Taylor
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Taylor as PDF for free.
More details
- Words: 1,888
- Pages: 3
Formules de Taylor Exercice 1. D´eterminant
1 1 ´ Soit f : R −→ R trois fois d´erivable en a. Etudier lim 4 1 h→0 h 1
f (a) f (a + h) f (a + h) f (a + 2h) . f (a + 2h) f (a + 3h)
Exercice 2. D´eriv´ees nulles en 0 Soit f : R −→ R de classe C ∞ telle que : ∀ n ∈ N, f (n) (0) = 0, ∃ λ > 0 tq ∀ n ∈ N, sup f (n) 6 λn n!. R
Montrer que f est nulle sur l’intervalle ] − λ1 , λ1 [, puis sur R. Exercice 3. Fonctions absolument monotones Soit f : R −→ R de classe C ∞ telle que pour tous n ∈ N et x ∈ R, on a f (n) (x) > 0. f (x) Montrer que pour tout entier n, xn −−−−−→ +∞. x→+∞ Exercice 4. Fonction C ∞ ` a support compact Soit f : R+ −→ R de classe C ∞ telle que f (0) = 1, et : ∀ x > 21 , f (x) = 0. (n) 1) Montrer que sup f > 2n n!. R+ 2) Montrer que pour n > 1, sup f (n) > 2n n!. R+
Exercice 5. Formule de Simpson 1) Soit f : R −→ R de classe C 5 , impaire, telle que f 0 (0) = 0 et : ∀ x ∈ R, |f (5) (x)| 6 M . 5 0 Montrer qu’il existe une constante λ telle que : ∀ x ∈ R, f (x) − x 3 f (x) 6 λM |x |. 2) Soit f : [a, b] −→ R de classe C 5 telle que : 0
0
f (a) = f (b) = f
0
a+b 2
= 0,
et
∀ x ∈ [a, b], |f (5) (x)| 6 M.
M (b − a)5 Montrer que f (b) − f (a) 6 2880 . Exercice 6. f 0 (x) − (f (b) − f (a))/(b − a) Soit f : [a, b] −→ R de classe C 2 . On note M = sup |f 00 | et on suppose M > 0. 0 f (b) − f (a) a 1) Montrer que : ∀ x ∈ ]a, b[, on a f (x) − <Mb− 2 . b−a 0 f (b) − f (a) a =Mb− 2) Si f (a) − 2 , montrer que f est polynomiale de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. b−a Exercice 7. Matexo Soit f : [−a, a] −→ R de classe C 2 . Montrer que : ∀ x ∈ [−a, a], |f 0 (x)| 6
a2 + x2 1 |f (a) − f (−a)| + sup |f 00 |. 2a 2a
Application. Montrer que si 0 6 x 6 π/2 on a sin x > x cos x − x2 .
taylor.tex mardi 20 f´evrier 2007
Exercice 8. Limite de θ Soit f : R −→ R de classe C n+1 . Pour a fix´e, on ´ecrit la formule de Taylor-Lagrange : f (a + h) = f (a) + . . . +
hn−1 (n−1) hn (n) f (a) + f (a + hθh ). (n − 1)! n!
1 . Montrer que si f (n+1) (a) 6= 0, alors pour h suffisament petit, θh est unique et θh −−−→ n + 1 h→0 Exercice 9. Diff´erences finies Soit f : R −→ R de classe C ∞ et h > 0. On pose : ∆h f (x) =
f (x + h/2) − f (x − h/2) h
et
∆ph = ∆h ◦ ∆h ◦ . . . ◦ ∆h . {z } | p fois
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) . h2 1) a) Montrer que : ∀ x ∈ R, ∃ θ ∈ ] − 1, 1[ tq ∆h f (x) = f 0 x + θh 2 . 2 θ0 h . (3) b) Montrer que : ∀ x ∈ R, ∃ θ0 ∈ ] − 1, 1[ tq ∆h f (x) = f 0 (x) + h x + f 24 2 2) Montrer par r´ecurrence sur p que :
par exemple, ∆2h f (x) =
∀ x ∈ R, ∃ θp ∈ ] − p, p[ tq ∆ph f (x) = f (p) (x) +
θp h ph2 (p+2) f x+ . 24 2
Exercice 10. f et f 00 sont born´ees Soit f : R −→ R une fonction de classe C 2 . On suppose : ∀ x ∈ R, |f (x)| 6 α et |f 00 (x)| 6 β. hβ 1) Montrer que : ∀ h > 0, ∀ x ∈ R, |f 0 (x)| 6 2α + 2 . h 2) Pour quelle valeur de h obtient-on la meilleure in´egalit´e ? Exercice 11. In´egalit´e sur f 0 Soit f : R −→ R+ une fonction de classe C 2 . On suppose : ∀ x ∈ R, |f 00 (x)| 6 M . y2 1) Montrer que : ∀ x, y ∈ R, f (x) + yf 0 (x) + 2 M > 0. p 2) En d´eduire que : ∀ x ∈ R, |f 0 (x)| 6 p2M f (x). 3) On suppose que : ∀ x ∈ R, |f 0 (x)| = 2M f (x). Que pouvez-vous dire de f ? Exercice 12. Majoration des d´eriv´ees de f Soit f : R −→ R une fonction de classe C n telle que f et f (n) sont born´ees sur R. On veut montrer que les d´eriv´ees interm´ediaires sont aussi born´ees sur R. 1) Cas n = 2 : Utiliser la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2. 2) Cas g´en´eral : Utiliser l’exercice 9. Exercice 13. f 00 (x) > − k2 x Soit f : ]0, +∞[ −→ R de classe C 2 telle que f (x) −−−−→ ` ∈ R, et : ∀ x > 0, f 00 (x) > − k2 . x x→0+ Montrer que xf 0 (x) −−−−→ 0 (´ecrire la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2 entre x et x + εx). x→0+
Exercice 14. Ens PC∗ 2001 Soient P, Q deux polynˆ omes ` a coefficients r´eels, non constants, de coefficients dominants positifs. On note x1 < x2 < . . . < xp les racines de P 0 de multiplicit´es m1 , . . ., mp et y1 < y2 < . . . < yq celles de Q0 de multiplicit´es n1 , . . ., nq . Montrer qu’il existe f , C 1 diff´eomorphisme croissant de R sur R, tel que P ◦ f = Q si et seulement si : p = q, ∀ i, P (xi ) = Q(yi ), ∀ i, mi = ni .
taylor.tex page 2
Solutions Exercice 1. f 0 (a)f 000 (a) − f 00 (a)2 . Exercice 4. 1) Formule de Taylor Lagrange entre 12 et 0. 2) Sinon, la fonction g : x 7−→ f (x) − (1 − 2x)n est monotone sur [0, 12 ] et nulle en 0 et nulle. Impossible car g (n) ( 21 ) 6= 0.
1 2,
donc identiquement
Exercice 5. 1) Formule de Taylor pour f et f 0 =⇒ λ = 1/180. Exercice 6. 1) Formule de Taylor pour calculer f (a) et f (b) `a partir de f (x). ´ 2) Etudier f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a) ± M (x − a)2 /2. Exercice 7. Appliquer la formule de Taylor ` a l’ordre 2 de x `a a et de x `a −a. Exercice 8. h f (n+1) (a + θ00 h). f (n) (a + hθh ) = f (n) (a) + hθh f (n+1) (a + θ0 h) = f (n) (a) + n + 1 Exercice 10. 2 f (x + h) − f (x) h 00 − 2 f (x + θh). 1) f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + h2 f 00 (x + θh) =⇒ f 0 (x) = h p √ 0 2) h = 2 α/β =⇒ |f | 6 2 αβ. Exercice 11. y2 1) = f (x + y) + 2 (M − f 00 (z)). 2) ∆ √ 6 0. 3) f est affine. Exercice 13. 2 2 f (x + εx) − f (x) εx2 00 Soit ε > 0 : f (x + εx) = f (x) + εxf 0 (x) + ε 2x f 00 (x + εθx) =⇒ xf 0 (x) = − 2 f (x + εθx). ε Exercice 14. Si Q = P ◦ f alors Q0 = f 0 × (P 0 ◦ f ) a autant de racines que P 0 d’o` u p = q, f (yi ) = xi et Q(yi ) = P (xi ). De plus, au voisinage de yi : λi (y − yi )ni ∼ Q0 (y) = f 0 (y) × P 0 (f (y)) ∼ f 0 (yi ) × µi (f (y) − xi )mi ∼ µi f 0 (yi )1+mi (y − yi )mi d’o` u mi = n i . R´eciproquement, si p = q, P (xi ) = Q(yi ) et mi = ni alors en posant x0 = y0 = −∞ et xp+1 = yp+1 = +∞, P induit un C 1 -diff´eomorphisme de ]xi , xi+1 [ sur P (]xi , xi+1 [) = Q(]xi , xi+1 [) (les limites de P et Q en +∞ sont ´egales ` a +∞ vu les coefficients dominants de P et Q ; celles en −∞ s’en d´eduisent en comptant les changements de signe pour P 0 ou pour Q0 et on trouve le mˆeme compte puisque mi = ni ). On note fi la fonction r´eciproque de P|]xi ,xi+1 [ et f d´efinie par f (y) = fi (Q(y)) si yi < y < yi+1 et f (yi ) = xi . f ainsi d´efinie est strictement croissante, de classe C 1 ` a d´eriv´ee non nulle sauf peut-ˆetre aux yi , et P ◦ f = Q. Reste `a ´etudier le caract`ere C 1 en yi et ` a v´erifier que f 0 (yi ) 6= 0. Au voisinage de yi , par int´egration des DL de P et Q on a : µi λi (y − yi )1+mi ∼ Q(y) − Q(yi ) = P (f (y)) − P (f (yi )) ∼ (f (y) − f (yi ))1+mi 1 + mi 1 + mi 1/(1+mi ) f (y) − f (yi ) λi − − − → car les taux d’accroissement de f sont positifs. Ceci prouve que f est d’o` u µi y − yi y→yi 1/(1+mi ) λi 6= 0. Enfin, on a : d´erivable en yi et f 0 (yi ) = µ i λi (y − yi )mi λi λi −mi /(1+mi ) λi 1/(1+mi ) Q0 (y) ∼ −−→ = f 0 (y) = 0 mi − y→yi µi µi µi (f (y) − f (yi )) µi P (f (y)) et donc f est C 1 en yi . taylor.tex page 3
1 1 ´ Soit f : R −→ R trois fois d´erivable en a. Etudier lim 4 1 h→0 h 1
f (a) f (a + h) f (a + h) f (a + 2h) . f (a + 2h) f (a + 3h)
Exercice 2. D´eriv´ees nulles en 0 Soit f : R −→ R de classe C ∞ telle que : ∀ n ∈ N, f (n) (0) = 0, ∃ λ > 0 tq ∀ n ∈ N, sup f (n) 6 λn n!. R
Montrer que f est nulle sur l’intervalle ] − λ1 , λ1 [, puis sur R. Exercice 3. Fonctions absolument monotones Soit f : R −→ R de classe C ∞ telle que pour tous n ∈ N et x ∈ R, on a f (n) (x) > 0. f (x) Montrer que pour tout entier n, xn −−−−−→ +∞. x→+∞ Exercice 4. Fonction C ∞ ` a support compact Soit f : R+ −→ R de classe C ∞ telle que f (0) = 1, et : ∀ x > 21 , f (x) = 0. (n) 1) Montrer que sup f > 2n n!. R+ 2) Montrer que pour n > 1, sup f (n) > 2n n!. R+
Exercice 5. Formule de Simpson 1) Soit f : R −→ R de classe C 5 , impaire, telle que f 0 (0) = 0 et : ∀ x ∈ R, |f (5) (x)| 6 M . 5 0 Montrer qu’il existe une constante λ telle que : ∀ x ∈ R, f (x) − x 3 f (x) 6 λM |x |. 2) Soit f : [a, b] −→ R de classe C 5 telle que : 0
0
f (a) = f (b) = f
0
a+b 2
= 0,
et
∀ x ∈ [a, b], |f (5) (x)| 6 M.
M (b − a)5 Montrer que f (b) − f (a) 6 2880 . Exercice 6. f 0 (x) − (f (b) − f (a))/(b − a) Soit f : [a, b] −→ R de classe C 2 . On note M = sup |f 00 | et on suppose M > 0. 0 f (b) − f (a) a 1) Montrer que : ∀ x ∈ ]a, b[, on a f (x) − <Mb− 2 . b−a 0 f (b) − f (a) a =Mb− 2) Si f (a) − 2 , montrer que f est polynomiale de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. b−a Exercice 7. Matexo Soit f : [−a, a] −→ R de classe C 2 . Montrer que : ∀ x ∈ [−a, a], |f 0 (x)| 6
a2 + x2 1 |f (a) − f (−a)| + sup |f 00 |. 2a 2a
Application. Montrer que si 0 6 x 6 π/2 on a sin x > x cos x − x2 .
taylor.tex mardi 20 f´evrier 2007
Exercice 8. Limite de θ Soit f : R −→ R de classe C n+1 . Pour a fix´e, on ´ecrit la formule de Taylor-Lagrange : f (a + h) = f (a) + . . . +
hn−1 (n−1) hn (n) f (a) + f (a + hθh ). (n − 1)! n!
1 . Montrer que si f (n+1) (a) 6= 0, alors pour h suffisament petit, θh est unique et θh −−−→ n + 1 h→0 Exercice 9. Diff´erences finies Soit f : R −→ R de classe C ∞ et h > 0. On pose : ∆h f (x) =
f (x + h/2) − f (x − h/2) h
et
∆ph = ∆h ◦ ∆h ◦ . . . ◦ ∆h . {z } | p fois
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) . h2 1) a) Montrer que : ∀ x ∈ R, ∃ θ ∈ ] − 1, 1[ tq ∆h f (x) = f 0 x + θh 2 . 2 θ0 h . (3) b) Montrer que : ∀ x ∈ R, ∃ θ0 ∈ ] − 1, 1[ tq ∆h f (x) = f 0 (x) + h x + f 24 2 2) Montrer par r´ecurrence sur p que :
par exemple, ∆2h f (x) =
∀ x ∈ R, ∃ θp ∈ ] − p, p[ tq ∆ph f (x) = f (p) (x) +
θp h ph2 (p+2) f x+ . 24 2
Exercice 10. f et f 00 sont born´ees Soit f : R −→ R une fonction de classe C 2 . On suppose : ∀ x ∈ R, |f (x)| 6 α et |f 00 (x)| 6 β. hβ 1) Montrer que : ∀ h > 0, ∀ x ∈ R, |f 0 (x)| 6 2α + 2 . h 2) Pour quelle valeur de h obtient-on la meilleure in´egalit´e ? Exercice 11. In´egalit´e sur f 0 Soit f : R −→ R+ une fonction de classe C 2 . On suppose : ∀ x ∈ R, |f 00 (x)| 6 M . y2 1) Montrer que : ∀ x, y ∈ R, f (x) + yf 0 (x) + 2 M > 0. p 2) En d´eduire que : ∀ x ∈ R, |f 0 (x)| 6 p2M f (x). 3) On suppose que : ∀ x ∈ R, |f 0 (x)| = 2M f (x). Que pouvez-vous dire de f ? Exercice 12. Majoration des d´eriv´ees de f Soit f : R −→ R une fonction de classe C n telle que f et f (n) sont born´ees sur R. On veut montrer que les d´eriv´ees interm´ediaires sont aussi born´ees sur R. 1) Cas n = 2 : Utiliser la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2. 2) Cas g´en´eral : Utiliser l’exercice 9. Exercice 13. f 00 (x) > − k2 x Soit f : ]0, +∞[ −→ R de classe C 2 telle que f (x) −−−−→ ` ∈ R, et : ∀ x > 0, f 00 (x) > − k2 . x x→0+ Montrer que xf 0 (x) −−−−→ 0 (´ecrire la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2 entre x et x + εx). x→0+
Exercice 14. Ens PC∗ 2001 Soient P, Q deux polynˆ omes ` a coefficients r´eels, non constants, de coefficients dominants positifs. On note x1 < x2 < . . . < xp les racines de P 0 de multiplicit´es m1 , . . ., mp et y1 < y2 < . . . < yq celles de Q0 de multiplicit´es n1 , . . ., nq . Montrer qu’il existe f , C 1 diff´eomorphisme croissant de R sur R, tel que P ◦ f = Q si et seulement si : p = q, ∀ i, P (xi ) = Q(yi ), ∀ i, mi = ni .
taylor.tex page 2
Solutions Exercice 1. f 0 (a)f 000 (a) − f 00 (a)2 . Exercice 4. 1) Formule de Taylor Lagrange entre 12 et 0. 2) Sinon, la fonction g : x 7−→ f (x) − (1 − 2x)n est monotone sur [0, 12 ] et nulle en 0 et nulle. Impossible car g (n) ( 21 ) 6= 0.
1 2,
donc identiquement
Exercice 5. 1) Formule de Taylor pour f et f 0 =⇒ λ = 1/180. Exercice 6. 1) Formule de Taylor pour calculer f (a) et f (b) `a partir de f (x). ´ 2) Etudier f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a) ± M (x − a)2 /2. Exercice 7. Appliquer la formule de Taylor ` a l’ordre 2 de x `a a et de x `a −a. Exercice 8. h f (n+1) (a + θ00 h). f (n) (a + hθh ) = f (n) (a) + hθh f (n+1) (a + θ0 h) = f (n) (a) + n + 1 Exercice 10. 2 f (x + h) − f (x) h 00 − 2 f (x + θh). 1) f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + h2 f 00 (x + θh) =⇒ f 0 (x) = h p √ 0 2) h = 2 α/β =⇒ |f | 6 2 αβ. Exercice 11. y2 1) = f (x + y) + 2 (M − f 00 (z)). 2) ∆ √ 6 0. 3) f est affine. Exercice 13. 2 2 f (x + εx) − f (x) εx2 00 Soit ε > 0 : f (x + εx) = f (x) + εxf 0 (x) + ε 2x f 00 (x + εθx) =⇒ xf 0 (x) = − 2 f (x + εθx). ε Exercice 14. Si Q = P ◦ f alors Q0 = f 0 × (P 0 ◦ f ) a autant de racines que P 0 d’o` u p = q, f (yi ) = xi et Q(yi ) = P (xi ). De plus, au voisinage de yi : λi (y − yi )ni ∼ Q0 (y) = f 0 (y) × P 0 (f (y)) ∼ f 0 (yi ) × µi (f (y) − xi )mi ∼ µi f 0 (yi )1+mi (y − yi )mi d’o` u mi = n i . R´eciproquement, si p = q, P (xi ) = Q(yi ) et mi = ni alors en posant x0 = y0 = −∞ et xp+1 = yp+1 = +∞, P induit un C 1 -diff´eomorphisme de ]xi , xi+1 [ sur P (]xi , xi+1 [) = Q(]xi , xi+1 [) (les limites de P et Q en +∞ sont ´egales ` a +∞ vu les coefficients dominants de P et Q ; celles en −∞ s’en d´eduisent en comptant les changements de signe pour P 0 ou pour Q0 et on trouve le mˆeme compte puisque mi = ni ). On note fi la fonction r´eciproque de P|]xi ,xi+1 [ et f d´efinie par f (y) = fi (Q(y)) si yi < y < yi+1 et f (yi ) = xi . f ainsi d´efinie est strictement croissante, de classe C 1 ` a d´eriv´ee non nulle sauf peut-ˆetre aux yi , et P ◦ f = Q. Reste `a ´etudier le caract`ere C 1 en yi et ` a v´erifier que f 0 (yi ) 6= 0. Au voisinage de yi , par int´egration des DL de P et Q on a : µi λi (y − yi )1+mi ∼ Q(y) − Q(yi ) = P (f (y)) − P (f (yi )) ∼ (f (y) − f (yi ))1+mi 1 + mi 1 + mi 1/(1+mi ) f (y) − f (yi ) λi − − − → car les taux d’accroissement de f sont positifs. Ceci prouve que f est d’o` u µi y − yi y→yi 1/(1+mi ) λi 6= 0. Enfin, on a : d´erivable en yi et f 0 (yi ) = µ i λi (y − yi )mi λi λi −mi /(1+mi ) λi 1/(1+mi ) Q0 (y) ∼ −−→ = f 0 (y) = 0 mi − y→yi µi µi µi (f (y) − f (yi )) µi P (f (y)) et donc f est C 1 en yi . taylor.tex page 3
