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CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Domingo Alberto TARZIA Universidad Austral, Facultad de Ciencias Empresariales, Departamento de Matemática y Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, Argentina

McGraw-Hill IlfiNd Interamericana SANTIAGO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID • MÉXICO NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SÁO PAULO AUCKLAND . HAMBURGO . LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST LOUIS • TOKIO • TORONTO

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Curso de Nivelación Matemática Queda prohibida cualquier forma de reproducción, transmisión o archivo en sistemas recuperables del presente ejemplar, ya sea para uso privado o público, por medios mecánicos, electrónicos, electrostáticos, magnéticos o cualquier otro, total o parcialmente, con o sin finalidad de lucro.

DERECHOS RESERVADOS © 2000, respecto de la primera edición en español, por McGRAW—HILL / INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. Seminario, 541— Providencia Teléfono: 635 17 14 Santiago (Chile) Reg. Prop. Intelectual: 112.123 I.S.B.N.: 956-278-091-0

Editora: Patricia Ortega Wiedmaier. Diagramación: Kernel Ltda. Diseño de Portada: Fuerza Creativa

Impreso por: Salesianos S.A. IMPRESO EN CHILE / PRINTED IN CHILE

PRÓLOGO

La Matemática siempre ha ocupado un lugar de privilegio en los programas escolares y ha influido explícitamente e implícitamente en la formación e información del estudiante, con distinto énfasis a lo largo del tiempo. Hoy, a estas dimensiones formativa e informativa, más dirigidas hacia el sujeto, se suma lo social, por cuanto la Matemática, desde su lenguaje y desde su método, se ha constituido en un medio de comprensión y mejoramiento del mundo científico, industrial y tecnológico en que se vive. Es desde esta potencialidad que la matemática puede contribuir en forma privilegiada al logro de los objetivos que la Ley Federal de Educación puntualiza para la Educación General Básica (EGB) y el Polimodal, pues colabora con el desarrollo individual y social de los alumnos, propiciando en ellos "la búsqueda de la verdad" y en relación con ella, el juicio crítico, el rigor en el método de trabajo, la presentación honesta de los resultados, la simplicidad y exactitud en el lenguaje, la valorización de las ideas ajenas y del trabajo compartido. Pero es importante comprender que el cambio propuesto no se limita exclusivamente a los contenidos, sino más bien a los procedimientos que involucren nuevas operaciones de pensamiento desde la enseñanza de la Matemática y a un cambio de actitudes para su aprendizaje. La resolución de ejercicios y sobre todo de problemas combinados que conecten y entrelacen los conceptos matemáticos se consideran fundamentales en el crecimiento matemático. Es aquí donde el docente juega su rol de maestro, y no de un repetidor, para poder incentivar a los estudiantes en la creatividad, que es la actividad por excelencia del ser humano para la cual la Matemática juega un rol primordial. Este curso de nivelación de Matemática tiene como objetivo realizar una puesta al día de algunos de los temas fundamentales que han sido tratados en la Escuela Secundaria (números reales y sus operaciones, expresiones algebraicas, ecuaciones de primer grado y de segundo grado, sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, representación gráfica en el plano, geometría y trigonometría del plano, resolución de triángulos, teoría de conjuntos, relaciones y funciones entre conjuntos, valor absoluto, inecuaciones de primer y segundo grado, funciones reales elementales y sus gráficas, números complejos, raíces de polinomios). Se presentan las definiciones, propiedades y demostraciones principales para poder utilizarlas en la resolución de ejercicios y problemas de aplicación. El centro del curso está representado por el Capítulo 7 sobre las funciones reales elementales cuya enseñanza es uno de los aspectos que unifica el saber matemático. Su manejo es de fundamental importancia, tanto en la Matemática como en cualquier otra ciencia que tenga por lenguaje a la Matemática. Por otro lado, se ha pretendido comenzar por los temas básicos, como son las operaciones de números reales (Capítulo 1) y las expresiones algebraicas (Capítulo 2). Se ha reservado a la teoría de conjuntos el Capítulo 5 (la parte más abstracta del curso en la que se estudian las relaciones y las funciones entre conjuntos) después de tener un adecuado manejo algebraico y geométrico. Dichos Capítulos 1 y 2 son complementados en los Capítulos 3 (sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas), 6 (números reales), 8 (números complejos) y 9 (polinomios). Por su parte, el Capítulo 5 es, a su vez, complementado con el 7 (funciones reales elementales y sus representaciones gráficas). Conviene hacer notar la importancia que se le asigna a la resolución de problemas con parámetros o con muchas soluciones (por ejemplo: ecuaciones e inecuaciones de primer grado con parámetros, V

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ecuaciones e inecuaciones de segundo grado con parámetros, ecuaciones e inecuaciones irracionales con parámetros, sistemas de ecuaciones de primer grado con parámetros, ecuaciones e inecuaciones en las cuales intervengan valores absolutos, obtención de la opción óptima a través del estudio de funciones reales, etc.) que incentivan la creatividad en Matemática. En este curso se muestran las bases sobre las cuales se levanta el edificio matemático para estar luego en condiciones óptimas para entender la matemática universitaria y poder aplicarla en la resolución de problemas prácticos de la vida real. Ha sido utilizado desde 1991 en el curso pre-universitario (Capítulos 1 al 4) y de Matemática para Empresas I (Capítulos 5 al 9) en la carrera de Licenciatura en Ciencias Empresariales que se desarrolla en la Facultad de Ciencias Empresariales (con sede en la ciudad de Rosario) de la Universidad Austral. El curso puede ser desarrollado en 100 horas reloj, que incluye el tiempo dedicado tanto al desarrollo de los conceptos teóricos como a la resolución de problemas. Una estimación por capítulos es la siguiente: Capítulo 1 (6 hs.), Capítulo 2 (13 hs.), Capítulo 3 (7 hs.), Capítulo 4 (10 hs.), Capítulo 5 (16 hs.), Capítulo 6 (11 hs.), Capítulo 7 (23 hs.), Capítulo 8 (7 hs.), Capítulo 9 (7 hs.). El desarrollo teórico del curso se complementa con: — Guía deTrabajos Prácticos: Consiste en la resolución de ejercicios y problemas, por cada uno de los capítulos. Tendrá por objetivo la comprensión de los conceptos matemáticos dados en el curso y la resolución de problemas combinados que conecten diversos conceptos entre sí. Muchos de los problemas (que se indican en Problemas Complementarios en el respectivo capítulo) no están ordenados para evitar el encasillamiento en la metodología de resolución de los problemas. La mayoría de dichos problemas complementarios tiene por objetivo principal el de pensar y razonar en Matemática, como una forma de incrementar la correspondiente creatividad que resulta ser vital no sólo en el aprendizaje de la Matemática sino en la vida cotidiana. — Trabajos Prácticos Especiales: Consiste en la resolución de problemas sobre un determinado tema, en general, de interés a la Economía y a la Empresa. Tendrá por objetivo la aplicación de los conocimientos matemáticos, desarrollados en el curso, en problemas específicos. Al final del Capítulo 7 se desarrolla el trabajo práctico especial: "Aplicaciones de las funciones reales elementales a problemas de Economía y de la Empresa". Los enunciados de los ejercicios y problemas, que forman los Trabajos Prácticos, se encuentran al final de cada capítulo. Las respectivas respuestas, en su gran mayoría, se hallan a continuación de tales enunciados. Quisiera agradecer a mis colegas Adriana Briozzo, Graciela Garguichevich, Norma Gurruchaga y María Fernanda Natale, por la lectura y sugerencias realizadas para mejorar el presente texto. Domingo Alberto Tarzia Rosario.

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DEDICADO A mi esposa Norma y mis hijos María Silvina y Pablo Alberto por su paciencia, cariño y comprensión; la memoria de mis queridos padres y por sus innumerables sacrificios que hicieron por mí.

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CONTENIDO

Capítulo O: Introducción 0.1. Algunos términos matemáticos. 0.2. Problema fundamental en Matemática: P implica Q. 0.3. Problemas por resolver y problemas por demostrar.

Capítulo 1: Operaciones con números reales 1.1. Introducción. Sucesivas ampliaciones del concepto de número, números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos. Problemas sin soluciones. Propiedades y aplicaciones. 1.2. Operaciones con números reales: propiedades de la suma, diferencia, producto y cociente de los números naturales y números enteros, reglas de supresión de paréntesis, reglas de signos para el producto y cociente de números fraccionales, propiedades; orden en el conjunto de números racionales; suma, diferencia, producto y cociente de números reales. Propiedad y aplicaciones. 1.3. Potenciación y radicación. Potenciación con exponente fraccionario. Propiedades y aplicaciones. 1.4. Representación decimal (finita, infinita y periódica) de un número real. Forma de hallar el número racional dado por una representación decimal infinita periódica. Propiedades y aplicaciones. 1.5. En trabajos prácticos: Operaciones incompletas. Números par, impar, intruso, triangular, cuadrangular, perfecto y amigo. Sistemas de numeración sexagesimal y romano. Cuadrados mágicos respecto de la suma y el producto Propiedades y aplicaciones.

Capítulo 2: Expresiones algebraicas 2.1. Definiciones básicas. Expresión literal. Expresión algebraica. Expresión algebraica entera. Expresión algebraica fraccionaria. Monomio. Coeficiente de un monomio. Monomios semejantes. Grado de un monomio. Polinomio. Grado de un polinomio. Polinomio homogéneo. Polinomio ordenado respecto de una de sus letras. Polinomio completo. Valor numérico de una expresión algebraica. Propiedades y aplicaciones. 2.2. Operaciones con expresiones algebraicas enteras. Operaciones con monomios semejantes: suma y IX

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resta. Operaciones con monomios: suma, resta, producto y cociente. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Operaciones con polinomios: suma, resta, producto de un polinomio y un monomio, producto de dos polinomios, cociente de un polinomio con un monomio, cociente de dos polinomios. Polinomio resto. Disposición práctica del cociente de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Cero o raíz de un polinomio. Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de sus bases. Productos especiales: cuadrado y cubo de un binomio, cuadrado de un trinomio, diferencia de cuadrados. Propiedades y aplicaciones. 2.3. Factoreo de expresiones algebraicas. Factor común. Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo. Trinomio cuadrado perfecto. Cuatrinomio cubo perfecto. Diferencia de cuadrados. Suma o diferencia de potencias de igual grado. Propiedades y aplicaciones. 2.4. Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. Reducir varias expresiones algebraicas a común denominador. Operaciones con fracciones algebraicas: suma, resta, multiplicación y división. Fracciones compuestas. Propiedades y aplicaciones. 2.5. Operaciones en una variable. Identidad algebraica. Ecuación algebraica. Incógnitas. Miembros de una ecuación. Solución de una ecuación. Resolver una ecuación. Diferentes tipos de clasificaciones en: Ecuación compatible, indeterminada e incompatible; Ecuación entera, fraccionaria e irracional; Ecuación en primer grado en la incógnita x. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas x, y; Ecuación numérica, ecuación literal o paramétrica. Ecuaciones equivalentes. Metodología para resolver una ecuación. Principio de la adición y principio de la multiplicación. Propiedades y aplicaciones. 2.6. Ecuación de primer grado en una variable. Porcentaje. Problemas de aplicación. Propiedades y aplicaciones. 2.7. Ecuación de segundo grado en una variable. Raíces. Discriminante. Resolvente. Relaciones entre raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado. Factorización del trinomio de segundo grado. Hallar dos números conociendo su suma y su producto. Problemas de optimización. Propiedades y aplicaciones. 2.8. En trabajos prácticos: Regla de tres simple y compuesta. Porcentaje de ganancia y descuento. Propiedades y aplicaciones.

Capítulo 3: Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 3.1. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Infinitas soluciones. Propiedades y aplicaciones. 3.2. Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Coeficientes del sistema y términos independientes. Solución. Sistema de ecuaciones determinado o compatible, indeterminado e incompatible. Condición necesaria y suficiente para distinguir los tres casos. Propiedades y aplicaciones. 3.3.

Diferentes métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógni-

tas. Método de sustitución. Método de igualación. Método de reducción o de sumas y restas. Método de determinantes. Matriz cuadrada de orden dos. Determinante de una matriz cuadrada de orden dos y Regla de Cramer. Método de triangulación o de Gauss. Método gráfico: Sistema de coordenadas en una recta, sistema de coordenadas cartesianas ortogonales en el plano, abscisa y ordenada, función real, representación gráfica de la función y=mx+h, pendiente y ordenada al origen, resolución gráfica de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, intersección de dos rectas. Propiedades y aplicaciones. 3.4. Interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Propiedades y aplicaciones. 3.5. Resolución de otros sistemas de ecuaciones. Propiedades y aplicaciones. 3.6. Problemas de aplicaciones. Propiedades y aplicaciones. 3.7. Resolución de un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. Propiedades y aplicaciones.

Capítulo 4: Geometría y trigonometría del plano 4.1. Propiedades básicas de la geometría del plano. Propiedades de rectas y ángulos. Bisectrices y mediatrices. Propiedades en la circunferencia. Angulo central. Triángulos equiláteros, isósceles y rectángulos. Propiedad fundamental de los ángulos interiores de un triángulo. Triángulos congruentes. Medianas, alturas y puntos notables en un triángulo. Cuadriláteros, trapecios, paralelógramos, rectángulos, rombos y cuadrados. Propiedades y aplicaciones. 4.2. Triángulos semejantes. Segmentos proporcionales a otros dos. Semejanza de triángulos. Casos de semejanza de triángulos. Teorema de Thales. Propiedades y aplicaciones. 4.3. Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras. Altura y área de un triángulo equilátero en función del lado. Diagonal de un cuadrado. Representación gráfica de los números ‹n(n E /N). Relaciones métricas en un triángulo rectángulo. Propiedades y aplicaciones. 4.4. Relaciones métricas en un triángulo cualquiera. Cálculo del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo y a un ángulo obtuso, en un triángulo, en función de los otros lados. Cálculo de una altura y del área de un triángulo, conociendo sus lados. Fórmula de Nerón. Cálculo de la distancia de un vértice a un punto cualquiera del lado opuesto. Cevianas. Fórmula de Stewart. Cálculo de las medianas en función de los lados. Propiedades y aplicaciones. 4.5. Relaciones trigonométricas. Las relaciones entre los lados de un triángulo dependen del ángulo y no de los lados. Relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo: seno, coseno y tangente de un ángulo. Relaciones recíprocas: cosecante, secante y cotangentes de un ángulo. Relación trigonométrica pitagórica. Propiedades y aplicaciones. 4.6. El radián. Medidas de ángulos en grados y en radianes. La circunferencia trigonométrica. Angulo XI

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positivo y ángulo negativo. Propiedades y aplicaciones. 4.7. Relaciones trigonométricas para ángulos particulares: 0, 30, 45, 60 y 90 grados. Propiedades y aplicaciones. 4.8. Propiedades de las relaciones trigonométricas. Relaciones trigonométricas: de ángulos opuestos, de ángulos complementarios, de ángulos suplementarios, de ángulos que difieren en 90°, de suma y resta de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, en función del ángulo mitad. Reducción al primer cuadrante. La pendiente de una recta como la tangente de un ángulo. Propiedades y aplicaciones. 4.9. Relaciones trigonométricas inversas (arco seno, arco coseno y arco tangente trigonométrica). Propiedades y aplicaciones, 4.10. Resolución de triángulos rectángulos: diferentes casos. Propiedades y aplicaciones. 4.11. Relaciones que se verifican en un triángulo rectángulo cuando se traza la altura correspondiente a la hipotenusa. Proyección de un punto sobre una recta. Proyección de un segmento sobre una recta. Estudio de diferentes casos. Propiedades y aplicaciones. 4.12. En trabajos prácticos: Medias aritméticas, geométrica, armónica y media cuadrática de dos números. Terna pitagórica. Propiedades y aplicaciones.

Capítulo 5: Elementos de la teoría de conjuntos 5.1. Conjuntos, elementos y pertenencia. Definición de un conjunto por extensión y por comprensión. Notaciones. Diagramas de Venn. Conjuntos iguales, finitos, infinitos y disjuntos. Subconjunto. Inclusión, igualdad y complementación de conjuntos. Conjunto de las partes de un conjunto. Propiedades y aplicaciones. 5.2. Operaciones con conjuntos: intersección, unión, diferencia, diferencia simétrica. Leyes de De Morgan. Par ordenado. Producto cartesiano. Propiedades y aplicaciones. 5.3. Relaciones entre conjuntos. Gráficos. Representación por lista, por tabla o matriz, por diagrama cartesiano y por flechas. Relaciones binarias. Dominio de imagen de una relación. Relación inversa. Propiedades de las relaciones binarias: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica, de equivalencia y de orden. Clases de equivalencia. Propiedades y aplicaciones. 5.4. Funciones. Función de un conjunto a otro. Dominio, codominio y ley funcional. Conjunto imagen y preimagen de una función. Igualdad de funciones. Función identidad. Función constante. Restricción y prolongación de una función. Composición de funciones. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Correspondencia biunívoca. Función inversa. Involución. Función real. Representación gráfica de una función. Propiedades y aplicaciones. 5.5. Ecuaciones. Igualdad formal. Incógnita, solución o raíz y conjunto de soluciones de una ecuación. Resolución de una ecuación. La ecuación f(x)=b. La ecuación f(x)=g(x). Propiedades y aplicaciones. XII

5.6. Conjuntos equipotentes. Cardinal de un conjunto. Conjunto numerable. Sucesión. Potencia del continuo. Propiedades y aplicaciones. 5.7. Principio de inducción matemática (inducción completa). Hipótesis de inducción. El símbolo de sumatoria. Indice de la sumatoria y rango de variación. Factorial. Número combinatorio. Fórmula de Stieffel. Triángulo aritmético de Tartaglia. Potencia de un binomio. Binomio de Newton. Propiedades y aplicaciones.

Capítulo 6. Números Reales 6.1. El cuerpo de los números reales. Ley de composición interna. Operación. Estructura de grupo conmutativo y de cuerpo conmutativo. Propiedades fundamentales de los cuerpos conmutativos. Leyes asociativa, conmutativa y distributiva. Elemento neutro y simétrico (opuesto o recíproco). Números racionales e irracionales. El número \ J2 no es racional. Propiedades y aplicaciones. 6.2. Desigualdades entre números reales. Propiedades y aplicaciones. 6.3. Intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos e ilimitados. Los símbolos + oo y — oo. Propiedades y aplicaciones. 6.4. Ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita. Dominio de definición de la ecuación o de la inecuación. Ecuaciones equivalentes y transformaciones regulares. Ecuaciones e inecuaciones racionales. Inecuaciones de primer grado con parámetros. Propiedades y aplicaciones. 6.5. Valor absoluto de un número real. Desigualdad triangular. Propiedades y aplicaciones. 6.6. Distancia entre dos números reales. Entorno y entorno reducido de un punto. Propiedades y aplicaciones. 6.7. Cota superior, extremo superior y elemento máximo de un conjunto de números reales. Cota inferior, extremo inferior y elemento mínimo de un conjunto de números reales. Conjunto acotado. Punto de acumulación de un conjunto de números reales. Propiedades y aplicaciones.

Capítulo 7: Funciones Reales 7.1. Sistema de coordenadas cartesianas en el plano. Cuadrantes, ejes y coordenadas. Distancia y punto medio entre dos puntos del plano. Propiedades y aplicaciones. 7.2. Características de las funciones reales. Representación gráfica. Variable independiente y variable dependiente. Simetría de las gráficas de una función y de su inversa. Clasificación en: funciones algebraicas, racionales, enteras o polinomiales, potenciales, fraccionarias, homográficas, irracionales, exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas y trigonométricas. Funciones decreciente y estrictamente decreciente, creciente y estrictamente creciente. Funciones monótonas y estrictamente monótonas. Funciones periódicas. Período fundamental. Partición de un intervalo y función escalera. Funciones de trazo continuo o discontinuo. Operaciones elementales con funciones reales: suma, resta, producto, XIII

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cociente y producto por un escalar. Gráficas de funciones obtenidas a partir de una dada. Traslaciones de gráficas en forma vertical y horizontal. Funciones reales elementales y sus representaciones gráficas: constante, identidad, signo, lineal, valor absoluto, parte entera, mantisa, escalón recíproca (hipérbola equilátera), parábola cuadrática y parábola cúbica, raíz cuadrada y raíz cúbica. Propiedades y aplicaciones. 7.3. La recta en el plano. La función polinómica de primer grado. Diferentes representaciones: ecuación explícita, ecuación implícita (general) y ecuación segmentaria de una recta en el plano. Pasaje de una forma a otra. Significado geométrico de los coeficientes. Haz de rectas que pasa por un punto. Recta que pasa por dos puntos. Angulo entre dos rectas. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad entre dos rectas. Inecuaciones de primer grado en dos variables. Sistemas de inecuaciones de primer grado en dos variables. Conjunto convexo. Propiedades y aplicaciones. Función homográfica. Asíntona vertical y asíntona horizontal. Representación gráfica. Propiedades y aplicaciones. 7.4.

7.5. Función cuadrática. La función polinómica de segundo grado. Ecuación de segundo grado con una incógnita y raíces. Gráfica de la función de segundo grado. Vértice de una parábola. Signo de la función de segundo grado. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Intersección de gráficas en el plano. Intersección de una recta con una parábola, de una recta con una hipérbola y de dos parábolas. Ecuación de abscisas. Inecuaciones de segundo grado con parámetros. Ecuación bicuadrada. Propiedades y aplicaciones. 7.6. Función exponencial. Gráficas de las funciones exponenciales con bases a > 1 y O < a < 1. Propiedades y aplicaciones. 7.7. Función logaritmo. Logaritmo natural y decimal. Gráfica de la función logaritmo natural. Propiedades y aplicaciones. 7.8. Funciones hiperbólicas (seno, coseno y tangente hiperbólica). Propiedades y aplicaciones. 7.9. Funciones hiperbólicas inversas (argumento seno, argumento coseno y argumento tangente hiperbólica) y sus gráficas. Propiedades y aplicaciones. 7.10. Funciones trigonométricas. La variable real radián. Las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y sus correspondientes funciones recíprocas. Funciones trigonométricas inversas (arco seno, arco coseno y arco tangente trigonométrica). Representación gráfica de las funciones trigonométricas y sus inversas. Angulo formado por dos rectas no paralelas. Coordenadas polares en el plano. Polo y eje polar. La recta y la circunferencia en coordenadas polares. Propiedades y aplicaciones. 7.11. Ecuaciones e inecuaciones irracionales. La transformación elevar al cuadrado. Dominio de definición de una ecuación o de una inecuación irracional. Resolución de una inecuación irracional. Representación gráfica. Propiedades y aplicaciones. 7.12. En Trabajos Prácticos: Aplicaciones de las funciones reales elementales a problemas de la economía y de la empresa. Interés compuesto. Costos, ingresos y utilidades. Determinación de la opción óptima. XIV

Capítulo 8: Números Complejos 8.1. Introducción 8.2. El cuerpo de los números complejos. Definición de un número complejo. Componente real y componente imaginaria. Igualdad entre números complejos. Operaciones con números complejos: suma, resta, producto y cociente. Elemento neutro, elemento opuesto, elemento unidad y elemento inverso. Complejos con segunda componente nula. Parte real y parte imaginaila. Propiedades y aplicaciones. 8.3. Forma binómica de un número complejo. Unidad imaginaria. Potencia entera de la unidad imaginaria. Propiedades y aplicaciones. 8.4. Conjugación de números complejos. Norma y módulo de un complejo. Propiedades y aplicaciones. 8.5. Operaciones de números complejos en forma binómica. Propiedades y aplicaciones. 8.6. Representación geométrica de los números complejos. Plano complejo. Argumento de un número complejo. Forma polar y trigonométrica de un número complejo. Pasaje de una forma a la otra. Propiedades y aplicaciones. 8.7. Operaciones de números complejos en forma polar o trigonométrica. Producto y cociente de números complejos en forma polar. Fórmula de De Moivre. Raíz n-ésima complejo y de la unidad. Raíz cuadrada principal de un número real negativo. Propiedades y aplicaciones.

Capítulo 9: Polinomios 9.1. Introducción 9.2. Algunas nociones básicas. Polinomio complejo. Grado y coeficientes de un polinomio. Función polinómica. Igualdad entre polinomios. Operaciones con polinomios. Propiedades y aplicaciones. 9.3. Descomposición factorial de un polinomio. Multiplicidad de una raíz. Propiedades y aplicaciones. 9.4. Polinomios a coeficientes reales. Propiedades de las raíces complejas conjugadas. Propiedades y aplicaciones. 9.5. El cálculo de las raíces. Raíces racionales de polinomios a coeficientes racionales. Teorema de Gauss. Cálculo aproximado de las raíces reales. Cotas superior e inferior del conjunto de las raíces reales. Acotación, separación y aproximación de las raíces reales. Teorema de Laguerre-Thibault. Método dicotómico. Raíz aproximada. Error de aproximación. Propiedades y aplicaciones.

XV

INTRODUCCIÓN

A ALGUNOS TÉRMINOS MATEMÁTICOS

En matemática existen cuatro términos que se encontrarán frecuentemente siempre que se trate con demostraciones. Estos son proposición (propiedad), lema, teorema y corolario. Una proposición o propiedad es un enunciado de interés que se está tratando de demostrar. Algunas proposiciones son consideradas (subjetivamente y muchas veces también objetivamente) extremadamente importantes y se las llama teoremas.

La demostración de un teorema puede ser muy larga, por lo que resulta más fácil realizar la demostración por "partes". Por ejemplo, para demostrar "P implica Q", puede ser necesario demostrar primero que "P implica C", luego, que "C implica D" y, finalmente, que "D implica Q". Cada una de las proposiciones obtenidas podría presentarse por separado, y éstas se llaman lemas. En otras palabras, un lema es una proposición preliminar cuyos resultados se utilizarán en la demostración de un teorema. Por otro lado, se denomina corolario a toda proposición que surge casi inmediatamente como resultado de que un teorema o proposición es verdadero. En resumen, una proposición o propiedad es un enunciado que se trata de demostrar que es verdadero. Un teorema es una proposición importante. Un lema es una proposición preliminar que va a utilizarse en la demostración de un teorema, y un corolario es una proposición que surge como resultado inmediato de un teorema. Un ejemplo es un caso particular o concreto de una propiedad o proposición verdadera. En cambio, un contraejemplo es un caso particular o concreto que indica que una determinada propiedad o proposición es falsa. Un aporte importante al crecimiento intelectual y a la iniciación a la creatividad es el poder particionar una demostración larga en la concatenación de lemas cortos, los cuales son unos independientes de los otros; es decir, que los lemas o resultados intermedios representan implicancias verdaderas que por concatenación y/o reiteración ayudan a demostrar el resultado o teorema fundamental. A PROBLEMA FUNDAMENTAL EN LA MATEMÁTICA: P IMPLICA

Dadas dos proposiciones P y O, un problema de fundamental interés en matemáticas es el de demostrar que si P es verdadero, entonces Q es verdadero. Una demostración es un método formal para realizar esta tarea. A menudo, las formas particulares de P y Q pueden indicar el camino a seguir. XVII

Para poder hacer una demostración, se debe saber exactamente lo que significa demostrar que "si P es verdadero entonces Q es verdadero". La proposición P se llama a menudo hipótesis y el postulado Q tesis. Para abreviar, la proposición "si P es verdadero entonces Q es verdadero", se reduce a "si P entonces O", o simplemente "P implica O" (que se nota: P <=> Q). Parece razonable que las condiciones bajo las cuales "P implica O" es verdadero dependerán de si P y Q son verdaderos. Por lo tanto, hay cuatro posibles casos a considerar: • • • •

P es verdadero y Q es verdadero; P es verdadero y Q es falso; P es falso y Q es verdadero; P es falso y Q es falso.

Una tabla de verdad es un método para determinar cuándo una proposición, por ejemplo: "P implica O" es verdadera, debiendo examinarse todos los posibles valores de la verdad de las proposiciones individuales P y Q. Cuando se trata de demostrar que "P implica Cr es verdadero, se puede suponer que la proposición de la izquierda de la palabra "implica" es verdadera. La meta es concluir que el postulado de la derecha es verdadero. Se debe tener en cuenta que una demostración de la proposición "P implica O" no es un intento de verificar si P y Q son verdaderos, sino demostrar que Q es una consecuencia de haber supuesto que P es verdadero. En general, la habilidad para demostrar que Q es verdadero dependerá mucho del hecho de que se haya supuesto que P es verdadero y, finalmente, se tendrá que descubrir la relación entre P y Q. Existen muchas maneras de decir que "P implica O": • Cuando P es verdadero, Q debe ser también verdadero; • Q se deduce de P; • Q es una consecuencia necesaria de P; • P es condición suficiente para O; • P sólo si Q. Otras tres proposiciones relacionadas con "P implica O", llamada Proposición directa, son: 1) "Q implica P" (llamada Proposición recíproca), 2) "NO P implica NO O" (llamada Proposición inversa), 3) "NO Q implica NO P" (llamada Proposición contrarrecíproca), donde NO P y NO O son la negación de P y de Q, respectivamente. Las proposiciones directa y contrarrecíproca están relacionadas entre sí según la siguiente equivalencia: Teorema 1: Si P y Q son dos proposiciones entonces se tiene la siguiente equivalencia: (PQ) <=> (NO O NO P). XVIII

Demostración.

Se tiene (NO O) y se quiere probar que (NO P) es válido, es decir, que P no es verdadero. Si se supone, por utilización del método por contradicción, que P es verdadero entonces Q es también verdadero, por hipótesis, lo cual es un absurdo. Por lo tanto (NO P) es verdadero. Se prueba de una manera análoga a lo anterior. Observación 1. La equivalencia anterior es muy útil en Matemática: Por ejemplo, en este curso se la

utilizará para hallar una proposición equivalente a la definición de función inyectiva en el Capítulo 5. Dicha equivalencia resulta ser la que se usará generalmente en la práctica. • PROBLEMAS POR RESOLVER Y PROBLEMAS POR DEMOSTRAR

En Matemática existen dos tipos de problemas fundamentales, a saber: los problemas por resolver y los problemas por demostrar. J PROBLEMAS POR RESOLVER El propósito de un problema por resolver es descubrir cierto objeto, la incógnita del problema. La incógnita es lo que se busca o lo que se pide. Estos problemas pueden ser teóricos o prácticos, abstractos o concretos, son problemas serios o simples acertijos. Los principales elementos del problema por resolver son: la incógnita, los datos y la condición. Para encontrar la solución a estos problemas hay que conocer, de modo preciso, los elementos principales: incógnita, datos y condición. A continuación se detallan preguntas y sugerencias concernientes a dichos elementos que, para la mayoría de los problemas, resultan ser de gran utilidad: • ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuál es la condición? • Distinga las diversas partes de la condición. • Encuentre la relación entre los datos y la incógnita. • Trate de pensar en algún problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una similar. • No conserve más que una parte de la condición, descarte la otra; ¿en qué medida la incógnita queda entonces determinada?, ¿cómo puede variar?, ¿puede deducir de los datos algún elemento útil? • ¿Podría pensar en otros datos que le permitiesen determinar la incógnita?; ¿podría cambiar la incógnita, o los datos, o los dos si es necesario, de tal manera que la nueva incógnita y los nuevos datos estuviesen más relacionados entre sí? • ¿Ha empleado todos los datos?, ¿ha utilizado la condición por completo? ❑ PROBLEMAS POR DEMOSTRAR El propósito de un problema por demostrar consiste en mostrar de modo concluyente la exactitud o falsedad de una afirmación claramente enunciada. Los elementos de estos problemas son, si es un problema matemático usual, la hipótesis y la conclusión del teorema que hay que probar. Para resolverlos deben conocerse exactamente sus partes principales: hipótesis y conclusión. A XIX

IL

continuación se detallan preguntas y sugerencias concernientes a dichos elementos que, para la mayoría de los problemas, resultan ser de gran utilidad: • ¿Cuál es la hipótesis?, ¿cuál es la conclusión? • Distinga las diversas partes de la hipótesis. • Encuentre la relación entre hipótesis y conclusión. • Trate de pensar en algún teorema que le sea familiar y que tenga la misma conclusión o similar. • No conserve más que una parte de la hipótesis, descarte la otra parte; ¿sigue siendo válida la conclusión? • ¿Podría deducir de la hipótesis algún elemento útil?; ¿podría pensar en otra hipótesis de la cual se pudiera deducir fácilmente la conclusión?, ¿podría cambiar la hipótesis o la conclusión o las dos si es necesario, de modo que la nueva hipótesis y la nueva conclusión estuviesen más relacionadas entre sí? • ¿Ha empleado la hipótesis completa? Observación 2. Por regla general, los problemas por resolver tienen mayor importancia en la matemática elemental mientras que los problemas por demostrar son más importantes en la matemática superior. Hay que tener en cuenta que el pasar del uno al otro implica un pasaje de la etapa de lo concreto a la etapa de lo abstracto que comienza a partir de los 13 años.

XX

1l OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

1.1. INTRODUCCIÓN. SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMERO

Los distintos subconjuntos de números reales que se utilizan en la práctica diaria se deducen a partir de sucesivas ampliaciones del conjunto de los números naturales NI={1,2,3,4...). El concepto de conjunto y sus aplicaciones a relaciones y funciones entre conjuntos será tratado con detalles en el Capítulo 5. En N, con la operación suma, se pueden plantear problemas que no siempre tienen solución, como es el siguiente: "Sean n, m E N con n m. Hallar x E N de manera que n+x=m". Por ejemplo: ¿existe x E N tal que 5 +x=2? La respuesta es negativa, pues no se puede encontrar ningún número natural x que lo verifique. Si, en cambio, se considera este problema en el conjunto de los números enteros 7L={...-3,-2,-1,0,1,2,3...} la respuesta al planteo anterior es afirmativa, al existir el número entero x=-3 que soluciona el problema pues 5+(-3) = 2. Luego, es necesario considerar el conjunto de números enteros Z (una ampliación de N) para encontrar soluciones a problemas que no existen en N. Volviendo a la pregunta anterior pero formulada de otra manera: ¿Vn, m e N, 3 x Z tal que n + x = m? La respuesta es afirmativa pues existe un único x E Z, definido por x=m-n, que satisface la ecuación dada. También en Z hay problemas que no siempre tienen solución. Por ejemplo, para la operación producto: "Sean n, m E Z con n 0 y m un número que no es múltiplo de n. Entonces ¿existe x E Z tal que nx=rn?" Por ejemplo: ¿Qué número entero x verifica que 3x = 2?. Ningún número entero lo verifica pero sí el número fraccionario x =— 32 pues 3 • 2 = 2. ' 3 Luego, es necesario considerar una ampliación del conjunto de los números enteros: el conjunto O de números racionales (fraccionarios) para resolver problemas como el planteado arriba. Son números

n - con n, meZyn= 0. (La diferencia entre números racionales y fraccionarios fraccionarios los de la forma --r— se verá con más detalle en el problema 11 del capítulo 5). Por otra parte, todo número entero puede también considerarse fraccionario debido al hecho que m=

,VmEz

Hasta aquí se consideraron tres conjuntos de números, N, Z, O que guardan la siguiente relación de inclusión: N c 7 c G. La pregunta simple que uno puede plantearse es: "¿Existen otros números que no sean números racionales?"

1

22 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA La respuesta es afirmativa y para poder justificarla se puede considerar el siguiente problema: ¿cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud unitaria? o, dicho de otra forma, ¿cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos dos lados iguales tienen una longitud

-

unitaria?". Utilizando el Teorema de Pitágoras (ver capítulo 4), resulta que la respuesta es --V2 . Pero, inmediatamente surge la cuestión: ¿ J2 E e? Puede demostrarse que

vi2

CP (ver el capítulo 6).

Luego, existen números que no son racionales y que son llamados números irracionales H. Son ,,ÍZ, Tu, etc. Este conjunto de números irracionales

números irracionales, por ejemplo:

junto con el conjunto de números racionales determinan el conjunto de números reales H; es decir Gk = U C. Son números reales: 2, 0, -74, 3 ' 8,

15

2

"

En el siguiente cuadro se sintetizan los conjuntos de números que se han considerado hasta aquí: NcZcel

= O U (U n =O)

(1)

Así como se amplió el conjunto de números naturales, el conjunto de números reales también puede ser ampliado a un nuevo conjunto de números: el conjunto de los números complejos O (ver el Capítulo 8). En C, se encuentran soluciones a problemas, como el siguiente: "Hallar x E R / x2 +1 = 0"

que en R no tiene solución, y que en tiene dos soluciones dadas por x = i y x= -i donde i = I 1 la unidad imaginaria.

es

1.2. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES A continuación se verán las operaciones y las propiedades fundamentales en los diferentes conjuntos numéricos. A

Números Naturales (%) El conjunto de los números naturales es el dado por: = { 1,2,3,4,5,6,7

J

Propiedades de la suma (o adición) a) Es una operación cerrada, es decir: a + b E N, Va, b E b) Conmutativa: a + b = b + a, Va, b E

;

;

c) Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c, Va, b, c, E NI ; d) Cancelativa: a+b=a+cb= c, Va, b, c, E

;

e) Uniforme: b=c a+ b=a+ c, Va e N

iii

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 23 Propiedades de la diferencia ( o sustracción) a) No es una operación cerrada. Contraejemplo: 3-5 = -2 o N.

La diferencia entre dos números naturales existe si y sólo si el minuendo es mayor que el sustraendo, es decir: V a, b E N, se tiene

a-bEN <=> a>b b) No se verifica la propiedad conmutativa. Contraejemplo: 3 - 5 = -2 = 2 = 5 - 3 c) No es asociativa. Contraejemplo: 7- ( 5 - 2) =7 -3 = 4 O = 2 - 2 = (7 - 5) -2 d) Cancelativa: b-a=c-a = b= c; e)Uniforme:b=c

b - a =c- a.

Reglas de supresión de paréntesis a+(b-c)=a+b-c

a+(b+c)=a+b+c

a-(b+c)=a-b-c

a-(b-c)=a-b+c

Propiedades del producto a) Es una operación cerrada: a • b E N, Va, b E N; b) Conmutativa: a•b=b•a Va, b E N; c) Asociativa: a • (b • c) = (a • b). c

a, b, c e N;

d) Existencia del elemento neutro: 3 1 E N / a • 1 = 1. a = a, V a E N; e) Cancelativa: a•b=a•cb= c, Va e N; f) Uniforme: b=ca•b=a•c, Va E N. g) Propiedades distributivas del producto con respecto a la suma y la diferencia: a•(b-c)=a•b-a•c

a•(b+c)= a•b +a•c

Como consecuencia de la propiedad conmutativa del producto se obtienen las propiedades distributivas siguientes: (b+c)•a=b•a+c•a

;

(b-c)•a=b•a-c•a.

II I

,, á

24 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA J

Propiedades del cociente a) No es una operación cerrada. Contraejemplo: 3 + 2 =1,50 E N. El cociente entre dos números naturales existe en el caso que el dividendo es múltiplo del divisor. b) No es conmutativo. Contraejemplo: 8 + 4 = 2 0,50 = 4 + 8 ; c) No es asociativo. Contraejemplo: 8 + (4 + 2) = 8 + 2 = 4 1 = 2 + 2 = ( 8 + 4) + 2 ; d) Cancelativa: a +b =c+ b = a=c ; e) Uniforme: a=c

a+ b =

b;

f) Propiedad distributiva del cociente respecto a la suma y a la diferencia: Esta propiedad es válida sólo a derecha: (a+b)+c=a+c +b+c

;

(a-b)+c=a+c-b+c

Números enteros (l) El conjunto de números enteros es el dado por: f={ ,-3,-2,-1,0,1,2,3, J

} — { 0,1,-1,2,-2,3,-3

Propiedades de la suma Se verifican las mismas propiedades de la suma de números naturales. Además, se tiene: a) Existencia del elemento neutro : O el/a+ 0=0 +a=a, V aeZ; b) Existencia del elemento opuesto, es decir: V a e Z, 3 -a e Z / a + (-a) = (-a) + a =O.

J

Propiedades de la diferencia Se verifican las propiedades b), c), d) y e) de la diferencia de números naturales, excepto la propiedad

a), es decir, la diferencia de números enteros es una operación cerrada, pues: a - b Z, Va, b f. Además, se tiene: a) En la diferencia, el elemento neutro de la suma verifica: a - O = a, Va e Z. Reglas de supresión de paréntesis Son válidas las mismas reglas citadas en los números naturales (NI).

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 25 ▪

Propiedades del producto

Se verifican las mismas propiedades del producto de números naturales. Además, se tiene: a) Ley de anulación del producto: a • b = 0 = a = 0 ó b = 0

_i Propiedades del cociente

El cociente entre dos números enteros existe en el caso en que el dividendo es múltiplo del divisor y, además, el divisor es distinto de cero. Se verifican las mismas propiedades del cociente de números naturales.

•

Reglas de signos para el producto y el cociente

(2)

•

a•b >Osi(a>Oyb>0) ó (a0yb0). a÷b>0 si(a>Oyb>0) ó (a0yb<0) ó (a0).

Números racionales Kg

El conjunto de los números fraccionarios es el dado por: Q= {-1pE,1 yq E £-{0} }.

El conjunto de los números racionales se definirá con más detalle en el Capítulo 5 a través de una relación de equivalencia entre números fraccionarios. Por el momento, y sin pérdida de generalidad, se puede suponer que ambos conjuntos, el de los números fraccionarios y el de los racionales, son iguales.

J

▪

Definición de suma y diferencia

Suma:

r = p•s+r q p+ q s qs

Diferencia:

P r _ p-s–r•q q s qs

q,s#0

Propiedades de la suma y de la diferencia

La suma y diferencia de números racionales gozan de las mismas propiedades que la suma y diferencia de números enteros. También son válidas las reglas de supresión de paréntesis mencionadas en los números enteros.

26 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA _I

Definición de producto y cociente

Producto

P r _ P•r

Cociente

P q

qs •

r _Ps_P•s s q r — q r•

Definición 1. Dos fracciones se dicen equivalentes o iguales cuando el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir

P —

—r <=, ps = qr q s

1

Propiedades del producto

Se verifican las propiedades vistas en N y Z. Además, existe el elemento recíproco o inverso para todo número racional distinto de cero, es decir:

(4)

1

V

—EeconpAq

e

/

P q

P

=1.

Propiedades de la división Se verifican las propiedades mencionadas en N excepto a), es decir, la división en (11 es una operación

cerrada:

(5)

_I

q • s — qr

'

V I2 EIDECP

'

con r#o ,

Orden en

Observación 1. En el conjunto 1) se puede considerar que todo número p q ( con q O ) tiene el divisor q siempre positivo y que el signo del número lo asume el dividendo p, es decir: si p÷q E f entonces se puede considerar que q>0ype Z.

Ejemplos:

( i ) 5 = + 5 = +5 3 3 3

(ii) - 53 3

Definición 2. Si b> O y d > O, entonces se define el siguiente orden en el conjunto de los números racionales O (Va, c E Z): (6)

b



c•b.

En forma análoga se definen los símbolos " < ", " " y " < ".

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 27 Ejemplos:

3

(i)

8

pues 3.9 = 27 .5. 56

<

(ii)

= 7 •8 ;

5 pues (-3) • 5 = -15

-5 = 5 • (-1) ;

3 pues (-1) • 4 = -4 5_ 6 = 2 • 3 1 = -1 2 5 -ir

Observación 2. Cuando dos fracciones tienen igual denominador entonces la definición anterior es equivalente al orden de los numeradores, pues si b rel="nofollow"> o se tiene: ( 7)

< b

b

<=> ab < cb <=> a < c .

Este hecho resulta útil para ordenar números racionales hallando previamente las fracciones equivalentes de igual denominador. Por ejemplo: 3 _ 27 < 56 _ 8 63 - 63 - 9

7 A

-

Números reales (R)

Todas las operaciones, vistas anteriormente, cumplen en R, las mismas propiedades que las de los números racionales. En resumen, la suma de números reales satisface las siguientes propiedades fundamentales V a, b, c e R ): a) Asociativa: a+(b+c)=(a+b)+ c; b) Conmutativa: a + b = b + a; c) Existencia del elemento neutro: 3 0 E R / a + 0 = 0 + a = a; d) Existencia del elemento opuesto, es decir, V aeR,3 -a E R / a + (-a) = (-a) + a = O. En resumen, el producto de números reales satisface las siguientes propiedades fundamentales. (V a, b, c e R): a) Asociativa: a (b • c) = (a • b) • c ; b) Conmutativa: a«b =b•a ; c) Existencia del elemento neutro: 31 E R / a .1 = 1 • a = a ;

,i,11 1,1

II

I

I

, I

1,11, 11. LINA

28 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

d) Existencia del elemento recíproco: VaER (a0)3a - ieT3 /a•a 1 =a -1 • a=1; e) Propiedades distributivas del producto con respecto a la suma : a.(b+c)=a•b+a•c f) Orden: Todo número real verifica una y sólo una de las siguientes posibilidades: ( 8)

✓ x = 0,

✓ x > O (número positivo),

✓ x < O (número negativo) .

Definición 3. ✓ Se denota con ER + al conjunto de los números reales positivos. 1 Sean a, b E H. Se dice que a es mayor que b (y se nota a > b) si y sólo si (a - b ) > O (es decir: a - b E FI +). En forma equivalente se dice que b es menor que a.

Por otro lado, la diferencia de números reales se define en función de la operación suma de la siguiente manera : a - b = a + ( -b) , Va, b E 7,?

(9)

y el cociente de números reales se define en función de la operación producto de la siguiente manera: a b = a • b -1 , Va, b E

(10)

bO.

Observación 3. Justifique el hecho que el elemento neutro para la operación suma ( el cero) no tiene

elemento inverso o recíproco para la operación producto, es decir

no tiene sentido cualquiera sea x e M.

Ayuda: Pruebe que el cero verifica la siguiente propiedad: 0.a=a•O= 0, Va E LT-3) 1.3 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN • Potenciación Definición 4. Sea a E H, entonces:

a1 = a ; an = a.. a.. a a m=

1

am

'

Va

= 1 Va

O;

a (n veces) Vn E N; , Vm E N.

Propiedades de la potenciación:

a) Propiedad distributiva respecto del producto: (a . b)n = an • bn ; b) Propiedad distributiva respecto del cociente: (--1--) n = an bn c) Producto de potencias de igual base: an • am = an m ; d) Cociente de potencias de igual base: an = an m am e) Potencia de potencias: (aí)m = a" m.

Vb 0 ;

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 29 A. Radicación Definición 5. La raíz enésima de un real a es el real b cuya potencia enésima es a, es decir:

(12)

b=

Ja

<=>

bn = a

con n e 1%1,

(a E P cuando n es impar; en cambio, debe ser a 0 cuando n es par). En la notación q/x se indica con q,/ el signo radical, con x el radicando y con n el índice de la raíz. Se puede determinar el signo de la raíz según que el índice sea par o impar, y el radicando positivo o negativo. Ejemplos: i)

J8

= 2 pues 2 3 = 8 ;

ii) /-8

= -2 pues (-2) 3 = -8 ;

iii) V16

= ± 2 pues 2 4 = 16 y (-2) 4 = 16;

iv) g/-16 no es posible calcularla en R, pues ningún número real elevado a exponente par da por resultado un número negativo (se puede dar una respuesta en el conjunto de los números complejos C) Propiedades de la radicación:

a) Propiedad distributiva respecto del producto: R/a • b = -n \5 • VE ; a Ria b) Propiedad distributiva respecto del cociente: b c) Radicación de radicaciones: TWI Definición 6. Sea a E R, entonces la potenciación con exponente fraccionario se define, utilizando la radicación, de la siguiente manera ( a E 5;1 cuando n es impar; en cambio, debe ser ?_ O cuando n es par): m V m, n E N (13) an= a n = _ / 1 (a = 0) , q/am Observación 4. Tanto la potenciación como la radicación no son distributivas con respecto a la suma

y a la diferencia. Contraejemplos: i) V64 + 36 =x/100

= 10

14 = 8 + 6 -\/64 + V36

;

ii) V100 — 36 =V64 = 8 = 4 = 10 - 6 = V100 — V36 iii) (2+3) 2 = 52 .. 25 = 13 = 4 + 9 = 22 + 32 ; iv) (4-3) 2 = 1 2 = 1

7= 16 - 9 = 42 - 32

30 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 5. Los radicales no se deben dejar en el denominador. El proceso de eliminar todos los signos radicales del denominador se llama racionalización del denominador. Para lograrlo se multiplica y se divide la correspondiente fracción por una adecuada expresión, de manera de eliminar la raíz en el denominador. Por ejemplo: 3 _ 3 & 3 2 A,/

(i)

3

+

3

3

(ii)

J._

= 3-2 (-\13 + v2)— 3(.\-+-j1)

En el último ejemplo se usufructúa la diferencia de cuadrados que se verá con más detalles en el Capítulo 2. 1.4 REPRESENTACIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES Definición 7. 1) Se llama representación decimal de un número x e R a la siguiente expresión:

(14)

x = ± [r + o

10

+

r2

100

+

1000

ro +. +...]=± 10n

rir2 r3 ...ro

..

donde (1 5)

r, e N U {0},r, E {0,1,2,3,...,8,9}, V i E N, + : número real positivo, - : número real negativo

En general, cuando el número real x es positivo el signo correspondiente se omite. Por otro lado, la parte decimal entera r, E N U {0} puede representarse de la siguiente manera (en el caso rc. = 0):

(16)

ro = /ail ,donde a i E {0,1,2,3„8,9}, V i = 0,1, ...,k =o con ak O (ai = O, d i > k)

2) Se dice que la representación decimal es finita cuando rn O y I.; = O, Vi

E

Ni, con i n + 1 .

3) Se dice que la representación decimal es infinita cuando no es finita. 4) Se dice que la representación decimal infinita es periódica cuando a partir de un cierto índice no E N un subconjunto de los números r . con no i < n, + m y m E N cualquiera) comienza a repetirse en forma periódica, es decir, consecutivamente. Ejemplos: i) Los siguientes números reales tienen representación decimal finita:

4

= 0 25 '

2

=1 5 '

=O 75 4'

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 31 Más aún, todos los números que tienen una representación decimal finita son números racionales. Si un número tiene m cifras a la derecha de la coma entonces basta multiplicar el número por 10m y luego

dividirlo por 10m para obtener el correspondiente número fraccionario. ii) Los siguientes números reales tienen representación decimal infinita periódica: 1

= O 333

5 = 1 666

=O3

35 = 0 , 353535 99

= O, 35 ;

23 3 9 90

=1é•

= 0 , 23535.... = 0,2 ág

Todos los números que tienen una representación decimal infinita periódica son números racionales.

(iii) Los siguientes números reales tienen una representación infinita no periódica; todos ellos son números irracionales: = 3,141592653589793 = 1,4142135

e =2,718281828459045 '13 = 1,7320508

Observación 6. Son números racionales los que tienen una representación decimal finita o infinita

periódica; por lo tanto, son números irracionales los que tienen una representación decimal infinita con infinitos dígitos no nulos y sin ninguna periodicidad.

—I Forma de hallar el número racional dado por una representación decimal infinita periódica

Se analizará la forma de hallar el número racional dado por una representación decimal infinita periódica a través de varios ejemplos, de los cuales se podrá extraer una regla general del correspondiente cálculo, pero se recomienda, para cada caso concreto, realizar un procedimiento análogo al explicitado aquí: 1) Sea x, = O, 5. Si se multiplica por 10 se tiene 10 x, = 3, 5. Por lo tanto: 10x, = 3, á xl

= O, 3

restando miembro a miembro resulta

9x, =3 Luego, se obtiene: 3 = 1 x, = 9

I

32 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

2) Sea x2 = O, 35. Si se multiplica por 100 se tiene 100 x 2 = 35, 35. Por lo tanto: 100 x2 = 35, x2 99x2

= 0, 15

restando miembro a miembro resulta

= 35

Luego, se obtiene:

x2 =

35 99

3) Sea x3 = 0,2 35 . Si se multiplica por 10 y por 1.000 se tiene 10 respectivamente. Por lo tanto:

= 2, 35 y 1.000 x3 = 235,

1.000 x3 = 235, 35 10 x3

restando miembro a miembro resulta

= 2, 35

990 x3 = 233 Luego, se obtiene:

x3 =

233

990

4) Sea x4 = 0, §. Si se multiplica por 10 se tiene 10 x 4 = 9, 9. Por lo tanto: 10 x4 = 9, 9 x4 = O 9

9x4 = 9 Luego se deduce que x4 = 1 ¿De este caso, qué se puede deducir?

restando miembro a miembro resulta

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 33

Trabajo Práctico 1) Suprima paréntesis, corchetes y llaves y resuelva: (i)

-3 +

(ii)

- {2+ [-7 +1 -(3-1)] - (6-5 + 3) };

(iii)

- {- [- ( -8 - 3) + (-2 -2) + 3] -1 +5 } ;

( v)

-{ -

(v)

- {-(4-(2-10) +1] +6 ) -8 } -1.

+[4-(3-7)] + 3} ;

[- (4-8) -1] +2 )-3}+2;

2) Resuelva: (i)

(4 - 6)(4 - 7)(4 - 8) - (8 - 3) (8 - 9) (8 - 4);

(ii)

-16 -{-[3+(-5+2)]} {4- 9 -(- 12)1}

(iii)

-7-3

16-24

-32+8

1-25

2

-8

-6

4

(iv)

-16+31-29

8-17-6

-22-17-6 .

8-13-2 + -16+8+7 + -14-11+10 '

(v)

{[(-45 - 5) (-3+ 8)1 ,4- (-5)- [-(15 - 3) 4]} ÷ (-5);

(vi)

- {-[ (-4 + 12 +7) + 5+8-(-12 +11 -10) (-2)]} ÷ (-11); (-90) + (-6)48 + (-6)

(-200) + (-8) 24+. (-4.6)

(-12) + 4 + (-100)-4- 25 360 + (-72) + 32.2 + 64 3) Reduzca los siguientes números racionales a mínimo común denominador:

00

1 2 3 7 4'6'2'3

(i) "

13 -9 5 ' 8 ' 20

00 A

5 7 4 9'24'36'45

4) Simplifique las siguientes fracciones: (i)

20

(u)

-24 128

-54 (11°

66

5) Ordene en forma creciente o decreciente los siguientes números racionales: ti\ 2 -5 -1 4 "3'2'7'5

(ii)=1 3 ' 3' 8 ' 7

34 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

6) Resuelva:

(i)

-1 -8 -1 ( -8) + 4 - 21

7

-á- +

(ii) o - (-

73 + 5 _ 17 18 36 90

20

(iii)t)(- -1)(-

fiv ,

5

(vi) (_ 7 )1 ,

-7 (V)

(- 5

5

•,

;

(vil) „\I 12659

(viii) I 49 400

81 100

(x) (-2) ( 5 12

2

-

. '

1 4

144 4

(ix)

10 '

2 r3 2 4. 1 (xi) 9 3 8

(xii) 8 +

(p 2

)J -32

6"

22 ÷

- 62

- (-12)]

7) Resuelva:

16

0\

I 11

81

25 E1

(ii)

(2 - ÷) 2

1 (y) 1

) (y

-4 (iv)

5-1

1 1- 2 -2 1

2

(1) - (--1) 3

( 1 4. 1 3 (vi) 2 1 1 4 6

1-2 -a

1)((_ .21

)2(

21. )3

-((-,ráf - 411 , .\i÷

)2

4_ 3 -1 ).,57 4_ 1 15 4- 1 Y 4 -1

j

1( 14 )4 ( 14 )2 11

_ (-1)4

1

34

(

7)

1 42

•

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 35 8) Resuelva:

1 v4 0, 4 1 O, 16,

í 0, 3

5

(i) 0, 2 8

4, 01 + 0, 99 0,2 5 (ii) O, 31 2 (O, 2) 3 5 (0, 2) 2 0, 3

1 + 1 1 + 1 - 0 75 2 - 1, 25 3 - 2, 5 (iii) ' 1 ± 1 ± 1 1-0 4 1 -0 1 1 - O 15 2 ' 5 ' 4 ' (iv)

1 1 0, 5 + 1 4

1 2

+ 0, 2

1 1+O6 ' + 0, 25 2 3

9) Convierta las siguientes expresiones decimales periódicas en fracciones: (i) 0, 5;

(ii) 0,

sg ;

(iv) 0, ¶0 ;

(v) 0,

;

(iii) 0,4$3 ; (vi) 0, OFD

10) Transforme en fracciones las expresiones decimales y realice las siguientes operaciones: O, 3

(i) o, 3

(ii) 0, 1 + 0, 9

1

(

(V)

(vii)

-

)2

\

;

( " I)

'1 11 3'7

O, 5

2

-0,1

1, 45 1 [(O 5) 2 + 0, 3] ' 2, + 0, 3 )

2 3

0, 022Z

-

'

0, 37

0, 587

1, 6 ;

(v i) [(O, r - 0,1)- (3,1+ 2,i)] + (x)

x) V-(-0, 2) 2 + 0, 04 + 0, 6 0, 3 ;

Vo, 009 O, 027 - 0, 3 + V3, g 0, OS

11) Escriba el término que falta (expresado por ?) en las siguientes expresiones:

(i)

)

=2

7 0,03

(iii)

• 4'

5 6

- A 3

12) Calcule el valor x en las siguientes expresiones:

(i)

4x - 6 5

12x

20+x

16 - 4x . 20 2 _ 3

4 3 0,5

(ii)

(iv)

x x+

3 2

9+x _ 7 . 4 x 1 = 20 17 40

.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 37

Problemas Complementarios

1) Ordene, de menor a mayor, los siguientes números racionales; use el concepto de fracción equivalente: 13 1

1

5

7

4 3 2

7- 0

3 5

3 4 5 11 ' 3 ' 7

2) Complete las siguientes operaciones:

(ii)

(i) +

...

2 4

2

3

(iii) 4

7

3

8

6 9

8

2

7

8

4

5

5

5

+

(iv )

1 4

8 6 8

8

(y) 8

3

1

2 3

4

1 6

2

3

9

...

4 8

x

5

(vi)

1 x 4 ••••

3 8

3

7 3

(vii) 7 3

5 4

9 0

1 8

3) En cada uno de los siguientes problemas encuentre todas las soluciones: (i) Utilizando solamente una vez las cifras 1,3,4,5 y 8, complete la siguiente operación: 9

1

7

6

1

5

1

1

7 4 9

38 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(ii) Utilizando solamente una vez las cifras 2,4,5,6 y 7, complete la siguiente operación:

6

1 9

7 1

7

4

9

4) En un negocio hay 4.000 bicicletas. Se vende un cierto número de ellas y, de las que quedan, se sabe que el 63.6363...% son plegables y que el 92,2297297297....% no son de carrera. ¿Cuántas bicicletas se vendieron?

5) Encuentre el número intruso entre los siguientes números reales: (i)

8,9 • 10-3 ;

(iv) 124,1 • 10 -2 ; i) 0,1 ;

(ii) 14,7 • 10 -2 ;

(iii) 0,0014 • 10 2 ;

(v) 0,0001

(vi) 384,517 • 10 -4 ;

103 ;

(viii) 9 • 10-1

6) Una con una flecha los números iguales: 0,05 0,5 • 10 3 500 • 10-5 0,05 • 102 50 5000 0,5 . 102 0,05 • 10

5 50 10 -3 0,005 500 5000 . 10 -2 50 • 102 0,5 50

7) Estudie las potencias del 7. ¿Con qué cifra terminará el número 7 50 ? 8) ¿Cuál es el número de cifras del producto 5 17 4 99 9) (iJ Cada letra utilizada (A, P, R, S) representa a un dígito entre O y 9. Halle los valores de cada letra de

manera que se obtenga la siguiente suma: R

A

S

A A

S

S

A

(ii) Cada letra utilizada (A,B) representa a un dígito entre O y 9. Halle los valores de cada letra, de manera que se obtenga la siguiente suma: AB + BA = 99

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 39

10) Verifique que no es posible determinar el dividendo y el divisor de una división sabiendo que el dividendo es menor que 3.000, el cociente es 82 y el resto es 47.

11)Compare e indique cuál de los siguientes números es el mayor; si es posible, sin utilizar tablas de raíces: (i)

VTI y ,%/75 ;

(ii) 3,17- y -5 ;

;;FLy

_5

(iv) 0,00001 y (81) 2 ; (V) /5 y V3 –1 ;

(vi)

;

e y -6V-20

12) Según los gráficos:

2

9

5

conteste las siguientes preguntas: (i) ¿Cuál es la cifra más grande?;

(ii) ¿Cuál es el número más grande?

2 de los socios practican natación, — 1 practica tenis y 13) En un club de 2.200 socios, — 5 4 rugby.

3 practica 10

(i) ¿Qué parte del total de socios no practica deporte? (ii) ¿Qué porcentaje del total de socios practica algún deporte? (iii) ¿Cuál es el deporte que agrupa más socios? y) ¿Cuántos socios practican natación y tenis? 14) Se elige un número de dos cifras AB con A B. Se invierten sus cifras BA. Se resta el menor del mayor y se suman las cifras del resultado. Demuestre que siempre se obtiene el mismo resultado final. ¿Cuál es? 15) ¿Los números capicúas de cuatro cifras son divisibles por 11? 16) Complete los cuadrados con los cinco dígitos 1,2,3,4 y 5, de manera que no se repitan en ninguna de las franjas horizontales, verticales y oblicuas . (i)

4

I

1111

I

lill.

II d

40 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(H) 2

3 4

5

17) Demuestre que el producto de un número de una cifra "a" por otro número formado por n cifras "b" tiene el mismo resultado que el producto de un número formado por una cifra "b" por otro número formado por n cifras "a", es decir que: a x bbb...b = b x aaa... a. 18) Utilizando la definición de la división (D = d • c + r), complete el siguiente cuadro: D

6661

d

c

r

423

178

20

54

19

1457 3291

32 62

17

53

19) Halle dos números de tres dígitos cuyo producto sea 555555. 20) Sean a, b, c, d > 0. Demuestre que si

a < c entonces se tiene b d

a+c c a b < b+d < d

Definiciones.-

(i) Los números pares son los siguientes: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, que se pueden expresar, de manera general, por la expresión número par = 2n, con n = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, (ii) Los números impares son los siguientes: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, que se pueden expresar, de manera general, por la expresión número impar = 2n + 1, con n = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, o en forma equivalente, por la expresión número impar = 2n - 1, con n = 1, 2, 3, 4, 5, 6,

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 41 21) Complete y justifique por "par" o "impar" cada una de las siguientes proposiciones; entendiendo que en caso de la diferencia hay que restar el número menor del mayor:

(i) La suma de dos números pares es (ii) La suma de dos números impares es (iii) La suma de un número par y otro impar es (iv) La suma de tres números pares es (v) La suma de tres números impares es (vi) La suma de cuatro números impares es (vii) La suma de cuatro números pares es (viii) La diferencia de dos números impares es (ix) La diferencia de dos números pares es (x) El producto de dos números pares es (xi) El producto de un número par y otro impar es

22) Indique y justifique si las siguientes proposiciones son siempre ciertas: (i) La suma de dos números naturales consecutivos no es divisible por 2; (ii) La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por 3; (iii) La suma de cuatro números naturales consecutivos no es divisible por 4; (iv) La suma de cinco números naturales consecutivos es divisible por 5; (v) Si n es un número natural par, entonces n 2 - 1 es el producto de dos números naturales impares consecutivos; (vi) Si n es un número natural impar, entonces n 2 -1 es múltiplo de 4; ¿Será también múltiplo de 8? 23) Ubique los números: 72, 7, 40, 70, 95, 13 y 28 en los lugares correspondientes:

Múltiplos del 8

Impares

Múltiplos del 7 Pares

////////

Múltiplos del 5 Primos

//////////////

Definición.- Se llama sexagesimal al sistema de numeración posicional de base 60.

Ejemplos: (i) En un reloj se tiene: 1 hora = 60 minutos,

1 minuto = 60 segundos;

(ii) En ángulo se tiene: 1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos.

IIVL

,11II

I

1,1 I

42 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

24) Complete las siguientes tablas: Horas

Minutos

Segundos

3 150 39.600 1/2 Grados

Minutos

Segundos

60 15 7.200 Definición.- El sistema de numeración romano es un sistema no posicional que permite representar números con letras. Es no posicional pues el valor de las letras no depende de su lugar o posición, es decir, conservan siempre un mismo valor. Los símbolos fundamentales del sistema romano son los siguientes: Número (Sistema decimal)

Número (Sistema romano)

1 5 10 50 100 500 1.000

V X L C D M

Para expresar los números naturales en el sistema romano se deben tener en cuenta las siguientes reglas: i) Todo símbolo escrito a la derecha de otro símbolo de mayor o igual valor se le suma a éste (ej. 11 = XI); ii) Todo símbolo escrito a la izquierda de otro símbolo de mayor valor se le resta a éste: • I sólo puede colocarse a la izquierda de V y X (ej. 4 = IV ; 9 = IX); • X Sólo puede colocarse a la izquierda de L y C (ej. 40 = XL; 90 = XC); • C sólo puede colocarse a la izquierda de D y M (ej. 400 = CD; 900 = CM); iii) Sólo pueden repetirse los símbolos I, X, C y M, a lo sumo tres veces (ej. 113 = CXIII); iv) Para escribir un número mayor que 3999 se colocan rayas horizontales sobre el número. Cada raya horizontal sobre un número equivale a multiplicarlo por mil (ej. 14568 = XIV DLXVIII). 25) Ordene, de menor a mayor, los siguientes números romanos: XCIX; CDXXIII; CDXLIV; DCLXI; CXII; CCLIII; CCCXCVII; CVIICCCXLVI; CIXDLIX.

lith

1'1 41

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES •

43

Definiciones.-

(i) Los números triangulares son los dados por la sucesión de números T n =1 + 2 + 3 +

n + 1)

+ n = n(2

con n = 1, 2, 3

es decir: 1, 3, 6, 10, (ii) Los números cuadrangulares son los dados por la sucesión de números Qn = n2

con n = 1, 2, 3,

es decir: 1,4, 9, 16, (iii) Los números perfectos son aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores, excepto el número mismo. (iv) Dos números son amigos cuando la suma de los divisores de uno de ellos, exceptuando el número mismo, es igual al otro y recíprocamente.

26) Verifique que: (i) La diferencia entre dos números cuadrangulares consecutivos es la sucesión de los números impares; (ii) Los números 36, 1225 y 41616 son números triangulares y cuadrangulares simultáneamente; (iii) La suma de 2 números triangulares consecutivos es un número cuadrangular; (iv) Los números 6, 28, 496 y 8128 son números perfectos; (y) Los números 220 y 284 son amigos. Idem con 1184 y 1210 y, con 2620 y 2924. Definición: Un cuadrado se dice mágico respecto de la operación suma (producto) cuando la suma

(producto) de las filas, de las columnas, y de las dos diagonales es constante. 27) Cuadrados mágicos respecto de la suma: (i) Complete los siguientes cuadrados mágicos con los números del 1 al 9 con constante 15. ¿La solución es única?

a)

8 5

b)

1 2

I

1

'I II

I

1

11

44 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(ii) ¿Es posible construir un cuadrado mágico con los nueve números siguientes: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19? 28) Cuadrados mágicos respecto del producto: (i) Complete el siguiente cuadrado mágico. 3 6 1

12

29) ¿Cuál es la menor de las siguientes fracciones 5 x'

x +1 5

5 x -1

x 5'

si x > 5?

30) ¿Los números capicúas de cuatro cifras son divisibles por 11?

5 x +1 '

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 45

Respuestas Trabajo Práctico 1)

(0 7 ;

2)

3)

) -4;

(ii) 10 ;

(iii) 6 ;

(iv) 4 ;

(v) 4

(ii) -16 ;

(iii) 4 ;

(iv) 20 ;

(v) -1 ;

(vi) 1 ;

(vii) 1

9 14 6 8 12 ' 12 ' 12 ' 12

(i)

160 75 70 32 360 ' 360 ' 360 ' 360

(iii)

-8 65 -18 40 ' 40' 40

(ii)

4)

•

16

-5 -1 2 4 2 ' 7 ' 3 ' 5

5)

(0

6)

(0 0 ;

( ii)

11

. '

22 15

13 . 9 '

7)

(v) 5 ;

8)

(i) 16 ;

9)

(i)

99

(iv) ÷ -

;

200

;

(11)

1 16

(vi) 4- ;

(ii) 1 ;

(v) 1 ; 900

(iii) 20 ;

;

2

(vii) -

(iii)

11

13 . 33 '

;

;

161 " 333 ' (vi)

1

;

(ix) 12 ;

-

(ii)

(iv) 10 ;

2 21

(iii)

(viii)

(xii)

-8 -3 -1 1 7 ' 8 ' 3 ' 3

(ii)

(vi) 499 ;

(x i) 1 ;

. '

(viii) 2 8

(iv) 5

6

46 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

10)

)

(v)

10 . 9 '

(ii)

;

\ 250 77

5625 64

(ix)

(iii)

9

(vii)

1 3

'.

(i v) 130

2348 .

7

(viii)

2425 '

5

;

13 • 45 ' (ii) 0,12 ;

11)

(i) 12 ;

12)

(i) x = 2 ;

(ii) x = 12 ;

(v) x = 32 ;

(vi) x =

(i..)

;

(x) x = ± 12 ;

(ix) x = ± 5;

;

(iv) x =

(iii) x = 10 ;

(vii) x =

194

(viii) x =

;

1 25 . 7

'

6 (xii) x ± — 5

(xi) x = =t. 10 ;

Respuestas Problemas Complementarios

1

5) Es el (iv)

4) Se vendieron 744 bicicletas ;

3) (ii) Tiene dos soluciones ;

8) 18 cifras

7) Con 9 ;

9) (i) R = 8, A = 1, S 3, P=5 (ii) (0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)

(ii) /14 < A/6 ;

11) (i) /11 <'15

(iv) 0,00001 < (81)

5 2

;

(y) 1/5 >

—1 ;

(iii)

>

(vi) 4 < /20

;

31

11144

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES • 47 12) (i) 2 ;

13) (i)

20

(ii) 9

;

14) Es el número 9 29)

5 x +1

(ii) 95% ;

15) Sí ;

(iii) natación ;

27) (i) a) Tiene dos soluciones 30) Sí

(iv) 1430 socios.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2.1. DEFINICIONES BÁSICAS Expresión literal: es la reunión de letras y números reales combinados entre sí y sometidos a operaciones

matemáticas. Expresión algebraica: es toda expresión literal en la que aparece una combinación finita de las siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplos: y2

i) x+y;

ii)

iii)

2Vx y

3y2 ; ax+b y

2X2

iv) a 3 —3 a 2 b + 3 ab 2 — b 3 .

Expresión algebraica entera: es toda expresión algebraica en la que las operaciones matemáticas de que se compone son las siguientes: suma, resta, multiplicación y potenciación con exponente natural.

Ejemplos. i) x 2 —2 xy +

;

ii) ax + b ;

iii) ax 2 +bx+c.

Expresión algebraica fraccionaria o fracción algebraica: es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, siendo la segunda no nula. El numerador y el denominador de la fracción se llaman dividendo y divisor, respectivamente.

Ejemplos: i)

3x 2 —x+1 ax 2 +bx+c

2xy + x 2 + x 3

x2 — y2

•

Monomio: es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones suma ni

resta. Ejemplos: — 2ax 2 ;

••11) —a 1 2 xy 2 3

Coeficiente de un monomio: es el número real que precede al monomio (se sobreentiende que en el caso de que hayan varios factores numéricos, éstos se multiplican entre sí). 1 1 Ejemplos: los monomios — 2ax 2 , 3 — a 2 xy 2 tienen por coeficientes — 2 , — ' respectivamente. 3 Monomios semejantes: dos monomios son semejantes cuando tienen las mismas letras con los mismos exponentes, es decir, cuando difieren solamente por los coeficientes. Ejemplo:

2 ax 3 Grado de un monomio: es la suma de los exponentes de todas sus letras. 3 ax 2

;

- -1

Ejemplos: el monomio 4x 2y 3z es de sexto grado y el monomio 5 es de grado cero.

I

1 ,

II

Wolk

[I

50 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA Polinomio: es la suma algebraica de monomios, llamados términos del polinomio. Cuando el polinomio tiene sólo dos términos se llama binomio, cuando tiene sólo tres términos se llama trinomio, etc. Ejemplos: (i) a + b ,

(ii) a 2 + 2ab + ID 2 es un trinomio;

ax + b son binomios ;

(iii) — 3x 3 + 4x 2 + 2x —1 es un polinomio. Grado de un polinomio: es el mayor de los grados de los monomios que componen el polinomio.

Ejemplos: el polinomio 2x 2 + a es de segundo grado y el polinomio 4x 5 + ax + 1 es de quinto grado. Polinomio homogéneo: es todo polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado.

Ejemplo: el polinomio 3x 2 + 2xy — y 2 es un polinomio homogéneo de segundo grado. Polinomio ordenado respecto de una de sus letras: es cuando los términos del polinomio están dispuestos de modo que los exponentes de dicha letra (letra ordenatriz) vayan aumentando o disminuyendo sucesivamente desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente o decreciente, según que los exponentes de la letra ordenatriz vayan de menor a mayor, o viceversa. El monomio de grado

cero en la letra ordenatriz se denomina término independiente. Ejemplo: el polinomio 3ax 3 — 6x 4 + bx2 — c + dx, ordenado en forma decreciente respecto de la letra ordenatriz x, está dado por: —6x 4 + 3ax 3 + bx 2 + dx — c

Polinomio completo: es todo polinomio que contiene términos de todos los grados de la letra

ordenatriz, desde el más elevado hasta el grado cero. Ejemplo: — 3)( 3 + 4ax 2 + 5b 2 x — 5a 3 es un polinomio completo en la letra x. Observación 1. Si un polinomio es incompleto, entonces puede completarse escribiendo las potencias que faltan afectándolas del coeficiente O (cero).

Ejemplo: el polinomio x 4 — I puede completarse de la forma x 4 + Ox 3 + Ox 2 + Ox —1 Valor numérico de una expresión algebraica: es el número real que resulta al reemplazar las letras por números determinados y ejecutar las operaciones en la expresión dada.

a2 + 2ab + b2

Ejemplo: el valor numérico de la expresión algebraica

32+2 3.2+22

32 -2 3 2+2 2

=

a 2 -2ab+b -

25 1

para a = 3 y b =2 es 25, pues

=25

Observación 2. Una expresión algebraica tiene un valor numérico para cada sistema de valores que se atribuyan a sus letras, siempre que las operaciones a las que están sometidas sean posibles. Por ejemplo,

la expresión (x 2 + 2x + 1) + (x —1) carecerá del valor numérico cuando x =1, pues no es posible realizar la división cuando el divisor es nulo.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 51 2.2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS

Se utilizan, en todos los casos, las propiedades de los números reales. A Operaciones con monomios semejantes 1) Suma: (8ab 2 )+(— 5ab 2 ) = [8 + (— 5)] ab 2 = 3ab 2 ; 2) Resta: (8ab 2 )—

5ab 2 ) = [8 — (— 5)1 ab 2 = 13ab 2

♦ Operaciones con monomios 1) Suma: (3ab) + (2ax) = 3ab + 2ax ; (3ab) + (2ax) + (2ab) = 5ab + 2ax 2) Resta: (3ab) — (2ax) = 3ab — 2ax 3) Producto: (3ab) (2ax) = 6a 2bx

4) Cociente: (3ab) + (2ax) = 3ab • 2-1a-'x_, 3b 2x 5) Máximo común divisor (MCD): el MCD de dos o más monomios es un monomio de grado máximo que divide simultáneamente a todos los monomios dados. Ejemplo: MCD (14x 2 y 3 z ; —21x4y5z2a

35 x 3 y 4 z 5b) = 7 x 2 y 3 z

Observación 3. Todo monomio semejante al 7x 2 y3 z es también el MCD de los tres monomios dados en el ejemplo anterior.

6) Mínimo Común Múltiplo (mcm): el mcm de dos o más monomios es un monomio de grado mínimo que sea divisible simultáneamente por todos los monomios dados.

Ejemplo: mcm (14x 2 y3 z ; —21x 4y 5 z2a ; 35x 3 y 4 z5 b) = 210 x 4 y 5 z 5 ab A Operaciones con polinomios

Se resalta la conveniencia de ordenar los polinomios antes de efectuar operaciones. 1) Suma: (3ax 2 — 2a2 x + a) + (5ax 2 + 3a 2 x — ax 3 — 2a) = 8 ax 2 + a 2 x —a x 3 —a 2) Resta: (3ax 2 — 2a 2 x + a) — (5ax 2 + 3a 2 x — ax 3 — 2a) = — 2ax 2 — 5a 2 x + ax 3 + 3a 3) Producto: a) Producto de un polinomio y un monomio: se utiliza la propiedad distributiva

(a+b+c) • d=a«d+b•d+c•d

11416411116A n

II,

I nin

111611

ii l•

11

11 ■ 111i11i1111 éo+4,641 16

I, IIIILLIIKEILialéh.

nlr

52 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Ejemplo: (3ax 2 - 2a 2 x + a) • (- 2ax) = - 6a 2 x3 + 4a 3 x 2 - 2a 2 x b) Producto de dos polinomios: se utiliza la propiedad distributiva en forma reiterativa como se muestra en el ejemplo siguiente: (a+b+c) (d+e)=(a+b+c) • d+(a+b+c) • e= =ad+bd+cd+ae+be+ce Ejemplo: (3x 3 - 2x 2 + x -1) (2x 2 - x + 2) = (3x 3 - 2x 2 + x -1)

2x 2 +

(3x 3 - 2x 2 + x -1) (-x)+(3x 3 - 2x 2 + x -1) • (2) =

= (6x 5 -4x 4 +2x 3 - 2x 2 )+(- 3x 4 +2x 3 -x 2 + x)+ + (6x 3 - 4x 2 + 2x - 2) = 6x 5 - 7x 4 +10 x 3 - 7x 2 + 3x - 2 La ordenación de los polinomios facilita el cálculo del producto. Se tiene, por ejemplo, la siguiente disposición práctica: 3x 3

-

2x 2

+

x

22x

-

x

x 6x 5

+

2

4x 4

+

2x 3

-

2x2

3x 4

+

2x 3

-

x2

+

x

6x3

-

4x 2

+

2x

2

10x3

-

7x2

+

3x

2

7x 4

6x 5

1

+

4) Cociente: a) Cociente de un polinomio con un monomio: se utiliza la propiedad distributiva siguiente

(a+b+c)±d=

a+b+c= a

d

+

b

+

c

ddd

=a±d+b±d+c÷d

Ejemplo: x2 x 3 (2ax2 +bx+3)÷(2ab)= — + — + 2a 2ab b Observación 4. En general, la división de dos polinomios no es exacta. b) Cociente de dos polinomios: sean P = P (x) y Q = 0(x) dos polinomios en la letra ordenatriz x (sus respectivos coeficientes pueden depender de otras letras) con grados gr(P) > gr(Q). Entonces, existen dos polinomios en la letra ordenatriz x : C = C (x) (polinomio cociente) y R = R(x) (polinomio resto) de manera que se tiene igualdad:

(1)

P(x) = Q(x) C (x) + R(x), con gr(R) < gr(Q)

•

-

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 53

Observación 5. Si Q es un polinomio de primer grado entonces el resto R es un polinomio de grado cero en dicha letra, es decir, un número real.

Ejemplo: disposición práctica para P Q Sean P(x) = 8x 3 + 2ax 2 -7a 2 x+ 2a 3 , Q(x)= 4x 2 + 3ax -a 2 8x 3 8x 3

2a 3

2ax 2 -

7a 2x +

+

6ax2 -

2a 2 x

-

4ax 2 -

5a 2 x

-

4ax2 - 3a 2 x +

a3

- 2a 2x +

a3

14x' + 3ax - a 2 2x - a

2a 3

con lo cual: C(x)= 2x - a

R(x) = -2a 2 x + a 3

Por otro lado, se puede verificar que: Q(x) C(x)+R(x) = (4x 2 + 3ax - a 2 ) (2x - a)+(- 2a 2 x + a 3 ) = 8x 3 - 4ax 2 + 6ax 2 - 3a 2 x - 2a 2 x + a 3 - 2a 2 x + a 3 = = 8x3 + 2ax 2 - 7a 2 x + 2a 3 = P(x) Conviene resaltar que cuando P o Q no son polinomios completos, conviene, a los efectos del cálculo, completarlos previamente. c) Cociente de un polinomio entero en la letra ordenatriz x por otro de primer grado de la forma x a

(a c 1,1 ):

Ejemplo: sean P(x) = 3x 3 - 2x 2 + 4x -1 , Q(x) = x -1 (con a =1) 3x 3

2x2

+

4x

1

1

I 3x 2 +

3x3

-

x

+ 5

3x2 X2

4x

x2

x

1

5x

1

5x

5

4 con lo cual: C(x) = 3x 2 + x +5 ,

R(x) = 4

1.

111111b l',

11 blWVIWE

1111

Ia

“11

IP Siglo 41141i10

I1

11

It

6lI ,

54 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

En este caso, los coeficientes del polinomio cociente C(x) y el resto R (que es un número real) pueden calcularse a través del siguiente procedimiento práctico (Regla de Ruffini), para el cual es imprescindible que el polinomio dividendo esté completo: 3 número real a

-2

4

--1

3

1

5

1

5

4

1

coeficientes de C

3

coeficientes de P

resto R

Teorema del resto. El resto R de la división de un polinomio P = P(x) en la letra ordenatriz x por el binomio ( x a ), con a E R, es el valor numérico que toma dicho polinomio cuando, en él, se sustituye la letra x por a, es decir: R = P(a). Demostración. Si se divide el polinomio P = P(x) por el binomio (x a), se tiene que

(2)

P(x).(x-a)C(x)+R,

donde C = C(x) es el polinomio cociente y R es el resto de la división. Por lo tanto, calculando el valor numérico de P para x=a, se obtiene P(a) = ( a a ) C (a) +1=1=0.C(a)+R=O+R=R

( 3)

Corolario 1. La condición necesaria y suficiente para que un polinomio entero P = P(x) en la letra ordenatriz x sea divisible por el binomio ( x - a) es que el resto de la división de P(x) por (x - a) sea R = O Ejemplo: sean P(x) = x 5 —3 bx4 + 5 b 2 x3 —8 b 3 x2 +6 b 4 x —4 b 5 , Q(x)= x — 2 b, con b e R. Aplicando la Regla de Ruffini:

1 2b

1

- 3b

5b2

- 8b3

6b4

4b 5

2b

- 2b2

6b3

- 4b4

4b5

b

3b2

- 2b3

2b4

O

Se tiene que: C(x)= x 4 — bx 3 + 3b 2 x2 — 2b 3 x + 2b 4 , R = 0

con lo cual el polinomio P es divisible por Q ; es decir P = Q • C Definición 1. Un número real a e R es un cero o raíz del polinomio P = P(x) cuando P(a) = O ; es decir, cuando el resto de la división de P por (x a) es cero.

, 111.41

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 55 d) Divisibilidad de la suma o diferencia de potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases:

Se trata de dividir (x m ± a m ) por (x±a)con m Eta y a ER {O} . Se pueden presentar los siguientes cuatro casos:

1) (x m + a m )÷(x - a). Se tienen: P(x) = x m + a m , 0(x) = x -a El resto de la división de P por Q viene dado por R = P(a) = am +a m = 2a m O, con lo cual nunca P es divisible por O. 2) (x m + a m) ± (x + a). Se tienen: P(x)= x m +a m ,

Q(x)= x+a = x -(- a)

El resto de la división de P por Q viene dado por O

si m es impar

2am O

si m es par

R = P(- a) = (- a) m + (am) = (-1) m am + am =

con lo cual P es divisible por Q solamente cuando m es impar. 3) (xm - a m )÷ (x -a). Se tienen: P(x) = x m -a m , Q(x) = x -a El resto de la división de P por Q viene dado por R = P(a)= a m - a m =O , V m , con lo cual P es siempre divisible por Q, cualquiera sea m 4) (x m -

E

)+ (x +a). Se tienen: Q(x) = x +a = x -(- a)

P(x) = x m -a m , El resto de la división de P por Q viene dado por O

si m es par ,

R = P(- a)= (- a) m - (a m ) =(-1) m a m -a m = -2a m O con lo cual P es divisible por Q solamente cuando m es par.

si m es impar

Irolidol o II ,

IV iYlv4,nroI I

56 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Resumen:

P es divisible por Q

P xm + am

x-a

nunca

xM + am xm - am xM — am

x+a

si m es impar

x-a

siempre

x+a

si m es par

Ejemplos: utilizando la Regla de Ruffini se obtienen las siguientes divisiones exactas: P

C=P

x2 — a2 x2 — a2

x+a x-a x 2 xa + a 2

x3 — a3 x3 + a3 x 4 -a 4 x4 — a4

x 2 — xa + a 2 x 3 + X 2 a + xa 2 + a 3 x 3 — X 2 a +xa 2 — a 3

x 5 —a 5

4 x 4 + x 3 a + x 2a 2 + xa 3 + a

5) Productos especiales a) Cuadrado de un binomio: (i) (a+b) 2 = (a+ b) (a+ b) , a 2 +ab + ba +b 2 = a 2 + b 2 +2ab (ii) (a - b) 2 = (a - b) (a - b) = a 2 - ab - ba + b 2 = a 2 + b 2 - 2ab

b) Cubo de un binomio: (i) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + b 2 + 2ab) (a + b) = = a 3 + b 2 a + 2a 2 b + a 2 b + b 3 + 2ab 2 = a 3 +3a2b+3ab 2 +b 3 (ii) (a- b) 3 = (a -b) 2 (a - b)= (a 2 + b 2 -2ab) (a - b)=

= a 3 + b2a - 2a 2 b - a 2 b - b 3 + 2ab 2 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 c) Cuadrado de un trinomio: (a+ b + c) 2 = [(a+b)+c] 2 = (a + b) 2 +c 2 +2(a + b) c = = a 2 + b 2 +2ab+ c 2 +2ac +2bc = a 2 + b 2 + c 2 +2ab+2ac +2bc d) Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba _ b2

a2

b2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 57 2.3. FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definición 2. Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de factores.

Se tienen los siguientes casos: Caso 1. Factor común: un factor común de un polinomio es el MCD de todos sus términos.

Ejemplos: (i)

4x 2 y + 8xy2 + 4y3 = 4y (x2 + 2xy + y 2 ) ;

(ii)

2a (x - y) + b(y - x) = 2a(x - y) - b(x - y) = (x - y) (2a - b)

Observación 6. Cabe resaltar que el factor común y la propiedad distributiva del producto respecto de la suma son la misma cosa, todo depende si se mira desde el término de la derecha o desde el término de la izquierda. Caso 2. Descomposición en grupos de igual número de término con un factor común en cada grupo:

Para emplear este método se empieza por agrupar los términos del polinomio en binomios o trinomios, etc., descomponiendo luego cada uno de estos binomios o trinomios en dos factores de manera de obtener un factor común a todas las expresiones parciales del polinomio. Ejemplos: (i) x2 + ax - bx - ab = (x 2 + ax) + (- bx - ab) = x (x + a) - b (x + a) = (x + a) (x - b) ; (ii) x3 - 2x 2 - x + 2 = (x 3 - 2x 2 ) + (-x + 2) = x 2 (x - 2)- (x -- 2) = (x - 2) (x 2 -1) Caso 3. Trinomio cuadrado perfecto: es todo trinomio formado por dos términos que son cuadrados perfectos y un tercer término que es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplos: (i) a2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 ; (ii) a 2 + b 2 - 2ab = (a - b) 2 = (b - a) 2 ; 1 10 1 (iii) - x 4y2 + — ax 2 y + 25aa2 = (- x 2y + 5a) 2 9 3 3 Caso 4. Cuatrinomio cubo perfecto: es todo cuatrinomio formado por dos términos que son cubos perfectos, un tercer término que es el triple del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y un cuarto término que es el triple de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo.

Ejemplos: (i)

a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 = (a + b) 3 ;

(ii)

a 3 - b 3 - 3a 2b + 3ab 2 = a 3 + (-b) 3 + 3a 2 (-b)+ 3a(-b) 2 = (a - b) 3

(iH)

27

-

2 3

+ 2a -1=(

3

a -1)3

58 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Caso 5. Diferencia de cuadrados: toda diferencia de cuadrados se puede transformar en el producto de la suma de las bases por la diferencia de las mismas bases.

Ejemplos: (i) a 2 —b 2 = (a + b) (a — b) ; (ii)

—1= (a 2 ) 2 —12 = (a 2 +1) (a 2 —1) = (a 2 +1) (a +1) (a —1) ;

(til)

4x 2 — 4xy + y 2 — 9a 2 — ' 2 — 6ab = (2x — y) 2

—

(3a + b) 2 = (2x

—

y + 3a + (2x

-

y 3a

-

b)

Caso 6. Suma o diferencia de potencias de igual grado: (ver operaciones con polinomios, letra d), caso 4).

Ejemplos: (i) (x 3 — a 3 ) = (x — a) (x 2 + xa + a 2 ) ; (ii) (x 3 +a 3 )= (x +a) (x 2 —xa+a 2 ) ; (iii) ( x4 _ a 4 )\ (iv) 2.4.

(x 4

(X -

a) (x 3 + x 2 a + xa 2 + a 3 ) ;

= (x + a) i(x 3 x 2 a + xa 2

—

a3 )

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

-

SIMPLIFICACIONES

Definición 3. Simplificar una expresión algebraica fraccionaria es transformarla en otra equivalente cuyos términos contengan menos factores comunes. Metodología. Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria se realizan las siguientes

operaciones: ✓ se descomponen el numerador y el denominador en un producto de factores; ✓ se suprimen los factores comunes al numerador y al denominador, dividiéndolos por su MCD.

Ejemplos: 15 x 4 y2 z 3 20 x 2 y 3 z

(5x 2 y 2 z) (3x 2 z 2 ) 3 x2 z 2 (5x 2 y2 z) (4y)

4y

2x + 2 — xy — y 2(x +1) — y(x +1) (x +1) (2 —

2—y 3x+3+xy+y 3(x+1)+y(x+1) (x+1) (3+y) 3+y —

a 2 — b 2 (a + (a — b) a + b (a -b) (a — b) a — b (a — b) 2 Definición 4. Reducir varias fracciones algebraicas a un común denominador es transformarlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador.

Metodología. Para reducir varias fracciones algebraicas a un común denominador se realizan las siguientes operaciones: ✓ se simplifica cada fracción algebraica;

✓ se toma como común denominador al mcm de los denominadores de todas las fracciones algebraicas.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 59

Ejemplos: paso (i) 1)

x2 +xy z2 —zd c 2 2

YZ

X

x+y z—d c 2 X y z

,

Z

yz (x + y) xyz

paso (ii)

xz (z—d) xyz

xyc 2

xyz

paso (i) 2)

z (x+ y)2

y (x+y)

x+y 10 (x 2 —y 2

. Y .z x+y 10 (x—y) x—y

—>

(x+y) (x2 —y2 ) paso (ii) 10x (x—y)

y (x+y)

10z (x+y)

10 (x 2 — y 2 ) 10 (x 2 —y 2 ) 10 (x 2 — y 2 ) A Operaciones con fracciones algebraicas

• Suma: 1) Si tienen igual denominador:

a c d+=a+c• d

2) Si no tienen igual denominador:

a c ad+cb + = b d bd

o en forma equivalente: mcm (b,d) a c + = b d

a+

mcm(b,d) d c

mcm (b,d)

Comúnmente se dice que en la suma se ha sacado el común denominador. • Resta: Se realiza teniendo en cuenta la operación suma, es decir: mcm (b,d) a c a ( c \ ad—bc = + = b d b d) bd

a

mcm (b,d)

c

mcm (b,d)

Ejemplos: O

(ii)

a (a+b)+a (a—b) a 2 +ab + a 2 —ab a 2 b2 (a—b)(a+b)

a a + a—b a+b a +1

a

-

1

a 2 +1

4a

a+1

a-1

2a 2 a2 — b 2 a 2 +1

4a

2a - 2 2a + 2 a 2 -1 a 2 -1 = 2(a -1) 2(a +1) a 2 -1 a 2 -1

60 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(a + 1) 2 — (a -1) 2 + 2 (a2 +1)-8a 2 (a 2 -1) 2 / 2 2 a +2a+11a -2a+1)+2a + 2 - 8a

2a 2 - 4a + 2

2 (a 2 -1)

(a 2 —1) 2

2 (a 2 - 2a +1)

(a-1) 2

a-1

2 (a 2 -1)

(a-1) (a +1)

a +1

•

a c ac -•b d bd'

• Multiplicación:

a c a d a d b d b c bc

• División: Ejemplos:

(i)

" 1

— 1 ■`

2x ` '

\X

,1+x +

j .

(ii)

1 \x+y

+

j

1

(1 - x)+ 2x 1

1—x 2

—

x

X

1+x 1—x = 1 (1+ X) el — X) X' x

2y

: x- y x2 - y2

_ (x - y)+ (x + y) x2 -y2 _ 2x - x X2 - y 2 2y 2y y

Definición 5. Las fracciones compuestas tienen por términos (numerador y denominador) a otras fracciones algebraicas. Ejemplos:

y+ X

X 1+ (I)

x2

Y

op

y+ x

-Y =

2— yx y 2

y

y+ x

1

y x 2 -y 2 (x+y) (x-y) x-y

y

x2 — 1

= x 2 — 1 = x2 — 1 — x2 — 1 = x +1 (x +1) x 11- 2 11 x —1 x-1 x2 —1 x- 1x+1

X

X

1

•

1 x-1 (x -1)- x x 2 -1 -1 x-1

x2 -1

1 x +1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 61 2.5. ECUACIONES EN UNA VARIABLE

Se darán algunas definiciones. Identidad algebraica. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada cualesquiera sean los valores atribuidos a las variables (letras) contenidas en las dos expresiones, excluidos aquellos valores para los cuales al menos una de las dos expresiones algebraicas pierde significado. También se llama igualdad incondicional. 2 2 Ejemplo: (x + y) = X 2 + y + 2xy es una identidad Ecuación algebraica. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables (letras) contenidas en las dos expresiones. Incógnitas. Son las variables (letras) que aparecen en una ecuación algebraica. Miembros de la ecuación. Son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. Se llama primer miembro a la expresión algebraica que se encuentra a la izquierda del signo igual y segundo miembro al que se encuentra a la derecha. Solución de la ecuación.

Son los valores que, atribuidos a las variables incógnitas, producen una

igualdad entre los dos miembros de la ecuación. Resolver una ecuación. Consiste en hallar todas las soluciones de la ecuación dada.

Ejemplos: la ecuación x + 1= 0 tiene una sola solución x=-1; la ecuación x=x tiene infinitas soluciones al ser una identidad; la ecuación x 2 = 1 no tiene ninguna solución real. Una ecuación puede clasificarse, de acuerdo al número de incógnitas en: ✓ ecuación con una incógnita; ✓ ecuación con dos incógnitas, etc. A un conjunto de dos o más ecuaciones (igualdades a satisfacerse) se llama sistema de ecuaciones. Se puede hablar de un sistema de n ecuaciones con m incógnitas con n, m E N. Una ecuación algebraica, en la incógnita x, se clasifica en:

1) entera: cuando los dos miembros de la ecuación son expresiones algebraicas enteras respecto de la letra x. 2) fraccionaria: cuando al menos uno de los dos miembros de la ecuación son expresiones algebraicas fraccionarias que contienen la incógnita en el denominador; 3) irracional: cuando al menos uno de los dos miembros de la ecuación son expresiones algebraicas que contienen la incógnita como radicando. Ejemplos: (i) ax + b = O con a, b E R, a O se llama ecuación de primer grado en la incógnita x. Es una ecuación algebraica entera con una incógnita. (ii) ax2 + bx + c = O con a, b, c, E R, a O se llama ecuación de segundo grado en la incógnita x. Es una ecuación algebraica entera con una incógnita.

1

62 •

CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(iii) Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x, y es el dado por ax+ = y x+13'y = con a, f3, y, a', R', -y' (iv) 3x +1= (v)

;

x2 esuna ecuación fraccionaria en la incógnita x , x—5

3x +1= x +

-1

es una ecuación irracional en la incógnita x

Una ecuación algebraica puede clasificarse en: ✓ numérica: cuando contiene sólo números excepto de la incógnita; ✓ literal o paramétrica: cuando contiene letras o parámetros que representan números bien determinados además de la incógnita. Ejemplos. La ecuación x +1=0 es numérica y tiene por única solución x = 1; la ecuación x + m = O es literal y tiene por única solución x = - m, para cada valor del parámetro o letra m E H. -

Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones algebraicas en la misma incógnita se dicen equivalentes cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda y, viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también solución de la primera. Ejemplo. Se tiene que x = 3 es solución de las dos ecuaciones x - 3 = O y x 2 -9 = 0; en cambio, x = 3 es solución de la segunda ecuación pero no de la primera. Por lo tanto, las ecuaciones x 3 = O y x2 9 = O no son equivalentes. Proposición 2. Dos ecuaciones equivalentes a una tercera son equivalentes entre sí.

Una ecuación o sistema de ecuaciones puede clasificarse en: ✓ Compatible o determinado: cuando tiene un número finito de soluciones; ✓ Indeterminado: cuando tiene infinitas soluciones; ✓ Incompatible: cuando no existe ninguna solución. A Metodología para resolver una ecuación Debido al hecho que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, es claro que cuando se quiere resolver una ecuación se puede resolver una cualquiera que sea equivalente a la dada; y por lo tanto será particularmente muy ventajoso cuando la segunda ecuación se presente en una forma más simple que la primera. El procedimiento que se seguirá para resolver una ecuación consistirá en la transformación de la ecuación en otra equivalente pero más simple, y así sucesivamente, hasta arribar a una ecuación equivalente a la dada, de la cual se sabe con facilidad encontrar sus soluciones. Por lo tanto, se comprende que es esencial ver cuáles son las operaciones que se pueden hacer sobre una ecuación para transformarla en otra equivalente. Se tienen las siguientes propiedades. • Principio de la adición. Si a ambos miembros de una ecuación se le suma un mismo número real, o una misma expresión algebraica en la incógnita x que se pueda calcular para cada valor de la x, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 63 Ejemplo. La ecuación 2x 6 = O es equivalente a la ecuación 2x = 6, que se obtiene sumando a ambos miembros el número real 6.

Observación 7. Si la expresión que se suma no se puede calcular para cada valor de la x entonces puede suceder que las dos ecuaciones no sean equivalentes. Por ejemplo, la ecuación x 2 = 4, que tiene por

soluciones x = - 2 y x = 2, no es equivalente a la ecuación x 2 +

1 x—2

1

= 4+ x —1 2

pues la expresión

x-2

no está definida para x = 2.

• Principio de la multiplicación. Si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica por un mismo número real distinto de cero, o una misma expresión algebraica en la incógnita x que se pueda calcular para cada valor de la x y que no se anule jamás, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Ejemplo. La ecuación 2x = 6 es equivalente a la ecuación x = 3, que se obtiene multiplicando a ambos miembros por el mismo número real 1/2. Observación 8. Si la expresión que se multiplica no es distinta de cero para cada valor de la x, entonces puede suceder que las dos ecuaciones no sean equivalentes. Por ejemplo, la ecuación x = 2 (que tiene por solución x = 2) no es equivalente a la ecuación x 2 = 2x que tiene por soluciones x = O y x = 2, a pesar de haberse multiplicado a ambos miembros por la misma expresión algebraica x, la cual se anula para x = O.

De acuerdo a todo lo visto anteriormente las ecuaciones algebraicas enteras a coeficientes numéricos se pueden transformar en otras expresiones equivalentes, en las cuales no figuren denominadores y con un segundo miembro igual a cero. Por lo tanto, el primer miembro de estas ecuaciones resultará un polinomio en la incógnita x, con lo cual la ecuación se reduce a la expresión P(x) = O

(5)

donde P es un polinomio en la letra x. El grado del polinomio P se llama grado de la ecuación P(x) = O. 2.6. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE Definición 6. Se llama ecuación de primer grado en la incógnita x a la siguiente expresión:

(6)

ax + b = O ,

con a

E

R, b

E

R, a O.

Teorema 3. La ecuación de primer grado (6) en la incógnita x tiene una única solución dada por:

b x = -- E FR a

(7)

Demostración. Se tienen las siguientes equivalencias:

(8)

ax+b=0 <=>

ax = - b

Observación 9. La ecuación ax + b = O (a,b

E

<=>

x=—— a

R) con a = O posee las siguientes particularidades:

1) Tiene infinitas soluciones x EIP cuando b=0; 2) No tiene soluciones cuando 13=0.

El estudio de la ecuación ax+b=0 (con a,b,

R) se puede resumir en el siguiente cuadro:

,II 14

,

HI1wNYYWI w

r1k1

41111111 n

.1

I

64 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

ax + b = O

a=0 Existe única solución b x = -a

No existe solución

Existen infinitas soluciones (todo número real x es solución) Ejemplos:

(i) La solución de la ecuación 2x — 3 = O es X=

3

(ii) Sea la ecuación fraccionaria siguiente: 13 2 +— — =0 x2 -1 x-1 x+1 Esta ecuación puede transformarse en una ecuación entera multiplicándola por la expresión (x2 - 1). Además (x 2 -1) = (x + 1) (x - 1) = mcm (x 2 - 1, x- 1, x +1). Por lo tanto, para x ± 1, se tiene, 1

+ =0 <=> 1+3 (x +1)-2 (x –1) = 0 <=> x2 -1 x-1 x +1 2

–

<=> 1+3x+3-2x+2=0 <=> x+6=0 <=> x=-6 Por otra parte, se puede verificar directamente que x = 1 (-6) 2

—

1 3 2 1 2 3 1 + ( 6) 1 (-6)+1 35 7 + 5 = -

-

-

-

6 es solución de la ecuación dada, pues:

15+14 0 = 35 35 =0

Problemas de aplicación. Numerosos problemas se pueden llevar a la resolución de ecuaciones, en particular de las ecuaciones de primer grado. En numerosas aplicaciones interviene la noción de porcentaje. En muchos casos es muy útil saber expresar el porcentaje como una fracción o número decimal, por ejemplo: 10 1 10% = — = — =0,10; 100 10

15% =

50 1 50% = — = — = 0 50 100 2

100 100% = — =1 100

= 100 20

0,15 ;

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 65

Ejemplos: (i) Un padre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿En cuántos años la edad del padre será el triple de la edad de su hijo? Solución. Se indica con x la cantidad de años que deben transcurrir (incógnita del problema) para que la edad del padre sea igual al triplo de la edad del hijo. Entonces se puede plantear la siguiente ecuación de primer grado: x+ 40 = 3 (x+ 10) Dicha ecuación es equivalente a la dada por x + 40 = 3x + 30 , es decir 2x = 10, cuya única solución es x = 5. Por otra parte, dentro de 5 años el padre y el hijo tendrán 45 y 15 años, respectivamente. (ii) Sea C E el costo de una determinada mercadería. ¿Cuál debe ser el valor de venta para que el comerciante en una determinada promoción, con un descuento del 10%, gane un 20% sobre el costo?; dar además el valor de venta para un costo de $6 y de $9. Solución. Se indica con x el valor de venta de la mercadería (incógnita del problema) cuyo costo es C. Entonces, se puede plantear la siguiente ecuación literal de primer grado: x - 10 % x = C + 20
2.7 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

Definición 7. 1) Se llama ecuación de segundo grado en la incógnita x a la siguiente expresión: (9)

ax2 + bx

=0,

con a ER, b ER, c ER, a = O

2) Se llama discriminante de la ecuación(9) a la expresión (10)

= b2

—

4ac

Teorema 4. 1) Si A > 0, entonces la ecuación (9) tiene dos soluciones, dadas por las expresiones siguientes:

x, =

—b+ 2a

x2 =

—b 2a

1111 ti 111.11

66 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA .2) Si A = 0, entonces la ecuación (9) tiene una sola solución doble, dada por la expresión siguiente:

x=

(12)

b —

2a

3) Si A < 0, entonces la ecuación (9) no tiene ninguna solución real. Tiene dos raíces complejas, una es la conjugada de la otra, dadas por las expresiones siguientes:

(13)

b 2a

x, =

b x, = 2a

. 2a

2a

1,

donde i = V=1 es la unidad imaginaria. Demostración. Completando el cuadrado de un binomio se tienen las siguientes igualdades:

b2 b2 b ax 2 +131X+C =a x 2 +— xj+c=aH 2 + b x+ +C = a a 4a 2 4a 2 b 2 =a x + — 2a

( b` 2 b 2 +c=a x+- -- +c= 2a, 4a

b2 4a`

=a

f

b

2 ID 2 — 4ac

2a,

4a

( b A = a x+— 2a, — 4a

y, por consiguiente, se deduce la siguiente equivalencia:

2

2 ax ± bx+c =O

/

b A 0< X +— = 2a , 4a 2

Por lo tanto, se tienen las siguientes conclusiones: 1) Si

1> O entonces la ecuación (9) es equivalente a la ecuación:

x+

b =+ 2a 2a

cuyas dos soluciones están dadas por (11). 2) SiA= 0, entonces la ecuación (9) es equivalente a la ecuación:

x+ b =0 2a cuya única solución está dada por (12). 3) SiA < 0, entonces la ecuación (9) no tiene solución real. Tiene dos soluciones complejas, dadas por (13) Observación 10. Independientemente del signo del discriminante A , las raíces de la ecuación de segundo grado a x2 + bx + c = O están dadas por la expresión

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 67

(13 bis)

x=

—b ± 2a

Si A > O, entonces los coeficientes a, b, c de la ecuación (9) están relacionados con las dos raíces o ceros (11) de la misma ecuación de la siguiente manera: Proposición 5. Si A > O, entonces se tienen las relaciones:

(14)

c a

x, +x 2 =-- ,

(15) x, x 2 = —

Demostración. Utilizando las expresiones (13), se obtienen:

(a)

x, + X 2

b

=

2a 2a

( b (b)

x1 x2 =

1

vs,- \(

b2

A

4a 2 4a 2

b a

b -A-

2a 2a =

b 2a 2a 1

=

r b 2

2a 2a ) \ 2a =

'5:2a

2 =

b 2 — A b 2 —(b 2 — 4ac) _ 4ac c 4a 2 4a 2 4a 2 a

Observación 11. Las relaciones (14) y (15) continúan aún siendo válidas para los otros dos casos

A = O y A < O.

Se verá a continuación que la proposición recíproca de la anterior es también válida, es decir: Lema 6. Si dos números reales x' y x" son tales que:

b 1) x'+ x"=-- , a donde a, b, c

E 11

2) x' x"=

a

con a O entonces, se tiene que x' y x" son raíces de la ecuación de segundo grado ax 2 +bxc=O.

Demostración. De 1) se puede despejar x" como x" = —x'— 12-; reemplazando en 2) se tiene que

a

c

= — es decir a, a

—

(x') 2

— — b

a

x'= 9 con lo cual, multiplicando por a, se deduce que a

a (x') 2 + b x' + c = O

De la misma manera, despejando x' de 1) y reemplazándola en (2) se obtiene que a (x") 2 + bx" + c = O. Por lo tanto, x' y x" son soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c =0.

¡dial IIN ¡PU

II

U n II ∎I ililil

i I lin

11

Él

I

l'

'mil

II

68 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Corolario 7. Para que los números reales x' y x" sean soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = O es necesario y suficiente que se tenga: (16)

x'+x"=

a

,

x"= c a

Proposición 8. Si x1 y x2 son las dos raíces reales de la ecuación (9) (es decir A> O), entonces se tiene la siguiente factorización para el polinomio de segundo grado, dada por: (17)

ax 2 + bx + c = a(x- x l ) (x -x 2 ) ,

Vx

Demostración. Se verán dos formas de demostración. a) Por utilización de las relaciones entre las raíces x l y x2 , y los coeficientes a, b y c: c 2 a (x-x,) (x-x 2 )=a [x 2 -(x i +x,) x+x, x2]=a ( x 2 +— b x+- =a x + bx + c , a a, b) Por utilización de la resolvente y de la diferencia de cuadrados se tienen las siguientes igualdades:

a (x-x 1 ) (x-x 2 )= a [(x+— j+ 2a b2a

(

[(x+— b )2a 2a

,-- 2\

2 b A 2 =a x+— ) - — =a x+— , = a [x ( 2a 4a 2- 4a1 2a j 2a \ /

=a

b 2
f

+ —b x+

a

b2 , 4a 4a2

b2 -4ac 4a2

■

2 bx 4ac 2 - bx c` x + —+ --j= a (. x 1- - +- =ax 2 + bX+ c a 4a 2 a a,

Observación 12. 1) Si= O, entonces la factorización (17) viene dada por:

(18)

ax 2

+

b 2 bx+ c = a x+ --) 2a

2) Si A< O entonces no existe factorización en el cuerpo de los números reales. Corolario 9. Sea A rel="nofollow"> O, entonces: 1) si b = O entonces se tiene x 2 = - x, ;

2) si c = O entonces las dos raíces están dadas por x, =

a

x2 = O;

3) si a y c tienen igual signo, ambos positivos o ambos negativos, entonces las dos raíces x 1 y x2

b a

tiengualso.Admá,eignlasríctádopelsignúmro-

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 69 4) si a y c tienen distintos signos (uno es positivo y el otro es negativo) entonces las dos raíces x l y

x2 tienen distintos signos. Demostración. a) Si b = O entonces A = - 4ac y por ende se tiene que

(19)

x, =

X2 =

2a

=—

2a

xt

b b) Si c = O entonces A = b 2 y por ende se tiene que x 1 -=`- ; x 2 = O c) Por (15) se tiene que x i x, = E > O con lo cual las dos raíces tienen igual signo. Dicho signo será a el signo de la suma de las dos raíces y, por (14), será el signo del número -b/a d) Surge nuevamente de (15) al ser x ix2 = E < Resolución de la ecuación de segundo grado: los resultados anteriores pueden resumirse en el siguiente cuadro:

7f raíces reales

a una raíz doble b

3

dos raíces reales distintas

xi - x2 - — 2a

de igual signo

de di stintos signos sg(a) sg(c)

signo positivo - <0 a

signo negativo

b

—>0 a

Ejemplos. (i) La ecuación x2 + 1 = O no tiene ninguna solución real pues A = - 4 < O. Sus dos soluciones complejas son x = ± i (ii) La ecuación x 2 - 2x + 1 = O tiene una única solución real (doble) x = 1 pues x2 - 2x + 1 (x - 1)2

A=

0. Además

, „

1,

„,

,

,

,,„

70 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA (iii) La ecuación x 2 + x — 2 = 0 tiene dos soluciones x l = 1 y x 2 = 2 pues A= 9 > 0. Como a = 1 > O y c= 2 < 0 se verifica además que las dos raíces tienen signos opuestos. Por Proposición 8 se tiene que —

x 2 + x - 2 = (x -1) (x + 2). (iv) La ecuación x 2 - 3x + 2 = 0 tiene dos soluciones x 1 = 2 y x2 =1 pues A = 1 > 0. Como a = 1 > O y c = 2 > 0 se verifica además que las dos raíces tienen igual signo, el cual coincide con el signo del número

- b = 3 > 0. Por Proposición 8 se tiene x 2 - 3x + 2 = (x - 2) (x -1) a

Corolario 10. Una ecuación de segundo grado que tiene por raíces a dos números reales x, y x„ está dada por: x 2 — (x, + x 2 ) x+x x2 = 0

(20)

,

Demostración. Es suficiente con elegir a=1 en la igualdad (17) 0 = (x — x i ) (x — x 2 ) = x 2

x 2 ) x+x, x,

Problema. Dados la suma S y el producto P de dos números reales x, y x 2 , se desea conocer dichos números x, y x2 Solución.- Si los datos S y P verifican la desigualdad S 2 4P entonces los números reales x, y x2 son las dos raíces de la ecuación de segundo grado. X2

(21)

-Sx+P

O

que vienen dados por las expresiones siguientes:

x, -

(22)

S+ \/S2 —4P 2 -

X2 =

S — -\IS 2 —4P

2

Más aún, si S2 = 4 P entonces, x l = x 2 = S — = JIS. Por otro lado, si S' < 4P entonces no existen soluciones

2

reales. Demostración. Se tienen 1)

S = ± X2 ,

2)

P = x l X2

Por lo tanto: a) De 1) se obtiene x 2 = S - x 1 , que reemplazado en 2) se deduce que P = x 1 (S - x 1 ),

es decir

Sx, + P = 0, con lo cual x, es raíz de la ecuación (21).

b) Análogamente, se deduce que x2 es raíz de la ecuación (21) al ser las condiciones 1) y 2) simétricas en x 1 y x2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 71 c) Las dos soluciones de la ecuación (21) están dadas por (22) al ser A = (—S) 2 — 4

1

P = S2 — 4 P O

por hipótesis. S d) Si S2 = 4P entonces, de (22), se deduce que x l = x 2 = — = 1/5 2 Ejemplos. (i) Si S = 4 y P = 3 entonces x l = 3 y x2 = 1 (ii) Si S = 2 y P = - 15 entonces x l = - 3 y x2 = 5

Teniendo en cuenta el problema anterior se deducen los siguientes resultados de problemas de optimización geométricos:

Corolario 11. 1) Si los dos números x e y son variables pero tienen suma S constante, entonces su s2 producto P (que es variable) satisface la desigualdad P — . Por lo tanto, el valor máximo de P es 4 s2

4

, lo cual se obtiene cuando

x=y=

S

2) Si los dos números positivos x e y son variables pero tienen su producto P = xy constante, entonces su suma S positiva (que es variable) satisface la desigualdad S ?_ 2 VI. Por lo tanto, el valor mínimo de S es 2 1[5 , lo cual se obtiene cuando x=y= Ejemplos. (i)

De todos los rectángulos de base x, y altura y, que tienen igual perímetro,

2x + 2y = C > O , el que tiene mayor área, xy, es el cuadrado, cuyos lados valen x = y = --• 4 ii) De todos los rectángulos de base x, y altura y, que tienen la misma área (xy = A), el que tiene el menor perímetro, 2 x + 2 y, es el cuadrado, cuyos lados valen x = y = ifA .

72 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Trabajo Práctico

I. Operaciones con expresiones algebraicas

1) Halle el valor numérico de las siguientes expresiones:

(i) x 2 + 2xy +y 2

para x = 2 , y = 3

(ii) x 2 -2xy

para x = 5 , y = 3

-F

y2

(iii) x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 (iv)

- b -,1b2 -4ac 2a

para x = 13 , y = 3 paraa= 5 ,b= 12 ,c=4

2) Efectúe las siguientes operaciones:

(1)

a - {5h - [a -(3c - 3b)+ 2c - (a - 2b -c)1}

(ii) a 2 -{5ab 2 -[a 2 + 3a -(3a - 3ab 2 )-(a 2 - 2ab 2 - a)1} (iii) 5 mc2 -[x 2 -(3c - 3mc 2 )+ 2c - (x 2 -2mc 2 -c)] (iv) (x-a) (x-b) (x-c) (y) (a + b) 3 - (a -b) 3 - 2b 3 (vi) (x- y)(x + y)-[xy -(xy - x 2 )1

3) Efectúe las siguientes operaciones:

(i) (8a 4b 2 -6a 3b 3 +4a 2b4 -2a 2b 2 )=(-2a 2 b 2 ) (ii) (a 2 + 4ab+ 3b2 )÷ (a + b) (iii) (81 x 8 -16y 8 )÷(3x 2 - 2y 2 ) (iv) (x 4 + 8x 3 + 24x 2 + 32x +16) + (x + 2) (y) (6x 5 + 5x4 - 25x 3 + 31x 2 -13x+ 2)÷(2x 2 - 3x+ 2) (vi) (6)( 8 + x 4 - 6x 3 + 2x 2 - 5x - 2)÷(3x 2 - x+ 2)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 73 4) Halle el polinomio cociente y el polinomio resto de las siguientes divisiones y verifique el resultado hallado: (i) (5x 4 — 2x 3 — 3x 2 +171x+ 4)4- (x 2 + 3x +1) (ii) (4x 3 — 5x 2 +3x — 2)÷ (2x —3) (iii) (3x 4 + 5ax3 —a2x2 6a 3 x + 2a 4 ) + (3x 2 —ax — 2a 2 ) (iv) (ax 3 + 2a 2 x 2 + bx + ab 2 )+(bx + ab) 5) Aplique la Regla de Ruffini para hallar las siguientes divisiones: (i) (3x 4 — 2x +1) (x —1)

(ii) (x 7 +1)÷ (x +1)

(iii) (1000)( 3 —1) + (10x —1)

(iv) (3x 4 —5x 3 —8x 2 — 7x —6)÷(x— 2)

(v) (3x 4 — 2x 3 + x 2 — 5x +1)÷(x

—

3)

6) Halle, sin efectuar la operación cociente, el resto de las siguientes divisiones: (i) (x 5 +1) + (x —1) (ii) (x 7 + b 7 )+(x +b) (iii) (3x 3 + 5x 2 — 6x) + (x —1) (iv) (3x 5 +2x 4 — 4x 3 +4x 2 + 5x — 2)± (x +1) (y) (x 5 — 3bx4 + 5b 2 x3 — 8b3 x2 + 6b4 x — 4b 5 ) (x — 2b) 7) Efectúe las siguientes operaciones: (i) (a 2 —13 2 )2 +(a 2 + b2 ) 2

(ii) (-jí --\/rD) 9

(iii) (a 2 b — ab 2 ) 2 + (a 2 b 2 )

(iv) (a 2b —ab 2 ) 3 +(a 3 b 3 )

1 -- a 2 8) Halle el MCD y el mcm de los siguientes binomios: (y) ((3a+b) 2 —(2a + 3b) 2 +8b 2 ) 2

(i) 3 a2b ; 6 ab

(ii) 120 x3y2z4 ; 54 xy 5z3

(iii) 12 ab ; 9 bc

(iv) 10 a3132

(y) 7x2

; 15 a3b

; 14 y ; 21xy ; 6 x 2y.

II. Factoreo de expresiones algebraicas 1) Saque el factor común en las siguientes expresiones:

(i) 25a 2 + 30a 4 — 35a 6 (iii) 15a 2 x2 —30a 2 x3 +105a 2 x4 —75a 2 x5

(ii) 6a 2 x 3 — 3ax 4 + 21 a2x5

ill11111Lwlim•----,1

74 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

2) Factoree, por agrupaciones, las siguientes expresiones: (i) x 2 + ax + bx+ ab (iii) ab - ac -b+c

(ii) ac -ad - bc + bd (iv) ab -a-b+1

(v) ax 2 + ay2 - bx 2 - by 2

(vi) 4x 2 + 6xy - 6xz - 9yz

(vii) 27a 3 -18a 2b +12ab 2 -8b 3 (ix) a 6 - a 4 a 3 a 2 a 1

(viii) 5a 3 b -10a 2 b2 - 7a 4c +14a 3bc (x) a 2 + 2ab + 3ac - ax - 2bx - 3cx

3) Factoree los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

(i) a 2 +a + 1 4

a 3 (ii) — - - ab + 9b 2 16 6 2

(iii) a 6 - 2a 3 +1

a2 (iv) 4x 2 + 2ax + — 4

4) Factoree los siguientes cuatrinomios cubos perfectos: (i) 27a 3 +108a 2 +144a + 64

(ii) a 3 x 3 — 3a 2 x 2 by + 3axb 2 y 2 — u 3 y 3

3 3 , 1 (iii) -1- - a- -a--8-a 3 2 4

(iv) a 6 + 3a 5 + 3a 4 + a 3

-

5) Factoree las siguientes diferencias de cuadrados: x2 4

X2 y2 (i) a7 bb 2

(i) a 2 x 2 b2 y 2

(ii) — - 45/ 3

(iv) (a 2 b2 )2 (a 2 +b 2 )2

(y) (a - b + c) 2 - (a + b - c) 2

(vi) 81a 4 - b 4

(vii) x 8 - y 8

6) Factoree las siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado: (i) 8a 3 - b 3

(ii) x 5 -1

(iii) x 3 - 8y 3z3

7) Factoree, combinando los varios casos de factoreo: (i) a 2 + 2ab + b 2 -c 2 2b - 45bm2

(ii) a 2 - b 2 + 2bc - c 2 (i)5a

(y) 9a 3 -12a2b+ 4ab2 5 x2 + 6a 3x + 9a (vi)a (ix) 3a 5 - 48a1D 8

3bc -18ab 3c (iv)2a (vi) x3y - xy 3 (viii) x 3 + x2 - 4x - 4 (x) x 4 + x 3 - x 2 - x

(iv) a 3b 3 +1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 75 8) Halle el MCD y el mcm de las siguientes expresiones:

(i) a 3 –1

a2 – 2a +1

a –1

(ii) a + b (iii) a –1

a –b a +1

a2 – b 2 a2 –1;

(iv) 6a – 6b (v) a + x

9a 2 – 9b 2 a 2 –ax+x 2

a

3

±

a2 + -1

X3

III) Simplificación de expresiones algebraicas

1) Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:

(i)

– 21a 2 b 3c 4 3abc

(iv)

(vii)

(ix)

a2 –1 ab+b

a2 –2a+1 a2 –1

(v) a

3 + b3 2 – b 2a

ac+ bc + ad+ bd a 2 +ab

(vi)

(a2 + b 2 c 2 ) 2

3ax 3 + 3a 3 x – 6a 2 x 2

ax 3

x2 – 48 2 (i) • bx +2ab

3 -a X

-

(a 2 – b 2 + c 2 ) 2

4ab 2 + 4abc

(vi)

x2 –1 (1+ ax) 2 –(x+a) 2

2) Efectúe las siguientes operaciones sobre fracciones algebraicas y simplifique:

(i) x

iv )

(v

(viii)

x2 1

(ii) a x+

1+5x 1-5x 1-5x 1+5x 13 2 – a 2 a+ a ; a ax x a a+x,a x,

2a ( b+c c \ (x) 2b–c 3 2)

(xii)

a–b ra+ b a –b 2b2 2b 2(a –b) 2(a + b) a 2 – b 2

(v)

(Vii)

x2 a+x 30x

(iii)

•

4

a a–b

+

aa +b

5

9x 2 –1 3x –1 3x +1 a 2 +ab+b 2 a 2 –ab + b 2 2b 3 – b2 + a2

a+b

a–b

( 1 r 1 (ix) x + — + 1 x + — - 1 x x (

x 1+x 1–x` ( 3 —+-- x 1+x, 4x 4

a2

b2

•

¡I

76 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

x2 + y2 +1 2xy

(xiii) X—Y X+Y ,x+yx-y, +

r1 1

(xv)

(xiv) (72 - az )4\

( (xvi) x -3+

(xvii)

(1

a

5x 2x-6

1 x b ab

xy

x 2 +y2

1

-

1

1 (xx) a c

a2b2 {a2c21b2c2 ac) (ab bc) b2 •

a b2 )

a2 ))}

x +1 y xy + x +1 1 xy +1 x+ Y (xxii) x+1 + y2 +y 1 xy +1 2 Y Y+x

x

1-

2

x+2

x2 x+

1+ab a(b-a) 1

1 i+x)j

1 1 •1 1 + + a b+c b a+c

.. . (xxiii)

1

1 1 2 x2 j a2 b 2 ab a 2 b2

(a+b+x)÷

(xix) a b +c . b a + c

(xxi)

'

: (2x 1+ 15 x-3

z 1+x 1-x` x 2 ÷ [ ( 1+ ,1-x 1+x, L,1-x

1

a +b 1+ ab

x-2

3x -2 -

+

1

2 - x 1-x

ad-bc c2 d x+ c

di

6i1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 77

IV) Ecuación de primer grado en una variable

1) Resuelva las siguientes ecuaciones numéricas de primer grado:

(i) 2x-1= x + 2 ;

(ii) 4x+2=x+17 ;

(iii) 5-3 (2x +1)= 2x-4 (3x-5)-2 (v) 7 (x-2)+ x = 3 (x - 8)+ 5x

(iv) (x +1) 2 -4 = 2x + (x - 2) (x+ 2)+1

;

(vi) 7 [3 -(7 - x)]-(x - 6) = 4 [3 -(6 - x)] ;

;

(vii) 5x-1=7- 1( • 3 ' (ix) x+

x-5 3

+

3x-4 2

(viii) 2x+ 2=

x-2 2

•

17 - x 8-3x 25 = + 2 3 3

(x) (2x +1) 2

-

2 (x +

(2x

-

,

1)+ x + 12- = 3

2) Resuelva las siguientes ecuaciones literales de primer grado en la incógnita x; m, a, b

(i) 7x - 3m = O

;

E

R:

(ii) 3 (x - - 2 = 2 (2m- x) ;

;

(iii) 2b (x - a)+ ab = 3b (x +a)

;

(iv)

2a 3x- 2a +6b = x + 5b - — ; 3 3

(v) a (x- 2b)+ (a + b) 2 =b (2a + b)- x (b - a)+ a (a - 2b);

(vi) ab (a + b) 2 x - a 2b 2 (a+ b) = (a + b) x - ab ;

(vii)

(viii)

x+a x+b 2 (x-b) x-a . = a-b a+b a-b a+b'

x-2b x+2b

4ab

(ix)

a + 2b a - 2b 4b2-a2

bx

2a

bx

a2 + b2 = a 4 - b4 b2 - a2

3) Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionarias, numéricas y literales, que conducen a ecuaciones de primer grado en la incógnita x; m

E 5=1:

a.

1.1i111111

1....1.„1

1

r49111111 , 1, 411ilhoor , IJ iPno

I

1

¡u,

78 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

()

(iii)

(v)

2 1 + = 7x-7 7 14x-14

.. (11)

2

x-1 2x +3 2 - 3x 3x - 2

3

;

1 1-x

4 5x - 5

9 5

3x x -1

rn ` 1 (iv) m 1-- +— 1-- 1 1-1=0 ; x, m x)

'x+m m x — m x+m) 2x x — m

4) Resuelva los siguientes problemas que conducen a ecuaciones de primer grado: (i) Halle el número que sumado a su triplo da 60;

(ii) Halle el número que disminuido de su mitad y sumado a su triplo da 35; (iii) Descomponga el número 20 en dos sumandos de manera que uno sea la cuarta parte del otro; (iv) Halle dos números cuya suma es 32 y su diferencia es 4; (v) Halle tres números de manera que la suma de los tres sea 54, que el segundo sea el doble del primero y el tercero sea el triplo del segundo; 3 (vi) ¿Qué número se debe agregar al numerador y al denominador de la fracción - para obtener una 5 5 fracción equivalente a - ? 6 (vii) En un curso de 31 alumnos, los varones son la mitad más uno de las mujeres. ¿Cuántos son los varones y las mujeres del curso? (viii) Una persona compra una mercadería pagando $30 por adelantado y 12 cuotas fijas por un valor igual a 1/15 del precio total. ¿Cuánto cuesta la mercadería? (ix) Si hoy el precio de una mercadería es de $1.210, ¿cuál fue el precio exactamente 2 años antes si se considera un incremento en los precios del 10% anual durante ambos años? (x) Un vendedor de frutas compró una cierta cantidad de manzanas a razón de 3 kilos por $ 0,50 y vendió todo el lote a razón de 4 kilos por $ 1. ¿Cuántos kilos compró el comerciante si la ganancia obtenida fue de $ 10? V) Ecuación de segundo grado en una variable 1) Resuelva las siguientes ecuaciones numéricas de segundo grado:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 79 (i) x 2 - 5x + 6 = 0 ;

(ii) x 2 - 5x -14 = O ;

(iii) 3x 2 - 7x+ 2 = 0 ;

(iv)

(v) (3x - 2) 2 + (2x + 3) 2 = 26 ;

(vi) 2x 2 - 3x + 7 = O ;

(vii) 6x -18 - (x +1) 2 =x 2 -(x + 2) 2 ;

1 x-2 =2+ (viii)

x + 2 +1

=3 x +1 x+1 2 x+2

1 x-2

(ix) x 2 - 6"2-x + 6 = O .

2) Resuelva las siguientes ecuaciones literales de segundo grado en la incógnita x; a, b 2 ( ab' 2 a2b2 (i) - abx - x +— = 3 9 \. 3 \7x (x (iii) - + b - - b =O ; \a ,

3abx ;

(ii)

E R:

x - a x - 3a 5 x - 2a x - 4a 4

(iv) x 2 - 3ax+ 2a 2 =O ;

(v) bx 2 - (a + b) x + a = O ;

(vi) 36x 2 - 12ax + a 2 = 0 ;

(vii) (2x - a) (x+ a) = (2x - a) 2

(viii) a 2 x 2 -

ax b'

b a x =

3) Escriba una ecuación de segundo grado que tenga por raíces las siguientes duplas de números: (i) 3 , 5

;

.. 1 (u) 2 ,

(iii) -1 ,

4) Halle dos números cuya suma sea S y cuyo producto sea P: (i) S = O , P = - 2 ; (ii) S = 11 , P = 18 ; (iii) S =

5)

6

5

,P=

3

(i) Determine el valor de m de manera que la ecuación: 5x2 - (2m -1) x + 2m = O tenga una de sus raíces igual a 3, (ii) Determine el valor de m de manera que la ecuación 2x 2 - mx +18 = 0, admita dos raíces iguales; (iii) Determine el valor de m, de manera que la suma de las raíces de la ecuación (m+ 2) x 2 -(9m+ 2) x + 3 = 0 sea 7 .

1

IHl

80 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 6) Resuelva los siguientes problemas que conducen a ecuaciones de segundo grado: (i) Halle dos números cuya suma sea 8 y la suma de sus cuadrados sea 34 ; (ii) Halle el número que supera en 10 al triple de su raíz cuadrada ; (iil) Halle dos números de manera que su suma sea 10 y la suma de sus cubos sea 730 ; (iv) Halle dos números de manera que su diferencia sea 3 y la diferencia de sus cuadrados sea 39 ; (v) Halle dos números cuya suma sea 14 y la suma de sus recíprocos sea

24

Otros problemas sobre la ecuación de segundo grado y sus aplicaciones se verán en el Capítulo 7 como problemas previos al estudio de la función cuadrática; por ejemplo, los problemas 15 a 26 en los cuales, además, se utiliza la noción de conjuntos que a su vez se verá en el Capítulo 5.

Problemas Complementarios 1) (i) En una empresa constructora de caminos se informa que 20 obreros pavimentaron 30 km de un camino en 12 días. Considerando ese dato, complete la siguiente tabla:

N 2 de Km del camino a pavimentar

30 18 40

N2 de días utilizados

12 8 16

N 2 de obreros empleados

20 32 15

(ii) Si se representan con c, d y x el número de Km del camino a pavimentar, el número de días utilizados y el número de obreros empleados, respectivamente, halle la relación entre dichas tres variables. 2) (i) En un supermercado se realizan descuentos sobre los precios de los diferentes artículos. Complete la siguiente tabla:

Precio de los artículos ($)

Suma a pagar luego del descuento ($) 40

50 60

Descuento (en %) 20 15

48

(ii) Si se representan con C, P y d el precio del artículo antes del descuento, el precio del artículo a pagar luego del descuento y el porcentaje de descuento (tanto por uno o expresado en decimal), respectivamente, halle la relación que existe entre dichas tres variables.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 81 3) (i) Un comerciante compra mercaderías que luego vende aplicándoles un porcentaje de ganancia.

Complete la siguiente tabla: Precio de compra ($)

30

Precio de venta ($)

Ganancia (en % )

36 88

10 15 20

45 39,60

(ii) Si se representan con C, V y g el precio de compra de una mercadería, el precio de venta de una mercadería y el porcentaje de ganancia (tanto por uno o expresado en decimal), respectivamente, halle la relación que existe entre dichas tres variables. 4) ¿Qué porcentaje de aumento tiene el precio de un artículo que pasa por las manos de tres intermediarios, cada uno de los cuales vende el producto un 50% más caro de lo que le costó? 5) Si el dueño de un negocio ordena subir un 25% el precio original de sus zapatillas en vidriera, para luego ofrecer a los compradores una rebaja sobre este último precio, de un 20% más un 10%. ¿Con qué porcentaje vende respecto al precio original? (i) Con una rebaja de un 5% ; (iii) Con una rebaja de un 12,5% ;

(ii) Con una rebaja de un 10% ; (iv) Con un aumento de un 10%.

6) (i) Un fabricante mayorista vende a un comerciante minorista un determinado producto al valor de $30 la unidad. El fabricante le ofrece colocar una etiqueta de precio a cada producto para conveniencia del minorista en períodos de estabilidad económica. Se necesita conocer el precio que se debe imprimir en la etiqueta para que el comerciante pueda reducir su precio de venta al público en 20%, en una oferta promocional, y obtener una utilidad del 12% sobre el costo del producto. Calcule además el porcentaje de la ganancia que obtiene el comerciante minorista en los días que no efectúa la promoción. (ii) Idem para el caso en que el comerciante minorista compre el producto al valor de $ C, C es un valor positivo cualquiera y representa el caso de estudio que debe realizar el minorista para efectuar la promoción de sus numerosos productos que tiene en venta. Es un problema real que se plantea como un problema paramétrico. 7) Las temperaturas se miden en grados Celsius o en grados Fahrenheit (de uso corriente en los países anglosajones). La relación entre las dos escalas es la siguiente: F = 9C +160 ( = 9C + 32 ) 5 5 donde C y F representan los grados Celsius y Fahrenheit, respectivamente. Complete la siguiente tabla:

1

1 II

111

hil

82 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Grados Celsius

Grados Fahrenheit

10 68 10

8) Escriba los números del 1 al 9, en la tabla de 3 filas y 3 columnas siguientes:

de manera que satisfagan las sumas indicadas: 15

25

15

12

F

20

22

11 18

9) Determine si los siguientes números a y valor: (i) a= A7+

+ A17 — z1-■

p son naturales, y en caso positivo indique el correspondiente

(ii) (3 --- -\14 + 2-fá — - \14 —

10) ¿Cuánto vale la siguiente expresión -\11+-\11+ V1+ V1+ V1+ 11) Juan puede hacer un trabajo en 5 días y, en cambio, José puede hacerlo en 3 días. ¿En qué tiempo lo harán trabajando conjuntamente? 12) (i) Julián lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y les da: al primero la mitad de las manzanas más dos; al segundo la mitad de las que le dio al primero más dos; y al tercero la mitad de lo que le dio al segundo más dos. ¿Cuántas manzanas llevaba al principio, si aún le sobra una manzana? (ii) Al día siguiente lleva otro canasto con manzanas. Encuentra a sus tres amigos y les da: al primero la mitad de las manzanas más dos; al segundo la mitad de las que quedan más dos; y al tercero la mitad de las sobrantes más dos. ¿Cuántas manzanas llevaba al principio, si aún le sobra una manzana?

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 83 13)

(i) En un hotel se informa que 20 pasajeros en 3 días pagaron $1.800. Considerando ese dato, complete la siguiente tabla: N2 de pasajeros

N2 de días

Pago en $

20

3

1.800

15

2

40

6.000 4

1.200

(ii) Si se representan con p, d y x el número de pasajeros, el número de días y el pago (en $), respectivamente, halle la relación que existe entre dichas tres variables.

14)

(i) Para numerar las páginas de un libro se usaron 495 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro? (ii) ¿Idem al anterior, si se hubiesen utilizado 6.725 cifras?

Ilu

84 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Respuestas Trabajo Práctico i.

1)

(i) 25

2)

; (i) a (ii) a+a2 (iv) x 3-( a + b + c ) x 2 + (ab + ac + bc))c— (y) 6a2b ; (vi) -y2

3)

(ii) 4

) -2

(iii) 1.000 (iii) 0

ahc,

(i) -4a2 + 3ab - 2b 2 + 1 ; (iii) 27x6 + 18x4 y2 + 12 x2 y4 + 8y6 ;

(ii) a + 3b ; (iv) x'+ 6x 2 + 12x + 8 ;

(y) 3x3 + 7x2 - 5x + 1 ;

(vi) 2x3 + x2 - 3x - 1

4)

(i) C(x) = 5x2 - 17x + 43 , R(x) = 59x - 39 ; (ii) C(x) = 2x2 + —15— + R(x) = • ' 2 4' 4 (iii) C(x) = x2 + 2ax + a2 , R(x) -ab( + 4 a4 ; (iv) C(x) = a x 2 + a 2 x+ R(x) = ab2 - ab + a4 b b

5)

(i) C(x) = 3x3 + 3x2 + 3x + 1 , R = 2 ; (ii) C(x) x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1 , R = O ; (iii) C(x) = 100x2 + 10x + 1 , R = O ; (iv) C(x) = 3x3 + x2 - 6x - 19 , R = -44 ; (y) C(x) = 3x3 + 7x2 + 22x + 61 , R = 184 (ii) O

6)

()2

7)

(i) 2a4 + 2b4

(iii) 2

;

(ii) a + b - 2 -\rab

(iv) a3 - b3 - 3a2b + 3ab2 8)

;

,

6a 2 b

(ii) 6xy2z3

(iii) 3b

,

36abc

(iv) 5a3b

(i) 5a2 (5 + 6a2 - 7a4 ) ; (iii) 15a2x2 ( 1 - 2x + 7x2 - 5x3 )

2)

(i)

(x+a)(x+b) (iv) (a - 1)(b - 1)

(y) O

(iii) a 2 + b2 - 2ab ;

;

(v) - 50 a2 + 120ab - 72b2

(i) 3ab

1)

(iv) O

1080x 3y5z4

a. 30a3 13

;

(y) 1

; 42x2y2

(ii) 3ax3 ( 2a - x + 7ax 2 ) ;

;

(H) ( a - b )( c - d )

;

(y) ( a - b ) ( x 2 + y2 )

;

(iii) ( a -1 )( b - c ) ;

(yi) ( 2x - 3z ) ( 2x + 3y ) ;

(vii) ( 9a2 + 4b2 ) ( 3a - 2b) ; (viii) ( 5a2b - 7a3c ) ( a - 2h ) = a 2 ( 5b - 7ac ) ( a - 2b ) ; (ix) (a- 1 )(a4 -a2 + 1 ) ;(x)(a-x)(a+ 2b+ 3c)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 85 2

3)

(i)

2

(a + 2 2

(iii) ( a3 - 1 ) 2 4)

(i) ( 3a + 4 ) 3

(ii) ( ax - by ) 3 3

(iii) —(1+1)

5)

3 ( a + 1 )(iv)a 3

(i) (ax - by) (ax + by) (ii)

(iii)

y

x \a

x b \ a

6)

)

2y)

(iv) - 4a2 b2

b

(v) 4a(c-b) (vii) ( x4 + y4

(++ 2y)( x2

(vi) ( 9a 2 + b2 ) ( 3a + b ) ( 3a - b )

( x2 + Y2 ) x +

x - y)

(i) ( 2a - b ) ( 4a 2 + 2ab + b2 )

(ii) (x - 1 ) ( x4 +

(iii) ( x - 2yz ) ( x 2 + 2xyz + 4y2z2 )

(iv) ( ab + 1 ) ( a 2 b2 - ab + 1 )

+ x2 + x + 1 )

7)

(i) (a+b+c)(a+b-c) (iii) 5b( a + 3m) ( a - 3m ) (v) a ( 3a - 2b ) 2 (viii) (x+ 2 )(x- 2 )(x+ 1 ) (x) x ( x + 1 ) 2 ( x- 1 )

(ii) (a+b-c)(a+c-b) (iv) 2abc ( a + 3b) ( a - 3b ) (vi) xy ( x + y )( x - y )(vii) a ( a2x + 3 )2 (ix) 3a ( a 2 + 4b4 ) ( a + 2b 2 ) (a - 2b 2 )

8)

(i) a - 1 , ( a - 1 )(a 3 - 1 ) (iii) 1 , a4 - 1 (v) 1 , a 3 + x3

(ii) 1 , a2 - b2 (iv) 3 ( a - b ) , 18(a 2 - b2 )

1)

(i) (iv)

-7ab2c3

(ii)

a —1

(y)

a +1

3(x — a) x+a

2)

(i)

1 x

9 (v)3 x —1

x — 2a b

a —1 b

a 2 —ab + b 2 a—b

(vi)

a(b — c) b

c+d a

1 a2

—1

a2

2a 2

a+x

a2 —b2 D

(vi) b2

(vii) 1

(iv)

20x 1— 25x

(viii) x - a

2

1,11i1

ildibiligti1

86 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

1

(ix) x 2 + 1 +

X

(xiii)

(xi)

x+ y

a+x

x- y

ax

1 (xvi) —

(xv)

3

(xii)

1;

ab(a- b) ab+1

b+c-a

(xvii) ab

2

(xx)

a 3

(x)

2

ax+b

a+c-b

(xxi) ab 2c

cx+d

-2x .

(xviii)

IV. 1)

(i) 3 (v) Incompatible (viii) 1

2)

(i)

(ii) 5

3.r711

32 2

(ii)

(iv) Identidad (x Eft) ; (vii) 3/2 ; (x) - 1 / 2

-4a si b O ;

(iv)

Identidad si b = O

(y) o Si

40;

(viii) Si ( a = 2b

(vi)

A

A

(i)

4)

(i) 15 (v) 6,12,36 (ix) 1000

O si b O Identidad si b = O

a=-b4.

i)

3)

Incompatible si b

(vii) 3b si(a=b A a-b);

a = -2b ) entonces

si(a=b

(ix)

ab a+b

Identidad si b O

(iii)

O

(ii) (vi) (x)

10 7 120

iv) 1 + m

;

(v) 3m

(iv) 18 y 14 ; (viii) 150

(iii) 16 y 4 (vii) 11 y 20

V. 1)

(i)

2,3

(v)

-1, 1

(viii)

2)

(i)

V2 4 O, 3ab

(ii) • . '

4

- 2,7

(iii) +,2

(vi) No existen soluciones reales

;

(iv) 0, -3 ;

;

(vii) 3,5 .

(ix) 3V-2- ± 2V3

o 10a '

(iii) ± ab

(iv) a, 2a ;

O

EXPRESIONES ALGEBRAICAS • 87 (v)

,1

(vi)

1--

6

(vii)

,2a

(viii )

b a2

4 ¿3 3)

(i) x2 - 8x + 15 = 0

4)

;

(ii) 3x2 - 7x + 2 = O ;

(iii) 5x2 + 3x - 2 = 0

(i) ± A/2

(ii) 2, 9

(in)

5)

(i) 12

(ii) ± 12

(iii) 6

6)

(i) 3, 5 (y) 6 , 8 .

(ii) 25

(iii) 1, 9

12 ,— 23 . ;

(iv) 8 , 5

Respuestas Problemas Complementarios

1)

(ii) x = 8

2) (ii) P = C (1

3)

(ii) g =( V c —1)

4) 237,5%

5)

Vale (ii)

6)

(i) El precio es $42, ganando un 40% los días sin promoción. (H) P= 1,4C

9)

(

)a

= 4

11)

15 días 8

13)

(ii) x = 30 pd

(ii)13 = 2

-

d)

10) 1+J5 2

12) (i) 76 manzanas, (ii) 36 manzanas

a b2

6i

p ;.-

CAPÍTULO

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 3.1. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Definición 1. Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x, y es la dada por la expresión

siguiente: ax +py =

(1)

donde a,p,-y EH son números reales dados de manera que a y p no se anulen simultáneamente, es decir a2 + f3 2 > 0.

Proposición 1. La ecuación de primer grado (1) con dos incógnitas x, y, tiene siempre infinitas soluciones, es decir, existen siempre infinitos pares o duplas de números que sustituidos respectivamente en las incógnitas x, y satisfacen la ecuación. Demostración. Sean a*Oyp O. Si se atribuye a y un determinado valor y o entonces la incógnita x satisface la ecuación de primer grado (2)

ax = y

cuya única solución es x =

Y — 1S/0

a ecuación (1) al ser y o arbitrario.

-

pyo

. Por ende, existen infinitos pares de números x, y que satisfacen la

Si a =0 (el caso R = O es análogo) entonces la ecuación (1) se reduce a la ecuación py=y que resulte ser, para cada x real, una ecuación de primer grado en la incógnita y cuya única solución está dada por y =

1 . Por lo tanto, existen infinitos pares x, 1 , cualquiera sea x EH, que satisfacen la 13

ecuación (1) Ejemplo. La ecuación de primer grado 2x - y = -1 con dos incógnitas x, y admite infinitas soluciones, algunas de las cuales pueden especificarse en una tabla de valores de la forma siguiente: x

y

o

1 2 -1

1/2 -1

III

,,i1

1,41„

1

uull

1111.

90 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA Observación 1. Cuando se analice el método gráfico (ver el punto 3.3.6.) se dará una interpretación

geométrica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas (el conjunto de todas las infinitas soluciones representa una recta en el plano (ver Capítulo 7). 3.2. SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Definición 2. Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y es el dado por:

i)

a x + py = -y,

(ii)

ax+

(3)

= -y',

donde a, 0,-y, a p ', -y' EH de manera que respectivamente a, R y a, R no sean nulos simultáneamente. Se dice también que el sistema (S) está escrito en forma normal. ,

Los números a, p, a', (3 'se llaman coeficientes del sistema de ecuaciones y los números - y,7' se llaman términos independientes. Definición 3. Se llama solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas x, y a un par ordenado de números reales de manera que, sustituidos respectivamente en las letras x, y, satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Definición 4. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa hallar todas

las soluciones del sistema. Definición 5. El sistema de ecuaciones (S) se dice:

1) Determinado o Compatible: cuando admite un número finito de soluciones; 2) Indeterminado: cuando admite un número infinito (no finito) de soluciones; 3) Incompatible: cuando no admite ninguna solución. Se desea hallar una regla que permita decidir si el sistema (S) admite o no soluciones y, en caso afirmativo, cuántas admite. Se considera primero el caso en que uno de los coeficientes de las incógnitas sea nulo, por ejemplo: p=-0,a con lo cual el sistema (S) se puede escribir de la forma: a x = -y, (4) a l x+p' y=-y'

con a

O, a'

O, p'

Teorema 2. El sistema (4) admite una única solución dada por:

( 5)

x=

'

y-

ay —oc'y otp,

O.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 91 Demostración. La primera ecuación de (4) es una ecuación de primer grado en la incógnita x, cuya

única solución está dada por x = 1 . Sustituyendo el valor así encontrado en el lugar de la letra x, en la a segunda ecuación del sistema (4), se obtiene la ecuación:

+ a' —Y a

fi'

y=

y'

que resulta ser una ecuación de primer grado en la incógnita y. Esta ecuación admite una única solución dada por: y_ 1

a' Y ) = ay' – a' y a afi'

(

fi con lo cual se obtiene (5)

Ejemplo. Sea el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

3y = 9 3x + 5y = 9 De la primera ecuación se deduce que y = 3. Reemplazando dicho valor en la segunda ecuación se obtiene la siguiente ecuación de primer grado en la incógnita x: 3x+15=9

<=> 3x+6=0,

cuya única solución es x = -2. Por lo tanto, el sistema admite una única solución dada por x = -2, y = 3.

Se supone ahora que los coeficientes de las incógnitas del sistema (3) son todos no nulos, es decir: a * 0 , 13

O

0 , a' O ,

Se analizarán los siguientes tres casos:

(6)

(i)

07 151

13.

(ii)

a

=R

7Y

a fi = yY in;; ) —a, =— ;\

(

Caso 1. Si se supone que los coeficientes de las incógnitas del sistema (3) no son proporcionales, es decir: (7 )

a a

fi

/3

(a

ív-(3

a'0)

entonces existe una única solución dada por las siguientes expresiones: a

fi

a , = p.-

y

.

II J

1111 ! i u

I

1

1

I

92 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

x=

(8)

(9 )

a/3' —/3a'

ay' - ya'

Y = afi

— ax Demostración. La ecuación (3i) puede escribirse bajo la forma y = y fi . Sustituyendo, en la ecuación (3ii) la expresión encontrada en lugar de la letra y, se obtiene el sistema equivalente siguiente: (10)

Y=y— fi a +

ax

— ax

= Y'

Realizando las operaciones indicadas en la segunda ecuación, se tiene el nuevo sistema equivalente:

a(V - al3 ) x =

PY'

0, entonces Como la segunda ecuación contiene sólo la incógnita x cuyo coeficiente es a(3 se obtiene x a través de la expresión (8). Sustituyendo esta expresión, en lugar de la letra x, en la primera ecuación del sistema (11) se deduce.

y/3' -/3y'

ya/3' —y/3a' -ay/3' +/3ay'

Y a Y=

af3' —/3a' /3

/3

aPY'-Yfia' fi(aP' -Pa)

ay' — ya' arr-3 /3a

que resulta ser la expresión (9) Ejemplo. La solución del sistema 2x+y=2 x - y =1 está dada por x =1, y = O pues 2 (-1) - (1) • (1) = - 2 - 1 = -3

O

Caso 2. Si se supone que los coeficientes de las incógnitas del sistema (3) son proporcionales, sin serlo con los términos independientes, es decir:

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 93

(12)

a — =—

Y ( —

=o;

y'

a'

ay'- -ya'* O ; r3-y'- -y(3 't O )

entonces el sistema (3) es incompatible, es decir, no existe ninguna solución.

Demostración. De (12) se deduce

(13)

ar3 - a

=O

f3 '11 ' Yí3

O

Teniendo en cuenta lo realizado anteriormente, el sistema (3) es equivalente al sistema (11) que en este caso resulta ser:

Y=

(14)

Ox =

y

—

OIX

13

fiy' -fi' y

O)

Basta ahora observar que la segunda ecuación del sistema (11) no puede ser satisfecha por ningún valor de la letra x, al ser (3y' - p, o Ejemplo. El sistema = = 2x+y=2 4x + 2y = 3 2 1 2 no tiene ninguna solución pues, — = — — 4 2 3 Caso 3. Si se supone que los coeficientes de las incógnitas del sistema y los términos independientes de las dos ecuaciones son proporcionales entre sí, es decir:

(15)

Y a _ -P -_— Y ' -

( ai3 '-a

=

o;

ay'- -ya' = O ;

y(3'. O )

entonces el sistema (3) es indeterminado, es decir, existen infinitas soluciones. Demostración. De (15) se deduce ce13 = O

(16)

y, por lo tanto, el sistema (11) que es equivalente al sistema (3) se transforma en:

(17)

YOx = O

-

00(

o,

94 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA Como la segunda ecuación de (17) es una identidad, es decir, se satisface cualquiera sea el valor que se atribuya a la letra x, entonces el sistema (17) y por ende el sistema (3), admiten como soluciones todas las soluciones de la primera ecuación que, como se sabe, son infinitas. Ejemplo. El sistema: 2x +y= 2 4x + 2y = 4

admite infinitas soluciones, las cuales surgen de la ecuación y = 2 - 2x. Algunas de ellas están dadas en la siguiente tabla de valores: x Y 0 1 2 -1 1/2

2 0 -2 4 1

3.3. DIFERENTES MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER

GRADO CON DOS INCÓGNITAS A continuación se verán seis diferentes métodos para obtener la solución del sistema (S) de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, a saber: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Método de sustitución; Método de igualación; Método de reducción o de sumas y restas; Método de determinantes (Regla de Cramer); Método de triangulación (Método de Gauss); Método gráfico.

Se explicitará la metodología de los seis métodos y se la aplicará, como ejemplo, para la resolución del siguiente sistema:

(i)5x-y=5, (18) (ii) -2x + 3y = 11,

cuya única solución está dada por:

(19)

x=2,y=5

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 95 A Método de sustitución. Se procede de la siguiente manera:

1) Se resuelve una de las dos ecuaciones respecto de una incógnita, por ejemplo, la y; 2) Se sustituye dicha expresión en el lugar de la y en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación de primer grado en la incógnita x; 3) Se resuelve la ecuación hallada respecto de la incógnita x; 4) Se obtiene el valor de la incógnita y sustituyendo el valor de la x en la respectiva expresión encontrada anteriormente en 1). Ejemplo. De la ecuación (18i) se obtiene y = 5x - 5. Reemplazando dicha expresión en la ecuación (18ii) se deduce para la x la ecuación de primer grado, O = - 2x + 3y - 11 = -2x + 3 (5x - 5) - 11 = -2x + 15x - 15 - 11 = 13x - 26 cuya solución es x = 2. Luego, se tiene y = 5 • (2) - 5 = 10 - 5 = 5, es decir, la solución (19).

A Método de igualación. Se procede de la siguiente manera:

1) Se resuelve la primera ecuación respecto de una incógnita, por ejemplo, la y: 2) Se resuelve la segunda ecuación respecto de la misma incógnita y; 3) Se igualan las dos expresiones halladas para obtener una ecuación de primer grado en la incógnita x; 4) Se resuelve la ecuación hallada respecto de la incógnita x; 5) Se obtiene el valor de la incógnita y sustituyendo el valor de la x en cualquiera de las dos expresiones encontradas anteriormente en 1) o en 2). Ejemplo. De la ecuación (18i) se obtiene y = 5 x - 5. De la ecuación (18ii) se obtiene y = 11 4. 2 . x 3 3 Igualando las dos expresiones halladas, se deduce para x la siguiente ecuación de primer grado. 5x -5 = 11 + 2 x <=>

3 3

5x 3

x = 11_ +5 13 x 26 3 — 3 3

cuya solución es x = 2. Luego, se tiene y = 5 . (2) - 5 = 10 -5 = 5, es decir, la solución (19). • Método de reducción o de sumas y restas. Se procede de la siguiente manera:

1) Se multiplican las dos ecuaciones de manera que los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo la y, sean iguales. 2) Si los nuevos coeficientes de la y en las dos ecuaciones tienen signos contrarios entonces se suman las dos ecuaciones, obteniéndose una ecuación de primer grado en la incógnita x. Por el contrario, si tienen igual signo entonces se restan las dos ecuaciones. 3) Se resuelve la ecuación hallada respecto de la incógnita x. 4) Se obtiene el valor de la incógnita y, repitiendo los tres pasos anteriores, pero con los coeficientes de la x.

.111111,

■

111 11111

1111 I

1

i

u

¡hl

u

1

1

I

II

96 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Ejemplo. Para hallar el valor de la y, se multiplica la ecuación (18i) por 2 y la ecuación (18ii) por 5, obteniéndose el siguiente sistema equivalente: 10x - 2y =10, -10x + 15y = 55 Sumando ambas ecuaciones se deduce para la ecuación de primer grado 13y = 65, cuya solución es y = 65 =— 5

Para hallar el valor de x, se multiplica la ecuación (18i) por 3 y la ecuación (18ii) por 1, obteniéndose el siguiente sistema equivalente: 15x - 3y = 15 , -2x + 3y = 11 Sumando ambas ecuaciones se deduce para x la ecuación de primer grado 13x = 26, cuya solución es x = 2, es decir, la solución (19).

A Método de determinantes. Regla de Cramer

Definición 6. Se llama matriz cuadrada de orden 2 a una tabla de cuatro números dispuestos en

dos filas y dos columnas de la siguiente manera:

c [ad]

con a, b, c, d E 11-8

Los números reales a, b, c, d se llaman coeficientes de la matriz M. Los números a,c y b,d representan respectivamente la primera y segunda columna de la matriz M. Los números a,b y c,d representan respectivamente la primera y la segunda fila de la matriz M.

Definición 7. Se llama determinante de la matriz cuadrada M de orden 2 al siguiente número real:

a

b

c

d

= ad - bc e

IMI =

,

que resulta ser el producto de los coeficientes de la diagonal principal menos el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria. El método de determinantes (Regla de Cramer) consiste en expresar la solución (8) del sistema

de ecuaciones (3) de la siguiente manera, cuando se cumplan las condiciones (7) que aseguran que existe una única solución: 1) La incógnita x se obtiene como una fracción teniendo por denominador el determinante de la matriz de coeficientes del sistema y por numerador el determinante que se obtiene al sustituir la primera columna de la matriz de coeficientes del sistema por la columna de términos independientes, es decir:

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 97

)3'

X=

a a'

a[3'- pa"

í3 (3'

2) la incógnita y se obtiene como una fracción teniendo por denominador el determinante de la matriz de coeficientes del sistema y, por numerador el determinante que se obtiene al sustituir la segunda columna de la matriz de coeficientes del sistema por la columna de términos independientes, es decir: a y ,y a'

ay —Ya

Y— a a'

a$3'-

f3 [3'

Ejemplo. La solución del sistema de ecuaciones (18) viene dada por:

15 + 11 — 26 — 2 ;

x=

15 — 2

-2

-1 3

5 -2

5 11

5

13

55 + 10 — 65 — 5

Y=

15 — 2

5 -2

13

-1 3

que resulta ser la dada por (19).

A Método de triangulación o de Gauss. Consiste en obtener un sistema de ecuaciones, equivalente al

lado, que sea del tipo triangular. ax + [3y =

-y ,

(T1)

(a,

, ,

a, b E IR )

(a,

, ,

c, d E

ay = b , o del tipo (T2)

py + ax = , cx =d ,

)

Se procede de la siguiente manera 1) Si uno de los 4 coeficientes a, $3, ', a' es nulo, entonces el sistema (3) es del tipo triangular (T1) ó (T2), ya sea intercambiando las ecuaciones o las incógnitas (ver el sistema de ecuaciones (5) analizado anteriormente):

98 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

2) Si los 4 coeficientes a, p, a' ,0' no son nulos, entonces se puede obtener el sistema triangular (T1) realizando las siguientes operaciones:

(a) Se multiplica la ecuación (3i) por el número a' y la ecuación (3ii) por a ; (b) Como los coeficientes de la incógnita x son iguales se obtiene una ecuación de primer grado en la incógnita y reemplazando la segunda ecuación por la diferencia de ella misma con la primera ecuación; (c) Se multiplica la primera ecuación por el número 1/ a', con lo cual se tiene un sistema de ecuaciones equivalente al sistema (3), con la particularidad de tener iguales la primera ecuación. Este procedimiento se resume a través de las siguientes equivalencias.: ax + py = y

a' ax + a'py = a' y

a'x + p ' y = y '

aa' x + ap ' y = a-y'

<=>

(3)

a 'ax +

(3y =

-y

aX+

(3y =

<=>

(a(3 a'

ay = b

) y = crY' - a'Y

donde (20)

a = ap' - a' (3

b = ay' - a'y ;

3) Se resuelve la ecuación de primer grado en la incógnita y ó en la incógnita x, segunda ecuación del sistema triangular, dependiendo si el sistema de ecuaciones equivalente al (3) es del tipo (T1) o del tipo (T2), respectivamente: 4) Se obtiene el valor de la otra incógnita x ó de la y sustituyendo el valor obtenido de la y ó de la x en la primera ecuación y resolviendo la ecuación de primer grado respectiva. Procedimiento práctico. El presente método tiene un procedimiento práctico para obtener del sistema (3) el nuevo sistema equivalente (T1), a saber: ( debe ser coef. de la 1lec. de (3) y de (T1)

coef. de la 2 1 ec. de (3)

coef. de la 2 1ec. de (T1)

—>

—>

)

a

13

a'

R' a (3

a -y

p

a' y

o a'

'

r

-

columna de coef. columna de coef.

col. de términos

de la incógnita x de la incógnita y

independientes

Observación 2 1) El coeficiente a debe ser no nulo para poder aplicar este método.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 99 2) Si cy. = O entonces el sistema (3) es del tipo triangular intercambiando las dos ecuaciones, procedimiento que no altera las soluciones del sistema. 3) Si oz.'= O entonces el sistema (3) es de tipo triangular y por ende no se debe efectuar nada.

Ejemplo. Aplicando el procedimiento práctico al sistema (18), se tiene: 5 -2

-1 3

5 • 3 - (-1)(-2)=13

5 11

5 • 11 - 5(-2) =65

con lo cual el sistema (T1), equivalente al sistema (18), está dado por: 5x - y = 5, 13y=65 De la segunda ecuación se obtiene y = 3 = 5. Reemplazando dicho valor en la primera ecuación se tiene para x, la ecuación de primer grado siguiente: 5x - 5 = 5, es decir, 5x = 10 cuya solución es x =

y

= 2, es decir (19). A Método gráfico Sistema de coordenadas en una recta. Se establece una correspondencia biunívoca entre los números

reales y los puntos de una recta, es decir, a cada número real le corresponde un único punto de la recta y viceversa, a cada punto de la recta le corresponde un único número real. La metodología es la siguiente: se toman dos puntos sobre la recta, uno es el punto origen O y el otro es el punto unidad U, a la derecha del punto origen. De esta manera, el punto O divide a la recta en dos semirrectas: la semirrecta positiva o semieje positivo, que contiene al punto U y la semirrecta negativa o semieje negativo, que no contiene al punto U. Entonces se introduce el siguiente sistema de coordenadas: 1) Al punto origen O se le hace corresponder el número O (cero) ; 2) Al punto unidad U se le hace corresponder el número 1 (uno) ; 3) A todo punto P del semieje positivo se le asigna el número real x que mide la distancia OP con respecto a la unidad OU. A dicho número real x se lo llama abscisa o coordenada del punto P de la recta. 4) A todo punto P' del semieje negativo se le asigna el opuesto del número real positivo que mide la distancia P' O con respecto a la unidad OU. Entonces, la correspondencia biunívoca o biyección entre los puntos de una recta r con el conjunto de los números reales está dada a través del sistema de coordenadas así construido, es decir: punto origen O E r <-> número real0ER ; punto unidad U E r ‹--› número real 1 E bz1 ; punto P E r <-> número real x E FR de manera que :

Lit

1

11111111

1,111,

100 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

OP OU

(2 1 ) O

U

P

recta

eje real 0

1

OP X = (37

Dicha correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta con el conjunto de los números reales es un postulado esencial para la construcción de la Geometría Analítica. Por otra parte, se tiene que: (a) Un número natural n se corresponde con el punto de la recta que se obtiene al llevar n veces consecutivas el segmento unidad, desde el punto origen hacia la derecha. (b) Un número racional positivo de la forma p con p, q E %, sin factores comunes, se corresponde con el punto de la recta que se obtiene al llevar p veces consecutivas la q-ava parte del segmento unidad, desde punto origen hacia la derecha; (c) La correspondencia de los números irracionales en la recta no es tan simple, a modo de ejemplo el número -!2 se obtiene como la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de lado unitario. Por reiterada aplicación del Teorema de Pitágoras, ver capítulo 4, se pueden hallar los números Vri con n E Por otro lado, haciendo girar una circunferencia de radio 2 se puede representar al número n en la recta real. Ejemplo. eje real 1 -2

I _3 4

111111111 -1

_3 4

_1 _1 1 2 71 0 74-

1 3 1

2 -4-

3

2

5 2

2

Sistema de coordenadas cartesianas en el plano. Siguiendo con la metodología empleada para determinar un sistema de coordenadas en la recta se establecerá una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales. Se toman en el plano dos rectas r l y r2 perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto O que se llamará punto origen. Se toman sobre cada recta r i (i=1, 2) el punto unidad U, E r. y se establece sobre r el correspondiente sistema de coordenadas. Se considera que r, es la recta que se toma horizontal estando U, a la derecha del punto O. Análogamente, se considera que r 2 es la recta que se toma vertical estando U 2 ,

aribdelpuntoO. Las dos rectas dividen al plano en 4 regiones llamadas cuadrantes que se designarán como primer cuadrante, segundo cuadrante, tercer cuadrante y cuarto cuadrante. Se enumeran en el sentido antihorario, como 1,11,111 y IV, comenzando con el cuadrante I en el que ambas coordenadas son positivas.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 101 A

r2 U2

cuadrante II

cuadrante I

tj, cuadrante IV

cuadrante III

A la recta r, se la conoce como eje de las abscisas o directamente como eje x y a la recta r2 como el eje de las ordenadas o directamente como eje y. A ambas rectas se les da el nombre de ejes coordenados. Sea P un punto cualquiera del plano, por él se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados y se determinan los puntos P, E r, y P2 E r2 , respectivamente. Teniendo en cuenta el sistema de coordenadas sobre r, y r2 , se obtienen los dos números reales siguientes: (22)

OP x1 = -

ER

x2

0111

OP 2 OU 2

ER

De este modo, el punto P del plano determina, en forma única, un par ordenado (x,,x 2) de números reales y recíprocamente, realizando el proceso inverso, es decir, que se tiene una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los pares ordenados de números reales, a través de la ley: (23)

P 4-> (x 1 , x 2 )

El par ordenado de números reales (x 1 , x2) así obtenido, recibe el nombre de coordenadas cartesianas ortogonales del punto P. Dichas coordenadas dependen del sistema de coordenadas elegidas sobre cada recta ri , i=1,2. En general, se simboliza con x, en lugar de x l , a la primera componente del punto P y con y, en lugar x 2 , a la segunda componente del punto P. eje y U2

P2 1

P = (x1, x2)

•

2

I

Ui Pi Ejemplo.

eje x

I

11111111.

11111111 del 1 1

1 iil1I Y

11,1 ili mllu i1

102 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA J Función real (Se pueden ver más detalles en los Capítulos 5 y 7)

Cuando a cada valor numérico, número real, que recibe la letra o variable x le corresponde un único valor bien determinado de la letra o variable y, se dice que y es una función real de la variable x. Ala variable x se la llama variable independiente y a la variable y se la llama variable independiente.

Ejemplos. La longitud de una circunferencia es función del radio; la superficie del círculo es función del radio. Procedimiento para representar gráficamente una función real. Para representar gráficamente una función, se empieza por dar a la variable independiente x (real) distintos valores, hallando al mismo tiempo los correspondientes valores de la variable dependiente y (real); luego se representan por medio de un sistema de coordenadas en el plano todos los puntos cuyas coordenadas son los valores x, y. La gráfica de la función será la curva que una a todos esos puntos (ver Capítulo 7). J Representación gráfica de la función y = mx + h

La función real y = y (x) = mx + h (a cada número real x le hace corresponde el número real y = mx + h) tiene por representación gráfica una recta, cualesquiera sean los números reales m,h E H. Al número m se lo llama la pendiente de la recta y al número h se lo llama ordenada al origen.

única solución de la ecuación mx + h = O

X La pendiente m de una recta es un concepto geométrico que se puede interpretar de la siguiente manera: si de un punto de la recta uno se desplaza una unidad hacia la derecha, entonces se encontrará otro punto de la recta desplazándose m unidades hacia arriba cuando m>0 y -m unidades hacia abajo cuando m<0.

Y Ejemplos.

i

I

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS •

103

Observación 3. Con la metodología anterior se pueden representar todas las rectas del plano excepto la recta vertical. Intercambiando los roles de la letra x con el de la letra y, se puede ver que x = 4 representa la recta vertical con abscisa siempre 4, independiente del valor de y (se piensa en la función real que a cada valor de la variable independiente real y se le asigna el valor 4 de la variable dependiente x).

x=-2 x=4 _I Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si se representan gráficamente cada una de las dos rectas del sistema de ecuaciones, entonces la solución del sistema, si existe, está dada por las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. Ejemplo. El sistema de ecuaciones (12) puede pensarse gráficamente como la intersección de la 11 2x recta 5x - y = 5, es decir: y = 5x -5, con la recta -2x + 3y = 11, es decir: y = — + — . El punto de 3 3 intersección tiene coordenadas (2,5).

recta de ecuación: 11 2x

(2, 5) punto de intersección de las dos rectas

y=

x

2 recta de ecuación: y = 5x - 5

3.4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.

De acuerdo al método gráfico, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera: 1) Sistema determinado (existe única solución). Las dos rectas se intersectan geométricamente en un punto del plano de coordenadas (x o , yo), de manera que x =x0, y = yo resulta ser la única solución del sistema de ecuaciones.

111111,

1111141i

11

tll1 il N

Ind II

mili l

1

1111

11411

104 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

2) Sistema indeterminado (existen infinitas soluciones). Las dos rectas son coincidentes y, por lo tanto, las coordenadas de todo punto de la recta son soluciones del sistema de ecuaciones. 3) Sistema incompatible (no existe ninguna solución). Las dos rectas son paralelas entre sí, no coincidentes.

3.5. RESOLUCIÓN DE OTROS SISTEMAS DE ECUACIONES Los procedimientos que se han indicado para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado, con coeficientes numéricos, se pueden también utilizar para resolver : 1) sistemas de primer grado con coeficientes literales o parámetros; 2) sistemas con ecuaciones fraccionarias que dan lugar a un sistema de ecuaciones de primer grado. En el caso 1) es necesario excluir los eventuales particulares valores de las letras o parámetros que hacen perder de significado al menos una de las ecuaciones del sistema. Por otra parte, se deberá también analizar si existen particulares valores de los parámetros para los cuales el sistema resulta incompatible, indeterminado o determinado. En el caso 2), como para transformar el sistema fraccionario en uno en forma normal, en general, se debe multiplicar a ambos miembros de las dos ecuaciones por una expresión que contiene al menos una de las dos incógnitas, puede ser que el sistema así obtenido tenga más soluciones que las reales. Por lo tanto, después de haber resuelto el segundo sistema que, en general no es equivalente al sistema original dado, es necesario verificar, en la mayoría de los casos, que no se anulan los denominadores de las ecuaciones del sistema dado: Ejemplos. i) Resolver el sistema de ecuaciones con parámetros a, b siguiente:

x (E 1 )

Y

a+b x —y 2ab

a- b =

— 2a

X+ y

a2 + b2

En primer lugar se debe suponer que:

(H,)

b

,

aO

bO

para eliminar los valores de los parámetros para los cuales el sistema (E 1 ) no tiene sentido o no está definido al anularse, al menos, uno de lo denominadores. Si se multiplica la primera ecuación por mcm (a + b; a - b) = a 2 - b 2 y la segunda ecuación por mcm (2ab; a 2 + b2) = 2ab(a2 + b2) se obtiene:

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 105

( a - b )x + ( a+b )y = 2a( a 2 - b2 ) ( a2 + b2 ) ( x - y ) 2ab ( x+y ) (a-b)x+(a+b)y=2a(a 2 -b2 ) <=> ( a - b ) 2x - ( a+b ) 2y = O .

El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas del último sistema de ecuaciones, equivalente al (E 1 ), está dado por: a-b

a+b

(a-b) 2

-(a+b) 2

=-(a-b)(a+b) 2 -(a+b)(a-b) 2 =

=-(a+b)(a-b)((a+b)+(a-b))=-2a(a+b)(a-b)=-2a(a 2 -b2 )#0, con lo cual el sistema (E 1 ) tiene única solución. Esta solución viene dada por:

2a (a2 - b2 ) O

x=

a+b -(a+b) 2 -2a( a2 - b2 ) ( a tb ) 2 = ( a +b ) 2 -2a( a2 - b2)

-2a (a2 - b2 )

a-b

2a (a2 - b2 )

(a—b) 2

Y-

O

-2a( a2 -

-2a ( a2 -

) ( a - b ) 2 ....0 _19z

-2a( a2 - b2 )

)

ii) Resolver el sistema de ecuaciones fraccionario siguiente:

2x

1

(E2 )

7 4_ 4y = _ 19 x x

En primer lugar se debe suponer que, si existen soluciones, las incógnitas deben satisfacer las condiciones: ( H2 )

x

O

para eliminar los valores que anulan los denominadores.

y

O.

GIIYI

qi II

I

Iris

I

i

106 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Si se multiplica la primera ecuación por y, y la segunda ecuación por x, se tiene el sistema: 2x -y = 1 7x + 4y = -19

que tiene única solución dada por: 1 -19

-1 4

2 7

-1 4

2 7

1 -19

4-19 8+7

x=

_-38 - 7 -45 =3 8+7 15

Y= 2 7

-15 = 1 15

-1 4

iii) Resolver el sistema de ecuaciones fraccionario siguiente:

3x - 2y _ 1 x-2

(E 3) 5x + 9 3x + 2y

19 12

En primer lugar se debe suponer que, si existen soluciones, las incógnitas deben satisfacer las

condiciones: (H 3)

x # 2 ,

3x + 2y # O

para eliminar los valores que anulan los denominadores. Si se multiplica la primera ecuación por ( x - 2 ), y la segunda por 12(3x + 2y), se tiene el sistema: 3x - 2y = x - 2

x-y=-1 <=>

12(5x + 9) = 19(3x + 2y)

3x - 38y = - 108

El último sistema tiene única solución dada por:

-108

-38

x= 1 3

38 - 108

-38+3 -38

- 70 - 35

2 '

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 107 1

-1

3

-108

Y= 1

-1

3

-38

-108+3

- 105

-38+3

- 35

– 3.

pero esta solución (x=2, y=3) no satisface el sistema (E 3) al no verificar la hipótesis x=2 de la condición (H 3). Por tanto, el sistema (E 3) no tiene ninguna solución (es incompatible).

3.6. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1 4

1) Encontrar la fracción que resulta ser igual a 1 cuando se suma 1 al numerador, e igual a — cuando se

3

aumenta 1 al denominador.

Solución. Se indica con x el numerador de la fracción y, con y el denominador de la fracción. Las dos condiciones se traducen en el siguiente sistema fraccionario:

3

Y (A l )

Se supone que la incógnita y satisface las condiciones: y # -1

y#O

para eliminar los valores que anulan los denominadores en (A 1 ). Si se multiplica la primera ecuación por 3y = mcm (3;y), y la segunda por 4(y+1) =mcm (4; y +1) se obtiene el sistema de ecuaciones de primer grado siguiente:

3x - y = -3

3 (x + 1) = y

<=. 4x - y = 1

4x = y + 1

cuya solución está dada por: -3

-1 -1

x= 3 4

-1 -1

3+14 – –4; 1 -3+4

GiW

1111

,11

II

II IA

1111111

108 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

3

-3

4

1

Y 3

-1

4

-1

3+12

-3+4

15 1

Por otro lado, puede verificarse que x = 4 , y =15 es la solución del sistema (A 1 ). 2) Encontrar las medidas de los lados de un rectángulo sabiendo que:

(i) el área del rectángulo no cambia de si se aumenta la altura en 3 metros y se disminuye la base en 3 metros; (ii) el área del rectángulo aumenta en 16 metros cuadrados si se aumenta la altura en 5 metros y se disminuye la base en 3 metros. Solución. Se indica con x (metros) la medida de la altura y con y (metros) la medida de la base del rectángulo; el área del rectángulo estará dada por la expresión xy. Las dos condiciones se traducen en el siguiente sistema de ecuaciones: (x + 3) (y - 3) = xy

xy - 3x + 3y -9 = xy

(x + 5) (y - 3) = xy + 16

xy - 3x + 5y - 15 = xy + 16

-3 x+ 3y= 9

-x + y =3 <=> -3x + 5y = 31,

(A2)

<=>

-3x + 5y = 31

cuya única solución está dada por x = 8, y = 11.

3) Hallar dos números positivos de manera que su suma sea 42 y su cociente sea 5. Solución. Se indica con x, y los dos números positivos. Las dos condiciones se traducen en el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 42 (x> O ,y>0)

(A3) x

= 5

.

como y > 0, se puede multiplicar la segunda ecuación por y, obteniéndose el sistema siguiente: x + y = 42 x = 5y

5y + y 42 <=, (sustitución)

x = 5y

I

1114 mi,

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 109 6y = 42

Y= 7 <=> x = 35, y = 7

<=>

<=>

x = 5y

x = 5y

Se puede verificar que x = 35, y = 7 es la solución del sistema (A3)

3.7. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES

INCÓGNITAS

Los métodos de resolución, que se estudiaron para los sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se pueden aplicar también a los sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. En general, se aconseja el método de sustitución: se despeja una de las tres incógnitas de una de las tres ecuaciones en función de las otras dos incógnitas, y se reemplaza en las dos ecuaciones restantes, obteniéndose para estas dos incógnitas un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Una vez resuelto dicho sistema, se obtiene la tercera incógnita utilizando la expresión anteriormente hallada. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema: x + 2y + 10z = 79 (G1)

2x + y - z = 5 4x + 3y - 5z = -9

De la primera se obtiene x = 79 - 2y - 10z, con lo cual se tiene que:

(G1)

r=1,

<=>

x = 79 - 2y - 10z 2(79 - 2y - 10z) + y - z = 5 4(79 - 2y - 10z) + 3y - 5z - 9

<=>

x = 79 - 2y - 10z -3y - 21z = - 153 - 5y - 45z = - 325

x= 79 - 2y - 10z y - 7z = 51 y + 9z = 65.

El sistema de ecuaciones con incógnitas y, z está dado por:

y + 7z = 51 y + 9z = 65

cuya única solución es y = 2, z = 7. Por lo tanto, de la primera ecuación se deduce que x = 5.

Además, puede verificarse que x = 5, y = 2, z = 7 es la solución de (G1).

II

L

1

SI

1111.11.111

110 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Trabajo Práctico

1) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. En el caso en que la solución sea única, hállela a través de todos los métodos: sustitución, igualación, reducción, determinantes, triangulación y gráfico:

(i)

(iv)

3x+y= 5

3x - y = 6

3x + 2y = 4

5x + y = 10

2x + 6y = 3;

(v)

(iii)

2x + 3y = 17; - x + 9y = 2

2x - 3y = 1

(vi)

6x + 18y =1

-4x + 6y = -2

•12 3x+ y = 5 5

x - 2y = 1

2x + 3y = 2 ; 6x - 12y = -1

3x - 4y = 9.

x y 3

2) Resuelva los siguientes sistemas paramétricos de primer grado con dos incógnitas: x+y= 2a ;

(i)

(ii)

x + ay = 1

2x + ay = 2a2 x y a b O x

y + b a

(v)

(iv)

a2 + b 2

(vi)

b

x + y = 2a bx + ay = a 2 + b 2

ab

=2

± a

ax - 3y =a

x/a+y/b= 1 x/b+y/a= 1.

bx-ay=O

3) Resuelva los siguientes sistemas fraccionarios:

(i)

2x —Y

-

1

Y 4y = - 19 7+

x

x+y

x

9 x-y

2x - y _ 6 3x + 8 23

1 1 = x - 1 y+ 4 O

1 3x + 1

1 _ 0 5y

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 111

4) Resuelva los siguientes problemas que conducen a un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: ., _como ) (i) Halle dos números positivos que sean entre siY7 es a 3, y cuya diferencia sea 132. (ii) En un corral, en que hay gallinas y conejos, se cuentan 60 cabezas y 160 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay? (iii) En un edificio, las puertas tienen 4 cristales y las ventanas tienen 6 cristales. Si se cuentan 30 aberturas y 172 cristales, ¿cuántas puertas y ventanas hay? (iv) Halle dos números positivos de manera que su suma sea 105 y su cociente sea 2/5. (y) Halle dos números positivos de manera que su suma y su cociente sea 5. (vi) Halle el número de pesos que tienen Luis y José, sabiendo que: a) si Luis da $20 a José, éste tendrá el doble de lo que le queda a Luis; b) si José da $20 a Luis, éste tendrá el triple de lo que le queda a José. 5) Resuelva los siguientes sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas: x+y+z=2

x+ 5y+ 3z= 6 ,

2x + 3y + 5z = 11 ,

3x + 15y - 4z = -8 ,

x - 5y + 6z = 29 ;

-2x+y- 5z= 1 ;

x + y + 2z = 3 , 2x + 3y + 4z = 4 , 5x - 4y - 3z = 20. 6) Una concesionaria de autos vendió en el año 1991 cuatro veces más autos grandes que pequeños y en el año 1992 vendió tres veces más autos pequeños que grandes. Se supone que el precio promedio de venta de los autos pequeños es de $ 5.000 y el de los autos grandes es de $ 8.000. Se solicita que responda a las siguientes preguntas: (i) ¿Cuál es la razón de la venta (en pesos) del año 1992 respecto del año 1991 si, en ambos años, se vendieron el mismo número de autos?; (ii) ¿Cuál es la razón de la venta (en pesos) del año 1992 respecto del año 1991 si el número de autos que se vendieron en el año 1992 es ocho quintos de lo que se vendieron en el año 1991?; (iii) ¿Cuál es la razón de la venta (en pesos) del año 1992 respecto del año 1991 si se vendieron 1.000 autos en el año 1992 y 800 autos en el año 1991? Ayuda: plantee un sistema de ecuaciones que incluya todos los casos contemplados, suponiendo que: G2 (G,) es el número de autos grandes vendidos en el año 1992 (1991); P2 (P,) es el número de autos pequeños vendidos en el año 1992 (1991); N 2 (N 1 ) es el número de autos vendidos en el año 1992 (1991); V2 (\/,) es la recaudación (en pesos) de autos vendidos en el año 1992 (1991). Deduzca que se tiene la relación V2

115 N 2

TI 148 N, y luego obtenga la solución para todos los casos planteados.

fi I I I X

l uil

II

mili. 1

1

II

Hl

l Ill WYrW II

112 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

7) Un vendedor de telas gana el 30% sobre el precio de costo; pero un día descubre un metro defectuoso que hace aumentar sus beneficios al 33%. ¿Cuánto mide en realidad el metro defectuoso?

8) Determine los resultados de cada partido si la posición final de un cuadrangular de fútbol es la dada por la siguiente tabla en la cual se tiene en cuenta que:

(a) J, G, E y P representan la cantidad de partidos jugados, ganados, empatados y perdidos, respectivamente; (b) GF y GC representan la cantidad de goles a favor y en contra, respectivamente; (c) El puntaje es la suma de los puntos obtenidos en el torneo a razón de 3, 1 y O puntos por partido ganado, empatado y perdido, respectivamente.

Resultados Equipos

J

G

E

P

GF

GC

PUNTAJE

A

3

3

0

0

7

2

9

B

3

2

0

1

3

3

6

C

3

0

1

2

3

6

1

D

3

0

1

2

0

2

1

Mil

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS • 113

Respuestas Trabajo Práctico 1)

(i) x = 2 , y = -1

(ii) x = 2 , y = O

iv) incompatible

(y) indeterminado ;

(vii) x = 1 , y = - 3

2)

;

(iii) x = 7 , y = 1

;

1 • (vi) x = 1 y = — 2 ' 3

(viii) x = 7 , y = 3 .

(i) a = 2 : indeterminado , a

2 : única solución x = O , y = 2a ;

ii) única solución VaER:x=1,y=0; (iii) a = O ó b = O : el sistema no está definido , aOyb

O :únicasoluciónx=a,y=b;

(iv) a = b : indeterminado , a

b: única solución x=a+b,y=a-b;

(y) a = O ó b = 0 : el sistema no está definido , aOybO:Unicasoluciónx=a,y=b; (vi) a = O ó b = O : el sistema no está definido , a y b O: a = b : indeterminado , a = -b : incompatible , a b : única solución x =

ab b+a

Y

3)

(i) x = -1 , y = -3 ;

4)

(i) 231 y 99 ;

(ii) 40 gallinas y 20 conejos ;

(iii)

4 puertas y 26 ventanas

(iv) 30 y 75 ;

(y)

25 v 5 . 6 6

(vi) Luis tiene $52 y José $44 .

5)

(ii) x = -2 , y = -1 ;

ab 677- a '

(i) x = 1 , y = -2 , z = 3

(iii) x = 5 , y = 4

(ii) x = -5 , y = 1 , z = 2

(iii) x = 3 , y = -2 , z = 1 6)

(i) " 148

...

.

tii\

575

( " 0 592 •

37

8) Los resultados de los partidos son los siguientes: A: 2

vs

B: O

; A: 4

vs

C: 2 ;

A: 1

vs

D: O

; B: 2

vs

C: 1 ;

B: 1

vs

D: O

; C: O

vs

D: O.

41 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO A continuación se enunciarán propiedades elementales correspondientes a rectas, ángulos, circunferencias y cuadriláteros. En cambio, los triángulos serán tratados con más detalles, sobre todo lo referente a los Teoremas de Thales y de Pitágoras, relaciones trigonométricas y la resolución de triángulos rectángulos. Las nociones elementales de la Geometría del plano como asimismo las demostraciones más simples se suponen conocidas o se dejan como ejercicio. Se designarán las rectas (también los segmentos) con letras minúsculas, los ángulos con letras mayúsculas o griegas. Por ejemplo, en un triángulo, "a", "b", "c" son las longitudes de los lados, y "A", "B", "C", los ángulos opuestos correspondientes; en un cuadrilátero ABCD los vértices consecutivos están en ese orden, y los lados a, b, c, d, también a partir de AB = a (se indica con AB la medida del segmento AB). 4.1. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO

♦ Propiedades de rectas y ángulos Definición 1. (i) La bisectriz de un ángulo divide a éste en dos partes iguales. (ii) La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Proposición 1. Si dos rectas paralelas a, b, se cortan por una secante c, entonces, ver Figura 4.1: 1) los ángulos alternos internos 3, 5 son iguales; 2) los ángulos alternos externos 1, 7 son iguales; 3) los ángulos correspondientes 1, 5 son iguales; 4) los ángulos colaterales internos 4, 5 son suplementarios; 5) los ángulos colaterales externos 1, 8 son suplementarios. Proposición 2. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos son: iguales si ambos son agudos, menores de 90°, o ambos son obtusos, mayores de 90, y suplementarios, si uno es agudo y el otro obtuso, ver Figura 4.2.

(aiib)

Figura 4.1

(

a II b) II cl)

Figura 4.2

116 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Proposición 3. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos o ambos son obtusos; y suplementarios, si uno es agudo y el otro obtuso. Proposición 4. 1) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares. 2) Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de las rectas que forman el ángulo y recíprocamente. Proposición 5. Si por el punto medio de un segmento se traza una perpendicular (mediatriz) sus puntos equidistan de los extremos del segmento, y recíprocamente. _i Propiedades en la circunferencia Proposición 6. 1) El diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta y a los arcos correspondientes en dos partes iguales. 2) La tangente en un punto es perpendicular al radio correspondiente a ese punto y recíprocamente. Proposición 7. 1) Las posiciones relativas de dos circunferencias en un plano son: exteriores (con intersección vacía), tangentes exteriores (se intersectan en un solo punto), secantes (se intersectan en dos puntos diferentes), tangentes interiores (se intersectan un un solo punto), interiores y concéntricas (con intersección vacía). 2) Si dos circunferencias son tangentes exteriores o tangentes interiores, el punto de contacto está

alineado con los centros. 3) Si dos circunferencias son secantes, la recta que une los centros es mediatriz de la cuerda común. 4) Si dos circunferencias tienen centros O y O', y radios r y r', respectivamente, y si d=00' es la distancia entre los centros O y O', entonces se verifica: (a) d > r + r'

si son exteriores ;

(b) d = r+r'

si son tangentes exteriores ;

(c) r - r' < d < r + r' :

si son secantes ;

(d) d = r - r'

si son tangentes interiores ;

(e) d < r - r'

si son interiores ;

( f) d = O

si son concéntricas .

Proposición 8. 1) En la circunferencia de radio unidad la medida de un ángulo central (formado por dos radios) es la del arco que abarca. 2) La medida de un ángulo inscripto, formado por dos cuerdas, es la mitad del ángulo central correspondiente al mismo arco. Se pueden presentar varios casos, a saber (ver Figura 4.3) : (a) el ángulo está formado por una cuerda y un diámetro; (b) las cuerdas están en diferentes semicírculos ; (c) las cuerdas están en el mismo semicírculo. Observación 1. La ecuación analítica de la circunferencia en el plano será vista en el Capítulo 7.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 117

(b)

(a)

(c)

Ji Triángulos Definición 2. En el conjunto de los triángulos, polígonos de tres lados, se definen los siguientes casos

particulares. 1) Equiláteros: tienen los tres lados iguales. 2) Isósceles: tienen dos lados iguales. 3) Rectángulos: tienen un ángulo recto; es decir, 90°

Figura 4.4

A

Teorema 9.

1) Propiedad fundamental. La suma de los ángulos interiores de un (b)

triángulo es igual a dos ángulos rectos,

(c)

es decir, 180° (ver Figura 4.4.). 2) El ángulo exterior de un Figura 4.5.

triángulo (el adyacente a uno de sus ángulos) es igual a la suma de los dos ángulos no adyacentes (ver Figura 4.5) Demostración:

A

1) Se verá la prueba de este importante resultado de la geometría del plano a través de dos métodos diferentes. El primero, ver Figura 4.4.(a), consiste en trazar desde el vértice A del triángulo ABC una recta paralela al lado opuesto BC. Teniendo en cuenta la igualdad de ángulos alternos internos se tiene que la suma de los ángulos interiores es un llano (2 rectos). El otro método consiste en considerar la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, ver Proposición 12, más abajo, y la Figura 4.4 casos (b) y (c), según sea el caso en que el centro de la circunferencia pertenezca o no al triángulo. Utilizando la Proposición 8 (2) se tiene que la suma de los ángulos interiores del triángulo es la mitad de dos llanos, es decir 180°, pues LA=

, LB =

, L C = 2 con a +

p

+ -y = 360°. 2) Como, a + R + -y = 180° por ser ángulos interiores al triángulo ABC y además y + 6 = 180° por ser ángulos adyacentes, son suplementarios, entonces 8 = a + p (ver Figura 4.5). Proposición 10. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales (triángulos isósceles) y a mayor lado se opone mayor ángulo. Proposición 11. Dos triángulos ABC y A'B'C', de lados a, b, c y a', b', c', respectivamente, son iguales (congruentes) si se tiene uno de los siguientes casos:

118 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

1) los tres lados iguales a sus homólogos: a=a', b = b', c = c'. 2) dos lados iguales a sus correspondientes y el ángulo comprendido : b = b', c = c', A-A' 3) un lado igual a su homólogo y los dos ángulos contiguos a ese lado: a = a', B =B', C = C'. Definición 3. 1) Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos interiores;

2) las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a los mismos, que pasan por sus puntos medios; 3) las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuesto del mismo; 4) las alturas de un triángulo son las distancias de cada vértice a la recta que incluye el lado opuesto. Proposición 12. En un triángulo se tienen los siguientes puntos notables:

1) Las bisectrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado incentro, que resulta ser el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo. 2) El punto de intersección de las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro, que resulta ser el centro de la circunferencia circuncripta al mismo.

3) El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama baricentro, o centro de gravedad, del mismo; su distancia a cada vértice es el doble de su distancia al punto medio del lado opuesto. 4) El punto de intersección de las rectas que incluyen a las alturas de un triángulo se llama ortocentro del mismo. _1 Cuadriláteros Definición 4. En el conjunto de los Cuadriláteros, polígonos de 4 lados, se definen los siguientes

casos particulares:

1) Trapezoides: no tienen ningún par de lados opuestos paralelos. 2) Trapecios: tienen un par de lados opuestos paralelos. 3) Paralelogramos: tienen los dos pares de lados opuestos paralelos. Dentro de los paralelogramos se tienen los subconjuntos siguientes: 4) Rectángulos: tienen cuatro ángulos rectos. Son cuadriláteros equiángulos. 5) Rombos: tienen cuatro lados iguales. Son cuadriláteros equiláteros. 6) Cuadrados: rectángulos y rombos a la vez. Proposición 13. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero vale cuatro ángulos rectos, es

decir, 360°. Demostración. Se divide al cuadrilátero en dos triángulos y, como la suma de los ángulos interiores

del cuadrilátero es igual a la suma de los ángulos interiores de los dos triángulos, se tiene el resultado por utilización de la propiedad fundamental de los triángulos.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 119 Proposición 14. En todo trapecio la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos es paralela a las bases, se llaman así a los lados paralelos, y de longitud igual a la semisuma de éstas.

Demostración. Por ser E, F, puntos medios de los lados AD, BC, de los triángulos ABC, ACD, respectivamente, en que se ha descompuesto el trapecio, los segmentos EM, FM, paralelas medias respecto de las bases coinciden en el punto M, y además, como, ver Figura 4.6:

BA 2

(1)

, EM = CD 2

entonces se tiene E74

(2)

_ BA + CD _ — EF 2

Proposición 15. En todo paralelógramo se verifica, ver Figura 4.7:

1) Los lados opuestos son iguales. 2) Los ángulos opuestos son iguales. 3) Las diagonales se cortan en su punto medio I. Recíprocamente, un cuadrilátero es un paralelógramo si se cumple una sola de las condiciones anteriores. 1), 2), 3). Proposición 16. Si las diagonales de un paralelógramo son:

1) iguales, entonces es un rectángulo; 2) perpendiculares, entonces es un rombo; 3) iguales y perpendiculares, entonces es un cuadrado.

4.2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES Definición 5. Dos segmentos son proporcionales a otros dos cuando la razón de las medidas de los dos primeros es igual a la de los dos últimos.

Ejemplos:

t A 1

A'

1

1

I 1

I I

i

B 1

I

1

1

C'

b'

Los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos A'B' y C'D', pues:

AB CD

3 4

A'B' C'D'

6 8

3 4

1

D'

111115

II ha

120 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Definición 6. Dos triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos respectivamente iguales y los lados homólogos proporcionales, es decir, ver Figura 4.8.

(3)

ABC-

A' B' C'

<=>

=

R = R'

=

a b c -á' =

7=7'

c'

Figura 4.8. Proposición 17. Dos triángulos iguales y dos triángulos equiláteros son triángulos semejantes. Demostración: es una aplicación directa de la definición de semejanza de triángulos. Casos de semejanza de triángulos: dos triángulos son semejantes cuando:

1) tienen respectivamente proporcionales dos lados e igual el ángulo comprendido; 2) tienen respectivamente iguales dos ángulos; 3 tienen respectivamente proporcionales los tres lados; 4) tienen respectivamente proporcionales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos iguales. Teorema de Thales. Si varias paralelas cortan a dos rectas de un plano, los segmentos determinados en una de éstas son proporcionales a los correspondientes de la otra, es decir, ver Figura 4.9:

(4)

Figura 4.9.

_AB ' " BC

r // r // r

A'B' B'C'

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 121

Demostración. Por los puntos A y B se trazan los segmentos AB" y BC"que son paralelos entre sí a la transversal A'C'. Por lo tanto, los cuadriláteros AA' B' B" y BB" C' C " son paralelogramos, pues los lados opuestos son paralelos por hipótesis y por construcción. Por ende, se deduce que A'B' = AB" y B'C' = BC".

Por otro lado, los triángulos BAB" y CBC" son semejantes, pues tienen los tres ángulos iguales. Entonces se obtiene AB BC

AB" A' B' BC" B' C'

que resulta ser la tesis (4). Corolario 1 del Teorema dThales . Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales; es decir, ver figura 4.10

A (5)

AD _ AD' DB D' C

DD'// BC

Figura 4.10 Demostración Por el vértice A del triángulo ABC se traza una paralela al lado opuesto BC; por lo

tanto, la tesis es obtenida por aplicación directa del Teorema de Thales. Corolario 2 del Teorema dThales. En todo triángulo la bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto

en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados; es decir, ver Figura 4.11.

(6) a

p

BA BD DC AC

Demostración. Se prolonga el segmento AB y por el vértice C del triángulo ABC se traza una recta paralela a la bisectriz AD del ángulo A. Dichas dos rectas se intersectan en el punto E; ver Figura 4.11.

.. ,... 1

JI

III

IYr~ ~ VIwYYIIVI r+

122 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

El triángulo CAE es isósceles pues a =13 al ser AD la bisectriz del ángulo A. Por lo tanto, se tiene que AE = AC y la tesis se obtiene por aplicación directa del Corolario 1 del Teorema de Thales.

E

Figura 4.11 A

4.3 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

♦ El Teorema de Pitágoras y sus consecuencias Definición 7. Un triángulo se dice rectángulo cuando uno de sus ángulos interiores es recto (901. Se llama hipotenusa de un triángulo rectángulo al lado opuesto del ángulo recto. A los otros dos lados se les llama catetos. Teorema de Pitágoras. El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

c2 = a2 + b2 .

(7)

Demostración. Se consideran los siguientes dos cuadrados con iguales áreas, ver Figura 4.12.

Figura 4.12. D

b

D'

a

b

a

a

b

C'

a

a

a ..-**------'-------------------b --...

a

y c

b

b

A COMO :

a

a c2 +

A ".

A' ab _ c — 2 + 2ab = área ABCD = área A'B'C'D' =

a

b

B'

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 123

b2 + a2 + 4

= b2 + a2 + 2ab

—

se deduce (7). Corolario 1 del Teorema de Pitágoras. La altura h y el área A de un triángulo equilátero de lado L

están dados respectivamente por: (8)

h

(9)

A=

L2 /—

Demostración. Se consideran el triángulo equilátero ABC de lado L y altura h. El triángulo CDB es rectángulo siendo la hipotenusa L y sus dos catetos h y L/2. Aplicando el Teorema de Pitágoras puede calcular la altura en función del lado L como, ver Figura 4.13.

h

L2

Figura 4.13.

Por lo tanto, el área del triángulo ABC viene dada por la siguiente expresión: A = área ABC = z 2 -L

2

= L2 -Já . 4

Corolario 2 del Teorema de Pitágoras. La diagonal d de un cuadrado de lado L está dada por: (1 o)

d=L

Demostración. Se consideran el cuadrado ABCD de lado L y su diagonal d. El triángulo DAB es rectángulo siendo la hipotenusa d y sus catetos L. Aplicando el Teorema de Pitágoras se puede calcular d en función de L de la siguiente manera, ver Figura 4.14

d=

+ L2 =,12L2 =L

D

o

L

L

Figura 4.14 L

1

11

141 11

111114

1

1

III

1

ll1I III

II IIl

1

111111

ilII Mit

124 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

( n E %) mediante la aplicación del Se tiene la siguiente representación gráfica de los números Teorema de Pitágoras a sucesivos triángulos rectángulos en los cuales uno de sus catetos es 1. Se comienza

con el rectángulo de catetos 1 e hipotenusa

,

ver Fip ura 4.15

Figura 4.15.

J Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

Se verán relaciones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, en particular, el Teorema de Pitágoras, a través de una metodología diferente a la utilizada anteriormente, es decir, a través de la semejanza de triángulos. Por otra parte, la primera propiedad se volverá a demostrar más abajo, con la utilización de trigonometría.

Proposición 18. Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la

misma. Demostración. Sea el punto H el pie de la perpendicular sobre BC que pasa por el punto A, ver A

Figura 4.16. De la semejanza entre los triángulos ABC y ABH se deduce AB = ,BH es decir: BC AB

A (11)

AT32 = BC BH .

En forma análoga, se tiene:

(12)

p72 = BC HC

•

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 125

Corolario 19. Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de

la hipotenusa. Demostración. Sumando las relaciones anteriores, (11) y (12), se deduce: (13)

An2 + AC2 = BC

+ BC HC = BC ( BH + HC ) = BC 2

Corolario 20. La altura sobre la hipotenusa es medio proporcional entre los dos segmentos en que la divide. Demostración. Surge de la semejanza de los triángulos ABH y AHC. 4.4 RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

Se verán relaciones métricas en un triángulo cualquiera como ser el Teorema del Coseno y las fórmulas de Herón y de Stewart. Teorema del Coseno. 1) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el duplo del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. 2) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros más el duplo del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Demostración. 1) Por el Teorema de Pitágoras se

tiene, ver Figura 4.17. c2 = h2 + (a - HC ) 2 = ( b2 - HC2 ) +12 + HC2 - 2a HC ) (14)

Figura 4.17. a

= a2 + b2 —2aHC

2) Por el Teorema de Pitágoras se tiene, ver Figura 4.18.

h

c2 = h2 + ( a + HC ) 2 = (b2 - HC2 ) + ( a2 + HC2 + 2a HC ) (15)

= a2 + b2 + 2a HC Figura 4.18.

C

Teorema 21. Cálculo de una altura en un triángulo, conociendo sus lados; se tiene:

(16)

ho

( p - a ) (p - b) (p - c) ,

donde ha es la altura el triángulo ABC respecto del lado a, y p en el semiperímetro del triángulo de lados a,

b y c. Demostración. Se considerará el caso en que el ángulo C es agudo, ver Figura 4.17. Teniendo en cuenta que de (14) se obtiene:

• III VI V

1111 1h

126 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

a2 + b2 - c2 2a

CH —

la aplicación del Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ACH, h a=h es la altura del triángulo ABC respecto del lado a y las relaciones, p es el semiperímetro del triángulo de lados a, b y c:

p _ a= b+c-a

p= a + b + c

2

2

(17) p -b =

a+c-b 2

pc = a + b - c 2

se deduce: h

2

(18)

= b2 CH 2 — b2

( a2 + b2 _ c2 )2 (2ab) 2 - (a 2 +132 - c2 ) 2 _ 2a 4a2

—

(2ab + a2 +132 - c2) (2ab - a 2 - b2 + c2 ) = [(a + b) 2 - c2 ] [c2 - (a - b) 2 ] 4a2

4a2

(a +b+c)(a+b-c)(c +a-b)(c+b-a)4p(p-a)(p-b)(p-c ) a2 4a2 A

es decir (16) que expresa la altura h a , del triángulo ABC respecto del lado a, en función de sus tres lados a, b y c. Corolario 22. El área del triángulo es la mitad del área del paralelógramo que lo contiene, es decir, la mitad del producto de su base por su altura. Por lo tanto, un triángulo cualquiera tiene por área:

(19)

1 A = 7 ah a =

(Fórmula de Herón)

( p - a ) (p - b) (p - c) ,

que expresa el área del triángulo ABC en función de sus tres lados a, b y c . Teorema 23. Fórmula de Stewart. Permite calcular la distancia de un vértice A a un punto cualquiera D del lado opuesto BC, llamadas cevianas, en un triángulo ABC. Si x= BD, y = DC; es decir, a = BC = x+y, entonces se tiene, ver Figura 4.19. A (20)

a AD2 = b2x + c'y - axy

Demostración. Si se tienen en cuenta las relaciones

(21)

(1) c' = x 2 + AD' + 2x DH , i)

= y' + AD 2 - 2y DH ,

se multiplica la (21 i) por x, y la (21ii) por y, se suman ambas igualdades y se obtiene: (22)

b2 x+c2 y=AD 2 (x+y)+xy(x+y)

Figura 4.19.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 127 y por ende la fórmula (20) .

Corolario 24. Se puede aplicar la fórmula anterior al cálculo de:

1) las medianas en función .de los lados : Al ser D el punto medio del segmento BC se tiene x = y =

, y por lo tanto se deduce (m a es la

mediana que une A con el punto medio de BC)

(23)

am a2 = a AD 2 = b2 -1 + c2

2

- a ( a )2 2 2

es decir:

(24)

m _ 12 ( b 2 + c2) -a2 a 2

2) Las longitudes de las bisectrices interiores de un ángulo hasta el lado opuesto en función de los lados: Aplicando el Teorema de Thales, las longitudes x,y son proporcionales a los lados c, b; teniendo en cuenta las propiedades de las proporciones se deduce:

x_Y_x+Y c b b+c

(25)

Por lo tanto, teniendo en cuenta que x+ y = a, se obtiene que:

(26)

ab

ac (i) x = b + c

(ii)

b+C

de donde surge (V a es la longitud de la bisectriz del ángulo A hasta el lado opuesto)

(27)

a3bc b2ac+c2ab Vaa .a = b+c b + c (b + c) 2

y por ende se obtiene la expresión :

.\11pc[(b+c)2— a2

(28 )

(b+c)

] Vbc(b+c + a)(b +c — a) 2-Vbcp(p — a) (b+c) (b+c)

I

■

,

1111111i.•

I

nl II iildl

II h

II

1

N

III I Jai

128 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 4.5. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se considera un triángulo rectángulo ABC de lados a,b,c y ángulos (x., p , y = 90°, ver Figura 4.20, B hipotenusa: c = 31a2 + b 2 +

Figura 4.20.

= 90°

Se pueden formar 6 razones con los tres lados a,b,c a saber :

(30)

a

b c

-c-

a b

-a-

a

Es interesante analizar lo que ocurre con estas razones cuando varían los lados o los ángulos del triángulo rectángulo.

Proposición 26. Las seis razones entre pares de lados en un triángulo rectángulo se mantienen estas razones dependen del ángulo y no de los lados. constantes mientras un ángulo agudo es constante, y varían al variar el ángulo. Es decir,

Demostración. Se analizará lo que sucede con la razón -.1 , los otros cinco casos se estudian de una

manera análoga. a) En función de los lados: se consideran los siguientes triángulos rectángulos semejantes al variar los lados, es decir, ver Figura 4.21. A ABC

(31)

A AB 1 C 1

A - AB 3C3 AB2C2

..--

I

la

(32)

b

a a 1 = _J.= _3 a C

C1

C2

C3

I .,

c2 „,„, --1bil. ....-

Figura 4.21.

con lo cual se tiene que:

c

C

b1 C 1 b2

I

I

la2

la3

02

b3

C3

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 129

Por lo tanto, la razón

no depende de la longitud de los lados.

.?. .. ,L b) En función de los ángulos: se consideran los triángulos rectángulos ABC, AB,C,, AB 2C2 que tienen igual hipotenusa c y distintos ángulos a, Ot i y U 2 , respectivamente, ver Figura 4.22. B2

Se tiene que: 01 1 < U. < U

(33)

2

al < a < a2 Por lo tanto, se deduce

(34)

aa _, < _
c

que dice que la razón -1. crece al crecer el ángulo

c

a,

con lo cual depende del ángulo.

Cada una de las seis razones consideradas anteriormente es un número que recibe un nombre especial, de ahora en más se denotará con h a la hipotenusa del triángulo rectángulo. Definición 8. Se definen las siguientes relaciones trigonométricas, ver Figura 4.23, en un triángulo rectángulo de catetos a y b con: B

hipotenusa : h = Va 2 + b 2 r3 = 90°- a

Figura 4.23.

11111111 .1111.1,1

111 ;I 1

1111

111

11111 1 ,

l

II

Il

Ilii

130 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

sen

(a)=

_ a cateto opuesto hipotenusa

h

;

se lee seno de

(Y ;

= cateto adyacente ; se lee coseno de a ; hipotenusa

cos (u)=

\ a cateto opuesto se lee tangente de tg ("")- b — cateto adyacente ' (35)

a,

b cateto adyacente _ 1 — ; se lee cotangente de cotg (a), — cateto opuesto a tg(a)

cosec (a).--

sec

(a)

h — hipotenusa a cateto opuesto

hipotenusa — b cateto adyacente h

(Y ;

1 ; se lee cosecante de u ; sen(u) 1 ; se lee secante de cos(a)

a;

Observación 2. De las seis relaciones trigonométricas definidas anteriormente las tres más importantes son: (36) sen (a) , cos (a) , tg (a)

Además, la tercera puede obtenerse de las otras dos, pues:

(37)

tg (u)

a _ bb cos (a) h

Observación 3. El estudio de las respectivas relaciones trigonométricas y en particular su representación gráfica se realizarán en el Capítulo 7, previamente en el Capítulo 5 se efectuará el estudio abstracto de la noción de función matemática. En el presente capítulo la trigonometría es utilizada al solo efecto de la resolución de triángulos. Teorema 27. Relación trigonométrica pitagórica. Sea (y un ángulo agudo. Se tiene la siguiente relación entre el sen (a) y el cos(a), dada por: (RTP)

sen 2 (a) + cos 2 (a) = 1 ,

V a

Demostración. Teniendo en cuenta la relación entre la hipotenusa h y los lados a, b, Teorema de Pitágoras, y las definiciones del sen (a) y cos (a), se deduce, a=h sen (a), b = h cos (a): h 2 =a2 + b2 = h2 sen2 (a) + h 2 cose

(a) =

h2 (sen 2 (a) + cos 2 (a)),

es decir, la relación (RTP) simplificando por h 2 # O 4.6 EL RADIÁN La trigonometría plana, como se enseña en la Escuela Secundaria tiene el objetivo principal de resolver los triángulos planos. Debido al hecho de que cada triángulo está constituido de 6 elementos,

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 131

3 lados y 3 ángulos, resolver un triángulo significa determinar los elementos incógnitos del triángulo cuando se conocen algunos elementos o ciertas relaciones entre algunos de ellos. Como los lados y los ángulos pertenecen a dos tipos diferentes de magnitudes, la trigonometría introduce las relaciones trigonométricas; por ejemplo: seno, coseno y tangente, para poder operar sobre ellos. Desde la antigüedad los ángulos se miden en grados. El ángulo recto se divide en 90 partes iguales (una de estas partes se refiere a un grado). El ángulo recto se divide en 90 grados, cada grado se divide en 60 minutos, cada minuto se divide en 60 segundos'; para los ángulos más pequeños se usa hablar de décimas, centésimas, etc, de segundo. En Matemática es indispensable la medida de los ángulos en radianes, será un número real y no un grado, para que los lados y ángulos de un triángulo puedan ser ambos medidos a través de números reales, lo cual será fundamental para la resolución de triángulos y el estudio de gráficas de funciones que se realizará en el Capítulo 7. Definición 9. Se llama circunferencia trigonométrica a la circunferencia de radio unitario. Definición 10. Un radián es el ángulo al que le corresponde un arco unitario sobre la circunferencia trigonométrica, una vez rectificado. Si la circunferencia fuese de radio r (r rel="nofollow"> 0), entonces al ángulo de un radián le corresponde un arco que, una vez rectificado, es igual al radio (ver Figura 4.24)

X S C1=-= 1 r

-

_

-

Figura 4.24.

Teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia trigonométrica es 2 ir resulta entonces que 360° = 2ic radianes y de allí se deduce que, si x: medida del ángulo en radianes,

(38)

g: medida del ángulo en grados,

TE = 3,14159...)

I

I

i

1‘1111

u lli

,

Il

u

-

I u

¡Hl

li

1

Ii1L YJY I ¡lidié

111111

1

132 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA entonces se tiene la relación: x = 2 TC

(39)

It 180

360

de donde se obtienen para ángulos característicos las siguientes relaciones:

x

g

x

g

0

0°

re

180°

rc/ 4

45°

3ir /2

270°

/2

90°

2n

360°

Ejemplos:

1°

0,01745 radianes

1 radián

57,2958° = 57 9 17'45"

Definición 11. Teniendo en cuenta que un ángulo es la parte del plano que se barre al hacer girar una semirrecta sobre su origen, se dice que el ángulo es: 1) positivo cuando la semirrecta gira en sentido antihorario, 2) negativo cuando la semirrecta gira en sentido horario.

4.7 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS PARTICULARES De las siguientes dos figuras (ver Figura 4.25. i , ii):

(i)

-2-

Figura 4.25,

Z

se pueden deducir los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos particulares de 30° = rc /6 radianes, 60° = ru /3 radianes y 45° = 1t / 4 radianes, a saber: sen H = cos (Z)=1 6 3 2

sen ( 7. ) , cos (L)- 23 3 2

ir sen (d

, tg (t) sen 1/ ?g

(40)

tg et 6) - cos

1

( 9 Vá/2 - Alá

1 ___,1 sen(4 —) - - cose+— 4 - [22 ir

ir (7)

,,,f2 _ ,\,/

cos (n) 7

3

1/2

sen (

,

tg ( 4Tc )-

cos

9 4 Tu

H4

_

j/2 2/2 7--

=1

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 133 Cuando el ángulo es 00 , se tienen: (41)

sen(0) = O ,

tg(0)= sen (0) = o cos (0)

cos(0) = 1 ,

y cuando el ángulo es recto: (42)

72 =1 , sen ( -1)

O , Btg(1-)

12 cos ( -L)

4.8 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Proposición 28. Si el ángulo a es agudo (0< a

<j)

entonces se tienen las siguientes propiedades:

1)

O < sen (a) < 1 , O < cos (a) < 1 , tg (a) > O ;

2)

sen2 (a) + cos 2 (a) =1 , tg (a) = sen (a) cos (a)

, 1 + tg 2 (a) -

1 cos2 (a) '

3) el sen (a) y la tg (a) crecen al crecer el ángulo a de O a 15- ; el cos (a) decrece al crecer el 2 ángulo a de O a 2. Demostración. 2) Las dos primeras igualdades ya fueron establecidas en (RTP) y (37), respectivamente. Por otra parte se tiene:

(43)

1 + tg 2 (a) = 1 +

sen2 (a)_ cos2 (a) + sen 2(a) 1 cos2(a) cos2 (a) cos2(a)

Las propiedades 1) y 3) se deducen de la Figura 4.26.

sen (a) =

(44)

a =a 1

cos (a) = 4 1 =b A ci a =— AB tg (a) = — = d pues ABC - AB'C' b

C C'

1 Figura 4.26 Además se tienen las siguientes desigualdades: (45)

sen (a) = a < a < d = tg (a) , V a

Las definiciones anteriores se extienden, se prolongan, inmediatamente al caso de ángulos O 5_ a < 2n . Teniendo en cuenta la circunferencia trigonométrica, el plano a través de un sistema de ejes cartesianos ortogonales, y las convenciones clásicas sobre los signos, según sea el cuadrante considerado, se pueden definir las funciones trigonométricas de la siguiente manera (ver Figura 4.27):

1111114 ida i

11111111

I

in Idl V. .0ill 111

11111111.1p

I

i

134 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Figura 4.27. sen ((x) = a > O , sen ((3) = (46)

> O , sen(y) = a, < O , sen

= a3 < O ;

cos (a) = b > O , cos (p.) = b 1 < o , cos (y) = b 2 < O , cos (8) = b 3 > O ; tg (a.) = -1> O , tg (13) =

ai

a a < O , tg (-y) =.1-1 > O , tg (8) = 3 < O Ij2

pl

Por otro lado , como cos (

2

= O , entonces tg (

2

b3

no existe .

Más aún, se pueden considerar ángulos cy 2n. Pero, es obvio, que en los sucesivos giros de la semirrecta alrededor del punto origen de coordenadas, ésta coincidirá con la semirrecta a la cual le corresponde a un ángulo O 5_ < 2n, de manera que 13 + 2nrc = a , con un adecuado n E ( n= número de vueltas). Por lo tanto, las funciones trigonométricas tendrán los mismos valores en los ángulos CV y 3 De manera análoga, se pueden tomar ángulos (Y. < O.

Observación 4. Es altamente recomendable para el cálculo de las relaciones trigonométricas de ángulos que no pertenezcan al primer cuadrante, realizar una reducción al primer cuadrante.

Se pueden obtener los siguientes resultados (algunos serán de gran utilidad en el desarrollo del curso, como por ejemplo, lo relativo a la suma y resta de ángulos):

Teorema 29. Se tienen las siguientes propiedades: 1) Relaciones trigonométricas de ángulos opuestos.

álN

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 135 sen ( a) = -

-

cos(-a) = cos (a) ,

sen (a) ,

(47) sen (-a) cos (-a)

tg (-a) =

sen (a) cos (a)

- tg (a)

2) Relaciones trigonométricas de ángulos complementarios. sen ( 7

= cos (a),

2 -

(48)

sen tg

-

-

cos (

— Te

k2

- a) = sen (a)

-a

/) - cos (a) _ 1 tg (a) sen(a) cos (2 - a\ ‘2 / 2

3) Relaciones trigonométricas de ángulos suplementarios. sen ( TE - a ) = sen (a) (49)

tg (TE -

a)

-

sen ( cos (

-

a

cos ( TE - a ) = - cos (a)

,

)

-a)

-

sen(a)_ -cosía)

tg (a)

4) Relaciones trigonométricas de ángulos que difieren en 90°: sen

+f

cos (a +

= cos (a) ,

= - sen (a) ,

50) 1 ) sen(a + 2=tg (a +II 2

-

2

7 cos (ex + J-)

_ cos (a) _ -sen (a)

1 tg (a)

2

5) Relaciones trigonométricas de suma y resta de ángulos. sen ( a + ) = sen (a) cos (0) + cos (a) sen (P) , sen ( a - R ) = sen (a) cos (p.) - cos (a) sen (p) , (51) cos ( a + p ) = cos (a) cos (3) - sen (a) sen ((3) , cos (a - p ) = cos (a) cos (p) + sen (a) sen (8) ,

-

sen(a+0) sen(a)cos( )+cos(a)sen(p) tg(a)+tg(p) tga+ cos(a+p) cos(a)cos(p) -sen(a)sen(p) 1-tg(a)tg((3)

(52)

sen(a—p) sen(a)cos( )-cos(a)sen(p) tg(a)—tg( 3 ) tg((1-13)- cos(a—p) - cos(a)cos( )+sen(a)sen( 8.) - 1 +tg(a)tg( )

■

• 114

i11114 4i1 /1

HI

• I , I . I !I , •1111Wilillbiliiii iii111, 1111iii

14 ¡I

!

136 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

6) Relaciones trigonométricas del ángulo doble sen ( 2a ) = 2 sen (a)cos

tg ( 2a )—

(a) ,

(53)

2 tg (a) 1 - tg 2 (a)

cos ( 2a ) = cos 2 (a) - sen2 (a) = 1 - 2 sen2 (a) = 2 cos2 (a) - 1

7) Relaciones trigonométricas del ángulo mitad

( 1 ) Ai

1 + os(a) c2

sen (-1 ) =

cos

tg (1) =

1— cos(a) sen (a)_ 1 - cos (a) 1+ cos(a) — 1 + cos (a) sen (a)

(54)

donde se debe elegir el signo + ó - según sea el cuadrante en que se encuentre el ángulo

8) Relaciones trigonométricas en función del ángulo mitad.

sen(a)=2sen(a/2)cos(a/2)— 2tg(a/2) 1+tg2 (a/ 2)

(55)

cos (a) = cos2 ( a / 2 ) - sen 2 ( / 2 ) _

tg (a)

1-tg (a/ 2) 1 + tg22 ( a / 2 )

2 tg ( a / 2 ) 1 - tg2 ( OL / 2 )

Observación 5. Si se nota con t = tg ( a /2) entonces se tienen las fórmulas paramétricas que expresan las 3 funciones trigonométricas fundamentales por medio del parámetro t, de la siguiente manera:

(56)

sen (a) — 2 t

1 + t2

cos (a) = 1 - t2 1 +t2

tg (a)

— 1 2 t t2

Estas fórmulas serán de gran utilidad para el cálculo de primitivas, integral indefinida, de funciones reales en las que aparezcan funciones trigonométricas.

En la siguiente Tabla se representan los valores de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de ángulos especiales.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 137

Angulo a en Grados

sen (a)

tg (a)

cos (a)

Radianes

0°

0

0

1

0

30°

n/6

1/2

-■, 3/ 2

-,J1 3 / 3

45°

n/4

-ñ / 2

-\ 2 / 2

1

60° 90°

n/3 n/2

V3 / 2 1

1/2 0

120°

2n/3

V3 / 2

-1/2

- V-3-

135°

3n/4

V2 / 2

- V2 / 2

-1

150°

511/6

1/2

- -13 / 2

- V-3 / 3

180°

11

0

1

0

210°

7n/6

-1/2

- VS / 2

V-3 / 3

225°

5n/4

--\/

- já / 2

1

240°

4n/3

--a- / 2

-1/2

Vá

270°

3n/2

-1

0

---

300°

5n/3

- V3 / 2

1/2

- V3

315°

7n/4

- V-2- / 2

-\. 2 / 2

-1

330°

11n/6

-1/2

360°

2n

0

1

-30°

-n/6

-1/2

-\, 3 / 2

-45°

-n/4

- -\/

-60°

-n/3

-90°

-n/2

/2

\/

,rá

/2

- -V3 / 3 0 — -13 / 3

-\,' 2 / 2

-1

- V3 / 2

1/2

- -J3

-1

0

---

/2

Por otra parte, utilizando el Teorema de Thales se deduce: Observación 6. La pendiente m de una recta en el plano, de ecuación y = mx + h, puede pensarse como la tangente trigonométrica del ángulo a que forma la mencionada recta con el semieje positivo de las x, es decir m = tg (a) (ver Figura 4.28.)

1

I

11

hall

138 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 4.9 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Si se conoce el valor de una de las relaciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, se desea encontrar el ángulo correspondiente.

1 entonces u = 30° ( = 6 radianes ). Ejemplo. Si sen (u) = — 2

Definición 12.1) La relación inversa del seno es el arc sen; arc sen(x) se lee "el arco cuyo seno es x". Se tiene:

(57)

sen (u) = x

a = arc sen (x) ,

V 1 < x < 1, -

-

2

< <

2

2) La relación inversa del coseno es el arc cos; arc cos(x) se lee "el arco cuyo coseno es x". Se tiene:

(58)

cos (a) = x

<=›

a = arc cos (x) ,

v -1

x < 1 , 0 < < Tu

3) La relación inversa de la tangente es el arc tg; arc tg(x) se lee "el arco cuya tangente es x". Se tiene:

(59)

tg (u) = x

= arc tg (x) ,

vxE(í8, -

2


2

Observación 7. Las relaciones, funciones, trigonométricas inversas tienen gran importancia en la resolución de triángulos rectángulos. Más detalles matemáticos se verán en el Capítulo 7. 4.10 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Los problemas de resolución de triángulos rectángulos consisten en calcular los lados y los ángulos de un triángulo conociendo algunos lados o ángulos como datos. También se puede calcular el área del triángulo. En la resolución de triángulos rectángulos, un ángulo es recto, según sean los datos, se pueden presentar cuatro casos, a saber: 1) La hipotenusa y un ángulo agudo ; 2) La hipotenusa y un cateto ; 3) Un cateto y un ángulo agudo ; 4) Los dos catetos. A

Se considera el triángulo rectángulo ABC con catetos a y b, hipotenusa h, ángulos agudos a y R un ángulo recto y y área A (ver Figura 4.29.). ,

Figura 4.29.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 139 Relaciones a utilizar : 1)

+(3= 90° ;

2) h 2 = a2 + b 2 ; 3) A _ ab 2 Teorema 30. En la resolución de triángulos rectángulos se presentan varios casos, a saber: Caso 1.

Datos

Incógnitas

h

a,b

a

A. 1) p = 90° - a

Solución. 2)

sen (a) =

a = h sen (a) ;

3)

cos (a) = t

4)

ab h2 A=— — sen (a) cos (a) . 2 =2

Irs =

Caso 2. Datos

b = h cos (a) ;

Incógnitas

Í3

a

b A.

Solución.

1) h2 = a2 + b2

b = A/h2 - a 2

2) sen (a) =

= arc sen(11-)

3) cos (p) = h

= arc cos( ha

ab a 4) A= 7 Caso 3. Datos:

,jh2 - a 2 a

,

Incógnitas b, h

a

A. Solución.

1) sen (a) =

h= k u

2) tg (a) = 3) (3 = 90° - ; 4) A

a ab a 7- 2 tg (u)

a2 - 2 tg (a)

- a tg (a)

a sen (a)

1111111

4111

140 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Caso 3 bis. Datos:

a

Incógnitas

a

b, h A Solución. 1) a = 90° - (3; 2)

tg (3) = b

3)

cos (p)

4) A

=h

= 2b = 2 a tg

Caso 4. Datos:

=

b = a tg (3)

=

h—

cos(3)

= 2-2 tg (3) 2

a

Incógnitas

b

Solución.

1) h 2 = a2 +b2 2) tg (a) 3) tg

h = -\/a 2 +13 2 ;

T a:

CV =

o

arc tg (t) ;

(3 = arc tg (t ) ;

a

4) A = ab 4.11 RELACIONES QUE SE VERIFICAN EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CUANDO SE TRAZA LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA Definición 13. 1) Se llama proyección de un punto sobre una recta al pie de la perpendicular trazada desde dicho punto a la recta, ver Figura 4.30.

TA Figura 4.30.

B A'

A' y B' son los puntos proyecciones de los puntos A y B sobre la recta r, respectivamente. 2) Se llama proyección de un segmento sobre una recta al segmento determinado por las proyecciones de los extremos del segmento dado, ver Figura 4.31.

E l I

Figura 4.31.

I

I

A'

B'

C

1

F 1 I

I

I.

E'

E

r

AB', C'D' y E'F' son los segmentos proyecciones de los segmentos AB, CD y EF sobre la recta r, respectivamente.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 141

Proposición 31. Si un segmento AB forma con la recta r un ángulo (x entonces la medida del segmento proyección A'B' está dada por la siguiente expresión, ver Figura 4.32.:

(60)

A' B' = AB cos (a)

Demostración.

r•C A'

B'

Figura 4.32. Sea A'B' el segmento proyección del segmento AB sobre la recta r. Se considera el triángulo rectángulo ., _ ____ _ _ — ABC con catetos a = BC y b = A'B', ángulo agudo a e hipotenusa h=AB. Por lo tanto A'B'=b=h cos (a) = AB cos(a). Si en un triángulo rectángulo ABC se traza la altura correspondiente a la hipotenusa se tiene la siguiente Figura 4.33.:

h Figura 4.33.

donde:

a + R = 90° (cos (a) = sen (i3) , cos (p) = sen (a) ) h : hipotenusa , ha : altura AD: proyección del segmento AC sobre la recta AB DB: proyección del segmento CB sobre la recta AB d: proyección del punto C sobre la recta AB = , a' =D , h=á+.

1..

1

142 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Teorema 32. Se tienen las siguientes relaciones: 1) La altura es medio proporcional entre los segmentos que determina en la hipotenusa, es decir: a'

(61)

ha

71a -

2) La altura es cuarto proporcional entre la hipotenusa y los catetos. es decir: h „ b a

(62)

3) Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa, es decir: (63)

( ii )

(i) h , a a'

h

b

b b'

Demostración. En primer lugar se pueden deducir las siguientes propiedades generales basadas en la proyección de un segmento sobre una recta.

A

En el triángulo rectángulo ADC se tienen las relaciones: (64)

b' = b cos (a)

h a = b sen (a) = b cos (I3)

A En el triángulo rectángulo BDC se tienen las relaciones: (65)

h a = a sen (p) = a cos

a' = a cos ((3)

(a)

En el triángulo rectángulo ABC se tienen las relaciones: (66)

b = h cos (a) = h sen (3) a = h cos (3) = h sen (a)

Entonces, se obtienen las siguientes propiedades: 1)

a' b' = a cos ((3) b cos (a) = a cos (a) b cos (Í3) = h a • h a = h a', es decir (61) ;

2)

h h a = h a cos (a) = h cos (a) a = b • a, es decir (62) ;

3)

i) h a' = h a cos ((3) = h cos ((3)•a = a a = a 2 , es decir (63i) ; ii) h b' = h b cos (a) = h cos (a) • b = b • b =b2 , es decir (63ii) ;

A Corolario 33. Se puede resolver el triángulo rectángulo ABC conociendo las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa. Caso 5. Datos

a'

b'

Incógnitas a, 3

a, b, h, ha

Hl

ti

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 143 Solución. 1) h = a' + b' (2)

h a 2 = a' b'

(3)

b2 = h: + (b') 2 = a' b' + (b') 2 = b' (a' + b')

(4)

a2 = h a2 + (a') 2 = a' b' + (a') 2 = a' (a' + b') = a = Ja'(a4b9 h a .v a, u , a = arc tg 7.\1W 157 \ tg (u) = 57 ,. a' \

(5)

h a = Ja' b' ; b = Vb'(a'+U)

o también: = a = arc cos ( I b' Va' +b' ) '

cos (a) = - vb. (ab:+b , ) -

tg (p) = ha = a'

(6)

b' —~

a'

a'

b'

[3=arctg

o también:

a'a' cos (p) =

a

a'

a' +b'

ja' (a'+b')

r3

-

arc cos

a' ) a'+b"

b A = 1=1 , 1 a' (a'±b').-Tb' (a' +b' ) = a ' +'

(7)

2 "

A Corolario 34. Se puede resolver el triángulo rectángulo ABC conociendo la altura relativa a la hipotenusa y un ángulo agudo.

Caso 6. Datos

Incógnitas

ha

(3 a, b, h, a', b'

a

A Solución: (1)

R = 90° - a ; ha

(2)

tg (ex) =

b = tg(a)

b' (3)

a'

tg (u) =

a' = h, tg (a) ; a

(4)

h = a' + b' = h a tg (a) + h a

= (tg ( u) ± 1 tg (a) )

= ha tg(a)

= ha

(5)

sen (a.) =

h

sen(a) cos(a)

cos(a) sen(a)

ab

= h a sen 2 (a) 005 2 (U)

cos(a) sen(a)

)

-

a

sen(a)

•

'

=

ha cos(a) sen(a)

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 145

Trabajo Práctico c se deduce las siguientes igualdades: 1) Verifique que de la proporción a = — b— d a =— b d= c (i) ad = bc ; (ii) — (iii) — • c d b a a+b c+d • (v i ) a-b _ c-d b d (iv) b d d a c v (viii) a - b c-d (ix) a+b a b _ c+d (vii) a+ b _ c+d a a cd -

Ayuda: en algunos casos conviene llamar X =

b d

2) Divida un segmento dado AB en n partes iguales, por ejemplo n=3, 4 y 5 3) Un triángulo ABC tiene por lados AB = 8 cm, AC = 5 cm y BC = 4 cm. Calcule la longitud de los segmentos determinados en AC por la bisectriz del ángulo B. 4) Una recta paralela a un lado de un triángulo determina, en otro lado del mismo, segmentos de 25 y de 17 cm. ¿Qué segmentos determina en el tercer lado que es de 60 cm ? 5) Dos lados de un triángulo tienen, respectivamente, 108 m y 126 m; desde el vértice común se toma una longitud de 80 m sobre el primero. ¿Qué longitud será preciso tomar en el segundo para que la recta trazada por los dos puntos así obtenidos sea paralela al tercer lado? 6) Calcule los segmentos AD, DC, CE, y EB, siendo AB=12 cm, AC = 6 cm, BC= 8 cm y DE = 8 cm (ver Figura 1)

Figura 1. 7) Calcule el perímetro del paralelogramo ADEF, siendo AB=1 O cm, BC=16 cm, AC=14 cm y BE= 4 cm (ver Figura 2).

Figura 2.

II

III

i

rh

1111.111ár

146 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

8) Un triángulo tiene por lados 9 m, 12 m y 15 m. ¿Cuáles son los lados de otro triángulo semejante de 72 m de perímetro? 9) Calcule la altura y el área de un triángulo equilátero de lado 3 m. 10) Calcule el lado de un cuadrado que tiene por diagonal 4 m. 11) Calcule la diagonal de un rectángulo que tiene por base 3 m y por altura 4 m. 12) En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. (i) ¿Cuál es la relación entre los 3 lados? (ii) ¿Cuál es la relación entre los cuadrados de los 3 lados? (iii) ¿Cuánto valen los dos catetos y sus cuadrados si la hipotenusa mide 9 m? 13) (i) Encuentre la medida en radiantes para los ángulos de 50°, 60°, 150°, - 30°, 55° y -48° (H) Encuentre la medida en grados para los ángulos de —L- L1 1 , 2 , 5 Te , 2 n radianes. 6 3' 4 3 14) Calcule el lado BC del triángulo isósceles BCD cuya base es de 148 m y el ángulo opuesto a esa base es de 50° (ver Figura 3). C

15) Resuelva los siguientes triángulos rectángulos, conociendo (ver Figura 4): (i) La hipotenusa h = 2.040 m y un ángulo agudo a. = 49°; (ii) La hipotenusa h = 985 m y un cateto a = 697 m; (iii) Los dos catetos a = 1.020 m y b =1.635 m; (iv) Un cateto a = 390 m y un ángulo opuesto cx = 54°; (y) Un ángulo agudo r3 = 38° y la altura h a = 72 m relativa a la hipotenusa; (vi) Las dos proyecciones b' = 64 m y a' = 81, que la altura determina en la hipotenusa.

Figura 4.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 147 16) Halle el ángulo que forman entre sí las diagonales de un rectángulo de lados 1,60 m y 0,95 m. 17) ¿Cuál es la altura h de un triángulo isósceles ABC cuya base AB mide 12 cm y el ángulo Figura 5)

4. 30°? (ver

D Figura 5. 18) Halle las longitudes x, z y los ángulos u., p en la siguiente figura (ver Figura 6):

4 z

X Figura 6. 19) Determine el valor de x en la siguiente figura (ver Figura 7): X

20) En la figura de abajo, el cuadrado CDEF tiene un área 4. ¿Cuál es el área del triángulo ABF? (Ver Figura 8.) A

C Figura 8.

1i I I

11

1

11

148 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

21) La siguiente figura está obtenida colocando las tres cuartas partes de una circunferencia de radio 4 cm

y centro en el punto O sobre un triángulo isósceles de altura 10 cm. ¿Cuál es el perímetro exterior en cm, de la figura dada? (ver Figura 9.)

Figura 9.

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 149

Problemas Complementarios

1) Un triángulo equilátero se dividió en triángulos iguales como muestra la figura. Uno de esos triángulos volvió a dividirse en triángulos equiláteros iguales. Por último uno de los triángulos pequeños se dividió en triángulos iguales y se pintó uno de cada tamaño. ¿Qué parte del triángulo grande representa lo pintado? (ver Figura 10).

2) (i) Los puntos A, B, C, y D son los centros de las circunferencias indicados en la figura. Los cuatro puntos están alineados y AD = 35 cm. ¿Cuál es el área de la zona sombreada, y su porcentaje respecto al área del círculo mayor? (ver Figura 11)

(ii) Calcule el área pedida en función del parámetro AD = a

3) Indique el valor de la expresión a + al siguiente dibujo (ver Figura 12)

p - y de acuerdo

4) En la figura, PS es un segmento que contiene el centro O de la circunferencia de radio r, PQ tiene longitud r. Si el
1,I!1

II

150 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

5) En la figura, PR = QR; < PRQ = 40 0 ; ° PTU = 25°. Halle la medida del < RST. (ver Figura 14)

6) ABCD es un cuadrado de 40 cm de lado. AC y BD son arcos de circunferencia centrados, uno en D y el otro en A. ¿Cuál es el perímetro y el área de la figura sombreada? (ver Figura 15)

7) ABCD es un cuadrado de 10 cm de lado. Se trazan dos arcos de circunferencia centrados uno en A y el otro en B, de radio AB. ¿Cuál es el área de la parte sombreada? (ver Figura 16)

8) En el cuadrado ABCD se dividió AC en cuatro partes iguales y OB en dos partes iguales. Considere todos los triángulos de la figura y determine cuáles tienen igual área. (ver Figura 17)

11111,1 1

11,1

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 151

9) Dibuje un triángulo rectángulo. En cada uno de sus lados trace un semicírculo cuyo centro sea el punto medio del lado y cuyo radio sea la mitad del lado correspondiente del triángulo: indique, justificando la respuesta, si es cierto o falso que: La suma de las áreas de los semicírculos sobre los catetos es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa. 10) Definición. Sean a y b números reales positivos. Entonces:

m= h=

a 2+

b : media aritmética de a y b ; g= 'ab: media geométrica de a y b;

11 a b

-

2 ab a2 + b 2 : media armónica de a y b; q : media cuadrática de a y b a+b 2

Sean a y b dos números reales positivos. Sea una circunferencia de centro O y de diámetro AB = a+b. Sea C un punto de la recta determinada por los puntos A, O y B de manera que AC = a y CB = b. (i) Demuestre que (ver Figura 18) m = OM ,

g = CM ,

h = MH ,

q = CN

(ii) Justifique geométricamente las desigualdades

h5_.g5_mq ¿En qué casos se tiene una igualdad?

Figura 18.

II

11

il I

mil

1111, lit.

152 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

11) Demostrar que si ultriángulo rectángulo ABC con hipotenusa c y con catetos a y b, verifica la relación c = \/2 a b ,entonces ABC es isósceles. ¿La proposición recíproca es verdadera? -

Definición. Se llama terna pitagórica a una terna de números enteros positivos X, Y, Z que cumplen

con la condición: Z2 = X2 + Y'

Observación. Las ternas pitagóricas pueden ser los lados de triángulos rectángulos, siendo X e Y los dos catetos y Z la hipotenusa. 12) (i) Verifique que existen infinitas ternas pitagóricas dadas por: X=2 uv, Y=u 2 -v2

con u y y números naturales cualesquierra con u>v, con Z a determinar. (ii) Para tener varias ternas pitagóricas, complete la siguiente tabla y compruebe que X, Y, y Z son los lados

de un triángulo rectángulo.

Y

Z

4

3

5

...

...

...

...

...

...

...

...

...

••• ...

••• ...

••• ...

10

24

26

',"-

X

n- C\I

d"

y n-

u

C\ ICr) 1--

13) Dado un cuadrado, construya un triángulo rectángulo que tenga por base un lado del cuadrado y su área sea igual al área del cuadrado. 14) En el paralelogramo ABCD, los lados AB y CD miden 5 y los lados AD y BC miden 6. Se traza la

bisectriz del ángulo A que corta al lado BC en el punto E. Calcule las medidas BE y EC. 15) Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC. Se traza la bisectriz del ángulo B que corta al lado AC en D. Sabiendo que BC = BD, calcule la medida del ángulo A. 16) Sea ABC un triángulo con < A = 50°. Se prolonga el lado BC en ambas direcciones y sobre las prolongaciones se indican los puntos P y Q de manera tal que PB = BA; CQ = CA y PB + BC + CQ = PQ. Calcule la medida del ángulo PAQ 17) Sean ABC un triángulo que tiene < A = 36° y < B = 21°. Sobre el lado AB se marcan los puntos D y E de modo que AD = DC y EB = EC. Halle la medida del
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 153 18) Un triángulo tiene por lados 9 m, 12 m y 15 m. ¿Cuáles son los lados de otro triángulo semejante de 72

m de perímetro? 19) Una columna de 30 m de altura se quebró de tal manera que la parte más alta toca el suelo a 16 m de la base. ¿A qué altura se ha roto? 20) Dos columnas de 30 m y 40 m de altura están distanciadas 50 m. Un pájaro que va a tomar agua a una fuente que se encuentra en el suelo entre las dos columnas, recorre la misma distancia desde la cima de cualesquiera de ellas. ¿A qué distancia de las columnas se encuentra la fuente? 21) En un círculo de 25 cm de diámetro se inscribe un rectángulo cuyos lados difieren en 17 cm, ¿cuánto miden sus lados? 22) A y B son dos puntos de la circunferencia de centro O. B y O son dos puntos de la circunferencia de centro A. Demuestre que AOB es un triángulo equilátero. 23) Se considera un triángulo ABC inscrito en un círculo de centro O. Hacia el exterior de ABC, se construye un triángulo isósceles ABD, tal que DA = DB. Demuestre que OD es perpendicular a AB. 24) El lado de un triángulo equilátero T es *del lado de un cuadrado C. Encuentre una fracción que indique qué parte del perímetro de C es el perímetro de T. 25) Sean a,b,c, d > 0. Demuestre la siguiente proposición aa+c a c b`d "Vb < b+d - d utilizando el concepto de área construyendo dos rectángulos de base 1 y de altura respectivamente.

y b d

26) ¿Cuál es la proporción entre el área de un cuadrado inscrito en un círculo y el área de un cuadrado inscrito en uno de sus semicírculos? 27)

(i) Dado un círculo de radio r > O calcule el lado del cuadrado inscripto y el lado del cuadrado circunscrito en dicho círculo. Calcule el porcentaje de área que ocupa la región más pequeña respecto de la más grande. (ii) Dado un cuadrado de lado L calcule el radio del círculo inscrito y del círculo circunscrito en dicho cuadrado. Calcule el porcentaje de área que ocupa la región más pequeña con respecto de la más grande. (iii) Calcule el área de la región comprendida entre cada cuadrado y el círculo en (i), y entre cada círculo y el cuadrado en (ii).

28) ABCD es un cuadrado de 10 cm de lado. Se trazan dos arcos de circunferencia centrados uno en A y

el otro en B, de radio AB. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

di

'411

154 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

29) Si a la medida de dos lados paralelos de un cuadrado se le aumenta el 25% y a la medida de los otros dos lados se le quita el 40%. ¿Qué ocurrirá con su área? 30) ABCD es un trapecio de bases AB y CD, y los lados AB = 6, BC =5, CD = 10, AD = 4. Las rectas AD y BC se cortan en el punto E. Demuestre que el triángulo DCE es isósceles. 31) Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC. Sean los puntos P y Q pertenecientes a BC y AB, respectivamente, de manera que se tenga AC = AP = PQ = QB. Halle el valor de < B 32) Una hormiga sale del hormiguero en busca de comida. Camina primero 50 cm hacia el este, luego 50 cm hacia el sudoeste, allí decide caminar 50 cm en dirección oeste y finalmente 50 cm en dirección sudeste. Por fin decide regresar con la comida al hormiguero. ¿En qué dirección tiene que caminar para ir derecho al hormiguero? ¿Es cierto que tiene que recorrer más de 50 cm, pero menos de 1 m? 33) Sea ABC un triángulo rectángulo en A; si < C = 30° y AB = 10 demuestre que BC=20. 34) ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 12:35 hrs.? 35) El tamaño de los televisores se mide en pulgadas e indica la medida de la diagonal de la pantalla que tiene forma rectangular. Las dimensiones de la pantalla están en relación 3 a 4. Calcule en cm las dimensiones de los televisores de 26 y 20 pulgadas (1 pulgada = 2,54 cm) 36) Demuestre que si las rectas p, q y r son tales que = p entonces pliq .(Utilice el método por contradicción) (ver Figura 19)

Figura 19.

37) Calcule el perímetro del trapecio MNOP sabiendo que: 1 = [3 ; NO = 10'12m ; PQ = 20m ; MP = — 2

M

Figura 20.

PQ (ver Figura 20)

N

t,

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 155

38) Calcule el área de la superficie sombreada de un cuadrado de lado L, en el que las curvas son arcos de circunferencia trazados desde los vértices opuestos y cuyo radio es el lado del cuadrado. Calcule el porcentaje de dicha área respecto del área del cuadrado (ver Figura 21) Figura 21.

D 39) ABCD es un cuadrado de 4 cm de lado. E y F son puntos medios de los lados, BE es un arco de circunferencia de radio igual a la longitud de BE. ¿Cuál es el área de la figura sombreada? (ver Figura 22)

F

A

E

Figura 22.

B

40) Halle el radio de la circunferencia sabiendo que: CB = 4cm, AB = 8cm (ver figura 23)

D 41) En el cuadrado ABCD se dividió AC en cuatro partes iguales y OB en dos partes iguales. Considere todos los triángulos de la figura y determine cuáles tienen igual área (ver Figura 24)

Figura 24.

A

B

42) Determine las medidas de los catetos de un triánglo rectángulo isósceles cuya hipotenusa es 1. 43) Una diagonal de un rectángulo mide 10. Calcule el área del mismo, sabiendo que las medidas de dos de sus lados son números pares consecutivos. 44) Calcule las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son números naturales consecutivos. 45) Calcule la medida de los lados y el área de un rectángulo de perímetro 28 , sabiendo que la longitud de una diagonal es 10.

156 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Respuestas Trabajo Práctico

3)

10 cm y --55 cm ; 4)1770 _ 7

cm , Y

7

250 cm ; ,, 280 m; '') 3

cm , EB =

6)

AD = 2 cm , DC = 4 cm , CE = I

7)

22 cm ; 8) 18m , 24 m , 30 m ;

10)

2 -\:12m ; 11) 5m

12)

(i) — 2 '*'*;

13)

(i) 50° =5— n rad ,

60° = 7 3

-30° = -

55 = Ii- TE rad ,

(ii)

rad ,

- 1 6 1

ra d = - 30 ° ,

9-j& 18V1,81 324 5 5 15'5 150° = 1-.1 rad ,

rad ,

6

-

1 rad = 60 ° ,

175,084 m

15)

(i) 13 = 41° , a = 1539, 608 m ,

48°=

-

4I rad. 15

1 rad = 57° 17'45"

5 re rad = 225 ° , 74

14)

= 45° ,

-

4\13m2 ;

pr3m

-

36

2 rad = 114 ° 35' ,

(ii)

(ii )

154

18

(ii)

9)

3

2 rr rad = 120° 3

b = 1338,36 m ;

3 = 45° , b = 696 m ;

(iii) r3 = 58° 02'30" , a = 31° 57' 30" , h = 1927 m ;

(iv) (3 = 36° , h = 482,066 m , b = 283,351 m ; (y)

= 52° , h = 148,41 m, a= 116,95 m, b= 91,37 m ;

(vi) a = 48° , (3=42° , h= 145 m, a= 108,37 m, b = 96,33 m 16) 61° 23' 58" ; 18)

x = 15 , z = 24 , tg (u) = tg (p) =

19)

17) 3,464 m

x=8 ;

( a = 53,13° ó 0,93 radianes ) ,

11. (3 = 16,26° ó 0,28 radianes ) ; 20) 6

21)(671 + 12 V-3- ) cm

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA DEL PLANO • 157

Respuestas Problemas Complementarios 1)

.. 43 n a2 2) (i) 525 Te , es el 32,81% del área del círculo mayor ; (u) 98

21 64

3) a + -

= 180°

4) 20°

6) Perímetro total = 80 ( 2 +

7) A = 25 —í('c

-

5) 135°

cm ;

Área total = 800 cm 2

) crn 2

8) Los triángulos que tienen áreas iguales son los siguientes: ADC y ABC; AFD y EDC; GOC Y GBC; ABO, BOC y DFE.

32) Hacia el norte; debe recorrer

2

m

42) Ambos catetos miden — -\/í 2

43) 48

44) 3, 4 y 5

45) Base = 6 y altura = 8 ó base = 8 y altura = 6, en ambos casos área = 48

51 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 5.1. CONJUNTOS, ELEMENTOS Y PERTENENCIA A La noción intuitiva de conjunto

La expresión "conjunto de objetos" evoca la idea de unión, reunión, de colección o de agrupamiento de esos objetos, dejando una cierta imprecisión sobre lo que se trata en realidad. Existen, por ende, numerosos sustantivos que dan la misma idea de agrupamiento. El empleo de la palabra "conjunto" en Matemática necesita ciertas precauciones que se deben precisar a fin de evitar toda ambigüedad del término. En Matemática, antes de utilizar un concepto éste debe haber sido definido de una manera precisa que no deje ninguna duda o ambigüedad sobre su empleo y sus límites. La noción de conjunto parece a primera vista escaparse a esta regla fundamental; los matemáticos se contentan con la "idea intuitiva de la noción de conjunto". El uso común muestra rápidamente que la palabra "conjunto" tiene, en Matemática, restricciones que no se conocen en el lenguaje ordinario. Por el momento, se adoptará la actitud siguiente: "La noción de conjunto es una noción primitiva de la Matemática". Es decir, que no se dará la definición, de la misma manera que se hace en geometría con el punto. Se considera que todo el mundo comprende intuitivamente este concepto y que además todos tenemos la misma idea de él. Los numerosos ejemplos de conjuntos que se pueden citar o que se utilizarán en el futuro ayudarán a aclarar el sentido del término. Los objetos que constituyen un conjunto se llaman elementos de ese conjunto. Se admite la existencia de un conjunto universal o referencial U de la teoría. A partir de este conjunto de referencia se desarrolla toda la teoría, teniendo en cuenta que cada conjunto que aparece en un contexto determinado es un subconjunto de este referencial. En general, se notarán los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C,... y sus elementos por letras minúsculas a, b, c, x, y... Ejemplos. i) El conjunto de las gotas de agua que se encuentran en un litro de agua no tiene ningún sentido, es decir, no está bien definido en el sentido matemático; ii) El conjunto de alumnos simpáticos de un curso dado no tiene sentido a menos que se establezca con precisión cuándo un alumno es o no simpático; iii) Las letras del alfabeto forman un conjunto, como así también las vocales y las consonantes; iv) Los puntos de una dada figura geométrica forman un conjunto. v) La Tierra, la Luna y el Sol forman un conjunto. En estos ejemplos se ve que no es necesario que los objetos que componen un conjunto sean homogéneos o que estén cerca en el espacio y en el tiempo. Lo que cuenta es que dado un objeto se pueda establecer con precisión si pertenece o no al conjunto.

iiwi

160 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

A Pertenencia

Si x es un elemento de un conjunto A, se escribirá x E A, se lee "x pertenece al conjunto A". En el caso contrario, si x no es un elemento de A se escribirá x A se lee " x no pertenece al conjunto A. Para representar un conjunto se puede utilizar el diagrama de Venn:

b

A

aEA,b aA

A Definición de un conjunto

Un conjunto está definido cuando es posible hacer una lista de sus elementos o cuando es posible decidir si un objeto determinado es o no es un elemento de un conjunto. Existen los dos casos siguientes: 1) Definición por extensión: el conjunto está definido por extensión cuando se pueden detallar uno a uno todos los elementos que lo constituyen.

Ejemplo. El conjunto formado por las letras a, b se representa por { a, b }. 2) Definición por comprensión: el conjunto está definido por comprensión cuando se enuncia una propiedad característica o atributo característico de sus elementos.

Ejemplo. El conjunto de los elementos x de A que poseen la propiedad P se representa por la notación {x EA/P(x)} Un ejemplo es la circunferencia de centro en el punto O y de radio r (r > O) que se define como el conjunto de los puntos Q cuya distancia al punto O es igual a r; este conjunto se explicitará matemáticamente en el Capítulo 7. Numerosos conjuntos serán utilizados, en especial: = { 1,2,3,....} conjunto de los números naturales, l= { ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2,3,....} conjunto de los números enteros,

• : conjunto de los números racionales, :

•

•

conjunto de los números racionales positivos,

conjunto de los números reales,

:

:

conjunto de los números reales positivos,

• : conjunto de los números complejos.

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 161 Á Inclusión, igualdad, complementación y partes de conjuntos Definición 1.

1) Un conjunto A es un subconjunto o una parte del conjunto B, si y sólo si todo elemento de A es elemento de B, es decir: (1)

A c B <=> (xe A

xe B )

2) La inclusión de A en B se dice estricta cuando B tiene un elemento que no pertenece al conjunto A, es decir:

(i) A c B (2)

AcB<=> (ii) xeBixo A.

Observación 1. En general, el símbolo c es poco empleado, y por lo tanto el símbolo c representa tanto la inclusión amplia como la estricta. Se seguirá con este uso, excepto para los casos en que se presenten dudas. Definición 2. Dos conjuntos A y B son iguales cuando todo elemento de A es de B y recíprocamente,

es decir: (3 )

A = B <=>AcB n BcA.

Definición 3. Se nota con 0, conjunto vacío, al conjunto que no posee ningún elemento. Observación 2. El conjunto vacío 0 debe ser considerado como un subconjunto o parte de cualquier conjunto, es decir 0 c A, e A conjunto. También se lo puede representar mediante un par de llaves vacías { }. Definición 4. Sea A c B. Entonces el conjunto complemento de A en B, que se notará

CB(A), está definido por (región sombreada en el dibujo):

(4)

CB(A) = {x E B XE A}.

En el caso en que se considere a B como el conjunto universal U, entonces se notará como A = C u (A) al complemento de A respecto de U (región rayada del dibujo)

,•111111H

14 • 1

I

II

Ib

Hifi 1

I

n

111,

162 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 3. Si el subconjunto A de B está caracterizado por la propiedad P, entonces el complementario estará por la propiedad "no P", y por ende la noción de complemento está asociada a la de negación. Definición 5. El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto de todos los subconjuntos de A, comprendiendo la parte total y la parte vacía de A, es decir:

P(A)= {X/X c A}

(5)

Observación 4. Los elementos de P(A) son los subconjuntos de A, es decir:

(6) X E P(A) <=> X c A

Propiedades de la inclusión:

1) Propiedad reflexiva : A c A, e A; 2) Propiedad antisimétrica: A c B, B c A

A=B

3) Propiedad transitiva: A c B, B c C r A c C 4) o cA c U, VA Propiedades de la complementación:

1)0=U,

2) A =A

Demostración. Se verá solo la prueba de la propiedad 2). Para ello, basta probar que a) A cA y b) A c A

a)

xE A

b)

xEA

).(in‘xcinkA cA x izAxEA A c A

Propiedad que relaciona la inclusión y la complementación:

1)AcB <=> BcA Demostración

xEA

)coAxelE3xEBAcB

Definición 6

1) Un conjunto es finito cuando se puede contar el número de sus elementos. 2) Un conjunto es infinito cuando no es finito. Ejemplos. N es un conjunto infinito y el conjunto {a, b, c, } es finito pues tiene 3 elementos.

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 163 5.2.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

A partir de conjuntos A, B, C,... elegidos como partes de un conjunto universal U, se pueden definir nuevos conjuntos, a saber: A Intersección de conjuntos Definición 7. La intersección de dos conjuntos A, B es el conjunto de los elementos que están sumultáneamente en A y en B, es decir (región rayada en el dibujo)

(7)ArIB ={x/ xEA A X EB}. Definición 8. Cuando los conjuntos A y B no tienen ningún elemento común (su intersección es vacía) se dicen conjuntos disjuntos, es decir:

(8) A y B son conjuntos distintos

<=> A n B=

0

Propiedades de la intersección:

1) Propiedad conmutativa: An B =B

A;

2) Propiedad asociativa: (A n B) n C = A n(B (1 C) ; 3) Propiedad de idempotencia: AnA = A ; A (¡ u = A, VA ;

4) Ano = o

5) A r1B c A

,

A riB c B, VA, B

A Unión o Reunión de conjuntos Definición 9. La unión o reunión de dos conjuntos A, B es el conjunto de los elementos que están al menos en A o en B, es decir (región sombreada en el dibujo):

( 9)

A U B = {x / x E A y x E B}.

Propiedades de la unión:

1) Propiedad conmutativa: AUB = B U A ; 2) Propiedad asociativa: (A U B) U C = A U (B U C) ; 3) Propiedad de idempotencia: A U A = A 4) A U 0 = A, AU U = U, VA ; 5) A c AU B, B c A U B, VA, B.

I

164 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Leyes de De Morgan: Se tienen las siguientes propiedades que relacionan la unión con la intersección a través de la complementación: (10)

(a) (A u

= An B ,

(b) (A n

= Au B.

Demostración. Se probará solamente la igualdad (10a) pues la restante propiedad (10b) es análo-

ga. Por definición de igualdad de conjuntos se deberá probar que el primer conjunto está contenido en el segundo (parte (i)) y recíprocamente, que el segundo conjunto está contenido en el primero (parte ii)). i) Sea x E (A u B)— . Entonces se tiene que x E (A u B) con lo cual x EA xEA

A

A

xeB. Por lo tanto

xEB, es decir que x E (A n B ), con lo cual se deduce que (A u B) - c A n

ii) Sea x E (A n B). Entonces se tiene que xcA A xEB con lo cual )(EA tanto x E (A u B), es decir que x E (A u

A

xl B. Por lo

, con lo cual se deduce que AnB c (A u B) - .

Otras propiedades: 1) Propiedad distributiva para la intersección: A n (B UC)-(AnB) 2) Propiedad distributiva para la unión: A U (B nO).(AUB) 3) Propiedad de absorción para la intersección : A

n(A

u(Anc);

n(Auc)

U B) = A, V B.

4) Propiedad de absorción para la unión :A U (A n B) = A,

B

Demostración. Se verá solamente la prueba de 1). a)xEAn(BUC)xEA AXE (BUC)xEA A(XEB vxEC) (xEAAxEB) v(xEA AxEC) xE(Af--1B) vxE(AnC)xE(Ar1B)U(AnC) Por lo tanto, se tiene que A n (B u C) c (A nB)u(AnC) b) x E (A n B) u(A n C) = x E(A nB) v x E (A nC) (x E A AxEB)v(xE A Ax EC) xEAA(xEBvxEC)xEAAxE(BuC)xEAn(BuC) Por lo tanto se tiene que

(A n B) u (A n C) c A n (B u C )

A Diferencia de conjuntos

Definición 10. La diferencia de dos conjuntos A, B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen al primer conjunto A y que no pertenece al segundo conjunto B, es decir (región gris en el dibujo). (11)A-B={x/x EA Axelli}=A nB Definición 11. La diferencia simétrica de dos conjuntos A, B es el conjunto de los elementos que pertenecen a uno sólo de esos dos conjuntos, es decir (región gris en el dibujo):

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 165

(12)

A AB={x/(xEAnx 1B)v(x EB AxoA)}= =( A-B) U (B-A)= CAuB(AnB)-(AUB)—(Ar)13)

Propiedades de la diferencia de conjuntos:

1) (A UB) - C = (A - C) U(B - C) ; 2) (A nE3)

- c . (A - C) (¡(B - c)

Demostración. Utilizando las propiedades anteriores se tiene:

1) (A uB) - C = (A u B) n = (A n6) u (B n E) = (A - C) u (B - C) 2) (A nB) - C = (A ng) ne= A nB nC = A nB nC nC =(A n n(B n5) = (A - C) n (B - C). Propiedades de la diferencia simétrica:

1)A A B=B A A

2) A A A = ;

3) A A 0= A

4) A A (B A C) = (A A B) A C

Demostración. Se realizarán las pruebas de las propiedades de 1), 2), y 3) quedando la restante

como ejercicio. 1) A A B = (A uB) - (A n B) = (B uA) - (B n A) = B A A 2) A A A = (A uA) - (A nA) = A - A = 3) A A 0 = (A u0) - (A n0)=A-0= A A Producto cartesiano de conjuntos Definición 12. Sean dos conjuntos A, B (en ese orden). El par ordenado o dupla (x,y) está formado E A (primer elemento del par) asociado a un elemento y E B (segundo elemento del

de un elemento x par).

Por otra parte, se dirá que dos pares ordenados son iguales cuando los respectivos primeros y segundos elementos son iguales, es decir: (13)

(a, b) = (a', b') <=>

a= a' en A, b= b' en B.

De la misma manera, dados n conjuntos la n-upla (x 1 ,....x n) está formada por la asociación de los elementos x 1 E A l , E An , respetando el orden.

Definición 13. El producto cartesiano o simplemente producto de un conjunto A por un conjunto B es el conjunto de las duplas (x,y) formadas con un primer elemento cualquiera x de A y de un segundo elemento cualquiera y de B, es decir:

(14)

AxB={(x,y)/x EA,y EB}

1

I

IiPt1

I1 1

II

I 1

166 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

En el caso en que los conjuntos A, B sean iguales, entonces se tiene el producto cartesiano cuadrado de un conjunto, dado por (15)

A2 =AxA={(x,y)/x e A, y o A}.

Ejemplo. Si

A = { a, b, c} y B = { a,p } entonces A x B = { (a,a) , (a,p) , (b,ot) "c ,a) , (c,p) }.

Observación 5. Se utilizarán con frecuencia los siguientes conjuntos: =- R R" = R x

,R3 =5:1>
Más aún, todo elemento de R 2 ([R 3 ) estará asociado a un punto del plano (espacio) ordinario. El producto cartesiano A x B puede representarse mediante un gráfico de la siguiente manera: B ( elementos de B ) b

(a, b)eAxB

a

A ( elementos de A )

Propiedades del producto cartesiano: 1) A x (B U C) = (A x 13) U(A x C) ;

2) (A

n c) = (A x B) n(A x c) ;

4) (A

3) A x (B

B) x C = (A x C)U(B x C) ;

n B) x C = (A x C)n(B x

5.3. RELACIONES A Gráficos

Definición 14. Un gráfico G es un conjunto de pares ordenados.

Ejemplo. El producto cartesiano de dos conjuntos es un gráfico.

Observación 6. Siempre existen dos conjuntos A y B tales que para cada par ordenado (x,y) tiene que x E A, y E B entonces

E

G, se

G cAxB Los gráficos, como así también los productos cartesianos de dos conjuntos pueden representarse

de diversas maneras, a saber:

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 167 1) a través de una lista de los pares ordenados que constituyen el gráfico; 2) a través de una tabla (o matriz). Los elementos del primer conjunto A, corresponden a las columnas y los del segundo conjunto, B, a las líneas. Cada par que es un elemento del gráfico está representado, por ejemplo, por una cruz; 3) a través de un diagrama cartesiano. Cada par que es un elemento del gráfico está representado por un punto del plano: la abscisa y la ordenada del punto son el primer y el segundo elemento del par ordenado; 4) a través de una representación con flechas. Cada par que es un elemento del gráfico está representado por una flecha cuyo origen es el primer elemento del par ordenado y cuya extremidad es el segundo elemento. Ejemplo. Sean los conjuntos A = { a,b,c} y B = { a, p }. Sea el gráfico G, dado por la siguiente lista: G = { (a, a), (a, (3), (b, [3), (c, a) } c AxB

(caso 1)

Entonces las tres representaciones restantes están dadas por:

B

\A a

a

(3

X

X a

b c

X x

A

caso 2

a

caso 4

b

c

caso 3

Observación 7. En el caso de ciertos conjuntos infinitos, por ejemplo, súbconjuntos de números

reales, la representación cartesiana es la única que puede ser utilizada. Los conjuntos de números reales y d, figurarán como el conjunto de los puntos de un A, por ejemplo, a x b y B, por ejemplo, segmento en el eje de las abscisas y de las ordenadas, respectivamente. El producto cartesiano A x B estará entonces representado por el conjunto de puntos de un rectángulo y un gráfico G, una parte de A x B, será una parte de dicho rectángulo. Eje de las ordenadas

AxB B

A

x

Eje de las abscisas

idill,

di

168 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Algo análogo podría decirse sobre R 2 . ¿Qué sucede para los productos cartesianos RxN y [k x

A Relaciones binarias

Una de las nociones fundamentales en Matemática es la de relación; más adelante se verá también el concepto de función que es tanto o más importante que el de relación. Dados los conjuntos A,B, no necesariamente iguales, puede existir entre los elementos de A y de B una relación R, a saber: "ser hijo de", "ser esposo de", "ser menor que", "ser mayor que", "ser múltiplo de", "ser igual a", "ser alumno de", etc. Entonces, existirán elementos a EAy b E B para los cuales a está en relación (R) con b que notaremos a R b ; en caso de no estar relacionados se notará a y( b. Definición 15. Una relación en nuestro caso, relación binaria, de un conjunto A a otro conjunto B es una terna (A, B, G) donde G c A x B es un gráfico. Al conjunto A se lo llama conjunto fuente o de partida, al conjunto B se lo llama conjunto objetivo o de llegada y al conjunto G se lo llama gráfico de la relación. Observación 8. 1) Si A = B, entonces se habla de una relación en el conjunto A; 2) El par (a, b) E G (con a EA, b E B) se dice que satisface la relación R y se escribe aRb (el elemento a E A está relacionado con b E B), de lo contrario será a1b (el elemento a E A no está relacionado con b E B). 3) El gráfico G de una relación R, dada por el triple (A, B, G), está dado por (16)

G ={( a, b ) / a R b, a E A, b

E

B}

4) Del mismo modo en que toda relación entre dos elementos se llama relación binaria, una relación entre tres elementos se dice una relación ternaria, y así sucesivamente. 5) Numerosos símbolos particulares pueden reemplazar al símbolo general R, para la notación de las relaciones binarias usuales. Entre los símbolos matemáticos más familiares se encuentran: "=" (igual(menor o igual), dad), "" (desigualdad, distinto), "E" (pertenencia), "1"(no pertenencia), "c" (inclusión)," "<" (menor), ">" (mayor), ".." (mayor o igual), " II " (paralelo), " 1" (perpendicular), " —" (semejanza), " (implicancia), " <=>" (doble implicancia, equivalencia), "ser mútiplo de", "ser divisor de", etc.; 6) Si para una dada relación R se considera un solo par (a, b) con a EA , b E B, entonces el único resultado que se puede tener es que la proposición aRb sea verdadera o sea falsa. Por otra parte, la noción de relación presenta un real interés cuando se pueden considerar numerosos pares. es decir, poner en relación los elementos de conjuntos. Ejemplo. Sean los conjuntos A = {1,2,3,5},

B = { 1,2,3,10}

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 169 y la relación R de A a B "ser mayor que", es decir: aRb

4=> a> b, con a

E

A, b

E

B

Entonces se tiene que el gráfico G correspondiente está dado por: G = {(2,1), (3,1), (3,2), (5,1), (5,2) , (5,3)}

cuya representación por flechas es la siguiente:

Observación 9.

1) Existen algunos elementos del conjunto fuente A que pueden ser utilizados como antecedente, primer elemento del par, más de una vez o ninguna vez; 2) Existen algunos elementos del conjunto objetivo B que pueden figurar más de una vez o ninguna vez, como consecuente, segundo elemento del par, de pares que satisfacen la relación; 3) Se puede decir, resumiendo lo expresado en 1) y 2), que de los elementos del conjunto A puede partir una, ninguna o más de una flecha de conexión a los elementos del conjunto B a los cuales puede llegar una, ninguna o más de una flecha de conexión; 4) Si se conocen los conjuntos A, B y el gráfico G c A x B entonces se conoce la relación R, teniendo en cuenta que: (17)

aRb <==> (a,b)

E

G, con a

E

A, b

E

B

5) En general, se confunde la relación R con su gráfico G, lo cual es un abuso, siempre que no haya dudas de quienes son los conjuntos A,B. Definición 16. 1) Se llama Dominio de relación R, dada por la terna (A,B,G) al subconjunto del conjunto fuente A

constituido por todos aquellos elementos que sirven de antecedentes, primer elemento, de los pares ordenados (a,b) que satisfacen la relación ((a,b) E G) cualquiera sea el elemento b E B, es decir: (18)

Dom(R) = {a

E

A/ a Rb, para algún b

E

B}=

= { a EA / ( a,b ) E G, para algún b E B} c A,

II

~

iYYY ~ 1 I •

11 1

I

II

1i lh

n

170 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 2) Se llama Recorrido o Imagen de la relación R, dada por la terna (A,B,G), al subconjunto del conjunto objetivo B, constituido por todos aquellos elementos que sirven de consecuentes (segundo elemento) de los pares ordenados (a,b) que satisfacen la relación ( ( a,b) E G) cualquiera sea el elemento a EA, es decir: Im (R) = Rec (R) )={b E B/ 3a EA con a Rb } = (19) ={b EB/ 3 a EAcon(a,b) E G}cB Ejemplo: del ejemplo dado anteriormente se tiene. Dom (R) = {2,3,5,} c A,

Im(R) = {1,2,3,} c B

Definición 17. Sea una relación R de A a B, dada por la terna (A,B,G). Se llama relación inversa R-1 deBaAala que resulta de invertir los pares que satisfacen la relación R, es decir:

(20)

bR'a <=> aRb,aEA,b E B

Dicho de otra manera, la relación inversa R -1 es una relación formada por la terna (B, A,G -1 ) donde el gráfico G -1 c B x A está dado por: (21)

(b, a) E G 1 <=> b R-1 a <=> a R b <=> (a, b) E G con a E A, b E B

Ejemplo: Del ejemplo dado anteriormente se tiene que R - les la relación de B a A "ser menor que" cuya representación por flechas está dada por:

siendo: Dom (R -1 ) = Im (R) = { 1,2,3 } c B , Im (R -1 ) = Dom (R) = 2,3,5 } c A , G-' = { (1, 2), (1, 3), (1, 5), (2,3), (2,5), (3, 5) } ❑ Propiedades de las relaciones binarias en un conjunto A continuación se verán algunas propiedades de una relación binaria R de A en A.

lió

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 171 Definición 18.

1) La relación binaria R es Reflexiva <=> a Ra, Va E A; 2) La relación binaria R es Simétrica <=> (a R b = b R a, V a, b E A ); 3) La relación binaria Res Transitiva .(=> ( a R b AbRc = a R c, V a, b, c E A ) ; 4) La relación binaria R es Antisimétrica <=> (aRb AbR a, V a, b EA a=b); 5) La relación binaria R es de Equivalencia <=> R es reflexiva, simétrica y transitiva ; 6) La relación binaria R es de Orden <=> R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Definición 19. Si la relación R de A en A es de equivalencia, entonces se llama clase de equivalencia del elemento a E A al conjunto de los elementos de A que están relacionados con a, es decir:

(22)

a=[a]=C1(a)= {b EA / aRb }

Observación 10. Siempre se tiene que todo elemento está en su clase de equivalencia, es decir a

[a] V a

E

E

A.

Definición 20. Una partición de un conjunto A es un conjunto de partes A (i disjuntas dos a dos, y cuya unión es el conjunto total A, es decir:

El)

no vacías de A,

(i)Ai cA,ViEl, (23)

P = { A. }, E , es una partición de A <=>

(ii) A = U A. E.

(iii)A n

0, y i

E I.

5.4 FUNCIONES

El concepto de función de un conjunto a otro es uno de los conceptos más útiles en la Matemática y en cualquiera de sus aplicaciones. A Función de un conjunto a otro

Siguiendo con los conceptos dados para relaciones de un conjunto a otro, se tiene la siguiente noción:

Definición 21.

1) Se llama función o aplicación de un conjunto A en otro conjunto B a la terna (A,B,f) que verifica las siguientes condiciones: a) f es una relación del conjunto A al conjunto B ; b) El dominio de f es todo el conjunto A, es decir Dom(f) = A. Al conjunto B se lo llama codominio, conjunto objetivo o de llegada. c) La relación f es funcional, es decir que todo elemento del dominio A está relacionado o ligado a lo sumo a un elemento del codominio B, es decir.

(24)

V x EA , 3 !y EB/y=f(x).

Se suele decir que f es una ley o una relación que aplica al conjunto A en el conjunto B.

11111111i

1

172 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

2) Se llama valor de la función para un elemento x del dominio A, al elemento y en el codominio B que corresponda a x, lo cual se escribirá y = f(x). Dicho elemento y

E

B es la imagen de x por la relación o la ley f.

Observación 11.

1) las expresiones "f transforma x en f(x)", "f envía x sobre f(x)" y "f(x) es el valor de f en x" son sinónimas. También se suele usar la notación x---->f(x) que se lee "x tiene por imagen a f(x)" o "f(x) es la imagen de x"; 2) Es muy importante no confundir las notaciones f, ley que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B, con f(x) elemento de B que resulta ser la imagen del elemento x

E

A;

3) Una función definida por la terna (A, B, f) es generalmente representada en la forma más "gráfica" f: A

B o por A

B:

4) Muchas veces, como un abuso de lenguaje y notación, se habla de la función f haciendo sólo referencia a la ley o relación correspondiente, sin decir nada sobre su dominio A y codominio B. Como regla general, esto sólo debe realizarse cuando no haya dudas de quienes son los conjuntos A y B. 5) El gráfico de la función f: A

(25)

B está dado de la siguiente forma:

G={(x,f(x))/x EA) c AxB

Observación 12. Resumiendo, para definir una función se deben tener los siguientes elementos:

1) Un conjunto fuente, de partida o dominio A; 2) Un conjunto objetivo, de llegada o codominio B; 3) Una ley f que asigne a cada elemento x

E

A un único elemento y

E

B.

Observación 13. Si f : A 13 es una función, entonces en su representación (del gráfico):

1) Por flechas, de todo elemento del conjunto A parte una única flecha; 2) Por tabla o matricial, sobre todas las filas figura una única cruz; 3) Cartesiana, sobre toda vertical figura como máximo un punto. Definición 22. Igualdad de funciones. Dos funciones f: A B, g:C D son iguales, se escribirá f

=g, si y sólo si A=C, B=D, f(x) = g(x), e x E A Definición 23. Función Identidad. La función identidad respecto al conjunto A es la función IA:

A A, definida de la siguiente manera: (26)

I A (x) = x ,

Vxé A

Definición 24. Función constante. Una función constante es una función f: A—* B que está definida

por f(x) =c,

x E A, donde c E B es un determinado elemento del conjunto B.

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 173

Definición 25. Sea f:A

B una función del conjunto A en el conjunto B entonces: 1) para todo subconjunto P de A se define la imagen de P por f de la siguiente manera: (27)

f(P)={yEB/ 3 p EPcony=f(p) } c B

Cuando P = A se dice que f(A) es el conjunto imagen de la función, es decir : (28)

Im (f) = f (A) ={y

E

B / 3x

E

A con y = f (x) } c B

2) Para todo subconjunto Q de B se define su pre-imagen por f de la siguiente manera: (29)

f-1 (Q)={xEA/f(x)EQ}cA

Observación 14. Si f: A —> B es una función entonces se tiene la relación inversa f -1 que va de B en A pero, en general, no es una función como puede verse en el siguiente ejemplo; más adelante se verán

cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que f" 1 :B A sea una función. Ejemplo. Sean los conjuntos A= {a,b,c} y B = { siguiente:

ex, 0, y }

y la relación o ley dada por la representación

f(a) = a , f(b) = a , f(c) = Se tiene que f: A —> B es una función que verifica : f(A) = { ex,

}

,f(

a, b ) = {

} , f( a, c ) = { a, -y }

Por otro lado, la relación inversa f -1 de B a A no es una función pues: 1) f-1 ( {a } ) = {a, b } y por ende no satisface el requisito fundamental de que a cada elemento del conjunto B se le asigna un único elemento del conjunto A; 2) f-1 no está definida en el elemento R

E

B

A Funciones particulares

Se analizarán diversas nociones con el objetivo de hallar las condiciones necesarias y suficientes para que la relación inversa de una determinada función sea también una función.

❑ Restricción de una función Definición 26. Sea f : A —› B una función. Sea S c A un subconjunto de A. Se llama restricción de f a S a la función f I s :S —> B definida de la siguiente manera:

(30)

(f1 s) (x) = f (x)

,yxeS

Observación 15. La nueva función fl s , restricción de f al conjunto S, es única.

I

,■

19-1

utot tu

174 • CURSO DE NIVELACION DE MATEMÁTICA

❑ Prolongación de una función Definición 27. Sea f: A —> B una función. Sea D un conjunto que contenga al conjunto A, es decir A c D. Se dice que a una función g : D —> B es un prolongación de f a D cuando f es la restricción de g al conjunto A.

Observación 16. En general, la prolongación de una función no es única.

Ejemplo. Sean los conjuntos A = {a,b,c},

D= {a,b,c,d},

y las siguientes funciones f : A —> B, g l :D —> B, g 2 : D

B= { a, p., y }

B, definidas por las leyes:

f(a) = a

f(b) =

f(c) = y,

g i (a) = a

g i (b) =

g, (c)= -y

g, (d)= ja,

g2(a) = a

g2(b) = a

g2 (c)

g 2 (d) = -y,

entonces la restricción de las funciones g i : D -* B (i=1, 2) al conjunto A es la función f: A —>B y, se puede pensar que las siguientes funciones g 1 y g2 son dos prolongaciones de la función f.

J Composición de dos funciones Definición 28. Sean dos funciones f: A —> B y g : B

con la particularidad de que el conjunto de llegada, codominio, de una función es el conjunto de partida, dominio, de la otra función. Entonces la función composición de f con g, se dice f compuesta con g, es la función gof:A —>C, definida de la siguiente manera: (31)

(gof) (x) = g (f(x) ) EC,VxEA

Observación 17. 1) La función de gof está bien definida pues f(x) E B, V x EAy por ende g(f(x)) E C, V x EA;

2) La composición de g con f, es decir fog, no tiene sentido, excepto en el caso en que se tenga la igualdad C = A; 3) En el caso en que tengan sentido las dos funciones composiciones fog y gof, por ejemplo f:A

B

y g: B - A, éstas no son iguales pues sus respectivos conjuntos dominio y codominio son distintos al ser

A, excepto en el particular caso en que A = B. Más aún, para el caso A = B, en fog: B —> B y gof : A general, la composición de funciones no es conmutativa, es decir gof # fog. 1%1 y g :1%1—> N definidas por

Ejemplo. Sean las funciones f: N f(n) =

,

g(n) =2n ,

VnENI

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 175

NI están dadas por las leyes:

NI y fog : l

Entonces las dos funciones compuestas gof

(fog) (n) = f (g(n)) = f (2n) = (2n) 2 = 4n 2 , VneN (gof) (n) = g (f(n)) = g (n 2) = 2n 2 , en eN

que evidentemente son distintas. Cyh:C Proposición 1. La composición de funciones es asociativa, es decir, si f : A ----> B, g:B D son D son tres funciones, entonces se tiene que las funciones compuestas (hog) of : A -e D y ho (gof) : A iguales, es decir: (32)

(hog) of = ho (gof)

Demostración. Los dominios y codominios de las funciones (hog) of y ho(gof) son iguales al ser A y D, respectivamente. Además, se tiene:

[ ( hog ) of ] (x) = ( hog ) (f(x)) = h ( g(f(x))) = h((gof)(x)) = [ho (gof)] (x), V x

E

A,

que es lo que se quería probar. Observación 18. Si f: A --> A es una función, entonces tienen sentido las composiciones reiteradas de f consigo misma, notándose:

f2 = fof , f 3 = fofof ,

❑

, fn = fo

of (n veces)

Funciones inyectivas, sobre y biyectiva Definición 29. Sea f : A ---> B una función.

1) Se dice que f es una función inyectiva cuando todo elemento de la imagen de f es imagen de, a lo sumo, un único elemento del dominio; es decir, si se verifica una de las siguientes proposiciones equivalentes: (a)

x1 x2 = f (x,) f (x 2) , d x i , x2 E A ,

(b)

f(x 1 ) = f( x2) con x 1

(33) E

A , x2 E A = x 1 = x2

2) Se dice que f es una función sobre (suryectiva) cuando todo elemento del codominio es la imagen de al menos un elemento del dominio, es decir que: (34)

ey

E

B, 3 x

E

A/f (x) = y

En forma equivalente se puede decir que f : A B es sobre cuando: (35)

Im (f) = f (A) = B .

4111111.

11111 1

1

1111

l

l ki • i

i

ri

u 11

141 r ¡lig I

176 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

3) Se dice que f es una función biyectiva cuando f es inyectiva y sobre. En dicho caso, se dice que existe una correspondencia biunívoca entre los conjuntos A y B. Observación 19. Las dos proposiciones (a) y (b) en la definición de función inyectiva son equivalentes debido a que la proposición (b) es la contrarrecíproca de la (a) (ver Introducción). Observación 20. 1) Cuando una función no es sobre, existirán ciertos elementos de B que no son imagen de ningún elemento de A por la ley f. Del presente análisis se deduce que la relación inversa V' no es una función al no estar definida en todo elemento del conjunto B, con lo cual se tiene la siguiente implicancia:

f-1 : B

A es una función = f : A

B es sobre

Por ejemplo, la función, f : definida por f(n) = 2n no es una función sobre, pues los números impares no son imagen de ningún número natural. 2) Cuando una función no es inyectiva significa que existen al menos dos elementos del dominio cuyas imágenes coinciden en un elemento del codominio; dicho de otra forma, cuando existe al menos un elemento b del codominio cuya pre-imagen f -1 ({b}) tiene al menos dos elementos del conjunto A. Del presente análisis se deduce que la relación inversa f -1 no es una función, con lo cual se tiene la siguiente implicancia. f-1 : B Por ejemplo la función f f(3) = f(-3) =9;

A es una función = f : A —> B es inyectiva —>

definida por la ley f(x)=x 2 no es inyectiva pues

3) Teniendo en cuenta los dos puntos anteriores, se deduce que: f-1 : B --> A es una función

f : A --> B es una función biyectiva

Observación 21. 1) La función identidad IA : A —> A es una función biyectiva. Más aún, la relación

inversa lq es una función biyectiva y coincide con IA, es decir: 511 = IA, (51 (x) = IA (x)=x, Vx EA); 2) Si se considera una función f constante de A en B, entonces se tienen las siguientes conclusiones: (a) Si el número de elementos del conjunto A es mayor o igual a 2, entonces f no es inyectiva.

(b)Si el número de elementos del conjunto B es mayor o igual a 2, entonces f no es sobre. Lema 2. Sean f : A —> B yg:B --> C dos funciones. Entonces:

1) gof es sobre = g es sobre, 2) gof es inyectiva = f es inyectiva Demostración.

1) Sea c E C. Como la función gof es sobre entonces 3 a E A/(gof)(a) = c, es decir g(f(a)) = c. Sea b = f(a) E B, entonces g(b) = c, con lo cual resulta que la función g es sobre.

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 177 2) Sean a, E A y a2 EA dos elementos de A de manera que f(a l) = f(a2). Entonces g(f(a,)) = g(f(a 2)) y (gof)(a,) = (gof)(a 2). Como la función gof es inyectiva, entonces resulta que a, = a 2 , con lo cual f es i nyectiva.

❑ Función inversa Sea f:A —> B una función. Se quieren encontrar condiciones necesarias y suficientes, si existen para que la relación inversa f -1 : B —> A sea una función. Por lo visto anteriormente, se tiene que una condición necesaria para que f-1 sea una función es que la función f sea función biyectiva. A continuación se verá un resultado que garantiza la existencia de la función f -1 . Teorema 3. Sea f : A —> B una función. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

(1) f es una función biyectiva; (2) Existe una única función biyectiva g:B -A que verifica las siguientes propiedades: (36) donde I A e

I,

gof =1 A ,

fog = I, ;

son las funciones identidades en los conjuntos A y B, respectivamente.

Demostración. En primer lugar se tiene que gof A —> A y fog : B

(2) = (1). Como la función gof = como la función fog = I, es sobre, al ser que la función f es biyectiva.

B son dos funciones. es inyectiva, al ser 1 A inyectiva, se deduce que f es inyectiva y 1 8 sobre, se deduce además que f es sobre, con lo cual se obtiene 1A

pía

(1)

elemento a

E

(2). a) Definición de la función g: Sea b E B. Entonces, por ser f una función, existe un único A de manera que f(a) = b. Por lo tanto, se define la función g: B —> A de la siguiente manera: (37)

g(b) = a EA, con f(a) = b

b) Propiedades de la función g: Se tiene que: (gof)(a) = g(f(a)) = g(b) =a ,

Va

(fog)(b) = f(g(b)) = f(a)

d

,

E

A,

6 E B,

es decir (36). Además, utilizando el mismo argumento de la parte anterior, cambiando f por g y A por B, se obtiene que g es una función biyectiva.

c) La función g es única: si se supone que existen dos funcione biyectivas g l : B —› A y g 2 : B manera que: g2of = g i of = IA ,

fog 2 =- fog, = IB

entonces se deduce que: a=

1A

(a) = (g 2of)(a) = g 2 (f(a)) =g 2 (b),

a= I A (a) = (g i of)(a) = g, (f(a)) = g, (b)

A de

,11

tl{I1

~ In11111) , i

178 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

igualdades que son válidas para todo elemento b

E

N de manera que f(a) = b. Por lo tanto, g l = g 2 .

Definición 30. Sea f :A B una función biyectiva. A la única función g:B A que verifica las propiedades gof= 1 A fog=1 13 se la denomina función inversa de f y se la nota comúnmente por f -1 . Definición 31. Sea f:A -A una función biyectiva. Se dice que f es una involución cuando f -1 = f. Ejemplo. La función f: =x, V x > O

definida por f(x) = x es una involución, pues f 2 (x) = f(f(x)) = f(1x)

Definición 32. Se llama función real a toda función cuyo conjunto de partida y de llegada es un subconjunto de números reales. Observación 22. El estudio de las funciones reales será el objeto del Capítulo 7.

5.5. ECUACIONES

♦ La ecuación f(x) = b Sean f: A B una función y b E B un elemento del conjunto B. Se sabe que a cada elemento a E A la función f le hace corresponder un único elemento de B. En forma muy frecuente se plantea el siguiente problema: "dado b E B encontrar, si existen, los elementos del conjunto A cuya imagen por f, en el conjunto B, es el elemento b". Dicho de otra forma: determinar el conjunto de elementos x (38)

E

A de manera que f(x) = b, es decir:

hallar el conjunto { x e A / f(x) = b}.

La expresión f(x) = b se lee "f de x es igual a b". Tomada fuera del contexto precedente, es una proposición que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de cuál elemento de A reemplace a la letra x. Cuando se escribe f(x) = b, no se sabe a priori cuáles son los elementos de A para los cuales la igualdad es verdadera, ni aun si existen tales elementos. Se dice que se ha escrito una igualdad formal. Definición 33. 1) Dada una función f

B y un elemento b E B, se llama ecuación a la igualdad formal f(x) = b que define por comprensión el conjunto A' de los elementos x de A que tienen, por f la imagen b E B, es decir:

(39)

A' = { x e A / f(x) =b } c A;

2) Al elemento x

E

A se lo llama incógnita de la ecuación;

3) Al elemento u.

E

A' se lo llama una solución o raíz de la ecuación f(x) = b, es decir que

satisface la igualdad f(u)=b;

(V E

Ay

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 179 4) Al conjunto A', una parte del conjunto A, de los elementos de A que son soluciones de la ecuación. f(x)=b se lo llama el conjunto de soluciones de dicha ecuación; 5) Resolver una ecuación en un conjunto A, es determinar en el conjunto A, al conjunto A' de sus soluciones. Observación 23. El problema "Resolver la ecuación f(x) =b" no tiene ningún sentido si no se precisa

la función f y en particular al conjunto de partida A al cual el elemento x debe pertenecer. Ejemplo. La ecuación x 2 = 3 admite: i) dos soluciones

y-

en E ;

ii) una solución Vá en 19 + ; iii) ninguna solución en NI y en Observación 24. Sean f: A —> B una función y b siguientes resultados generales: 1) Si b

E

E

B. Entonces para la ecuación f(x)=b, se tienen los

Im(f) entonces la ecuación admite al menos una solución;

2) Si f es sobre entonces la ecuación admite siempre al menos una solución, cualquiera sea el elemento b E B; 3) Si f es inyectiva entonces si la ecuación admite soluciones entonces la solución es única. Más aún: (a) admite una única solución cuando b E Im(f); (b) no admite ninguna solución cuando b Im(f). En este caso f no es sobre; 4) Si f es biyectiva entonces la ecuación admite una única solución.

A La ecuación f(x) = g(x)

Sean f:A ,g:A dos funciones. Análogamente al caso anterior, se puede plantear el siguiente problema: determinar el conjunto de los elementos x E A que tienen, por f y por g, la misma imagen en B, es decir:

(40) Hallar el conjunto A' = x E A / f(x) = g(x) } c A

La igualdad formal f(x) = g(x) será, Verdadera para ciertos elementos x Falsa para los elementos x E CA ( A').

E

A, en particular, x

E

A' y,

Definición 34. La igualdad formal f(x) = g(x) es una ecuación que define por comprensión el conjunto A' de los elementos x de A que tienen , por f y por g, la misma imagen en B.

Las nociones de incógnita, solución o raíz , etc. son las análogas que en el caso anterior.

1il

,11,1

180* CURSO DE NIVELACION DE MATEMÁTICA

Observación 25. Las ecuaciones del tipo f(x)=b constituyen un caso particular de las ecuaciones del

tipo f(x)=g(x), tomando como función g una función constante de manera que g(a)=b, V a e A. Observación 26. En forma análoga al caso anterior, se puede plantear la ecuación del tipo f(x,y)=c,

donde: xEA,

yeB,

ccC,

f:AxB --> C es una función La incógnita será, en este caso, el par ordenado (x,y) necen invariables.

E

A x B. Todas las otras definiciones perma-

Más aún, se puede hablar también de las ecuaciones del tipo f(x,y)=g(x,y)

5.6. CARDINAL DE UN CONJUNTO Anteriormente se vio la definición de un conjunto finito y de un conjunto infinito. Ahora, se tratará de analizar el número de elementos de un conjunto, lo que se conoce con el nombre de cardinal de un conjunto. Definición 35. Sea A un conjunto finito. Entonces se define como cardinal de A al número de elementos (número natural) del conjunto A, es decir:

(41)

card (A) = n(A) = número de elementos del conjunto A.

Ejemplo. Se tiene: card(0) = O , card ({a})=1, card ({1,2,3„n} ) = n.

card ({a,b,}) = 2,

Definición 36. Se dice que dos conjuntos infinitos A y B tienen el mismo cardinal, la misma potencia o son dos conjuntos equipotentes, se nota por A — B, si y sólo si:

(42)

:A

B función biyectiva

Proposición 4. La relación de equipotencia entre dos conjuntos es una relación de equivalencia. Definición 37. Se llama sucesión a toda función f definida en el conjunto de los números naturales,

es decir f : , --> A, siendo A un conjunto dado. Observación 27. Si f es una sucesión, entonces quedan definidos los elementos a, =f (n)EA,Vn

Recíprocamente, si se conocen los elementos a n E A , V n E sucesión f : A, de manera que f(n) = anenEN

, entonces se puede definir una

1111,,

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 181 Por lo tanto, para conocer una sucesión f es necesario y suficiente conocer una lista infinita de

elementos de A a1 , a2 ,

, que se simbolizará por la notación abreviada

,a,

(43)

(an)n E

Definición 38. Un conjunto A es numerable si y sólo si A es equipotente al conjunto N de los

números naturales. Observación 28. De acuerdo a la observación anterior, se puede decir que un conjunto A es numerable si y sólo si A puede considerarse como la imagen de una sucesión (ponerse en sucesión) donde no aparezcan repeticiones, es decir:

A = { a1 ,

a,

} = (a n)n E N

Proposición 5. (i) El conjunto de los números naturales pares es un conjunto numerable.

(ii) El conjunto de los números enteros 71 es un conjunto numerable. Demostración. Para probar que un conjunto es numerable basta ponerlo en sucesión.

a) El conjunto de los números naturales pares P = {2,4,6,8,10,12,...} se puede poner en sucesión de la siguiente manera trivial. 2, 4, 6, 8, 10, 12, Por tanto, se puede definir la función: f:N

/

f(n) = 2n, V .11 E N

que resulta ser biyectiva con función inversa g definida por: f : P--> N

Vp E P

g(P) =

b) El conjunto de los números enteros 71= {...., -3,-2,-1,0,1,2,3, siguiente manera:

} se puede poner en sucesión de la

0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4,

Por lo tanto se puede definir la función: O f : N-4 7L

/

f(n) = n —1 2

si

n=1

si

n es par

si

n es impar, n 3,

si si si

z=0 z E N -z E N .

que resulta ser biyectiva con función inversa g definida por:

g : 71

N

/

g(z) =

1 2z -2z+1

Definición 39. Un conjunto A tiene la potencia del continuo si y sólo si A es equipotente al conjunto IlB de los números reales.

I

182 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA Proposición 6. Se tienen los siguientes resultados: 1) El conjunto de los números racionales O es numerable: 2) El conjunto de los números irracionales tiene la potencia del continuo. Demostración. Se demostrará solamente el resultado 1), pues el 2) está fuera del alcance del presente curso. Para ello se verá previamente que el conjunto U+ de los números racionales positivos es numerable, es decir, que CP se puede poner en sucesión (,P ri)n E N. De acuerdo al problema 11, planteado en el Trabajo Práctico, se tiene que O es el conjunto de las clases de equivalencias en el conjunto A+ de los números fraccionarios positivos donde:

A = { -/p , q E 7L ,q=O} conjunto de los números fraccionarios y la relación de equivalencia es la dada por: P_r q s

R r <=> ps - qr = O <=>

qP s

(q = 0, 5=0 )

El conjunto A' puede ser representado por los elementos de una matriz o tabla infinita construida de la siguiente manera: en la fila q n

E %,

E

N se colocan todos los números fraccionarios que son de la forma Ll con

es decir:

1_1 i

2

3 = 3 4 =_ .T ...,

6

6

2J

3,' 44,= 1 5 6_, -v2 2 -u 24 3 -1 .V 5 6 =2 -á5 3 13 4= 1 5 6_6 4- 2 4 4 4 LT -' 4 5_i 6 5 5 __1 _3 = 11 4 _ 2 5

-I - N

- 11.- -5¿

6_ i

---'

Luego, utilizando el proceso de diagonalización de Cantor se puede poner O+ en sucesión de la siguiente manera, se utiliza la diagonalización indicada por las direcciones de las flechas en el cuadro anterior, comenzando desde la posición arriba a la izquierda hacia la derecha y abajo, y suprimiendo la fracción equivalente que fuera ya utilizada con anterioridad:

1 2,

2'

q1 A 3 2 1 5 1 6 5 4 3 2 3' 2' 3' 4" 5" 2' 3' 4' 5' 6'

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 183 Para finalizar, se utiliza el mismo proceso a través del cual 7L es numerable, con lo cual se deduce que

es numerable pues puede ponerse en sucesión a través de: 0, 1,

-1, 2,

-2,

5, -5, 5, —

,

-

, 3,

-3,

,

3

' 4, - 4,

3 - 3 2 , _ 3, 2' 2 ' 3'

1 4'

1 4'

, 6, —6,

Observación 29.

1) En la demostración anterior se puso al conjunto Q en sucesión a pesar de no haber indicado la ley biyectiva en forma explícita; en dicho caso, la biyección está en forma implícita. 2) Se puede demostrar que "la potencia del continuo es más que la numerabilidad", y por tanto se llega a la conclusión que los números irracionales (re, e, V-2-, J3, etc.)son muchos más que los números racionales, que son de uso frecuente en la vida cotidiana.

5.7. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA A El símbolo de sumatoria

En muchas situaciones es conveniente abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten una cierta ley de formación, por ejemplo: 1)

a l + a2 + a3 +

-han ,

2)

1+2+3

3)

1 2 + 22 +

32 +

+n 2 ,

4)

a 1 + 2 a2

+n, + 3 a3 +

+

n an

Definición 40. Si a es un número real que depende del índice i, entonces la suma a l + a2 + a3 + de la siguiente manera: +an se la notará, en forma abreviada, a través del símbolo de sumatoria .

Ea ; =

(44)

+ a2 + a3 +

+ a,

i desde 1 a n". Al elemento i se lo llama el índice de la que se lee "sumatoria de los números a sumatoria que tiene un rango de variación, en este caso, de 1 a n. .

Observación 30.

1) En el desarrollo de una sumatoria se le asigna al índice de sumatoria i cada uno de los sucesivos valores de su rango de variación, y luego se suman todos los términos así obtenidos. 2) Cabe destacar que el índice de sumatoria i puede ser reemplazado por cualquier otro sin alterar el valor de la sumatoria o resultado, es decir:

al =

i=i

ak = al + a2 + a3 +

al =

i= 1

k=1

Proposición 7. El símbolo sumatoria satisface las siguientes propiedades:

+ a,.

141,

1I

lill11,11111111,Jirm.

184 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

n

(1 )

n

(3)

n

i mn

nm

n

E (a a i ) = ala i , i=1

=na

(2)

E(a i +bi )=Ia i +Eb i ,

=1i1 14 al = 1,1,aii

(4)

j=1 i=1

i=1

Demostración. Utilizando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de los números reales se deduce: a) E (ai + bi) = (a i + ) + (a2 + b2) + + (an + bn ) = (a i + a2 + + an) + (bi + b2 + + b„)=

= i=1

b)

i=1

a=a+u+....+a(nveces)=

na

i=i

C)

etai ) = ()ta l +

022 + + (kan = ( + a2 + + an ) =

i=,

ai i=i

Observación 31. En el caso en que n=m, entonces la última expresión (4) se puede simbolizar de la siguiente manera: .

d=' A El principio de inducción matemática (inducción completa) El principio de inducción matemática proporciona un método de demostración, por recurrencia, de propiedades relativas al conjunto de los números naturales, y también una manera de definir nuevos conceptos matemáticos. Definición 41. Sea Pn una proposición o propiedad que depende del número natural n

E

N. Enton-

ces, P o es verdadera, yn EN si se tiene que: 1) "La proposición P 1 es verdadera"; 2) "Si la proposición P n es verdadera entonces la proposición

Pn+ i

es también verdadera".

Observación 32. 1) La condición de que P 1 sea verdadera debe obtenerse directamente por simple verificación. En general, esta condición se deduce trivialmente; 2) Cuando la propiedad P o comienza a ser válida, por ejemplo, a partir de un cierto número natural n o entocslaprimdónebplazrsovedP no . A veces no puede valer O; 3) En general, la verificación de la segunda condición es más difícil que la primera. La idea básica es la de poner la propiedad P o + 1 en función de la de Pn; luego utilizar la hipótesis de inducción para P o para concluir entonces, a través de determinado argumento, la verdad de Pn+1. Proposición 8. La suma de los n primeros números naturales está dada por:

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 185

(45)

Ii.

n(n+1) 2

VnENI

'

Demostración: La proposición P n es en este caso: "la suma de los n primeros números naturales es

igual a n(n+1)/ 2" . Se verá que las dos condiciones requeridas para que Pn sea verdadera se satisfacen: 1) P1 es verdadera trivialmente, pues 1 =

;

2) Utilizando la hipótesis de inducción para n, se tiene que n+1

n

i = (n + 1) + i=1

i = (n + 1) +

n(n + 1)

2

i=1

— (n + 111 + 2 —

(n + 1)(n + 2)

2

es decir que la proposición P n+ 1 es verdadera. Corolario 9. Utilizando el resultado anterior deducir que la suma de los primeros números naturales pares e impares están dados por n(n+1) y n 2 , respectivamente. Demostración. Esto surge directamente de propiedades del símbolo sumatoria, es decir:

a)

1 2 i = 21 i = 2 i=i i=i

b)

1(2 i-1)= i=i

n(n + 1)

2

— n(n + 1),

1= n (n+1)—n =n 2 .

A Potencia de un binomio, Binomio de Newton Dado un binomio (a+b), se desea calcular la potencia (a+b)^, siendo n observa que:

E

NI u {0}. En primer lugar, se

(a+b)° =1, (a+b)' = a + b (a+b) 2 = a2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab 2 + b' ,

En general, desarrollando el producto de n factores: ( a+b )( a+b )

( a+b ) ( n veces )

se obtiene que (a+b)n =v LJCnka n k b k = k=0

(46)

= cnoa nb o

donde los coeficientes C n k se calculan de la siguiente forma:

Cn n-

+ CnnaCbn

11411101di

186 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(47)

C 00 =1

para n =0 : para n =1 : para n =2 : para n =3: para n =4: para n =5:

Los coeficientes

C o k,

y se indican con el símbolo

C io =1

C 11 =1 C21 =2 031 =3 C41 =4 C51 =5

020 =1 C 30 =1 040 =1 0 50 =1

022 =1 0 32 = 3 042 = 6 052 = 1 0

0 33 —1 043 =4 C53 =10

C44 =1 C 54 =5

055 =1

se llaman coeficientes binominales, o también, números combinatorios n k, _ n

k . Estos coeficientes, ubicados en filas para cada valor de n, construyen el

llamado triángulo aritmético de Tartaglia, cuya ley de composición se indica a continuación; ver más abajo la justificación a través de la Fórmula de Stieffel: n=0 n=1 (48) n= 2 n=3 n=4 n= 5

1 1 1 1 1_>

1 2 3 4

1

5

1 3 6 10

1 4

1

10

5

1

Definición 42. Se denomina factorial de n y se simboliza n! al producto de los n primeros números

naturales, es decir;

(49)

n! = 1.2.3

(n - 1)•n

Por conveniencia, se dará el valor 1 al símbolo 0!, o sea:

(50)

0!=1

Ejemplos. Se tienen: 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4! = 24, 5! =120, 6!=720 n!=n(n-1)!,

n!=n(n-1)(n-2)! _ _ n

Definición 43. Se denominan coeficientes binomiales lan por la siguiente expresión:

(51)

n k

n!

(n - k)! k!

n(n - 1) k(k - 1)

k

a los números racionales que se calcu-

(n -k +1)

2.1

olz k Ük.

,

1,y■ E tt\I

Lema 10. Propiedades de los coeficientes binomiales. Para todo n, k c %U {O}, se tienen las siguien-

tes relaciones:

N,

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 187

1) [2]= { nri] =1

2) M = ín—n kl'

(52)

3 ) [ k n 11 + [ ij _ ínkFl

Fórmula de Stieffel

Demostración. Se tienen: 1)

u]

= n! =1 n! O!

r11

=

n! =1 0! n!

n!

2)

n!

(n — k)! k!

n!

[ n 1 4_[nl [1<-11 [k]

3)

(n — k)! (n - (n - k))!

[n n-

;

n!

(n-k+1)! (k-1)!

n!k +n! (n-k+1)

nl (n+1)

(n— k+1)! k!

(n—k +1)! k!

(n-k)!

=

(n+1)!

+1- k)! k!

[n+11 [kJ

Se demostrará ahora, por inducción completa, que los coeficientes binomiales así definidos, son los que validan la siguiente fórmula. Binomio de Newton: sean a, bER y n E tiene la siguiente expresión: (a + b) n =

Entonces, para la potencia n-ésima del binomio (a+b), se

[nl &O k

an-k bk =

(53) = [2] an bo

[n n 11 a l b n-i

b1

[lin] a o b n .

[1]

Demostración. Se utilizará el principio de inducción completa.

a°b°

a) La fórmula vale para n=0 ya que (a+b)° =1 =

b) Si se supone que vale para n entonces se probará que para n + 1 se tiene la siguiente expresión n+1

(a+ b) n+1 = Ií r1+1 an+l-kbk. k=0

Se tiene que:

(a + b) n+1 = (a + b) n (a +b)= {I[ Ija n-k b k }(a + b) k=0 JJ

1- ni

= k=0

ÍkJ

bk k=0

[nl kJ

b k+1 =

1

I 11 11 11 1

188 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

=

r ol an+ 1 b o 10.1

n

n-1 &1+1-k bk + 1, [ni [k r k=0 k `-` k=1

[n]

= [n-10-11 a n+1 bO + k=1

= [n¿h11 an+ 1

[] a n+1-k k b + 2d

=

n —

j=1

b0 k=1

n+1

bk+1 +

, n-i+1 b j

1 a

n n-k+1 bk Lk — 1.1f a

ni Jrk.1 tl

[nn l a ° b n+1 = 11 a 0 b n+1

[n + 11 11 a 0 [n+1

b n+1 =

[T1-1-1 a n+ 1- k bk ,

k=0

que es lo que se quería probar.

Ejemplos. El binomio de Newton para los valores más sencillos de n (casos 2, 3, 4, y 5) viene dado por las expresiones siguientes: n = 2:

(a+b) 2 = a2 +2ab + b2 ;

n= 3:

(a+b) 3 = a3 + 3a2 b + 3ab2

n= 4:

(a+b) 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ;

n = 5:

(a+b) 5 = a5 + 5a4b + 1 Oa3b2 + 1 0a2b3 + 5ab4 + b 5 ;

;

que coinciden para n=2, 3 con lo ya visto en el Capítulo 2 para el cuadrado y cubo de un binomio.

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 189

Trabajo Práctico 1)

Dé ejemplos de colecciones tales que: (i) la pertenencia de ciertos elementos sea discutible; (ii) la pertenencia de los elementos esté caracterizada por una propiedad, dé varios ejemplos.

2)

i) Dé ejemplos de conjuntos definidos por extensión y comprensión; ii) Defina por extensión los conjuntos siguientes: a){xEZ/x 2 55 36 },

b){x ER/x 2 +x= O };

iii) Defina por comprensión los conjuntos siguientes: a) {1, 3, 5, 7, 3)

},

b ) {5, 10, 15, 20,

}

Sea el conjunto X= {1, 2,....8, 9} c N. Defina, por extensión, las partes de X siguientes : P: números pares Q: números primos,

I: números impares A: números múltiplos de 3.

Defina, por extensión y por comprensión, los complementarios de dichas partes con respecto al conjunto X. 4)

Indique si tienen sentido o no las siguientes expresiones: a

E

a,

AEA,

5)

a

E

{a} ,

AA,

a c {a} ,

a c a,

a = {a}

A

A E {A} ,

A c {A}

E

{A} ,

Halle la intersección, unión, diferencia y diferencia simétrica entre: i) A = { 2, 4, 6, 8} , B {1, 4, 7, 9} ; ii) dos rectas del plano. (Analice los diferentes casos) ; iii) una recta y un círculo en el plano. (Analice los diferentes casos) ; iv) dos círculos del plano. (Analice los diferentes casos).

6)

Verifique que : i)A cB (AnC)c(B(1C), (A UC)c(B UC), VC. ii)A cB <1=>AnB =A <=>AUB=B <=>A 0

n íá =

7)

Dé un ejemplo que verifique: i) A-B.B-A,

ii) A - (B - C) ( A - B) - C

8)

Si los conjuntos A y B tienen n y m elementos, respectivamente, entonces los conjuntos A x B y B x A tienen nm elementos, pero en general A x B .13 x A. Dé un contraejemplo.

9)

Grafique en el plano cartesiano los conjuntos A x B siendo: i)A=IF

B

n 11

I

i,

W

I

Íb

1

1

iit

Uáálib

190 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

ii)A={x E R/0 iii)A= {x R/ 1 iv)A= {x EN/1

10)

)(.5_ 1 }, 5_ 2 }, 5 },

B=R+; B={x ER/3 B={x EN/0

Sean los conjuntos A = B = {1,2,3

(i) R 1 : ser la mitad de; (iii) 19 3 . ser un divisor de ; (v) R5 : ser el cuadrado de;

5_ 4 } 3}

,15,16} y las siguientes relaciones:

(h) R 2 : ser el doble de; (iv) R4 : ser un múltiplo de; (vi)R 6: ser la raíz cuadrada de.

Para cada caso, haga un estudio completo de la relación binaria (dominio, imagen o recorrido, gráfico, relación inversa, diferentes propiedades, etc.)

11)

(i) Sea el conjunto A =

— , p,q

E Z,

q

O } de los números fraccionarios. Se define la

siguiente relación binaria en A: PR r<=> Ps q r = q s Verifique que R es una relación de equivalencia. 1 3 ii) Halle las clases de equivalencia correspondiente a las fracciones 2— y 3= — ; 1 iii) ¿Qué representa cada una de las clases de equivalencia halladas? Definición. Un número racional es una clase de equivalencia en el conjunto de los números fraccionarios.

12)

Verifique si las relaciones son de equivalencia o de orden:

(i) "La igualdad" (=) entre conjuntos; (ii) "El paralelismo " (II ) entre rectas; (iii) "La semejanza" ( —) entre triángulos; (iv) "La inclusión" ( c ) respecto de los conjuntos; (v) "ser menor o igual que" ( ) en 1:1 ; (vi) "ser mayor o igual que" ( ) en R.

13)

Sea el conjunto A = { seres humanos vivos o muertos }. Se definen las funciones f: A de la siguiente manera: f(p) = "padre de p"

g(p) = "madre de p" , V p E A

(i) Verifique que fog(p) = "abuelo materno de p", V p c A; (ii) Halle el significado de las composiciones gof, f 2 , g2

A y g: A —> A

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 191

14)

Sean las funciones f

--> 6g g

Urk definidas por f(x) = x3 , g(x) =2x +1, V E G1 . Halle fog, gof,

,

f2 , g2

15)

Sean A y B dos conjuntos que tienen n y m elementos, respectivamente. Se considera una función f: A --> B. Compare los números naturales n y m cuando f es inyectiva, sobre y biyectiva.

16)

Sean los conjuntos A= {a,b,c,} y B = { (1, p, y } y la función f: A f( a ) =

,

f(b)=

,

B definida de la siguiente manera: f ( c ) = -y .

Indique si f es inyectiva y / o sobre. 17)

Verifique que si dos funciones son inyectivas (sobre) entonces la composición es inyectiva (sobre).

18) A todo punto de un círculo se le hace corresponder el punto diametralmente opuesto. Indique si se tiene una función sobre, inyectiva, biyectiva. 19)

Halle las funciones inversas de las siguientes funciones reales: (i)f:11—> R/f(x)=mx+h(m0); (ii) f :

0;1+ / f (x ) = x 2

¿Qué sucede si se considera la misma ley pero con f: iii)f:R 20)

f: í --> R+?

/ f(x)=x 3

} el conjunto de los números naturales pares. Sea f : —> NyG:N Sea P = {2, 4, 6, funciones definidas por: f(n) = 2n,

g(n) = 2n,

P las

VnEN

Indique si f y g son funciones inyectivas, sobres, biyectivas. En caso de ser posible, halle la función inversa correspondiente.

21)

Resuelva en N, en el, en 0+, en y en R+ la ecuación 4x2 = 9

22)

Utilizando las nociones de intersección y de unión de conjuntos, defina en IR el conjunto de soluciones de la ecuación. (i) f (x) g(x) h(x) = 0, a partir de los conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones f(x)=0, g(x)=0 y h(x)=0; (ii) f2 (x) = g 2(x) a partir de los conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones f(x)= g(x) y f(x) -g (x)

23) (i) Dé 3 soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones: x+y= 1,

2 x+y= 2;

192 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(ii) Exprese, como en el ejercicio anterior, el conjunto de soluciones del sistema de dos ecuaciones lineales: x+y=1 2x + y = 2

(iii) Halle el conjunto de soluciones de la parte (ii)

24)

Demuestre que el conjunto de los números naturales impares es un conjunto numerable.

25)

Verifique que los conjuntos A y B tienen igual potencia siendo: A={x e R./ 0<x<1 },

B={x E R/a<x
donde a y b son dos números reales cualesquiera de manera que a < b. 26)

Verifique que los siguientes conjuntos tienen la potencia del continuo; puede complementarse con lo que se verá en el Capitulo 7 sobre las funciones elementales y sus correspondientes gráficas: (i) IR' (Considere la función f(x)= 10x, V x ER); (ii) A= {x E R / 0 < x < 1 } (Considere la función f(x) = 1 / (1 + x), Vx E R+).

27)

Verifique por inducción matemática la igualdad de las siguientes expresiones: (i)

2

/I =

n(n +1)(2n +1) .

6

1=1

(iii)

1, a i =O

(v)

28)

y n

= a

1 — qn+ 1 (q 1—q

-1

=

1);

n + 1'

n 2 (n + 1) 2 _ ( 4 — \j=1 i ) =1—

,

1 i(i +1)

3

2'

• 2n

(1 + x)" 1 + nx (x > 0)

(i) Aplique el binomio de Newton para expresar: (a) (x + 2) 5 ,

(b) ( x - 2) 5 ;

(ii) Indique los valores de x, de manera que el tercer sumando del desarrollo de (x + 2) 4 sea igual a 48.

29)

30)

Sean A, B y C tres conjuntos finitos con número de elementos n(A), n(B) y n(C), respectivamente. Verifique que se tienen las siguientes propiedades: (i)

n (A u B) = n (A) + n (B) - n (A n B) ;

(ii)

si A n B = 0 entonces n (A u B) = n (A) + n (B) ;

(iii)

n(A u B u C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A n B) - n (A n C)

Resuelva los siguientes problemas de conteo:

-

n (B n C) + n (A n B n C).

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 193 (i) Considere un grupo de 50 personas. Se sabe que de ellas 20 no estudian ni trabajan, 10 estudian, y 5 estudian y trabajan. Indique:

(a) ¿Cuántas personas trabajan? ; (c) ¿Cuántas sólo estudian?

(b) ¿Cuántas sólo trabajan?

(ii) En un periódico, sobre 50 empleados de una sección sabemos que 16 son sólo reporteros, 14 son fotógrafos no diagramadores y entre éstos hay 4 que a la vez son reporteros, 5 son diagramadores únicamente, 2 diagramadores y fotógrafos, 3 son diagramadores y reporteros. Además, hay 8 empleados que cubren otras especialidades de la sección. Indique cuántos empleados desarrollan las tres especialidades? (iii) En un banco hay 10 empleados exclusivos para la caja de ahorro, 30 que trabajan en cuentas corrientes, de los cuales 4 colaboran con los cajeros exclusivos que son 16. Además, hay 6 empleados que pueden trabajar en caja de ahorro y en cuentas corrientes, y 4 empleados (1 gerente, 1 secretario y 2 contadores) que pueden apoyar en las 3 secciones. Indique: (a) ¿Cuántos empleados hay en el banco? (b) ¿Cuántos empleados desempeñan una única función en el banco? (c) ¿Cuántos empleados desempeñan al menos dos funciones en el banco? 31)

Hay 35 estudiantes que quieren cursar Matemática , Economía o ambos a la vez. Si 25 estudiantes se han inscrito en Economía y 20 en Matemática, ¿cuántos están inscritos en ambos cursos de Economía y Matemática?

II

411

41

194 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Problemas Complementarios

1) Demuestre por contradicción que si X e Y son números reales tales que: XO,

entonces

YO,

X + Y =O ,

X=OeY=0

2) ¿Cuántos primos puede tener Juan, de acuerdo al siguiente diálogo, si se sabe que uno solo de los chicos dice la verdad? José dice: Juan tiene por lo menos 6 primos; Alberto corrige: No, tiene menos de 6 ; Pablo agrega : Tal vez tengas razón, pero lo que yo sé, es que tiene más de 1 primo. 3) Los trillizos Ramírez tienen la siguiente molesta costumbre: cada vez que se les hace una pregunta, dos de ellos dicen la verdad y el otro la mentira acerca de la respuesta. Se les preguntó cuál de los tres había nacido primero, y contestaron: José dice: "Juan nació primero" ; Juan dice: "Yo no soy el mayor" ; Pablo dice: "José nació primero". ¿Cuál de los tres nació primero? 4) Indique al menos tres respuestas para la siguiente pregunta de abstracción: ¿Cómo se puede demostrar que dos números reales son iguales? 5) Demuestre por contradicción que: (i) En una fiesta de n personas (n 2) existen por lo menos dos personas que tienen el mismo número de amigos en la fiesta. (ii) No existen tres números naturales consecutivos tales que el cubo del mayor sea igual a la suma de los cubos de los otros dos. 6) Indique, al menos tres respuestas, para la siguiente pregunta de abstracción: ¿cómo se puede demostrar que dos rectas del plano son paralelas? 7) Sea la proposición directa: "Si ABC es un triángulo equilátero entonces ABC es un triángulo isósceles". (i) Indique si puede expresarse en forma equivalente diciendo: (a) Que un triángulo sea equilátero es condición suficiente, pero no necesaria, para que sea isósceles.

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 195 (b) Que un triángulo sea isósceles es condición necesaria, pero no suficiente, para que sea equilátero. (c) Un triángulo es isósceles si es equilátero. (d) Un triángulo es equilátero sólo si es isósceles.

La proposición recíproca de la directa dada es : " Si ABC es un triángulo isósceles entonces ABC es un triángulo equilátero".

La proposición inversa es: "Si ABC no es un triángulo equilátero entonces ABC no es un triángulo isósceles". La proposición contrarrecíproca es : "Si ABC no es un triángulo isósceles entonces ABC no es un triángulo equilátero". (ii) Indique y justifique cuál de las cuatro proposiciones: directa, recíproca, inversa y contrarrecíproca, es verdadera o falsa.

196 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Respuesta Trabajo Práctico

2)

(ii)

(a) (b)

{ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6 } , {0, -1 } ;

(iii)

(a) (b)

{x ENI/x= 2k -1 conkEKI} {x EN/x=5kconk EN}

3)

P = { 2, 4, 6, 8 } ,

Q = { 1, 2, 3, 5, 7 } I = { 1, 3, 5, 7, 9 }, A = { 3, 6, 9 } , N/x= 2k+1 ,k= 0, 1, 2, 3, 4 }, 13 ={ 1, 3, 5, 7, 9 }={x 1={ 4, 6, 8, 9 }={x EKI/x= 2k ,k= 2, 3, 4 }u{ 9 }, T= { 2, 4, 6, 8 }={x ENI/x= 2k ,k= 1, 2, 3, 4 }, = {1, 2, 4, 5, 7, 8 }

4)

no no

5)

(i) A n B = { 4 }

sí no

no sí

no no

no sí

A A B = { 1, 2, 6, 7, 8, 9 }

A u B = { 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9 }

Y

Y Y 4 3 2

3

1

1

2 1

1

2

1

10) (i)

1

1 2 3 4 5

R 1 = { (1,2), (2,4) , (3,6), (4,8), (5,10), (6,12) , (7,14), (8,16)) Dom (R 1 ) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Im (R 1 ) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

R i : "ser el doble de ;

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 197 (ii)

R 2 = {(2, 1),(4, 2),(6, 3),(8, 4),(10, 5),(12, 6),(14, 7),(16, 8)} Dom (R 2) = Im (R 1 ) Im (R 2) = Dom (R 1 ) R2-1 : " ser la mitad de "

11)

(ii)

[1={ 2 EA/q=2p}

12)

(i), (ii) y (iii) relación de equivalencia, (i), (iv),(v) y (vi) relación de orden .

13)

(ii)

,

q

gof (p) = " abuela paterna de p " , g2 (p) = " abuela materna de p " , f2 (p) = abuelo paterno de p "

14)

fog (x) = (2x + 1) 3 g2 (x) =4x + 3 .

15)

inyectiva n m ,

16)

no es inyectiva ni sobreyectiva.

18)

es biyectiva.

19)

(i) f-1 (y) =

20)

f es inyectiva pero no sobreyectiva,

f2 ( x) = x9

gof (x) = 2x 3 +1 ,

sobreyectiva n m

biyectiva : n = m .

y — h (ii) f-1 (Y) =

g es biyectiva ; g -1

21)

[3]={—EA/p=3q}

—■

/n

(iii) f -1(Y) =

2

en NI no hay solución solución en O : solución en

:

,

; ;

solución en (Er• '2' solución en Er• • '2'

22)

(i)S={x/f(x)=0} u{x/g(x)=0}u{x/h(x)=0} (ii) S = { x / f(x) = g (x) } u { x / f(x) = -g(x) }

23)

(i)

soluciones de x + y = 1 : (0, 1) ; (1, 0)1, -1); soluciones de 2x + y = 2 : (1, 0) ; (0, 2);(-1, 4) ;

(ii)

S={(x,y)/x+y= 1 } n{(x,y)/2x+y= 2 };

(iii)

S = { (1, 0) }

NÚMEROS REALES 6.1. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES Es un complemento de lo dado en el Capítulo 1 sobre los números reales. A Ley de composición interna Definición. 1. Sea A un conjunto no vacío. Una ley de composición interna definida en el conjunto A, es toda función de A x A en A, es decir, se trata de una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A. Dicho de otra manera, la operación * es una ley de composición interna en A si y sólo si * : A A es una función, es decir que (1)

xEA,yEAx*yEA

La imagen x * y, del par (x,y) por la operación * , es el resultado o la composición del elemento x de A con el elemento y de A. Observación 1. 1) La unicidad de la operación x * y está garantizada por el hecho de ser * una función:

2) La adic ión y la multiplicación son leyes de composición interna en i, Z, (U y R. A Estructura de grupo conmutativo Definición 2. Sea A un conjunto munido de una ley de composición interna * . Se dice que la dupla (A, * ) es un grupo si y sólo si:

1) La ley * es asociativa, es decir: (2)

(x*y)* z=x*(y*z),

V x, y , z EA;

2) La ley * posee un elemento neutro en A, es decir: (3)

3 eEA/x*e=e*x = x

V x EA;

3) Todo elemento de A posee un elemento simétrico en A, es decir: (4)

V x E A, 3 x' E A / x * x' = x' * x = e

Definición 3. Sea A un conjunto munido de una ley de composición interna * . Se dice que la dupla (A, * ) es un grupo conmutativo si y sólo si:

1) (A, * ) es un grupo ; 2) La ley * es conmutativa, es decir: (5)

x*y =y*x

V x, y E A.

Observación 2. El elemento simétrico se llama opuesto cuando la operación * es la suma (+)

ordinaria y se llama inverso o recíproco cuando la operación * es el producto (x) ordinario.

200 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Ejemplos. (i) (2,+), (C1,+), (R,+) son grupos conmutativos respecto de la operación suma (+) ordinaria. Más aún, el elemento neutro es el O (cero); x ) , (R-{0}, x) son grupos conmutativos respecto de la operación producto (x) ordinario. (ii) ( Más aún, el elemento neutro es el 1(uno); (iii) (R, x ),(2, x) no son grupos conmutativos. A Estructura de cuerpo Definición 4. Sea A un conjunto munido de dos leyes de composición interna (+) y (x) . Se dice que el triple (A, +, x) es un cuerpo si y sólo si:

1) La dupla (A, +) es un grupo conmutativo, con elemento neutro 0; 2) La dupla (A -{0}, x) es un grupo; 3) La segunda ley de composición interna ( x ) es distributiva con respecto de la primera (+), es decir:

(6)

(i) a x(b+c)=a x b+a x c, (ii) (a+b) x c=a x c+b xc,

V a, b , c E A; V a, b , c EA;

Observación 3. En el caso en que la segunda ley de composición interna (x) sea conmutativa, las dos propiedades distributivas (6i) y (6ii) se reducen a una sola. En este caso, se dice que (A, +, x) es un cuerpo conmutativo. Definición 5. Sea A un conjunto munido de dos leyes de composición interna + y x. Se dice que el triple (A, +, x) es un cuerpo conmutativo si y sólo si:

1) El triple (A, +, x) es un cuerpo; 2) La segunda ley de composición interna (X) es conmutativa.

Observación 4. En el conjunto de los números reales la operación producto (x) se suele indicar

también por (.), pero en general se evita su colocación por conveniencia en las notaciones. Ejemplos. (i) El conjunto de los números reales con las operaciones suma (+) y producto (x) ordinario tiene una estructura de cuerpo conmutativo, es decir que (R, +, x) es un cuerpo conmutativo, (ii) El triple (O, +, x) es un cuerpo conmutativo; (iii) El triple (2, +, x) no es un cuerpo.

Definición 6. En todo cuerpo conmutativo (A, +, x) se tienen además las dos leyes u operaciones

siguientes: 1) Resta o diferencia: ( 7)

x-y=x+(-y)

donde (-y) E A designa el elemento opuesto de y EA:

V x,yeA,

NÚMEROS REALES • 201 División :

2)

x + y = —= x Y E A designa el elemento recíproco o inverso de y E A — {0}.

(8) donde y' =

V x, y e A con y O,

A Propiedades fundamentales de los cuerpos conmutativos Las propiedades fundamentales de los cuerpos conmutativos, en nuestro caso, el conjunto de los números reales, son las que se utilizan corrientemente en el cálculo con dichos números. Se deducen utilizando las propiedades básicas, en especial, la propiedad distributiva. Proposición 1. En el conjunto de los números reales son válidas las siguientes propiedades:

1) x0=0x=0,VxER; 2) x ( y) = (xy), V x, y E R; -

-

3) Para que un producto de factores sea nulo es necesario y suficiente que al menos uno de los factores sea nulo, es decir: xy=0 ‹:=> x=0 V y=0 4) El producto es distributivo con respecto a la resta, es decir: x(y-z)=xy-xz, Vx,y,z ER; 5) La división es distributiva con respecto a la suma y resta, es decir: x—y+z a

x a

y a

Vx,y,z,aeRcona = O .

a

6) Se tienen las igualdades fundamentales siguientes: (i) (ii) (iii)

(x + y)2 = x2 + y2 + 2 x y (x - y) 2 = x2 + y2 - 2 x y (x + y) (x - y) = x 2 - y2

V x, y, e R; V x, y, e R; V x, y, E R;

Á Números racionales e irracionales

Los distintos conjuntos de números que se utilizan se deducen a partir de sucesivas ampliaciones de conjunto de los números naturales N, de acuerdo a lo visto en el Capítulo 1. Ya se analizó que en N, ,/ y CP existen problemas sin solución.

A continuación se verán propiedades importantes del conjunto de los números racionales. Proposición 2. Entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales

distintos entre sí. Demostración. Sean a y b dos números racionales distintos con a
1111 1 11,

el

1

111,1 V

,1111 1 ,

liu

1

1

1,1111

11111,1 eilv Iliválk

202 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

a<

(9)

a+ba+b
pues a+b 2

a=

a+b a + b – 2a b–a > 0 , b– – 2 2 2

2b–a–b 2

b–a >0 2

Repitiendo indefinidamente este procedimiento se pueden hallar infinitos números racionales que se encuentran entre a y b. Observación 5. Por la propiedad anterior se dice que el conjunto la es denso con respecto de la

relación "<". Observación 6. No se puede hablar de dos números racionales consecutivos.

La pregunta simple que uno puede plantearse es "¿Existen otros números, utilizados en la vida cotidiana, que no sean números racionales?; la respuesta es afirmativa y para poder justificarla se puede considerar el siguiente problema. "¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud unitaria? o, dicho de otra forma, ¿cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos dos lados iguales tienen una longitud unitaria? Utilizando el Teorema de Pitágoras, resulta que la respuesta es J. Pero, inmediatamente surge la cuestión: ¿ -\/2 E el? antes de intentar dar una respuesta, se verán algunas propiedades de los números naturales. Lema 3. (i) Si p E N es un número par entonces p 2 es un número par;

(ii) Si p E N es un número impar entonces p 2 es un número impar; (iii) Si p E f y p 2 es un número par entonces p es un número par; (iv) Si p E N y p 2 es un número impar entonces p es un número impar. Demostración:

(i) Si p E N es un número par entonces p se puede escribir como p = 2n con n E N. Luego p 2 = 4 n2 = 2(2n2) que resulta ser un número par; (ii) Si p E N es un número impar entonces p se puede escribir como p = 2n - 1 con n E N. Luego p2 = (2n - 1) 2 = 4 n2 - 4 n + 1 = 2[2 n (n - 1)] + 1, con lo cual p2 es un número impar; (iii) y (iv) resultan ser corolarios inmediatos de (U) e (i), respectivamente. Teorema 4. Se tiene que:

(10) Demostración. Se supone, por el absurdo que \/1 E U, es decir que existen dos números naturales

m = — con n 1. Por tanto, elevando al cuadrado ambos n miembros, se tiene que m 2 = 2 n 2 ; es decir, que m 2 es un número par y en consecuencia m resulta ser un

ny m, primos entre sí, de manera que

e

NÚMEROS REALES • 203

número par. Por lo tanto, m puede ser escrito como m = 2 p con p E NI. Entonces, se tiene 2 n2 = m 2 = 4p2 , 2 = 2 p2 . Luego, se deduce que n 2 es un número par por tanto n es un número par, lo cual resulta esdcirn ser un absurdo al ser simultáneamente n y m números pares y primos entre sí. Teorema 5. 1) Si a y b son dos números racionales distintos con a < b, entonces el número real,

definido por la expresión: r x=

■

,2 .N/í a + 2 2 b

,

verifica las siguientes condiciones: (12)

(a) a < x < b

(b) x

2) Entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números irracionales distintos entre sí. Demostración.

1)

(a) Se tiene

x-a=

1

-

-\/í -f2 -,r2 a + — b - a = — (b - a) > O • 2 ) 2 2 r

= (1-

-

V2 2

b-x=b-1-

2

a

2

b=1-

(

2

b - 1 -

2

a=

(b - a) > O

por ende resulta a < x < b. (b) Si x E O, entonces de las relaciones obtenidas anteriormente se deduce que x-a que resulta ser un racional, lo cual es absurdo. Por lo tanto x 1 b-a 2) Como entre dos números racionales existen infinitos números racionales, por la parte (1) se deduce que existen también infinitos números irracionales. -,/2 = 2

Observación 7. El conjunto de los números reales es la unión de los conjuntos de números raciona-

les e irracionales. El número es irracional. Más aún, entre dos números racionales o irracionales existe siempre un número irracional. Los números reales se pueden construir, a partir de los racionales, de diversas maneras, por ejemplo a través del límite de sucesiones de Cauchy, o cortaduras de Dedekind.

6.2. DESIGUALDADES ENTRE NÚMEROS REALES

En el conjunto 11 de los números reales se han definido las relaciones "menor que" (<), "mayor que" (>), y "mayor o igual que" Por ejemplo, para a, b E fR , se indica con a > b cuando "menor o igual que" a - b > O. Idem para las otras relaciones y "<".

1, 41

I

d II, ¡II

II

I

II

UI

'41111111LO

Hl" I

piro

II

II

moi

¡III III alLIMIffilliálók»..t,-,

204 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Definición 7. Sean a b, c e R. Se indicará con a < b < c (c > b > a) cuando se cumplan simultáneamente las dos desigualdades siguientes: aa) A bb) Ejemplos. (i) La desigualdad 2 < x < 1 no tiene sentido pues 3 x e R/ 2 < x A x < 1; (ii) La desigualdad 1 < 2 < 3 tiene sentido pues 1 < 2 A 2 < 3 Lema 6. Las relaciones "<" y ">" satisfacen las siguientes propiedades fundamentales (V x, y, z E R): 1) x > y 2)x>y 3) x > y 4)x>y

A

y>z

A

b>a

5)x>y >O A 6) x > y >0 X>Y

a>0

=x+a>y+a V aER: =x>z; -x < -y; =x-a>y-b;

a3,b>0 ax>by; 1 —>1 — > 0; y x

ax> y

7) x < y < O

— < — <0; y x

8) x > y > O 9) y < x < O

xn > y", VnEN: i) y" > xn > O, V n E N/ n es par; yn< xn < 0, V n E N/ n es impar;

Demostración. Se realizarán las pruebas de algunas propiedades. 1) 2) 3) 4) 5)

Como (x + a) - (y+a)= x- y >O entonces se tiene x + a > y + a, V a e R; Como x - z = (x -y)+(y-z)>0 entonces se tiene x > z; Como - y - (-x) = x - y > O entonces se tiene - y > -x; Como ( x - a) - ( y - b) = ( x - y ) + ( b - a) > O entonces se tiene x - a > y -b; Como ax - by = (ax - ay ) + (ay - by) = a ( x - y )+(a - b)y >0 entonces se tiene ax > by;

1 =x—y 1 1 6) Como — — > O entonces se tiene — > x y y x xy

6.3. INTERVALOS DE NÚMEROS REALES

Definición 8. Sean a y b dos números reales tales que a b. Entonces se definen los siguientes conjuntos: 1) Intervalo cerrado [ a,b]. Es el conjunto dado por: (13) [a,b]={xeR/xa A

b}={xeR/axb};

2) Intervalo abierto (a,b). Es el conjunto dado por:

(14) (a,b) = {xeR/x>a A x
NÚMEROS REALES • 205 x < b}

Cerrado por izquierda y abierto por derecha,

(a,b] = {x E R/a<x b}

Abierto por izquierda y cerrado por derecha;

[a,b) = {x e R / (15)

4) Intervalos ilimitados. Son los conjuntos dados por: = {x E El / x b}

(16)

Intervalo cerrado ilimitado a izquierda;

(-cc,b) = {x E R / x < b}

Intervalo abierto ilimitado a izquierda;

[a,) = {x E R / a x}

Intervalo cerrado ilimitado a derecha;

(a,oc) = {x E R / a < x}

Intervalo abierto ilimitado a derecha;

(-cc, -1- °C)

Intervalo ilimitado a derecha y a izquierda;

R

Observación 8. Las expresiones " 4-9" (se lee más infinito) y "-cc" (se lee menos infinito) son símbolos (no son números reales) que tienen las siguientes interpretaciones:

(17)

1) x >

V x E R;

2)x < +0c,VxER

Definición 9. Los números reales x = a y x = b (a b) se denominan respectivamente extremo izquierdo y extremo derecho de los intervalos (a,b), [a,b] , (a,b] , [a,b). Más aún, se dice que el número real b - a O es la amplitud de dichos intervalos.

6.4. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

A Generalidades sobre el concepto de ecuación

Anteriormente se ha estudiado el concepto abstracto de ecuación. A partir de ahora, las funciones que aparecerán en dichas ecuaciones serán funciones reales. Definición 10. Sean f A R y g:B—R dos funciones reales donde A c R y B c R son los dominios de definición de f y g, respectivamente.

1) Se llama dominio de definición de la ecuación "f(x) = g(x)" al conjunto A n B C R 2) Resolver sobre í la ecuación "f(x) = g(x)" significa determinar el conjunto solución S C R, definido por: (18)

S = {x eAnB/ f(x) = g(x)} R :

3) Sean h: C R y k: D R otras dos funciones reales con CCRyDc R. Se dice que las dos ecuaciones "f(x)-=g(x)" y "h(x) = k(x)" son equivalentes en el dominio de definición común A n B n C n D si y sólo si los respectivos conjuntos de soluciones son iguales en A n B n C n D, es decir que toda solución de la primera ecuación es solución de la segunda ecuación y recíprocamente.

11

206 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Definición 11. Sean f: A — R yg: B— T dos funciones reales. Sea la ecuación "f(x)=g(x)" y D=A n B su dominio de definición. Se dice que se ha efectuado una transformación regular en D de la dada ecuación si y sólo si se la ha reemplazado por una ecuación equivalente en D. Más aún, entre las transformaciones regulares se tienen las siguientes: 1)

f(x) = g(x)

donde h : D-2)

<=>

f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

una función real cualquiera, definida en D f(x) =g(x)

<=>

f(x) h(x) = g(x) h(x)

IR es una función real cualquiera, definida en D, de manera que la ecuación "h(x) =0" donde h : D no tenga solución en D. Definición 12. Se llama inecuación a la expresión obtenida cuando se reemplaza la relación "=" en una determinada ecuación por una de las siguientes relaciones: ">", ">", "<" "<". Observación 9. Todo lo referente a transformaciones regulares de ecuaciones se traslada, sin mayores cambios, a inecuaciones.

A

Ecuación de primer grado con una incógnita

Definición 13. Una ecuación "f(x) = g(x)" se dice de primer grado con una incógnita x si y sólo si la ecuación, a través de transformaciones regulares, es conducida a una ecuación equivalente de la forma: (19) ax + b = 0, con a O Solución. La ecuación (19) de primer grado con una incógnita x tiene una única solución dada por la b expresión x = — — (ver el Capítulo 2). a Observación 10. Numerosas ecuaciones se llevan a la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, como ser: 1) Ecuaciones de tipo producto: Son ecuaciones de la forma f(x) g(x) = O El conjunto de soluciones está dado por la unión de los conjuntos de soluciones de las dos ecuaciones siguientes: "f(x) = 0" "g(x) = 0"

Un caso particular del anterior es el dado por : f2 ( x ) _ - 2 g2

(x) _ 0

<=> [f(x) + g(x)] [f(x) — g(x)1 = O <=> <=. f(x) + g(x) = O V f(x) - g(x) = 0 ;

111,40#

NÚMEROS REALES • 207 2) Ecuaciones racionales, contienen la incógnita en el denominador: son ecuaciones de la forma:

(20)

ax + b — e , con x cx + d

-d - (ad — bc c

)

Observación 11. Se tiene la siguiente igualdad, ver ejercicio lll.2xx del Trabajo Práctico del Capítulo 2 y la función homográfica en el Capítulo 7:

(21)

ad — bc ax + b = a C2 Vx cx + d cx + d '

d —— c

c

Por lo tanto, para el caso particular ad - bc = 0, se deduce que: ax + b cx + d

a

O)

(c,d

con lo cual el estudio de la ecuación correspondiente carece de interés. A continuación se resolverá el problema 14 del Trabajo Práctico Especial del Capítulo 7, que es un ejemplo útil en Economía y en la vida cotidiana. Resolución. Si se considera que el comerciante adquirió el producto a $x, entonces se puede plantear la ecuación de primer grado x + i x = P, cuya solución está dada por x=P/(1+i), donde el i representa el margen de venta del comerciante..r4re5,acir en ¡a Khr 1701-

♦ Inecuación de primer grado con una incógnita Definición 14. Una inecuación se dice de primer grado con una incógnita x si y sólo si la dada

inecuación, a través de transformaciones regulares, es conducida a una inecuación equivalente de la forma: (22)

ax + b > 0 , con a O

En forma análoga se pueden definir las inecuaciones siguientes: ax + b 0, ax + b O ax + b < 0. Solución. La inecuación (22) de primer grado con una incógnita x tiene por conjunto de solución S al siguiente : 1) Caso a > 0 : (23)

S = {x e R / x >

b

—

+

a

00

2) Caso a < : ( 24)

S= {x e R/ x < _ —

a

—

17P a,

1 ' 11N w

1

1

Ilí

I

1 ,11 ¡MIL' I

1

208 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 12. El caso particular de la inecuación ax + b > O (a, b E tR) con a = O, posee las

siguientes particularidades: cuando b > O; 1) Tiene infinitas soluciones x E 2) No tiene soluciones cuando b O . Observación 13. El estudio de la inecuación ax + b > O (con a, b E R) se puede resumir en el

siguiente cuadro:

S=

s- n

1

,

s=(-44—) a donde S representa el conjunto solución de la correspondiente inecuación con los datos considerados. Observación 14. Se tienen cuadros análogos para las inecuaciones ax + b O, ax + b < O ,

ax + b O Ejemplo. Se tienen las siguientes equivalencias : 2x + 1 1 x—1 2x — 1 x—1 > 12 <=> > 6 3 6 12

=> 4x - 2 > x — 1

1 <=> 3 x > 1 <=> x - —

3 Observación 15. La resolución de la inecuación racional ax + b d cuando c O A ad — bc O , cx + d >o x -) se transforma en la resolución de los dos siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita: ax + b > O , ax + b < O , cx + d > O ; o cx + d < O , (25)

es decir, que el correspondiente conjunto de soluciones está dado por: (26)

XE

d ax + b / > o} = {x e — {-- } / ax + b > O A cx + d > O } u c cx + d c d u {xe R —{-- }/ax+b
que será siempre un intervalo o una unión finita de intervalos. Por otra parte, el caso particular c=0 (con d 4 se transforma en el estudio de la inecuación ax + b > O , cuyo conjunto de soluciones está dado por (a O):

{x E FU x >- — } si ad> O. a

NÚMEROS REALES • 209

o bien por b} si ad< O a

{X E R/ x <- —

6.5. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

Definición 15. Sea x E R. Se define como valor absoluto del número real x al dado por las siguientes

expresiones equivalentes:

si

x

x a 0. = Máx {x, - x } = Vx 2

-

x

x < 0.

si

Ejemplos. Se tiene que 15 1 = 1-5 1 = 5 , 10 1 = O Observación 16. El número lx I representa geométricamente en la recta real la distancia del número real x al origen de coordenadas. Lema 7. El valor absoluto de números reales satisface las siguientes propiedades (V x, y

1)1x1 ,0;

2) lxl = O <=. x = O ;

3) 1 - xl = lx1 ;

4) - lx1

5) lx y I = lx I lyl ;

6) lx/y1 = lx1 / ly 1 <=1.

7)Ix-x o l< a <=1.

8)1x1 >a 1 9) O < Ix1 < — a

10) lx + yl

<=>

x

E R) :

lx I ; (y

O) ;

x0 - a < x <

+ a (y xo ER,Va > 0) ;

x>a V x <- a (V a > 0) ; 1 — > a (V a > 0) ; Ixl

lx 1 + lyl (Desigualdad triangular);

11) lx 1 - lyl I< lx - yl Demostración. Las propiedades 1, 2, 3 y 4 surgen directamente de la definición de valor absoluto. A continuación se probarán algunas de las propiedades restantes.

5) De la definición de valor absoluto y de las propiedades de la radicación, se tiene: Ixyl = Al(xy) 2 = 1 x2 y 2 = Vx 2 Vy 2 = lx1 lyl

1

011

1-1..1..1

i1

I

1 11 11 lu

210* CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

En forma análoga se prueba 6). 7) De la definición de valor absoluto, se tiene: X - xo

si

x

xo

-x+xo

si

x < xo

Entonces:

=) (i) Para x

xo : lx - xo I = x - xo < a = x < x o + a con lo cual x o

x < xo + a

(ii) Para x < xo : lx - xo I = -x + x 0 x o - a con lo cual x o - a <x <x o Por lo tanto de (i) y (ii), se tiene que x o - a < x < xo + a xo , entonces Surge de la definición de lx - x ol y de la hipótesis de trabajo. Si x lx - x0 1 = x - xo < a, y si x < x o , entonces lx - xo l = -x + x0 < a con lo cual se tiene ix - xo l < a.

8) El conjunto solución de la inecuación lx 1 > a es el conjunto complemento, en R, del conjunto x a. Por lo tanto, Y a > 0, se tiene : solución de la inecuación lx I a que está dado por - a lx I >a <=> x

Do, -a) u (a, + 00)

10) Basta verificar la desigualdad para todos los casos posibles:

a) Si uno de los dos números x e y es nulo entonces vale el signo igual. b) x > 0, y > 0 :

entonces lx 1 = x, ly I -= y, Ix + y I = x + y, y por tanto vale el signo igual.

c) x < 0, y < 0 :

entonces lx 1 = - x, ly 1 = - y, lx + y I = -(x +y), y por tanto vale el signo igual.

d) x > 0, y < 0 :

entonces lx I = x, ly I = - y, x + y < x, y por consiguiente lx + yl < lx1 + lyl

e) x < 0, y > O :

es análogo al d).

En resumen, en la desigualdad triangular vale el signo menor cuando los dos números tienen signos diferentes, uno es positivo y el otro negativo, y vale el signo igual en los restantes casos, es decir, cuando uno de los números es nulo o los dos números son de igual signo, ambos positivos o ambos negativos. Para finalizar es conveniente realizar una nueva prueba de la desigualdad triangular (propiedad 10 del valor absoluto) que resultará ser más simple pero mucho más técnica, a saber: utilizando las propiedades 1), 3), 4) y 5) del valor absoluto se deduce: O

Ix + YI2 = IX + yl • lx + yl = (x + y) 2 = +2xy + y2 5

1x12 + 21x1 lyl + lyl2 = (Ix1 + lyl) 2 y por consiguiente surge 1 O) aplicando a ambos miembros raíz cuadrada.

NÚMEROS REALES • 211 6.6. DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS REALES Definición 16. Sean x, y dos números reales. Se llama distancia entre x e y, se notará por d(x,y), al

número real dado por: (28)

d(x,y)=Ix-y1=ly-xl , Vx,y ER

Más aún, a la función d : R 2 —■ R+ u { O }, se la llama función distancia en R. Lema 8. La distancia entre números reales satisface las siguientes propiedades (x, y, z E R):

1) d(x, y)

0;

2) d(x, y) = O <=> x = y ; 3) d(x, y) = d(y, x); 4) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y)

Desigualdad triangular ;

5) d(Xx, Xy) = 1X1 d(x, y) , V XER

Invariancia por homotecias ;

6) d (x + z, y + z) = d(x, y)

Invariancia por traslaciones ;

7) d(x, 0) = lx I Demostración. Teniendo en cuenta las propiedades del valor absoluto se deducen:

1) d(x, y) = ly - x 1 > 0; 2) d(x, y) = O <=> ly - x I = O <=> y - x =0 <=> x = y; 3) d(x, y) = ly - x I = lx - y 1= d(y, x); 4) d(x, y) = ly - x I = 1(y - z) + (z - x) I 5) d( Xx, Xy)

ly - z I+ lz - x I = d(z, y) + d(x, z);

I Xy - Xxl= I X(y - x) 1=IXI ly -x I= I X I d(x, y) ;

6) d(x + z, y + z) = I (y + z) - (x + z) I = ly -x I = d(x, y); 7) d(x, 0) = d(0, x) = lx - I = lx I Definición 17. Sean xo ER y r > 0. Se llama entorno, bola, disco o esfera del punto x o y de radio r al conjunto siguiente:

(29)

B(xo , r) = {x E R / d(x, x o) < r} = {x E R / lx - x o I < r} = (x 0 - r, x o + r)

Al punto de la recta real o al número real x o se lo llama el centro del entorno y al número real r > O se lo llama el radio del entorno.

xoo - r

xo

xo + r

Definición 18. Se llama entorno reducido de centro x o E R y radio r >0 al conjunto siguiente:

(30)

B(xo , r) - {x 0} = { x E R / 0 < lx - x o I < r } = (x0 - r, x0) U (x 0 , xo + r)

x o— r

xo

xo + r

'II

I

1, 4

II I

212 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 6.7.

COTAS Y EXTREMOS DE CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES

Definición 19. Sea A un conjunto de números reales, es decir A c R. Entonces:

1) A es un conjunto acotado superiormente si y sólo si 3K E U / x K, V x EA. Más aún, al número real K que verifica la propiedad anterior se lo denomina cota superior del conjunto A. En caso contrario, se dice que A es un conjunto no acotado superiormente. 2) A es un conjunto acotado inferiormente si y sólo si 3k ER/ x k, V x EA. Más aún, al número real k que verifica la propiedad anterior se lo denomina cota inferior del conjunto A. En caso contrario, se dice que A es un conjunto no acotado inferiormente. 3) A es un conjunto acotado si y sólo si A es un conjunto acotado superiormente e inferiormente, es decir: 3 k,K ER/ k< x

V x EA

Observación 17. 1) Si K es una cota superior del conjunto A entonces todo número real K también una cota superior de A;

2) Si k es una cota inferior del conjunto A entonces todo número real k' inferior de A.

K es

k es también una cota

Definición 20. Sea A un conjunto de números reales, es decir A c R . Entonces:

1) El número real M es el máximo del conjunto A (se notará M = Max (A) ) si y sólo si M EA A x M, V x eA, es decir: a) M es una cota superior de A, b) M e A; 2) El número real m es el mínimo del conjunto A ( se notará m = M n (A) ) si y sólo si m E A A x m, V xeA, es decir: a) m es una cota inferior de A, b) m e A; Definición 21. Sea A C R. Entonces:

1) El número real A es el supremo o extremo superior del conjunto A (se notará A = Sup(A) ) si y sólo si A es la menor de todas las cotas superiores de A, es decir:

a) A E Í es una cota superior de A, b) V E > O, A - E no es una cota superior de A , es decir 3x E A / x > A -E; 2) El número real X es el ínfimo o extremo inferior del conjunto A (se notará X = Inf(A) ) si y sólo si X es la mayor de todas las cotas inferiores de A, es decir: a) X E R es una cota inferior de A,

brd E > O, X + E no es una cota inferior de A, es decir 3x EA / x < X + E. Observación 18. 1) Si un conjunto A no está acotado superiormente (inferiormente) entonces

/\ = co (X = -00 ) ;

NÚMEROS REALES • 213

%

2) Si el supremo4(infir ) de un conjunto de números reales A pertenece al conjunto A entonces /\ ( X) es su máximo (mínimo). Lema 9. Sea A c R. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

1) Si A es un conjunto finito, entonces: a) A tiene máximo y supremo, y además ambos coinciden; b) A tiene mínimo e ínfimo, y además ambos coinciden. 2) Si A es un conjunto acotado superiormente (inferiormente) entonces A tiene supremo (ínfimo) finito. Ejemplos. El intervalo [0,1 ) tiene: i) supremo A =1 (no tiene máximo); ii) ínfimo y mínimo coincidentes, es decir X = m = O Definición 22. Sea A c 11 un conjunto infinito de números reales. Se dice que x o E R es un punto de acumulación de A si y sólo si todo intervalo abierto que contenga al elemento x o , admite infinitos elemen-

tos de A que son distintos de x o , es decir que: (31)

A n (B( x 0 , r) - { x 0 } ) # 0, V r >0

Ejemplo. Todo x E [a, b] es un punto de acumulación de los intervalos (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) . Ejemplo. Sea A el conjunto de números reales dado por la siguiente sucesión:

A=

1\

{ n1 / n E N }

3{1, 21 1 41 ,

. 1-1} nEj

Entonces: (i) 1 es el supremo y máximo del conjunto A;

(ii) O es el ínfimo del conjunto A; (iii) A no tiene mínimo; (iv) A es un conjunto acotado; (v) O es un punto de acumulación del conjunto A. Teorema de Bolzano

-

Weierstrass. Todo conjunto de números reales infinito y acotado tiene al

menos un punto de acumulación. Observación 19. Los últimos conceptos pueden pensarse como una introducción al concepto de

límite que es de fundamental importancia en el desarrollo de la Matemática y de sus aplicaciones.

214 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Trabajo Práctico

1) Analice si los conjuntos N, Z y (la con la operaciones de suma (+) y producto (X) ordinarios tienen estructura de grupo, grupo conmutativo, tomando cada operación por separado, y si tienen estructura de cuerpo, cuerpo conmutativo, tomando las dos operaciones a la vez. 2) Verifique que

( ) p = 3 n con n EN

--3m con m E

;

(ii) p = 3 n + 1 con n E N

p2 = 3 m + 1 con m E N ;

(iii) p = 3 n + 2 con n E N

p2 = 3 m + 1 con m E N;

(iv) El número J-3 no es racional. 3) Ordene, por relación " < " el conjunto A = { 5 , —1, — 3 1 elementos a los inversos de los elementos de A.

31

71. }1 • Ordene, además, el conjunto que tiene por

4) Verifique que se tienen las siguientes igualdades de conjuntos de números reales, donde a, b E R/a< b: (i) (a, a) = O ;

(ii) [a, a] = {a} ;

(iii) (a, b) = (- 00 , (v) [a, 13] =

n

(iv) (a, + 00) = (a, b)

(a, + 00 ) ;

n (a - 1n , b +n);

U [b, + °°[) ;

(vi) (a, b) = U [a + 1 , b —1. 1 n n nEN

nEN

5) Resuelva, en R, las siguientes ecuaciones, precisando en cada caso el dominio de definición: (i) x-3 x+1 =5 x + 1 ; 3 6 6 3

(ii) (x2 + x) (x - 2) = O ;

(iii) (x + 5) 2 = (3 x + 1) 2 ;

(iv) 3

(v)

1 1_

_ 2 x - 3 — 2 x +1 '

+x=0 x-1

6) Considere la ecuación: 2 m (x - 1) = (m - 5) (x + 2)

(i) Determine el valor del parámetro m E R para que la ecuación admita la solución x = 3. (ii) Indique si es posible elegir m E R de manera que la ecuación admita como solución a un dado número real a. (iii) Resuelva la ecuación en R . 7) Halle el conjunto de soluciones de las siguientes inecuaciones de primer grado con una incógnita, expréselos como intervalos de números reales y grafíquelos en la recta real:

NÚMEROS REALES • 215 (i) 2 x - 1 > O ;

(ii) x + 3 < 0 ; 2

( i) - 5 x > - 5 ;

(iv) - x - 2 1 - <0.

8) Halle el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, expréselos como intervalos de números reales y grafíquelos en la recta real:

i)

2 x - 1 >0

ii)

x + 3 < 0; 2

2 x - 1 >0 x+3 >0; 2

5 x + 1 < 0,

iv)

7 x+ 1

0,

2 x - 1 < 0,

3 x- 25 <0,

x + 1 >0;

8x-7
9) Halle el conjunto de soluciones de las siguientes desigualdades, dadas por cocientes, represéntelos gráficamente en la recta real:

(i)

(iii)

3x+1 2 >o; 2x-1 3 x+1 x-1

<0;

(ii)

-12 x -3 7x + 2

(iv)

x-2 2x-1

0;


10) Exprese, a través de intervalos de números reales, los dominios de las siguientes funciones reales, es decir, halle el mayor conjunto en el cual la ley dada tenga sentido:

(i) f (x) = 1 + x

1 x+ 1

+

1 x-2

(ii)

f (x) = ,(1 - x) (x - 2)

11) Verifique que la inecuación: 3 x - 2 -m < x ,

m con parámetro real m E R, tiene como conjunto de solución S al conjunto dado por:

(i) S = (m2 + 2 , + 00) cuando m < 0 ; 3-m

(ii) la inecuación no está definida cuando m = 0 ;

(iii) S =

(iv) S = t cuando m = 3 ;

, m 2 + 2 ) cuando O < m < 3 ; 3-m

216 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(y) S = (m2 + 2 , + 00) cuando m > 3 . 3-m 12) Suprima en las siguientes expresiones el símbolo de valor absoluto de números reales, si es necesario. distinga varios casos: 21;

(i) x + lx I ;

(ii) 2 lx - 3 I + lx

(iii) 1(x - 1) (x - 2) I ;

(iv) 3 lx - 4 I - lx + 4 1 - 2 lx 1

13) Resuelva, en 51, las siguientes ecuaciones: (ii) x- 9 = 4 lx + 21

(i) 2 lx - 3 I + x = 5 - (3 x - 1) ; 2

14) Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: (i) x = - a

(ii) ,f)-(2 = lx 1 ;

lx1= la I;

(iii) lx 1 = la 1

x=a;

(iv) lx - x0 1 > O

=

x0 = O

15) Resuelva, en R, las siguientes inecuaciones, represente gráficamente el conjunto de soluciones en la recta real): (i) lx - 4 1 < lx + 1 I ;

(ii) x < lx + 2 I ;

(iii) lx + 2 1 < 3 lx 1 ;

(iv) lx + 2 1 < 2

16) Indique, en cada caso, si el conjunto A está acotado superior y/o inferiormente. Determine, si existen: el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo de A. Indique, además, si existen puntos de acumulación : (i) A = (1, 2] ; (iii) A = (-1, +

(ii) A = (1, 2] u (3, 5] ; (iv) A = (-

00 ) ;

(y) A =NI; (vii) A = (ix)

A

00 ,

4] ;

(vi) A = Z ; ;

(viii) A = ((-

1 )9nEN ; ( 2 n + 1 )n€,i; n+2 "

(x) A —

(n + 1

n+

\ 2i neN •

17) Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con un parámetro real m: (i) m x + 2m = 1 - x ;

(ii) 3 - 2 m x = x - 2

18) Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado con un parámetro real m: (i) m x 1 ; (ii) mx+2m>1-x ;

(iii) -3 - 2 m x x - 2

19) Sea un triángulo de lados a, b y c. Entonces: (i) Verifique que un lado es menor que la suma de los otros dos, es decir: O < a < b + c,

O < b < a + c,

O < c < a+b

( i) Demuestre que un lado es mayor que la diferencia de los otros dos, es decir: ib-cl< a,

la - c I < b,

la - b < c

NÚMEROS REALES • 217

Respuestas Trabajo Práctico

1) (Ni, +) no es grupo;

(Q, +) es grupo conmutativo;

(N, •) (Z, •) no son grupos;

(3- {0} , •) es grupo conmutativo;

(U, +, •) es cuerpo conmutativo;

(N,+,«) (Z,+, -) no son cuerpos.

3 3) —

, — 1,

5) (i) x = — 41

2 1 4

1 3

1 , — —3 , 5, 3' 2

71' 5

9 (iv) x = — — . 4

2

m = —10 —5(1

si Ci(= 4 ;

—4

+ ooj ;

(ii) eco, -6] ;

(-1,-5

'

1\

6,

(iii) S = (- 1, 1) ;

,

1 —,+co 6 ,

(iv) S =

10)

(i) Dom(f) =

- {0, -1, 2} ;

12)

(i)

2x si x

(ii) s =

;

21

(ii) Dom (f) = [1, 2] .

O

lx 1+ x = O si x < 0 ;

x = 4 m —10 m+ 5 ;

(iv)

(iii) (-co, 1) ;

1

8) (i) S =

9) (1) S =

{2,

(v)

6) (i) m = 25 ;

7) (i)

(no s

(ii) S= {O, -1, 2} ;

4

(iv) S =

7 -1 L 14 8

218 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(ii

-3x + 8 -x + 4

)

2 lx - 3 1+ lx - 2 1 =

3x - 8

(iii) 1(x - 1) (x - 2)1 =

si 2 < x < 3 3; si x

+x2 - 3x + 2

si

-x2 + 3x - 2

si

x<1 1 <x < 2

x2 - 3x + 2

si

x > 2;

(iv) 3 lx - 4 1 - lx + 4 1- 2 lx1=

16

si x < -4

-2x + 8 -6x + 8

si -4 < x < O si O < x <4

-16

si x

4

(ii) S = o

13) (i) S = (O} ; 14) (i) verdadero ;

15) (i) S =

si x < 2

(iii) falso ;

(ii) verdadero ;

+.0) ;

(ii) S =51 ;

(iv) falso.

1 (iii) S = (-00,-- ] u [1, +0°J; 2

16) (i) acotado superiormente e inferiormente ; sup (A) = máx(A) =2, inf(A) =1 ; (ii) acotado superiormente e inferiormente ; sup(A) = máx(A) =5, inf(A) =1 ; (iii) acotado inferiormente y no superiormente ; inf(A) = -1 ; (iv) acotado superiormente ; sup(A) = máx(A) = 4. No acotado inferiormente ; (v) no está acotado superiormente , inf(A) = mín(A) = 1 ; (vi) no está acotado superiormente ni inferiormente ; (vii) acotado superiormente e inferiormente ; sup(A) = máx(A) = 1, inf(A) = mín(A) = -1 ; (viii) no está acotado superiormente ni inferiormente ; (ix) acotado superiormente e inferiormente ; sup(A) = 2 , inf(A) = mín(A) =1 ; 2 (x) acotado superiormente e inferiormente ; sup(A) = 1 , inf(A) = mín(A) = — 3 Puntos de acumulación : (i) [1, 2] ;

00(1, 2 ] u ( 3, 5 ];

(iii) (- 1, +00) ;

(iv) (-o0, 4] ;

(y) no tiene ;

(vi) no tiene ;

(vii) no tiene ;

(viii) no tiene ;

(ix) { 2 } ;

(iv) S = [- 4, O]

NÚMEROS REALES • 219

17) 0) S =0

(ii) S= O

18)

si

m=- 1;

si

m=

m +1

1

S ={

-

2

(i) S = o si m=0

— 2m}

S=

;S=

i s m

-1;

} si m 2m 5+ 1

") si m>0 ; S =

°°, 1) si m<0 ;

1 —2 m ± °o \ ) si m>-1 ; (ii) S = o si m= —1 ; S = l m +1 S=

1 — 2m c.0 m +1 si m<-1 ;

(iii) S = si m= —

s

2m+1!

;S = ( 21 m+1 ,

si m>-1 ;

21

FUNCIONES REALES 7.1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO A Cuadrantes, ejes y coordenadas De acuerdo a lo realizado en el método gráfico en el Capítulo 3 se pueden definir, dadas dos rectas perpendiculares, el punto origen, y los ejes de las abscisas (eje x) y de las coordenadas (eje y). De este modo, un punto P del plano determina, en forma única, un par ordenado (x l , x2) de números reales y recíprocamente, realizando el proceso inverso, es decir, que se tiene una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los pares ordenados de números reales. Dicho par ordenado de números reales (x,, x2) recibe el nombre de coordenadas cartesianas ortogonales del punto P. Dichas coordenadas dependen del sistema de coordenadas elegidas sobre cada recta horizontal y vertical. En general, se simboliza con x, en lugar de x, a la primera componente del punto P, y con y (en lugar de x 2) a la segunda componente del punto P. Por otra parte, utilizando la noción de producto cartesiano de conjuntos, los cuatro cuadrantes pueden representarse de la siguiente manera:

Cuadrante I = { (x, y) E R 2 / x > O A y > O } = R+ x68+ , (1)

Cuadrante II = { (x, y) E R 2 / x < O A y > O = R - x , Cuadrante III = { (x, y) E R 2 /x O A y <0}=R + x ,

Observación 1. 1) Los ejes coordenados no tienen por qué ser perpendiculares entre sí, pudiendo ser oblicuos, ver Figura 7.1. Por conveniencia, en la rbresentación gráfica se toman perpendiculares:

Figura 7.1.

IJJ

222 •

J4.,11,40h

CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

2) En general, por motivos de conveniencia en la representación gráfica, se toman unidades iguales en ambos ejes coordenados.

A Distancia entre dos puntos del plano

Sean P 1 = ( x, , y 1 ) y P2 = (x2 , y2 ) dos puntos distintos del plano. Si se tiene en cuenta el Teorema de Pitágoras se puede evaluar la distancia entre 1 3 , y P2 de la siguiente manera, ver Figura 7.2: (2)

cl(Pi , P2) = PP2 = 4(x2

+ (Y2 — 5/1) 2

Y y2

>x

Figura 7.2 A Punto medio entre dos puntos del plano

Proposición 1. El punto medio P entre los puntos P, = (x 1 , y,) y P2 = (x2 , y2 ) es el dado por la siguiente expresión: (3)

P—

y1

( x i + x2

+y2

2

2

Demostración. a) Si P 1 = P2 entonces P coincide con ambos; b) Sean P 1 y P2 dos puntos distintos del plano. Se considera, sin pérdida de generalidad, que se tiene x, < x2 y y1 < y2 . Se supone que P = (x0 , yo) . Entonces, los triángulos rectángulos P,SP y HI P2 son iguales, ver Figura 7.3. Por lo tanto, se obtiene que Pi S = PT y SP = TP2 , es decir x o - x 1 = x2 x y yo y i = y2 yo , con lo cual resulta: X0 =

X1 ± X2

Yo =

2

±Y2

2

Y

P2

y2

P

yo Pi

T S

x X

Xo

X

Figura 7.3

2

FUNCIONES REALES • 223

Ejemplos. Sean P, = ( -1,0) y P2 = (2,1) dos puntos del plano. Entonces : (i) la distancia entre los puntos P 1 y P2 es -\/10 ; 1

(ii) el punto medio entre los puntos P, y P 2 es el punto P = 2 ,—) 2

7.2. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES REALES A Representación gráfica

Sea f : A —> B una función real conAcR y B cR. El gráfico de la función, dado por: (4)

G = {(x , y) / y =f(x) e B,x e A} = {(x , f(x))/ x e A} c A xB

se conoce también con el nombre de representación gráfica o gráfica de la función. Es una figura o una unión de figuras del plano x, y que se encuentra contenida en el conjunto A x B, con la particularidad de que toda recta paralela al eje de las ordenadas que pase por un punto del conjunto A, representado en el eje de las abscisa corta a la gráfica en un único punto, de acuerdo a la definición de función, ver Figura 7.4. En general, dichas figuras serán curvas del plano; numerosos ejemplos se verán en este mismo capítulo. Conviene resaltar que los puntos de intersección de la gráfica de una función con los ejes coordenados son de una gran importancia visual. Más aún, los ceros de una función son las abscisas de los puntos de intersección de dicha gráfica con el eje x. Y B

Im(f)

B

o

A

x

A

x

Figura 7.4 (a) Representación gráfica de una función f : A —> B

(b) No es a representación gráfica de una función

A la letrq. x, que alor que se elige en A, se le da el nombre de variable independiente, en cambio a la y , que es1Valor que se obtiene en B a través de la ley f y que depende de la elección de x en A, se lo llama variable dependiente. Se supone que f : A— ■ 13 es una función biyectiva. Entonces, existe su función inversa g=f -1 : B — A que resulta ser también una función biyectiva que está caracterizada por las igualdades, ver el Capítulo 5:

224 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(5)

g° f

IA

f°g

La función g está definida de la siguiente manera: (6)

g(y) = x

<=>

conxeA,yeB

y= f(x)

Si se nota con G -1 el gráfico (la representación gráfica o gráfica) de la función g , dado por (7)

G -1 ={(y,x)/x=g(y)EA,yeB}={(y,g(y))/yeB}c BxA,

es decir, (8)

(x , y) E G, con x E A , y = f(x) E B <=> (y,x)EG -1 ,conyeB,x=g(y),

entonces se deduce el siguiente resultado que relaciona las gráficas de una función con la de su inversa. Teorema 2. 1) Una función real es inyectiva si y sólo si toda recta paralela al eje de las abscisas intersecta a la gráfica de la función en a lo sumo un punto. 2) Las gráficas de las funciones f y g (= f -1 ) son simétricas respecto de la bisectriz del 1 2 y 32 cuadrantes. Demostración.

1) Surge trivialmente de la definición de función inyectiva. 2) Sea P = (x, y) un punto cualquiera perteneciente a la gráfica de la función f, es decir y = f(x) con x E A. Se considera el punto P', simétrico del punto P respecto de la bisectriz del 1 2 y 3 2 cuadrantes, y el punto Q, perteneciente a dicha bisectriz, el punto medio entre P y E, ver Figura 7.5. Se consideran los puntos S=(x, O) y S' .(0, y'), siendo x' E H, y' E IR las coordenadas cartesianas ortogonales del punto P', es decir = (x' , y'). A

A A

A

Los triángulos OQP y OQP' son iguales con lo cual los triángulos OPS y OP'S' también lo serán. Por SP y O S lo tanto, se tiene que S' P ' , OS es decir x' = y, y' = x, y por tanto el punto el dado por E = (y, x), que es lo que se quería probar.

resulta ser

y ,' recta bisectriz 1 2 cuadrante Figura 7.5 =(( , y) E G con x' = y, y' =x

P'=(x', y') E G -1

P 4'

1

s

P f( x ) X

Observación 2. Para funciones reales se tendrán en cuenta las siguientes particularidades :

a) Si se da una ley f, que está definida en todo el conjunto de números reales, y no se indica quiénes

FUNCIONES REALES • 225

son los conjuntos A, dominio de la función, y B, codominio de la función, entonces se considerará, por definición, que se tiene A = B = R ; b) Si se da una ley f, que no está definida en todo el conjunto de números reales, y no se indica quiénes son los conjuntos A y B, entonces se considerará, por definición que B=R y A es el mayor conjunto de números reales para los cuales la ley dada tenga sentido, es decir, esté bién definida.

Ejemplos. (i) Si se da sólo la ley f(x) = x 2 , entonces se considerará que A = B = R ; (ii) Si se da sólo la ley f(x) = -1, entonces se considerará que B=R yA=R- {O} Definición 1. De acuerdo a las operaciones que se deban realizar sobre la variable independiente x, las funciones reales se clasifican en : 1) Funciones algebraicas: las operaciones permitidas son las dadas por + , - , x , + , funciones se clasifican en:

. Estas

1 i) Funciones racionales: las operaciones permitidas son las dadas por +, - , x , + . Entre ellas se destacan las : a) Funciones enteras o polinomiales. Por ejemplo : c ; ax + b; ax 2 + b x+c ; etc. Como caso particular se tienen las funciones potenciales f(x) = xn con n E í ; b) Funciones fraccionarias o cocientes de polinomios. Como caso particular se tienen las funciones homográficas, dadas por:

(9)

f: R — -{-

c_

—> R / f(x) =

ax + b conad — bc cx+d

O

1 ii) Funciones irracionales: la operación fundamental permitida es la de extraer una raíz de cualquier índice a funciones racionales. Por ejemplo, ,17. 2) Funciones trascendentes: las operaciones permitidas son aquellas que " trascienden" el área del Algebra. Por ejemplo las funciones exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas y trigonométricas. A Características elementales de las funciones Definición 2. Sea A c R . Se dice que A es un conjunto simétrico de números reales si y sólo si el número opuesto de todo elemento de A pertenece al conjunto A , es decir: (x E A -x E A) . Ejemplos. (i) Los conjuntos R , R - {O} , ( -1,1) y ( -5, -4) U ( -1, 1) U (4,5) son simétricos ; (ii) Los conjuntos [0,1] y ( -1, 2) no son simétricos.

Definición 3. Sea f : A R una función real con A c R un conjunto simétrico. Entonces: 1) f es una función par si y sólo si f( - x) = f(x), V x E A; 2) f es una función impar si y sólo si f( - x) = - f(x), Vx E A 1 Ejemplos. Las funciones reales f i (x) = x , f2 (x) = x3 y f3(x) = — son funciones impares en í ,RyR -{0}, respectivamente; en cambio, f 4(x) = x2 y f5(x) =

x2

son funciones pares en R y R - {0}, respectivamente.

11

II

I

.1

1

I

'141,

226 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Lema 3. Sea f : A

[R una función real con A c U:1 un conjunto simétrico.

1) Si f es una función par entonces su gráfica resulta ser simétrica respecto del eje de las ordenadas (eje y) ; 2) Si f es una función impar entonces su gráfica resulta ser simétrica respecto del punto O origen de coordenadas (0= (0,0) ) ; 3) Si f es una función impar y O E A entonces f(0) = O Demostración. 1) y 2) surgen inmediatamente de las definiciones de función par e impar. 3) Como f es una función impar y O E A entonces f(0) = f( 0) = - f(0) con lo cual 2f(0) = 0, es decir f(0) = O

Definición 4. Sea f: A — B una función real con A c R y B c R. Entonces: 1) f es una función estrictamente creciente en A <=> (10)

f(x 1 ) < f(x2), V x 1 E A, x2 E A con x l < x2 ;

2) f es una función creciente en A (11)

f(x i ) f(x2), V x i E A, x2 E A con x l < x2 ;

3) f es una función estrictamente decreciente en A (12)

f(x 1 ) > f(x2), V x1 e A, x2 E A con x 1 < x2 ;

4) f es una función decreciente en A <=> (13)

f(x 1 ) f(x 2), V x i E A, x 2 E A con x, < x 2 ;

5) f es una función monótona (estrictamente monótona) si y sólo si f es una función creciente o decreciente (estrictamente creciente o estrictamente decreciente). Lema 4. Sea f : A B una función real con A c ll y B c [1:k. Si se considera que A es un intervalo de números reales y que f es de trazo continuo entonces: (14)

f es inyectiva <=> f es estrictamente monótona.

Demostración. Surge inmediatamente de las definiciones de funciones inyectivas y estrictamente monótona. Observación 3. El resultado anterior no es válido si el conjunto A no es un intervalo de números reales. Construya un contraejemplo considerando el conjunto A = (1, 2) U (3, 4), el conjunto B = B y definiendo una función real inyectiva que sea estrictamente creciente en (1, 2) y estrictamente decreciente en (3, 4). Esto hace también intuir que el resultado del Lema 4 es falso si la gráfica de f presenta saltos aun cuando A sea un intervalo. Construya un contraejemplo. Definición 5. Sea f : E

FI una función real. Sea T > 0. Se dice que f es una función periódica

FUNCIONES REALES • 227

de período T si y sólo si :

f(x + T) = f(x) ,exER.

(15)

Al menor de los períodos se lo llama período fundamental. Observación 4. Una partición del intervalo (a, b) con a < b es la dada por (n - 1) puntos intermedios entre a y b, de la siguiente manera :

(16)

a = xo < x 1 < x 2 <

< X n1 <

X

n

=b

Definición 6. Sea f : (a, b) FI una función real con a < b. Sea x o ,x1 ,xo _ 1 , xo una partición (i = del (a, b) . Se dice que f es una función escalera en (a,b) si y sólo si existen constantes C ,n) y a l e R (i=0,1,2 ,n) de manera que : ,

.

1,2,

f(x) = C, ,

V x

(

f(x ; ) = a, ,

V i = 0,1,2,

,n

, xi ) , i = 1,2,

(17) ,n

Observación 5. En general, las funciones escaleras son funciones cuya gráfica es de trazo discontinuo.

A Operaciones elementales con funciones reales

Además de la composición de funciones reales, visto anteriormente en el Capítulo 1, se pueden definir las siguientes operaciones elementales :

Definición 7. Sean f : A l

y g = A2 —' R dos funciones reales. Entonces :

1) la suma de las funciones reales f y g es la función real f + g : A l siguiente manera : (18)

(f + g)(x) = f(x) + g(x) ,

VxE

Ai n

(f - g)(x) = f(x) - g(x) ,

xE

Ki n

(fg)(x) = f(x) g(x) ,

V x E A l n A2 ;

n

A2 —› IR, definida de la

A2 ;

3) el producto de las funciones reales f y g es la función real fg : A l siguiente manera : (20)

A2 —■ [1:1, definida de la

A2 ;

2) la diferencia de las funciones reales f y g es la función real f - g : A l siguiente manera : (19)

n

n

A2

R, definida de la

228 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

4) el cociente de las funciones reales f y g es la función real (I) : A l

n A2 n Go— R, definida de

la siguiente manera: \

—12— `) gi

(21)

b x E Al

n

A2

n

G0

donde G o = { V x E A2 / g(x) O ;

5 ) el producto del escalar 2 ■ , E siguiente manera :

por la función real f es la función real X, f : A 1 — R, definida de la

( Xf)(x) = Xf(x) ,

(22)

V x E Al

A Gráficas de funciones obtenidas a partir de una dada

Sea f : A — FR una función real con A c R, se puede pensar que A = (a, b), cuya gráfica es conocida. Entonces a partir de dicha representación gráfica se pueden obtener las gráficas de las siguientes funciones reales : 1)

fi : A

/ fi (x) = - f(x) , ex EA;

2)

f2 : A

El;R / f2 (x) = if(x)l , ex EA;

3)

f3 : A — / f3 (x) = f(x) +C,

x EA;

En este caso se obtiene una traslación vertical hacia arriba si C > O y una traslación vertical hacia abajo si C < O . 4)

f4 :A—R/f4 (x)=Cf(x), ex EA.

En este caso se obtiene una dilatación si C > 1 y una contracción si O < C < 1. El caso C < O se deduce de los anteriores, teniendo en cuenta que f 4 (x) = I C ( (f(x)), ex EA Por otra parte, si x o es un cero de f , es decir f(x0) = O, entonces x o es también un cero de f4 puesf,( C f(x 0 ) = C O = O ; 5) f5 : (a - c, b - c)

13/ f5 (x) = f(x + c) , ex E A = (a, b) .

Se tiene que: x E Dom(f 5 ) <=> x + c E Dom(f) = (a, b) <=>a<x+ca c<x
c <=>

x E (a c, b c) , con lo cual Dom(f 5) = (a - c, b c) En este caso se obtiene una traslación horizontal hacia la izquierda si c > O y una traslación

FUNCIONES REALES • 229

horizontal hacia la derecha si c < 0

a aa

6) f6 : (—

_> lid/ f6(x) = f( ax),

ex EA= (a, b), d a e R+.

Se tiene que : b a (a x e Dom(f6) .(=> x Dom(f) = (a, b) ba — < x < — <=> x e — , , con a) a lo cual Dom(f 6) =

ab) aa

La amplitud o longitud del dominio de la función f 6 está dada por: >b-a

si

0

si

a rel="nofollow"> 1.

bab—a a a a

En este caso se obtiene una dilatación del dominio cuando O < a < 1 y una contracción del dominio cuando a > 1.

Representación gráfica de funciones elementales

Se obtendrá la gráfica de algunas funciones elementales útiles, ver Figura 7.6: 1) La función real constante de valor c e , es decir f i 2) La función real identidad, es decir f2 : estrictamente creciente e impar ;

l / f2 (x) =x, V x ER, es una función biyectiva,

3) La función real valor absoluto, es decir f3 : R creciente en II+ ; 4) La función real signo f, :

f4 (x) = sgn (x) =

/ fi (x) =c, V x ER;

/ f3 (x) = Ixl , es una función par y estrictamente

, definida de la siguiente manera :

1

si x >0,

0

si x = O,

-1

si x < O ,

x O

si x 0,

si x = O ,

111 in

230 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA es una función impar. Además, su gráfica es a trazo discontinuo ; R., definida de la siguiente manera:

5) La función real parte entera f 5 :

f5 (x) = [x] = mayor número entero que es menor o igual al número real x, V x ER, es en cada intervalo de números reales una función escalera. Además, su gráfica es a trazo discontinuo ;

6) La función real mantisa f6 : R

R , definida de la siguiente manera :

f6 (x) = x - [x] , e x es una función periódica con período T = n e NI, siendo el período fundamental T = 1. Además su gráfica es a trazo discontinuo ; 7) La función real escalón, Función de Heaviside, f, :

1

, definida de la siguiente manera :

si

x>O,

si

x
f,(x) =

tiene una gráfica a trazo discontinuo ; 8) La función real recíproca f8 : 1

{O}

R , definida de la siguiente manera :

f8 (x) = 1 , V x E !R {O} , es una función impar que es estrictamente decreciente en y estrictamente decreciente en R, pero ni creciente ni decreciente en R. La figura descrita en el plano es una hipérbola equilátera ; 9) La función real elevar al cuadrado f9 : FR—H, definida de la siguiente manera : f 9 (x) = x' , V x ER, es una función par que es estrictamente creciente en R+. La figura descrita en el plano es una parábola

cuadrática ; 10) La función real irracional raíz cuadrada f 10 : D manera : f ic (x) = \ix ,

D (D = R+ U {0} ), definida de la siguiente

xED,

es una función biyectiva, estrictamente creciente y es la función inversa de la restricción f 9 /D; 11) La función real elevar al cubo f 1 , : í

R , definida de la siguiente manera:

f ii (x) = x' ,exER,

FUNCIONES REALES • 231 es una función biyectiva, estrictamente creciente e impar. La figura descrita en el plano es una parábola cúbica ;

12) La función real irracional raíz cúbica f 12 : R. R, definida de la siguiente manera : x , yx ER,

f12(x)

es una función biyectiva, estrictamente creciente, impar e inversa de la función f 11 ;

13) La función de Dirichlet f13 R

R , definida de la siguiente manera :

1

si x

,

O

si x

CP ,

f13 (x) =

¿Puede Ud. representar gráficamente a esta función real?

IY

c

f1 (x) = c

Figura 7.6 Gráficas de las funciones elementales básicas (1) a (12)

o

(2) Función Identidad

(1) Función Constante

Y f3 (x) = I x f4 (x) = sgn(x)

1 1

0 1

(3) Función Valor Absoluto

(4) Función Signo

232 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Figuras 7.6 (5) a (8)

f6(x) = x- [x]

(6) Función Mantisa

(5) Función Parte Entera

1Y f8(x)

4

x

(7) Funcion Escalón

(8) Función Recíproca

FUNCIONES REALES • 233 Figuras 7.6 (9) a (12)

f9 (x) =x2

f (x) =x 2 9 fil(x)=

3

Y 4 5

1

5

1

•

27/8♦

1

3-

1

•,

•

•

,

5

f ,2(x) _

•

• ,, s'

•

r

•

,

9/4 2

•

•

•„ , • ,, ,,

/

, ,

f lo(x) = -5(

, 1

‘17

1",

f

• • •

• •

f,2(x) =15-(

f

-4

0(x) _ j

-3

- -

-2

-3/2

111

31/2

84

2 9/4

f11 (x) = x3 9(x) = -2

3

27 8 -4

(9) Elevar al Cuadrado (10) Raíz Cuadrada (11) Elevar al Cubo (12) Raíz Cúbica

f

3 27/8 4 x

II I

234 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

7.3. LA RECTA EN EL PLANO A La función polinómica de primer grado

Se complementará lo ya tratado a través del método gráfico dado en el Capítulo 3. Definición 8. Se llama función de primer grado (función lineal) a la función real definida por :

(23)

f:

/ f(x) = mx + h ,

donderneR y heR. Observación 6. La representación gráfica de la función de primer grado o función lineal (y = f(x) = mx + h) es una recta que tiene las siguientes características, de acuerdo a lo ya visto en el Capítulo 3:

1) m : representa la pendiente de la recta ; 2) h : representa la ordenada al origen de la recta (es decir h = f(0)) Más aún, si m > O (m < O ) es una función estrictamente creciente (decreciente). Cuando m = O se tiene la función constante y = h, cuya representación gráfica es una recta paralela al eje x, que pasa por el punto (O, h), ver Figura 7.7., donde además se tiene que m = tg( cc.)

Figura 7.7

f(x) = mx + h

Observación 7. Si h = O y m = 1 entonces se tiene la función identidad y = x, cuya representación gráfica está dada por la recta a 45°, que es la recta bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Observación 8. A través de la función lineal f(x) = m x + h se pueden representar todas las rectas del plano excepto las rectas verticales, es decir, rectas paralelas al eje y, y que pasen por el punto (x o ,0) para cualquier x0 E . Este resultado negativo se explica por el hecho que dicha recta no puede ser la gráfica de ninguna función real con variable independiente x, y con variable dependiente y. Esto se subsana intercambiando las variables, es decir, considerando una función real x de la variable independiente y. Por lo tanto, la recta paralela al eje y que pasa por el punto (x 0 ,0) está dada por la función constante de la variable y, x = x(y) = x 0 con xo E í un dado número real, ver Figura 7.8. Esta recta podría pensarse geométricamente como aquella que tiene pendiente infinita.

FUNCIONES REALES • 235

1s1

= yo

yo

o

X0

x = xo

Figura 7.8 Observación 9. Toda recta del plano, excepto la recta vertical x = x o con xo E , puede expresarse a través de dos parámetros independientes : m E R ( la pendiente de la recta) y h E U ( la ordenada al origen de la recta) . Lema 5. 1) La ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto P o = (x o , yo) está dada

por: (24)

y = yo + m (x - xo)

2) La ecuación de la recta que pasa por los dos puntos P 1 =(x1 , y 1 ) y

P 2= (x2 ,

y2) con x 1 x2 está dada

por: (25)

Y = Y1 +

y2

Y1 X2 — X 1

— X1)

es decir :

(26)

Y = Y1 + m (x — x 1 ) , m =

Y2 X2 —

que resulta ser la recta que pasa por el punto P i =(x, , y i ) y tiene pendiente m = (y 2 - y 1 ) / (x2 - x1 )

3) La ecuación de la recta que pasa por el punto (x o , O) y es paralela al eje de las ordenadas está dada por: (27)

X=X

o

Demostración. a) Sea y = m x + h la ecuación de la recta con el parámetro h a ser determinado . Como el punto Po= (xo , yo) debe satisfacer la ecuación de la recta, se tiene y o= m xo + h, es decir :

h = - m xo ,

1, 11 , 1 , 1

236 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

y por lo tanto se obtiene la expresión buscada ; b) Sea y= m x + h la ecuación de la recta con los parámetros m, heRa ser determinados. Dados los dos puntos P 1 = (x1 , y 1 ) y P 2 = (x2 , y2) se tiene que la pendiente m de la recta está dada por, ver Figura 7.9. (i): Y2

r11 =

X2 -

que está bien definida al ser x l = x2 , y por tanto, la ordenada al origen se la obtiene como en el caso a), teniendo en cuenta que la recta pasa por el punto P1 , es decir:

Y2 Y1

h = —m =

X 2 - x1

por lo tanto, la ecuación de la recta buscada viene dada por la expresión: Y2 Y=

X 2 - X1

x yi Y2 - Y1

=

y1

X 2 - X1

'2 Y1 í

y(

1)

X 2 - X1

Figura 7.9. (i) Observación 10. Una forma más concisa de expresar la ecuación de la recta que pasa por los

puntos P i = (x i , y 1 ) y

(28)

P 2 = (x2 ,

y2 ) con x 1

x2 e y 1

y — y1 = x — X1 Y2 Y1 X2 - X1

y2 es la dada por:

FUNCIONES REALES • 237 Observación 11. La ecuación de la recta determinada por los puntos P i =(x, , 5/ 1) y P 2= (x2 , y2) con

x, = x2 es la dada por : (29)

x = x , (= x2) ,

pues es la recta paralela al eje de las ordenadas que pasa por ambos puntos P 1 y P 2

Observación 12. El haz de rectas, excepto la recta vertical, que pasa por el punto P 0=(xo ,y0) está determinado por la familia de rectas :

(30)

y = yo + m (x - x 0)

donde m E R es un parámetro real, Figura 7.9. (ii).

Figura 7.9. (ii)

Corolario 6. La ecuación de la recta determinada por los puntos P l = (A,0) y P2= (0, B) con A = O y B O está dada por, ver Figura 10 :

(31)

x y + á=1 A

(Forma segmentaria)

Figura 7.10

238 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Demostración. Teniendo en cuenta la expresión de la recta que pasa por dos puntos con x, = A ,

=O,

=O,

(32)

= B, se tiene que :

m=

B-O B O - A A

h= O -mA=B ,

B es decir y = -- x +B que resulta ser equivalente a la expresión buscada. Ejemplos. Ver Figura 7.11. (i) La ecuación de la recta de pendiente 4 y ordenada al origen 1 está dada por la expresión y = 4 x - 1 ; (ii) La ecuación de la recta de pendiente - 3 y ordenada al origen 2 está dada por la expresión y= 3x + 2 ; (iii) La ecuación de la recta que está determinada por los dos puntos ( -1, -1) y (2 , 5) viene dada por la expresión y = 2 x + 1 ; (iv) La ecuación de la recta que está determinada por los dos puntos ( -1, 2) y ( -1, 5) viene dada por la expresión x = - 1 ; (v) La ecuación de la recta que está determinada por los dos puntos ( -1, 2) y (4, 2) viene dada por la expresión y = 2

X=

-

1

y

-

2

x

-2 Figura 7.11 A Ecuación general de la recta en el plano

Definición 9. La ecuación general de una recta en el plano x, y está dada por la siguiente expresión :

(33)

ax+by+c= O ,

con a, b, ceR y a2+b2 > O, es decir, a y b no son simultáneamente nulos

FUNCIONES REALES • 239 Observación 13. Se tienen los siguientes casos particulares :

1) Caso a = b = 0 : Es un caso sin mucho interés pues representa a todo el plano R2 cuando c = O y al conjunto vacío 0 cuando c O;

2) Caso b = O, a = O : c Se tiene la recta paralela al eje de las ordenadas cuya ecuación resulta ser x = -- ; a 3) Caso a = O, b O : c Se tiene la recta paralela al eje de las abscisas cuya ecuación resulta ser y = -- ; 4) Caso a = O, b O: a c Se tiene la recta cuya ecuación resulta ser y = -- x — — , que representa la recta de pendiente b b m = — b y ordenada al origen h = — b ;

5) Caso c = O : Se tiene necesariamente que a = 0 y b = 0 , y por ende la recta que pasa por el origen a de coordenadas (0, 0) y tiene pendiente --

a es decir y = -- x

Definición 10. La ecuación de una recta toma diferentes nombres, según sea la forma usada, es decir :

(34)

1)

Ecuación de la recta en forma explícita:

y=mx+h;

2)

Ecuación de la recta en forma implícita:

ax+by+c=0;

3)

Ecuación de la recta en forma segmentaria:

A+ — =1(AO,B=0) B

Observación 14. La forma explícita puede representar a todas las rectas del plano, excepto a las rectas verticales, es decir, rectas paralelas al eje y. Para dichas rectas no está definida la pendiente m.

La forma segmentaria puede representar a todas las rectas del plano, excepto a las rectas que pasan por el punto origen, y las rectas verticales y horizontales, es decir, rectas paralelas al eje y, y al eje x respectivamente. Para dichas rectas no están definidos los coeficientes B y A, respectivamente. A continuación se verá una tabla, en la cual se expresa cómo pasar de una forma a la otra a través de las relaciones existentes entre sus respectivos parámetros característicos, excepto si la recta es vertical de ecuación x= Const. y horizontal de ecuación y = Const. :

111111

1

¡sil

II

1

II

,

11

240 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(35)

Parámetros de la forma explícita :

m, h,

Parámetros de la forma implícita :

a, b, c,

Parámetros de la forma segmentaria :

A, B

Forma explícita

Forma implícita

Forma explícita

Identidad

a=-m b =1 c=-h

Forma Implícita

m= - a / b h=-c/b

Forma Segmentaria

m = - B/ A h=B

Incógnitas

(A O, B O)

Forma segmentaria

Datos

Identidad

A=-h/m B -= h

A=-c/a B.-c/b

a z VA b= 1/ B c= 1

Identidad

A continuación se verán las demostraciones correspondientes a algunos de los casos, realizándose las restantes en forma análoga: (a) Pasaje de la forma explícita a la forma segmentaria (m O)

Dados los parámetros m y h de la forma explícita y = m x + h se tiene que y - mx = h y por tanto y x —— = 1 con lo cual se deduce que : h rl m h A = -- ,

(36)

B=h

(b) Pasaje de la forma segmentaria a la forma explícita Á y Dados los parámetros A y B de la forma segmentaria A — + — = 1 se tiene que : B

x

B

y = B (1— — ) = B— A A

con lo cual se deduce que

FUNCIONES REALES • 241

(37)

h = B,

m=

A

(c) Pasaje de la forma implícita a la forma explícita (b O) Dados los parámetros a, b, c de la forma implícita ax + by + c = O se tiene que 1 c a y = — (—c — ax) = -- — — x , con lo cual se deduce que : b b (38)

m= —a — b

h= —

b

.

A Paralelismo entre dos rectas Definición 11. 1) Se dice que dos rectas, ambas rectas no verticales, son paralelas entre sí si y sólo si tienen igual pendiente ;

2) Se dice que dos rectas son coincidentes si y sólo si son paralelas y pasan por un mismo punto. Observación 15. Dos rectas verticales, paralelas al eje de las ordenadas, de ecuaciones x = x, y x = x 2 respectivamente se consideran rectas paralelas entre sí.

Ejemplos. Ver Figura 7.12. (i) Las rectas de ecuaciones x = -1 y x = 2 son paralelas entre sí ; (ii) Las rectas de ecuaciones y = x + 1 , y = x - 1 son paralelas entre sí ; (iii) Las rectas de ecuaciones y = x + 1 , y = -x + 2 no son paralelas entre sí .

Proposición 7. Sean dos rectas de ecuaciones y = m 1 x + h 1 , y = m2 x + h 2 . Entonces :

1) las rectas son paralelas entre sí si y sólo si m 1 = m2 ; 2) las dos rectas son coincidentes si y sólo si m 1 = m2 y h 1 = h2 Demostración. a) Surge de la interpretación geométrica de la pendiente , b) Es trivial.

1

,41

I

1 ,1

■ 1*

1

1

¡di

i$11.111illitll 1 , 1

I

II

242 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Proposición 8. Sean dos rectas de ecuaciones a l x + b 1 y + c 1 = O , Entonces:

a2 x + b2 y + c2 = O .

1) Las dos rectas son paralelas entre sí, si y sólo si

(39)

a l b 2 b l a2 =

); al _ a2 b2

_ a2 b1 b2

O

2) Las dos rectas son coincidentes si y sólo si :

= a2

(40)

b1

( a l = b1 = c1 2 b 2 C2 a

A c1 = C2

b2

b1

b2

Demostración. Se utiliza la Proposición 7 y las relaciones de pasaje de forma implícita a explícita.

x y + =1 . Entonces: A2 B2

x y Proposición 9. Sean dos rectas de ecuaciones —+ — =1 , Al B1 B1 1) Las dos rectas son paralelas entre sí, si y solo si : —

B2 ;

Al A2

2) Las dos rectas son coincidentes si y sólo si :

B B = Al A2

A B1 = B2 <=> Bi = B2 A Al = A2.

Demostración. Se utiliza la Proposición 7 y las relaciones de pasaje de forma segmentaria a explícita. Ejemplo. Las rectas de ecuaciones 2x-y+1=0, 4x- 2 y + 2 =O son coincidentes.

Perpendicularidad entre dos rectas Definición 12. Se dice que dos rectas r 1 y r2 son perpendiculares entre sí, y se nota r1 1 r2 , si y sólo si el ángulo formado por las dos rectas es un ángulo recto . Teorema 10. Sean r1 y r2 dos rectas, ambas no verticales , de pendientes m, respectivamente. Entonces , se tiene la siguiente equivalencia: (41)

r 1 1 r2

O y m2

O

=-1

<=>

Demostración. Sin pérdida de generalidad, sino se realiza una traslación de ejes de manera que el nuevo origen de coordenadas sea el punto de intersección de las dos rectas, se verá el caso en que las dos rectas pasen por el punto origen de coordenadas O = (0 ,0), es decir : r1

: y = mi x

donde m, E f t - {0} es la pendiente de la recta r (i = 1, 2)

r2 : y =

M2 X ,

FUNCIONES REALES • 243 Sean A = (x, , m, x l ) e r i y B = (x 2 , m2 x2) e r2 dos puntos cualesquiera sobre las rectas con x l = O y x2 = O. Entonces, de acuerdo a la simple equivalencia (ver Figura 7.13) : r 1 1 r2

OAB es un triángulo rectángulo,

<=>

se tiene, por aplicación del Teorema de Pitágoras, que AB 2 = B 0 2 + 0A 2 • Como : 2 2 AB = (m2x2 —m1x1) +(x2

= (m2x2)2 + (M1X1)

2

-

x1) 2 =

- 2rn1rr2 XiX2 + x2 2 +

2

137:12 = (M2 X2) 2 + X22

x 12 —2x ix 2

/

OA = (m i x i )2 + x i2

se deduce, previa simplificación, que -2x,x 2 (1 + m i m2 ) = O , es decir 1 + rn i m2 = O.

x Ejemplo. Las rectas de ecuaciones y = 2x - 1 , y = -- + 1 son perpendiculares entre sí, pues 2 =2 y m

1 -2 2

Corolario 11. 1) Si las rectas r (i = 1, 2) están dadas por las ecuaciones a ix + ID, y + c i = O, entonces : (42)

r 1 1 r2

<=>

a l a2 = - b 1 b2

x 2) Si las rectas r (i = 1, 2) están dadas por las ecuaciones

(43)

r1 1 r2

<=>

A 1 A2 =

B 1 B2

= 1 , entonces :

ltil

244 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 16. Las rectas de ecuaciones ax + by +c, = O , - bx + ay + c 2= O son perpendiculares entre sí, cualesquiera sean los coeficientes a, b, c e con a # 0 ó b # 0

A Intersección de dos rectas

Sean r, y r2 dos rectas en el plano x, y . Sea S el conjunto de los puntos del plano que pertenecen a la intersección de las dos rectas, es decir, S = r n r2 . Entonces, se tienen las siguientes tres posibilidades excluyentes entre sí : ,

1) S = 1-1 = r2 , en el caso en que las dos rectas sean coincidentes ; 2) S = 0 (conjunto vacío) , en el caso en que las dos rectas sean paralelas entre sí y no coincidentes; 3) S = {P} , donde P es el único punto de intersección de las dos rectas . De acuerdo a lo analizado en el Capítulo 3 se tiene :

Teorema 12. Sean dos rectas de ecuaciones :

(ri )

+ bi y +

= O , (r2) a2x + b2 y + c2 = O

Entonces, la condición necesaria y suficiente para que las dos rectas ( .1 ) y (r2) determinen un único punto P de intersección es que : (44)

a , b 2 - b i a2

O

Más aún, en dicho caso, las coordenadas del punto de intersección P = (x, y) están dadas por :

(45)

2 — b2 x= c a l b 2 —b 1 a 2

Y=

c1 a 2 — c 2 a l al b2 —b1 a2

Demostración. Surge por aplicación de la teoría desarrollada en el Capítulo 3.

Observación 17. La intersección de dos rectas puede ser obtenida a través de los siguientes méto-

dos de resolución, analizados en el Capítulo 3.

1) Método de resolución gráfica : consiste en representar gráficamente las dos rectas en el plano y determinar de este modo, en el caso en que exista, el único punto de intersección ; 2) Métodos de resolución analítica: consiste en hallar la intersección de dos rectas a través de métodos analíticos, entre los que se pueden citar :

1) Método de sustitución ; 2) Método de igualación ; 3) Método de reducción de orden o de sumas y restas ; 4) Método de Cramer o de determinantes ; 5) Método de eliminación de Gauss.

FUNCIONES REALES • 245 Observación 18. La intersección de dos rectas de ecuaciones :

x + bi y +

O

a2 x + b2 y + c2 = O

se simboliza de la siguiente manera :

(46)

x +13 1 y + = O a2 x + b 2 y + c2 = O

Ejemplos. Ver Figura 7.14. (i) Las rectas de ecuaciones x + y = O, 2y - x - 3 = O se intersectan en el único punto P 1 = ( - 1 , 1) ; (ii) Las rectas de ecuaciones 2y - x - 3 = O, y = 2x se intersectan en el único punto P2 = (1, 2) y=2x

2y-x-3=0

x

Figura 7.14. x+y=0

Como caso particular de la intersección de dos rectas cualesquiera se encuentra la intersección de una recta con los ejes coordenados.

Proposición 13. 1) Dada la recta de ecuación (r) ax + by + c = O que no sea paralela a ninguno de los dos ejes coordenados (es decir, a = O A b O), entonces se tienen los siguientes resultados : (a) La intersección de la recta (r) con el eje x es el punto P 1 = ( - 1 ,o) ; (b) La intersección de la recta (r) con el eje y es el punto P2 =(0 ,— 17c) ) ; 2) La recta de ecuación y = yo, con yo = O, se intersecta con el eje y en el punto P 3 = (O, yo), y en cambio su intersección con el eje x es vacía al ser las dos rectas paralelas enit y no coincidentes. 3) La recta de ecuación x = xo (x0 = O) se intersecta con el eje x en el punto 1 34 = (xo , O) , y en cambio su intersección con el eje y es vacía al ser las dos rectas paralelas entre sí y no coincidentes.

♦ Inecuaciones de primer grado en dos variables Una recta en el plano determina dos regiones o semíplanos: el que está por encima o por abajo de

1iii

,1,11.4.„

i

246 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

la recta; el que está a la derecha o a la izquierda de la recta, según sea la ubicación o representación gráfica de la recta de dicho plano. Para determinar uno de esos semiplanos basta reemplazar el "=", en la ecuación de la recta dada, por una de las cuatro relaciones siguientes " >", "<". Ejemplo. La recta de ecuación y=0 representa geométricamente el eje coordenado x. Con la desigualdad y > O se representa el conjunto de puntos del plano que están por encima de dicho eje coordenado x, es decir : {(x,y)/y > O ,xeR}=RxIR'

Definición 13. Se llama inecuación de primer grado en las dos variables x , y cuando se tiene una de las cuatro expresiones siguientes:

1)ax+by+c O , ó

2) ax+by+c> O , ó

(47) 3)ax+by+c O , ó 4) ax+by+c
Para cada una de las inecuaciones, el conjunto de soluciones es el conjunto de pares ordenados (x, y) de números reales que satisfacen dicha inecuación o desigualdad .

Ejemplo. (i) La inecuación y + x dada por:

O determina la región sombreada S 1 del plano (ver Figura 7.15.)

S i = { (x, y) E

/ y>_- x)

que puede interpretarse como la región del plano que está por encima de la gráfica, en este caso, una recta, de la función real dada por la ley f(x) = - x que resulta ser un semiplano ;

Figura 7.15

1..

FUNCIONES REALES • 247

(ii) La inecuación y - 2 x -1 < O determina la región sombreada S2 del plano, ver Figura 7.16, dada por : S2 = { (x, y) E R2 / y < 2 x + 1) que puede interpretarse como la región del plano que está por debajo de la gráfica, en este caso una recta, de la función real dada por la ley f(x) = 2 x + 1

Figura 7.16 Observación 19. Se indica que los puntos de la recta están en el conjunto solución cuando ésta se representa de trazo lleno, y en caso contrario se representa con línea de trazos, trazo discontinuo. Definición 14. Un conjunto S se dice un conjunto convexo cuando dados dos puntos cualesquiera P, y P2 pertenecientes al conjunto S, el segmento de recta P, P 2 determinado por dichos puntos está contenido en el conjunto S. Ejemplo. Los siguientes conjuntos del plano son conjuntos convexos, ver Figura 7.17 :

= { (x, y) e IR2 / - 3 5 x 5 3 , - 2 T2 = { (X, Y) E [1:82

y

2},

O},

T3 = { (x,y)ER2 / x > O, y > O, y < -x + 1 }, T4 = { (X, Y) E FR 2 /x

1,5,

O, y 5_-x+ 2},

los cuales están determinados a tráves de un sistema de inecuaciones de primer grado en las variables x, y

LJW

I

1 II 1 II

,14

1,

248 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

2

-3

o

3

X

-2

o

1

Y Figura 7.17

o

Observación 20. El conjunto de los puntos (x, y) del plano que satisfacen un sistema de inecuaciones de primer grado en las variables x, y es siempre un conjunto convexo. Observación 21. Para determinar gráficamente, por ejemplo, el conjunto de soluciones de la inecuación ax + by + c 0, se realizan los siguientes pasos: 1) se presenta en el plano la recta de ecuación ax + b y + c = 0; 2) para determinar cuál de los dos semiplanos es el que corresponde a la inecuación dada, se toma un punto cualquiera 130 del plano, en general es el punto origen de coodenadas (0,0), que no pertenezca a la recta y se estudia si las coordenadas de dicho punto satisfacen o no la desigualdad correspondiente. Se tienen las siguientes conclusiones: (a) si el punto P o satisface la inecuación, entonces el semiplano buscado es el que contiene al punto Po : (b) si el punto P, no satisface la inecuación, entonces el semiplano buscado es el que no contiene al punto P 0 . A continuación se dará un ejemplo, ver Ejercicio (57i), que se considera de gran importancia en resolución de problemas en los que intervengan el acoplamiento del valor absoluto, ecuaciones de rectas y de las inecuaciones en una variable.

FUNCIONES REALES • 249 Ejemplo. Sea la función real definida por la siguiente ley: f(x)= 21x- 5 1-1x+ 11 se desea hallar una expresión equivalente, distinguiendo varios casos, si fuese necesario, a la ley que no contenga las barras de valor absoluto. En primer lugar, se tiene: x -5

I

si x

5

x+1

si x - 1

-x -1

si x < -1

x+1=

x - 51 = -x + 5

si x <5

con lo cual existen dos valores de la variable x (x = -1 y x = 5) que bifurcan el estudio de la función f. Por lo tanto, se deduce para f(x) la siguiente expresión equivalente:

f(x) =

2(x- 5 )-(x+ 1) si 2(-x+ 5)-(x+ 1) si 2(-x+ 5)-(-x-1) si

x5 -1 x< 5 x<-1

x - 11 -3x + 9 - x + 11

x >5 -1 x < 5 x < -1

si si si

que expresa que la gráfica de f está compuesta por la restricción de las rectas y = x - 11, y = -3x + 9 e y= -x + 11 a los intervalos 1 1 = [5,+00), 1 2 = [-1, 5) e 1 3= (-00,-1), respectivamente, ver Figura 7.18. Además, y= -x + 11 está dado por el conjunto S= [0,20] (ver Figura 7.18). Según el mismo dibujo, se observa que la solución de la inecuación: 21 x-5

-1 x+1 I

9

= -x +11

y = x - 11 Y= 9

6 4

= -3x + 9 1 I

i -5

r

t -3

1

3

5

10 1

-1

-1

-6

1

1

1

1

11

1

1

15

Figura 7.18

I

20 I

1„11 1

uu

11

11111 4 11 41

44 14

1

Al lié, 41,1i

250 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

En cambio, si se quiere resolver la misma inecuación en forma analítica se debe bifurcar el estudio en tres casos según a que intervalo 1 (i = 1,2,3) pertenezca la variable x, es decir: (i) Sea x E 1 1 , entonces: f(x) 5 9

<=>

x -11 5 9

<=>

x < 20

x e ( -00, 20]

=

con lo cual el conjunto solución S 1 con la condición x E I está dado por: = n ( - 00 , 20 ] = [5, 20] . (ii) Sea x E

12,

entonces: f(x) 5. 9

con lo cual el conjunto solución

<=>

-3x + 9 5 9 <=>

x > O <=>

x e [o, + 00 ]

con la condición x E 1 2 está dado por: n [0, + 00) [0, 5) .

52

S2 = 1 2

(iii) Sea x e 1 3 , entonces : f (x) 5_ 9

<=> - x + 11 5 9 <=>

x < 2 <=> x E [2, + 00 )

con lo cual, el conjunto solución S 3 con la condición E 13 está dado por S 3 =1 3 n [ 2, + 00) = Por lo tanto, el conjunto solución S de la inecuación f(x) 5 9 está dado por: S =S i u S2 u S 3 = [0, 20] que coincide con lo hallado anteriormente desde un punto de vista gráfico. Otra forma de resolver la inecuación consiste en resolver la inecuación equivalente f(x) —9 5 0, construyendo la siguiente tabla de valores: x -3 -1

2x-5

-

x+1

-9

5 3 O

1 -3 3 -9 5 -15 10 -10 15 -5 19 -1 20 O 21 1 22 2 De la tabla se observa que f(x) - 9 asume valores no-positivos en el conjunto [0,20]. Es importante

FUNCIONES REALES • 251 hacer resaltar que este método de fácil aplicabilidad y de aceptable rapidez en su ejecución, permite obtener la solución cuando los extremos del intervalo solución, en el caso más simple, son números enteros que pueden ser detectados con más o menos trabajo. En cambio, cuando dichos extremos, o al menos uno de ellos, son números racionales o irracionales no serán detectados con facilidad o en su efecto serán imposibles de ser detectados con exactitud. 7.4. FUNCIÓN HOMOGRÁFICA Definición 15. Se llama función homográfica a la función real f : [PI -{ --d } —> IF1 , definida de la siguiente

manera: f(x) ax+b yx cx+d'

(48)

_d

Proposición 14. Sea la función real g:11 - {0} —›

, definida por:

(49)

Entonces la función homográfica f: R - -- } --> c

definida por (48) puede expresarse de la

siguiente manera: (50)

f(x) =

+

(51)

D = bc - ad

g(x +

x

- d c

donde:

Demostración. Sea x

(52)

E

- { --d } . Entonces: + d)+ bc ax + b _ á_[(cx c a cx + d cx + d

1 = a+ D c c2 x+ d c

a = — + — g(x+ — ) c c2 c Observación 22.

1) Si D =0, entonces f(x) =' ex ER-

} , es decir f es una función

constante con lo cual se pierde todo interés: 2) Si D 0, entonces la representación gráfica de f se obtiene por una traslación vertical de valor a/c, hacía arriba si a > 0, hacia abajo si < 0, de la multiplicación de D/c2 por la traslación d d horizontal de valor — hacia la izquierda si — > 0; hacia la derecha si —d < 0, de la gráfica hipérbola equilátera c de la función g; es decir, ver Figura 7.19.: a) se traslada horizontalmente un valor —d (hacia la izquierda si '1 > 0; hacia la derecha si —d < ) la gráfica de la función real g ;

1,11.

1411,114

252 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

b) luego, se multiplica la gráfica obtenida por el número real D/c 2 , cuya forma gráfica no varía si D > O, habrá una dilatación o contracción según sea mayor o menor que 1, y será de la misma forma pero opuesta si D < O; c) luego, a la gráfica así obtenida se la traslada verticalmente un valor 1, hacia arriba si abajo si a < O.

a >0 — c Caso : 1 t-li < O c D = bc - ad > O a

y=

c

Figura 7.19

x = --d c

—d Y

a

a O -¿-< Caso :

d

c

D

<0 bc - ad < O

__ d c

> O, hacia

FUNCIONES REALES • 253

Definición 16. Para la función homográfica f (x)=

ax+bb cx+d

definen dos rectas especiales:

d , que recibe el nombre de asíntota vertical. 1) x= -a que recibe el nombre de asíntota horizontal. 2) y = — c'

Observación 23. Se verá a continuación otro método práctico para obtener la transformación anterior que permite graficar la función homográfica. Consiste en realizar la división de los polinomios ( ax + b) con (cx + d) y luego hallar la expresión que corresponde a la fracción, a saber:

ax + b

cx + d a c

ax + ad c

b _ ad c

Por definición de la división de polinomios se tiene :

(53)

ax + b =

(54)

ax + b cx +d —

( cx + d) +b ad

y por tanto: _ (cx d+) ± bc—ad bc —ad a+ bc — ad 1 c — a cx+ d c +cx+ d — c c2 x+ d c

Ejemplo. La gráfica de la función homográfica:

f(x) = 2x -1 = 2 x +1

está dada por:

3 x +1

11111 lils 111,111.1

254 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

-5

Figura 7.20

FUNCIONES REALES • 255 7.5. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Definición 17. Se llama función de segundo grado (función cuadrática) a la función real definida por:

(55)

R / f (x) = a x 2 + b x + c,

f: R

dondeaER-{0},bEIT,cER. A continuación se recordarán, en forma sucinta, elementos y resultados obtenido en el Capítulo 2, que serán de gran utilidad en lo que sigue.

A Ecuación de segundo grado. Raíces

Definición 18. Se llama ecuación de segundo grado a la ecuación ax2 + bx + c = O, donde a E R - {O}, b ER,c e R. Más aún, al número, real o complejo, x que satisfaga dicha ecuación se lo llama raíz o cero de

la ecuación de segundo grado, que coinciden con los ceros de la función de segundo grado f(x) = ax 2 + bx + c.

Observación 24. Los ceros reales de la ecuación de segundo grado corresponden a los puntos de intersección del eje coordenado x con la gráfica de la función de segundo grado correspondiente. En el caso en que las raíces no sean reales, es decir, son números complejos conjugados entre sí, se tendrá que la gráfica en el plano de la función de segundo grado estará por encima o por debajo del eje coordenado x, es decir, por encima o por debajo de la recta de ecuación y = O

Teorema 15. 1) La ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = O tiene dos raíces, las cuales pueden calcularse a través de las siguientes expresiones:

(56)

x1 =

x2_ —b + — 2a

2a

donde A = b2 - 4 ac. 2) Los coeficientes a, b, c (con a O) y las raíces x 1 , x2 están relacionados por las siguientes expresiones: (57)

+ x2 = —

a

,

X1 X 2 =

.

3) La función de segundo grado f(x) = ax 2 + bx + c ( a O) puede expresarse, teniendo en cuenta sus ceros x, y x2 , de la siguiente manera: (58)

f(x)=ax2 +bx+c=a(x-n4 )(x-x ) V x

4) Si sg (a) sg(c) entonces las dos raíces son reales y de signo contrario.

5) Si a > O (sg(a) = sg(c)) y A = b 2 - 4ac > O entonces las dos raíces reales tienen el mismo signo. Más aún, el signo de las raíces es el signo de -±3 a

111, lié,

256 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 25. Según sea el valor de A se tienen 3 diferentes casos:

1) Si A > O entonces existen dos raíces reales x l y x2 , distintas entre sí; b 2) Si A = O entonces existe una raíz doble dada por la expresión x 1 = x2 = - 2a ' 3) Si A < O entonces existen dos raíces complejas, una es la conjugada de la otra, dadas por las siguientes expresiones : xl

b 2a 2a '

x2

b 1471 ; - 2a + 2a "

donde i = V-1 es la unidad imaginaria. Ejemplos. (i) La ecuación de segundo grado x2 - 2x + 1 = 0 tiene por raíces x 1 = x2 = 1 ; 1 (ii) La ecuación de segundo grado 2 x2 + x - 1 = 0 tiene por raíces x l = -1 y x2 = -2- , (iii) La ecuación de segundo grado x 2 + x + 1 = 0 tiene por raíces los números complejos : s

= -1+V3 i 2

x2n =

—1 —

2

1

A Gráfica de la función de segundo grado , Sean las siguientes funciones reales: (59)

f(x) = ax2 + bx + c ( a O ) , g(x) = x2

Teorema 16. Se tiene la siguiente relación entre las funciones reales f y g, dada por

(60)

b )-— A , con A = b 2 - 4 ac f(x) = a g(x + — 2a 4a

Demostración. Teniendo en cuenta lo estudiado en el Capítulo 2 para el cálculo de las raíces de la

ecuación de segundo grado f(x) = 0, se obtiene que: f(x) = ax2 + bx + c = a [ ( x + (61)

)2+ 4ac -b2 4a 2

= ag (x +

b

a

b = a

(x

A )2

-

-— 4a '

es decir, el resultado buscado. Observación 26. Como consecuencia del resultado anterior, la gráfica de la función f se obtiene a

través de la gráfica de la función g de la siguiente manera: 1) Se traslada horizontalmente la gráfica de la función g un valor2 a 2 1(hacilzquerds > O y a b hacia la derecha si - < 0 ); a 2) Se multiplica la gráfica así obtenida por el coeficiente a O que será del mismo tipo si a > O (dilatación con a > 1 y contracción con O < a < 1) y se invertirá si a < 0 . 3) A la gráfica obtenida en el paso anterior se la traslada verticalmente un valor ( hacia arriba si A < 0 y hacia abajo si >0). a a

4 aá

FUNCIONES REALES • 257 Teorema 17. La representación gráfica de la función de segundo grado f (x) = ax 2 b x + c (a = O) es una parábola cuadrática que tiene su vértice en el punto V =(xo, yo), cuyas coordenadas están dadas por:

(62)

yo = f(xo) =

= - 2a '

4 a c - b2 A 4a = 4a

Más aún, la ecuación de dicha parábola puede expresarse de la siguiente forma:

(63)

y = f (x) = y o + a (x - xo )2 .

Además, las dos ramas de la parábola son hacia arriba cuando a > O y hacia abajo cuando a < O. Demostración. Del resultado anterior, se tiene:

(64)

f (x) = a ( x +

)2

A s >-— si - 4a

a>O,

< - — si - 4a

a
-

Por otra parte, evaluando la función f en el punto x o = - 2 a se deduce que:

(65)

b f (X ° ) = f -

A=

) = za

4ac -b 2 = 4a2 Y

Observación 27. La recta vertical de ecuación x =-

resulta resulta ser un eje de simetría de la parábola 2 2a cuadrática. Cuando b O, dicho eje de simetría no es el eje de las coordenadas. Observación 28. 1) Si a > O entonces la función cuadrática f tiene un punto de mínimo absoluto xo con valor yo, ver Figura 7.2.1: 2) Si a < O entonces la función cuadrática f tiene un punto máximo absoluto xo con valor yo, ver Figura 7.21.

II ilm,111‘

258 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Y

Caso: a > O , A = 0

x

Caso: a < O , A < 0

Figura 7.21

Observación 29. Para la realización de la gráfica de la función de segundo grado es fundamental la igualdad (60). En los casos prácticos conviene, en lugar de recordar la igualdad anterior, aplicar el método de completar cuadrado que es el método teórico para su deducción. Por ejemplo:

2x2 + 12 x + 11 = 2 (x 2 + 6x + = 2 [8 x + 3 ) 2 -

= 2 [ ( x2 + 2 (x) (3) + 9 ) -9 + 121 = 2 (x + 3) 2 - 7 .

A Signo de la función de segundo grado

Sea f : --> /f(x) = a x2 + b x + c, la función real de segundo grado donde a, b, c E U con a 0. Entonces, para el signo de f(x) se tiene el siguiente resultado en función del signo del coeficiente a y de la existencia de sus dos raíces reales. Teorema 18. El signo de f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) es el signo del coeficiente a, excepto si se le dan a x valores pertenecientes al intervalo cerrado formado por sus dos raíces, en el caso en que éstas existan, es decir:

(66)

(i)

A<0

sg (f(x)) = sg (a),

eXER

(ii)

A=0

sg (f(x)) = sg (a),

VXER

(iii)

A>0

(a) sg (f(x)) = sg (a),

VXE

(b) sg (f(x)) = sg (-a),

V X E (X * , X ** )

( - 1); (,

°0 X* ) U (X ** ,-i- 00 ),

(c) f(x*) = f(x**) = 0 ; donde x* , x** son las dos raíces de la ecuación de segundo grado a x 2 + b x + c = 0 con x* < x"*

FUNCIONES REALES • 259 Demostración. (i) Si A < O entonces f(x) = O no tiene raíces reales y por tanto será f(x) > 0 6 f(x) <

0, d x

H, según sea el valor del coeficiente a debido a la igualdad (61); b 2 con lo cual se obtiene inmediatamente el resultado (ii) Si A = O entonces f(x) = a (x + — 2a ) b )=0; deseado. Además, se tiene que f(- — 2a E

(iii) Si A > O entonces la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = O tiene dos raíces reales distintas, que se notarán por x* < x**. Teniendo en cuenta que f(x) = a (x - x*) (x - x**), se deducen (a) , (b) y (c). Observación 30. Los resultados anteriores pueden visualizarse realizando la gráfica , en el plano, de la función de segundo grado f(x) = a>1 + bx + c Ejemplo.

(i) Sea f(x) = 2 x 2 + 4x + 2 = 2 (x + 1

.

Como A = 0, a = 2 > O , y --b=. -1 se tiene que

f(x) > 0, V x e 11+11, f(-1)=0: (ii) Sea f(x) = -x2 + x -2 . Como A = -7 < O y a = -2 < 0 , se tiene que f(x) < 0, V x

E

U ; -

(iii)Sea f(x) =2 x2 - 6x + 4 = 2 (x - 1) (x - 2). Como A = 4 > 0 , a = 2 > 0 , x* = 1 y x**= 2 se tiene que: f(x) > O , V x e ( - 00 , 1) U (2, + 00 ) f(x)
f(1) = f(2) = O

Observación 31. Teniendo en cuenta que el signo de un cociente (de dos números o de dos funciones) es el mismo que el signo del producto, siempre que dichas operaciones estén bien definidas, se puede estudiar el signo de la función homográfica: - d' , F(x)= c'x+ d' `A

a través de la siguiente función de segundo grado; f(x) = ( a'x + b) (c'x + d') = a' c' (x +

)(x+

)

De la expresión anterior se deduce que A > O al existir las dos raíces reales, siendo: a = a'c' ,* = b'-, a

x -_ _ d'

o viceversa.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Definición 19. Una inecuación se dice de segundo grado con una incógnita x si y sólo si la dada inecuación, a través de transformaciones regulares, es conducida a una inecuación equivalente de la forma:

IJW

I

41.II ,11

1

1

II 114i kiHis•

260 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA ax2+bx+c> O ( ?_0)

(67) donde los coeficientes a, b, c

E

con a = O.

Resolver dicha inecuación consiste en hallar el conjunto de soluciones S definido por: (68)

S={x

E

R/ax2 +bx+c> O (0 )}

Observación 32. Si la inecuación dada tiene la relación " < O " (" definición basta multiplicarla por ( - 1 ).

O") para llevarla a la de la

Observación 33. Para la resolución de una inecuación de segundo grado con una incógnita se estudia el signo de la función de segundo grado correspondiente, tema ya visto anteriormente. Ejemplo. El conjunto de soluciones de la inecuación x2 + x - 2 > O en R está dado por el conjunto S = (, -2) U (1 + 00 )

A Intersección de gráficas en el plano

Resolver la ecuación "f(x) = g(x)" en significa geométricamente hallar las abscisas de los puntos del plano que pertenecen a la intersección de las gráficas de las funciones reales f y g, es decir: si f: A --> í y g: B son las dos funciones reales con A cRyB c R, entonces x o EA nB es solución de la ecuación f(x) = g(x) si y sólo si 3 y o E de manera que (xo ,y0) E G (f) n G(g) donde G(f) y G (g) son los gráficos de las funciones f y g, respectivamente. Más aún, la ordenada y0 viene dada por y o = f(x0) = g(xo) Esta interesante equivalencia permite hallar la intersección de gráficas elementales a través de la resolución de ecuaciones. A continuación, se analizarán problemas que llevan al estudio de una ecuación de segundo grado, a saber: 1) Intersección de una recta con una parábola ; 2) Intersección de una recta con una hipérbola; 3) Intersección de dos parábolas.

1) Intersección de una recta con una parábola.

Sean funciones reales f(x) = a x 2 + b x + c, y, g (x) = m x + h donde los coeficientes a, b, c, m, h con a ~ o y m O. La intersección de la parábola f con la recta g está dada por el sistema de ecuaciones: (69)

y= ax2 +bx+c y= m x + h,

que resulta ser equivalente al siguiente: y=mx+h ax2 +(b-m)x+(c-h)= 0.

FUNCIONES REALES •

261

La última ecuación del sistema anterior (70)

ax2 +(b-m)x+(c-h). 0

Se llama ecuación de abscisas, que es una ecuación de segundo grado con una incógnita que determina las abscisas de los puntos de intersección de las dos figuras en el plano. Dependiendo del signo del discriminante: (71)

A =(b-m) 2 - 4 a(c-h)

se tendrán dos soluciones ( A > 0), una solución ( A = 0) o ninguna solución ( A < 0). Para cada solución x de la ecuación de abscisas, en el caso en que exista, el valor de la ordenada y del punto de intersección de las figuras se obtiene usando la relación y = m x + h Ejemplo. La intersección de la parábola y = x 2 - 3x + 1 con la recta y = x - 2, tiene por ecuación de abscisas a la ecuación de segundo grado siguiente: x2 - 4 x + 3 = O

cuyas raíces son 1 y 3. Por lo tanto, los dos puntos de intersección son ( 1, -1 ) y ( 3 ,1 ), ver Figura 7.22. Por otra parte, la inecuación: x - 2 > x2 - 3 x + 1 tiene por solución al conjunto S = (1,3), lo cual se puede verificar gráficamente al estar la recta y = x - 2 por encima de la parábola y = x 2 -3x+1, x ES = (1, 3)

Figura 7.22

x x =

3-

2

x2 = 3 +

2

- O, 38 - 2,62

2) Intersección de una recta con una hipérbola. El problema consiste en la intersección de las representaciones gráficas de las funciones reales f(x) a =— +R, y , g(x) = m x + h donde los coeficientes a,p,m,heRconot#oym#0, lo cual se expresa por

el sistema de ecuaciones:

262 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Y =— a R x y=mx+h.

(72)

En este caso, la ecuación de abscisas viene dada por ( +p=mx+ h, es decir por la siguiente ecuación de segundo grado: (73)

m x2 + (h - p) x - = O

Por otra parte, para cada solución real x de la ecuación precedente el valor de la ordenada y del punto de intersección de las figuras se obtiene usando la relación y = mx + h. Ejemplo. La intersección de la hipérbola equilátera y =

(cx > O) con la recta y = mx ( m > O) tiene

a cuyas dos soluciones son x = ± I a . Por lo tanto, los por ecuación de abscisas a la dada por x 2 = — m m puntos de intersección son los dados por las coordenadas ( -

m'

) y (1 m'

am ), ver Figura 7.23.

Y

3) Intersección de dos parábolas El problema consiste en la intersección de las representaciones gráficas de las funciones reales (74)

f(x) = a x2 + b x + c ,

g(x) = a' x 2 + b'x + c'

donde a, b, c, a', b', c' E con a , a' O. La correspondiente ecuación de abscisas está dada por la siguiente ecuación de segundo grado: (75)

(a - a' )

+ (b - b' ) x + (c - c' ) = O.

FUNCIONES REALES • 263

Por otra parte, para cada solución x de la ecuación precedente, en el caso en que exista, el valor de la ordenada del punto de intersección de las figuras se obtiene usando la relación y = ax 2 + b x + c.

A Ecuación bicuadrada Definición 20. Se llama ecuación bicuadrada a la dada por la ecuación:

a x4 + b x2 + = O

(76)

donde a, b, c, E 11 y a O Resolución. Para resolver la ecuación bicuadrada se hace la sustitución x 2 = E, con lo cual se tiene

para la variable 1 una ecuación de segundo grado, es decir:

(77)

a 1 2 +b +c=0

Una vez obtenidos los dos valores de 1 (sean 1, y / 2 ) se obtienen los valores de x resolviendo las ecuaciones:

x2 =

(78)

x2 =

Y

2

cuyas soluciones vienen dadas por las expresiones:

(79)

x3 , 4 = ± -\12

= ± S1 ,

Lema 19. De acuerdo a como sean las raíces / y 1 2 de la ecuación (77) se tienen los siguientes

resultados: 1) Si / > O entonces x i > O y x2 < O ; 2) Si / 1 = O entonces x l = x2 = O; 3) Si 1 i < O entonces x 1 y x2 son números complejos conjugados entre sí, y por tanto no existen soluciones reales, 4) Un estudio análogo puede hacerse para / 2 > 0 ,

2 = O,

2
5) Si / 1 es un número complejo, conjugado de / 2 , entonces no existen soluciones reales para la ecuación bicuadrada (76) .

1,1il

I

11 1

I

lig 1

264 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

7.6. FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición 21. Se llama función exponencial a la función real f : ff8

ER definida por f(x) = ax donde la

base a E 18.- {1} Observación 34. El comportamiento de la función exponencial es diferente según sea a > 1 ó 0 < a< 1. Por otra parte, el caso a = 1 no tiene mucho interés al ser la función constante 1. Lema 20. Si a > 1 , entonces la función exponencial f(x) = ax tiene las siguientes propiedades :

1) f(x) > 0, yxER con f(0) = 1 ; 2) f es una función estrictamente creciente en R, con Im(f) = R'; 3) Su representación gráfica está dada en la Figura 7.24. Y

Figura 7.24

y = ax

a

(a > 1)

1

Lema 21. Si O < a <1, entonces la función exponencial f(x) = ax tiene las siguientes propiedades :

1) f(x) > 0, VxeR con f(0) = 1 ; 2) f es una función estrictamente decreciente en R, con Im(f) = I18+; 3) Su representación gráfica está dada en la Figura 7.25. Y

y = ax (0 < a < 1) a 1

Figura 7.25

144

FUNCIONES REALES • 265 Observación 35. Las gráficas de las exponenciales ax con O < a < 1 y a > 1 están relacionadas entre

sí debido al siguiente hecho: Sea fa (x) = ax con a > 0. Teniendo en cuenta que a = 1 se deduce: 1 a fa (x) = ax = —1— ir x — 11 ( x)

(80)

a) con lo cual las gráficas de las funciones f a y f son recíprocas una de la otra. a-

-

Observación 36. La base a E R+ {1} más empleada es el número irracional e 2, 718281. Las representaciones de las funciones exponenciales: -

(81)

ex = exp (x) ,

e-x = exp (-x)

1

exp()

están dadas por la Figura 7.26 = e-x

Y

= ex

e

x

-1 e - 2,7182 e-1 - 0,3678

Figura 7.26

7.7. FUNCIÓN LOGARITMO

Definición 22. Se llama función logaritmo en base a

E

R+

-

{1} a la función real f: 11+

y se nota:

f(x) = log a (x), V x > , a la función inversa de la función exponencial g : Observación 37. Las bases a e

-

—> R+I g (x) = ax

{1} más empleadas para el logaritmo son el número e (llamado

logaritmo natural y se nota por In(x), definido V x > O y el número 10 llamado logaritmo decimal y se

nota por log io (x), definido d x > 0. Más aún, de ahora en adelante, se utilizará la notación log(x) sin la correspondiente base, para indicar el logaritmo natural del número positivo x, excepto que se indique expresamente otra base.

Í

II

11

M1 1 .111,

11

ill111111111 ,

I

1'

266 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Lema 22. La función logaritmo natural log tiene las siguientes propiedades: 1) log (1) = 0,

log(e) = 1,

log(x) > 0, V x > 1,

log(x) < O, d x

E

(0,1) ;

2) log es una función estrictamente creciente en R+ con Im(log) = R ; 3) log (a b) = log(a) + log (b),

log (a"). n log(a),

log (1) = log (b) - log (a) ,

y a,b

E

IR+, n

E

;

4) Su representación gráfica está dada en la Figura 7.27. Demostración. Utilizando la definición del logaritmo y las propiedades de la potenciación, se deducen los siguientes resultados:

a) log(1) = y log(e) = y log(x) = y > O log(x) = y < O b) Sean a, b

E R+ ,

<=> 1=1> .1=1) <=> n

log(a) =

E

aE

eY = 1 <=> y=0; eY = e .1=> y =1; x=eY>1; x = eY E (0,1)

Sean: 11 (es decir : a =

log(b) = R E

(es decir: b=eg

Por lo tanto, se tiene : • log (ab). log (e«. eP). log(e— 0) = a + 3 = log(a) + (log(b); • log(a") = n log(a) es verdadero por aplicación iterada de la propiedad anterior, por aplicación del principio de inducción completa;

• log (12)= log

\ea

Figura 7.27

(P )= log(eP -a) =

a = log(b)— log(a)

FUNCIONES REALES • 267

7.8 FUNCIONES HIPERBÓLICAS Definición 23. Se llaman funciones hiperbólicas a las siguientes funciones reales: 1)

Seno hiperbólico:

(82) 2)

Sh: R

Coseno hiperbólico:

Ch : IzR —> / Ch(x) = Cosh(x) = ex 2 ex ,ex

(83) 3)

/ Sh(x) = Senh(x) = ex 2 e x ,ex E R;

E

R;

Tangente hiperbólica:

(84)

Th :

/ Th(x) = Tgh(x) =

e-x

Ch (x)

ex + e -x

ex E R.

Lema 23. Las funciones hiperbólicas tienen las siguientes propiedades:

1) El coseno hiperbólico es una función par y estrictamente creciente en R+ U {O}, que satisface: (85) Ch( O )= 1,

Ch(x) > 1, V x

Im(Ch) = [1 + (>0),

E

2) El seno hiperbólico es una función impar y estrictamente creciente en R, que satisface: (86) Sh( O ) = 0,

Sh(x)>0,exER',

Im(Sh) = R,

3) La tangente hiperbólica es una función impar y estrictamente creciente en R, que satisface: (87) Th( O ) = O,

O
Im (Th) = (-1, 1);

4) Las gráficas de las tres funciones hiperbólicas están dadas en la Figura 7.28.

Demostración. El coseno hiperbólico y el seno hiperbólico son funciones par e impar, respectiva-

mente, pues: a) Ch ( -

e-x e ±x) _ e-x2+ ex 2

Ch (x),

(88) b) Sh ( - x) = e-x - e±x) _ e -x ex 2 2

e x - e-x

2

- - Sh (x)

La tangente hiperbólica es una función impar por ser el cociente de una función impar con una función par .

iitallo wll 41 m s h

II

268 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Y

1 y .= Th(x)

x

•

-1

Observación 38. El coseno, seno y tangente hiperbólico son funciones biyectivas con dominio R+ U {o}, R y R, y con codominio [ 1, + 00) , R y ( -1, 1), respectivamente.

Lema 24. Las funciones hiperbólicas tienen además las siguientes propiedades: 1) Ch2(x) - Sh 2(x) = 1, V x E Ft; 2) Ch ( x ± y) = Ch(x) Ch(y) ± Sh(x) Sh(y) , V x, y E R ; 3) Sh(x ± y) = Sh (x) Ch(y) ± Ch(x) Sh(y) , V x, y E R ; 4) Th (x ± y) =

Th(x) ± Th(y)

1 ± Th(x) Th(y) ' V x' y

R

Demostración. Se verificará solamente la parte 1). Se tiene, 2

_x 2

x

2x

XE

_ Íe -e _ e+ (89) Ch2 (x)- Sh2 (x) = (e x •1 2 ) 2 )

R:

2+ e-2x

_ _2x _ 2 +e -2x, 4

(e

) - 4 4 -1

7.9. FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Definición 24. 1) Se llama Argumento Coseno Hiperbólico a la función real f 1 : [1, + 00) -> R + y se nota (x) = Arg Ch (x) a la función inversa del coseno hiperbólico Ch: R+ U {O} -3[1, + 00 ) . 2) Se llama Argumento Seno Hiperbólico a la función real f2 : R-3 R y se nota f2 (x) = Arg Sh(x) a la función inversa del seno hiperbólico Sh : R -> R. R y se nota f3(x) = Arg 3) Se llama ArgumentoTangente Hiperbólico a la función real f3 : ( -1, 1) Th(x) a la función inversa de la tangente hiperbólica Th : R-> ( -1, 1) Teorema 25. i) Las funciones hiperbólicas están dadas por las siguientes expresiones: 1) Arg Ch (x) = log (x + Vx 2

(90)

-

1) ,

2) Arg Sh (x) = log (x + Vx 2 f 1) ,

3) Arg Th (x) =

2 log(M(( ) ,

1;

Vx

V

Vx

XE

E (-1

R;

, 1)

FUNCIONES REALES • 269 (ii) Las gráficas de las tres funciones inversas están dadas en la Figura 7.29.

Demostración. a) Se realizará el cálculo (90.2) referente a la función inversa del seno hiperbólico. Sea y = Arg Sh (x) con x E R. Por definición de la función inversa se tiene que: exp(y)- exp( -y) x = Sh(y) = 2 y multiplicando por exp (y) se obtiene la siguiente ecuación: exp2 (y) - 2 x esp (y) - 1 = 0, que resulta ser una ecuación de segundo grado para la incógnita exp (y).Aplicando la correspondiente resolvente se tiene exp (y) = x + 0 i72 71 De las dos soluciones obtenidas sólo sirve aquella con el signo + pues exp( y ). > 0, V y

E

R, es decir:

exp (y) = eY = x + ,r )(7.1 por lo tanto, utilizando la función log, inversa de la función exponencial exp, se deduce la expresión (2):

i

270 •

i1

CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

7.10. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A La variable real radián

En Matemática es indispensable que la medida de los ángulos sea en radianes que es un número real y no en grados, pues se trabaja con funciones reales de variable real. De acuerdo a lo ya visto en el Capítulo 4, un radián es el ángulo al que le corresponde un arco unitario sobre la circunferencia trigonométrica, una vez rectificado. Si x es la medida del ángulo en radianes y g es la medida del ángulo en grados, entonces se tiene la relación:

(91)

X=

180g ,

que resulta ser una función lineal cuya gráfica es una recta, dada por la Figura 7.30, la que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente 18Tu

0

x

( Medida del ángulo en radianes )

Figura 7.30

'TU

180 (Medida del ángulo en grados)

♦ Funciones trigonométricas Teniendo en cuenta lo realizado en el Capítulo 4, se pueden definir las funciones trigonométricas de la siguiente manera, ver Figura 7.31:

(92)

sen(a)= PQ ,

cos (a) = OQ ,

sen((3) = MN ,

cos (5) = — ON ,

tg(a)=.11—a = OQ tg(13) =

,

MN — — —AS , _oN

FUNCIONES REALES • 271 fy B Figura 7.31 Mr

N

T

P

C

A

I

o

N

0 = (0,0) , A = (1,0) B = (0,1) , C = (-1,0) D = (0,-1) ,

►

OP = OM = 1

T = (1, tg (a)) P = (cos (a), sen(a)) S = (1, tg (p)) M = ( cos(p), sen(p))

N

-D

Para estudiar las tres funciones trigonométricas basta analizar los valores que le corresponden para ángulos E[0, 2 rc ), excepto que tg(

)

y tg

3211 no existen. Dicho de otra forma, las funciones

trigonométricas seno y coseno son funciones periódicas del ángulo con un período 2 ir (o múltiplo de 2 rc ); en cambio, la función trigonométrica tangente es una función periódica del ángulo con un período it (o múltiplo de rc ). Variando el ángulo en la circunferencia trigonométrica y teniendo en cuenta las relaciones (92) se pueden deducir los siguientes resultados. De ahora en más la variable real radián se simbolizará con x. Teorema 26.1) La función trigonométrica seno es una función periódica de período fundamenteal 2rc y satisface las siguientes propiedades, su representación gráfica está dada en la Figura 7.32i:

a) es estrictamente creciente en [0,

estrictamente decreciente en [

,

1] y estrictamente

creciente en [ 3rc — , 2 TC ); 2 b) es una función impar; c) es una función biyectiva con dominio [

y codominio [ -1, 1 ] , siendo su valor máximo 1

(obtenido en x=2) y su valor mínimo -1 (obtenido en x = - 1-1 ) • 2 ' 2) La función trigonométrica coseno es una función periódica de período fundamental 2it y satisface las siguientes propiedades; su representación gráfica está dada en la Figura 7.32ii: a) es estrictamente decreciente en [0, ir] y estrictamente creciente en [ rc, 2rc ] ; b) es una función par ; c) es una función biyectiva con dominio [0, rc] y codominio [ -1,1], siendo su valor máximo 1, obtenido en x = O y su valor mínimo -1, obtenido en x = rc

I I III

272 •

i1.21iiai,11 , •.,u1

Will I

H

, '

VWIII 111Mi 111

CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

3) La función trigonométrica tangente es una función periódica de período fundamental ir y satisface las siguientes propiedades, su representación gráfica está dada en la Figura 7.32iii: a) es estrictamente creciente en b) no está definida en x = -

;

x=2

;

c) es una función impar d) es una función biyectiva con dominio ( -

) y codominio (-00 , +

'

00).

4) Las relaciones fundamentales entre las tres funciones trigonométricas seno, coseno y tangente están dadas por: ser(x) sen2 (x) + cos 2 (x) = 1 , tg(x) = co(x) '

(93)

(I) — /

/

/

.¿

Y -. - \

r

\

Y = I,/ / _./ / 1-1 -

1+ tg2 (x) —

;+k \\

-

_

N

\

1

xER

\ ,z\ o

1 \ 1 1 1 _ 4,1 4 .... 4 4_ \ i 1 ,

\

cos 2(x) (x) V

1

■

y = sen (x) =cos (x - -7-t )

2

3n

\

irc

1

_

7

/

Figura 7.32

y= cos (x) = sen (x + 71 ) 2

X

rc

Definición 25. Se definen otras tres funciones trigonométricas como funciones recíprocas de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, a saber:

(94)

1) función secante:

sec (x) =

2) función cosecante:

cosec (x) =

3) función cotangente:

cotg (x) — t

cos(x) '

1

y x E IR

sen(x) ' g(x) ,

—

x e DI— x E R—

11_4

—n,0

O, 7c,...}

••

FUNCIONES REALES • 273

A Funciones trigonométricas inversas

Teniendo en cuenta que las funciones reales (restricciones de las funciones trigonométricas) siguientes: (95)

sen: [

5_

1 1 , cos:

[O, ir]

[-1, 1],

tg:

(- 00, + 00) ,

son funciones biyectivas, entonces se pueden definir las respectivas funciones inversas, cuyas gráficas se presentan el la Figura 7.33 (i), (ii) y (iii), respectivamente. Definición 26. 1) Se llama función arco seno, se notará arc sen, a la función real inversa de la

función seno, es decir: (96)

arc sen: [ -1,1]

[-11,

arc sen (x) = y <=>

2 ],

definida por:

x = sen(y), d x e [-1,1], y e [

];

2) Se llama función arco coseno, se notará arc cos, a la función real inversa de la función coseno, es decir: (97)

arc cos: [ -1,1] --> [ O, re ], definida por: arc cos (x) = y <=> x = cos(y), V x e [-1. 1], y e [O, rc ]

(3) Se llama arco tangente, se notará arc tg, a la función real inversa de la función tangente, es decir: (98)

arc tg:( - 00, + 00) --> ( arc tg(x) = y

), definida por .1=1>

x=tg(y) ,

d x e ( - 00 , + 00 ), y E ( - 12-u ,

= cos(x)

)

1

1

1 14

iblio

274 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA A Algunas aplicaciones de la trigonometría J La recta en el plano

A) Pendiente de una recta. Ya se ha visto en el Capítulo 3 que la pendiente m de una recta en el plano puede pensarse como la tangente trigonométrica del ángulo a que forma la mencionada recta con el semieje positivo de las x, es decir: m=tg (a). B) Ángulo formado por dos rectas no paralelas. Si se tienen dos rectas r, y r 2 del plano que no sean paralelas entre sí, es decir que se intersectan en algún punto del plano, entonces éstas definen entre sí dos ángulos e£ y p, uno el suplementario del otro, ver Figura 7.34. Definición 27. El ángulo formado entre dos rectas, no paralelas del plano, es el menor de los dos

ángulos que determinan ambas rectas. Dicho de otra forma, es el ángulo a

(a E [0, ),

que ambas

determinan, ver Fig. 7.34. Figura 7.34

a=a 2 -a i e [O

es el ángulo formado por las dos rectas r 1 y r2 Si se tiene en cuenta la función trigonométrica tangente de la diferencia de ángulos, se deduce que: (99)

tg(a) = tg( a2 -

(a 2 ) — tg (a i ) m2 — ) e¿ • = 1tg+ tg (a l ) tg (a2) = 1+mi me

donde m = tg(a) es la pendiente de la recta r(i =1 , 2). Por lo tanto, se tiene el siguiente resultado: Lema 27. El ángulo a determinado por las dos rectas de pendientes m 1 y m2 está dado por la expresión:

(100)

a= arc tg ( ,m2 —m1 ) rn 1 r11 2

C) Condición de perpendicularidad entre dos rectas. Anteriormente se analizó la condición de perpendicularidad entre dos rectas. Ahora se verán, para obtener el mismo resultado, dos nuevos procedimientos: 1) Si dos rectas'', y r 2 son perpendiculares entre sí, es decir que el ángulo a formado por ellas es de 90° ( -1 radianes) entonces por lo visto en (B) la tg (a) no debe estar definida y por tanto se deduce de (99) 2 que debe existir la relación:

d

FUNCIONES REALES • 275 1+

rn 2 = O ó rn,m 2 = -1

entre las respectivas pendientes m 1 y m2 : 2) Si las dos rectas r de pendiente m 1 = tg(cei)(i = 1,2) son perpendiculares entre sí entonces

01 2 = al

— 1 y por ende se tiene:

2

M 2 = tg(a 2) = tg(oc + )= 1 2

tg (

♦ Coordenadas polares en el plano Se ha visto que todo punto P del plano puede representarse como un par ordenado de números reales (x,y), que se conocen como sus coordenadas cartesianas ortogonales, que representan las distancias, con sus respectivos signos, dirigidas a los ejes de las abscisas y de las ordenadas, respectivamente. De la misma manera, todo punto P del plano, excepto el punto origen, está caracterizado por los dos siguientes números: 1) la distancia p > O del punto P al origen O de coordenadas; 2) el ángulo w E [0,2n ) que forma la semirrecta OP con el eje positivo de las abscisas. Para introducir un nuevo sistema de coordenadas en el plano, se considera, ver Figura 7.35: 1) un punto fijo O, llamado punto origen o polo; 2) una semirrecta dirigida, llamada eje polar, cuyo punto inicial es el punto O.

Figura 7.35 eje polar (Coordenadas Polares)

•

Definición 28. Se llaman coordenadas polares del punto P O) del plano al par ordenado ( p, w) definido como: (101)

p = PO = d (P, O) > O ; w = L (PO , eje polar ) E [ O, 2n )

Observación 39. Se considera que el punto origen de coordenadas O tiene por coordenadas polares p = O y el ángulo w está indefinido. Definición 29. Se tiene un sistema de coordenadas polares en el plano cuando se asignan pares 0, w e [0,2ic ) de ordenados de la forma ( p, w) a puntos del plano, donde

276 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Ejemplos. En la Figura 7.36 se muestran los puntos del plano cuyas coordenadas polares son: = (1,

,

P 2=

P 2

O

(2,

),

3 ,•••• F)

2

P3=(2, 3z ),

P4 =( 3,

4)

4

I

eje polar >

1 1/450)

Figura 7.36

1

21

P3

Si, entre los sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales y coordenadas polares, se eligen: (i) como coincidentes a los puntos orígenes O de ambos sistemas de coordenadas; (ii) como coincidente el eje polar con el eje x positivo; entonces existe una biyección entre las coordenadas cartesianas ortogonales de un punto P = (x, y) excepto el punto origen de coordenadas, y las coordenadas polares del mismo punto P = ( p ; w) dada por las siguientes expresiones, ver Figura 7.37: (102)

x = p cos (w) ,

y = p sen (w)

o en forma equivalente por:

(103)

p=

Vx 2 + y2 ,

tg(w) =

A

Y

Y

eje polar

x

Figura 7.37

Observación 40. Todo punto del plano R2 está representado en el plano polar w, p por un punto

perteneciente a la región H' x [0, 2n ), excepto el punto origen (0,0) al que le corresponde la base {0} x [0,2n), ver Figura 7.38.

FUNCIONES REALES • 277

2

arc Figura 7.38

w

Definición 30. En coordenadas polares, ciertas figuras del plano se expresan en forma simple, a saber:

1) La circunferencia de radio r > O y centro en el origen se expresa de la siguiente manera: (104)

w

P = P (w) = r ,

E

[O, 27c),

que resulta ser una función constante de la variable independiente w, ver Figura 7.39i.

2) La semirrecta que tiene por punto inicial al origen de coordenadas y tiene la dirección de la recta de ecuación y= mx, se expresa de la siguiente manera :

(105)

w = w( p) = arc tg(m),

p> O

que resulta ser una función constante de la variable independiente, ver Figura 7.39ii.

2

2 (i)

Figura 7.39

2n Circunferencia de radio r y centro en el Origen.

2n arc tg(m) Semirrecta de ecuación y = mx sin incluir el Origen.

w

I nl

I

1111

dlw 11 11111

278 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA Observación 41. En coordenadas cartesianas ortogonales se tiene que:

1) La circunferencia de radio r y centro en el origen de coordenadas tiene por ecuación : (106)

x2 + y2 = r2 ;

2) La circunferencia de radio r y centro en el punto P o = (xo ,yo) tiene por ecuación; (107)

(x - x0)2 + (y - yo) 2 = r2

3) La circunferencia de radio r y centro en el origen de coordenadas tiene por ecuación paramétrica: (108)

x = r cos(t),

donde t es un parámetro real t

E

y = r sen (t)

[0,2 n).

7.11. ECUACIONES E INECUACIONES IRRACIONALES • Ecuaciones irracionales Definición 31. Se llama ecuación irracional en IR a toda ecuación en la cual la incógnita figura en al menos un radical. Además, se llama dominio de definición D de la ecuación irracional al mayor conjun-

to de números reales para el cual todas las funciones reales están bien definidas. Ejemplos. Las siguientes ecuaciones son irracionales: (i)

= 1+ x , D = [ 0 , 00 ) ;

(ii)

-\/x - 2 = 1+ Vx +1 D = [2, + 00 )

Para resolver una ecuación irracional es natural tratar de hacer desaparecer los radicales por elevación al cuadrado, al cubo, etc., de los dos miembros de la ecuación. Previamente, es necesario determinar el dominio de definición de la ecuación irracional. A Transformación "elevar al cuadrado"

En R, se tiene la siguiente equivalencia: (109)

f2 (x) =

g2 (x)

<=>

f(x) = g(x) V f(x) = -g(x)

Por lo tanto, se tiene que: 1) toda solución de f(x) = g(x) es solución de f 2 (x) = g2 (x); 2) toda solución de f 2(x) = g 2 (x) es solución de f(x) = g(x) ó de f(x) = - g(x), con lo cual las ecuaciones "f2 (x) =g2 (x)" y "f(x) = g(x)" no son equivalentes entre sí. Por lo tanto, se obtiene el siguiente resultado: Lema 29. La transformación "elevar al cuadrado" no es una transformación regular.

FUNCIONES REALES • 279 Ejemplo. Sea enH la ecuación irracional ,Ix+ 2 =x (Problema (52xvii). El correspondiente dominio de definición es el conjunto D = [-2 +00) pues debe ser x + 2 O, e x E D. Si se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación se tiene: x + 2 = x2

<=>

x2 - x — 2 = 0

<=1>

x = 2, -1

<=>

x 1± - _ 1± 3 .<=> 2 — 2

Habiendo utilizado una transformación que no es regular se debe efectuar la verificación de todas las posibles soluciones encontradas para eliminar las soluciones falsas o extrañas obtenidas al elevar al cuadrado. Como x = -1 no es solución, se deduce que x = 2 es la única solución de la ecuación irracional Vx + 2 = x

Ecuaciones del tipo Vf (x) = g(x) con f y g funciones racionales Toda ecuación irracional que contiene un solo radical puede transformarse en la forma Vf (x) = g(x), con f y g funciones racionales, aislando el radical en uno de los miembros de la ecuación. El dominio de definición D de la ecuación irracional está caracterizado por: (110)

D={x E R/ f(x) ?_ O} n Dom(g)

Proposición 30. En el dominio D, dado por (110), de la ecuación irracional Vf(x) =g(x) se tiene la

siguiente equivalencia: <=>

(x) g (x)

f (x) = g2 (x), g (x) O

Ejemplo. Sea en [FI la ecuación irracional VX2 5x + 4 = 2 — x Sean f(x) = x2 + 5 x + 4, g(x) = 2 - x. Se tiene que f (x) = (x + 1)(x + 4) y por tanto el dominio de definición D de la ecuación irracional está dado por el conjunto de los x que verifican la siguiente inecuación:

(x+ 1 )(x+ 4)>_0, es decir, D = (- 00 , -4) U [ -1, + 00). Además: g (x) O <=>

x<2

=

x

E (- 00 ,2]

Por lo tanto, la ecuación debe estudiarse en el conjunto A = (- 00 ,-41 U [-1,2]. Elevando al cuadrado, se tiene x2 + 5 x + 4 = (2 -x) 2 = 4 + x2 - 4 x, es decir, 9 x = 0, con lo cual la única solución de la ecuación irracional es x, = O E A. Por otro lado, por simple reemplazo se verifica que x o = O E A es solución de la ecuación irracional dada, con lo cual el conjunto de soluciones S está dado por el conjunto {0}

la

,

II

ID II I

.1111111

I

1

IIIilIu

Ii11 1

280 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 42. De la misma manera, se resuelven las ecuaciones irracionales en las cuales aparezcan dos o más radicales. Ejemplo. Sea en

la ecuación irracional (Problema (52)xviii) r.7 - =2)71

Los dominios de definición de los miembros de la izquierda y de la derecha son los conjuntos D, 1 [ -4, + c>0) y D 2 = — 2 + 09), respectivamente, con lo cual el dominio de definición de la ecuación irracional es el conjunto D =

n

D2 = [

1 , + 00

)

Elevando al cuadrado se tiene la ecuación de primer grado x + 4 = 2x - 1, cuya única solución es x o 5 E D. Por otro lado, por simple reemplazo se verifica que x 0 = 5 E D es la solución de la ecuación irracional dada, con lo cual el conjunto de soluciones está dado por el conjunto S = {5}

Inecuaciones irracionales Definición 32. Se llama inecuación irracional en lJ a toda inecuación en la cual la incógnita figura en al menos un radical. Además, se llama dominio de definición de la inecuación irracional al mayor conjunto de números reales para el cual todas las funciones reales están bien definidas. Ejemplos. Las siguientes inecuaciones son irracionales :

(i)

— x <10,

-6<

D=(-00, 2];

+ 3 —1 ,

D=[6,+00)

Observación 43. Se tienen las siguientes relaciones de compatibilidad de la relación de orden, por ejemplo: " " con la multiplicación: (i)

O

(ii)

f(x)

f(x)

f2 (x) < g2(x):

g(x)

(112)

Ejemplo. Sean en

g(x)

g2 (x) < f2(x);

O

la inecuación irracional siguiente (Problema (54)xiii):

\ix - 6 <

+3

—

1,

El dominio de definición del miembro de la izquierda está dado por D 1 = [6, +ce) y el de la derecha por D2 = [-3, +00), con lo cual el dominio de definición de la inecuación irracional es el conjunto D = D , D2 = [6, +00). Además,

-6<

+ 3 —1 ,

<=>

Vx- 6 +1<-,/x+ 3

n

FUNCIONES REALES • 281

Si se elevan al cuadrado los dos miembros positivos de la inecuación, se tiene (x- 6)+ 1+ 2 Vx-6 <x+3 es decir:

Vx 6 <4 Nuevamente los dos miembros son positivos y, por ende, se puede elevar al cuadrado conservando el sentido de la inecuación, con lo cual x - 6 < 16, es decir x < 22. Por lo tanto, el conjunto de soluciones está dado por: S={xER/ x

6 Ax<22]=[6, 22).

Este resultado puede interpretarse geométricamente en la Figura 7.40. A

Y

Figura 7.40

y= Vx+3 —1

4 3— 2—

y= Vx — 6

-3 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Ejemplo. Sea en [II la inecuación irracional siguiente (Problema (54)xiv): x- 5 < Vx+1. El dominio de definición de la inecuación está dado por el conjunto D =[ -1, + 00)

Se deben analizar en el conjunto D los casos en que x - 5 0, es decir, x E P,= [5, + 00), y, x - 5 < 0, es decir, x E P2= " °(' , 5). En el primer caso se debe analizar la inecuación irracional en el conjunto D 1 = D

n P I = P 1 = [5, +00) y en el segundo caso en el conjunto D2 = D n P2 = [ -1,5)

1Ili

II

1

1 I'

282 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 1) x E D, = [5, + 00): En este caso, los dos miembros son positivos y por tanto al elevar al cuadrado se conserva el signo de la desigualdad, con lo cual (x - 5) 2 < x + 1, es decir: x2 - 10 x + 25 < x + 1

<=>

x2 - 11x + 24 < O.

Las raíces de la ecuación de segundo grado x 2 - 11x + 24 = O están dadas por: =11±J25 _ 11±5 = _ x = 11+V121-96 — 2 ' 2 2 es decir x, = 3 y x2 = 8. Por tanto, la inecuación de segundo grado se verifica en el intervalo (3,8). Por lo tanto, la inecuación irracional admite como conjunto de soluciones al conjunto S 1 = D,

(1 (3,8) =

[5,8). 2) x E D2 = [ - 1,5): En este caso el miembro de la izquierda es negativo y el de la derecha es positivo. Por ende, la inecuación irracional se satisface siempre en D2 y por lo tanto admite como conjunto de soluciones al conjunto S 2 = D2 = [ - 1,5) Resumiendo, de los dos casos estudiados se deduce que el conjunto de soluciones de la inecuación irracional está dado por el conjunto S = S U S2 = [ -1,8). ,

Este resultado puede interpretarse geométricamente en la Figura 7.41. Á Y Figura 7.41

,

y= Vx+1

r

FUNCIONES REALES • 283

Trabajo Práctico 1) Determine en el plano, en un sistema cartesiano ortogonal, los siguientes puntos; (0,0) , (0,1) , (-1, 2) , ( -1, -2) , (1, —i1 ). calculando las distancias y los puntos medios entre dos puntos cualesquiera. 2) (i) Sea P = ( -1, -1) el punto medio de un segmento de recta P 1 P2. Si la abscisa del punto P 1 vale -3 y la ordenada del punto P2 vale 1, determine los puntos P 1 y P2 ; (ii) Idem al caso anterior con P = ( -1-1) sabiendo que la ordenada del punto P 1 es O y la abscisa del punto P2 es -1. 3) Grafique las siguientes funciones reales: (i) f1 (x)= 2x - 1; (iii) f3 (x) = 4 - 2

(ii) f2(x)= —1+ 3 ;

I xI

;

(iv) f4 (x) = x +

(v)f6 (x)=21 x 31 + (vii)

(x)

x+

+

x-2

I

x-1

; ;

(vi) f6 (x) =

I

(viii) f6 (x) = 3

I

x

;

x+3 x-4

-

I

x+4

-2 lx1

4) Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m y ordenada al origen h, para los siguientes casos, represéntela gráficamente en el plano: (i) m

1, h

- 1;

(ii) m = -1, h = -1;

(iii) m = 2, h = 2 ;

(iv) m = -2, h = 2 .

5) Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto P., para los siguientes casos (represéntela gráficamente en el plano): (i) m = 1, P o = (1,5);

(ii) m = -1, P. = (1,-5)

6) Halle la ecuación de la recta que está determinada por los siguientes dos puntos P 1 y P2 del plano, represéntela gráficamente en el plano: (i)

= (1,2), P 2 = (-1, 3);

(iii) P 1 = (-1,2), P2 = (1,2)

(ii) P 1 = (1,2), P2 = (2,3); (iv) P 1 = (4,5) , P 2 = (4,7)

7) Escriba, cuando sea posible, las ecuaciones de las rectas obtenidas en los tres ejercicios anteriores, en forma explícita (y = mx + h), implícita (ax + by + c = 0) y segmentaria (Áx+ Y = 1) 8) De los siguientes pares de rectas, diga si son paralelas entre sí, coincidentes o no, en cada caso represéntelas gráficamente en el plano: (i) x + y = O, 2 y = -2 x (iii)y=2x+1,2y+3x=0

(ii)x+y=0,2y=-2x+1;

I

i

1

1

[lit

284 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

9) i) Encuentre las ecuaciones de dos rectas paralelas entre sí, no coincidentes, que sean perpendiculares a la recta de ecuación y = -3x + 1, representélas gráficamente en el plano; (ii) Encuentre los puntos de intersección de las dos rectas paralelas halladas con la recta dada previamente, (iii) Encuentre la distancia entre los dos puntos de intersección hallados en la parte (ii). Este número puede interpretarse como la distancia entre las dos rectas paralelas dadas en la parte (i).

10) Halle la intersección, si existe, de los siguientes pares de rectas en el plano mediante métodos analíticos, represéntelas gráficamente en el plano: (i)

2 x + y + 1 = 0, -x + y -1 = O

-2 x- 3 y+ 1=0, 3 x+ 5 y-1= O

y = 2 x -1 , y=2 x+ 2 .

11) Determine gráficamente en el plano, el conjunto de soluciones de las siguientes inecuaciones de primer grado en las variables x, y: (i) x

O;

(ii) y < O

(iii) x > -2;

(iv) y

(v)x + y ?_ 0;

(vi) 2x - y < O;

(vii) x + y (ix) -1 ) —

1;

2;

(viii) 2 x - y < -1 (x)

1;

+y<1

12) Determine gráficamente en el plano, el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado en las variables x, y: (i)

x > 0, y 0, y ?_ -2 x + 2, y - 10 x +5,

(iv)

13) Determine gráficamente en el plano, el conjunto de soluciones de las siguientes inecuaciones en las variables x,y: (i)1 x+y

<1;

(ii) I x -2 y

<2

x-y

1

Ii

FUNCIONES REALES • 285 14) Teniendo en cuenta las operaciones y la representación gráfica de las funciones elementales, halle los dominios de definición y la gráfica de las siguientes funciones reales:

1

(i )f 1 (x) = x 1 2 +1 ;

(ii) f2 (x) =

(iii) f3 (x) = 5 + 2 1 xl;

(iv) f4 (x) Vx —1 ;

(v) f5 (x) = (x - 2) 3 - 1 ;

(vi) f6 (x) =

1

(vii) f, (x) =

x+1

+

5x - 1

(viii) f5 (x) =

4 - x2 1

x+3

-3;

VI x1

(ix) f9 (x) =

(x) f10 (x) =

(xi) f11 (x) =

x2

si Ixl> 1 ;

1 x x2 16

si 0 < x

2 - x2

si Ixl> 1 ,

x2

si 1 x 1

1 ,

si 1 x 4 , si x > 4 ;

()di)f. (x) =

1

15) Calcule las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado: (i) x2 - 4 x + 1 = O (iii) - x2 - 4 x + 1 = O (v) x2 + x + 1 =0 16) Resuelva, en 1 () x

las siguientes ecuaciones:

1 x-2

1 `"'' x-1

iiii\

(ii) x2 - 4 x -1 = O (iv) 4 x2 - 12 x + 9 = 0 (vi) - + x -2 = O

4 —3

2 _ 3. x+1 x+3'

5x+1 x-3

3x+4. x +1

3 6 22+ (iv) -x +1 1 + x + x+3— x+4

17) Resuelva y discuta en R, en función del parámetro real m, las siguientes ecuaciones de segundo grado: (i) (m 2 - 9)x2 - 2 m x + 1 = 0;

(ii) x2 - mx - 2m 2 = 0

18) Considere la ecuación (m + 3) x 2 - (2 m - 1) x -5 m + 4 = O con parámetro m (i) ¿Para qué valores de m la ecuación admite la raíz 2? y ¿la raíz 1?

E

bi 1

[11, i

286 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA ( i) Resuelva, en R, la ecuación de segundo grado para los valores de m hallados precedentemente.

19) Considere la ecuación (m + 5) x 2 - (2m + 3) x + m - 1 = 0, con parámetro m E R. (i) ¿Para qué valores de m la ecuación tiene una doble raíz? Calcule, además, dicha raíz. (ii) ¿Para qué valores de m la ecuación de segundo grado tiene dos raíces distintas? (iii) ¿Para qué valores de m la ecuación de segundo grado no tiene raíces reales?

20) Mismo problema que el anterior para las siguientes ecuaciones de segundo grado: (i) x2 - (m + 3) x + m 2 + 2m - 3 = 0 ; (ii) (3 m + 5) x2 + (m + 4) x - 3 (m + 4) = O 21) Determine el valor del parámetro real m para que una raíz de la ecuación de segundo grado dada sea igual a x 1 . Calcule, además, la otra raíz de la ecuación: ( ) (m - 2 ) x2 + (2 m -1) x +1 - m = O, x 1 = -2; (ii) (x2 - 3 mx + 2 m - 7 = 0 , x 1 =2; (iii) (m + 2) x 2 - (2 m + 4) x + m - 2 = 0, x 1 = - 3 22) Para qué valores del parámetro m E í las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen raíces de distintos signos: (i) (m - 1) x 2 - 2 m x + m + 3 = 0; (iii) (2m - 5)x 2 + mx + 7 = O .

) 3 x2 - (4m + 1) x + m -3 = 0;

23) Para qué valores del parámetro m E R las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen raíces positivas o raíces negativas: (i)(m- 1)x2 - 2 mx+m+ 3=0 (iii) (2m - 3) x 2 + 4x - 5 = 0

(U) 3 x2 - 5 x + m + 7 = 0 ;

24) Determine el valor del parámetro real m para que una de las raíces de la ecuación de segundo grado x2 - mx + m - 1 = O sea el doble de la otra. Halle, además, las dos raíces. 25) Estudie y discuta, en función del parámetro real m, la existencia y el signo de las raíces reales de las ecuaciones de segundo grado siguientes: (i) 3x2 - 2(5m - 1) x + 3 = 0;

(ii) (m - 6) x' + (2m + 3) x + m + 4 = 0

26) Halle dos números cuya suma S y producto P sean las siguientes: (i) S = 3 , (iii) S = -3 ,

P=2 P= 2

; ;

(ii) S = 3 , (iv) S = 10 ,

27) Realice la gráfica de las siguientes funciones de segundo grado: (i)f1 (x) = x2 - 2x -3 (iii) f3(x) = -2 x 2 + 5 x

(U) f2 (x) = -x2 + 2 x + 6 ; (iv) f4 (x) = (x - 3) (x + 1);

P = - 4; P = 25;

III

FUNCIONES REALES • 287 (v) f 5(x) = -4x2 + 4x + 1.

(vi) f 6 (x) = x2 + 2x + 3.

28) Calcule los números reales a, b, c, para que la gráfica de la función de segundo grado: (i) pase por los puntos P 1 = (1, 2), P2 = (0,1 ), P 3 = (-2, -13) (ii) pase por el punto P 1 = ( y tenga por vértice al punto P2 = (4, -1)

1, 4 )

29) Resuelva analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: (i)

y = 2x2 - 3x + 2 y = 2x - 1

y = 4x2 - 5x - 4 y = - 2x2 + 2x + 1

30) Determine gráficamente en el plano el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones, determine analíticamente los puntos característicos del conjunto, como ser los vértices: (1)

y x2, X>0 y 2x +1

y>-x2 + 4 y O stx+ 1

y> 1 x y O

2 x2 - 1

(iv)

x>— O 1 Y y > x2

3 x+ 2 1 x x>— O

31) Estudie el signo de las siguientes funciones de segundo grado: (i)

(x) = x2 - 11 x + 10

(ii ) f2 (x) = - x2 -11 x- 10;

(iii) f3 (x) = x2 - 4 x - 3

(iv) f4( x) = x2 - 3 x -10 ;

(v) f5 (x) = x2 + x -2

(vi) f6 (x) = x2 - 2 x + 1 ;

(vii) f7 (x) = (3x - 1) (2 x + 1) ;

(viii) f5 (x) = ( -x + 1) ( -x - 3) ;

(ix) f9 (x) = -4x2 + 4x + 1 32) Estudie el signo de las siguientes expresiones:

(i)

x —1 x +2

(ii)

—x+2 3x +1

—2x +1 x 2 -X

(iii)

(iv)

(x2 -3x - 10 ) (x - 1 )

33) Represente gráficamente las siguientes funciones homográficas:

(1)

f 1 (x) = 3x +1 2x-1

( ii )

f2 (x)

—2xx +1 4

f3 (X) = 3x x++.11

(iv)

f4 (x)

—2x +1 2x — 3

34) Resuelva en R, las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita: (i) (x - 1 ) (x - 10)< O

(ii)(x+ 1 )(x - 10)< 0 ;

(iii) (2x+ 1) (il x+ 2)>0 ;

(iv) 3x2 + 5x- 8 < 0 ;

(v) x2 - 3x - 10 > 0

(vi) x2 + 2x - 1 > 0.

;

288 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

35) Resuelva, en R, las siguientes inecuaciones:

(i) (iii) (v)

x+4

X— 1 x+4

1 (iv) X + - < 5 ;

>0;

1

+

x-1 >0 x+1

(ii)

< 5x-7 — '

1.

x+1 x

(vi)

x-4 > x+5'

2

8

x +1

x2 +x

36) Resuelva y discuta en IR, en función del parámetro m E R, las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita:

(i) x2 - (m - 2) x + 3(m - 5) 0 ;

(ii) m x 2 - 2(m + 2) x + m +7 > O ;

(iii) mx 2 -(2m+1)x + m > O

37) Determine los valores del parámetro m (2m + 1) x + m + 1 = O tenga una única raíz.:

IR para que la ecuación de segundo grado (m - 1) x 2 +

E

.

entr

38) Resuelva, en U:1 , los siguientes sistemas de inecuaciones de segundo grado con una incógnita, verifíquelo gráficamente:

(i)

x2 - 3 x - 10 0,

(x - 3) (x + 2) 0,

x2 - 4 > O

(x - 5) (x + 6) O

39) Halle los puntos de intersección de las representaciones gráficas de los siguientes pares de funciones reales y realice un análisis gráfico del problema planteado:

(i)

(iii)

y = x + 1, 1 yY x y = 4 - x2 ,

(ii)

y = -x + 3 , 1

(iv)

y = 4 - x2 ,

Y

y=2x; (y)

X

y = x2 + 2 ;

y=1-x,

(vi)

y = x2 ;

y = 2 x2 - 3 x + 4, y = -x 2 + x + 1

40) Halle las soluciones reales de las siguientes ecuaciones bicuadradas: (i) 2 x4 - x2 - 1 = 0 ;

(ii) 2 x4 + x2 - 1 = 0

41) Represente, en el plano, las gráficas de las siguientes funciones reales:

x

si

x<1,

(ii) f2

1 x

si

x>1;

exp (x)

si

x<0,

(x) exp (-x)

si

x>O;

FUNCIONES REALES • 289

(iii)

log (x)si

O<x

x-1

x>1;

1 ,

(iv)

f3 (x)=

log (x)

si

exp(- (x - 1))-1

si

f4(x) = si

(v)

1 -1 si

0<x<_1

f5 (x) =

log(x) si

1 < x 5_ e ,

e

si

,

(vi)

3

si

x<0,

fs(x)

O

si

x=0

si

x>0

x>e;

log(x + 1)

42) Determine el dominio de las siguientes funciones reales:

(i) f 1 (x) = Vlog(2x2 + 3x —1);

(ii) f2 (x) = log(sen(x)) ;

(iii) f3 (x) = log(cos(x))

(iv) f4 (x) = log (tg(x))

(y) f5 (x) = ,isen(x);

(vi) f8 (x) = Vcos(x);

(vii) f7 (x) = Arg Ch(x2 -3)

(viii) f 8 (x) = Arg Th (x 3)

43) (i) Encuentre la medida en radianes para los ángulos de 50°, 60°, 150°, -30°, 55° y -48° ; 2 radianes. (ii) Encuentre la medida en grados para los ángulos de , 1, 2, -z5 f re, -gTC

44) Estudie y grafique las siguientes funciones reales: (i) C sen (x) ;

(ii) C cos (x) ;

(iii) C sen(2x) ;

(iv) C sen( 21) ;

(y) C cos (2x) ;

(vi) C cos(

donde C E IEB es un parámetro real. Analice los casos C > 1, 0 < C < 1 y C < O . Diga, además, si son funciones periódicas e indique el período fundamental.

45) Resuelva, en R, las siguientes ecuaciones; (i) sen(x) = 0;

(ii) sen(x) = 1 ;

(iii) cos (x) = 0;

(iv) cos(x) = 1 ;

(y) tg(x) = 1 ;

(vi) tg(x) = O .

46) Estudie y grafique las siguientes funciones reales (i)

f 1 (x) = ex sen(x)

(ii)

f2 (x) = e -x sen(x)

(iii) f3 (x) = ex cos(x)

(iv)

f4 (x) = e -x cos(x)

(v) f5(x) = x sen(x)

(vi)

f8 (x) = x cos(x)

(vii) f7 (x) = sen(x)

(viii) f 8 (x) = sen (IxI)

ihibialLikiiiloidiPi», 1110411111iiitii

"LIÓ]

11't

■ I■

I

1411 !, I 114

I

I

111

290 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA (ix) f9 (x) =1 + Icos (x) 1

(x) f i0 (x) = -4 cos( x +

(xi) f 11 (x) = 3 sen (x -

(xii) f 12 (x) = 3 tg(x -

(xiii) f 13

; )

) sen (1) si x > O, si x = O

47) Calcule : (i) arc tg(1);

(ii) arc tg(Vá);

(iii) arc sen-\1 (- );

(iv) arc cos(

(y) arc sen(i);

(vi) arc cos 1()2

48) Halle gráfica y analíticamente el ángulo entre los siguientes pares de rectas:

(i) y = x ,

y=3x;

(iii) y = 2x +1 ,

49)

y=4x;

(ii) y = - x , y=

- 1;

(iv) y = -2x + 1, y = 2x + 1

Completando cuadrados, halle el centro y el radio de las siguientes circunferencias en el plano x, y:

(i) x2 + y2 — 6x + 4y — 12 = O

(ii) x2 — 2x + y2 = 0 ;

(iii) y2 — 2y + x2 = O

(iv) x2 + 2x + y2 + 4y + 1 =0

50) Resuelva y discuta, en función del parámetro real m, los siguientes sistemas de ecuaciones e interprételos gráficamente.

(i)

x2 + y2 = 1,

x2 + y2 = 4,

y = m x;

y = m x2 ;

(ii i)

1

x2 ± y2 = m2 ,

y = x2

51) Resuelva los siguientes triángulos rectángulos teniendo por datos :

(i) h = 5, a = 4;

( i) = 30° , h = 5;

(iii) h = 5, a = 38° ;

(iv) a = 4 , a= 40°

52) Resuelva, en R, las ecuaciones irracionales siguientes: (i) V2x + 9 = x — 3 ;

(ii) '12x+17-1=x '12x+17 ;

(iii) Vx — 3 = V2x — 7 ;

(iv) Vx —7 = Vx +2 —3 ;

(v) Vx + 6 = 2 ;

(vi) V2x +1= —1 ;

(vii) V(x — 3)2 = 7

(viii) V(2x+ 5) 2 — -\Ix2 =3 ;

(ix) Vx2 -5 =lx+11 ;

(x)

VX2

-

3x+ 4 = x — 3 ;

FUNCIONES REALES • 291

(xi) 4x2 + 3x +1= 2 — x;

(xii)xx+

=3;

(xiii) j(x-3)(2x-5)= 4x+10;

(xiv)

—

(xv) Vx+ 3 +Vx+7 =2;

(xvi) Vx +1+ Vx+ 4 = + 2 + Vx+ 3

(xvii) Vx + 2 = x;

(xviii)

= 1;

+4 = -12x —1 .

53) Discuta y resuelva, en R, las siguientes ecuaciones irracionales con parámetro real m: (i) Vx2 + mx — 3 = x+ 2

(ii) Vx2 + 3x + m = x — 3

54) Resuelva, en R, las inecuaciones irracionales siguientes: (i) '13—x<2;

(ii) Vx + 4 3x — 2;

(iii) ,/2—x <10;

(iv) V2x —1 2;

(v) 3+Vx+1> O;

(vi) -\1(x —1)2 > 2;

(vii) V3x — 21 < —2;

(viii) V3x — 21 <2;

(ix)

11X2 -

3x > x-7;

(x) Vx-7 +Vx+1> 4;

(xi) V2x — 3 < Vx +1;

(xii) Vx +1 < 2x-1;

(xiii) Vx —6 < Vx+ 3 —1;

(xiv) x-5 < Vx +1.

55) Discuta y resuelva, en R, las siguientes inecuaciones irracionales con parámetro real m:

(i) Vx —3 > 2 —m ;

(ii) Vx—m <1;

(iii) V4x2 + 5 2x — m .

56) Sea la función real definida por la siguiente ley:

f( x)= I x + 31

x-2

2

(i) Halle una expresión equivalente, distinguiendo varios casos, si fuese necesario, a la dada ley que no contenga las barras de valor absoluto; (ii) Realice la gráfica real f: (iii) Resuelva analítica y gráficamente la inecuación f(x) 5 8; (iv) Resuelva analítica y gráficamente la inecuación f(x) 1 + 2 x; (v) Determine el punto de la gráfica de f que tiene abscisa 4. Halle la ecuación de la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la gráfica de f. Determine, además, el punto de intersección de dicha recta con los dos ejes coordenados. 57)

(i) Sea la función real definida por la siguiente ley: f(x)=- 21x - 5 1 - Ix+ 11

a) Halle una expresión equivalente, distinguiendo varios casos, si fuese necesario, a la dada ley que no contenga las barras de valor absoluto; b) Realice la gráfica de la función real f;

Lik

• 111

I

VI I 11,

hit,

292 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA c) Resuelva analítica y gráficamente la inecuación f(x) 5 9

(ii) Idem caso anterior (i) para la función real definida por la siguiente ley: f(x) =1x - 41+

x +1

2

Además, resuelva analítica y gráficamente la inecuación f(x) 5 10 (iii) Idem caso anterior (i) para la expresión f(x) = 1 x-11 + 1 - 1 x - 3 1. Resuelva analítica y gráficamente la inecuación f(x)

5

x+ 1

(iv) Idem caso anterior (i) para la expresión f(x)= -2 lx + 11 + 1 3x -11. Resuelva analítica y gráficamente la inecuación f(x) 5 6 (v) Idem caso anterior (i) para la expresión f(x) = 3 1x - 1 1+1 2x + 11. Resuelva analítica y gráficamente la inecuación f(x) 5 6 (vi) Idem caso anterior (i) para la expresión f(x) = 1 x + 3 1 gráficamente las inecuaciones f(x) 5. 8 y f(x) 5. 1 + 2 x.

x-2 2

Resuelva analítica y

58) Realice la gráfica de las siguientes funciones reales : (i) f 1 (x) =

bx1 para los casos b > 0 y b < 0 ;

(ii) f2 (x) = x ±x d para los casos d>0 y d< O. 59) Dados los vértices de los cuadriláteros siguientes determine el sistema de inecuaciones lineales en las variables x, y que tenga por solución a dicho conjunto convexo. (i) P = (0,0) , P2 = (1,0), P3 = (0,2) , P4 = (3,3) ; ,

(ii) P 1 = (0,0), P2 = (2,0), P3 = (0,3) , P4 = (3,4) ; (iii) Indique otros polígonos y determine las correspondientes inecuaciones. 60) Dados n puntos del plano determine la interpolación lineal correspondiente, es decir, la poligonal, con sus respectivas leyes por subintervalos, que une dichos puntos en forma continua: P i = (0,1),

P 2 = (1,2),

P3 = (2, - 1) ,

P4 = (3,2)

(U) n = 4: P i = (0,2),

P 2 = (2,4) ,

P3 = (4,4) ,

P4 = (6,5);

(i) n = 5:

(iii) Según la siguiente tabla de valores: x

y

-1

2

0

1

1

3

2

4

P 5 =(4,3)

FUNCIONES REALES • 293

Trabajo Práctico Especial

"Aplicaciones de las Funciones Reales Elementales a Problemas de la Economía y de la Empresa"

1) i) Un fabricante mayorista vende a un comerciante minorista un determinado producto al valor de $30 la unidad. El fabricante le ofrece colocar una etiqueta de precio a cada producto, para conveniencia del minorista en períodos de estabilidad económica. Se necesita conocer el precio que se debe imprimir en la etiqueta para que el comerciante pueda reducir su precio en 20%, en una oferta promocional, y obtener una utilidad del 15% sobre el costo del producto. Ayuda: Plantee una ecuación de primer grado para el precio p marcado en la etiqueta. (ii) Puede usted generalizar el problema anterior obteniendo una fórmula si el costo es $ C, la reducción es del i > O por ciento y la utilidad es de j > O por ciento, se tiene, por ejemplo, en cuenta que i = 0,20 para un 20% . 2) Una persona invirtió un total de $ 10.000 en dos empresas A y B. Al final del primer año las empresas A y B produjeron rendimientos del 6% y del 5%, respectivamente, sobre las inversiones originales. (i) ¿Cómo se distribuyó la cantidad original, si el total que se ganó fue de $570? Ayuda: plantee una ecuación de primer grado para la cantidad en pesos que se invirtió al 6%. (ii) ¿Qué explicación daría usted si lo que se ganó es de $470 o de $610? (iii) ¿Puede usted generalizar el ítem (i) para porcentajes de rendimientos i, j para las empresas A y B, respectivamente, y ganancia G al final del primer año? ¿Qué condición necesaria debe verificar G para que exista solución al problema planteado? 3) Una empresa de bienes raíces es propietaria de un conjunto de 70 departamentos. Se puede alquilar cada departamento a $ 250 por mes, obteniendo, de este modo, una renta total mensual de $ 70 x 250 = $17.500. Por otro lado, por cada $10 que se aumente al valor del alquiler mensual se tendrán 2 departamentos desocupados sin posibilidad de alquilarlos. (i) ¿Cuánto se debe cobrar por el alquiler de cada departamento si la empresa desea obtener una renta mensual de $ 17.980? Ayuda.- Método 1: Sea x > 250 el valor (en $) del alquiler que se cobrará por cada departamento, entonces: (a) el número total de departamentos alquilados será de m = 70 -2 (x — 250) 10 (b) x satisface la ecuación 17980 = mx, es decir, la ecuación de segundo grado: x2 - 600 x + 89900 = O Método 2: sea n el número de aumentos de $10 por el alquiler de los departamentos. Entonces n satisface la ecuación de segundo grado siguiente: 17980 = (250 + 10n) (70 - 2n),

294 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

cuyas soluciones son n= 4 y n=6. Interprete los dos métodos y saque conclusiones. 4) El costo de mano de obra y materiales de un producto es de $ 5 por unidad para el fabricante. Además, los costos fijos, los que se tienen en un determinado período independiente de la cantidad que se fabrique, son de $ 20.000. Si el precio de venta del producto es $ 7, se necesita saber cuántos deben venderse para que la Compañía obtenga utilidades. Ayuda: deduzca y resuelva una inecuación de primer grado en q , número de productos a venderse, utilizando el hecho que: utilidades = ingresos totales — costos totales > 0. ¿Puede Ud. generalizar este problema? 5) Si la demanda semanal de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $ 58 por unidad, y de 200 unidades cuando el precio es de $51 por unidad, halle la ecuación de demanda, precio p en función de la cantidad q, suponiendo que es lineal. 6) La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es p = 1000 - 2 q, donde p es el precio en pesos por unidad cuando existe una demanda semanal q por parte de los consumidores. Se solicita que obtenga el nivel de producción que maximiza los ingresos totales del fabricante y que determine, además, dichos ingresos. Ayuda: ingresos totales = precio unitario por la cantidad. 7) Sea p = 0,08 q + 50 la ecuación de oferta para cierto fabricante y se supone que la ecuación de demanda para su producto es p = - 0,07 q + 65. (i) Determine los ingresos totales que obtiene el fabricante en el punto de equilibrio. (ii) Si se carga un impuesto de $ 1,50 al fabricante, ¿cómo se verá afectado el precio original de equilibrio si la demanda permanece igual? (iii) Determine, además, los ingresos totales que obtiene el fabricante en el punto de equilibrio después de aplicarse el impuesto.

8) Encuentre el punto de equilibrio si las ecuaciones de oferta y de demanda de un producto son p=74-0q +

, y, p

8. 000 q , respectivamente.

9) Una secretaria debe comprar sellos postales de $ 1 y $ 2 por un total que no supere los $ 100. Ella desea, además, que el número de los de $ 1 sea más de 10 al menos el doble de los de $ 2. Encuentre un sistema de desigualdades que describa todas las posibilidades y realice la representación gráfica correspondiente. Ayuda: plantee un sistema de desigualdades para las variables x = número de sellos postales de $ 1, y = número de sellos postales de $ 2. 10) En un negocio se venden radios de dos marcas A y B. Según la demanda de los clientes es necesario almacenar al menos el doble de los aparatos A respecto a los aparatos B y se deben tener a la

FUNCIONES REALES • 295 mano al menos 20 de la marca A y 10 de la marca B. Si no se tiene espacio para más de 100 aparatos en el negocio, encuentre un sistema de desigualdades que describa todas las posibilidades y realice la representación gráfica correspondiente.

11) Una persona desea invertir a lo sumo $10.000 en dos cuentas de ahorro distintas. Desea tener al menos $ 2.000 en cada una y que la cantidad que haya en una sea al menos el triple de lo que haya en la otra. Encuentre un sistema de desigualdades que describa todas las posibilidades y realice la representación gráfica correspondiente: 12) (i) Sea una cantidad de dinero C o capital inicial que se invierte a interés compuesto, al final de cada período los intereses devengados se acumulan al capital inicial y se reinvierte, a un interés simple del por ciento por un período (por ejemplo: semanal, trimestral, mensual, etc.). Entonces, el capital al final de n E NI períodos está dado por la fórmula exponencial: C(n) = C 0 (1 + Realice una gráfica en el plano de la sucesión (C(n) n e (ii) Si se invierten $10.000 al 1% menso/y los intereses se acumulan mensualmente, ¿determine cuál será el capital después de 1, 3, 6 y 12 meses? Además, ¿cuánto dinero habrá que invertir para tener $15.000 al final del primer año?

13) En un comercio donde se realizan fotocopias, los precios al público están dispuestos según la siguiente tabla: Precio de cada fotocopia (en centavos) 5.00 4.40 4.30 4.10 4.00

Número de fotocopias 1 a9 10 a 49 50 a 99 100 a 999 más de 1.000

(i) Determine la función real; mejor dicho: sucesión real f definida como el precio del trabajo realizado, en función de la cantidad n E Cki de fotocopias demandadas. Realice, además, una gráfica de la función real hallada, uniendo los puntos del plano mediante segmentos de rectas. (ii) Analice y saque conclusiones de la siguiente situación real: si usted hace 9 fotocopias entonces el trabajo le costará $ 0,45; en cambio, si realiza 10 fotocopias le costará $ 0,44, es decir, $ 0,01 menos. ¿Qué haría usted si fuese el comerciante, para evitar que una persona le haga una o varias copias extras y pague aún menos? (iii) Analice y saque conclusiones también para los casos de 49 y 50 fotocopias; 99 y 100 fotocopias, y 999 y 1.000 fotocopias. (iv) Proponga una función real adecuada para los intereses del comerciante y sin perjudicar al cliente, pero beneficiándolo por mayor cantidad al superar 9, 49, y 999 fotocopias. (v) Encuentre otros hechos de la realidad en los cuales el análisis anterior pueda aplicarse.

296 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

14) Si un comprador adquiere un determinado producto a $P (P > 0) y sabe que el comerciante recarga el i% como margen de venta (es lo que se agrega al costo para obtener el precio de venta al público) se desea saber a qué valor el comerciante adquirió el producto, en los siguientes casos: (a) P = $ 1.000, i = 1%, 5%, 10%; (b) P = $ 1.100 , i = 1%, 5% , 10%. Ayuda: plantee una ecuación de primer grado tomando como incógnita el valor de compra del producto por parte del comerciante. 15) Una empresa que cotiza en la Bolsa de Comercio tuvo los siguientes valores por acción, en las fechas indicadas: Día

Valor de una acción (en $)

5/2 11/3 17/5

4,93 4,05 4,96

(i) ¿Cuál es el porcentaje de disminución del valor de una acción al pasar del 5/2 al 11/3? ; (ii) ¿Cuál es el porcentaje de aumento del valor de la acción al pasar del 11/3 al 17/5 ? ; (iii) Determine qué sucedió con el valor de la acción al pasar del 5/2 al 17/5, y detemine cuál es el porcentaje correspondiente. 16) Una farmacia atiende a personas afiliadas a una obra social que paga el 50% del valor de los medicamentos, quedando el resto a cargo del afiliado. Si la farmacia hace un 10% de descuento extra sobre lo que el cliente paga, ¿cuál es el porcentaje del valor del medicamento que pagará el afiliado? 17) Una persona paga $ 121 con una tarjeta de crédito por la compra de un artefacto. Sabiendo que la tarjeta incluye un 10%, calcule el precio por pago en efectivo de dicho artefacto. 18) ¿Qué prefiere, qué le hagan el descuento del 10% antes o después de pagar el 21% del IVA? 19) El dueño de una empresa propone a sus empleados dos opciones: (a) Aumentar los sueldos el 5%; (b) Aumentar los sueldos un monto fijo de $100. ¿A partir de qué salario se debe elegir la primera opción? ¿y la segunda opción? 20) Una compañía de transporte propone a sus clientes las tres posibilidades siguientes: (a) P1 : Comprar en cada viaje un boleto donde el precio es proporcional al kilometraje, a razón de $0,30 por kilómetro; (b) P2 : Comprar un abono anual de $600, que permite viajar durante todo el año a razón de $0,15 por kilómetro; (c) P3 : Comprar un abono anual de $ 1.500, que permite recorrer hasta 5.000 km ; a partir de los 5.000 km, todo km suplementario costará $ 0,10 por kilómetro.

FUNCIONES REALES • 297

Una persona recorre anualmente "x" Km con esta compañía. Se definen las funciones f i : R+ ---> R+ (i = 1,2,3), correspondiente a la posibilidad Pi, que a "x" asocia el costo en $ de los viajes anuales de esta persona. (i) Escriba la ley correspondiente para f , f2 y f3 ; (ii) Represéntelas gráficamente en un mismo plano cartesiano; (iii) Utilizando sus representaciones gráficas, determine qué posibilidad es la más conve,

niente si la persona recorrerá 3.000 Km por año, 6.500 Km por año, 9.000 Km por año; (iv) ¿Cuál es la posibilidad más económica en función del número de kilómetros recorridos en un año? ¿Cuál es la función que a "x" asocia el gasto mínimo para una persona? 21) En 1995, la familia López tuvo un consumo de electricidad por bimestre de $ 37. En el bimestre enero-febrero sólo pagaron el básico de $18, ya que estuvieron de vacaciones: En el bimestre julio-agosto gastaron un 10% más que en los otros cuatro bimestres, en los que el consumo fue el mismo. ¿Cuánto gastaron en el bimestre julio-agosto? ¿Y en el bimestre septiembre-octubre? 22) Un negocio para alquilar videos propone a sus clientes tres posibilidades: (a) P 1 : $24 de abono anual más $ 1,5 por cassette alquilado; (b) P2 $ 12 de abono anual más $ 2 por cassette alquilado; (c) P3 sin abono anual, pero $ 3 por cassette alquilado. (i) ¿Cuál es la posibilidad más económica para alquilar, por año, 10 cassettes?, ¿para 20?, ¿para 30? (ii) a) Exprese, para cada posibilidad, el precio a pagar en función del número x de cassettes alquilados; (b) Represente gráficamente estas tres posibilidades de alquiler en un mismo plano cartesiano; (c) Un cliente, habiendo elegido la P i ha gastado en el año $ 51. ¿Ha hecho una buena elección?; (d) Otro cliente ha gastado $ 53 en el año. ¿Es esto posible? ¿Habrá algún error cometido por el dueño del negocio? (iii) ¿Cuál es la posibilidad más ventajosa para elegir según el número de cassettes alquilados? 23) Una AFJP de la Argentina descuenta, de los salarios nominales de sus afiliados, los siguientes importes según la fecha en que se realice el aporte mensual correspondiente: (Op. 1) Hasta diciembre de 1995 descontaba el 2,6% del sueldo más $ 5 de cuota fija por mes; (Op. 2) A partir de enero de 1996 descuenta el 2,3% del sueldo más $ 8 de cuota fija por mes. Se solicita responder las siguientes preguntas: (i) ¿A partir de qué salario conviene la segunda opción?; (ii) ¿La segunda opción beneficia a los afiliados si el promedio de los salarios nominales de los afiliados a la AFJP es de $2.000? 24)

i) Juan puede hacer un trabajo en 5 días y, en cambio, José puede hacerlo en 3 días. ¿En qué

tiempo lo harán trabajando conjuntamente?; (ii) Juan puede hacer un trabajo en 3 días, José en 4 días y Pablo en 6 días. ¿En qué tiempo harán la obra trabajando conjuntamente?

I

298 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Respuestas Trabajo Práctico 1

P, = (0,0) ;

d (P 1 ,

P = (0 1) ;

punto medio : (0,1 )

)=1

d ( P 1 , P3 ) =

punto medio : (-

d(P 1 ,P4 )=~

punto medio (- 1 ' -1)

d (P 1 , P5 ) =

punto medio ( 1 - 1 ) 2'4

d ( P 2 ,P 3) =

punto medio ( -1 -a) 2'2 punto medio (-- 11 - —1 )

2 , P4 ) = A/10 d(P

1)

2'2

d (P 2 , P 5 ) =

V2 31

punto medio ( —1

d (P 3, P4 ) =

L.

punto medio (-1, 0)

d

(p 3, p 5 )

d (P 4 , P 5 ) =I 2)

P4 = (-1,-2);

P 3 = ( - 1,2) ;

(i) (ii)

= ( -3, - 3 ) . = ( - 1,0) ,

2'4

punto medio (0,

)

4)

punto medio (O, - —5 ) 4 P 2 = (1,1)

P2 = ( - 1 , -2)

3)

Y

2

p 5 = (1, - :21 )

FUNCIONES REALES • 299

x

2

2

4)

(i) y = x -1

6)

(i) y = -

(ii) y = 2x + 2

(iii) y = -x -1

(iv) x = 4

(iii) y = 2

(ii)y=x+1 Y 3 5/2

Y

Y

2

x 4

7) Para el ejercicio 4:

(i) x - y - 1 = O ,

x+— Y =1 1

(ii) x +y +1 = O ,

x Y 11 —1+-7=

(iii) 2x - y + 2= O ,

x Y 11 -7+-2-=

(iv) 2x + y -2 = O ,

x+

-2-

=1

I

300 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Para el ejercicio 5:

x -- +Y 71 = 4

(i) x - y + 4 = O ,

x Y —4 —4

(ii) x + y + 4 = O ,

Para el ejercicio 6:

(i)

x +— Y =1 —

-1= o ,

Y

1

5 5 2

(ii) x - y + 1 =0 ,

—1

+y=1

(iii) y - 2 = O (iv) x - 4 = O 8)

(i) coincidentes .y

1

) paralelas Y

(iii) se intersectan y

► X

-1

9)

(i) por ejemplo r 1 ) y = (ii) P ' "="' 1") (iii) d (P 1 , P2 =

1 0)

r2 ) y = 1 •

P2 = (0, 1 )

v.310

2 (i) (-31)

(iii) 0

11 )

Y

Y

Y

(i)

x

Y

(iv)

•X

(vi)

Y

•X

2

FUNCIONES REALES • 301

12)

(iv

)

Áty

13)

(i

y

)

1

;

14) (i) Dom f, = R - {2} I I

1

, 1•

•X

•x

(ii) Dom f2 = R

302 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(iv) Dom f3 = [ 1 , + o )

(iii) Dom f 3 =

►X

(vii) Dom = ft

(viii) Dom f8 = Y 2

-4

(ix) Dom f 9 =

4

(x) Dom f 10 =

•X

FUNCIONES REALES • 303 (xi)Dom1 11 = Fe 16

1 1 15 )

4

(i)

2±

(ii)

2±

(y)

y (vi) raíces complejas .

(iii)

(iv)

-2 ±

S=

(ii) S =

{-11+ V17 —11—V17} 4 ' 4

(iii)

S = {0}

(iv) S =

{ _2+ V 10 5

17)

(i)

x1

18)

(i)

4 para m= 18 : x=2 para m = — : x =1 3 5 18 . _ para m = — . x 1 — 2 , x 2 -- 33 para m = : x 1 =1 , x 2 = 5

16 ) (i)

(ii)

1

x2 =

m_3

(i)

m=

20)

(i)

8 7 _ si m= I x1= A 2 = '2

(ii)

21)

(ii)

3

35

19)

49

si

E

si m

E (—,-3)u(3,+.)

si m =

x1 = 2m ,

x2 = -m

(iii)

(ii) m < 4

= X2 = —

si m

2 _ V10 } 5

m>

m= — 3 x 1 = x 2 = O

(-3, 3-) 7 la ecuación tiene dos raíces reales distintas

—64

x1 = x2

37

4,

6 ;

si m= —4 x 1 = x 2 = O

37) la ecuación no tiene raíces reales

si m

E(

si m

E (-00,-4)U (

(i)

m = —5 , x 2 =.1-

(iii) 22)

(i)

7 m = -x=5 4 2 m E (— 3, 1)

23)

(i)

mE

(-00 , -

=

la ecuación no tiene raíces reales

3)

u (1,

4 ,+00)

37

la ecuación tiene dos raíces reales distintas

(u)

(ii) (ii)

m=

m<3

4 '

x

2

—

17 4

(iii)

m< 5 — 2 ( 11 1) 10 2

il

I ih

1

304 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

24)

si m = 3

25)

(i)

;•

x i = 2 , x2 = 1

si m = 3 2

x, = 1 , x

1

2

= 2

si m = —2 ó m = 4 : hay raíz real doble 5 5 si m

E

(_ 5 2 , 45) :

tiene raíces complejas

5 , + co) : tiene raíces reales de igual signo si m e ( _ cc, — 52),(4 u

si m = - 21 : raíz doble x = - 1 ; si m < - 2 1 : raíces complejas ; 4 3 4 si m =

4

( -21

)u( 6 ,+ co) tiene raíces reales de igual signo ;

x - 1 '. 2 si m E -6 : no representa una ecuación de segundo grado, es una ecuación de primer

si m

(-4.6) : tiene raíces reales de distinto signo ; si m = -4 : x = O

grado con solución x = -Z 3" 26)

(i)

2 ; 1 'y

(ii)

4 ; -1

(iii)

-1 ; -2

(iv)

54 ;)5 7

Á

(v)

x

28)

(i) f(x) = -2 x 2 + 3x + 1

40 53 (ii) f(x) = -2-51 x 2 27 x+ 27

29)

(u) (1, 1) ; (1,2)

(ii) (5 —11) • (_ 1 —1 13 ' 9 ' 1 2 ' 2)

FUNCIONES REALES • 305 30)

(i)

(iv)

31)

(i)

f 1 (1) = f 1 (10) = 0

f i (x) > Osi x e ( 00, 1 ) u( 10, + 00 ) -

f i (x) < O si x E ( 1, 10 ) ; (ii)

f2 (-10) = f 2 (-1) = 0

f2 (x) > 0 si x E ( -10, -1) f2 (x) < O si x E ( -00, -10 ) u( -1, + 00 ) ;

(iii)

f3 (x) > O si x E (-00, 2 - -\ft ) u( 2 +

f3(x) < O si x E ( 2- -T7 , 2 + (iv)

+ 00 )

V7)

f3 (2--\5) = f3 (2 +-\/V) = 0;

f4(x) > O si x E ( -00, -2 ) u( 5, + 00 ) f4 (-2) = f4 (5) = O

f4(x) < O si x E (-2, 5) (y)

f5 (x) > O si x E ( 00, -2) u( 1, + 00 ) -

;

f5(x) < O si x E (-2, 1)

f6 (1) = O

(vi)

f6 (x) > O en [FI

(vii)

f7(x) > O si x E (—cc, — ) (4, -Foo)

-

f7 (x) < 0 Si X E (—; ,

;

f8 (x) >0 si x E ( -00, -3) u( 1, + 00 )

f6(x) < O si x E ( -3, 1 )

f5 (1) = f5 (-2) = O

=0 f7 3) 8(-3) = f8 (1) = O f

f7 ( 2)

(

tlw,1■ 14.

'11

.111ii

306 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

32)

(i)

()

(iii)

(iv)

f(x) >

O

si x

f(x) <

O

si x E (-2, 1) ;

E (- o°,

si x E

f(x) 7 o

SX

E (-4,2)

f(x) >

O

si x

E (- °O, O)

f(x) >

O

si x E (0,1) u(1, + 00) ;

f(x) >

O

si x E (-2, 1) u (5, + 00 ); si x

E ( -00 ,

f(1) = O

;

u (2, + 00)

f(x) < O

f(x) < O

;

-2) u (1, + 00)

,

f(2) = O

'

;

-2) u (1, 5)

f(111 2)

f(1) = f(-2) = f(5) = O

(H)

34)

(i)

S = (1, 10)

(ii)

S = (-1, 10)

(iv)

S=

(v)

S = ( - 00 , -2 ) u ( 5, + 00)

(vi) S = ( (--., —1— -M u (-1+ J +o.) ,

(iii)

o

Y

S = (- 00, -4) u (- 1 ,H-00)

FUNCIONES REALES • 307

35)

36)

(1)

S = (- 4, 1)

(iv)

S = (_.0) u ( 5

(vi)

S=

(i)

m=8 : S = {3}

m<8 : S=[m-5,3]

(ii)

m=0 ; S =(-00, 1-1. )

m<0 : S= m+2+-j4-3m m+2-V4-3m

(ii) -

V21 2 '

(v)

S= (2,+.0)

S = (-8,-5) u (-4,-2) u (4,+-)

u (-1,0)

m>8 : S=[3,m-5]

_m+2../-4 -3 m) u (m+ 2 + ,1/4 -3 m ±,x,)

0<m< 4 • s 3• m>1 : S=R (iii)

(iii)

S= (--,-1) u (1,+.)

m=3 : S= il=R--1 3 12j

m=0 : S = (-00,0) 1 -<m<0 : S= 4

2m+1+-J4m+1 2m+1--\/4m+1 2m 2m ) 0 2m+1-V4m+1 \ u 7 2m+1+V4m+1 0<m : S= . ,+ 2m

2m

)

--1 : S=0 m<- 4

37)

38)

x i =X 2

4

(i)

39)

S =(-.0,-2] u [5,+.)

(ii)

S = [-6,-2] u [3,5]

_i+já

S=

2

1_,[11 ' 2 ) \

2

' 2 )

3+-JI \

s= 2

'

2

)' \

2

'

2

S={ (-1+-j1,-2+ 2-11); (-1-V5-,-2-2,r1)} = (1,3); (-1,3) }

S={ ( -1+ ,,r5- 3--v5 \

2

'

2

-1-j1 v

2

'

2

S=0

40)

(i)

S = {1.-1}

(ii)

S - {-

2'2

}

N

308 •

• r4I14oillp,N0,• ••11•111.01 1 • •

I

limiltkur. té

111144111011111411411114111111illié

4,1 o 1, Mili

CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA (ii)

•y f2

•X

Á

Y

(iv)

Y f4

1

1 I>

42) (i) (ii)

X

—2] u

Dom fj =

]

Dom f2 = lJ (2 kn, (2 k + 1) n)

{x E FR / 2 k Tu < x < (2k + 1)Tu ; k E Z}

ke

(iii)

Dom f3 = U k

43)

(

1

(2k — — ) 2

El

Tu,

(2k +

(iv)

Dom f4 = k Uz (k 7c,(k + 1 ) nj 2

(y)

Dom f5 = U [2krc, (2k +1) ni kEZ

(vi)

Dom f6 = U [ (2K — 1 ) Tc, (2k + 2 kEZ

(vii)

Dom

(viii)

Dom f8 = (-1, 1)

(i)

= 3

n

lt

2

1 re I

60° =

rc

150°.

—30° = — Lc

11 55° = 11

— 3 = — 30° 6

3

2 = 114° 35 30' ' ;

5 4— 7Z = 225°

6

(ii)

1

—2] u [2,+00)

5 5°

X

n TC

= 60°

57c 6

4 —48° = — — n 5

1 = 57° 17' 45"

— 2 Tu = 120' 3

•

FUNCIONES REALES • 309

44) (i)

(ii)

y = c senx , c > 1

y = c cosx , c > 1 periódica, período fundamental: 2TE

periódica, período fundamental: arc

Y

1

-Tc/2

Caso -1 < c < O

(iii)

y = c sen 2x periódica, período

fundamental :

TC

Idem Caso O < c < 1

y = c sen (x/2)

c>1 periódica, período Y fundamental :4n

Idem Caso O < c < 1

o 11

I

1,4

I

310 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Idem Caso-1 < c < O

y= c cos2x c>1 periódica, período fundamental : y

Idem Caso -1 < c < O

TC

y= c cos — c>1 2 periódica, período fundamental: zIrc

Idem O < c < 1

Idem O < c < 1

Idem -1 < c < O

Idem -1 < c < O

FUNCIONES REALES • 311

45)

46)

(i)

S={xeR /x=k7c,ke7/}

(

ii)

S= xER /x=(2 k+)ru,ke,/} 2

(iii)

1 S= {x E R /x=(k+—) rc ,k 2

2}

(iv)

S={xER /x=2 kru,keZ}

(v)

1 S={xER /x=(k+- rit,ke,T} 4

(vi)

S={xEU /x=kru,ke7/}

(i)

E

(ii)

X

Al

mili .1

312 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA Á

(x)

Y

n/2 2

par, periódica, período fundamental : periódica, período fundamental : 2ru

xl -7/6n

516n

-2/

4/3n

periódica, período fundamental : 2n \

observe que sen(x - — 7c ) = -COS(X 3

periódica, período fundamental :

-Tt ) 6

(xiii) 1

fi3 (x) = O

<=>

x=

fi 3 (x) = x

<=>

fi 3(x) =

<=>

x= 2 kE 1+4k' 2 x= kE 3+4k'

y = -x

k

kEZ—{0}

FUNCIONES REALES • 313

arc tg(1) =

(ii)

arc tg(,/) =

(iii)

arc ser-i("a. = 2

arc cos(4) =

(y)

arc sen(--21 )=-71

(vi)

arc cos(-2)=

a = arc tg

26° 33' 54"

= arc tg 7 31

36° 52' 11"

(ii)

a = arc tg

59° 2' 9"

(iv)

a = arc tg

53° 7' 48"

C.(3,-2)

R=5

(ii)

C = ( 1,

C=(0, 1 )

R=1

(iv)

C = ( -1, -2 )

1(

m

1

{I

S=

I

,

R=2

-m

(

V 1+mz , ' \ V1+m 2 '\11-1-rn 2

011+111 2

S=

R=1

)

\

,

-\1 -1+-\11+16m 2 -1+ V1+16m 2

\

'

rrblí

2m

(

(iii)

--V-1+-V1+16m 2

-1+Af1+16m 2

rrbrí

2m

S=

-2, 0 ), (2, 0)}

s_

11-11-1117 2 -1+ 12 2

si m

O

si m = O 1 21,

(

2

4m 2 -1+ V1+ 4m2 2

53)

O

si m = O

S = {(0, 0)}

52)

si m

(i)

S = {8}

(ii)

S=

(iii)

S = {4}

(iv)

S = {7}

(y)

S=

(vi)

S= 0

(vii)

S = {-4, 10}

(viii)

S=

(ix)

S = {-3}

(x)

S = 0153.

(xi)

S=

(xii)

S=

(xiii)

S = {—I-}

(xiv)

S=

(xv)

S = { -3 }

(xvi)

S=0

(xvii)

S=

(xviii)

S = {5}

(i)

S=

im - 4J m

E (-00,11

(4, +.) ; S = 0 si m

E (1,4]

18j

1ee4,sts who

II

314 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(ii)

54)

55)

S = {1 -

(i)

9

si m E (- 00, -18] ; S = si m E (-18, +

S = (-1,31 15

13

(ii)

S =[ - 4, - ] 9

(iii)

S = (-98,2]

(v)

S = [-1,+oo)

(vi)

S=

-1) u (3. + 00),

()

S = (-

0] u [3, + 00)

(x )

S = (4,+00)

(iv)

=

(v )

S= o

(v I)

S = [7,- )

(x)

S = (8, +

(xi)

S = [,4)

(xiii)

S= [6,22)

(x v)

S =[-1,8)

(i)

S = (m2 — 4 m+7,+—) si m

25 3

,

2

2 ; S =[3,+.3) si m> 2

S = [m,1+m) ,

S = R si m> O ;

56)

S=(

x -- -4 2

(i)

f(x) =

3 2x 2

+2

x — +4 2

(iii) Conjunto solución : [-24,8] ;

M

2

—5

4m

]sim<0

si

x < —3 ,

si

-3 < x < 2,

si

x>2;

(iv) Conjunto solución : [2, +o) ;

(v) Punto (4,6) ; recta perpendicular : y = - 2 x +14 ; Puntos de intersección con los ejes coordenados : (7, 0) , (0, 14) Más detalles pueden apreciarse en la gráfica de la página siguiente:

FUNCIONES REALES • 315

316 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Trabajo Práctico Especial

(ii) p-

1)

(i) p = 43,125

2)

(i) a = 7.000 < G <)r4,. con i

3)

(i) x 1 = 310 con m 1 = 58

c(1 +j) (1-1)

(ii) no es posible

b = 3.000

x2 =

290 con m 2

Generalización : si se pretende m x 17.980 entonces

XE

=

62

(290,310)

La máxima ganancia (18.000) se obtiene para x = 300 (m= 60) 4)

q >10.000

Generalización :

q>

cF Pv -Pc

donde cF: costo fijo pc : precio de compra pv : precio de venta 5)

p = - 100 q + 65

6)

1(250) = 125.000 I 125.000 _

FUNCIONES REALES • 317 7)

(i) I = 5.800

8)

p = 20 q = 400

(ii) p = 58,7

(ni) I = 5.283

400

9)

Observación: se deben considerar sólo las soluciones enteras:

p

10)

Observación: se deben considerar sólo las soluciones enteras: y ( marca B) 500

100

100 3

10 x ( marca A) 20

200 3

100

111

ir

318 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

11)

12)

(i)

función exponencial de base 1 + i

y =C o ( 1 +i) x

x

(ii) C (1) = 10.100 C = 13.311,679

C (3) = 10.303

C (6) = 10.615,2 ;

precio 13)

(i)

215,6 215

45 44 5

cantidad de fotocopias

C (12) = 11.268,3;

d

FUNCIONES REALES • 319

(ii) La gráfica debería ser estrictamente reciente y con pendientes constantes en cada tramo, pero decrecientes entre sí . (iii)

14)

49 f

$ 2,156

99 f

50f

$ 2,15

100 f $ 4,1

$ 4,257

(a)

990,099

952,38

909,09

(b)

1089,11

1047,62

1000

999 f 1000 f

$ 40,959 $ 40

En general, x viene dado por la siguiente expresión : P

x=— , 1+i

15)

(i)

16)

45 0/0

17)

$ 110

18)

Es indistinto.

19)

(i) Cuando el sueldo es mayor a $ 2.000 (ii) Cuando el sueldo es inferior a $ 2.000

20)

17,85 %

(ii) 22,47 %

(iii) 0,61 % .

fi (x)= 0,30 x , f2 (x)= 600+ 0,15 x ,

1500

si

x<_5000

1500+0,10 (x —5000) si

x 5000

f3 (x)=

(iii) Si recorre 3.000 km por año conviene la posibilidad P 1 ; Si recorre 6.500 km por año conviene la posibilidad P 2 ; Si recorre 9.000 km por año conviene la posibilidad P 3 ; (iv) Hasta 4.000 km conviene la posibilidad P1 ; de 4.000 a 8.000 km conviene P2 y a partir de 8.000 km conviene P3 23)

(i) $ 1.000 ;

(ii) Si, en general, la segunda opción beneficia a los afiliados.

NÚMEROS COMPLEJOS 8.1. INTRODUCCIÓN

Hasta ahora se ha excluido del estudio de los radicales el caso de índice par y radicando negativo; por ejemplo: V-4 , o bien, las potencias de base negativa cuyo exponente es una fracción irreducible de denominador par, por ejemplo: (- 2 ) 3'4, debido a que es imposible atribuirles algún significado en el conjunto de los números reales. Por otro lado, esta noción está relacionada con la no existencia de soluciones reales, por ejemplo, de la ecuación x2 + 4 = O

8.2. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS A Número complejo e igualdad Definición 1. Se llama número complejo a todo par ordenado (a, b) de números reales. Se nota con C al conjunto de los números complejos, es decir :

(1)

C={(a, b)/a ER

A

IDEIR} =RxR =R 2

Dado el número complejo z = (a,b) se dice que : a es la primera componente o la parte real del número complejo z ( a=Re(z)) , b es la segunda componente o la parte imaginaria del número complejo z (b=Prn(z))

Definición 2. Dos números complejos (a,b) y (c,d) son iguales y se nota (a,b) = (c,d) si y sólo si sus

componentes respectivos son iguales, es decir : (2)

(a, b) = (c, d)

<=>

a=c

A

b=d.

A Operaciones con números complejos Definición 3. En el conjunto de los números complejos C se definen las siguientes operaciones :

1) Suma. (3)

(a,b) + (c,d) ( a + c , b + d) , V (a,b), (c,d)

E C.

2) Producto o Multiplicación. (4)

(a, b) . (c,d) (ac - bd, ad + bc) , V (a, b) , (c, d)

EC

Proposición 1. El conjunto de los números complejos C con la suma y el producto definidos anteriormente es un cuerpo conmutativo; es decir que (C, + , x) es un cuerpo conmutativo con :

I

■■

I

11;k1, 1

322 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

1) elemento neutro de la suma : (0,0) ; 2) elemento opuesto de la suma : -(a,b) = (-a, - b) ; 3) elemento neutro del producto : (1,0) ;

(5)

a

4) elemento inverso del producto : (a,b) 1 —

2

+b

2

—b 2 2 , (a,b) a +b

(0,0)

Demostración. Se realizarán las pruebas referentes a los elementos neutro, opuesto e inverso. Elemento neutro. Si se designa con (x, y) E C el elemento neutro para la suma se tiene que

(a, b) + (x, y) = (a, b)

,

y (a, b) EC ,

,

b + y = b, V a, b E

es decir:

x,y E ig

a + x -= a

con lo cual x = 0, y = 0, es decir (5.1). Elemento opuesto. Si se designa con (x, y) al opuesto del número complejo (a, b) se tiene que (x,

y) + (a,b) = (0 ,0), es decir: x+a=O

,y+b=O,

con lo cual x = -a, y = -b , es decir (5.2). Elemento inverso. Si se designa con (x,y) al inverso del número complejo (a, b) (0, 0) se tiene que (x,y) (a,b) = (1,0), es decir:

ax - by = 1 bx + ay = O que representa un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x,y cuya solución es única pues: a

-b

b

a

= a2 + b2 > O

Utilizando el Teorema de Cramer, la única solución viene dada por: 1

-b

a

Oa x=

a2 + b2

1

b O a a2 + b2

Y

-b a2 + b2

a2 + b2

es decir (5.4) . La demostración que el elemento neutro para el producto es el número complejo (1,0) E C es muy similar a la realizada para la obtención del elemento inverso y por tanto queda como ejercicio, como asimismo

link*

■0

NÚMEROS COMPLEJOS • 323 todas las restantes propiedades para que ( C, + , x) sea un cuerpo conmutativo. A Otras operaciones con números complejos

1) Diferencia. (6)

(a, b) — (c, d) = (a, b) + [—(c, d)] = (a, b) + (—c, —d) = = (a — c,b — d) ,

2) División. Si (c,d)

V(a,b) , (c,d)

EC;

(0,0) entonces : (a, b)

(7 )

d) (c,

( — (a,b) . (c,d) 1 = (a,b)

ac +bd bc —ad` 2 2 2 2 , V(a, b) c +d C + d

—d

c

2

c +d

2

C

2

+d

2

E

A Números complejos con segunda componente nula

Definición 4. Un número complejo tiene su segunda componente nula cuando es de la forma (x,0) con x E (F8. Lema 2. Los números complejos con segunda componente nula verifican las siguientes propiedades

(Vx, y

E

II):

1) (x,0) + (y,0) = (x+y,0) ;

2) (x,0) . (y,0) = (x.y ,0) ;

3) - (x,0) = ex, 0) ;

1 4) (x,0) -1 = (— x ,0) , Vx

{ 0 ).

Demostración. Utilizando las definiciones de la suma y del producto de números complejos se obtiene:

a) (x,0) + (y, O) = (x + y ,0 + O) = (x + y ,0) b) (x,0) • (y ,0) = (xy - O • O , x • O + y • O) = (xy ,0) Por otro lado, las propiedades 3) y 4) se deducen de las expresiones generales del opuesto y del inverso de un número complejo. Observación 1. Se pueden identificar los números complejos con segunda componente nula, con los números reales, es decir que se notará :

(8)

x = (x, O) , V x ER

A Potencia entera de un número complejo

Definición 5. Sea z EC. Entonces se definen:

zn = z.z (9)

n

=

si n > 0, si n = 0,

Zn = 1 Z

z (n veces)

1 —n

si n < 0

Al lit II6 N*

324 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA Proposición 3. Se tienen las siguientes propiedades:

1) zn . z m = z n-fm

(10)

,

V n, m

2) (Z n )m= z n m , Vn,mEZ

E 7L ;

8.3. FORMA BINÓMICA DEL NÚMERO COMPLEJO A Unidad imaginaria

Teniendo en cuenta la suma y el producto de números complejos se deducen las siguientes igualdades:

(11)

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) • (0,1) = a + bi

(12)

a = (a,0) , b = (b,0) , i = (0,1)

donde

Definición 6. Se llama unidad imaginaria y se lo nota por i al número complejo i = (0,1) Definición 7. Se llama forma binómica del número complejo (a,b) a la expresión a + bi con a,b E Definición 8. Se llama número imaginario a todo complejo con segunda componente no nula. Se llama número imaginario puro a todo complejo con primer componente nula.

A Potencias enteras de la unidad imaginaria

Se tienen las siguientes expresiones: .0

=

1 3 _ 12

=1 i

1 2 = (0,1) . (0,1) = (-1,0) = —1 ; =

.4

.2 = . i2 =. ( -1 ) • ( -1 ) =1

1i = i i i —1

L2 = 1 _ 1 =

. —1 1

;

i2 — —1

i _3_ —— —I 1

1 5 =1 4 . 1=1 . 1=1 ;

i

—

_4

1

1

= i4= —1 = 1

Lema 4. Sea n E N. Entonces, la potencia n-ésima de la unidad imaginaria i está dada por in

(13)

ir ,

donde r es el resto de la división de n por 4. Demostración. Sea c el cociente y r el resto de la división de n por 4, es decir n = 4c + r. Por lo tanto:

in =

i4c +r = ( i4) C i r =1c

ir = 1 i r = ir •

NÚMEROS COMPLEJOS • 325

Observación 2. Si se tiene en cuenta que i2 = - 1, entonces se le puede dar sentido a la expresión

más adelante se verá la raíz n-ésima de un número complejo. Observación 3. El cuerpo de los números complejos no es ordenable, es decir, no existe un orden entre sus elementos como los números reales. A continuación se verá la imposibilidad de tal ordenación.

Para ello, se supone que es ordenable y por lo tanto que existe un conjunto C* c C de manera que cumpla : 1)

z1 + z 2 EC* , V z i ,z2 e e*

2)

z i z2 E C * ,

3)

yZEC, sólo una de las tres posibilidades es cierta, a saber:

z E e*

Zi,Z2 Ee * ;

ó

-z E e*

ó

z= 0 (elemento neutro para la operación +)

Se verá que al número complejo i = (0,1) E C no se le puede aplicar la parte 3). Se tienen las siguientes conclusiones: (a) i = (0,1) (0,0) ; (b) Si i E e* entonces, -1= i 2 =i Hee* = 1=(-1) . (-1)E C* lo cual es una contradicción pues lee* y -1GC* (c) Si -i E C* entonces -1= (-i) 2 = (-i) . (-i) G e* y la demostración concluye como en la parte (b). Observación 4. El cuerpo de los números reales es ordenable, pues R+ es el conjunto que verifica trivialmente las tres propiedades 1) - 3), de la Observación 3.

8.4. CONJUGACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS A Conjugado y norma de un número complejo

Definición 9. Si z = (a,b) = a + bi e C entonces se define el número complejo conjugado z de la

siguiente manera : (14)

z = (a,- b) = a - bi

Definición 10. Se llama norma de un núm ero complejo al producto del número complejo por su

conjugado, es decir: (15)

N(z) = z • 7

con lo cual, si z = a + bi entonces se tiene que : N(z) = (a +bi)(a-b0= a 2 + b2 ER + U{O} Observación 5. El inverso del número complejo z = a + bi viene dado por la siguiente expresión :

II

1. II

1, 1

►

111 1

I,

11111111411111ii

326 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

a (16)

2

—

a

a +b

2

2

—

2 N(z)

bi

a 2 b2

a +b 2 I

Observación 6. La división de dos números complejos puede expresarse de la siguiente manera : Z1

(17)

z1

z 2 z2

Z2

zi • 22

22 — N(z2 )

lo cual permite realizar la división a través de una multiplicación evitando el cálculo del inverso del denominador.

Lema 5. La conjugación de números complejos verifica las siguientes propiedades (d z 1 , z2 E (E) : 1 ) Z1

z2 =

Z2 ;

;

2) z 1 — z 2 =

(18) 3) z i z 2 = 2-1 . z2 ;

4)

V z2

z2 \

z2

Demostración. Sean z 1 = (a,b) = a + i b EC y z2 = (c,d) = c + d i

O

, E C.

Entonces :

a)

z 1 + z2 = (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) = (a + c,-b -d) = (a, -b) + (c, -d) = 71+ z2

b)

z 1 • z2 = (a,b) • (c,d) = (ac - bd,ad + bc) = (ac - bd,-ad -bc) = (a, - d)

- d) = 71' 72

Por otro lado, las propiedades 2) y 4) surgen de las propiedades 1) y 3), respectivamente.

♦ Módulo de un número complejo Definición 11. Se llama módulo del número complejo z = (a,b) = a + b i al número real positivo o nulo

dado por: (19)

I z I=

=a2 +b 2

Lema 6. El módulo de los números complejos verifica las mismas propiedades del valor absoluto de

números reales.

8.5. OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Utilizando las reglas usuales en Álgebra y teniendo en cuenta las definiciones anteriores, las diversas operaciones entre números complejos, dados en forma binómica, se pueden efectuar del siguiente modo: Suma. Producto. Diferencia.

(a + b i) + (c + d i) = (a+c) + (b+d) i (a + b i) (c + d i) = ac + ad i + bc i+ bd i 2 = (ac - bd) + (ad + bc) i (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i ;

-

▪

NÚMEROS COMPLEJOS • 327

Cociente.

(a +bi)(c - di) (ac +bd) (be -ad) 2 2 - 2 2 2 2 C ±d c ±d C ±d

a +bi a +bi c - di c + di - c + di c - di

Observación 7. Operar con el número complejo (a, b) como un par ordenado de números reales es lo mismo que operar con la forma binómica a + b i, teniendo en cuenta las potencias enteras de la unidad imaginaria. Ejemplos. (i) (3 + 2i) . ( -2 + i) = - 6 + 3i - 4i + 2i 2 = - 6 - i - 2 = - 8 - i ; 2+3i 2+3i -1-i 1-5i - 1+ i -1+i -1 - i 2

1 5 2 2

8.6. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS A Plano complejo Para representar geométricamente los números complejos se hace corresponder a cada número complejo (a,b) el punto del plano cuyas coordenadas, referidas a un sistema de ejes cartesianos ortogonales son x a , y = b. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano. Definición 12. Se llama plano complejo al plano en el cual se representan los números complejos. Se llama eje real al eje x y eje imaginario al eje y, ver Figura 8.1. IIm (Z) eje imaginario 3 — lp (2,3) = 2+ 3 i

( - 1,2)= - 1+2 i

2 1 • (O, 1) ►

FIGURA 8.1

-1

2

Re (z) eje real

1 41- — (-1,--2)= -1-2 i

(1,-2)=1-2 i

♦ Argumento de un número complejo Definición 13. El argumento de un número complejo z es el ángulo que forma la semirrecta Oz ( que contiene al punto de origen O y al punto representativo del número complejo z) con el semieje positivo del

eje real. Se nota arg (z) = w y se tiene que O w < 2ru, ver Figura 8.2.

III

328 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 8. También se puede considerar que - rc < \l 7Z , o cualquier intervalo de longitud 2 Tu.

Definición 14. Se llama forma polar del número complejo z a la expresión dada por z =Qzjt, donde

1z1 es el módulo de z y w es el argumento de z.

Observación 9. La forma polar de un número complejo z es equivalente a las coordenadas polares IzI, w del correspondiente punto z en el plano complejo.

Ejemplos.

1= (1) 0

—1= (1),,

,

= (1) it 2 1-i=(

2

11) 7c

4

4

A Forma trigonométrica de un número complejo

De la figura 8.2, por intermedio de la trigonometría y su aplicación a la resolución de triángulos rectángulos, se deduce que : a=lzlcosw

b=lzlsenw

con lo cual el número complejo z se expresa de la siguiente manera : (20)

z=a+bi=lzIcosw+IzIsenwi=lz1(cosw+isenw).

FIGURA 8.2

bl

( (

z=(a,b)=a+bi

b

1Z1 = Va2 + b2 b` w = are tg — \ a,

Em (z)

tg(w) =

a,

IzI

a

(z)

a=lza cos w b=lzi sen w

Definición 15. Se llama forma trigonométrica del número complejo z a la expresión :

(21)

I z 1 (cos w+ i sen w)

Observación 10. Las formas polar y trigonométrica de un número complejo z son muy similares entre sí, la forma polar es más concisa; en cambio la forma trigonométrica da la forma binómica para poder operar con los números complejos. A continuación se verá el pasaje de una forma a la otra, en forma análoga a lo hecho entre las

NÚMEROS COMPLEJOS • 329 coordenadas cartesianas y las coordenadas polares de un punto del plano cartesiano.

A Pasaje de la forma binómica a la trigonométrica

Dada la forma binómica del número complejo z = a + bi , su correspondiente forma polar o trigonométrica se obtiene a través de la expresión : (22)

z=1z1 .1z1(cosw+isenw)

donde

(23)

z

,'/a2 + b

7

1:3` o tg w= — a,

ID` (,

w = arc tg — ,a)

2

A Pasaje de la forma trigonométrica a la forma binómica

Dada la forma polar del número complejo z = I z l w, su correspondiente forma binómica se obtiene a través de la expresión : z = a + bi donde, (24)

a=lzlcosw , b=lzlsenw

8.7. OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA A Operaciones en forma polar

Sean dos números complejos dados en forma polar por las siguientes expresiones:

z1 =

.1z 1d(cos w 1 + isen w 1 ) ,

=k 2 1(cos w 2 + isen w 2 ) z2 =1 z21 w2

entonces, z1 . z2 =

(cos w 1 + isen w 1 ) lz 2 1(cos w 2 + isen w 2 ) = = iz 1 ilz 2 1[(cos w 1 cos w 2 - sen w 1 sen w 2 ) + i (cos w 1 sen w 2 + sen w 1 cos w 2 )}=

=

1z2l[cos(w, + w 2 )+ i sen (w i + w2 )1= =

1z2 Owi + w2

es decir, el producto de dos complejos tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos.

eld+,*f WlYYwrn iobri doisli 1 , 1.

.1.1104414 mM

330 0 CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

En forma análoga, a lo anterior, se deducen las siguientes propiedades : z2 —Hz21 son números complejos dados en su forma polar,

Proposición 7. Si z = z w , z, =

w2

entonces se tienen las siguientes expresiones :

1) Z i • Z 2 =

Zi Z2

Zi 2) z 2

Zi Z2

(25) 1 3)

(1 Z

dZI ) w

4)

2 = ( z1)

w

Á Fórmula de De Moivre Teniendo en cuenta que por reiteración de la fórmula del producto de complejos en forma polar se tiene z n = üzLi n =(izi n ) n W , V n E

(26)

se deduce, para z =1 W = cos w + i sen w , la siguiente expresión : (27)

(cos w + i sen w)n = cos(nw) + i sen(nw), b'n

conocida como la fórmula de De Moivre.

Observación 11. La fórmula de De Moivre permite obtener cos(nx) y sen (nx) en función de cos x, sen x, n.

Ejemplos. (i) De las igualdades: cos2x+ isen 2x = (cos x + isen x) 2 = cos e x + 2 i cos x sen x — sen 2 x =

= (cos 2 x sen 2 x)+ i(2cos x sen x) , se deduce, por igualdad de los números complejos, que cos 2x = cos 2 x — sen 2 x , sen 2x = 2 cos x sen x (ii) De las expresiones: cos 3x + isen 3x = (cos x + isen x) 3 = cos a x + 3 i cos 2 x sen x — 3 cos x sen2 x — isen 3 x = = (cos 3 x — 3 cos x sen2 x)+ i (3 cos 2 x sen x — sen 3 x) ,

NÚMEROS COMPLEJOS • 331

se deduce, igualando las respectivas partes reales y partes imaginarias, que cos 3x = cos 3 x — 3 cos x sen 2 x , sen 3x = 3 cos e x sen x— sen 3 X

A Raíces de un número complejo Definición 16. Dado n

E

, se dice que z es la raíz n-ésima del número complejo A si y sólo si zn= A. Se

nota por z = n4 .En particular, si n = 2 se dice que z es la raíz cuadrada de A y si n = 3 se dice que z es la raíz cúbica de A. Teorema 8. Si A es el complejo que tiene por forma polar la dada por p0 entonces para todo n

E

N

existen n raíces n-ésima z de A, las cuales están dadas por las siguientes expresiones : (28)

Z = (n-j3 )0+2kir

n-1

, k=0, 1,

Demostración. Si z = (IzI), es la raíz n-ésima de A = p0 entonces se tiene que:

A = po = z n = ( kin )

nw

de lo cual, por igualdad de módulos y congruencia de argumentos, se deduce que

p=141

Cabe resaltar que si k = n entonces el ángulo O + 2n para k n. Por lo tanto, se tiene que:

IZI=nj)

( k= O, 1„n- 1)

0+ 2kir=nw

,

w=

0+2

k

7C

7C

es congruente con y así sucesivamente

= o +2 k ir n

n

obteniéndose de este modo la expresión (28).

Ahora, sólo basta verificar que (28) es solución de r= A, pues:

n

Z = (1/7) ) 0 -1-2 k

I 1--- \ n

= -1\1 iP) n 0+2 kn = (P)0+2 kn = 190 — A

pues los ángulos O y O+2 k (k = 0,1...., n -1) son congruentes entre sí.

Idll

n

d

II.

ü

141

332 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Observación 12. Los n números complejos raíces del número complejo A = pm tienen todos igual

módulo n,rp y sus argumentos están dados por :

0

(29)

.4_ 2 ir n n

n

0 41r n n

n

+

2(n— 1)7r

Gráficamente están representados como los vértices de un polígono regular de n lados, cuando n 27( . Por lo tanto, para representar las n 3, y cuyos argumentos consecutivos difieren entre sí un ángulo de — raíces se toma la circunferencia de centro en el punto origen y de radio n p ; se considera primero el ángulo — n

(para k = O) y luego sumándole el ángulo a— re se van obteniendo las restantes n -1 raíces. Ejemplos. ) Los dos números complejos IR están dados por (1= 1 0 ) : 10

,

1,

que son obviamente los números reales 1,-1 pues 1 2 = 1 y (- 1 )2 = 1 ;

(ii) los dos números complejos 1/-1 están dados por ( 1 = 1 n ): =i

,

2

Además se verifica que i2 = -1 y (-i) 2 = (- i)

1 3,=—i 2

(- i)= i 2 = — 1;

(iii) Los tres números complejos 171 están dados por, ver Figura 8.3:

10 = 1

Además se

,

1 . 1 2 „ =-- +—1 2 2 3

14, = 3

1 2

Niá . — —1 . 2

verif ca que

( —1+ s5i \3 2

/- 1

-

115

2

1 = — (-1+,31.) 3 = -1 (—1+ 3 %/5 1+9-3 1,50= 8= — 1 ; 8 8 8

3 = -- (1±1r3- i) = - -1 (1+ 3 8 8

i-9-3f i)=

-8 -8

=1

likié

NÚMEROS COMPLEJOS • 333 FIGURA 8.3

12 = -3

Dm (z)

2 2

I

1n = 1 Re(z)

1

1 4, = - — 3- 2 A Raíz cuadrada principal Observación 13. Todo número real negativo -A (con A> O) tiene dos raíces cuadradas que son los números

imaginarios puros kr-A- y - iJ , pues :

(ivÁ) 2 = ( ice) (i-A)= 12 ( 1-A)2

=(-

2 =- A

(- ,A)=i2 (.A)2 =- A •

Ejemplos. (i) Las raíces cuadradas de -16 son 4i y - 4i ; (ii) Las raíces cuadradas de - 36 son 6i y - 6i Definición 17. Se llama raíz cuadrada principal de - A (con A > O) a la raíz i-A y se nota

= i -A. La otra raíz viene dada por -

y se nota -'1-A = i A .

Ejemplo. Las raíces de la ecuación de segundo grado x 2 + 4x +13 = O están dadas por (4=16-52 =-36
x12=

-4 ± V-36 -4±6i

2

con lo cual x 1 = -2+3i y x 2 = -2 - 3i

= 2

= 2±3i

334 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Trabajo Práctico

1) Calcule la suma, producto, diferencia y cociente de los siguientes pares de números complejos z 2 = (-2, 3) ; (b) z 1 = ( 1, 2) ,

(a) z 1 = (2, 1) ,

z 2 = ( 1, — 2)

-

-

Calcule, además, las mismas operaciones utilizando la forma binómica.

2) Calcule los números reales a y b de manera que se satisfagan las siguientes ecuaciones : (a) (2, a) . (1 ,

1) = (1 , b) ,

(b) (1 , 1)

(c) (a + 1 , 2 a

b) = (4 , 5) ;

(d) (

(a , b) = (1 , 3) ,

, b) = (b , a) + (3 , a)

3) Calcule las potencias 155 , 7, 9, 19, 23, 19, -70 de la unidad imaginaria i = (0 , 1).

4) Sean los siguientes números complejos : z 1 = (-1 , 1) ,

z 2 = (1, 2) ,

z3 = (4 ,

—

1)

Halle la forma binómica de los tres números complejos dados y realice las siguientes operaciones :

(a)

Z 1 Z2

-123/ 2

(b)

Z3

(-4 (Z 2 ) 2 +Í z 3 Z1 ± Z3

2(Z1 - Z2) Z3 (C) Z3

5) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con incógnitas z 1 y z2 :

(a)

+ i z 2 =1 ,

i

(c)

—

(b)

+ z 2 = 1+ i ;

z 1 + i z 2 = —1 ,

z1 +i z 2 = 1 i ; —

(1+ i)z i + (3 — i)z 2 = 5 ,

(3+i)z 1 — (1— i)z 2 = 0 ;

+ (1+ i)z 2 =1 ,

(d)

—

+ 2 i z2 =1+ i

NÚMEROS COMPLEJOS • 335

6) Sean los siguientes números complejos : —i,

z1 =

z2

,

z3 = — 4 i ,

z4 =1 .

(a)

Represéntelos gráficamente en el plano complejo ;

(b)

Halle sus respectivos módulos y argumentos ;

(c)

Escríbalos en la forma polar y trigonométrica ;

(d)

Represente gráficamente al número complejo opuesto, al conjugado y al opuesto del conjugado de cada uno de los cuatro números complejos dados .

7) Sean los siguientes números complejos : z1 = (4209

(a) (b)

z2 = (3) 454 ,

'

z3 = (4) 3002 ,

Halle la forma binómica de cada uno de ellos ; Calcule el producto y el cociente entre dos cualesquiera de ellos utilizando la forma polar y la forma binómica.

8) Describa geométricamente los conjuntos de números complejos definidos de la siguiente manera: (a) {z E C / Re(z) > 0} ;

(b) {z E C / -1 5_ Re (z)

IZI = 1

(c)

{z e e / — 1

(d)

{zEC/1
(e)

{z E C / 0 < Re (z) < 1 A O
Re(z)

2 A

;

(g) {z E C /I arg(z) 1 < 4 } (considere -TC < arg(z)

(i)

{z E e/1 < IZI <4 ,

3 <

2} ;

arg(z)

1};

(f) {z E C / 1z1

7C) (h) {z E C / 6

< arg(z) <

Tu

;

3 < 4

i en la forma polar y calcule z 6 en dicha forma. Pase el 9) Escriba el número complejo z = —1+ resultado a la forma binómica. Verifique el resultado hallado realizando la operación directamente en forma binómica y aplicando el binomio de Newton. 10) Calcule las siguientes raíces de números complejos y represente gráficamente los complejos obtenidos: (a)

;

(d) R ;

(b)

;

(e) grl ;

(c) /-1+ i ; (f) ¡/71

NÚMEROS COMPLEJOS • 337

Respuestas Trabajo Práctico

1

(a)

+ z2 =4 i , z 1 —z 2 =4 —2 i ,

(b) z 1 + z2 = —2 ,

2)

(a) a = —1 , b = —3 ;

(b) a = 2

(c) a = 3 , b =1 ;

(d) a = —1 , b = —2 .

1 155 =

4)

(a) —

5)

(a) z 1 = 1— 2

z, — 1 — -"á •

(c) z 1 =1- 2

z, —

6)

3 4. z 1 . z 2 = 5 , z 1 : z2 = — — -- — 1 5 5

z 1 —z 2 = 4 i

3)

;

i7 =

67 + 30 1. ; 17 17

;

i9 = ;

=

;

1

.

, b =1 ;

23 =

; i -19 = ; i -70 =

13 +84 (c) — —i 17 17

5 (b) —2 + — i ; 3

1

1 8. : Z2 = — — —1 ; 13 13

77 . _ 2 =-7+4 i ,

5 5. (b) z1 — 12 12 = 1

5 5 12

Z2 = 4 +

1 1 2 — -21

;

(d) z1=0 , z2 = —

(b) 1z 1 1 = 2 , 1z2 1= 2 , 1z 3 1= 4 , lz 4 1 = 1 ; arg z 1 =

(c)

, arg z 4 = O ; Tc , argz2 =1502 , arg z 3 = — 2 6

z 1 = 2 7, = 2 cos

+isen

6 , ity

6

z3 = 4

n

2

(d)

—z 1 = —z 2 =

= 4 cos

k,

2,

+isen

re 2

, 21 = -já + i , —21 = —i , 22 =

—z 3 = 4 i , z3 = 4i , —

z2 = 2 150. = 2(cos(150°) + i sen(150°))

z4 = 1 0 = 1(cos(0°) + i sen(0°))

;

+i , —22 = —já+i ; =— 4 i ;

—z 4 = —1 , Z4 = 1 , — Z4 = —1

NNI11111 1 , 1, Ni N

338 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

7)

(a) z i = -1+ já i , z 2 = 2 v2 ± _ 23

,

z3 = 2– 2,,r3- i ;

–1 (b) z 1 . z3 = 4 + 4-fá i , z 1 : z 3 = — , z 1 : z 3 = 8 6o. 2

9)

6 e k /— 6 2n , z6 =640 , z6 = (-1+-4 i) =1,0_1, 6 1, 2 3

10)

Z3 =

1

2 )-1862

k i)

k= o

(a) 1 n , 1 5 4

4 7c

;11. . Z[111

(c)

4

.

.j119

•

12

(b) 1„ 6

,

15 -6-n

(d) 1 0

,

12

13

,

—TI

,

14

1

3

,

(e) 10

11)

(b) 1„ S

,

(c) W1) o

1,

14 -á re

,

1,

,

,

13

(f)

- rt 2

1 „

,

3

6

12 3

,

1 n

, 13

,

1„ -2-

,

17 III

.

1, MI

NÚMEROS COMPLEJOS • 339

6a).

eje imaginario

z2=

1

+i>r -

Z 4 =1 ►

eje real

-4• Z3 = - 4 i II m(z)

II m(z)

(b)

Tile(z)

-1

2 he(z)

II m(z)

II m(z)

(d) ,

,

-, 1

J2,1

-

• 1,2;

Re(z)

1

Re(z)

11 m(z)

II m(z)

(h)

(g) n/4

TE

6 Re(z) n/4

91 POLINOMIOS

9.1. INTRODUCCIÓN En el Capítulo 2 se han estudiado las expresiones algebraicas y en particular los polinomios: las operaciones, divisibilidad, cero o raíz de un polinomio, el Teorema del Resto y la Regla de Ruffini, la ecuación de segundo grado y la descomposición factorial del polinomio de segundo grado en factores de la forma: ax2 +b x+c = a (x—x i ) (x — x 2 )

(1)

donde x 1 y x 2 son las dos raíces de la ecuación a x 2 + b x + c = O, dados por:

(2)

xi

— b+Vb 2 -4 ac 2a

x2

— b—VID 2 —4 a c 2a

Por otro lado, el polinomio de primer grado a x + b tiene la descomposición factorial elemental siguiente:

a x+b=a (x—x 0 ) ,

(3)

b donde xo = -- es la raíz o solución de la ecuación a x+b =O a

A continuación se verá, como tema central, el cálculo de los ceros o raíces y la descomposición factorial de un polinomio de grado n 3 (para los casos n = 1 y n = 2 el resultado es dado por (3) y (1), respectivamente). Previamente se dará un resumen de las propiedades básicas, algunas ya vistas en el Capítulo 2, que serán de gran utilidad en todo lo que sigue.

9.2. ALGUNAS NOCIONES BÁSICAS Sea x una variable para la cual están definidas sus potencias, los casos de interés resultan cuando x E R 6 X

E C:

(4)

X° = 1,

1 X = X,

X

2

= X X,

X

3

= X X X, ...

1

342 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Definición 1. 1) Se llama polinomio complejo (real) en x de coeficientes ao ,

a la expresión

siguiente:

P(x)=a, x n

( 5)

xn-1 +...+a 1 x + a„ =

donde a, E C (a, E R) son los coeficientes, e i = 0,1, ... ,n , y x es la letra ordenatriz o variable. 2) Se dice que el grado del polinomio P, se nota gr(P) es m si y sólo si m es el mayor exponente de la variable x que aparece en la expresión con coeficiente no nulo, es decir : (6)

gr(P)= m<=> a rn 0 A ai = 0,

> rn

3) Se denomina valor del polinomio P en a, se indica por P(a) cuando en la expresión de P se sustituye el símbolo x por un número complejo a, por tanto x' por a', número complejo :

i = 0,1,

n y se obtiene el

a a' E C =0

4) Un número complejo a E C es un cero o raíz del polinomio P = P(x) cuando P(a) = 0.

Observación 1. 1) De acuerdo a 3) de la Definición 1, cada polinomio puede interpretarse como una función, llamada función polinómica. n

P: —> / P(x) = a i i=0

( 7)

2) Si P(x) es un polinomio real, es decir, a, E R, d i = 0,1, una función real P : R

n, entonces P puede pensarse como

R, es decir P(x) E R, d x e R.

Definición 2. Se nota con C[x] (í[x]) al conjunto de todos los polinomios en la variable x con

coeficientes complejos (reales).

Ejemplos. 1) Sea P(x)= ix 2 + 2 x —1. Entonces se puede definir A saber:

P(1) = i + 2 —1= i +1 ;

P(i)=ii 2 +2 i-1=—i+2 i-1=-1+i

p:

C / P(x) = ix2 + 2x —1, d x E C.

POLINOMIOS • 343

2) Sea P(x)= x 2 +2x —1. Entonces se puede definir P : lig -->1171 / P(x)= x 2 + 2 x —1, V x E R. A saber: P(1) = 1 — 2 — 1 = 2

También se podría definir p :C —> C / P(x) = x 2 + 2x-1, V x E C. A saber:

P(i)= i 2 +2i —1= —2+ 2i . n

Definición 3. Sean los polinomios P(x) =

i=o

m

x' y Q(x)= b i x', donde a n O con a i = O Vi > n, i=o

y ID, O con b i = O Vi >m

1) Se dice que P = Q <=>

gr(P) = gr(Q) (es decir : n = m) ai = b i , V i = O,

,n.

2) Se define la suma P + Q y el producto P. Q de los polinomios P y Q de la siguiente manera :

(8)

(P + Q)(x) = P(x)+Q(x)

ma r

(a; +b;) ,

i=0

(P• Q)(x) =P(x) • Q(x) =

(9)

i=0=0

bi x

3) Se define la división P : Q de los polinomios P y Q de la misma manera que fue realizada en el punto 2.2 del Capítulo 2.

Proposición 1. El grado de un polinomio tiene las siguientes propiedades :

(i)

gr(P + Q)

Max (gr(P), gr(Q))

(ii)

gr(P.Q) = gr(P) + gr(Q)

(10)

n.

m

Demostración. Sean los polinomios P(x) = la ; x' y 0(x) = 1,1D i xi ,donde a n O con a i = 0,

i=o

i=o

Vi > n, y b n., O con b i = O Vi > m. a) De la definición de suma se deduce que el exponente del término de mayor grado del polinomio P + Q es menor o igual a max(n, m). Más aún, cuando los grados de los polinomios P y Q son distintos (es decir n m) entonces siempre vale el signo igual. En cambio, cuando los grados de los polinomios P y Q son iguales (es decir m = n) entonces:

11111

111

I

344 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA •

vale el signo igual si y sólo si a n + b n O,

•

vale el signo menor si y sólo si a n b, = O

b) De la definición de producto se deduce que el término de mayor grado de P Q está dado por a n b m x' con coeficiente a n b m

O y por tanto se tiene (10ii).

Lema 2.1) El conjunto C[x] con la suma y el producto de polinomios es un anillo con unidad, es decir:

a) (C[x], +) es un grupo conmutativo en el cual el elemento neutro está definido por (11)

0(x) = O, V XEC

y el elemento opuesto de P(x) = i=0

(12)

a, x' está definido por

(—P)(x) = — P(x)= (— a i )xl. i=0

b) El producto verifica la propiedad asociativa y conmutativa, es decir: (i) P.Q=Q.P (es decir : P(x) Q(x)= Q(x) P(x), V x EC) (ii)) (P . Q). S = P (Q P) (es decir : (P(x) Q(x)) S(x) = P(x)(Q(x) S(x)), V x E C) c) Se tiene la propiedad distributiva del producto respecto de la suma de polinomios, es decir : P. (Q + S) =P.Q+P.S (es decir : P(x) (Q(x) + S(x)) = P(x) Q(x) + P(x) S(x), d x E C) d) Existe el polinomio identidad I E C[x], definido por: (13)

1(x) =1 , VXEC ,

de manera que se tiene: P .1 =1.P. P ,VP E C[x] (P(x) 1(x) = 1(x) P(x) = P(x) , V x EC, V PEC[x]) 2) Además, se tiene la ley de anulación del producto: (14)

P.Q=OP= 0 ó Q=0

es decir : P(x) Q(x) = 0, V x EC = P(x) = 0, V x EC

ó Q(x) = 0, V x E C.

Observación 2. No existe, en general, el inverso para la operación producto. ¿Cómo deben ser los polinomios P y Q para que se tenga P . Q = I, es decir P(x) . Q(x) = 1, V x EC?

POLINOMIOS • 345

Como caso particular de la división entre dos polinomios, ver Capítulo 2, se tiene el cociente de un polinomio por otro de primer grado de la forma (x - a) (con a EC). En este caso, los coeficientes del polinomio cociente C(x) y el resto R, que es un número real o complejo, pueden calcularse a través de la Regla de Ruffini (es imprescindible que el polinomio dividendo P(x) esté completo. Por otra parte, el Teorema del resto y sus consecuencias, ya vistas en el Capítulo 2, serán de gran utilidad en lo que sigue. En particular conviene resaltar el siguiente resultado, ver Capítulo 2:

Proposición 3. 1) La condición necesaria y suficiente para que un polinomio complejo P = P(x) E C[x] sea divisible por el binomio (x - a) (con a EC) es que el resto de la división de P(x) por (x - a) sea R = O. En este caso, se tiene que:

(15) 2) Sea P

P(x) = (x - a) C(x) .

E C[x].

a

Se tienen las siguientes equivalencias :

EC

es un cero o raíz del polinomio P = P(x) <=> P(a) = O <=>

<> el resto R de la división de P por (x - a) es R = O <=> <=> P(x) = (x - a) C(x) donde C(x) es el polinomio cociente de la división de P(x) por el binomio (x - a)

9.3. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO

Para polinomios sobre el cuerpo de los números complejos vale el siguiente, su demostración no está al alcance del presente curso: Teorema Fundamental del Álgebra. Todo polinomio de grado n 1 admite una raíz compleja. Teorema de Descomposición Factorial. Todo polinomio complejo P(x) =

=0

x' de grado n 1

admite una única descomposición factorial de la forma : (16)

P(x) = a n (x — oc i ) m ' (x — a 2 ) m2 ... (x — a r )m `

donde an es el coeficiente del término de mayor grado en P y tienen multiplicidades (cantidad de veces que son raíces) (17)

m1+

, U r son r raíces distintas de P que

, mr , respectivamente, de manera que

mr = n

Demostración. Por el Teorema Fundamental del Álgebra el polinomio P(x) admite una raíz en C con ) m, lo cual P(x) es dvisible por (x - a 1 ). Sea m 1 el mayor entero de manera que P(x) sea divisible por (x — a i . Tal entero m 1 existe y se tiene que 1 m 1 n. Si se indica con C 1 (x) al polinomio del cociente de la división de P(x) por (x — a i )m' , es decir:

11

346 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

P(x) = (x —Ger

,

que tiene por grado a gr(C 1 ) = n - m 1 < n Si gr(C 1 ) = O se concluye el procedimiento. De lo contrario, repitiendo para C 1 (x) el mismo razonamiento realizado para P(x) se deduce que: Ci(X) = (X - OC2) m2 C2 (X)

con gr(C2) = gr(C 1 ) - m 2 = n (m 1 + m2) < n .

Si gr(C2) = O se concluye el procedimiento, de lo contrario se lo repite inductivamente hasta obtener un polinomio C r de grado gr (C r) = O (es deir, C r es una constante), en cuyo caso se tendrá: P(x)

=

(x — a l ) m1 (x — 0(2 ) m2 ... (x — oc r ) mr C r

con n = m 1 + m2 + + m r por cuestión de grado. Si se efectúan los productos y se igualan los coeficientes del término de grado n se tiene que: Cr = an E e La unicidad de la descomposición se demuestra suponiendo que existe otra descomposición de la forma:

p(x)-p(x-131) ni (x

R2 )n2

(x — P8 r 8 •

Igualando los términos de grado n en ambas expresiones de P, se deduce que f3 = a n Por otro lado, como oc i es raíz de P debe ser necesariamente igual a algún p i , y por ser la multiplicdad m

mayor entero para el cual el polinomio P es divisible por (x — a i ) m ' se tiene que m debe ser igual a n j . Repitiendo el proceso se deduce la unicidad. ,

Corolario 4. Todo polinomio complejo de grado n tiene exactamente n raíces complejas, contadas cada una con su correspondiente multiplicidad. Siguiendo una metodología análoga a la anterior, se deduce una propiedad que resultará muy útil desde el punto de vista práctico.

Lema 5. Sea P ce[x] de grado n 2. Si a es una raíz de P entonces las restantes raíces de P son las raíces del cociente que se obtiene al dividir P(x) por (x - a) Demostración. Si a es una raíz de P entonces P(x) = (x

C(x). Si p es una raíz de C, entonces

C( (3) = O y por ende PG3) = ( (3 - a) Cu3) = O, con lo cual p es también raíz de P

POLINOMIOS • 347 Como gr(C) = n - 1, C tiene n - 1 raíces y como faltan encontrar (n - 1) raíces de P, éstas son exactamente todas las raíces de C.

9.4. POLINOMIOS A COEFICIENTES REALES Todo lo dicho anteriormente se aplica a polinomios con coeficientes reales, como caso particular. Se verán ahora algunas propiedades particulares que solamente son válidas para polinomios reales. n

Sea P(x) =

=o

a, x'

Teorema 6. Si 9(

E

EC

R[x] un polinomio a coeficientes reales (es decir

ai E

R,

i = 0,... , n)

es una raíz de P entonces Ec es también raíz de P.

Demostración. Como á, = a, E R, d i = O, ,n , y teniendo en cuenta las propiedades de la operación conjugación de números complejos, se deduce que :

(17)

•

n

n

P(05) =(14 = i= o

n•

a' = Ia ; a = i.o

i=o

ai P(a) =

5=o,

i=o

con lo cual Et es raíz de P. De esta importante propiedad se deducen algunas consecuencias : Corolario 7. 1) El número de raíces complejas de un polinomio real es par ; 2) Todo polinomio real de grado impar admite al menos una raíz real ; 3) En la descomposición factorial de P los factores (x — a) (x — U) con a e C pueden reemplazarse por la forma : L.. X2 ±UX+ C

con b, c E 51

Demostración. 1) y 2) surgen inmediatamente del hecho que las raíces complejas vienen de a pares 3) Se tiene la igualdad (x - a) (x - •7(,) = x 2 - (a +17c)x + aiTc = x 2 - 2 Ille(a)x + a

,

con lo cual b = — 2111e(a) E R, c=larER

9.5. EL CÁLCULO DE RAÍCES

'c

Sólo se desarrollarán algunos métodos simples que permiten realizar cá ulos para casos particulares. Se conoce que para polinomios de grado 1 y 2 existen fórmulas que permiten calcular sus respectivas raíces. También existen fórmulas con radicales que permiten calcular las raíces de los polinomios de grado 3 y 4,

I 11

348 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

las cuales no son tan simples como para los grados menores 1 y 2 y, por tanto, no se desarrollarán en este curso. Por otra parte, se debe resaltar que todo polinomio de grado mayor o igual a 5 no es resoluble por radicales, es decir, no existen fórmulas para el cálculo de sus raíces. El problema se complica enormemente cuando hay raíces complejas y por supuesto si los coeficientes son además complejos. Por tanto, se consideran solamente los polinomios a coeficientes reales.

Á Raíces Racionales de Polinomios a Coeficientes Racionales

Sea P(x)

E

R[x] un polinomio real de grado n a coeficientes racionales:

ai =

,

qi

= 0,1

,

n

Si se define:

=rncrn(qo , q -i ,

qn)

entonces el polinomio P puede expresarse de la siguiente manera :

P(X)

xi i=0

i=0

=1-r(x)

qi

3

donde el polinomio T(x) que viene dado por : S , con b i = pi —

T(x) = i=0

EZ

=

0,1, ... , n

qi

resulta ser un polinomio a coeficientes enteros b i , V i = 0,1, ... , n. Con lo cual, para el estudio de las raíces, se puede restringir el estudio a polinomios reales a coeficientes enteros pues las raíces de P y T son iguales. Se tiene el siguiente teorema que da condiciones necesarias para que un número racional sea raíz de un polinomio real a coeficientes enteros: n

Teorema de Gauss. Sea P(x) = Za i x'

E

Einx] un polinomio real a coeficientes a l E 7L ,

i=0

P (p y q enteros y primos entre sí, con q 0 ) es raíz de P(x) entonces : i = 0,1, ... , n. Si —

(18)

(i) ao es múltiplo de p ; (ii) a, es múltiplo de q P

Demostración. Si — es raíz de P(x) entonces P

= 0 , es decir:

POLINOMIOS • 349

an

(19)

Pn

nq

+

an_l qn _ i +...+

- +ao =0

y por consiguiente: (20)

an Pn an-i P n-1 q+...+ a1

p qn-1 + ao qn =0

a) Si p = O en (20) entonces a o q n = 0, es decir, a o = 0, y por ende la propiedad es válida. Si p 0, de (20), se deduce que : ao a" = an Pn ±an-i P n-1 q+...± a 1 P4

,n-i + 1-•

v

,n-2 1-'

q + + al q n-i]

es decir,

(21)

- ao q n an p n1

+ an 1 p n-2

q + ...+

q n-i

ez

con lo cual ao debe ser múltiplo de p pues al ser p y q primos entre sí lo mismo sucederá para q" y p. b) De (20) se deduce que: an P n = an-1 P"

-1 q+... + a1 pqn-1 + ao q n

q

[an-1

...+ a1 pq n-2 +...+

+a0 q n-11

es decir,

(22)

an

pn= a n_1 pn-1+...+a 1 pqn-2

q

-r 140

- n-1 E Z ,

con lo cual an debe ser múltiplo de q, pues al ser p y q primos entre sí lo mismo sucederá para p" y q.

Definición 4. Un polinomio se dice mónico si el coeficiente del término de mayor grado es 1, es

decir, n P(X)=- Za i Xi

es mónico <=> a n =1 .

i=o Corolario 8. Todas las raíces racionales de un polinomio mónico a coeficientes enteros (racionales)

son enteros.

Demostración. Como an =1, entonces todos los posibles valores de q para posibles raíces racionales

son q = ±1, de donde surge que todas las posibles raíces racionales son enteras.

350 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

Para calcular las raíces racionales de un polinomio real a coeficientes enteros (racionales) se procede primero a calcular las posibles raíces racionales de acuerdo al Teorema de Gauss y luego una verificación con cada una de ellas, a través de la Regla de Ruffini, permite resolver el problema. Se resalta que siempre conviene comenzar calculando con los valores enteros para luego seguir con los fraccionarios. Además, una vez obtenida una raíz se debe tener en cuenta que las raíces restantes son las raíces del polinomio cociente. Es importante continuar con el polinomio cociente por las siguientes razones: (i) para poder detectar las raíces dobles, triples del polinomio original ; (ii) se abrevian los cálculos pues se trabaja con un polinomio de un grado menor ; (iii) si gr(p) = n y por algún método se logró detectar (n - 2) raíces, por aplicación reiterada del procedimiento anterior, entonces se llega a un cociente que es un polinomio de grado 2 que contendrá las restantes dos raíces. Para dicho polinomio de segundo grado, sus raíces se calculan por la resolvente de la correspondiente ecuación de segundo grado. A través de este procedimiento se pueden hallar, cuando existen, las dos raíces complejas, una conjugada de la otra, del polinomio dado. En caso contrario, las raíces complejas, como asimismo las irracionales, son difíciles de detectar. Ejemplo. Se desea calcular las raíces del polinomio: P(x ) = x4 —3x 3 —3x 2 +11 x — 6

para el cual se tienen, n=4

=a 4 =1

a c, = — 6

Por tanto, las raíces racionales, si existen, deben hallarse entre las siguientes : posibles p:

±1

,

posibles q:

+1

,

±2

,

±3

,

±6

±1 ±3 , ±6 posibles P —.. , ±2 , q P , comenzando por Se aplica entonces la Regla de Ruffini para cada una de las posibles raíces — a = 1: q 1

-3

-3

11

-6

1

-2

-5

6

1

-2

-5

6

O

1

1

-1

-6

1

-1

-6

1

1

0

-

—> (1 es raíz)

(1 es nuevamente raíz)

1

1

--> (coeficientes del polinomio P)

0

--> (1 es raíz doble)

POLINOMIOS • 351 Se detectó que a, = 1 es raíz doble y que el polinomio cociente resultante es el dado por C(x) = x2 - x - 6. Como C es un polinomio de segundo grado, aplicando la resolvente se obtienen las restantes dos raíces: 1+,/1+24 1 ±5 2 2 es decir: a 2 = 3 y a 3 = —2 , con lo cual la descomposición factorial del polinomio P está dada por : P(x) ( x — 1)2 (x — 3) (x + 2)

A continuación se verán otras condiciones necesarias para que exista una raíz entera de un polinomio a coeficientes enteros.

Teorema 9. Si xo es una raíz entera del polinomio P(x) a coeficientes enteros, entonces : 1) (xo - 1) es un divisor de P(1); es decir, que P(1) es múltiplo de (x 0 -1) ; 2) (x0 + 1) es un divisor de P(-1); es decir, que P(-1) es múltiplo de (x 0 + 1) . Demostración. Si xo E7L es una raíz del polinomio P(x) entonces que P(x) = (x - x o) C(x) donde C(x) es el polinomio cociente de la división exacta del polinomio P(x) con el binomio (x - x 0). Los coeficientes de C(x) son números enteros debido a que x o y los coeficientes de P(x) son también enteros. Por lo tanto, si se calculan los valores de P(x) para x = 1 y x = - 1 se obtienen : P(1) = (1— xo ) C(1) = [— C(1)1(x 0 —1) , P(-1) = (-1— x 0 ) C(-1) = [—C(-1)](x 0 + 1) ,

de donde surgen las conclusiones (i) y (ii) al ser - C(1) EZ y - C(-1) EZ

Observación 3. Una aplicación de las dos propiedades anteriores consiste en utilizar la proposición contrarrecíproca, es decir: 1) Si (x0 - 1) no es un divisor de P(1), entonces x o no es una raíz de P(x) ; 2) Si (x0 +1) no es un divisor de P(-1), entonces x o no es una raíz de P(x)

Observación 4. Como 1 y -1 son siempre posibles raíces racionales de P se aconseja calcular en primer lugar los valores de P(1) y P(-1). Si P(1) = O entonces 1 es raíz de P y la consecuencia 1) no dice nada pues cualquier número es divisor del cero. En caso contrario, es decir cuando P(1) O, a través de 1) se pueden descartar como raíz algunas de las posibles raíces enteras detectadas a través del Teorema de Gauss. En forma análoga, si P(-1) = O entonces -1 es raíz de P y la consecuencia 2) no dice nada.

352 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

En caso contrario, es decir cuando P(1) # O, a través de (ii) se pueden descartar como raíz algunas de las posibles raíces enteras detectadas a través del Teorema de Gauss.

A Cálculo Aproximado de Raíces Reales

Sea P(x) un polinomio real a coeficientes enteros. Se consideró previamente el estudio de las raíces racionales exactas. Ahora se intentará acercarse, de algún modo, a las raíces reales. Nuestro interés particular reside en la aproximación de las raíces irracionales, pues para las raíces racionales se ha visto, en el párrafo anterior cómo se detectan y se calculan. Este procedimiento puede ser dividido en tres etapas: 1) Acotación de las raíces reales : consiste en encontrar un intervalo del eje real en el cual estén contenidas todas las raíces reales ; 2) Separación de las raíces reales : consiste en encontrar intervalos más pequeños de manera que cada uno contenga una sola raíz real ; 3) Aproximación de las raíces reales : consiste en aproximar a las raíces irracionales tanto como se desee, una vez que la correspondiente raíz haya sido separada.

• Acotación de las raíces reales

Esta etapa consiste en encontrar un intervalo cerrado [ ,L] del eje real en el cual estén contenidas todas las raíces reales, en principio, tanto las racionales como las irracionales.

Definición 5. Sea P

1) L

EH

E R[x]

a coeficientes enteros. Entonces :

es una cota superior de las raíces de P e> toda raíz real a de P satisface a < L e> <4. P(x)

O, V x > L

2) X ER es una cota inferior de las raíces de P e> toda raíz real a de P satisface P (x )

2 r4.

O, V x <

Teorema de Laguerre Thibault. Sean P ER[x] de grado n_?_ 1 y L> O. Si en la división de P(x) por el binomio (x - L), el resto es no negativo y el polinomio cociente tiene todas sus coeficientes no negativos y no nulos simultáneamente, entonces L es una cota superior de las raíces reales de P. Demostración. Sean R O el resto y C(x) el polinomio cociente de la división de P por el binomio

(x - L), es decir, P(x) = C(x) (x - L) + R. Si gr(P) = n entonces gr(C) = n - 1 que por hipótesis satisface: C(X)= C

X+Co

POLINOMIOS • 353

con C, O ,

Por lo tanto,

V i = 0,1, ... ,n — 1, no todos simultáneamente nulos.

a > L se tiene: P(a) = —L) C(a)+ R > O

es decir que a no es raíz de P, con lo que L resulta ser cota superior de las raíces de P.

Observación 5. Si el resto R = O y todos los coeficientes del polinomio cociente C son no negativos y no todos nulos simultáneamente, entonces la cota superior L es además un cero de P.

Observación 6. En la práctica se "prueba" con valores naturales de L comenzando de 1.

Observación 7. Si el coeficiente de la mayor potencia de P es negativo, es decir a, < 0. entonces se tendrá siempre que C n _ 1 < O cualquiera sea el número L > O utilizado. Para evitar este inconveniente, en lugar del polinomio P se utiliza el polinomio opuesto - P que tendrá ahora como coeficiente de la mayor potencia al número - a, > O y por lo tanto eligiendo un L > O adecuado se caerá en las hipótesis del teorema anterior para detectar una cota superior de las raíces reales. Esto se justifica debido al hecho que los polinomios P y - P tienen las mismas raíces. Este mismo procedimiento permite calcular una cota inferior X, de las raíces reales de P. Dado P

E

R[x], se define el polinomio Q (24)

E

R[x] de la siguiente manera : Vx

Q(x)= P(— x)

Lema 10. El polinomio Q tiene las siguientes propiedades : 1) gr(Q) = gr(P) ; 2) Las raíces de Q son las raíces de P cambiadas de signo, es decir : (25)

aes raíz de O <=> (—a) es raíz de P .

Demostración. Sea P el polinomio:

ai = a 0 +a, x + ...+ a n x n .

P(X) = =o

Entonces el polinomio Q viene dado por: n

(26)

Q(x) = P(—x)= I a, =o

n

=r iai(-1)ii i=o

n

v, i=o

x' = L ID, x'

1, 11 n1

Ik!

1141

1 111111

354 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA donde sus respectivos coeficientes b,, d i = 0,1,

al (27)

si

, n están expresados por :

i es par ,

b= — a l si

i es impar .

a) Como b r, = ( 1) n a n O entonces gr(Q) = gr(P) = n. b) a es raíz de Q <=> 0( a) = O <=> P( a ) = 0 .4=> - a es raíz de P -

-

Corolario 11. Si 12 es una cota superior de las raíces reales deQ entonces k= —L' es una cota inferior de las raíces reales de P. Demostración. Si 12 es una cota superior de las raíces reales de Q entonces Q(x) 0, d x > , es

decir, P ( x) O, d x > =

—

?.. Por lo tanto se tiene (llamando z = - x) P(z)

con lo cual

, Vz <

es una cota inferior de las raíces reales de P

Observación 8. El conocimiento del intervalo [ ,L] permite desechar como raíces del polinomio a

todas aquellas posibles raíces racionales (dadas por el Teorema de Gauss) que no se encuentren en dicho intervalo. • Separación de raíces reales

Los métodos de separación y de aproximación de raíces se basan fundamentalmente en el siguiente resultado : Teorema de Bolzano. Si un polinomio P E R[x] asume valores de distinto signo en los extremos de un intervalo [a,b], es decir: P(a) P(b)
• Aproximación de raíces reales. Método Dicotómico

Si se supone que el polinomio P E R[x] a coeficientes enteros tiene una raíz real a en el intervalo (a,b), obviamente se supone que a es irracional pues si a fuese racional se lo podría detectar a través del Teorema de Gauss y la Regla de Ruffini, se desea determinar la misma con un error menor que cierto número dado.

POLINOMIOS • 355

Sean P(a) > O y P(b) < O como en la figura siguiente y se considera un c E(a,b), generalmente, a +b : se calcula P(c). Si P(c) = O entonces la 2 raíz buscada es a = c ; en caso contrario, según sea el signo de P(c) se tendrá el intervalo más pequeño en el cual se encontrará la raíz. Si P(c) > O entonces la raíz se encuentra en el intervalo (c,b), si fuese P(c) según el método dicotómico, se elige el punto medio c =

< O entonces la raíz se encontrará en el intervalo (a,c).

P(a) > O

P(c) > O

a

c

d

b

1 P(d) < O P(b) < O

1

Se continúa con el procedimiento con el intervalo (c,b). Entonces se elige d E (c,b), generalmente el c+ , y se calcula P(d). Si P(d) = O entonces a= d es la raíz buscada. Si P(d) < 0, 2b respectivamente P(d) > 0, entonces la raíz buscada se encuentra en el intervalo (c,d), respectivamente (d,b).

punto medio d =

Si se supone que luego de un número finito de pasos la raíz a está en el intervalo, suficientemente pequeño, (a 1 ,a 2 ), entonces el proceso anterior se suspende y se elige como raíz aproximada el punto medio de dicho intervalo, dado por: a * = al + a2 e (al,

(28)

2

a2

)

El error E que se comete no puede calcularse exactamente (pues no se conoce el valor exacto a) pero sí puede acotarse como: -01 1 E = la - a *1i < a 2

(29)

2

al

a

a*

a2

Observación 10. La acotación anterior puede utilizarse para saber en qué momento se debe interrumpir el proceso dicotómico. Por ejemplo, para tener una raíz aproximada con un error menor a 0,01 se debe aplicar el método dicotómico hasta obtener un intervalo de separación (a 1 ,a 2 ) de la raíz buscada

con una amplitud a 2 — al = 0,02. Ejemplo. Sea P(x) el siguiente polinomio, es el polinomio P3 del problema 7: P (x) = 6x6 —11x 5 + 26x4 — 39x3 + 6x 2 + 20x — 8

1■ 111.

I

101

li

11,ii

I

356 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA que tiene las siguientes posibles raíces racionales: ±2,

±1,

1 1 + _ + _ 3' 6'

±4,

±8,

1 ±— 2'

2 +_ 3'

4 +_ — 3'

+8 _ 3

Se utiliza la Regla de Ruffini para detectar cotas superiores de las raíces de P(x) y de Q(x) = P( x):

coeficientes de P

6 2

11

26

12

2

1 28

6

- 39 6

20

56 34 80 17 40

-8 200

100 192

con lo cual L = 2 es una cota superior de las raíces de P.

Coeficientes de Q

6 1 6

11

26

39 6

-20

-8

6

17

43 82

88

68

17 43

82 88

68

60

con lo cual X = 1 es una cota inferior de las raíces reales de P. Por lo tanto, las posibles raíces racionales de P están dadas por :

±1,

1 +_ 2

1 +_ —3 '

1 +_ 6 '

±2 3 '

+4 _ 3

Debido al hecho que P(-1) = Q(1) = 60 = O y como 8 + 1 = 9 no es divisor de 60 se tiene que 8, una de las posibles raíces de P, no es raíz de P; lo cual también puede deducirse, en forma más simple, por el hecho de que 8 no se encuentra en el intervalo ( X ,L) = ( -1,2) Aplicando la Regla de Ruffini a cada una de las posibles raíces, se obtiene la siguiente descomposición factorial de P:

P(x) = 6 (x —1) 2 (x — — 21 ) (x + — 23 ) (x + 2i) (x — 2i) , o en forma equivalente, en el cuerpo de los números reales, dado por:

P(x) =6 (x —1) 2 (x —

(x + 1) (x2 + 4)

POLINOMIOS • 357

Trabajo Práctico

1) Dado los siguientes polinomios P(x) = x 4 — x 3 + i x — 2 + i ,

Q(x) = x 2 + (1+ x +1 ,

R(x) = x 3 + 2 i x + 1 ,

s(x)= x 5 +(i-i) x

,

calcule las expresiones : (a) 2 PQ— 3 R+S ,

(b)PRS+ 2 Q

(c) 3(Q+S)+ 2 R,

2P (d) --R— ,

S (e) 7 11—Q,

(f) R(2 Q 2 — P) — S

2) Halle los valores de a, b E e para que los siguientes pares de polinomios sean iguales : (a) x3 — 3 x 2 + x — 3 ,

(x — 3) (x + a) (x + b);

(b) (2 i x 2 + a) (x 3 +b x + 3 i) ,

2 i x 5 + (1+ 2 i) x 3 —6x 2 + x + 3 i;

(c) x3 -3x+2 ,

(x + a)(x + b) 2

3) Aplicando la Regla de Ruffini, calcule el resto y el cociente de la división de los siguientes polinomios por (x - x0), donde xo es el valor indicado : (a) 2 ¿-3 x 4 + x 2 — 1 ,

x0 = 4, 5,-1, 2,— 3, i;

(b) x4 +i x 3 +i x+1 ,

xo =

i, 1,-1, 3

4) Halle, aplicando el Teorema del resto, el valor que toma el polinomio P(x) para los valores enteros de x comprendidos entre - 5 y 5

5) Halle un polinomio que tenga las siguientes raíces : (a) 1 como raíz doble y -1 como raíz triple ; (b) 2, 3, - 5 como raíces simples y - 2,1 como raíces dobles ; (c) 2, 1 + i , 1 - i como raíces simples.

x4 _ x3 + x2 + x _ 1

l

1

I

358 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

6) Determine el valor del m ER de manera que x 1 sea raíz del polinomio dado ;

(a) Pi (x)= 2 x4 — x 3 +2 x 2 +m x-1, (b) P2 (X) = -X 5 + X 3 -I-

x1 = 3; x 1 =1

3 x 2 + x—m,

7) Sean los siguientes polinomios a coeficientes enteros : Pi (x)= x 5 —4 x 4 +7 x 2 —40 x-1 ;

P2 (x)= 8 x 3 +22 x 2 —7 x — 3 ;

P3 (x)= 6x 6 —11x 5 +26 x 4 — 39 x 3 +6 x 2 +20 x — 8 ; P4 (x)= 4 x 7 —16 x 6 + 21 x 5 — 5 x 4 -10 x 3 +6 x 2 +x-1; P5 (x)= x 5 +2 x 4 +2 x 3 — 3 x —2 ;

P6 (X) = X 4 -

6 x 3 + 9 x 2 + 24 x — 52 ;

197 (x)= x 3 —6 x 2 +12 x-8;

P8 (x)=x 5 —x 3 -2x

(a) Calcule una cota superior y una cota inferior para las raíces de los polinomios ; (b) Escriba los posibles ceros racionales de los polinomios. Elimine aquellos posibles ceros utilizando las cotas obtenidas en la parte (a) y el Teorema 9 ; (c) Hallar los ceros racionales de los polinomios ; (d) En el caso en que se determine una raíz real (no racional) en algún intervalo de números reales, aproxímelas al centésimo ; (e) En los casos posibles, determine la descomposición factorial de los polinomios . 8) (a) Calcule m por el binomio (x - i) ;

E ft

de manera que el polinomio P(x) = x 4 —4 x 3 +6 x 2 —m x + 5 sea divisible

(b) Para el valor de m hallado, descomponga factorialmente el polinomio dado.

POLINOMIOS • 359

Respuestas Trabajo Práctico

1) (a) 2x 6 +(1+2 0 5 -2 1)(4 +5+2 0 3 +6+4 0 2 +5-7 (b) X12 -

x11+ 2 i x10+0-0

;

x 9 - 2 x s —3 x7 —i x 5 + (-3 + 3 i) x 4 + (-1+ 5 i) x 3

2 +(-2+7 x + 2 + 4 i;

+(—3i)x

(c) —x 7 —(1+i) x 6 +2 x5 + (1+ i) x 3 + (1+ i) x 2 + (4 + 6 1) x + 5 —2 i ;

(d) 2x-2+

-4 ix 2 +(-2+6 i)x-2+2 X3 +2 IX+1 •

—x 2 +(-3

(e)

x+1

3 x +2 i x+1

0+0 X-1-2 i ;

(f) x7 +(5+4 i)x 6 +(3+6 i)x 5 +(-3+13 0( 4 +0+1103 +2+12 i)x 2 +(5+12 i)x+4

2)

3)

(a) a = i (b) a = 1 (c) a = 2

b=i b=1; b = -1

A

a=-i

b=i;

(a) xo = 4 ,

C(x) = 2 x 4 + 5 x 3 + 20 X 2 + 81x + 324

x o =5 , C(x)= 2 x 4 +7 x 3 +35 x 2 +176 x + 880

R(x) =1295 ; R(x)= 4399;

x o = —1 , C(x) = 2 x 4 —5 x 3 +5 x2 —4 x + 4

x 0 =2 , C(x)=2 x 4 +x 3 +2 x 2 +5 x+10

x o = —3 , C(x)= 2 x 4 —9 x3 + 27 x 2 —80 x+ 240 x o =i

, C(x)=2 x 4 +(-3+2 x 3 +(-2-3 i) x 2 +(4-2 i)x+2+4 R(x) = —5 + 2 i ;

R(x)= —5 ; R(x) =19 ;

R(x) = —721;

1 II

1

111111111.1

Id&

1 141f

1

360 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

(b)

C(x)= x 3 + i

R (x) = 2 ;

xo =1

C(x) = x 3 +(1+1) x2 +(1+i) x + (1+ 2 i)

R (x) = 2 + 2 i ;

X0 = —1

C(x) = x3 + ( - 1+ i) x2 + (1 — i) x + ( - 1+2 i)

R (x) = 2 - 2 i ;

x0 = 3

C(x) = x 3 + (3 + Ox 2 + (9 + 31) x + (27 +10 i)

R (x) = 82 + 30 i

X o =— i

4)

R (x) = 2 ;

C(x) = x3 +2 i x2 — 2 x

xo =

,

P(-5) = 769

P(-4)= 331

P(-3) =113

P(-2)= 25 ,

P(-1) =1

P(0) = —1

P(2)=13

P(3) = 65

P(4) = 211

P(5) = 529

(a)

P(x) = (x — 1) 2 (x + 1) 3 ;

(b)

P(x)= (x —2) (x-3) (x +5) (x + 2) 2 (x —1) 2

6)

(a)

m = 152 • 3

7)

P1:

(a) L = 5

,

= 3

(b) ±1

P2:

(a) L = 1

,

= -4

(d) ± 1, ± 1 , ± 1

5)

(b)

,

m=4

(c) no tiene

2

4

,

(d)

±1 + — 3 ,

8

2

1 8

±3 —3, ±3 8 4

1 (e) P2 (x). 8 [x — -1)(x + 3) (x+ —,) ; 2

P3:

(a) L = 2

1 (c) 1,- ;

2

4

?=- 1

4 (b) ±3

2

1 1 , 2, ± —, ±1, — , + 1 2 3 3 6

(e) P3 (x) = 6 (x — :21 ) (x-1) 2 (X +1) (X + 2 i) (x —2 i)

;

POLINOMIOS • 361

P4:

(a) L = 4

P5 :

(a) L = 1

,

k = -2

P6 :

(a) L = 6

,

= -2

=1

(e) P6 = (X -

8)

1 (b) ± 4 —

1 ±1, ± — ' 2

(b) ±1, 2

(e) P5 = (x -

(x + 1) 2 (x 2 + x + 2) ;

(b) ±1 ,2 ,4

(X + 2) (X - (3 + 2 i)) (x—(3-2 1)) ;

P7: (a) L= 7

,

=0

(b) 4 , 2 , 1

P8: (a) L= 2

,

= 2

(b) O

(a) m = 4 ; (b)

(e)P4 (x)= 4 (x-1) 5 (x+ 1) 2 ;

P(x) = (x — i) (x+i) (x — 2 — i) (x — 2 +

(e) P8 (x)=x

(e) 137 (x) = (x —2) 3 ; (x+-f2-) (x + (x—i)

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• J. SEVESO - G. FERRARINI, "Olimpíada Matemática Ñandú. Problemas" Vol. 1 (1994), Vol.2 (1994), Vol. 3 (1995), Vol. 4 (1996), Red Olímpica, Buenos Aires. •

A.SOIFER, "Les mathématiques par la résolution de problémes", Éditions du Choix, Argenteuil (1995).

• D. SOLOW, "Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas", Limusa, México (1993). 364

•

V.W. de SPINADEL, "Cálculo 1" y "Suplemento al Cálculo 1 ", Nueva Librería, Buenos Aires (1983).

•

S.K. STEIN, "Cálculo y geometría analítica, McGraw-Hill, México (1984).

•

E.W. SWOKOWSKI, "Álgebra y trigonometría con geometría analítica", Grupo Editorial Iberoamérica, México (1988).

•

D.A. TARZIA, "Cómo pensar, entender, razonar, demostrar y crear en Matemática", Parte 1 (23 páginas), Parte 11 (15 páginas), Departamento de Matemática, FCE, Universidad Austral, Rosario (1995).

•

D.A. TARZIA, "Matemática" Curso EGB, 3er, Ciclo Área Matemática, Programa Nacional de Capacitación Docente, Red Federal de Formación Docente Continua (Min. Educación Prov. Córdoba), Departamento de Matemática, FCE, Universidad Austral, Rosario (1996) (80 páginas).

•

D.A. TARZIA- N.D. GURRUCHAGA, "Operaciones", Curso EGB Bloque 2, 2do. Ciclo Área Matemática, Programa Nacional de Capacitación Docente, Red Federal de Formación Docente Continua (Min. Educación Prov. Santa Fe), Departamento de Matemática, FCE, Universidad Rosario (1996) (29 páginas).

•

J.A. TIRAO, "Matemática 1", Kapelusz, Buenos Aires (1985).

•

C.A. TREJO - J.E. BOSCh, "Ciclo medio de matemática moderna", Cursos 1, 2, 3, 4 y 5, EUDEBA, Buenos Aires (1977).

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E.P. VANCE, "Álgebra y trigonometría, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington (1986).

•

N. VÁZQUEZ de TAPIA - A. TAPIA de BIBILONE - C.A. TAPIA, "Matemática", Vol. 1, 2, 3, y 4, Angel Estrada, Buenos Aires (1980).

365

ÍNDICE ALFABÉTICO A continuación se explicitan las palabras claves que se han utilizado en el texto. El número indica el capítulo en el cual el concepto está definido o mencionado. Cuando todos los sub-ítemes pertenecen al mismo capítulo sólo se mencionará el correspondiente número para el respectivo ítem.

Abscisa, 3,6

Aplicación, 5

Absurdo, O

Arc cos, 4, 7

Altura de un triángulo, 4

Arc sen, 4, 7

Ampliación de un conjunto de números, 1,6

Arc tg, 4, 7

Amplitud de un intervalo, 6

Área, 4

Ángulo, 4

de un cuadrado

agudo

de un rectángulo

formado por dos rectas

de un triángulo

llano

rectángulo

negativo

Argumento coseno hiperbólico, 7

obtuso

Argumento seno hiperbólico, 7

positivo

Argumento tangente hiperbólica, 7

recto

Argumento de un número complejo, 7

Ángulos, 4

Asíntota, 7

alternos extremos

horizontal

alternos internos

vertical

colaterales

Base

complementarios

de un rectángulo, 4

congruentes

de una potencia, 1, 7

correspondientes

Bases de un trapecio, 4

iguales

Bisectriz, 4

suplementarios

Binomio de Newton, 5

Anillo con unidad, 9

Bolzano, 9

Antecedente, 5

Cantor, 5 367

Ab Ilw.ium

Cardinal de un conjunto, 5

segunda -

Cateto medio proporcional, 4

Composición de funciones, 5

Catetos de un triángulo rectángulo, 4

Común denominador, 2

Centro

Conclusión, O

de la circunferencia, 4 del entorno de un punto, 6

condición, O de paralelismo entre rectas, 7 de perpendicularidad entre rectas, 7

Cero de un polinomio, 2, 9 de una ecuación, 2 de una función, 7

Congruencia de triángulos, 4 Conjunto acotado, 6

Cevianas, 4

superiormente

Cifra, 1

inferiormente

Circunferencia, 4 trigonométrica, 4, 7 Cociente

cardinal de un complemento, 5 convexo, 7

de funciones, 7

de las partes de un conjunto, 5

de números, 1

de los cuadriláteros, 4

de polinomios, 2, 9

de los triángulos, 4

de potencias de igual base, 1

de números, 1

Codominio de una función, 5

complejos

Coeficiente

enteros

de un monomio, 1

irracionales

de un polinomio, 9

naturales

de una matriz, 3

racionales

Coeficientes binominales, 5

reales

Columna de una matriz, 3

de partida, 5

Complemento de un conjunto, 5

de llegada, 5

Completar el cuadrado, 2, 7

de soluciones, 5

Componente, 8

definición por extensión de un, -, 5

primera -

368

definición por comprensión de un -, 5

4

elementos de un -, 5

Coordenadas,

finito, 5

cartesianas octogonales, 3

imagen, 5

polares, 8

infinito, 5

Corolario, O

numerable, 5

cosecante, 4, 7

partición de un -, 5

coseno, 4, 7

referencial, 5

hiperbólico, 7

simétrico, 7

trigonométrico, 4, 7

universal, 5

Costos, 7

vacío, 5

Cota, 6

Conjuntos, 5 con potencia del continuo

inferior de un conjunto superior de un conjunto

diferencia de-

Cotangente, 4, 7

disjuntos

Cramer,3

equipotentes

Cuadrado,4

iguales

de un binomio, 2

intersección de-

de un trinomio, 2

numerales

lado de un -, 4

unión de-

mágico, 1

producto cartesiano de-

respecto de la suma

unión de-

respecto del producto

Consecuencia lógica, O

Cuadrantes, 3, 7

Consecuente, 5

Cuadriláteros, 4

Contracción, 7

Cuatrinomio cubo perfecto, 2

de un dominio

Cuerda de una circunferencia, 4

de una función

Cuerpo, 6

Contradicción, O

Curvas, 7

Contraejemplo, O

Datos, O

Convexo, 7

De Morgan, 5

conjunto-

Definición,1 a 9

369

por comprensión

entre dos números reales, 6

por extensión

entre dos puntos del plano, 7

Denominador, 1, 2, 6, 8

Dividendo, 1, 2

Descomposición factorial, 9

Divisibilidad de polinomios, 2, 9

Descuento, 2

Divisible, 2, 9

Desigualdad, 5

División

triangular, 6 Diagonal de una matriz cuadrada, 3

de funciones reales, 7 de números complejos, 8

de un paralelógramo, 4

de números reales, 1, 5

principal

de polinomios, 2, 6

secundaria Diagonalización de Cantor, 5

Divisor, 1, 2, 5 Dominio

Diagrama cartesiano, 3, 5, 7

de definición de una función real, 7

Diagrama de Venn, 5

de una función, 5

Diámetro de una circunferencia, 4

Dupla, 5

Diferencia

Ecuación

de conjuntos, 5

algebraica, 2

de funciones reales, 7

entera, 2

de números

fraccionaria, 2

complejos, 8

irracional, 2

reales, 1, 5

numérica, 2

de polinomios, 2, 9

literal o paramétrica, 2

Diferencia de cuadrados, 2

bicuadrada, 7

Dígito, 1

con dos incógnitas, 2

Dilatación, 7

con una incógnita, 2

de un dominio

de abscisas, 7

de una función

de primer grado,

Dirichlet, 7

con dos incógnitas, 3

Discriminante, 2, 7

con una incógnita, 2, 6

Distancia

370

de segundo grado, 3, 7

dominio de definición de una -, 6 equivalente, 2, 6 general de una recta, 7 explícita

Elevar al cuadrado, 2, 7 al cubo, 7

implícita segmentaria

Entorno, 6

grado de una -, 2

centro del-

incógnita de una -, 5

radio

irracional, 7

reducido

literal, 2, 3

Equivalencia, 0, 5

miembros de una -, 2

Error, 9

numérica, 2

Escalar, 7

paramétrica de la circunferencia, 7

Estricta, 5, 7

paramétrica o con parámetro, 2, 3, 7

Etapa, O

raíz de una -, 5, 7

de lo abstracto

solución de una -, 2, 5

de lo concreto

resolver una -, 2, 5 Eje

Exponente, 1 Expresión, 1

coordenado, 3, 7

literal

de las abscisas, 3, 7

algebraica

de las ordenadas, 3, 7

entera

imaginario, 8

fraccionaria

polar, 7

valor numérico de una -

real, 8 Ejemplo, O Elemento de un conjunto, 5

Extensiones de conjuntos,1, 6 Extremos de un intervalo, 6 de un segmento, 4

neutro, 1, 6

Factor común, 2

opuesto, 1, 6

Factorial, 5

recíproco o inverso, 1, 6

Factorización, 2, 9

371

de un polinomio

codominio de una -, 5

Falso, O

compuesta, 5

Fila de una matriz, 3

Conjunto imagen de la -, 5

Flechas, 5

constante, 5, 7

Forma, 8

creciente, 7

binómica

cuadrática, 7

polar

decreciente, 7

trigonométrica

de Dirichlet, 7 de Heaviside, 7

Fórmula de Nerón, 4

de segundo grado, 7

de Newton, 5

distancia, 6

de Moivre, 8

dominio de una -, 5

de Tewart, 4

elevar, 7

de Stieffel, 5 Fracción

al cuadrado al cubo

algebraica, 1

entera o polinomial, 7

compuesta, 2

escalera, 7

equivalente, 1

escalón, 7

Fraccionario número, 1 Función algebraica, 7

372

de primer grado, 7

estrictamente, 7 creciente decreciente monótona

Arc cos, 4, 7

exponencial, 7

Arc sen, 4, 7

fraccionaria, 7

arc tg, 4, 7

gráfica de una -,7

Argumento coseno hiperbólico, 7

hiperbólica, 7

Argumento, seno hiperbólico, 7

homográfica, 7

Argumento tangente hiperbólico, 7

identidad, 5, 7

Biyectiva, 5

impar, 7

inversa, 5

inversas

involución, 5

ganancia, 2

inyectiva, 5

gauss, 3, 9

irracional, 7

Grado, 4

lineal, 7

de una ecuación, 2

logaritmo, 7

de un polinomio, 2, 9

mantisa, 7

Gráfico, 5

monótona, 7

Grupo, 6

par, 7

Heaviside, 7

parte entera, 7

Hipérbola, 7

periódica, 7

equilátera

polinómica, 9

Hipotenusa, 4

potencial, 7

Hipótesis, O

prolongación de una -, 5

de inducción, 5

racional, 7

Identidad algebraica, 2

raíz, 7

Igualdad, 5 cuadrada

de conjuntos, 5

cúbica

de números complejos, 8

real, 5

de funciones, 7

recíproca, 7

de polinomios, 9

restricción de una-, 5

formal, 5

signo, 7

Impar, 1

sobreyectiva, o suryectiva, 5

función -, 7

trascendente, 7

número, 1

valor absoluto, 7

Implicancia, 5

valor de una-, 5

Inclusión, 5

Funciones, 7

Incógnita, 0, 2, 5, 6, 7

hiperbólicas inversas trigonométricas

Índice de una raíz, 1 de una sumatoria, 5

373

Inecuación, 6

paralelos

de primer grado

perpendiculares

con una incógnita, 6

Laguerre-Thibault, 9

en dos variables, 7

Lema, O

de segundo grado con una incógnita, 7

Letra, 2, 9

irracional, 7 paramétrica o con parámetros racional, 6 Ínfimo de un conjunto, 6

ordenatriz Ley, 6 de anulación del producto, 1, 9 de composición interna, 6

Ingresos, 7

Leyes De Morgan, 5

Interés compuesto, 7

Límite, 6

Interpolación lineal, 7

Literal, 2, 3

Intersección

Logaritmo, 7

de gráficas en el plano, 7

decimal

de rectas en el plano, 3, 7

natural

Intervalo, 6

Longitud de un intervalo, 6

abierto

Mantisa, 7

amplitud de un -

Matriz, 3, 5

cerrado

cuadrada de orden, 3

extremo de un -

determinante de la -

ilimitado

columna de una-, 3

semiabierto

fila de una-, 3

Invariancia, 7

Máximo común divisor, 1

por homotecias

Máximo de un conjunto, 6

por traslaciones

Mayor conjunto, 7

Involución, 5

Mayor o igual que, 5, 6

Lado, 4

Mayor que, 1, 5, 6

374

de un cuadrado

Mediana, 4

de un triángulo

Mediatriz, 4

opuesto

Medida, 4

de un ángulo en grados en radianes de un segmento

Múltiplo, 1, 5 Número, amigo, 1 capicúa, 1

Medio proporcional, 4

combinatorio, 5

Menor o igual que, 5, 6

complejo, 8

Menor que, 1, 5, 6

argumento de un

Método

primer componente de un -

contrarrecíproco, 0, 7

segunda componente de un -

de determinantes, 3

con segunda componente nula

de Gauss, 3

conjugado

de Laguerre Thibault, 9

forma

gráfico, 3

polar de un -

de igualación, 3

trigonometría de un

de reducción o sumas y restas, 3

módulo de un -

de sustitución, 3

norma de un -

dicotómico, 9

cuadrangular, 1

por contradicción, 0, 4

entero, 1

Mínimo común múltiplo, 1

fraccionario, 1, 5

Minuendo, 1

iguales, 1

Monomio, 2

imaginario, 8

coeficiente de un -

puro

grado de un-

impar, 1

Monomios semejantes, 1

intruso, 1

Multiplicación

natural, 1

de funciones reales, 7

negativo, 1

de números complejos, 8

par, 1

de números reales, 1

perfecto, 1

de polinomios, 2, 9

positivo, 1

Multiplicidad de una raíz, 9

racional, 1, 5

375

iuu

1111111

real, 1, 6

real, 8

triangular, 1

imaginaria, 8

Opción óptima, 7

Partición

Operación, 1, 7

de un conjunto, 5

adición (suma), 1

de un intervalo,7

cerrada, 1

Pendiente de una recta, 3, 7

división, 1

Perímetro, 4

multiplicación

Período, 7

potenciación, 1

fundamental

radicación, 1

Perpendicularidad, 4, 5

sustracción (diferencia), 1

Pertenencia, 1, 5

Orden, 1, 5

Pie de la perpendicular, 4

Ordenada al origen, 3

Pitágoras, 4

Origen,

Plano

punto , 3 Par, 1

complejo, 8 real, 3, 7

función -, 7

recta en el - , 3, 7

número - , 1

Poligonal, 7

ordenado, 5

Polígono, 4, 7

primer elemento del segundo elemento delParábola, 7

Polinomio cero de un -, 2, 9 cociente, 2

cuadrática

cociente de dos -, 2

cúbica

complejo, 9

Paralelismo, 5

completo, 2

Paralelógramo, 4

dividendo, 2

Parámetro, 2, 3, 7

factorear un -, 2, 9

Paridad, 7

grado de un-, 2, 9

Parte

homogéneo , 2 de un conjunto, 5

376

mónico, 9

li N111111111111

producto de dos -, 2

de funciones, 7

ordenado, 2

de potencias de igual base, 1

raíz de un -, 2, 9

de números complejos, 8

real, 9

de números reales, 1

resto, 2

de polinomios, 2, 9

términos de un-, 2, 9

Prolongación de una función, 5

valor de un-, 2, 9

Propiedad, O

4(-1

asociativa, 1, 6

Porcentaje, 2

cancelativa, 1

de descuento

característica, 5

de ganancia

cerrada, 1

Potenciación, 1

conmutativa, 1, 6

con exponente fraccionario

distributiva, 1, 6

Potencia del continuo, 5

uniforme, 1 Proposición,

de potencia, 1

contrarrecíproca, 0, 5, 7

de un binomio, 5

directa, 0, 5

de un número complejo, 8

recíproca, 0, 2, 5

Pre-imagen, 5 Principio

inversa, 0, 5 Proyección, 4

de adición, 2

de un punto sobre una recta

de inducción matemática, 5

de un segmento sobre una recta

de multiplicación, 2 Problemas,

Punto baricentro, 4

por demostrar, O

circuncentro, 4

por resolver, O

de mínimo absoluto, 7

sin solución, 6

de máximo absoluto, 7

Producto

incentro, 4

cartesiano, 5

medio entre dos puntos del plano, 7

cartesiano cuadrado de un conjunto, 5

origen, 3, 6, 7

377

111

ortocentro, 4

real, 3, 7

primera componente de un -, 3

secante, 4

segunda componente de un -, 3

transversal, 4

unidad, 3, 6

Rectángulo, 4

Puntos notables de un triángulo, 4

altura de un -

Racionalización del denominador, 1

base de un -

Radián, 4, 7

cuadrilátero

Radicación, 1

triángulo-

de radicaciones

Rectas

Radical, 1

coincidentes, 7

Radicando, 1

intersección de-, 3, 7

Radio,

paralelas, 7 perpendiculares, 7

de una circunferencia, 4 de un entorno, 6 Raíz

Reducción al primer cuadrante, 4 Regla

aproximada, 9

de Cramer, 3

cuadrada, 1, 8

de Ruffini, 2

principal, 8 cúbica, 8 de un complejo, 9 de un polinomio, 5

de signos para el producto y cociente, 1 de supresión de paréntesis, 1 Relación, 5 binaria, 5

de una ecuación, 2

antisimétrica

n-ésima de un número complejo, 8

de equivalencia

n-ésima de un número real, 1

de orden

Rango de variación de una sumatoria, 5

inversa

Recorrido, 5, 7

reflexiva

Recta, 3

simétrica

en el plano, 3, 7

378

transitiva

pendiente de una -, 7

ternaria, 5

ordenada al origen de una -, 7

dominio de la, 5

gráfico de la, 5

Ruffini, 2

inversa, 5

Secante, 4, 7

recorrido de la, 5

Segmento, 4

ternaria, 5

trigonométrica Pitagórica, 4 Relaciones

medida de un Segmentos proporcionales, 4 Semejanza, 4, 5

de compatibilidad, 7

Semiplano, 7

métricas de un triángulo, 4

Semirrecta, 7

trigonométricas, 4

Seno, 4, 7

Representación

hiperbólico, 7

decimal, 1

trigonométrico, 4, 7

finita

Sexagesimal, 1

infinita

Signo

periódica

de la función cuadrática, 7

no periódica

de un número real, 1

gráfica de funciones, 7 Resolver

función -, 7 radical, 1

un triángulo, 4, 7

Símbolos, 5

una ecuación, 2, 6, 7

Sistema

una inecuación, 6, 7

de coordenadas

Resta, 6

en una recta, 3, 6

Resto,

cartesianas en el plano, 3, 7 de la división de dos números, 1 de la división de dos polinomios, 2, 9 Teorema del -, 2, 9

polares en el plano, 7 de ecuaciones compatible, 2

Restricción de una función, 5

con dos incógnitas, 3

Resultado de una operación, 6

con tres incógnitas, 3

Rombo, 4

de primer grado con dos incógnitas, 3

diagonales de un -

solución de un -, 3

lado de un -

determinado compatible, 3

379

1

incompatible, 3

de Bolzano, 9

indeterminado, 3

de Bolzano - Weierstrass, 6

incompatible, 2

de Descomposición Factorial, 9

indeterminado, 2

de Gauss, 9

triangular, 3

de Lagerre - Tibault, 9

de inecuaciones de primer grado, 7

del Resto, 2, 9

de representación, 1

de Pitágoras, 4

decimal

de Thales, 4

romano

del coseno, 4

sexagesimal, 1

Fundamental del Álgebra, 9

Stewart, 4

Término independiente, 2, 9

Subconjunto, 5

Términos de un polinomio, 2, 9

pre-imagen de un

Thales, 4

sucesión , 5

Transformación regular de una ecuación, 6

Suma

Trapecio, 4 de funciones, 7

Trapezoide, 4

de números complejos, 8

Traslación, 7

de números reales, 1

horizontal

de polinomios, 2, 9

vertical

Sumatoria, 5

Trazo, 7

Supremo de un conjunto, 6

continuo

Sustraendo, 1

discontinuo

Tabla

Triángulo de valores, 3

altura de un-, 4

de verdad, O

área de un-, 4

Tangente, 4, 7

aritmético de Tartaglia, 5

hiperbólica, 7

bisectrices de un-, 4

trigonométrica, 4, 7

equilátero, 4

Tartaglia, 5

hipotenusa de un-, 4

Teorema, O

lados de un-, 4

380

1

JI

1,1ei

medianas de un-, 4

Verdadero, O

mediatrices de un -, 4

Vértice

perímetro de un-, 4

de un cuadrilátero, 4, 7

puntos notables de un -, 4

de un triángulo, 4

rectángulo, 4

de una parábola, 7

catetos de un Triángulos, 4 congruentes equiláteros iguales isósceles rectángulos semejantes Trinomio cuadrado perfecto, 2 Unicidad de la función inversa, 5 de la solución de una ecuación, 2, 6 de la solución de un sistema de ecuaciones, 3 del elemento neutro, 1, 6 del elemento opuesto, 1, 6 del elemento recíproco o inverso, 1, 6 Unidad imaginaria, 1, 2, 8 Utilidades, 7 Valor absoluto, 6 numérico de una expresión algebraica, 2 Variables, 2, 3, 7, 9 dependiente, 3, 7 independiente, 3, 7 paramétrica, 7

381

CURSO DE NIVELACIÓN DE

MATEMÁTICA hminu k TAIMA

omingo Alberto Tarzia posee los diplomas de "Licenciado en Matemática" (1972) y "Licenciado en Física" (1977) de la Universidad Nacional de Rosario (Rosario, Argentina) y los de "Diplóme d'Etudes Approfondies d'Analyse

Numérique" (1977), "Doctorat de 3éme Cycle: Mécanique Théorique des Solides - Analyse Numérique" (1979) y "Habilitation á Diriger des Recherches" (1991) de la Université Pierre-et-Marie-Curie (Université de Paris VI) (París, Francia). Es Director del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias

Empresariales (Rosario) de la Universidad Austral e Investigador Principal de la carrera del Investigador Científico y Tecnológico del CONICET (Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, dependiente de la Secretaría de Ciencia y Tecnología de la República ARGENTINA). Su tema de investigación son las ecuaciones diferenciales a derivadas parciales (elípticas y parabólicas), en particular las inecuaciones variacionales y los llamados problemas de frontera libre, entre los cuales merecen destacarse los procesos de transferencia de calor con cambio de fase, conocidos en la literatura científica como "Stefan problem". Es autor de varias monografías y de más de sesenta artículos publicados en numerosas revistas científicas de jerarquía internacional. Por su trayectoria se le ha otorgado el Premio "Academia Nacional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales" - año 1986 - en Matemática, denominado "Alberto González Domínguez".

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