≥3

2n − 1 n 3 − 4n

f.

∑ ln n≥1

g.

1 − 12 n

1 n

∑ ln n≥1

n 2  3n  2 n 2  3n

h.

∑ arctan n≥0

1 n2  n  1