Targil_4_pitaron Machon Lev Statistics

‫פתרון לתרגיל מספר ‪ 4‬בסטטיסטיקה‬ ‫‪.1‬א‪ .‬נתון‪:‬‬ ‫‪X = 30‬‬ ‫‪σ =3‬‬ ‫‪n=5‬‬

‫ע"פ הנוסחה‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪σ ‬‬ ‫‪P X − z α‬‬ ‫‪≤ µ ≤ X + zα‬‬ ‫‪= 1−α‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫נקבל רווח סמך‪:‬‬ ‫‪⇒ 30 ± 2.207‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫⋅ ‪⇒ 30 ± 1.645‬‬

‫‪3‬‬

‫⋅ ‪30 ± z 0.05‬‬

‫‪5‬‬

‫ב‪ .‬עבור רווח סמך בגודל ‪ 2‬נדרוש‪:‬‬ ‫‪≤ 1 ⇒ n ≥ 4.935 ⇒ n ≥ 25‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬

‫⋅ ‪z 0.05‬‬

‫‪.2‬א‪.‬נקבל רווח סמך‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪⇒ 30 ± 2.63‬‬ ‫‪5‬‬ ‫קיבלנו רווח סמך גדול יותר כיוון שביקשנו רמת בטחון גבוהה יותר‪.‬‬

‫⋅ ‪⇒ 30 ± 1.96‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫⋅ ‪30 ± z 0.025‬‬

‫ב‪.‬עבור רווח סמך בגודל ‪ 2‬נדרוש‪:‬‬ ‫‪≤ 1 ⇒ n ≥ 5.88 ⇒ n ≥ 35‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬

‫⋅ ‪z 0.025‬‬

‫על מנת להשיג רווח סמך בגודל זהה ברמת בטחון גבוהה יותר עלינו לדרוש מדגם גדול יותר‪.‬‬ ‫‪.3‬נתון‪:‬‬ ‫‪X = 257‬‬ ‫‪σ =5‬‬ ‫‪n=4‬‬

‫נקבל רווח סמך‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫⋅ ‪257 ± z 0.05‬‬ ‫‪⇒ 257 ± 1.645 ⋅ ⇒ 257 ± 4.1125‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.4‬נתון‪:‬‬ ‫‪X = 192‬‬ ‫‪σ = 10‬‬ ‫‪n=9‬‬

‫נקבל רווח סמך‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪⇒ 192 ± 5.483‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-1-‬‬

‫⋅ ‪⇒ 192 ± 1.645‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬

‫⋅ ‪192 ± z 0.05‬‬

‫‪.5‬עבור רווח סמך בגודל ‪ 4‬נדרוש‪:‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪≤ 2 ⇒ n ≥ 8.225 ⇒ n ≥ 68‬‬

‫‪n‬‬

‫⋅ ‪z 0.05‬‬

‫‪.6‬א‪ .‬נדרוש‪:‬‬ ‫‪≤ 0.5 ⇒ n ≥ 31.36 ⇒ n ≥ 984‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪n‬‬

‫⋅ ‪z 0.025‬‬

‫ב‪ .‬נדרוש‪:‬‬ ‫‪≤ 0.125 ⇒ n ≥ 125.44 ⇒ n ≥ 15736‬‬ ‫‪.7‬נתון‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪z 0.025‬‬

‫‪Y = 55‬‬ ‫‪n = 100‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪pˆ = = 0.55‬‬ ‫‪n‬‬

‫רווח סמך ברמת בטחון של ‪:0.95‬‬ ‫‪0.55 ⋅ 0.45‬‬ ‫‪⇒ 0.55 ± 1.96 ⋅ 0.002475 ⇒ 0.55 ± 0.0975‬‬ ‫‪100‬‬ ‫רווח סמך ברמת בטחון של ‪:0.99‬‬ ‫‪0.55 ⋅ 0.45‬‬ ‫⋅ ‪0.55 ± z 0.005‬‬ ‫‪⇒ 0.55 ± 2.575 ⋅ 0.002475 ⇒ 0.55 ± 0.1281‬‬ ‫‪100‬‬ ‫⋅ ‪0.55 ± z 0.025‬‬

‫‪.8‬נתון‪:‬‬

‫‪pˆ = 0.55‬‬

‫נדרש רווח סמך ברמת בטחון של ‪ 0.95‬בגודל שאינו עולה על ‪.0.1‬‬ ‫נדרוש‪:‬‬ ‫‪0.55 ⋅ 0.45‬‬ ‫‪≤ 0.05 ⇒ n ≥ 19.5017 ⇒ n ≥ 381‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.9‬נתון‪:‬‬

‫⋅ ‪z 0.025‬‬

‫‪Y = 20‬‬ ‫‪n = 200‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪pˆ = = 0.1‬‬ ‫‪n‬‬

‫נקבל רווח סמך‪:‬‬ ‫‪0.1 ⋅ 0.9‬‬ ‫‪⇒ 0.1 ± 1.96 ⋅ 0.00045 ⇒ 0.1 ± 0.0416‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪.10‬אם נסמן כ"הצלחה" לידת בן‪ ,‬נתון‪:‬‬

‫⋅ ‪0.1 ± z 0.025‬‬

‫‪Y = 4100‬‬ ‫‪n = 8000‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪pˆ = = 0.5125‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪-2-‬‬

‫הקביעה היא על רווח סמך בגודל ‪.0.015‬‬ ‫נמצא ‪ α‬מתאים‪:‬‬ ‫‪0.5125 ⋅ 0.4875‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪= 0.0075 ⇒ z α = 1.342 ⇒ = 1 − Φ(1.342) = 1 − 0.91 = 0.09‬‬ ‫‪8000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫⋅ ‪zα‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ α = 0.18‬‬

‫כלומר הקביעה היא ברמת בטחון של ‪.0.82‬‬ ‫‪.11‬א‪.‬נדרוש‪:‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫⇒ ‪≤ 0.00608‬‬ ‫‪≤ 0.000037 ⇒ n ≥ 27060.372 ⋅ pq‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הערך המקסימלי ש‪ pq -‬יכול לקבל הוא ‪ ,0.25‬לכן מספיק לדרוש‪:‬‬

‫‪pq‬‬ ‫⇒ ‪≤ 0.01‬‬ ‫‪n‬‬

‫⋅ ‪z 0.05‬‬

‫‪n ≥ 6766‬‬

‫ב‪ .‬כיוון ש‪ n -‬נמצא במכנה בתוך שורש עלינו להכפילו ב‪ 4-‬כדי להקטין את הטעות פי ‪.2‬‬ ‫‪ .12‬נחשב‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4 2 + (−2) 2 + 5 2 + (−7) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 31.33‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪− X‬‬

‫‪5.5976‬‬ ‫‪⇒ 257 ± 6.5856‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i =1‬‬

‫= ‪s‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n −1‬‬ ‫‪⇒ s = 5.5976‬‬

‫נקבל רווח סמך‪:‬‬ ‫⋅ ‪⇒ 257 ± 2.353‬‬

‫‪∑(X‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪5.5976‬‬ ‫‪4‬‬

‫⋅ ‪257 ± t 0.05‬‬

‫‪.13‬נחשב‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪7 2 + 6 2 + 8 2 + (−3) 2 + (−6) 2 + 2 2 + (−13) 2 + (−5) 2 + 4 2‬‬ ‫‪= 51‬‬ ‫‪8‬‬

‫=‬

‫)‪− X‬‬

‫‪-3-‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i =1‬‬

‫= ‪s2‬‬

‫‪n −1‬‬ ‫‪⇒ s = 7.1414‬‬

‫נקבל רווח סמך‪:‬‬ ‫‪7.1414‬‬ ‫⋅ ‪⇒ 192 ± 2.353‬‬ ‫‪⇒ 192 ± 5.601‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪∑(X‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪7.1414‬‬ ‫‪9‬‬

‫⋅ ‪192 ± t 0.05‬‬