Td Mecanique

[TD20] Changements de r´ ef´ erentiels Exercice 1: Dans un ascenseur Un voyageur prend l’ascenseur sa valise ` a la main. A l’aide du principe fondamental de la dynamique, justifier si la valise semble plus lourde ou plus l´eg`ere lorsque on se trouve dans les situations o` u l’ascenseur : d´emarre en montant, monte, est arrˆet´e, ralentit en descendant.

Exercice 2: Franchissement Un bac, servant `a traverser d’une rive ` a une autre, se d´eplace `a la vitesse ~v par rapport `a l’eau d’un fleuve qui coule ` a la vitesse ~u par rapport `a la rive. On suppose que le module de ~v est constant quelque soit le sens de d´eplacement du bac. Il met une dur´ee t1 pour traverser le fleuve de largeur d, son mouvement ´etant perpendiculaire aux rives dans le r´ef´erentiel li´e au sol. Pour parcourir la mˆeme distance dans le sens du courant, il met une dur´ee t2 pour descendre le courant et une dur´ee t3 pour le remonter. 1. Exprimer tt21 et tt31 en fonction de ~u et ~v . 2. D´eterminer la vitesse du bac par rapport ` a l’eau en fonction de ~u sachant que t1 = 3t2 . 3. D´eterminer dans chacun des cas la vitesse du bac par rapport au rivage en fonction de u. 4. Que vaut alors tt32 ? Conclure ` a partir des valeurs respectives des vitesse absolues correspondant aux dur´ees t2 et t3 .

Exercice 3: Anneau glissant dans un r´ ef´ erentiel tournant Un anneau assimil´e ` a un point mat´eriel glisse sans frottements sur une tige horizontale (Ox) tournant ` a la vitesse angulaire constante Ω autour de l’axe vertical (Oz). L’anneau est li´e au point O par un ressort de raideur k et de ω k et a = Ω . longueur `a vide l0 . On note ω 2 = m 1. Repr´esenter le dispositif sur un sch´ema et faire un bilan des forces. ´ 2. Etablir l’´equation du mouvement sur (Ox) en se pla¸cant dans le r´ef´erentiel tournant. 3. Quelle est l’expression temporelle de x l’abscisse de la masse (sans int´egrer les constante) ? On discutera ´eventuellement plusieurs cas en fonction de a. 4. Tracer grossi`erement l’allure de la trajectoire. ` l’instant initial, le ressort et au repos et la vitesse de l’anneau par rapport `a 5. A la tige est nulle. D´eterminer les conditions portant sur a pour que la trajectoire soit ferm´ee.

6. Montrer que le ressort est toujours tendu.

Exercice 4: Pendule de Foucault Dans le r´ef´erentiel terrestre, on consid`ere un pendule de masse M , de masse m, et de longueur l. L’axe Oz est vertical, l’axe Ox est dirig´e vers le sud et l’axe Oy vers l’est. On supposera que le mouvement de M est quasiment horizontal car de faible amplitude angulaire. La latitude du point d’attache A du pendule est λ. On consid´erera que le r´ef´erentiel g´eocentrique est galil´een. 1. On suppose dans un premier temps que le r´ef´erentiel terrestre est galil´een et que le pendule est initialement lˆ ach´e depuis la position (x0 , 0, 0) avec une vitesse nulle, sa position d’´equilibre ´etant en (0, 0, 0). Quelles sont les ´equations diff´erentielles en x et y r´egissant le mouvement du pendule ? 2. On consid´erera ` a pr´esent que le r´ef´erentiel g´eocentrique est galil´een. Donner ~ dans le r´ef´erentiel g´eocentrique l’expression du vecteur de rotation de la Terre Ω exprim´e dans la base (u~x , u~y , u~z ). ´ 3. Ecrire les ´equations diff´erentielles du mouvement. On notera u = x+ıy, donner l’´equation diff´erentielle en u. 4. Initialement `a t = 0 on lˆ ache le pendule depuis la position (x0 , 0, 0) avec une vitesse nulle. Donner les ´equations horaires x(t) et y(t). 5. D´ecrire l’allure de la trajectoire, et donner une description qualitative du mouvement lorsque Ω  ω0 la pulsation propre du pendule en supposant le r´ef´erentiel galil´een.

Exercice 5: Mouvements sur un cercle tournant . Un point mat´eriel M de masse m se d´eplace sans frottements sur un cercle vertical de rayon a. Ce cercle est en rotation autour de l’axe vertical ` a la vitesse angulaire ω constante (voit figure). Le point M est rep´er´e par l’angle θ. 1. Donner une ´equation en θ permettant de d´eterminer les positions d’´equilibre. 2. Identifier, par une m´ethode graphique, ces positions d’´equilibre. 3. On d´esire ´etudier la stabilit´e de ces positions d’´equilibre. Donner l’expression du travail des forces d’inertie. 4. En d´eduire l’expression de l’´energie potentielle du point mat´eriel dans le r´ef´erentiel tournant. 5. Parmi les positions d’´equilibre pr´ec´edemment d´efinies, quelles sont celles qui sont stables ?