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Matéria

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Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica


Leis de Kirchoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos

Lei de Kirchhoff das correntes






Lei de Kirchhoff das tensões





Teresa Mendes de Almeida




[email protected]










© T.M.Almeida ACElectrónica

Fevereiro de 2011

3

A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saem desse nó e

e


















4

i2 + i5 = i4 + i7

sair

equações matematicamente equivalentes

0 = −i2 + i4 − i5 + i7





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então há outra formulação possível para KCL:

Num nó, a soma algébrica das correntes é nula

∑ ±i

k

=0

k


é preciso arbitrar um sentido para a corrente em cada ramo e escrever equações KCL concordantes com os sentidos escolhidos

IST-DEEC-ACElectrónica

Fevereiro de 2011

+i2 − i4 + i5 − i7 = 0

s

E quando as correntes não têm um sentido já marcado?...

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TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos

entrar




baseia-se na conservação da carga eléctrica também se chama Lei dos Nós equação tem tantos termos quantos os ramos que ligam ao nó




Nó 3

s

Nó 1 Nó 2 Nó 3 Nó 4 … Nó 5 …


IST-DEEC-ACElectrónica

Lei de Kirchhoff das correntes (KCL)

i1 = i2 + i3 i4 = i1 + i6 i2 + i5 = i4 + i7




Divisor de Tensão Divisor de Corrente Análise e simplificação de circuitos

© T.M.Almeida

∑i = ∑i


Resistências em série Resistências em paralelo Simplificação de resistências

IST-DEEC-

Lei de Kirchhoff das correntes (KCL)


KVL – lei das malhas

Ligação de componentes em série e em paralelo Resistências em série e em paralelo


DEEC Área Científica de Electrónica

KCL – lei dos nós Generalização de KCL

Fevereiro de 2011

é preciso associar sinal algébrico (+/-) com sentido das correntes
correntes que entram são (+) e correntes que saem são (-) ou
correntes que entram são (-) e correntes que saem são (+)

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2 hipóteses Fevereiro de 2011

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Quantas equações KCL?


Num circuito com N nós












30 + 20 = I5 60 + I5 = I4 + 40 I6 + 40 = 30 I4 = I1 + I6

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IST-DEEC-ACElectrónica




I1 = 80 mA TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos




Quantos nós? Quanto vale IT? Quantas eq. KCL diferentes?




Calcular I1 e I2

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Fevereiro de 2011

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∑v

baseia-se na conservação da energia eléctrica k é preciso associar sinal algébrico (+/-) com polaridade da tensão
quando se circula na malha
+ quando se encontra primeiro o sinal +
– quando se encontra primeiro o sinal –

k

=0

E quando as grandezas não estão marcadas no circuito? arbitrar polaridades(sentidos) e escrever equações KVL de acordo com sentidos que foram arbitrados




Também se chama Lei das Malhas




Sentido horário (abcdefa)




Sentido anti-horário (afedcba)




Basta escrever uma das equações




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IST-DEEC-ACElectrónica

A soma algébrica das tensões numa malha é zero


IST-DEEC-ACElectrónica

I4 = 70 mA

Lei de Kirchhoff das tensões (KVL)




© T.M.Almeida

20 + 60 + 30 = I4 + 40

© T.M.Almeida




Calcular ix

I1 = 80 mA

I4 foi calculada sem se saber I6 Generalização pode ser muito útil em circuitos mais complexos







I1 = 60 + 20

Superfície 2


I6 = -10 mA

Exemplos de aplicação





I4 = 70 mA

superfície fechada
parte do circuito onde se verifique conservação da carga
conjunto de componentes (que não armazenam carga) interligados
pode ser vista como um nó gigante

Superfície 1


Nó 2








I5 = 50 mA

Nó 5





Por onde começar? Qual a sequência de cálculos? Há mais do que uma forma de calcular? (sim!)

Nó 3





Pode generalizar-se a lei de Kirchhoff das correntes aplicando-a a uma superfície fechada


Nó 4








podem escrever-se N equações KCL = uma equação para cada nó mas apenas N-1 equações é que são linearmente independentes!
a N-ésima equação é redundante (pode obter-se a partir das restantes)

Calcular as correntes desconhecidas I1, I4, I5, I6 usando KCL


6

Generalização KCL

+ VR1 – 5 + VR2 – 15 + VR3 – 30 = 0 + 30 – VR3 + 15 – VR2 + 5 – VR1 = 0 as 2 equações são equivalentes (×-1)

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Quantas equações KVL?


Quantas equações KVL se podem escrever?






























Malha exterior – abcda
+VR1 + (20 VR1) + VR3 – VS = 0 Malha elementar à esquerda – abda
+VR1 + VR2 – VS = 0 Malha elementar à direita – bcdb
+ (20 VR1) + VR3 – VR2 = 0 Há 2 malhas elementares






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pode obter-se a partir das outras duas!

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Exemplos de aplicação Calcular Vec, Vad e Veb




Calcular Vo










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têm um nó comum → nó b passa a mesma corrente nos dois componentes
Iab = Ibc têm dois nós comuns → nós a e b queda tensão aos terminais é a mesma
Vab

Ligação série / paralelo?

3I1 − Va + 5 I1 − 12 = 0 I1 = 2mA Vo = 10V  Va = 2 I1

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Componentes 1 e 2 ligados em paralelo


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Componentes 1 e 2 ligados em série




3000 I + ( 2Vo ) + Vo − 12 = 0  I = 2mA   Vo = 1000 I Vo = 2V

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Ligação em série e em paralelo




Calcular Vbd

pelo ramo da esquerda (gerador de tensão)
Vaf = +Va – Vf = 24 V KVL circulando pelos componentes do lado direito
+16 – 12 + 4 + 6 + 10 – Vaf =0 Vaf = 24 V

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Vec = + Ve – Vc é a incógnita KVL circulando no sentido horário Vec + 4 + 6 = 0 Vec = – 10V

Quanto vale Vaf?


apenas 2 das 3 equações KVL são linearmente independentes a 3ª equação a ser considerada é redundante

Vae = + Va – Ve é a incógnita KVL circulando no sentido horário Vae + 10 – 24 = 0 Vae = 14V

Quanto vale Vec?





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Como usar KVL para determinar queda de tensão entre dois nós? Quanto vale Vae?


tantas quantas o número de malhas elementares as restantes equações são redundantes

Circulando em sentido horário em todas as malhas do circuito…








uma por cada malha do circuito

Quantas equações KVL são linearmente independentes?


Usar KVL p/ determinar d.d.p. entre dois nós

paralelo © T.M.Almeida

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série

paralelo

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série Fevereiro de 2011

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Resistências em série


Duas resistências em série somam-se




KVL (sentido horário) R1i + R2i − v = 0 v = ( R1 + R2 ) i




Duas resistências em paralelo 1 1 1 = + RP R1 R2

RS = R1 + R2


v = R1 + R2 i




N resistências em série somam-se


GP = G1 + G2

RP =

R1 R2 R1 + R2

KCL no nó superior io =

RS = R1 + R2 + R3 + … + RN

14

Resistências em paralelo

v v + R1 R2

1 1  i 1 1 io = v  +  o = +  R1 R2  v R1 R2

RP = R1 // R2

N resistências em paralelo 1 1 1 1 1 = + + +… + RP R1 R2 R3 RN

N resistências iguais

RP = R1 // R2 // R3 //  // RN

RS = N × R



RS é sempre maior do que as resistências da série

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Simplificação de resistências 1




2

3

4

RP = R / N N resistências iguais RP é sempre menor do que as resistências do paralelo

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IST-DEEC-ACElectrónica

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A tensão divide-se entre duas resistências em série na proporção directa do valor das suas resistências a




KCL

 i = iab = iR1  iab = ibc = iR 2




KVL (abca)




Lei Ohm i=

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i = iR1 = iR 2

vR1 + vR 2 − v = 0

vR1 = R1i  vR 2 = R2i

v R1 + R2

vR1 =

RAB=5kΩ

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Divisor de Tensão

b

5

RAB=3kΩ

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RAB=22kΩ TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos

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R1=R2 vR1 = vR 2 =

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IST-DEEC-ACElectrónica

v 2

R1i + R2i − v = 0

R1 v R1 + R2

R1=0 (curto-circuito)

vR 2 =

c

R2 v R1 + R2

 vR1 = 0   vR 2 = v

 vR1 = v

R1=+∞ v = 0  R2

(circuito aberto)

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Divisor de Corrente




A corrente divide-se entre duas resistências em paralelo na proporção inversa dos seus valores a KCL (nó a) i = i1 + i2




Lei Ohm




R1i1 = R2i2




 v = vab = R1i1  v = vab = R2i2 R i2 = 1 i1 R2 R2  i1 = R + R i  1 2  R 1 i = i  2 R1 + R2

R1=R2 i1 = i2 =

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i 2

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i = i1 +

R1 i1 R2

1 G= R

R1=0 (curto-circuito)






















40 + 80 0.9 = 0.6mA 60 + ( 40 + 80 )

I2 =

60 0.9 = 0.3mA 60 + ( 40 + 80 )

Vo = 80k × I 2 = 24V

Simplificar resistências e usar divisor de tensão R12 = 60 // ( 80 + 40 ) = 40k Ω R12

R1=+∞ (circuito aberto)

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i1 = 0   i2 = i

V1 = R12 I12 = 40 × 0.9 = 36V

Vo =

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IST-DEEC-ACElectrónica

80 V1 = 24V 80 + 40

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Exemplos de aplicação


Calcular Vab




Qual a potência fornecida por VS?




Quanto vale VS?

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Quanto vale IA?




Calcular Io




Quanto vale V1?

identificar nós Pfonte I = 0W

Pfonte I = V fonte I I fonte I = Veb I eb = 0 ⇒ Veb = 0




I1 =

I12

Calcular VS sabendo que a potência posta em jogo na fonte de corrente é 0W


Calcular I1, I2 e Vo Divisor de corrente e Lei de Ohm

G1  i1 = G + G i  1 2  i = G2 i  2 G1 + G2

Exemplo de aplicação





b

 i1 = i  i2 = 0

18

Exemplo de aplicação

a

marcar corrente IE KCL nós a e f I E = I ab = I fa = I ef KVL malha elementar à esquerda (abefa)

18 3I E + Vbe + 2 I E − 18 = 0 I E = A
5 0

marcar corrente ID 33 IE + 3 = ID ID = A KCL nó b

b ID

IE

f

c

e

d

5

KCL nós c e d I D = I bc = I cd = I de KVL malha elementar à direita (bcdeb) 8 I D + VS + 6 I D + Veb = 0 VS = −14 I D = −92, 4V
0

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